组合数学课件(第七章 生成函数)
习题
第四章 二项式系数
4.1 二项式定理 4.2组合恒等式 4.3非降路径问题 4.4牛顿二项式定理 4.5多项式定理 4.6 基本组合计数的应用 本章小结
习题
第五章 包含排斥原理
5.1 包含排斥原理 5.2 多重集的r-组合数 5.3错位排列 5.4 有限制条件的排列问题 5.5有禁区的排列问题 本章小结
组合数学课件
制作讲授：王继顺
B
1
目录（1）
目录
第1章 什么是组合数学 1.1引例 1.2组合数学研究对象、内容和方法 第2章 鸽巢原理 2.1 鸽巢原理：简单形式 2.2 鸽巢原理：加强形式 2.3 Ramsey定理 2.4 鸽巢原理与Ramsey定理的应用 本章小结
习题
第3章 排列与组合 3.1 两个基本的计数原理 3.2 集合的排列与组合 3.3 多重集的排列与组合 本章小结
个
证明： Qb0 b1 ...bl1 0
推
bl a0,bl1 a1,...,bk akl,...
论
B(x)b0 b1x...bl1xl1 blxl bl1xl1 ...
00...0a0xl a1xl1 ...
xl(a0 a1xa2x2 ...)
xl A(x)
B
20
§§77.2.2生生成函成数函运算数推的论基2 本运算
特别地：若 =1，则序列(1,1,…,1,…)的指数生成函数为ex 。
B
14
§§7.71.1指数生生成成函函数数的例8基本概念
7.1.2 指数生成函数
解：由定义7.2和二例1×项84、式×求定7×序理…列，×(有1,(31n×+41,),1…×)4的×指7,数…生, 成函
例
fe ( x)
题
1
(1 4)
的生成函数。
B
9
§7.1§生7.1成生函成数函的数基例4本概念
7.1.1 生成函数
例题
例4、求序列(0, 1×2×3, 2×3×4,…, n(n+1)(n+2),…)的生成函数。
解：由牛顿二项式定理的推论1.10.4，有
1
xn1 x n0将上式两源自同时微分两次得2 (1 x)3
n(n 1)xn2
a0 a1 ... an , ...)的普通母函数。
B
18
解 ： 先 求 序 列 ( 0 2 , 1 2 , §..., r42§.,2.7...)2生的生普成成通函函母数数运函的算数例基。2 本运算
由 牛 顿 二 项 式 定 理 知 (1 - x ) 1 r x i ,
例将
上题式
...,
n(n
1)(n
2),
...)
的普通母函数。
B
10
§7.1§7生.1 成指数函生数成函的数基概本念 概念
7.1.2 指数生成函数
定义 7.2
给定一无穷序列(a0,a1,…an,…)（简记为{an}），称函
数
fe(x) ai
i0
xi i!
为序列{an}的指数生成函数。
注： fe(x)也是形式幂函数。 经常可结合以下公式运算：
4.1.1
例 题
生成k 函1 1数2 1 2 1 1 2 2 ... 1 2 k 1
1+ 1+
kk11例C4(4k3,、21),证…32明k,..C.(k1(2-(!42nxk,n)-)1,/1…2k)是!)的x序k 生列成(C函(0数,0)。,
C(2(,1)4,
x
)
k
1 2k k !1 3 ... (2k 1) x k
n2
将上式两端再微分得
6 (1 x)4
n(n 1)(n 2)xn3
n3
两边同乘以x得
6x
n(n 1)(n 2)xn
(1 x)4 n0
0 1 2 3x 2 3 4x2 ... n(n 1)(n 2)xn ...
因此
f
(
x)
(1
6x x)4
是序列(0，1
2
3，2
3
4,
0 01 2x4 2x2...2nnxn...
(14x)12
B
13
§7§.17.生1 成指数函生数成的函基数例本7 概念
7.1.2 指数生成函数
例题
例7、求序列{1,α,α2,…,αn,…}的指数生成函 数fe(x)。其中α是实数。
解：由定义7.2，有
fe (x ) 1 1 x !2x 2 2 ! ...nx n n ! ... e x
令B( x) 1 (1 x) ,根据上述定理有
c0 a0 1 a0 c1 a0 1 a1 1 a0 a1 ......
故
cn A( x
a0 1 a1 ) (1 x) A(
1 x
... ) B(
xa)n是 1序列a0(
a1 a0 , a
... an 0 a1 , ...,
例题
例5、设n是整数，求序列(p(n,0), p(n,1), …, p(n,n))的指数生成函数fe(x)。
解：由定义7.2及公式P(n,r)=r!C(n,r),以及例1的
结论，有
fe(x)
p(n,0)p(n,1) x...p(n,n) 1!
xn n!
n 0
n 1
x...
n n
xn
(1x)n
fe(sx) an
n0
n!
将上式两边同乘以e-s并从0到积分得
由分部0 e 积 s 分f e 法( s x 有) d s 0 n e 0 se s ns da sn s n n nx ! !n d s n 0 a n x n n !0 e s s n d s
故
0
0 esfe(sx)dsanxnf(x)
r1 r
(r 2)(r 1)r (r 1)r(r 1) r(r 1)(2r 1)
3!
