深度优先搜索与回溯算法
回溯法
回溯法一、回溯法：回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。
它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。
算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。
如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。
否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。
回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。
而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。
这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适用于解一些组合数较大的问题。
二、算法框架：1、问题的解空间：应用回溯法解问题时，首先应明确定义问题的解空间。
问题的解空间应到少包含问题的一个（最优）解。
2、回溯法的基本思想：确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。
这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。
在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。
这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。
如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。
换句话说，这个结点不再是一个活结点。
此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。
回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。
运用回溯法解题通常包含以下三个步骤：（1）针对所给问题，定义问题的解空间；（2）确定易于搜索的解空间结构；（3）以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索；3、递归回溯：由于回溯法是对解空间的深度优先搜索，因此在一般情况下可用递归函数来实现回溯法如下：procedure try(i:integer);varbeginif i>n then 输出结果else for j:=下界 to 上界 dobeginx[i]:=h[j];if 可行{满足限界函数和约束条件} then begin 置值；try(i+1); end;end;end;说明：i是递归深度；n是深度控制，即解空间树的的高度；可行性判断有两方面的内容：不满约束条件则剪去相应子树；若限界函数越界，也剪去相应子树；两者均满足则进入下一层；二、习题：1、0-1背包：n=3,w=[16,15,15],p=[45,25,25],c=302、旅行售货员问题：某售货员要到若干城市去推销商品，已知各城市之间的路程（或旅费）。
深度优先搜索与回溯算法
深度优先搜索与回溯算法深度优先（Depth First Search，简称DFS）和回溯算法是两种常见的算法，它们可以用来解决图和树相关的问题。
尽管它们在一些情况下可能无法找到最优解，但在许多实际应用中都有着广泛的应用。
深度优先是一种常用的遍历算法，其基本原理是从起始节点开始，沿着图的深度遍历到达最深处，然后回溯到上一层节点，继续遍历其他子节点直到所有节点都被访问过为止。
DFS可以用递归或者栈来实现。
在深度优先中，每个节点只能访问一次，避免陷入死循环。
通常，我们需要维护一个访问过的节点列表，以确保不会重复访问。
深度优先的时间复杂度为O(，V，+，E，)，其中，V，表示图中节点的数量，E，表示边的数量。
在最坏的情况下，DFS需要遍历图中的所有节点和边。
深度优先的一个经典应用是在图中查找特定路径。
它也被广泛应用于迷宫问题、拓扑排序、连通性问题等。
回溯算法是一种通过枚举所有可能解的方法来解决问题的算法。
在过程中，如果当前路径无法达到目标，就返回上一层，寻找另一种可能的路径。
