2013届高三数学一轮复习教案(圆的方程)
高三数学第一轮复习课时作业(46)圆的方程B
课时作业(四十六)B 第46讲 圆的方程时间：35分钟 分值：80分基础热身1．圆(x －3)2＋(x ＋1)2＝2的圆心和半径分别为( ) A ．(－3,1)，2 B ．(－3,1)， 2C ．(3，－1)， 2D ．(3，－1)，22．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋y 2＝5B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝53．直线y ＝x －1上的点到圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋4＝0的最近距离为( ) A ．2 2 B.2－1C ．22－1D ．14．若原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝8的内部，则实数m 的取值范围是( ) A ．－22<m <2 2 B ．0<m <2 2 C ．－2<m <2 D ．0<m <2 能力提升5．2011·银川一中二模 x 2＋y 2－1)＝0所表示的曲线图形是( )6．曲线x 2＋y 2＋22x －22＝0关于( ) A ．直线x ＝2轴对称 B ．直线y ＝－x 轴对称 C ．点(－2，2)中心对称D ．点(－2，0)中心对称7．一动点在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点轨迹是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C.⎝⎛⎭⎫x ＋322＋y 2＝1 D ．(2x －3)2＋4y 2＝1 8．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝4(y ≥0)，则m ＝3x ＋y 的取值范围是( ) A ．(－23，4) B ．－23，4C ．－4,4D ．－4,2 39．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (0，－1)，B (0,1)．P 是圆C 上的动点，当|PA |2＋|PB |2取最大值时，点P 的坐标是________．10．在圆x 2＋y 2＝9上，到直线3x ＋4y ＋24＝0的距离最小的点的坐标是________．11．在平面区域⎩⎨⎧2≤x ≤4，0≤y ≤2内有一个最大的圆，则这个最大圆的一般方程是________．12．(13分)已知圆C 的方程为x 2＋y 2＋(m －2)x ＋(m ＋1)y ＋m －2＝0，根据下列条件确定实数m 的取值，并写出相应的圆心坐标和半径．(1)圆的面积最小；(2)圆心距离坐标原点最近．难点突破13．(12分)已知定点A(0,1)，B(0，－1)，C(1,0)，动点P满足：·＝k||2.(1)求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；(2)当k＝2时，求|2＋|的最大、最小值．课时作业(四十六)B【基础热身】1．C 解析 圆心坐标为(3，－1)，半径为 2. 2．A 解析 把x ，y 分别换成－x ，－y 即得．3．C 解析 圆心(－2,1)到已知直线的距离为d ＝22，圆的半径为r ＝1，故所求距离d min ＝22－1.4．C 解析 依题意，得m 2＋m 2<8，∴－2<m <2. 【能力提升】5．C 解析 x －1lg(x 2＋y 2－1)＝0等价于x －1＝0，或者lg(x 2＋y 2－1)＝0，即等价于x ＝1或x ≥1且x 2＋y 2＝2.选项C 中的图形正确．6．D 解析 把x 2＋y 2＋22x －22＝0化为(x ＋2)2＋y 2＝2＋22，可知，该曲线为圆，选项中两条直线都不经过圆心，所以只有关于圆心对称．7．D 解析 设圆上任意一点为A (x ′，y ′)，AB 的中点为P (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝3＋x ′2，y ＝y ′2，即⎩⎨⎧x ′＝2x －3，y ′＝2y ，由于A (x ′，y ′)在圆x 2＋y 2＝1上，所以满足x ′2＋y ′2＝1，即(2x －3)2＋4y 2＝1.8．B 解析 由于y ≥0，∴x 2＋y 2＝4表示上半圆，又3x ＋y －m ＝0是直线(如图)，且斜率为－3，在y 轴上截距为m ，又当直线过点(－2,0)时，m ＝－2 3.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，d ≤r ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，|－m |2≤2，解得m ∈－23，4．9.⎝⎛⎭⎫185，245 解析 设P (x 0，y 0)，则|PA |2＋|PB |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2， 显然x 20＋y 20的最大值为(5＋1)2，∴d max ＝74，此时＝－6，结合点P 在圆上，解得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫185245.10.⎝⎛⎭⎫－95，－125 解析 由于直线和圆相离，过圆心O 作直线OQ ⊥直线3x ＋4y ＋24＝0，交圆于点Q ，则点Q 即为所求点，设Q 点坐标为(x ，y )，则k OQ ＝y x ＝43①，又Q 在圆上，∴x 2＋y 2＝9②，由①②解得x ＝－95，y ＝－125，即所求的点的坐标为⎝⎛⎭⎫－95，－125. 11．x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0 解析 作图知(图略)，区域为正方形，最大圆即正方形的内切圆，圆心是(3,1)，半径为1，得圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1，即x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0.12．解答 (1)因为(m －2)2＋(m ＋1)2－4(m －2)＝2m 2－6m ＋13＝2⎝⎛⎭⎫m －322＋172恒成立，无论m 为何值，方程总表示圆．圆心坐标⎝⎛⎭⎫2－m 2，－m ＋12，圆的半径为r ＝122m 2－6m ＋13.圆的半径最小时，面积最小，r ＝122m 2－6m ＋13＝122⎝⎛⎭⎫m －322＋172≥344， 当且仅当m ＝32时，等号成立，此时面积最小．所以当圆的面积最小时，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫14，－54，半径r ＝344.(2)圆心到坐标原点的距离d ＝122⎝⎛⎭⎫m －122＋92≥324.当且仅当m ＝12时，距离最近．此时，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫34，－34，半径r ＝424.【难点突破】13．解答 (1)设动点坐标P 为(x ，y )，则＝(x ，y －1)，＝(x ，y ＋1)，＝(1－x ，－y )．因为·＝k ||2，所以x 2＋y 2－1＝k (x －1)2＋y 2，即(1－k )x 2＋(1－k )y 2＋2kx －k －1＝0.若k ＝1，则方程为x ＝1，表示过点(1,0)且平行于y 轴的直线；若k ≠1，则方程化为⎝⎛⎭⎫x ＋k 1－k 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫11－k 2，表示以⎝⎛⎭⎫k k －10为圆心，以1|1－k |为半径的圆．(2)当k ＝2时，方程化为(x －2)2＋y 2＝1， 因为2＋＝(3x,3y －1)， 所以|2＋|＝9x 2＋9y 2－6y ＋1.又x 2＋y 2＝4x －3，所以|2＋|＝36x －6y －26.方法1：问题归结为求6x －y 的最值，令t ＝6x －y ，由于点P 在圆(x －2)2＋y 2＝1上，故圆心到直线t ＝6x －y 的距离不大于圆的半径， 即|12－t |37≤1，解得12－37≤t ≤12＋37，结合|2＋|＝36x －6y －26，得|2＋|的最大值为46＋637＝3＋37，最小值为46－637＝37－3.方法2：因为(x －2)2＋y 2＝1，所以令x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ， 则36x －6y －26＝637cos(θ＋φ)＋46∈46－637，46＋637． 所以|2＋|的最大值为46＋637＝3＋37， 最小值为46－637＝37－3.。
