生成函数在组合计数中的应用
排列与组合的生成函数与应用
排列与组合的生成函数与应用生成函数是组合数学中的一种重要工具，主要用于描述排列和组合问题中的序列生成规律，并在实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍排列与组合的生成函数的概念、性质以及在实际问题中的应用。
一、生成函数的概念与定义生成函数是一种形式幂级数，用于把序列的每个项与其对应的项的位置联系起来。
对于一个序列{an}，其生成函数可以表示为：G(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ...其中，ai表示第i个项的系数，x表示变量。
生成函数的特点是将序列的每个项与其对应的项的位置组合在一起，从而可以对序列的各项进行运算和分析，解决排列与组合问题。
二、排列与组合问题的生成函数1. 排列问题排列是指从一组元素中挑选出一部分元素按照一定的顺序进行排列的方式。
对于n个元素的排列问题，可以使用生成函数来描述。
设P(n)表示n个元素的全排列数，那么P(x)的生成函数可以表示为：P(x) = 1 + x + x^2 / 2! + x^3 / 3! + ...其中，x^k / k!表示取k个元素进行排列的系数。
通过P(x)的展开式，可以获取不同长度的排列数，从而解决排列问题。
2. 组合问题组合是指从一组元素中挑选出一部分元素，而不考虑其排列顺序的方式。
对于n个元素中挑选r个元素的组合问题，可以使用生成函数来描述。
设C(n, r)表示从n个元素中挑选r个元素的组合数，那么C(x)的生成函数可以表示为：C(x) = 1 + C(1, 1)x + C(2, 1)x^2 + C(3, 1)x^3 + ...其中，C(k, 1)x^k表示从k个元素中挑选1个元素的系数。
通过C(x)的展开式，可以获取不同挑选元素个数的组合数，从而解决组合问题。
三、生成函数与应用举例生成函数在实际问题中有着广泛的应用，下面以几个典型的例子来说明生成函数的具体应用。
1. 斐波那契数列斐波那契数列是一个非常经典的排列问题，其定义为：F(0) = 0, F(1) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n ≥ 2)。
生成函数及其应用
生成函数及其应用
生成函数是一种常见的数学工具，它可以将一个数列或者函数序列表示成一个函数的形式。
生成函数不仅在组合数学中有广泛的应用，还被广泛应用于物理、统计学、计算机科学等领域。
生成函数的基本定义是将一个数列或函数序列 $a_0, a_1, a_2, cdots$ 表示成一个形式为 $f(x)$ 的函数。
通常情况下，生成函数
可以写成幂级数的形式，即 $f(x) = sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$。
其中，$x$ 是一个实数或者复数。
生成函数的应用非常广泛，其中最重要的应用之一是求解组合计数问题。
在组合数学中，通常需要求解某种组合对象的计数问题，例如排列、组合、集合等问题。
而生成函数可以帮助我们将这些计数问题转化为函数求值问题，进而通过函数的性质来求解原问题。
除了在组合计数问题中的应用，生成函数还被广泛应用于求解递推关系式、求解微分方程、分析算法复杂度等领域。
在物理学中，生成函数也被用来描述统计物理中的一些问题，例如统计热力学、量子场论等。
总之，生成函数是一种非常重要的数学工具，它在多个领域都有着广泛的应用。
掌握生成函数的基本理论和应用，对于深入理解组合数学、物理、计算机科学等领域的问题都有着重要的帮助。
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组合数学知识点总结
组合数学知识点总结组合数学是一门研究离散对象的计数、排列、组合和优化等问题的数学分支。
它在计算机科学、统计学、物理学、化学等众多领域都有着广泛的应用。
下面我们来详细总结一下组合数学的一些重要知识点。
一、基本计数原理1、加法原理如果完成一件事情有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn种不同的方法。
2、乘法原理如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝m1 × m2 × … × mn 种不同的方法。
这两个原理是组合数学中最基本的原理，许多计数问题都可以通过这两个原理来解决。