回溯算法通常使用递归来实现。
回溯算法通常包含三个步骤：1.选择：在当前节点选择一个可行的选项，并向前进入下一层节点。
2.约束：在进入下一层之前，检查当前节点的状态是否符合要求，即剪枝操作。
3.撤销选择：在下一层节点完毕后，返回上一层节点，撤销当前选择。
通过不断地进行选择、约束和撤销选择，回溯算法可以遍历所有可能的解空间，并找到满足条件的解。
回溯算法的时间复杂度取决于问题的规模和约束条件。
在最坏的情况下，回溯算法需要遍历所有的可能解，因此时间复杂度可以达到指数级。
回溯算法的一个经典应用是在数独游戏中寻找解。
它也被广泛应用于组合优化问题、八皇后问题、0-1背包问题等。
总结起来，深度优先和回溯算法是两种常用的算法，它们在图和树的遍历以及问题求解中有着广泛的应用。
深度优先通过遍历到达最深处再回溯，而回溯算法则是通过枚举所有可能解并进行剪枝来寻找解。
dfs通用步骤-概述说明以及解释
dfs通用步骤-概述说明以及解释1.引言1.1 概述DFS（深度优先搜索）是一种常用的图遍历算法，它通过深度优先的策略来遍历图中的所有节点。
在DFS中，从起始节点开始，一直向下访问直到无法继续为止，然后返回到上一个未完成的节点，继续访问它的下一个未被访问的邻居节点。
这个过程不断重复，直到图中所有的节点都被访问为止。
DFS算法的核心思想是沿着一条路径尽可能深入地搜索，直到无法继续为止。
在搜索过程中，DFS会使用一个栈来保存待访问的节点，以及记录已经访问过的节点。
当访问一个节点时，将其标记为已访问，并将其所有未访问的邻居节点加入到栈中。
然后从栈中取出下一个节点进行访问，重复这个过程直到栈为空。
优点是DFS算法实现起来比较简单，而且在解决一些问题时具有较好的效果。
同时，DFS算法可以用来解决一些经典的问题，比如寻找图中的连通分量、判断图中是否存在环、图的拓扑排序等。
然而，DFS算法也存在一些缺点。
首先，DFS算法不保证找到最优解，有可能陷入局部最优解而无法找到全局最优解。
另外，如果图非常庞大且存在大量的无效节点，DFS可能会陷入无限循环或者无法找到解。
综上所述，DFS是一种常用的图遍历算法，可以用来解决一些问题，但需要注意其局限性和缺点。
在实际应用中，我们需要根据具体问题的特点来选择合适的搜索策略。
在下一部分中，我们将详细介绍DFS算法的通用步骤和要点，以便读者更好地理解和应用该算法。
1.2 文章结构文章结构部分的内容如下所示：文章结构：在本文中，将按照以下顺序介绍DFS（深度优先搜索）通用步骤。
首先，引言部分将概述DFS的基本概念和应用场景。
其次，正文部分将详细解释DFS通用步骤的两个要点。
最后，结论部分将总结本文的主要内容并展望未来DFS的发展趋势。
通过这样的结构安排，读者可以清晰地了解到DFS算法的基本原理和它在实际问题中的应用。
接下来，让我们开始正文的介绍。
1.3 目的目的部分的内容可以包括对DFS（Depth First Search，深度优先搜索）的应用和重要性进行介绍。
回溯算法的基本思想
回溯算法的基本思想回顾法也叫启发式。
回溯的基本方法是深度优先搜索，这是一种组织良好的穷举搜索算法，可以避免不必要的重复搜索。
回溯算法的基本思想是:往前走一条路，可以就往前走，不行就往回走，换一条路再试。
当我们遇到某一类问题时，它的问题是可以分解的，但是我们无法得到一个清晰的动态规划或者递归的解。
这时候可以考虑用回溯法来解决这类问题。
回溯法的优点是程序结构清晰，可读性强，易于理解，通过分析问题可以大大提高运行效率。
但对于可以迭代得到明显递推公式的问题，不宜采用回溯法求解，因为它耗时较长。
对于用回溯法求解的问题，要对问题进行适当的转化，得到状态空间树。
这棵树的每一条完整路径都代表了一个解决方案的可能性。
先用深度搜索这棵树，枚举每一个可能的解；从而得到结果。
但通过构造回溯法中的约束函数，可以大大提高程序效率，因为在深度优先搜索的过程中，每一个解(不一定是完整的，其实这就是构造约束函数的意义)都在不断地与约束函数进行比较，删除一些不可能的解，这样就不必列出其余的解，节省了一些时间。
回溯法中，首先需要明确下面三个概念：（一）约束函数：约束函数是根据题意定出的。
通过描述合法解的一般特征用于去除不合法的解，从而避免继续搜索出这个不合法解的剩余部分。
因此，约束函数是对于任何状态空间树上的节点都有效、等价的。
（二）状态空间树：刚刚已经提到，状态空间树是一个对所有解的图形描述。