数学高考复习名师精品教案：第59课时：第七章 直线与圆的方程-直线与圆的位置关系
数学高考复习名师精品教案第59课时：第七章直线与圆的方程——直线与圆的位置关系课题：直线与圆的位置关系一．复习目标：1．掌握圆的标准方程及一般式方程，理解圆的参数方程及参数 的意义，能根据圆的方程熟练地求出圆的圆心和半径；能熟练地对圆的方程的各种形式进行相互转化。
2．掌握直线与圆的位置关系，会求圆的切线方程，公共弦方程及等有关直线与圆的问题。
3．渗透数形结合的数学思想方法，充分利用圆的几何性质优化解题过程。
二．主要知识：1．圆的标准方程：；圆的一般方程：；圆的参数方程：。
2．直线与圆的位置关系判断的两种方法：代数方法：；几何方法：；3．弦长的计算方法：代数方法：；几何方法：；三．基础训练：1．方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是（ ）()A 2a <- ()B 203a -<< ()C 20a -<< ()D 223a -<< 2．直线y x m =-+与圆221x y +=在第一象限内有两个不同交点，则m 的取值范围是（ ）()A 0m <<()B 1m < ()C 1m ≤ ()D m 3．圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是（ ）()A 22(7)(1)1x y +++= ()B 22(7)(2)1x y +++=()C 22(6)(2)1x y +++= ()D 22(6)(2)1x y ++-=4．设M 是圆22(5)(3)9x y -+-=上的点，则M 点到直线3420x y +-=的最短距离是 。
5．若曲线1y =(22)x -≤≤与直线(2)4y k x =-+有两个交点时，则实数k 的取值范围是____ __。
四．例题分析：例1．求满足下列各条件圆的方程：（1）以)9,4(A ，)3,6(B 为直径的圆；（2）与,x y 轴均相切且过点(1,8)的圆；（3）求经过)2,5(A ，)2,3(-B 两点，圆心在直线32=-y x 上的圆的方程。
高三数学一轮复习计划
高三数学一轮复习计划高三数学第一轮复备考计划一、指导思想为了适应新课程改革要求, 提高高中数学复效率是非常重要的。
数学复可以让学生更好地掌握数学基本知识和基本技能, 以及数学思想方法, 从而培养学生的思维能力, 激发学生研究数学的兴趣, 树立学好数学的信心, 争取在考试中取得满意的成绩。
二、复建议:1.以教材和资料《全品》为主1）用好课本例题、题复时, 考生要“回归”课本, 重新研究每个考点, 注意知识点的融会贯通, 掌握解题的通性、通法, 提高解题能力和速度。
考生复课本时, 要注意内容、符号表达的统一, 以及定义、定理、公式等叙述的规范。
同时, 许多高考试题都是由教材中的例题、题引申变化而来。
因此, 考生必须利用好课本, 夯实基础知识；教师也要注重课本的基础作用, 重视知识的交汇点, 培养学生逻辑思维能力。
2）用好资料《全品》熟练掌握课本, 夯实基础知识后, 可以通过《全品》再加强基础知识的应用, 训练解题能力和解题速度。
根据考试说明的变化, 应加强这方面的训练, 特别是要训练如何灵活选择较简运算途径解决繁杂计算的能力。
2.研读《考试大纲》、《考试说明》把握复方向研读《考试大纲》、《考试说明》可以帮助考生把握复方向, 重点复考试重点和难点。
同时, 也有助于考生了解考试形式和要求, 有针对性地进行复。
全体高三数学教师需要深入研究《考试大纲》, 认真研究《考试说明》, 以制订科学的复备考方案, 规范复内容和能力要求, 避免盲目复。
《考试大纲》是普通高考的纲领, 明确规定了高考的性质、内容、形式及试卷结构和试题题型, 是高考命题的依据, 指导整个高考工作, 也是教师备课的依据。
因此, 深入研究当年的《考试大纲》, 特别是与研究高考试题结合起来, 对科学预测试题变化, 及时调整复方案, 有着十分重要的意义。
教师需要注重《考试大纲》、《考试说明》的导向作用, 把握好复的范围重点、难点、热点, 制订周密的复计划, 正确控制知识的难度, 复内容的深度和广度, 防止一切依赖复资料, 脱离学生实际, 教材实际和高考实际的现象发生。
高三数学一轮复习圆的方程复习课
典例剖析
【例1】一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且 直线y=x截圆所得弦长为 2 ，求此圆的方程。 7 分析：巧设方程，利用半弦、半径和弦心距构成的直角三角形. 解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上， 故设圆方程为（x－3b）2+（y－b）2=（3b）2. 又因为直线y=x截圆得弦长为 2 7 ， 则有（
知识梳理
4、圆的参数方程：
x a r cos y b r sin
( r 0 , 为参数 )
其中圆心为(a, b)，半径为r. 说明：1、几何性质比较明显，很好体现半径 与x轴的圆心角的关系。 2、方程中消去θ得（x－a）2+（y－b）2=r2， 把这个方程相对于参数方程又叫做普通方程.
能力培
（1）
y x
的最大值和最小值；
（2）y－x的最小值； （3）x2+y2的最大值和最小值.
思悟小结
1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a、b、r或D、E、F） 的值需要确定，因此需要三个独立的条件. 利用待定系数法得到关于a、b、r（或D、E、F）的三个方程组成的方程组， 解之得到待定字母系数的值. 2.求圆的方程的一般步骤： （1）选用圆的方程两种形式中的一种 （若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程； 若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）； （2）根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组； （3）解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值， 并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程. 3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.
A. a 1
B. a
.
1
C. a
高中数学圆方程教案
高中数学圆方程教案
教学目标：
1. 掌握圆的一般方程和标准方程；
2. 理解不同参数对圆的位置、形状的影响；
3. 能够根据已知条件求解圆的方程。
教学内容：
