2017年高考分段测试2

2017年高考分段测试(二)(测试范围：三角函数、解三角形平面向量、数系的扩充与复数的引入)时间：120分钟满分：150分一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1．设复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则2z＋z2＝()A．1＋i B．1－iC．－1－i D．－1＋i答案 A解析∵z＝1＋i，∴2z＋z2＝21＋i＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i.故应选A.2．[2015·九江一模]已知tanα＝－35，则sin2α＝() A.1517B．－1517C．－817 D.817答案 B解析sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α＋1＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－35⎝⎛⎭⎪⎫－352＋1＝－1517，故选B.3．[2015·广东佛山期中]如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB、AD分别交于E、F两点，且交其对角线AC于K，其中，AE→＝25AB→，AF→＝12AD→，AK→＝λAC→，则λ的值为()A.29B.27C.25D.23答案 A解析 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →， 则AB →＝52AE →，AD →＝2AF →，∵AC →＝AB →＋AD →，∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)＝ λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52AE →＋2AF →＝52λAE →＋2λAF →， 由E ，F ，K 三点共线可得，52λ＋2λ＝1，解得λ＝29，故选A. 4．将函数f (x )＝22sin2x ＋62cos2x 的图象向右平移π4个单位得到函数g (x )的图象，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝( )A.62 B ．－1 C. 2 D ．2答案 A解析 由于f (x )＝22sin2x ＋62cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，将其图象向右平移π4个单位后得到g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π3的图象，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π4＋π3＝2sin π3＝62，故选A.5．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为( )A.π6 B.π4 C.π3 D.2π3答案 B解析 ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝0，∴a ·b ＝a 2. ∵|a |＝1，|b |＝2，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝a 2|a ||b |＝22，∴向量a 与向量b 的夹角为π4. 故应选B.6．设复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，z 2＋|z |＝0，且|z |≠0，则z ＝( ) A ．1 B ．1－i C ．±i D ．－i答案 C解析 由z 2＋|z |＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＋x 2＋y 2＝0，2xy ＝0，解得x ＝0或y ＝0.当x ＝0时，－y 2＋|y |＝0，则y ＝±1，所以z ＝±i ；当y ＝0时，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x 2＋x 2＝0，无解．故选C. 7．[2016·马鞍山模拟]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形答案 D解析 ∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )．∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， ∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B ·cos A ∴cos A (sin B －sin A )＝0， ∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ，∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，故选D.8．若a ＋b ＋c ＝0，且a 与c 的夹角为60°，|b |＝3|a |，则tan 〈a ，b 〉＝( )A. 3B.33 C ．－33 D ．－ 3答案 C解析 画图构造平行四边形，如图，|b |2＝|a |2＋|c |2＋|a ||c |＝3|a |2，所以|a |＝|c |，所以〈a ，b 〉＝5π6，tan 〈a ，b 〉＝－33.故选C.9．已知函数f (x )＝sin2x cos φ＋cos2x sin φ(x ∈R )，其中φ为实数，且f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9对任意实数R 恒成立，记p ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，r ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，则p ，q ，r 的大小关系是( )A ．r <p <qB ．q <r <pC ．p <q <rD ．q <p <r答案 C解析 f (x )＝sin2x cos φ＋cos2x sin φ＝sin(2x ＋φ)， ∴f (x )的最小正周期T ＝π.∵f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9是最大值，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π18，∴p ＝sin 25π18，q ＝sin 31π18，r ＝sin 7π18，∴p <q <r .10．[2016·沈阳一模]函数y ＝－1x 的图象按向量a ＝(1,0)平移之后得到的函数图象与函数y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的图象的所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 D解析 作出函数y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的图象，可以看出函数以2为周期．函数y ＝－1x 的图象按向量a ＝(1,0)平移后得到函数y ＝－1x －1的图象，作出其图象，如图所示．由图象可知两个图象在[－2,4]上有8个交点，正弦函数y ＝2s inπx 的图象是中心对称图形，函数y ＝－1x －1的图象也是中心对称图形，且都关于点(1,0)成中心对称．由对称性可知8个点的横坐标之和为8，所以选D.11．[2016·海口调研]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋4φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π8的部分图象如图所示，若将函数f (x )的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14，再向右平移π6个单位，所得到的函数g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2sin xB ．