3!
6
故 c r
r
i2
i1
r(r
1)(2r 1)
6
B
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§7§.27.2生生成成函函数数运的算推基论本1 运算
六
推论7.2.1：若 b k a 0 k l k k l l， 则 B (x ) x lA (x )
解：由定义7.1及二项式定理的推论3.10.2有
f(x)n01n 1xn21x2...(1)k
nk1 k
xk...
= (1)k
nk 1 k
xk
k0
=
knxk (1x)n
k0
B
8
证(1明 4：x )由1牛2 顿1二§项 4式.1定1k 生2§理(成7有.14函x生)数k 成的函基数例本3概念
k 1
k !k !
1 2 4 ... (2k ) 1 3 ... (2k 1) x k
k 1
k !k !
1 (2k )! x k 1
k1 k !k !
k 1
2k k
xk
0 0
2 1
x
4 2
x 2 ...
2k k
x k ...
由定义知，(1-4x)-1/2是序列(C(0,0), C(2,1), C(4,2), … , C(2n,n),…)
两
端
对
x
微
例2、求和 分 再 乘 以 x 得i
i 0i 的2 值。 （x0 1 x ） 2
ix i
i0
再 将 上 式 两 端 对 x 微 分 再 乘 以 x 得 x (1 x（) 1 x）3 i 2 x i
i0
故 x (1 x（) 1 x）3是 序 列 ( 0 2 , 1 2 , ..., r 2 , ...)的 普 通 母 函 数 。
B
12
§§77.1.1指生数生成成函函数数的例6基本概念
7.1.2 指数生成函数
例题
例6、求序列(p(0,0), p(2,1), p(4,2),…, p(2n,n),…)的指数生成函数fe(x)。
解：由定义7.2及公式P(n,r)=r!C(n,r)，以及例3的结论，有
fe(x)p(0,0)p(2,1)1x!p(4,2)x 22 !...p(2n,n)x nn !...
B
17
例题
§7.§2 7生.2 成生函成函数数的运基算本例运1 算
例1、设A(x)是序列{an}的生成函数，则 A(x)/(1-x)是序列{a0,a0+a1,…,a0+a1 +…+an,…} 的生成函数。
证明：由牛顿二项式定理知
1 1 x x2 ... xn ... 1- x 故 1 (1 x)是序列(1,1, ...,1, ...)的普通母函数。
x数。(1 4 7)
1!
x2 2!
...
1 4 7 ... (3n
1)
xn n!
...
1 4 7 ... (3n 1) x n
n0
n!
1
4 3
7 3
...
3n 1 3
3n xn
n1
n!
1
4 3 4 3 1 ... 4 3 n 1 (3 x)n
习题
B
2
目录（2）
第六章 递推关系 6.1 Fibonacci数列 6.2 常系数线性齐次递推关系的求解 6.3 常系数线性非齐次递推关系的求 解 6.4 用迭代和归纳法求解递推关系 本章小结
习题 第七章 生成函数 7.1生成函数的定义和性质 7.2多重集的r-组合数 7.3正整数的划分 7.4指数生成函数与多重集的排列问 题 7.5 Catalan数和Stiring数 本章小结
故 c r
r i1
i
2的
普
第四章 二项式系数
4.1 二项式定理 4.2组合恒等式 4.3非降路径问题 4.4牛顿二项式定理 4.5多项式定理 4.6 基本组合计数的应用 本章小结
习题
第五章 包含排斥原理
5.1 包含排斥原理 5.2 多重集的r-组合数 5.3错位排列 5.4 有限制条件的排列问题 5.5有禁区的排列问题 本章小结
组合数学课件
制作讲授：王继顺
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1
目录（1）
目录
第1章 什么是组合数学 1.1引例 1.2组合数学研究对象、内容和方法 第2章 鸽巢原理 2.1 鸽巢原理：简单形式 2.2 鸽巢原理：加强形式 2.3 Ramsey定理 2.4 鸽巢原理与Ramsey定理的应用 本章小结
习题
第3章 排列与组合 3.1 两个基本的计数原理 3.2 集合的排列与组合 3.3 多重集的排列与组合 本章小结
个
证明： Qb0 b1 ...bl1 0
推
bl a0,bl1 a1,...,bk akl,...
论
B(x)b0 b1x...bl1xl1 blxl bl1xl1 ...
00...0a0xl a1xl1 ...
xl(a0 a1xa2x2 ...)
xl A(x)
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§§77.2.2生生成函成数函运算数推的论基2 本运算
特别地：若 =1，则序列(1,1,…,1,…)的指数生成函数为ex 。
B
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§§7.71.1指数生生成成函函数数的例8基本概念
7.1.2 指数生成函数
解：由定义7.2和二例1×项84、式×求定7×序理…列，×(有1,(31n×+41,),1…×)4的×指7,数…生, 成函
例
fe ( x)
题
1
(1 4)
的生成函数。
B
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§7.1§生7.1成生函成数函的数基例4本概念
7.1.1 生成函数
例题
例4、求序列(0, 1×2×3, 2×3×4,…, n(n+1)(n+2),…)的生成函数。
解：由牛顿二项式定理的推论1.10.4，有
1
xn1 x n0将上式两源自同时微分两次得2 (1 x)3
n(n 1)xn2
a0 a1 ... an , ...)的普通母函数。
B
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解 ： 先 求 序 列 ( 0 2 , 1 2 , §..., r42§.,2.7...)2生的生普成成通函函母数数运函的算数例基。2 本运算
由 牛 顿 二 项 式 定 理 知 (1 - x ) 1 r x i ,
例将
上题式
...,
n(n
1)(n
2),
...)