1. 圆的一般方程和标准方程的表达；
2. 圆的圆心、半径和方程之间的关系；
3. 圆的位置、形状与参数之间的关系。
教学流程：
一、导入
教师引入圆的概念，讲解圆的定义及基本性质，激发学生对圆的兴趣。
二、讲解
1. 圆的一般方程和标准方程的表达形式；
2. 圆的圆心坐标和半径与圆的方程之间的关系；
3. 不同参数对圆的位置、形状的影响。
三、练习与实践
1. 给出不同圆的半径和圆心坐标，让学生求解圆的方程；
2. 给出圆的方程，让学生画出对应的圆图形。
四、总结与延伸
教师总结本节课的重点知识，并提出延伸思考题，拓展学生对圆方程的理解。
五、作业布置
布置相关练习题目，并要求学生结合实际情况解决问题。
教学反馈：
教师根据学生的表现和作业情况，及时给予反馈与指导，以便学生及时纠正错误，提高学习效果。
教学资源：
1. 教科书《高中数学》；
2. PPT课件；
3. 相关练习题目。
教学评估：
通过课堂练习、作业表现以及考试成绩等多方面评估学生掌握情况，及时调整教学内容和方法，帮助学生提高学习效果。
【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 8-2圆的方程 新人教A版
8-2圆的方程基础巩固强化1.(2011²广州检测)圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝1[答案] A[解析] 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知 0－12＋b －22＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.2．(文)(2011²广东文，8)设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则圆C 的圆心轨迹为( )A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆[答案] A[解析] 动圆圆心C 到定点(0,3)的距离与到定直线y ＝－1的距离相等，符合抛物线的定义，故选A.(理)(2011²广州模拟)动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1 D ．(x ＋32)2＋y 2＝12[答案] C[解析] 设中点M (x ，y )，则点A (2x －3,2y )， ∵A 在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1， 即(2x －3)2＋4y 2＝1，故选C.3．方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0表示的曲线形状是( )[答案] C[解析] 注意到方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x ＋y ＋1≥0，或②x ＋y ＋1＝0.①表示的是不在直线x ＋y ＋1＝0的左下方且在圆x 2＋y 2＝4上的部分；②表示的是直线x ＋y ＋1＝0.因此，结合各选项知，选C.4．(2011²华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离最大值是a ，最小值是b ，则a ＋b ＝( )A.125B.245C.65 D ．5[答案] B[解析] 圆心C (1,1)到直线3x ＋4y ＋5＝0距离d ＝125，∴a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125＋r ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫125－r ＝245(r 为圆的半径)．5．(2012²福州八县联考)已知函数f (x )＝1－x －12，x ∈[1,2]，对于满足1<x 1<x 2<2的任意x 1、x 2，给出下列结论：①f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1； ②x 2f (x 1)>x 1f (x 2)；③(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]<0； ④(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0. 其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] 曲线y ＝1－x －12，x ∈[1,2]表示圆(x －1)2＋y 2＝1，位于直线x ＝1右侧x 轴上方的四分之一个圆，∵1<x 1<x 2<2，∴f (x 1)>f (x 2)．因此，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0，④错，③对；显然有k OA >k OB ，∴f x 1x 1>f x 2x 2，∴x 2f (x 1)>x 1f (x 2)，故②正确；又k AB ＝f x 2－f x 1x 2－x 1<0，可能有k AB <－1，也可能k AB >－1，∴①错．6．(文)(2011²日照模拟)圆心在曲线y ＝3x(x >0)上，且与直线3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －3)2＝(185)2B ．(x －3)2＋(y －1)2＝(165)2C ．(x －2)2＋(y －32)2＝9D ．(x －3)2＋(y －3)2＝9 [答案] C[解析] 设圆心坐标为(a ，3a)(a >0)，则圆心到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离d ＝|3a ＋12a ＋3|5＝35(a ＋4a ＋1)≥35(4＋1)＝3，等号当且仅当a ＝2时成立．此时圆心坐标为(2，32)，半径为3，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －32)2＝9.(理)(2011²西安模拟)若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2[答案] D[解析] 由条件知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上，∴a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b)(a ＋b )＝3＋b a＋2ab≥3＋22，等号在b a＝2ab，即b ＝2－2，a ＝2－1时成立．7．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，则点P 的轨迹方程为________．[答案] (x ＋3)2＋(y －4)2＝4(x ≠－95且x ≠－215)[解析]如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为(x 2，y 2)，线段MN 的中点坐标为(x 0－32，y 0＋42)．由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42. 从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3y 0＝y －4.因为N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点(－95，125)和(－215，285)(点P在直线OM 上时的情况)．8．