二、排列与组合1、排列从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的排列数，记为 A(n, m)，其计算公式为：A(n, m) ＝ n! ／（n m)！例如，从 5 个不同的元素中取出 3 个元素进行排列，排列数为 A(5, 3) ＝ 5! ／（5 3)！＝ 602、组合从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的组合数，记为 C(n, m)，其计算公式为：C(n, m) ＝ n! ／ m! （n m)！例如，从 5 个不同的元素中取出 3 个元素的组合数为 C(5, 3) ＝ 5!／ 3! （5 3)！＝ 10组合与排列的区别在于，排列考虑元素的顺序，而组合不考虑元素的顺序。
三、容斥原理容斥原理用于计算多个集合的并集中元素的个数。
设A1, A2, …， An 是有限集合，其元素个数分别为｜A1|，｜A2|，…，｜An|，则它们的并集的元素个数为：｜A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An| ＝∑｜Ai| ∑｜Ai ∩ Aj| ＋∑｜Ai ∩ Aj ∩Ak| … ＋（－1)＾（n 1) ｜A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An|容斥原理在解决包含与排除问题时非常有用。
随机变量的生成函数与特征函数
随机变量的生成函数与特征函数生成函数和特征函数是概率论中描述随机变量的重要工具。
它们可以帮助我们分析随机变量的性质和进行计算。
本文将介绍生成函数和特征函数的定义、性质以及它们的应用。
一、生成函数生成函数是描述离散型随机变量的一种函数。
假设X是一离散随机变量，它的概率质量函数为p(x)，那么X的生成函数定义为：G(t) = E(t^X) = ∑[x∈R] t^x * p(x)其中，E是数学期望运算符，R是X的所有可能取值的集合，t是定义域上的一个复数。
生成函数的主要作用是求解随机变量的各阶距，如一阶、二阶、三阶等矩或原点矩。
假设X的生成函数为G(t)，那么X的一阶矩、二阶矩、三阶矩分别为：E(X) = G'(1)E(X^2) = G''(1)E(X^3) = G'''(1)其中，G'表示G的一阶导数，G''表示G的二阶导数，G'''表示G的三阶导数。
数的性质进行计算。
常见的生成函数包括：普通生成函数、指数型生成函数、拉普拉斯型生成函数等。
二、特征函数特征函数是描述随机变量的一种函数。
对于一随机变量X，它的特征函数定义为：Φ(t) = E(e^(itX)) = ∫[-∞,∞] e^(itx) * p(x) dx其中，E是数学期望运算符，p(x)是X的概率密度函数，t是定义域上的一个实数。
特征函数的主要作用是求解随机变量的分布函数和矩。
通过特征函数，我们可以得到随机变量的概率密度函数为：p(x) = 1/(2π) * ∫[-∞,∞] e^(-itx) * Φ(t) dt其中，Φ(t)是X的特征函数。
特征函数还可以用于求解随机变量的矩。
假设X的特征函数为Φ(t)，那么X的一阶矩、二阶矩、三阶矩分别为：E(X) = Φ'(0) / iE(X^2) = Φ''(0) / i^2E(X^3) = Φ'''(0) / i^3其中，Φ'表示Φ的一阶导数，Φ''表示Φ的二阶导数，Φ'''表示Φ的三阶导数，i是虚数单位。
验证自由组合定律的三种方法
验证自由组合定律的三种方法自由组合定律是组合数学中的重要定理之一，它指出在一组元素中选取若干个元素的方案数等于该组元素中每个元素被选取或不被选取的方案数之和。
这个定理在组合计数中有着广泛的应用，能够帮助我们快速计算出各种组合问题中的方案数。
下面将介绍验证自由组合定律的三种方法，分别是暴力枚举法、递推法和生成函数法。
一、暴力枚举法暴力枚举法是一种朴素的方法，它通过枚举所有可能的情况，来验证自由组合定律的正确性。
具体来说，我们可以将一个集合中的所有元素标记为1或0，表示该元素被选取或不被选取。
然后枚举所有可能的标记方案，计算出每个方案下被选取的元素个数，最终将它们相加，与直接从原集合中选取若干个元素的方案数进行比较，如果相等，则自由组合定律成立。
以下是一个简单的例子：假设有一个集合S={a,b,c,d}，要从中选取2个元素，验证自由组合定律是否成立。