的普通母函数。
B
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§7.1§7生.1 成指数函生数成函的数基概本念 概念
7.1.2 指数生成函数
定义 7.2
给定一无穷序列(a0,a1,…an,…)（简记为{an}），称函
数
fe(x) ai
i0
xi i!
为序列{an}的指数生成函数。
注： fe(x)也是形式幂函数。 经常可结合以下公式运算：
4.1.1
例 题
生成k 函1 1数2 1 2 1 1 2 2 ... 1 2 k 1
1+ 1+
kk11例C4(4k3,、21),证…32明k,..C.(k1(2-(!42nxk,n)-)1,/1…2k)是!)的x序k 生列成(C函(0数,0)。,
C(2(,1)4,
x
)
k
1 2k k !1 3 ... (2k 1) x k
n2
将上式两端再微分得
6 (1 x)4
n(n 1)(n 2)xn3
n3
两边同乘以x得
6x
n(n 1)(n 2)xn
(1 x)4 n0
0 1 2 3x 2 3 4x2 ... n(n 1)(n 2)xn ...
因此
f
(
x)
(1
6x x)4
是序列(0，1
2
3，2
3
4,
0 01 2x4 2x2...2nnxn...
(14x)12
B
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§7§.17.生1 成指数函生数成的函基数例本7 概念
7.1.2 指数生成函数
例题
例7、求序列{1,α,α2,…,αn,…}的指数生成函 数fe(x)。其中α是实数。
解：由定义7.2，有
fe (x ) 1 1 x !2x 2 2 ! ...nx n n ! ... e x
令B( x) 1 (1 x) ,根据上述定理有
c0 a0 1 a0 c1 a0 1 a1 1 a0 a1 ......
故
cn A( x
a0 1 a1 ) (1 x) A(
1 x
... ) B(
xa)n是 1序列a0(
a1 a0 , a
... an 0 a1 , ...,
例题
例5、设n是整数，求序列(p(n,0), p(n,1), …, p(n,n))的指数生成函数fe(x)。
解：由定义7.2及公式P(n,r)=r!C(n,r),以及例1的
结论，有
fe(x)
p(n,0)p(n,1) x...p(n,n) 1!
xn n!
n 0
n 1
x...
n n
xn
(1x)n
fe(sx) an
n0
n!
将上式两边同乘以e-s并从0到积分得
由分部0 e 积 s 分f e 法( s x 有) d s 0 n e 0 se s ns da sn s n n nx ! !n d s n 0 a n x n n !0 e s s n d s
故
0
0 esfe(sx)dsanxnf(x)
r1 r
(r 2)(r 1)r (r 1)r(r 1) r(r 1)(2r 1)
3!
3!
6
故 c r
r
i2
i1
r(r
1)(2r 1)
6
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§7§.27.2生生成成函函数数运的算推基论本1 运算
六
推论7.2.1：若 b k a 0 k l k k l l， 则 B (x ) x lA (x )
解：由定义7.1及二项式定理的推论3.10.2有
f(x)n01n 1xn21x2...(1)k
nk1 k
xk...
= (1)k
nk 1 k
xk
k0
=
knxk (1x)n
k0
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证(1明 4：x )由1牛2 顿1二§项 4式.1定1k 生2§理(成7有.14函x生)数k 成的函基数例本3概念
k 1
k !k !
1 2 4 ... (2k ) 1 3 ... (2k 1) x k
k 1
k !k !
1 (2k )! x k 1
k1 k !k !
k 1
2k k
xk
0 0
2 1
x
4 2
x 2 ...
2k k
x k ...
由定义知，(1-4x)-1/2是序列(C(0,0), C(2,1), C(4,2), … , C(2n,n),…)
两
端
对
x
微
例2、求和 分 再 乘 以 x 得i
i 0i 的2 值。 （x0 1 x ） 2
ix i
i0
再 将 上 式 两 端 对 x 微 分 再 乘 以 x 得 x (1 x（) 1 x）3 i 2 x i
i0
故 x (1 x（) 1 x）3是 序 列 ( 0 2 , 1 2 , ..., r 2 , ...)的 普 通 母 函 数 。
B
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§§77.1.1指生数生成成函函数数的例6基本概念
7.1.2 指数生成函数
例题
例6、求序列(p(0,0), p(2,1), p(4,2),…, p(2n,n),…)的指数生成函数fe(x)。
解：由定义7.2及公式P(n,r)=r!C(n,r)，以及例3的结论，有
fe(x)p(0,0)p(2,1)1x!p(4,2)x 22 !...p(2n,n)x nn !...