(2011²南京模拟)已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________．[答案] x ＋y －1＝0[解析] 过点M 的最短的弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)， ∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－1(x －1)，即x ＋y －1＝0.9．(文)已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________．[答案] (x ＋2)2＋y 2＝2[解析] 设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝2(a <0)，由条件得2＝|a |2，∴|a |＝2，又a <0，∴a ＝－2.(理)(2012²石家庄一模)已知动圆的圆心C 在抛物线x 2＝2py (p >0)上，该圆经过点A (0，p )，且与x 轴交于两点M 、N ，则sin ∠MCN 的最大值为________．[答案] 1[解析] 当圆心C 的纵坐标为p 时，C (2p ，p )为圆心的圆方程为(x －2p )2＋(y －p )2＝2p 2，令y ＝0得，x ＝2p ±p ，∴MC ⊥NC ，∴sin ∠MCN ＝1.10．(文)已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3,5)，求： (1)过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连结OA ，OC ，求△AOC 的面积S . [解析] (1)⊙C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1.当切线的斜率不存在时，过点A 的直线方程为x ＝3，C (2,3)到直线的距离为1，满足条件．当k 存在时，设直线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0，由直线与圆相切得， |－k ＋2|k 2＋1＝1，∴k ＝34.∴直线方程为x ＝3或y ＝34x ＋114.(2)|AO |＝9＋25＝34， 直线OA ：5x －3y ＝0， 点C 到直线OA 的距离d ＝134，S ＝12²d ²|AO |＝12.(理)(2011²兰州一诊)已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆M 的两条切线，A 、B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．[解析] (1)设圆M 的方程为： (x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)． 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＋－1－b 2＝r 2，－1－a 2＋1－b 2＝r 2，a ＋b －2＝0，解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)因为四边形PAMB 的面积S ＝S △PAM ＋S △PBM＝12|AM |²|PA |＋12|BM |²|PB |， 又|AM |＝|BM |＝2，|PA |＝|PB |，所以S ＝2|PA |， 而|PA |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4， 即S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可， 即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ， 使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝|3³1＋4³1＋8|32＋42＝3，所以四边形PAMB 面积的最小值为：S ＝2|PM |2－4＝232－4＝2 5.能力拓展提升11.(2011²西安模拟)已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆中过点M (3,5)的最长弦、最短弦分别为AC 、BD ，则以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6[答案] B[解析] 圆的方程：(x －3)2＋(y －4)2＝25， ∴半径r ＝5，圆心到最短弦BD 的距离d ＝1， ∴最短弦长|BD |＝46， 又最长弦长|AC |＝2r ＝10，∴四边形的面积S ＝12³|AC |³|BD |＝20 6.12．(文)(2011²成都龙泉第一中学模拟)以抛物线y 2＝20x 的焦点为圆心，且与双曲线x 216－y 29＝1的两渐近线都相切的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2－20x ＋64＝0 B ．x 2＋y 2－20x ＋36＝0 C ．x 2＋y 2－10x ＋16＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＋9＝0[答案] C[解析] 抛物线的焦点坐标是(5,0)，双曲线的渐近线方程是3x ±4y ＝0，点(5,0)到直线3x ±4y ＝0的距离d ＝3即为所求圆的半径．故所求圆的方程为(x －5)2＋y 2＝9，即x 2＋y 2－10x ＋16＝0，故选C.(理)设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程是( )A ．(x －1)2＋y 2＝4 B ．(x －1)2＋y 2＝2 C ．y 2＝2x D ．y 2＝－2x[答案] B[解析] 设P (x ，y )，圆心C (1,0)，由题意知PA ⊥AC ，∴|PC |2＝|PA |2＋|AC |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2，故选B.13．(2011²长春市调研)若圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交所得的弦长为22，则圆的方程是________________．[答案] (x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244[解析] 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x ＋2y ＝0上，即有a ＋2b ＝0，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝0，2－a 2＋3－b 2＝r 2，r 2－a －b ＋122＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝－3，r 2＝52.或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－7，r 2＝244.所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244.14．(文)已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为__________．[答案] (x ＋1)2＋y 2＝2[解析] 在直线方程x －y ＋1＝0中，令y ＝0得，x ＝－1，∴圆心坐标为(－1,0)， 由点到直线的距离公式得圆的半径R ＝|－1＋0＋3|2＝2， ∴圆的标准方程为(x ＋1)＋y 2＝2.