树上的每个子节点的解都只有一个部分与父节点不同。
（三）扩展节点、活结点、死结点：所谓扩展节点，就是当前正在求出它的子节点的节点，在深度优先搜索中，只允许有一个扩展节点。
活结点就是通过与约束函数的对照，节点本身和其父节点均满足约束函数要求的节点；死结点反之。
由此很容易知道死结点是不必求出其子节点的（没有意义）。
利用回溯法解题的具体步骤首先，要通过读题完成下面三个步骤：(1)描述解的形式，定义一个解空间，它包含问题的所有解。
(2)构造状态空间树。
回溯算法
刚才的方法为生成皇后的摆放方案再去判断是否符合 要求，效率比较低，我们能不能每摆放一个皇后就看 这个皇后摆放的位置对还是不对，这样可以节省很多 无效的搜索 procedure try(dep:longint); var i:longint; begin if dep>n then inc(total) else for i:=1 to n do begin a[dep]:=i; if pd(dep) then try(dep+1); end; end;
procedure search(dep:longint); var i:longint; begin if dep>n then print else for i:=1 to 4 do{每个城市有四种颜色} begin a[dep]:=i; if check(dep) then search(dep+1); end; end;
主要代码： procedure search(dep:longint); var i:longint; begin if dep>n then print else for i:=1 to n do begin a[dep]:=i; search(dep+1); end; end;
program pailie(input,output); var n:integer; a:array[1..20] of integer; procedure print; var i:integer; begin for i:=1 to n do write(a[i]); writeln; end;
代码实现： procedure try(dep:longint); var i:longint; begin if dep>n then print else for i:=1 to n do begin a[dep]:=i; try(dep+1); end; end;
dfs回溯算法
dfs回溯算法
回溯算法是一种经典的递归算法，也被称为试探法。
该算法通过不断地递归和回溯，不断地尝试各种可能的解法，直到找到最优解或者穷尽所有的解法为止。
回溯算法在解决各种计算问题、搜索问题、排列组合问题等方面都有广泛的应用。
其中，dfs回溯算法是回溯算法的一种特殊的形式，也被称为深度优先搜索。
dfs的全称是Depth-First Search，即深度优先搜索。
dfs算法对于大部分回溯问题都有较好的解决效果，时间复杂度也相对较低。
在dfs回溯算法中，我们首先明确问题的状态和解法，然后将当前状态作为回溯的入口。
接着，dfs算法会选择一个可行的分支，并以此为起点开始递归搜索。
如果搜到了不符合要求的状态，就会返回上一个状态，继续往下搜索。
一旦找到了符合要求的解法，就会记录下来，并返回上一个状态，继续搜索其他可能的解法。
无论是在排列组合、数独、迷宫等问题的求解中，dfs回溯算法都有着重要的地位。
在实际的应用中，我们可以通过一系列的剪枝操作来减少搜索空间，从而尽快找到最优解，提高运算效率。
总的来说，dfs回溯算法是一种广泛应用于计算、搜索和排列组合等问
题的高效算法，尤其对于那些具有相对较大搜索空间的问题，dfs回溯算法能够给出较高的解决效率，而且实现也相对简单。
但是，随着问题规模的增大，其时间效率可能会受到挑战。
因此，在实际应用过程中，我们需要结合具体问题进行优化，尽可能地提高算法效率。
计算机求解问题的常用算法
计算机求解问题的常用算法
计算机求解问题的常用算法包括以下几种：
1. 搜索算法：例如深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）、A*搜索等，用于在状态空间中搜索最优解或满足
特定条件的解。
2. 贪心算法：每一步都选择当前最优的解，但不能保证能够找到全局最优解，常见的例子有最小生成树算法、最短路径算法等。