B
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例题
§7.§2 7生.2 成生函成函数数的运基算本例运1 算
例1、设A(x)是序列{an}的生成函数，则 A(x)/(1-x)是序列{a0,a0+a1,…,a0+a1 +…+an,…} 的生成函数。
证明：由牛顿二项式定理知
1 1 x x2 ... xn ... 1- x 故 1 (1 x)是序列(1,1, ...,1, ...)的普通母函数。
x数。(1 4 7)
1!
x2 2!
...
1 4 7 ... (3n
1)
xn n!
...
1 4 7 ... (3n 1) x n
n0
n!
1
4 3
7 3
...
3n 1 3
3n xn
n1
n!
1
4 3 4 3 1 ... 4 3 n 1 (3 x)n
习题
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目录（2）
第六章 递推关系 6.1 Fibonacci数列 6.2 常系数线性齐次递推关系的求解 6.3 常系数线性非齐次递推关系的求 解 6.4 用迭代和归纳法求解递推关系 本章小结
习题 第七章 生成函数 7.1生成函数的定义和性质 7.2多重集的r-组合数 7.3正整数的划分 7.4指数生成函数与多重集的排列问 题 7.5 Catalan数和Stiring数 本章小结
故 c r
r i1
i
2的
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组合数学课件(第七章 生成函数)
• • • • • 7.1生成函数的定义和性质 7.2多重集的r-组合数 7.3正整数的划分 7.4指数生成函数与多重集的排列问题 7.5Catalan数和Stiring
§7.1 生成函数概念
§4.1 生成函数的基本概念
4.1.1 生成函数
定义 4.1
给定一无穷序列(a0,a1,…an,…)(简记为{an})，称函
e
1! 2! 1 4 7 ... (3n 1) n x n! n0 4 7 ... 3n 1 3 3 3n x n 1 3 n! n 1 4 4 1 ... 4 n 1 3 3 3 1 ( 3 x )n n! n 1 4 1 3 ( 3 x )n n n 1
§7.1 生成函数的基本概念 7.1.2 指数生成函数
定义 7.2 给定一无穷序列(a0,a1,…an,…)（简记为{an}），称函 xi 数 f e ( x ) ai 为序列{an}的指数生成函数。 i! i 0 注： fe(x)也是形式幂函数。 经常可结合以下公式运算： 2 n x x x e x 1 2 ... n ... 1! 2! n! n x x2 x n x e 1 ... ( 1) ... 1! 2! n! x x3 x 2 n 1 e x e x sin x ... ... 1! 3! (2n 1)! 2
********************** 课程总结
第7章 生成函数
本章重点介绍生成函数（生成函数、指数生成函 数）的基本概念及其在排列组合中的应用 ： 生成函数的基本概念 生成函数的基本运算 生成函数在排列、组合中的应用 整数拆分 生成函数在组合恒等式中的应用
§7.1 生成函数概念
§4.1 生成函数的基本概念
4.1.1 生成函数
定义 4.1
给定一无穷序列(a0,a1,…an,…)(简记为{an})，称函
e
1! 2! 1 4 7 ... (3n 1) n x n! n0 4 7 ... 3n 1 3 3 3n x n 1 3 n! n 1 4 4 1 ... 4 n 1 3 3 3 1 ( 3 x )n n! n 1 4 1 3 ( 3 x )n n n 1
§7.1 生成函数的基本概念 7.1.2 指数生成函数
定义 7.2 给定一无穷序列(a0,a1,…an,…)（简记为{an}），称函 xi 数 f e ( x ) ai 为序列{an}的指数生成函数。 i! i 0 注： fe(x)也是形式幂函数。 经常可结合以下公式运算： 2 n x x x e x 1 2 ... n ... 1! 2! n! n x x2 x n x e 1 ... ( 1) ... 1! 2! n! x x3 x 2 n 1 e x e x sin x ... ... 1! 3! (2n 1)! 2
********************** 课程总结
第7章 生成函数
本章重点介绍生成函数（生成函数、指数生成函 数）的基本概念及其在排列组合中的应用 ： 生成函数的基本概念 生成函数的基本运算 生成函数在排列、组合中的应用 整数拆分 生成函数在组合恒等式中的应用
组合数学课件(第七章 生成函数)
§ 7.1 生成函数例6 § 7.1指数 生成函数的基本概念
7.1.2 指数生成函数
例 题
例6、求序列(p(0,0), p(2,1), p(4,2),…, p(2n,n),…)的指数生成函数fe(x)。
解：由定义7.2及公式P(n,r)=r!C(n,r)，以及例3的结论，有 x x2 xn f e ( x ) p(0, 0) p(2,1) p(4, 2) ... p(2n, n) ... 1! 2! n! 0 2 x 4 x 2 ... 2n x n ... 0 1 2 n (1 4 x )1 2
§7.1 指数生成函数例7 §7.1 生成函数的基本概念
7.1.2 指数生成函数
例 题
例7、求序列{1,α,α2,…,αn,…}的指数生成函 数fe(x)。其中α是实数。
2 n x x x fe ( x ) 1 2 ... n ... e x 1! 2! n!
