高数答案

高等代数习题
1． 设)(x f 是][x R 中的n 次多项式，满足 （1）,0)0(=f
（2）)(1)()1(,22x f x f x f R x 求+=+∈∀．
2．)(,10)()
()1()(2x f x f x f x f x f 求和的根只能是且=+．
3．是常数或证明a x x ax x f x f x f x x xf ,)2)(1()(0)()()3()1(--==-=-． 4．对任意的非负整数n ，证明1
22
2
)
1(1++++++n n x x
x x ．用n 次单位根做．
5．设)()3()1(x f x x xf -=-，试证：0)(=x f 或)2)(1()(--=x x ax x f ．
6．设][)(x R x f ∈，满足（1）0)0(=f ；（2）R x ∈∀，都有1)()1(2
2+=+x f x f ．（提
示：21)1()2(,11)0()1(22=+==+=f f f f ，由归纳法可得=+)1(2n f 1)(2
+n f
12
+=n ，故可得x x f =)(）．
7．求][)(,)(x R x g x f ∈，使得()())()(x g x f ∂≠∂，且=-)()(2
2x g x f 2
3
4
x x x ++
1++x ．
（提示：()())(,1)(,2)(x f x g x f =∂=∂首项系数为1）． 8．设()0)(,][)(>∂∈x p x P x p ，则)(x p 不可约的充分必要条件为][)(x P x f ∈∀，都有)()(x f x p 或1))(,)((=x f x p ．
9．设()0)(,][)(>∂∈x p x P x p ，则)(x p 不可约的充分必要条件为][)(,)(x P x g x f ∈∀ ，由)()()(x g x f x p 都可推出)()(x f x p 或)()(x g x p ． 10．)()(x g x f 充分必要条件是)()(2
2
x g x f ． 11．证明：)(x f x k
充分必要条件是)(x f x ．
12．求2
2
2
22222222222224)
3()
2()
1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++=
d d d d
c c c c b b b b a a a a
D ．
13．求n
D n
2
2
2
2322
2222
2221=． 14．求
m
x x x x m x x x x m x D n n n n ---=
2
1
2121．
15．证：2
2
21112
2222
211111
12c b a c b a c b a
b a a
c c b b a a c c b b
a a c c
b =+++++++++． 16．计算：0
1
01
01
11110x
x
x
x x x x
x x D n
=． （提示：第一行乘)(x -加到各行）
17．设A 为n 阶幂零方阵，B 为n 阶可逆方阵，且A 与B 可换，则B A B A -+,都是可逆矩阵．
18．若A 满足0422
=--E A A ，试证：E A +可逆，并求1
)(-+E A ．
19．设A 为二阶方阵，且05
=A ，则)()(1
A I A I +=--．
20．设n
n P B A BA AB C ⨯∈∀-=,,，则（1）0)(=C Tr ；（2）BA AB -不与单位阵相
似．
21．设0≠A 为二阶方阵，2>k 为整数，则0=k A 的充分必要条件是02
=A ． 22．试证明：若A 为非对称的正交阵，则A 必有非实的复特征根． 23．设A 与B 都是实对称阵，C 是实反对称矩阵，且2
2
2
C
B A =+，证明：
0===C B A ．
（提示：比较两边的对角元） 24．设A 为实对称阵，且秩 (A ) =1，证明：A 的主对角线上凡不为零的元素必是同号的． 25．A ，B 为n 阶方阵，且1
-=B
ABA ，则秩 (AB E -) + 秩 (AB E +) =n ．
26．设三阶方阵A 满足E A =2
，且E A ±≠，试证：[秩1)(--E A ][秩1)(-+E A ]=0．
27．证明：如果向量组r ααα,,,21 线性无关，而βααα,,,,21r 线性相关，则向量β可以由r ααα,,,21 线性表出．
28．设 r t t t ,,,21 是互不相同的数，n r ≤．证明：如果),,,1(1
-=n i
i i t t α，r i ,,2,1 =，
是线性无关的．
29．设n ααα,,,21 是一组n 维向量，已知单位向量n εεε,,,21 可以由它们线性表出，证明：n ααα,,,21 线性无关．
30．已知r ααα,,,21 与s r r ααααα,,,,,,121 +有相同的秩，证明：r ααα,,,21 与s r r ααααα,,,,,,121 +等价．
31．b a ,取什么值时，线性方程组
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨
⎧=-+++=+++=-++
+=++++b
x x x x
x x x x x a
x x x x x x x x x x 54321
5432
543215432
1334536223231有解？在有解的情形，求一般解．
32．线性方程组
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧=+++=+++=+++---000,122,11
1,122221*********n n n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的系数矩阵为⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢
⎣⎡=---n n n n n
n a a a a a a a a a A ,12
,11,12222111211
设i M 是矩阵A 中划去第i 列剩下)1()1(-⨯-n n 的矩阵的行列式．
1） 证明：))
1(,,,(1
21n n M M M --- 是方程组的一个解；
2） 如果A 的秩为1-n ，那么方程组的解全是))1(,,,(1
21n n M M M --- 的倍数．
33．设
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=
nn n n n
n a a a a a a a a a A
2
1
2222111211为一实数域上的矩阵． 证明：如果n i a a i
j ij ii ,,2,1, =>
∑
≠，那么0>A ．
34．如果)(1x f ，)(2x f ，)(3x f 是线性空间][x P 中三个互素的多项式，但其中任意两个都
不互素，那么它们线性无关．
35．实数域上由矩阵A 的全体实系数多项式组成的空间，其中
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=20
00
00
1ωω
A ，231i +-=ω， 求该线性空间的维数与一组基．
36．如果0321=++γβαc c c ，且031≠c c ，证明：),(),(γββαL L =． 37．在4P 中，求由齐次方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=+-+=-+-=+-+0
1113530
3330
45234321
43214321x x x x x x x x x x x x 确定的解空间的基与维数．
38．求由向量i α生成的子空间与由向量i β生成的子空间的交的基和维数，其中
12
3
(1,2,1,2)(3,1,1,1)(1,0,1,1)ααα=--⎧⎪
=⎨⎪=--⎩，
，．
12(2,5,6,5)(1,2,7,3)ββ=--⎧⎨=--⎩，． 39．证明：如果V =1V ⊕2V ，1V =11V ⊕12V ，那么V =11V ⊕12V ⊕2V ．。