g (x )＝2sin2xC ．g (x )＝2sin 14x D ．g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 答案 D解析 由题图可知，A ＝2，T 4＝π，所以T ＝4π＝2πω，解得ω＝12，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4φ.因为过点C (0,1)，所以1＝2sin4φ，即sin4φ＝12.因为0<φ<π8，所以0<4φ<π2，所以4φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.若其纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14，则所得到的函数解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再向右平移π6个单位，所得到的函数解析式为g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，故选D. 12．[2015·石家庄一模]已知平面图形ABCD 为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧)，且AB ＝2，BC ＝4，CD ＝5，DA ＝3，则四边形ABCD 面积S 的最大值为( )A.30 B ．230 C ．430 D ．630答案 B解析 根据题意，连接BD ，则S ＝12×2×3×sin A ＋12×4×5×sin C ＝3sin A ＋10sin C .根据余弦定理得，BD 2＝13－12cos A ＝41－40cos C ，得10cos C －3cos A ＝7，两边同时平方得100cos 2C ＋9cos 2A －60cos C cos A ＝49，得100sin 2C ＋9sin 2A ＝60－60cos C ·cos A ，而S 2＝(3sin A ＋10sin C )2＝100sin 2C ＋9sin 2A ＋60sin C ·sin A ＝60－60cos A cos C ＋60sin C sin A ＝60－60cos(C ＋A )≤120，所以S ≤230，故选B.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．[2015·江西模拟]已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.答案 －8解析 若角α终边上任意一点P (x ，y )，|OP |＝r ，则sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝yx .P (4，y )是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sin θ＝y 16＋y2，又sin θ＝－255， ∴y 16＋y2＝－255，且y <0，解得y ＝－8. 14．在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且|BO →|＝3|CO →|，当AO →＝xAB →＋yAC →时，则x －y ＝________.答案 －2解析 AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋32BC →＝AB →＋32(AC →－AB →)＝－12AB →＋32AC →，∴x －y ＝－2.15．[2015·九江一模]在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a 2＝b 2＋c 2＋bc ，a ＝3，S 为△ABC 的面积，则S ＋3cos B cos C 的最大值为________．答案 3解析 ∵a 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∴A ＝2π3.设△ABC 外接圆的半径为R ，则2R ＝asin A ＝3sin 2π3＝2，∴R ＝1，∴S ＋3cos B cos C ＝12bc sin A ＋3cos B cos C ＝34bc ＋3cos B cos C ＝3sin B sin C ＋3cos B cos C ＝3cos(B －C )，故S ＋3cos B cos C 的最大值为3.16.如图，定点A (－1，3)，一小虫可以近似地看作一点，它从单位圆周上P 0(1,0)处开始逆时针方向运动(t ＝0)，且每秒运动的弧长为π5，在t s 时(t >0)到达点P .记向量OQ →＝OA →＋O P→，则以下结论中正确的有________(把所有正确结论的序号都填上)．①OP →＝⎝⎛⎭⎪⎫cos π5t ，sin π5t ；②OQ →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1＋cos π5t ，3＋sin π5t ；③当点P 的纵坐标第一次达到最大时，所需要的时间是t ＝2； ④|OQ →|的最大值是2. 答案 ①②解析 因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5t ，sin π5t ，所以OP →＝⎝⎛cos π5t ，⎭⎪⎫sin π5t ，则OQ →＝OA →＋OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋cos π5t ，3＋sin π5t ， 故①②正确；当sin π5t ＝1时，t ＝10k ＋52(k ∈Z )，取k ＝0时，t ＝52，故③错误；结合图形由向量加法法则可知，向量OQ →的模的最大值为3，故④错误．综上，正确的命题为①②.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．[2015·南昌二模](本小题10分)已知△ABC 是圆O (O 为坐标原点)的内接三角形，其中A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .(1)若点C 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－22，22，求cos ∠COB ；(2)若点C 在优弧AB 上运动，求a ＋b 的最大值．解 (1)由点C ，B 的坐标可以得到∠AOC ＝3π4，∠AOB ＝2π3， 所以cos ∠COB ＝cos(∠AOC ＋∠AOB ) ＝－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－22×32＝－6－24. (2)因为c ＝3，∠AOB ＝2π3，所以C ＝π3， 所以a sin A ＝b sin B ＝332＝2，所以a ＋b ＝2sin A ＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫0<A <2π3，所以当A ＝π3时，a ＋b 最大，最大值是2 3.18．[2016·西宁检测](本小题12分)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x (x ∈R )，π4是函数f (x )的一个零点．(1)求a 的值，并求函数f (x )的单调递增区间；(2)若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝105，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋3π4＝355，求sin(α＋β)的值．