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制作讲授：王继顺
目录（1）
目
第1章 什么是组合数学 1.1引例 1.2组合数学研究对象、内容和方法 第2章 鸽巢原理 2.1 鸽巢原理：简单形式 2.2 鸽巢原理：加强形式 2.3 Ramsey定理 2.4 鸽巢原理与Ramsey定理的应用 本章小结 习题 第3章 排列与组合 3.1 两个基本的计数原理 3.2 集合的排列与组合 3.3 多重集的排列与组合 本章小结 习题
例 题
例2、求序列(C(n-1,0), -C(n,1), C(n+1,2), …, (1)kC(n+k-1,k), … )的生成函数。
§7.1 生成函数例2
解：由定义7.1及二项式定理的推论3.10.2有
[数学]组合数学第7章[递推关系与生成函数]
![[数学]组合数学第7章[递推关系与生成函数]](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/da793af0c1c708a1284a4443.webp)
递推（递归）关系是计数的一个强有力 的工具，特别是在做算法分析时是必需的， 有大量的递归算法的时间特性体现出递推 关系。递推关系的求解的主要方法包括递 推、母函数、特征方程等方法。
递推关系与求解
§7.1 递推关系与递推求解
[例1]确定平面一般位置上的n个互相交叠的 圆所形成的区域数。所谓互相交叠是指每 两个圆相交在不同的两个点上。
q a1q
n k
n 1
a2 q
n2
... ak q
nk
0
q a1q
k 1
a2 q
k 2
... ak 0
即第一个结论成立。
特征方程解法
由于qi互异，qin都是递推关系的不同解，故 n n n hn c1q1 c2 q2 ... ck qk 也是递推关系的解。对任意的初始值，有 n 0， c1 c2 ... ck b0 n 1， c1q1 c2 q2 ... ck qk b1 2 2 2 n 2， c1q1 c2 q2 ... ck qk b2
特征方程解法
2. 非齐次递推关系 定义1中的bn非零时，形成的非齐次递推关 系的求解可分为几步： (1)求齐次通解； (2)求非齐次关系的一个特解； (3)通解与特解结合。 但求特解没有一般的公式，一些特殊形式 下可以进行如下尝试。
特征方程解法
(1)若bn是n的k次多项式，hn为特解，可尝试： a)hn=r（常数），若bn为d（常数） b)hn=rn+s，若bn=dn+c c)hn=rn2+sn+t，若bn=fn2+dn+c (2)若bn是指数形式，则尝试 hn=多项式dn，若bn=dn
组合数学(第7章7.6)
其中，0m1n1, 0m2n2,…, 0mknk。
令n=m1+m2+…+mk, 则上式可写成：
n! xn m1!m2! mk ! n!
因此，7-57式中xn/n!的系数是： n! m1!m2! mk ! 上式对满足n=m1+m2+…+mk和0m1n1, 0m2n2,…, 0mknk所有整数m1,m2,…,mk求和。
作业
7.8习题 第4版：37，40，42
nk n1 2 2 x x x x g (e) ( x) (1 x ) (1 x ) 2! n1! 2! nk !
那么，每项形式为：
m1 m2 mk x x x x m1! m2! mK ! m1!m2!mk !
m1 m2 mK
x2 x4 f1 ( x) 1 ... 2! 4!
对应2的因子为：
x3 x 4 x5 f 2 ( x) ... 3! 4! 5!
对应3的因子为：
x 2 x3 x 4 f 3 ( x) 1 x 2! 3! 4!
那么序列的指数生成函数是：
g (e) ( x) f1 ( x) f 2 ( x) f3 ( x)
1 2n 2 hn n n 1
证明：（1）求递推关系。 验证n=1和n=2时，递推关系成立。 令n3, 考虑n+1条边的凸多边形区域K。 选取K的一条边称为基边，对每一种分法，基 边所在的三角形区域将K分成两个部分K1,和K2， 其中K1有k+1条边，而K2有n-k+1条边. 因此，包 含这个三角形的分法有hkhnk种。 那么，包含该基边的每一个不同三角形确定了 hkhnk种不同的分法。 n 1 共有 K2 K1 hn= hk hnk
组合数学(18)
1 j G( x) x m ( 1 x ) j 0
m
m k 1 其组合数ck k 推论2 无0≤ki≤ri, i=1, 2, …, m限制，由书中(见
为G(x)展开式中xk的系数
P44定理3.5.1) 即知：
m k 1 ck k
通项hn为： hn = n+1, 仅仅通过代数运算得到。 25
例：确定方程： e1+e2+…+ek＝n的非负奇整数 解 e1,e2,…,ek的个数hn的生成函数。
取8,9。
解:设不定方程
k
i 1
m
i
k 的解组数目为 ck ，本例
中m=4, k=20。注意到对ki(i=1,2,3,4)的限制，序 列{ck}对应的生成函数为: G(x)=(1+x2+x4)(x+x3+x5)(x6+x7)(x8+x9)
18
G(x)=(1+x2+x4)(x+x3+x5)(x6+x7)(x8+x9) = (1+x2+x4) (1+x2+x4)x(1+x)x6(1+x)x8
12
推论 3 设S={∞·e1, ∞·e2, …, ∞·em}，则S的每 个元素至少取一次的 k( 无限 ) 可重复组合数