3. 动态规划：通过将问题划分为若干子问题，并逐步求解子问题的解，最后得到整个问题的解。
常见的例子有背包问题、最长公共子序列等。
4. 回溯算法：通过逐步尝试所有可能的解，并在每一步的尝试中进行剪枝，以提高效率。
常见的例子有八皇后问题、0-1背
包问题等。
5. 分治算法：将大问题划分为若干个小问题，分别求解，并将小问题的解合并得到整个问题的解。
常见的例子有归并排序、快速排序等。
6. 图算法：用于处理图结构的问题，例如图的遍历、最短路径、最小生成树等。
7. 近似算法：用于求解NP难问题的近似解，通过牺牲一定的
精度来提高求解效率。
常见的例子有近似最优解算法、近似最短路径算法等。
以上只是常见的一些算法，实际上还有很多其他的算法，不同的问题可能需要使用不同的算法进行求解。
如何使用深度优先搜索算法求解迷宫问题
如何使用深度优先搜索算法求解迷宫问题深度优先搜索算法是一种在解决迷宫问题时非常重要的算法。
迷宫问题是指一个由墙壁和路径组成的迷宫，其中寻找通往出口的路径是一个有趣和富有挑战性的问题。
深度优先搜索算法可以从起点开始搜索所有可能的路径，直到找到通向出口的路径为止。
本文将介绍如何使用深度优先搜索算法来解决迷宫问题。
1. 确定问题的规模和范围在开始解决迷宫问题前，我们需要确定迷宫的规模和范围。
迷宫的规模通常由迷宫的行数和列数表示。
例如，一个5行7列的迷宫由35个方格组成。
确定迷宫的范围还包括确定哪些方格是起点和终点，以及哪些方格是墙壁和路径。
2. 确定深度优先搜索算法的基本原理和步骤深度优先搜索算法是一种无向图算法，其基本原理是从起点开始搜索，沿着路径向前探索下去，每当遇到岔路口的时候就随机选择一条路径继续前进，直到走到终点或遇到死路为止。
搜索的顺序是从最深处开始向外扩展。
在搜索过程中，需要维护一个栈来存储当前路径。
深度优先搜索算法的步骤如下：（1）初始化：将起点加入栈中。
（2）循环：从栈中取出一个节点进行扩展。
（3）判断是否到达终点：如果当前节点是终点，则搜索结束。
（4）扩展节点：将当前节点的所有相邻节点加入栈中。
（5）递归深度优先搜索：从栈中取出下一个节点进行搜索。
（6）回溯：如果当前节点没有可扩展的节点，则从栈中取出上一个节点进行搜索。
3. 编写深度优先搜索算法的伪代码在深度优先搜索算法的基础上，我们需要编写具体的伪代码来实现解决迷宫问题。
算法输入：一个迷宫。
算法输出：通向终点的路径。
1. 初始化：将起点加入栈中。
记录起点的位置为（x1，y1）。
将起点标记为已访问。
2. 循环：如果栈不为空，则：取出栈顶节点进行扩展。
记录扩展节点的位置为（x，y）。
标记扩展节点为已访问。
如果当前节点是终点，则搜索结束。
如果当前节点不是终点，则：遍历当前节点的所有相邻节点：如果相邻节点未访问且不是墙壁，则：将相邻节点加入栈中。
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8、字符序列(characts) 【问题描述】 从三个元素的集合[A，B，C]中选取元素生成一个N个字符组成的序列，使 得没有两个相邻字的子序列（子序列长度=2）相同。例：N = 5时ABCBA是合 格的，而序列ABCBC与ABABC是不合格的，因为其中子序列BC，AB是相同的。 对于由键盘输入的N(1<=N<=12)，求出满足条件的N个字符的所有序列和其 总数。 【输入样例】 4 【输出样例】
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•9、试卷批分(grade) •【问题描述】
•某学校进行了一次英语考试，共有10道是非题，每题为10分，解答用1表示“是”， 用0表示“非”的方式。但老师批完卷后，发现漏批了一张试卷，而且标准答案也丢 失了，手头只剩下了3张标有分数的试卷。
•试卷一：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
•0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 得分：70
【例6】数的划分(NOIP2001) 【问题描述】 将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两种分法不能相同 (不考虑顺序)。例如:n=7,k=3,下面三种分法被认为是相同的。 • 1，1，5； 1，5，1； 5，1，1； • 问有多少种不同的分法。 • 【输入格式】 • n,k (6<n≤200，2≤k≤6) • 【输出格式】 • 一个整数，即不同的分法。 • 【输入样例】 • 7 3 • 【输出样例】 • 4 { 4种分法为：1,1,5；1,2,4；1,3,3; 2,2,3 说明部分不必输出 }