暴力枚举所有可能的标记方案，得到如下表格：| a | b | c | d || - | - | - | - || 1 | 1 | 0 | 0 || 1 | 0 | 1 | 0 || 1 | 0 | 0 | 1 || 0 | 1 | 1 | 0 || 0 | 1 | 0 | 1 || 0 | 0 | 1 | 1 |计算每个方案下被选取的元素个数，得到如下表格：| a | b | c | d | 方案数 || - | - | - | - | ---- || 1 | 1 | 0 | 0 | 2 || 1 | 0 | 1 | 0 | 2 || 1 | 0 | 0 | 1 | 2 || 0 | 1 | 1 | 0 | 2 || 0 | 1 | 0 | 1 | 2 || 0 | 0 | 1 | 1 | 2 |将它们相加，得到方案数为6，与直接从原集合中选取2个元素的方案数相等，因此自由组合定律成立。
二、递推法递推法是一种基于递推关系的方法，它通过推导出元素个数更小的集合的方案数，来计算元素个数更大的集合的方案数。
组合数学中的生成函数与组合恒等式
组合数学中的生成函数与组合恒等式1. 引言在组合数学中，生成函数是一种重要的工具，用于研究组合对象的序列。
生成函数可以将一个序列表示为一个形式幂级数，通过对形式幂级数的运算，可以得到关于序列的各种性质和结论。
本文将介绍生成函数的基本概念、性质以及与组合恒等式之间的关系。
2. 生成函数的定义生成函数是一种将一个序列表示为形式幂级数的方法。
形式幂级数是一种无限多项的级数，其中每一项都包含一个指数和一个系数，并用指数的变化来表示序列中的不同元素。
生成函数的形式为：F(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + ...其中，ai表示序列中第i个元素的系数，x表示自变量。
3. 生成函数的运算生成函数支持多种运算，包括加法、减法、乘法和除法。
这些运算的定义和基本性质可以通过对形式幂级数的系数进行运算得到。
例如，设F(x)和G(x)为两个生成函数，则它们的加法运算定义为：(F + G)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)*x + (a2 + b2)*x^2 + ...其中，ai和bi分别表示序列F和G中第i个元素的系数。
其他运算的定义和性质可以进行类似的推导。
4. 生成函数与组合计数生成函数在组合计数中起到了至关重要的作用。
通过选择合适的生成函数，可以将组合计数问题转化为对生成函数的运算问题，从而求解组合计数问题。
例如，考虑一个由n个元素组成的集合，要求选择其中的k个元素组成一个子集，生成函数的系数表示了从集合中选择k个元素的不同方式数。
5. 组合恒等式与生成函数生成函数与组合恒等式之间存在着密切的联系。
组合恒等式是一类用于计算组合对象数量的等式，它们通常涉及到组合运算、阶乘和整数分割等概念。
通过使用生成函数，可以证明和推导出很多组合恒等式。
同时，通过组合恒等式的运用，也可以得到生成函数的一些重要性质。
总结：本文介绍了组合数学中的生成函数与组合恒等式的基本概念和关系。
组合数学中的生成函数理论
组合数学中的生成函数理论生成函数是组合数学中的重要工具，它在数论、组合数学、离散数学等领域得到广泛应用。
生成函数可以将一个序列转化为一个多项式，通过运算和变换可以得到序列的各种性质和计算方法。
在组合数学中，生成函数理论被广泛用于解决计数问题、组合恒等式、递推关系等。
本文将介绍生成函数理论的基本概念和应用。
一、生成函数的定义和基本性质生成函数是一种特殊类型的函数，它将序列中的每个元素与变量的幂指数相对应。
设有序列 {a0, a1, a2, ...}，其生成函数定义为：G(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ...生成函数可以是普通生成函数或指数生成函数，取决于序列元素的性质。
普通生成函数适用于有限序列，而指数生成函数适用于无限序列。
生成函数具有以下基本性质：1. 加法性：若序列 {a_n} 和 {b_n} 的生成函数分别为 G(x) 和 F(x)，则它们的和的生成函数为 G(x) + F(x)。
2. 乘法性：若序列 {a_n} 和 {b_n} 的生成函数分别为 G(x) 和 F(x)，则它们的乘积的生成函数为 G(x) * F(x)。
3. 幂次性：若序列 {a_n} 的生成函数为 G(x)，则 a_k 的生成函数为[G(x)]^k。
二、生成函数的应用生成函数理论在组合数学中有广泛的应用，以下是几个典型的应用例子：1. 计数问题：生成函数可以用于计算集合中元素的个数。
例如，设有一堆硬币，其中有若干个1元硬币和2元硬币，求总金额为n元的组合个数。
我们可以设定序列 {c_n} 表示总金额为n元的组合个数，得到其生成函数C(x)。
通过对序列的运算和变换，可以得到C(x) 的表达式，进而计算出总金额为n元的组合个数。
2. 组合恒等式：生成函数可以用于证明组合恒等式。