ck(k≥m)对应序列{ck}的生成函数为： m x G( x ) ( x j )m m ( 1 x ) j 1 m 1 其组合数ck为G(x)展开式中xk的系数 。 k 1 这是由于:
中取出k个元素的组合数ck对应序列{ck}的生成
m
m k 1 其组合数ck k 推论2 无0≤ki≤ri, i=1, 2, …, m限制，由书中(见
为G(x)展开式中xk的系数
P44定理3.5.1) 即知：
m k 1 ck k
通项hn为： hn = n+1, 仅仅通过代数运算得到。 25
例：确定方程： e1+e2+…+ek＝n的非负奇整数 解 e1,e2,…,ek的个数hn的生成函数。
取8,9。
解:设不定方程
k
i 1
m
i
k 的解组数目为 ck ，本例
中m=4, k=20。注意到对ki(i=1,2,3,4)的限制，序 列{ck}对应的生成函数为: G(x)=(1+x2+x4)(x+x3+x5)(x6+x7)(x8+x9)
18
G(x)=(1+x2+x4)(x+x3+x5)(x6+x7)(x8+x9) = (1+x2+x4) (1+x2+x4)x(1+x)x6(1+x)x8
12
推论 3 设S={∞·e1, ∞·e2, …, ∞·em}，则S的每 个元素至少取一次的 k( 无限 ) 可重复组合数
ck(k≥m)对应序列{ck}的生成函数为： m x G( x ) ( x j )m m ( 1 x ) j 1 m 1 其组合数ck为G(x)展开式中xk的系数 。 k 1 这是由于:
中取出k个元素的组合数ck对应序列{ck}的生成
组合数学_第7章7.1_ (1)
称该数列为斐波那契（Fibonacci）数列，这个数列 的项称为斐波那契数。
斐波那契螺旋线
设有数列f0, f1, f2,…, fn, …。如果 f0=0, f1=1, 且满足递推关系fn= fn-1+fn-2，n≥2
称该数列为斐波那契（Fibonacci）数列，这个数列 的项称为斐波那契数。
性质： (1) 斐波那契数列的部分和为
n元集合的子集数: hn=2n , n ≥0 (2) h0=5, q=3: 5, 3*5, 32*5,…, 3n*5,…
hn= 3n*5, n ≥0
主要内容
求递推式 斐波那契（Fibonacci）序列
例: 考虑1行n列棋盘。假设用红和蓝两种颜色给这
个棋盘的每一个方格色。设hn是使得没有两个着成 红色的方格相邻的着色方法数。求hn满足的递推关 系。
(2) Dn=nDn1+(1)n ，
(n=2,3,…)
数列
设 h0, h1, …, hn, …表示一个数列， 其中hn叫做数列的一般项或通项
算术数列(等差数列):
h0, h0+q, h0+2q, …, h0+nq,… 递推关系：hn= hn-1+q 一般项： hn= h0+nq 前n+1项和：sn= (n+1)h0+q(n)(n+1)/2
h2=2
h3=3 … hn-1
…
hn
… hn-2
hn=hn-1+ hn2 满足斐波那契递推关系。hn是斐波那契数。
例：确定用单牌和多米诺牌完美覆盖1×n棋盘的方法 数bn。 2×n棋盘用多米诺牌的完美覆盖与 1×n棋盘用单牌和多米诺牌的完美覆盖的一一对应
斐波那契螺旋线
设有数列f0, f1, f2,…, fn, …。如果 f0=0, f1=1, 且满足递推关系fn= fn-1+fn-2，n≥2
称该数列为斐波那契（Fibonacci）数列，这个数列 的项称为斐波那契数。
性质： (1) 斐波那契数列的部分和为
n元集合的子集数: hn=2n , n ≥0 (2) h0=5, q=3: 5, 3*5, 32*5,…, 3n*5,…
hn= 3n*5, n ≥0
主要内容
求递推式 斐波那契（Fibonacci）序列
例: 考虑1行n列棋盘。假设用红和蓝两种颜色给这
个棋盘的每一个方格色。设hn是使得没有两个着成 红色的方格相邻的着色方法数。求hn满足的递推关 系。
(2) Dn=nDn1+(1)n ，
(n=2,3,…)
数列
设 h0, h1, …, hn, …表示一个数列， 其中hn叫做数列的一般项或通项
算术数列(等差数列):
h0, h0+q, h0+2q, …, h0+nq,… 递推关系：hn= hn-1+q 一般项： hn= h0+nq 前n+1项和：sn= (n+1)h0+q(n)(n+1)/2
h2=2
h3=3 … hn-1
…
hn
… hn-2
hn=hn-1+ hn2 满足斐波那契递推关系。hn是斐波那契数。
例：确定用单牌和多米诺牌完美覆盖1×n棋盘的方法 数bn。 2×n棋盘用多米诺牌的完美覆盖与 1×n棋盘用单牌和多米诺牌的完美覆盖的一一对应
组合数学_第7章7.2-7.3_ (1)
例：什么样的数列的生成函数是如下式子？
(1+x+x2+x3+x4+x5)(1+x+x2)(1+x+x2+x3+x4)
5
2
4
= ( ������������1)( ������������2)( ������������3)
������1=0
������2=0
������3=0
多重集合{∞∙a1, ∞∙a2,∞∙a3}的n组 合数：a1最多出现5次，a2最多 出现2次，a3最多出现4次
因此乘积中xn的系数hn是e1+e2+e3=n的非负整数解的 个数, 其中0≤ e1 ≤ 5, 0≤ e2 ≤ 2, 0 ≤ e3 ≤ 4。
注意：若n>5+2+4=11，则hn=0。
例：求装有苹果、香蕉、桔子和梨的果篮的数量 hn, 其中每个果篮中, 苹果的个数是偶数,香蕉的个数 是5的倍数, 桔子不超过4个,而且至多只有一个梨.