(理)圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于A 、B ，|AB |＝3，则该圆的标准方程是________．[答案] (x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1[解析]设圆心C (a ，b )，由条件知a ＝1，取弦AB 中点D ，则CD ＝AC 2－AD 2＝12－⎝⎛⎭⎪⎫322＝12， 即b ＝12，∴圆方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1.15．(文)(2011²青岛模拟)已知以点C ⎝⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程． [解析] (1)证明：∵圆C 过原点O ，∴OC 2＝t 2＋4t2.设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，∴S △OAB ＝12|OA |²|OB |＝12³⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ³|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值． (2)∵|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |， ∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12.∴直线OC 的方程是y ＝12x .∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95> 5.圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，舍去． ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.(理)(2011²北京模拟)已知点A (－3,0)，B (3,0)．动点P 满足|PA |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线C 的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．[解析] (1)设P (x ，y )，∵|PA |＝2|PB |， ∴(x ＋3)2＋y 2＝4[(x －3)2＋y 2] 整理得(x －5)2＋y 2＝16. (2)由条件知QM 与圆C 相切，则问题转化为在直线l 1上求一点Q ，过点Q 作⊙C 的切线，求切线长的最小值． 由于⊙C 的半径为定值4，欲使切线长最小，只需QC 最小，而点C (5,0)为定点，因此，当CQ ⊥l 1时取得最小值，∵C 到l 1的距离d ＝42，∴|QM |min ＝d 2－42＝4.16．(文)已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．[分析] (1)设出点P 的坐标，由|PA |＝2|PB |写出方程，化简即可；(2)直线l 2与曲线C 只有一个公共点M ，故l 2与C 相切，当|QC |取最小值时，|QM |取到最小值，故|CQ |为点C 到l 1的距离时满足要求．[解析] (1)设点P 的坐标为(x ，y )， 则x ＋32＋y 2＝2x －32＋y 2，化得可得(x －5)2＋y 2＝16即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图． 由题意知直线l 2是此圆的切线，连接CQ ， 则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，|CQ |＝|5＋3|2＝42，此时|QM |的最小值为32－16＝4.(理)(2012²河南六市联考)已知直线l 与抛物线x 2＝4y 相切于点P (2,1)，且与x 轴交于点A ，O 为坐标原点，定点B 的坐标为(2,0)，动点Q 满足AB →²BQ →＋2|AQ →|＝0.(1)求动点Q 的轨迹C 的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，只要该圆的切线与切点Q 的轨迹C 有两个不同交点M ，N ，就一定有OM →²ON →＝0？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由x 2＝4y 得y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴直线l 的斜率为y ′|x ＝2＝1，故l 的方程为：y －1＝1(x －2)，即y ＝x －1， ∴点A 坐标为(1,0)，设Q (x ，y )，则AB →＝(1,0)，BQ →＝(x －2，y )，AQ →＝(x －1，y )， 由AB →²BQ →＋2|AQ →|＝0得，x －2＋0＋2x －12＋y 2＝0，化简整理得x 22＋y 2＝1，故动点Q 的轨迹C 的方程为：x 22＋y 2＝1.(2)假设存在这样的圆，其方程为x 2＋y 2＝r 2(r >0)．(ⅰ)当直线MN 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m 代入x 22＋y 2＝1，可得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，判别式Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)>0， ∴m 2<1＋2k 2，①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，②x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2，③由OM →²ON →＝0，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，即x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，④ 将②③代入④得2m 2－11＋k 21＋2k 2－4k 2m 21＋2k 2＋m 2＝0，m 2＝23(1＋k 2)，⑤显然满足①式由直线MN ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝r 2相切知：r ＝|m |1＋k2，∴r ＝m 21＋k 2＝23，即存在圆x 2＋y 2＝23满足题意． (ⅱ)当直线MN 的斜率不存在时，可得x 1＝x 2＝63或x 1＝x 2＝－63，y 1＝－y 2＝63，满足OM →²ON →＝0，综上所述：存在圆x 2＋y 2＝23满足题意．1．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为60°，直线ax ＋by －a ＋1＝0平分圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是( )A ．P 在⊙C 内B ．P 在⊙C 上 C ．P 在⊙C 外D ．无法确定[答案] C[解析] 由条件得，⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝tan60°，2a ＋3b －a ＋1＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14，b ＝－34，∵(－14－2)2＋(－34－3)2>1，∴点P 在⊙C 外．