通过构造适当的生成函数，并利用生成函数的运算性质，可以证明一些看似复杂的组合恒等式。
这为组合数学的证明提供了简洁且直观的方法。
3. 递推关系：生成函数可以用于求解递推关系。
生成函数自动计算
生成函数自动计算生成函数是数学中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
生成函数可以将一个数列转化为一个函数，从而简化数列的计算和分析过程。
本文将介绍生成函数的定义、性质和应用，并举例说明如何利用生成函数自动计算数列。
一、生成函数的定义生成函数是一个形如$G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的函数，其中$a_n$是数列$(a_0,a_1,a_2,\ldots)$的通项。
生成函数的主变量是$x$，它表示数列中每一项的权重。
通过生成函数，我们可以将数列中的每一项与$x^n$相乘后再求和，从而得到一个函数。
生成函数的常见形式有普通生成函数、指数生成函数和母函数等。
二、生成函数的性质生成函数具有许多重要的性质，其中一些性质如下：1. 生成函数的收敛半径是一个重要的性质，它决定了生成函数的收敛范围。
2. 生成函数的导数可以用来计算原数列的各阶导数，进而得到数列的各种性质。
3. 生成函数的乘法运算可以表示数列的卷积运算，进而可以用于求解递推关系式。
4. 生成函数的逆变换可以将函数转化为数列，从而实现从生成函数到数列的转换。
三、生成函数的应用生成函数在组合数学、离散数学、概率论等领域中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：1. 组合计数：生成函数可以用来计算组合数列的各种性质，如二项式系数、排列组合数、多项式系数等。
2. 递推关系：通过生成函数的乘法运算，我们可以将递推关系转化为代数方程，从而求解递推关系的通项公式。
3. 概率分布：生成函数在概率论中有广泛的应用，可以用来计算离散随机变量的期望、方差、生成函数等。
4. 组合恒等式：生成函数可以用来证明和推导各种组合恒等式，如二项式定理、斯特林数等。
四、生成函数的自动计算生成函数的自动计算是利用计算机程序来实现生成函数的计算和分析。
通过编写相应的算法和程序，我们可以快速地得到生成函数的各种性质和计算结果。
生成函数的自动计算在数学研究、工程应用和科学研究中都有着重要的作用。
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生成函数在组合计数中的应用【摘要】生成函数即母函数，是组合数学中尤其是计数方面的一个重要理论和工具。
最早提出母函数的人是法国数学家LaplaceP.S.在其1812年出版的《概率的分析理论》中明确提出。
生成函数有普通型生成函数和指数型生成函数两种，其中普通型用的比较多。
生成函数的应用简单来说在于研究未知（通项）数列规律，用这种方法在给出递推式的情况下求出数列的通项，生成函数是推导Fibonacci数列的通项公式方法之一。
另外生成函数也广泛应用于编程与算法设计、分析上，运用这种数学方法往往对程序效率与速度有很大改进生成函数在组合问题中的应用既灵活又具有一定的广泛性，掌握生成函数的构造方法可以帮助学生提高其数学思维能力及解决实际问题的能力，文章总结了生成函数在组合问题的几种常见用法。
【关键词】组合问题递推关系拆分【前言】利用生成函数可以说是研究组合问题的一种最主要的常用的方法，生成函数的应用也是数学中“以退为进”思想的典型代表。
生成函数这个名字看上去有点神秘，但其实它就是将一个数列转化成一个函数的方法。
其基本思想为：为了获得一个序列{:k≥0}={……}的有关知识，我们引用一个幂级数g(x)==……来整体表示这个序列，即g(x)为序列{:k≥0}的生成函数。
这样，一个序列和它的生成函数一一对应，给了序列便得知它的生成函数；反之，求得生成函数序列也随之而定，我们还可以通过对函数的运算和分析得到这个序列的很多性质。
本文试图通过一些实例谈一谈生成函数在组合上的几种应用。
1. 利用生成函数证明组合恒等式组合恒等式的证明技巧性很强，解题方法独特，其中利用构造生成函数，比较等式两端对应项的系数，是证明组合恒等式的一种非常有效的方法。
求证：2+3+4+…+n=可以看出，该组合恒等式左端比较复杂，不太可能利用组合公式去证明，观察后发现等式左端各项规律性较强。
通过分析，设法将等式左端看作是某一函数中确定项的系数，由为中项的系数，所以我们构造生成函数：fn(x)=(1+x)+2+…+n (x≠-1)fn(x)中的系数即为2+3+4+…+n .同时,利用”错位相减法”易知:fn(x)=+.比较的系数即得所证结果从上面可以看出，根据题意，灵活地引入生成函数是证明组合恒等式的关键所在。