= σ���∞���������+⋯+������������=������=������
������������������ ������������������
… ������ ������1=0 ������������
������2=0
������������=0
ei是一个n组合
其中，xn前的系数即为 hn
得 ������������ + ������������=1， ������������ = −������, 解得 ������������ = −������， ������������ = ������.
chap7递推关系生成函数
2
-------(1) -------(2)
指数生成函数(EGF)
序列h0,h1,h2,…的指数生成函数定义为
g
(e )
( x ) h0 h1
x 1!
h2
x
2
2!
hk
x
k
k!
例. 排列数序列 P(n,0), P(n,1), …, P(n,n)的EGF是 g(e)(x) = ( 1+x )n . 对比组合数序列C(n,0), C(n,1), …, C(n,n)的GF是 g(x) = ( 1+x )n . 注: hk = 指数生成函数的k次项系数k!
除多项式外,经常用到的函数还有:
1 1 x
1 (1 x ) 1
2
1 x x
2
( 1 x )( 1 x ) 1 2 x 3 x
2
n k 1 n (1 x ) x k (1 x ) k 1 n0
第一部分小结
Fibonacci数列 线性常系数齐次递推关系的求解 线性常系数非齐次关系的求解
转移矩阵
对于线性齐次常系数递推关系, 以4阶为例 hn - a1 hn-1 - a2 hn-2 - a3 hn-3 … - a4 hn-4 = 0 我们有如下计算的hn方法,
hn a 1 hn 1 1 h 0 n2 hn 3 0 a2 0 1 0 a3 0 0 1 a 4 hn 1 a 1 0 hn 2 1 h 0 0 n3 0 hn 4 0
5b
4 r 0
x ) (
r
-------(1) -------(2)
指数生成函数(EGF)
序列h0,h1,h2,…的指数生成函数定义为
g
(e )
( x ) h0 h1
x 1!
h2
x
2
2!
hk
x
k
k!
例. 排列数序列 P(n,0), P(n,1), …, P(n,n)的EGF是 g(e)(x) = ( 1+x )n . 对比组合数序列C(n,0), C(n,1), …, C(n,n)的GF是 g(x) = ( 1+x )n . 注: hk = 指数生成函数的k次项系数k!
除多项式外,经常用到的函数还有:
1 1 x
1 (1 x ) 1
2
1 x x
2
( 1 x )( 1 x ) 1 2 x 3 x
2
n k 1 n (1 x ) x k (1 x ) k 1 n0
第一部分小结
Fibonacci数列 线性常系数齐次递推关系的求解 线性常系数非齐次关系的求解
转移矩阵
对于线性齐次常系数递推关系, 以4阶为例 hn - a1 hn-1 - a2 hn-2 - a3 hn-3 … - a4 hn-4 = 0 我们有如下计算的hn方法,
hn a 1 hn 1 1 h 0 n2 hn 3 0 a2 0 1 0 a3 0 0 1 a 4 hn 1 a 1 0 hn 2 1 h 0 0 n3 0 hn 4 0
5b
4 r 0
x ) (
r
组合数学 第7章
设 x e1 是(1 + x + x 2 + x3 + x 4 + x 5 )的典型项
x e2 是(1 + x + x 2 )的典型项 x e3 是(1 + x + x 2 + x3 + x 4 )的典型项 0 ≤ e1 ≤ 5 0 ≤ e1 ≤ 2 0 ≤ e1 ≤ 4
是什么样的序列的生成函数?
7.4
7 4 生 成 函 .
生成函数
如果一个函数g(x)的无穷级数是
h0 + h1 x + h2 x 2 + ... + hn x n + ...
则称函数g(x)是无穷数列 h0, h1, h2, …, hn, … 的生成函数. 研究生成函数的目标是:对于给定的无穷数列 h0, h1, h2, …, hn, … 我们期望求出该数列的生成函数的有限表示形式,从而 将一个无穷数列所包含的全部信息浓缩在一个有限的代 数函数之中.
(q ≠ 1) (q=1) q n+1 1 n n h0 i sn = ∑ h i =∑ q h 0 = q 1 i=0 i=0 (n+1) h 0
n≥
例 7 1 某 些 数 .
确定平面一般位置上的n个互相交叠的圆所形成 的区域数?