解 (1)∵π4是函数f (x )的一个零点，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin π4＋a cos π4＝0， ∴a ＝－1，∴f (x )＝sin x －cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin x －22cos x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.由2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )得 2k π－π4≤x ≤2k π＋3π4(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋3π4(k ∈Z )．(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝105，∴2sin α＝105，∴sin α＝55.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝255. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋3π4＝355，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π2＝355， ∴cos β＝31010.∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin β＝1－cos 2β＝1010，∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝55×31010＋255×1010＝22.19．[2016·郑州质检](本小题12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，D 为边AC 的中点，a ＝32，cos ∠ABC ＝24.(1)若c ＝3，求sin ∠ACB 的值；(2)若BD ＝3，求△ABC 的面积．解 (1)a ＝32，cos ∠ABC ＝24，c ＝3，由b 2＝c 2＋a 2－2c ·a ·cos ∠ABC ＝32＋(32)2－2×32×3×24＝18，得b ＝3 2.又∠ABC ∈(0，π)，所以sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝144，由正弦定理：c sin ∠ACB ＝b sin ∠ABC， 得sin ∠ACB ＝c ×sin ∠ABC b ＝74.(2)以BA ，BC 为邻边作如图所示的平行四边形ABCE ，如图，则cos ∠BCE ＝－cos ∠ABC ＝－24，BE ＝2BD ＝6，在△BCE 中，BE 2＝CB 2＋CE 2－2CB ·CE ·cos ∠BCE ，即36＝CE 2＋18－2×32×CE ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－24， 解得：CE ＝3，即AB ＝3， 所以S △ABC ＝12ac sin ∠ABC ＝974.20．[2016·济南模拟](本小题12分)在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且b ＝4，A ＝π3，面积S ＝2 3.(1)求a 的值；(2)设f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )，将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到g (x )的图象，求g (x )的单调增区间．解 (1)在△ABC 中，∵S ＝12bc sin A ，∴23＝12×4×c ×32，∴c ＝2，∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝16＋4－2×4×2×12＝2 3.(2)∵a sin A ＝b sin B ，2332＝4sin B，∴sin B ＝1. 又∵0<B <π，∴B ＝π2，C ＝π6.∴f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6， 将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12，得到g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，即k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴g (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． 21．(本小题12分)如图，某人位于塔的正东方向上的C 处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D 处望见塔的底端B 在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB ＝α，α的最大值为60°.(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟；(2)求塔的高AB .解 (1)依题意知，在△DBC 中，∠BCD ＝30°，∠DBC ＝180°－∠DBF ＝180°－45°＝135°，CD ＝6000×160＝100(米)，∠D ＝180°－135°－30°＝15°，由正弦定理得CD sin ∠DBC＝BC sin D ， ∴BC ＝CD ·sin D sin ∠DBC ＝100×sin15°sin135°＝100×6－2422＝50(6－2)2＝50(3－1)(米)．在Rt △ABE 中，tan α＝AB BE .∵AB 为定长，∴当BE 的长最小时，α取最大值60°，这时BE ⊥CD . 当BE ⊥CD 时，在Rt △BEC 中，EC ＝BC ·cos ∠BCE ＝50(3－1)×32＝25(3－3)(米)．设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t 分钟，则t＝EC 6000×60＝25(3－3)6000×60＝3－34(分钟)．(2)由(1)知当α取得最大值60°时，BE ⊥CD ，在Rt △BEC 中，BE ＝BC ·sin ∠BCD ，∴AB ＝BE ·tan60°＝BC ·sin ∠BCD ·tan60°＝50(3－1)×12×3＝25(3－3)(米)．即所求塔高AB 为25(3－3)米．22．[2015·山东德州一模](本小题12分)在△ABC 中，角A ，B ，C的对边分别是a ，b ，c ，满足2AB →·A C →＝a 2－(b ＋c )2.(1)求角A 的大小；(2)求sin A sin B sin C 的最大值，并求取得最大值时角B ，C 的大小．解 (1)∵A B →·A C →＝cb cos A,2A B →·A C →＝a 2－(b ＋c )2，∴2bc cos A ＝a 2－(b ＋c )2＝a 2－b 2－c 2－2bc ，∴2bc cos A ＝－2bc cos A －2bc ，cos A ＝－12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)∵A ＝2π3，∴C ＝π3－B,0<B <π3，∴sin A sin B sin C ＝32sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ＝32sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos B －12sin B ＝34sin B cos B －34sin 2B＝38sin2B －38(1－cos2B )＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin2B ＋12cos2B －38 ＝34sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6－38， ∵0<B <π3，∴π6<2B ＋π6<5π6，当2B ＋π6＝π2，即B ＝π6时，sin A sin B sin C 取得最大值38，此时Bπ＝C＝6.。