2. 生成函数在递推关系上的应用递推关系是计算中的一个强有力工具，而递推关系的求解一般比较困难．利用生成函数求解递推关系则是一种主要的、行之有效的方法。
求n位十进制数中出现偶数个5的数的个数。
令= n位十进制数中出现偶数个5的数的个数，=n位十进制数中出现奇数个5的数的个数。
因此有关系: 其中则，此关系为关于序列｛｝的递推关系，求解此递推关系是解决本问题的难点。
我们可以考虑引进序列｛｝的生成函数A(x)．即：A(x)= ，利用错位相加减的方法，即：A(x)=则(1-8x)A(x)=8+9x+9= ,A(x)=再将A(x)展开成幂级数的形式：A(x)=(=因此递推关系的求解主要是利用递推关系求得生成函数的一种形式算法，生成函数确定了，相应的递推关系对应的结果就确定了，这样的例子还有很多，象着名的Hanoi塔问题，Fibonacci数列都是典型的利用生成函数解决递推关系的例子3. 利用生成函数进行整数的拆分组合数学中有很多实际问题都可以理解为将某一(些)整数按照一定条件进行拆分，而求所有拆分的种类或方法，利用生成函数可以简单有效地解决这类问题中的某些问题求方程满足X1+X2+X3+X4=20满足1≤ x1 ≤6，0≤ x 2 ≤ 7，4 ≤ x3 ≤8，2≤ x4≤6的整数解的个数。
此问题仍可看成是拆分数的问题，把20拆分成满足条件的4个整数和的方法数问题，根据x所需条件，引入生成函数：g(x)中的系数即为所求的满足条件的整数解的个数。
可以解得=96即为所求4. 生成函数在组合计算上的应用生成函数的应用确实很广泛，利用生成函数还可以解决在排列组合中有关排法种数的问题:有红球两只，白球、黄球各一只，试求有多少种不同的组合方案。
此问题不能看成是简单的组合问题，也不是可重复元素的组合数问题，若用r，w，y分别代表红球、白球、黄球，则不同的组合方案可有下面的式子给出:此结果可以看出,除一个球也不取的情况外,有:(a)取一个球的组合数为3，即分别取红、白、黄三种；(b)取两个球的组合数为4，即两个红的、一红一黄、一红一白、一黄一自；(c)取三个球的组合数为3，即两红一黄、二红一白、一红一白一黄；(d)取四个球的组合数为1，即两红一黄一白。
若此问题只求不同的方案种数，则可直接利用生成函数。
设取r个球的组合数为C r (o≤r≤4)，则{C r}的生成函数为：G(x) = (1+x +x2 )(1 + x)2= 1+3x十4x2十3x3 +x4。
共有1+3+4+3+1 =12种组合方式。
设有n个物件，并设n ( r )是由n个不同物件中可任意重复地取r个物件生成函数的组合数。
这个组合问题的生成函数即是「x r之系数等于n ( r )」之生成函数。
对一个物件来说，我们可以不选取，选取一次，选取二次等等，其方法可用式子表示。
对第二个，第三个等物件也有同样作法。
故其生成函数是我们必须将它写成标准形式。
因为故我们得令n ( r )是由n个不同物件中可任意重复地取r个，并在每一选取中，每个物件必须至少包含一次的组合数。
数列{n( r )}的生成函数是故得。
显然如果r<n，本问题无解。
简单推广上述问题，若在每一选取中每个物件必须至少选取q次，则一般排列组合问题可以归纳成将球放入盒中的问题。
其中可将球与盒子看成可区分的或不可区分的，而每一盒子又可被允许放最多一个球，或超过一个球而产生各种情况。
组合问题可看成将不可区分的球放入可区分的盒中之问题。
a的问题相当于要求出将r 个相同的球放入n个不同盒中之方法个数，其中每一盒必须至少放一个球。
放球入盒的各种情况可列表如下：其中n或r表示盒子的个数，或球的个数。
下面我们将利用生成函数的方法讨论这四类问题。
设将相同的球放置于n个不同盒中，其中每一盒至少放q个球，并至多放q + z -1个球。
此问题之生成函数是使问题具体些。
设有四人掷骰，每人各掷一次，问当所得点数之和为17 时共有多少种可能方式。
四人可看作四个相异的盒子，17 点可看作17 个相同的球。
这问题是当n =4 , r =17 , q =1 , z =6之特别情况。
故答案为展开式中x13项之系数，即共104种。
上面的例子虽然很不全面，但我们也可以看出，利用生成函数是解决组合问题的非常有效的方法，但在具体问题中要注意具体问题具体分析，多研究，多体会，只有这样，才能真正掌握生成函数应用的技巧，做到事半功倍。