[分析]
设hn是由n个
互相交叠的圆所形成 的区域数. 分析hn与hn-1 的关系,我们发现 hn=hn-1+2(n-1) 因此 hn=n2 – n + 2 n≥ 1
c1 + c2 + c3 = 1 c1 c2 + 2c3 = 2 c + c + 4c = 0 3 1 2
解得其唯一解 c1=2, c2=-2/3 ,c3=-1/3,因此求得特定递推关 系的解
x e2 是(1 + x + x 2 )的典型项 x e3 是(1 + x + x 2 + x3 + x 4 )的典型项 0 ≤ e1 ≤ 5 0 ≤ e1 ≤ 2 0 ≤ e1 ≤ 4
是什么样的序列的生成函数?
7.4
7 4 生 成 函 .
生成函数
如果一个函数g(x)的无穷级数是
h0 + h1 x + h2 x 2 + ... + hn x n + ...
则称函数g(x)是无穷数列 h0, h1, h2, …, hn, … 的生成函数. 研究生成函数的目标是:对于给定的无穷数列 h0, h1, h2, …, hn, … 我们期望求出该数列的生成函数的有限表示形式,从而 将一个无穷数列所包含的全部信息浓缩在一个有限的代 数函数之中.
(q ≠ 1) (q=1) q n+1 1 n n h0 i sn = ∑ h i =∑ q h 0 = q 1 i=0 i=0 (n+1) h 0
n≥
例 7 1 某 些 数 .
确定平面一般位置上的n个互相交叠的圆所形成 的区域数?
[分析]
设hn是由n个
互相交叠的圆所形成 的区域数. 分析hn与hn-1 的关系,我们发现 hn=hn-1+2(n-1) 因此 hn=n2 – n + 2 n≥ 1
c1 + c2 + c3 = 1 c1 c2 + 2c3 = 2 c + c + 4c = 0 3 1 2
解得其唯一解 c1=2, c2=-2/3 ,c3=-1/3,因此求得特定递推关 系的解
《排列组合的生成》课件
详细描述
通过具体的实例，如排队、物品的排列组合等，深入解析排列的概念，以及其在日常生活和工 作中的应用。
组合实例解析
总结词
通过实例解析组合的概念和应用
详细描述
通过具体的实例，如抽屉原理、彩票中奖概率等，深入解析组合的概念，以及 其在数学和实际生活中的应用。
排列与组合的综合实例解析
总结词
通过实例解析排列与组合的综合 应用
统计推断
排列组合在统计推断中也 有应用，例如在贝叶斯推 断和马尔科夫链蒙特卡洛 方法中。
数据分析
排列组合在数据分析中也 有应用，例如在处理离散 数据和分类数据时。
04
排列组合的数学原理
排列的数学原理
1 2
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照 一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取 出m个元素的排列。
机器学习和数据挖掘
排列组合在计算机科学的数据结构和 算法中广泛应用，如动态规划、回溯 算法等。
排列组合在机器学习和数据挖掘中也 有应用，例如在特征选择和分类算法 中。
离散概率模型
排列组合可用于构建离散概率模型， 用于模拟和研究随机事件和系统行为 。
统计学中的应用
01
02
03
概率分布
排列组合可用于研究概率 分布，如二项分布、泊松 分布等，以及它们的性质 和计算方法。
排列与组合的联系与区别
01
联系
当m=n时，排列转化为组合，即P(n,n)=C(n,n)。
02
区别
当m<n时，排列与组合的公式不同，排列与组合 的顺序有关，而组合与顺序无关。
02
排列组合的生成方法
排列的生成方法
定义
按照一定顺序取出n个元素所组成的排列 。
通过具体的实例，如排队、物品的排列组合等，深入解析排列的概念，以及其在日常生活和工 作中的应用。
组合实例解析
总结词
通过实例解析组合的概念和应用
详细描述
通过具体的实例，如抽屉原理、彩票中奖概率等，深入解析组合的概念，以及 其在数学和实际生活中的应用。
排列与组合的综合实例解析
总结词
通过实例解析排列与组合的综合 应用
统计推断
排列组合在统计推断中也 有应用，例如在贝叶斯推 断和马尔科夫链蒙特卡洛 方法中。
数据分析
排列组合在数据分析中也 有应用，例如在处理离散 数据和分类数据时。
04
排列组合的数学原理
排列的数学原理
1 2
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照 一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取 出m个元素的排列。
机器学习和数据挖掘
排列组合在计算机科学的数据结构和 算法中广泛应用，如动态规划、回溯 算法等。
排列组合在机器学习和数据挖掘中也 有应用，例如在特征选择和分类算法 中。
离散概率模型
排列组合可用于构建离散概率模型， 用于模拟和研究随机事件和系统行为 。
统计学中的应用
01
02
03
概率分布
排列组合可用于研究概率 分布，如二项分布、泊松 分布等，以及它们的性质 和计算方法。
排列与组合的联系与区别
01
联系
当m=n时，排列转化为组合，即P(n,n)=C(n,n)。
02
区别
当m<n时，排列与组合的公式不同，排列与组合 的顺序有关，而组合与顺序无关。
02
排列组合的生成方法
排列的生成方法
定义
按照一定顺序取出n个元素所组成的排列 。