2．(2011²临沂模拟)圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A ．(－∞，14]B ．(0，14]C ．(－14，0)D ．(－∞，14)[答案] A[解析] 由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a ＋b ＝1，∴ab ≤(a ＋b2)2＝14.3．已知圆(x＋1)2＋(y－1)2＝1上一点P到直线3x－4y－3＝0距离为d，则d的最小值为( )A．1 B.4 5C.25D．2[答案] A[解析] ∵圆心C(－1,1)到直线3x－4y－3＝0距离为2，∴d min＝2－1＝1.4．(2011²东北育才中学期末)圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是( )A．(－∞，4) B．(－∞，0)C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)[答案] A[解析] 圆(x－1)2＋(y＋3)2＝10－5a，由条件知，圆心C(1，－3)在直线y＝x＋2b上，∴b＝－2，又10－5a>0，∴a<2，∴a－b<4.5．(2011²浙江宁波八校联考)点(a，b)为第一象限内的点，且在圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝8上，ab的最大值为________．[答案] 1[解析] 由条件知a>0，b>0，(a＋1)2＋(b＋1)2＝8，∴a2＋b2＋2a＋2b＝6，∴2ab＋4ab ≤6，∵ab>0，∴0<ab≤1，等号在a＝b＝1时成立．[点评] 作出图形可见，点(a，b)为⊙C在第一象限的一段弧，由对称性可知，当点(a，b)为直线y＝x与⊙C的交点(1,1)时，ab取最大值1.。
2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第6课时 直线与椭圆
第九章
第6课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
4 则 x1·2＝0，x1＋x2＝ ，y1y2＝(x1－1)(x2－1)＝x1x2－ x 3 4 1 (x1＋x2)＋1＝1－3＝－3， 1 1 → → OA· ＝x1x2＋y1y2＝0－3＝－3. OB
第九章
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第九章
理）
因为直线与椭圆恒有公共点，故 Δ＝(10k)2－4×(5k2 ＋m)×5(1－m)＝20(5k2m－m＋m2)≥0 因为 m>0，所以不等式等价于 5k2 －1＋m≥0，即 1－m 1－m k ≥ 5 ，由题意，可知不等式恒成立，则 5 ≤0，解
2
得 m≥1. 综上 m 的取值范围为 m≥1 且 m≠5.
第九章
第6课时
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【解析】 m≠5. 将直线与椭圆的方程联立方程组，得 解法一
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由椭圆的方程，可知 m>0，且
y－kx－1＝0，① 2 2 x y 由①，得 y＝kx＋1， 5 ＋m＝1，②
2 x2 kx＋1 代入②，得 5 ＋ m ＝1，
整理，得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0，
得(a2＋3b2)y2＋8 3b2y＋16b2－a2b2＝0， 由 Δ＝0，可得 a2＝7，∴2a＝2 7.
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2．若直线 mx＋ny＝4 与⊙O：x2＋y2＝4 没有交点， x2 y2 则过点 P(m，n)的直线与椭圆 9 ＋ 4 ＝1 的交点个数是 ( ) A．至多为 1 C．1
答案 1 －3
第九章
第6课时
高三理科数学一轮总复习第八章 直线和圆的方程
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命题展望
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的计算公式.
3.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
4.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
故所求直线方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
(2)当斜率不存在时，直线方程x－2＝0合题意；
当斜率存在时，则设直线方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，所以＝2，解得k＝－，方程为3x＋4y－10＝0.
故所求直线方程为x－2＝0或3x＋4y－10＝0.
【点拨】截距可以为0，斜率也可以不存在，故均需分情况讨论.
5.掌握用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
6.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离.
7.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.
8.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
9.能用直线和圆的方程解决简单的问题.
10.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
11.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，会推导空间两点间的距离公式.
本章重点：1.倾斜角和斜率的概念；2.根据斜率判定两条直线平行与垂直；3.直线的点斜式方程、一般式方程；4.两条直线的交点坐标；5.点到直线的距离和两条平行直线间的距离的求法；6.圆的标准方程与一般方程；7.能根据给定直线，圆的方程，判断直线与圆的位置关系；8.运用数形结合的思想和代数方法解决几何问题.
l的倾斜角为2θ，tan2θ＝ ＝＝.
2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第3课时 圆的方程
第九章
第3课时
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即|AB|＝|GF|，又|AC|＝|GC|， ∴Rt△ABC≌Rt△GFC，∴|BC|＝|FC|. 设 C(a，b)，则|a|＝|b|， 又圆 C 过点 P(1,2)和 Q(－2,3)， ∴圆心在 PQ 的垂直平分线上， 5 1 即在 y－2＝3(x＋2)上， 即在 y＝3x＋4 上，∴b＝3a＋4. ② ①
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2013届高考一轮数学复习理科课件（人 教版）
第九章 平面解析几何
第九章
平面解析几何
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第3课时
圆的方程
第九章
第3课时
高考调研
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1．掌握确定圆的几何要素． 2．掌握圆的标准方程与一般方程.