作为本文最后的一个例，我们利用组合问题与其生成函数之对应关系证明下面著名的Euler 恒等式：其中，首先我们要有下面结果：设n是一正整数，令E ( n )表示将n分解成偶数个部份均不等之分解个数；F ( n )表示将n分解成奇数个部份均不等之分解个数，则我们有上式是利用Ferrers 图示所产生的对应来证明。
设某一n之部份相异之分解的图示有如下图（我们用23=7+6+5+3+2为例）：令b记作底线上方框个数，d记作45°斜线上方框个数。
这里有三种情况：如果b<d，则底线上b个方框可移至斜线上端如右图所示。
这样n之分解中部份个数则减少了一个，且各部份仍保持相异。
如果b = d，则底线方框仍可移至斜线上端，唯一例外是斜线和底线相交如下面左图：在这情况下，这分解有形式如果b>d，则斜线上方框可移至底部而令分解之部份个增加一个并各部份仍保持相异，唯一例外是斜线和底线相交如上面右图且b = d +1在这情况下，这分解有形式当时，上面对应使E ( n )与F ( n )相等；当时，则k是偶数使E ( n )比F ( n )多一个；k是奇数使E ( n )比F ( n )少一个。
回到我们上面提到之Euler 恒等式。
它的左边是一无穷乘积，恰是数列{E( n )-F ( n )}的生成函数.Generating function in the application of combinedcount【Abstract】Generating function that is generating function, is a combination of mathematics, especially in terms of count is an important theory and tools. Generating function was first proposed by French mathematician who is LaplaceP.S. In his 1812 book "probability theory" clearly. Common type of generating function and the exponential generating function of two generating functions, which are more common type used. Generating function is simply the application of the unknown (general term) series of laws given by this method in the case of recursive type the general term of sequence obtained, generating functions are derived Fibonacci series one of thegeneral formula . Another generating function is also widely used in programming and algorithm design, analysis, mathematical methods often use this procedure considerably improved the efficiency and speedGenerating function in the application of combinatorial problems in flexible and has a certain universality, to master the construction of generating function method can help students improve their mathematical thinking and the ability to solve practical problems, the article summarizes the problem of generating function in the combination of several common usag e.【Keywords】Combinatorial ; generating functions【参考文献】《组合学与图论》作者：林翠琴出版社：清华大学出版社 2009年4月书号:9787302192220引自:第三章生成函数和递推公式3.1.1生成函数的一般概念3.1.3生成函数的应用《离散数学》作者：屈婉玲、耿素云、张立昂出版社：清华大学出版社2008年出版书号:978-04-023125-0引自:第十三章递推方程与生成函数。