【课堂练习】
1、输出自然数1到n所有不重复的排列，即n的全排列。 【参考过程】 int Search(int i) { Int j; for (j=1;j<=n;j++) if (b[j]) { a[i]=j; b[j]=false; if (I<n) Search(i+1); else print(); b[j]=true; } }
【上机练习】
1、全排列问题(Form.cpp) 【问题描述】 输出自然数1到n所有不重复的排列，即n的全排列，要求所产生的任一 数字序列中不允许出现重复的数字。 【输入格式】 n(1≤n≤9) 【输出格式】 由1～n组成的所有不重复的数字序列，每行一个序列。 【输入样例】Form.in 3 【输出样例】Form.out 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1
•试卷二：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ •0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 得分：50
•试卷三：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ •0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 得分：30
•待批试卷：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ •0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 得分：？
2、组合的输出(Compages.cpp)
【问题描述】 排列与组合是常用的数学方法，其中组合就是从n个元素中抽出r个元素(不分顺序且 r<＝n)，我们可以简单地将n个元素理解为自然数1，2，…，n，从中任取r个数。 现要求你用递归的方法输出所有组合。 例如n＝5，r＝3，所有组合为： l23 l24 125 l34 l35 145 234 235 245 345 【输入】 一行两个自然数n、r(1<n<21，1<＝r<＝n)。 【输出】 所有的组合，每一个组合占一行且其中的元素按由小到大的顺序排列，每个元素占三 个字符的位置，所有的组合也按字典顺序。 【样例】 compages.in compages.out 5 3 123 124 125 134 135 145 234 235 245 345
【例3】素数环:从1到n（<=20）这n个数摆成一个 环，要求相邻的两个数的和是一个素数。
【算法分析】 非常明显，这是一道回溯的题目。从1开始，每个空位有20 种可能，只要填进去的数合法：与前面的数不相同；与左边 相邻的数的和是一个素数。第20个数还要判断和第1个数的 和是否素数。
【例4】八皇后问题：要在国际象棋棋盘中放八个皇 后，使任意两个皇后都不能互相吃。（提示：皇后 能吃同一行、同一列、同一对角线的任意棋子。）
2、找出n个自然数(1,2,3,…,n)中r个数的组合。例如，当n=５,r=3时，所有 组合为： 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 3 4 1 3 5 1 4 5 2 3 4 2 3 5 2 4 5 3 4 5 total=10 //组合的总数 【分析】：设在b[1],b[2],…,b[i-1]中已固定地取了某一组值且b[i-1]=k的前 提下，过程Search(i,k)能够列出所有可能的组合。由于此时b[i]只能取k+1 至n-r+i，对j=k+1,k+2,…,n-r+i，使b[i]:=j，再调用过程Search(i+1,j)，形成 递归调用。直至i的值大于r时，就可以在b中构成一种组合并输出。
3、N皇后问题(Queen.cp源自)【问题描述】 在N*N的棋盘上放置N个皇后（n<=10）而彼此不受攻击（即在棋盘的任一行，任一列和 任一对角线上不能放置2个皇后），编程求解所有的摆放方法。