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－4F>0
D E － ，－ 2 ，其中圆心为 2 ，半径为
D2＋E2－4F r＝ . 2
第九章
第3课时
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4．点与圆的位置关系 设圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点 M(x0，y0) ①点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2 ＝r2； ②点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2 > r2； ③点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2 < r2.
第九章
第3课时
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由①知
a＝－1， a＝± b，代入②得 b＝1，
a＝－2， 或 b＝－2
∴r＝ a－12＋b－22＝ 5或 5. 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝5 或(x＋2)2＋(y＋2)2＝25，即 x2＋y2＋2x－2y－3＝0 或 x2＋y2＋4x＋4y－17＝0.
高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.3 圆的方程试题 理 北师大版-北师大版高三全册数学试
第九章平面解析几何 9.3 圆的方程试题理北师大版圆的定义与方程定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要条件：D2＋E2－4F>0圆心坐标：(－D2，－E2)半径r＝12D2＋E2－4F【知识拓展】1．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( √ )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( √ )(4)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆．( × )(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.( √ )1．(教材改编)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0 答案 C解析 圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入检验选项C 满足．2．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 答案 B解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m . 因为∠APB ＝90°，连接OP ， 易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝32＋42＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.3．(2015·)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案 D解析圆的半径r＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.4．(教材改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为______________．答案(x－2)2＋y2＝10解析设圆心坐标为C(a,0)，∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，∴|CA|＝|CB|，即a＋12＋1＝a－12＋9，解得a＝2，∴圆心为C(2,0)，半径|CA|＝2＋12＋1＝10，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.5．(2016·某某)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是______，半径是______．答案(－2，－4) 5解析由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．题型一 求圆的方程例1 (1)(2016·某某)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________．(2)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案 (1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254解析 (1)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0， 所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为52.思维升华 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．(2016·某某八校联考)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成两段弧，弧长之比为1∶2，则圆C 的标准方程为________________． 答案 x 2＋(y ±33)2＝43解析 ∵圆C 关于y 轴对称，∴可设C (0，b )，设圆C 的半径为r ，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋－b2＝r 2，|b |＝12r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝43，b ＝±33，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y ±33)2＝43. 题型二 与圆有关的最值问题例2 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上．求x ＋y 的最大值和最小值． 解 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋－3－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1．在本例的条件下，求y x的最大值和最小值．解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233.所以y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值．解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝x ＋12＋y －22，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1, 2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，所以x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求：(1)y x的最大值和最小值； (2)y －x 的最小值；(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．解 (1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设y x＝k ，即y ＝kx ，则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值． 由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3， ∴k max ＝3，k min ＝－ 3. (2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，当且仅当直线y＝x＋b与圆切于第四象限时，在y轴上的截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得|2－0＋b|2＝3，即b＝－2±6，故(y－x)min＝－2－ 6.(3)x2＋y2是圆上的点与原点的距离的平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋3)2＝7＋43，(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－3)2＝7－4 3.题型三与圆有关的轨迹问题例3 (2016·潍坊模拟)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．(2016·某某模拟)设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹． 解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况)．21．利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．思想方法指导 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法．(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题． 规X 解答解 一般解法 (代数法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，3＋222＋D3＋22＋F ＝0，3－222＋D3－22＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.巧妙解法 (几何法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)． 故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋t －12＝3，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.1．(2016·某某检测)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝0 答案 B解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.2．(2016·某某一模)方程|x |－1＝1－y －12所表示的曲线是( )A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆 答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|x |－12＋y －12＝1，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12＋y －12＝1，x ≥1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＋y －12＝1，x ≤－1.故原方程表示两个半圆．3．若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2 答案 D解析 由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上， ∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b≥3＋2b a ×2ab ＝3＋22， 当且仅当b a ＝2ab，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立．∴1a ＋2b的最小值为3＋2 2.4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．(2016·某某诊断)圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋(y －1)2＝1B ．x 2＋(y －3)2＝3C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y ＋3)2＝3答案 A解析 依题意，得题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为60°，结合图形(图略)可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1.6．(2016·某某模拟)已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线(A ，B 是切点)，C 是圆心，那么四边形PACB 的面积的最小值是( ) A. 2 B ．2 2 C. 3 D ．2 3答案 C解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，则C (1,1)，当|PC |最小时，四边形PACB 的面积最小，|PC |min ＝|3－4＋11|32＋42＝2，此时|PA |＝|PB |＝ 3. 所以四边形PACB 的面积S ＝2×12×3×1＝3，故选C. 7．(2016·某某模拟)若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是______________． 答案 (x －2)2＋(y ＋32)2＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )． 又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |，解之得m ＝－32. 所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋32)2＝254. 8．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为______________．答案 x ＋y －2＝0 解析 当圆心与点P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与点P 连线的斜率k ＝1，所求直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.9．已知D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ≥0， x ＋3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为________．答案 π2解析 作出可行域D 及圆x 2＋y 2＝4，如图所示，图中阴影部分所在圆心角θ＝α－β所对的弧长即为所求．易知图中两直线的斜率分别为12、－13，得tan α＝12，tan β＝－13， tan θ＝tan(α－β)＝12＋131－12×13＝1， 得θ＝π4，得弧长l ＝θ·R ＝π4×2＝π2(R 为圆的半径)． 10．(2016·某某模拟)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．答案 7＋1解析 设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆，又OA →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x－1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝x －12＋y ＋32. 问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值．∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为3－12＋0＋32＝7， ∴x －12＋y ＋32的最大值为7＋1.11．已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段的长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．解 (1)由题意知直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0.设圆心C (a ，b )，半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32， 即y ＝x －1，所以b ＝a －1.①由圆C 在y 轴上截得的线段的长为43，知r 2＝12＋a 2，可得(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2，②由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4.当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13，满足题意，当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37，不满足题意．故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13.(2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m (m ≠2)， A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)．由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0，化简得2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.③由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋m ，x －12＋y 2＝13得 2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 2－122，代入③，得m 2－12－m ·(1＋m )＋m 2＝0，∴m ＝4或m ＝－3，经检验都满足题意，∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0或x ＋y ＋3＝0.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得的线段长为22，在y 轴上截得的线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)，则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.13.已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值．解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝2＋22＋7－32＝4 2. 所以|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率， 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k . 由直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤22， 可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.。
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高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra r a解之得：1-=a ，202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：．圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ． (2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ．∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ． 说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其圆心为)1,2(A ，半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2227)14()2(=-+-a ，解之得1022±=a ．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．上述误解只考虑了圆心在直线0=y 上方的情形，而疏漏了圆心在直线0=y 下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切， ∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ． 又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上． 设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ， ∴22)53(532-+=+t t tt ．化简整理得0562=+-t t ． 解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ． 则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2． ∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2． ∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52b a d -=∴2225b a d -=ab b a 4422-+=)(242222b a b a +-+≥ 1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ．这时有⎩⎨⎧=-=1222a b ba ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a又2222==b r故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得 52b a d -=．∴d b a 52±=-．∴2225544d bd b a +±=． 将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ．将55=d 代入方程得1±=b ．又1222+=a b ∴1±=a ．由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ． 说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．解：∵点()42，P 不在圆O 上，∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴21422=++-kk解得 43=k所以 ()4243+-=x y即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例 6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有： 0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程．又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． 说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
练习：1．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程． 解：设切线方程为1(3)y k x -=-，即310kx y k --+=， ∵圆心(1,0)到切线l 的距离等于半径2， ∴()22|31|21k k k -+=+-，解得34k =-，∴切线方程为31(3)4y x -=--，即34130x y +-=，当过点M 的直线的斜率不存在时，其方程为3x =，圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2，故直线3x =也适合题意。
所以，所求的直线l 的方程是34130x y +-=或3x =． 2、过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线的方程为解：设直线方程为kx y =，即0=-y kx .∵圆方程可化为25)1()2(22=++-y x ，∴圆心为（2，-1），半径为210.依题意有2101122=++kk ，解得3-=k 或31=k ，∴直线方程为x y 3-=或x y 31=.3、已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为 . 解：∵圆1)1(22=+-y x 的圆心为（1，0），半径为1，∴1125522=++a ，解得8=a 或18-=a .类型三：弦长、弧问题例8、求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长.例9、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 解：依题意得，弦心距3=d ，故弦长2222=-=drAB ，从而△OAB 是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为3π=∠AOB .例10、求两圆0222=-+-+y x y x 和522=+y x 的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例11、已知直线0323=-+y x 和圆422=+y x ，判断此直线与已知圆的位置关系.例12、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围.解：∵曲线24x y -=表示半圆)0(422≥=+y yx ，∴利用数形结合法，可得实数m 的取值范围是22<≤-m 或22=m .例13 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答．解法一：圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ．设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324311343322<=+-⨯+⨯=d ．如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又123=-=-d r ．∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个．解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为043=++m y x ，则1431122=++=m d ，∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即 06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：．设圆9)3()3(221=-+-y x O ：的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则34363433221=+-⨯+⨯=d ，143163433222=+-⨯+⨯=d ．∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解： 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324311343322<=+-⨯+⨯=d ．∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离，r d <，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断．练习1：直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是 解：依题意有a a >-21，解得1212-<<--a .∵0>a ，∴120-<<a .练习2：若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是 . 解：依题意有11122<+-kk ，解得340<<k ，∴k 的取值范围是)34,0(.3、 圆034222=-+++y x y x 上到直线01=++y x 的距离为2的点共有（ ）．（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个分析：把034222=-+++y x y x 化为()()82122=+++y x ，圆心为()21--，，半径为22=r ，圆心到直线的距离为2，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于2，所以选C ．4、 过点()43--，P 作直线l ，当斜率为何值时，直线l 与圆()()42122=++-y x C ：有公共点，如图所示．分析：观察动画演示，分析思路．解：设直线l 的方程为()34+=+x k y即043=-+-k y kx根据r d ≤有214322≤+-++kk k整理得0432=-k k解得340≤≤k ．类型五：圆与圆的位置关系问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？例14、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系，例15：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有 条。