八皇后的两组解 【输入格式】 输入：n 【输出格式】 每行输出一种方案，每种方案顺序输出皇后所在的列号，各个数之间有空格 隔开。若无方案，则输出no solute! 【输入样例】Queen.in 4 【输出样例】Queen.out 2 4 1 3 3 1 4 2
回溯法算法框架
Procedure dfs( s ) //访问状态s Begin if 边界 then begin 判断是否为目标状态；exit; end; for i：= 状态变换规则数 begin si = s + 规则I 保存局面 dfs（si） 还原局面 end； End;
【例1】设有n个整数的集合 ｛1,2,…,n｝，从中取出任意r个数 （r<n），试列出所有的可能的情况。 例如{1,2,3} ，r=2。那么有3种可能， （1,2），（1,3），（2,3）
4、有重复元素的排列问题
【问题描述】 设R={ r1, r2 , …, rn}是要进行排列的n个元素。其中元素r1, r2 , …, rn可能相同。试 设计一个算法，列出R的所有不同排列。 【编程任务】 给定n 以及待排列的n 个元素。计算出这n 个元素的所有不同排列。 【输入格式】 由perm.in输入数据。文件的第1 行是元素个数n，1≤n≤500。接下来的1 行是待排 列的n个元素。 【输出格式】 计算出的n个元素的所有不同排列输出到文件perm.out中。文件最后1行中的数是排 列总数。 【输入样例】 4 aacc 【输出样例】多解 aacc acac acca caac caca ccaa 6
②D ④D
A C B E C A
E B
6、有红球4个，白球3个，黄球3个，将它们排成一排共有多少种排法？ 【分析】：可以用回溯法来生成所有的排法。用数组b[1..3]表示尚未排列 的这3种颜色球的个数。设共有I-1个球已参加排列，用子程序Search(i)生 成由第I个位置开始的以后n-I+1位置上的各种排列。对于第I个位置，我们 对3种颜色的球逐一试探，看每种颜色是否还有未加入排序的球。若有， 则选取一个放在第I个位置上，且将这种球所剩的个数减1，然后调用 Search(I+1),直至形成一种排列后出。对第I个位置上的所有颜色全部试探 完后，则回溯至前一位置。
【例2】任何一个大于1的自然数n，总可以拆分成若干个小于n 的自然数之和。
当n=7共14种拆分方法： 7=1+1+1+1+1+1+1 7=1+1+1+1+1+2 7=1+1+1+1+3 7=1+1+1+2+2 7=1+1+1+4 7=1+1+2+3 7=1+1+5 7=1+2+2+2 7=1+2+4 7=1+3+3 7=1+6 7=2+2+3 7=2+5 7=3+4 total=14
深度优先搜索与回溯算法
回溯是计算机解题中常用的算法，很多问题无法根据某种 确定的计算法则来求解，可以利用搜索与回溯的技术求解。回溯 是搜索算法中的一种控制策略。它的基本思想是：为了求得问题 的解，先选择某一种可能情况向前探索，在探索过程中，一旦发 现原来的选择是错误的，就退回一步重新选择，继续向前探索， 如此反复进行，直至得到解或证明无解。 如迷宫问题：进入迷宫后，先随意选择一个前进方向，一步 步向前试探前进,如果碰到死胡同，说明前进方向已无路可走， 这时，首先看其它方向是否还有路可走，如果有路可走，则沿该 方向再向前试探；如果已无路可走，则返回一步，再看其它方向 是否还有路可走；如果有路可走，则沿该方向再向前试探。按此 原则不断搜索回溯再搜索，直到找到新的出路或从原路返回入口 处无解为止。
6、工作分配问题 【问题描述】 设有n件工作分配给n个人。将工作i分配给第j个人所需的费用为cij。试设 计一个算法，为每一个人都分配一件不同的工作，并使总费用达到最小。 【编程任务】 设计一个算法，对于给定的工作费用，计算最佳工作分配方案，使总费用 达到最小。 【输入格式】 由文件job.in给出输入数据。第一行有1个正整数n (1≤n≤20)。接下来的n 行，每行n个数，第i行表示第i个人各项工作费用。 【输出格式】 将计算出的最小总费用输出到文件job.out。 【输入样例】 3 4 2 5 2 3 6 3 4 5 【输出样例】 9
3、输出字母a、b、c、d，4个元素全排列的每一种排列。 4、显示从前m个大写英文字母中取n个不同字母的所有种排列。 5、有A、B、C、D、E五本书，要分给张、王、刘、赵、钱五位同学，每人只 能选一本，事先让每人把自已喜爱的书填于下表，编程找出让每人都满意的所 有方案。