5-4 控制系统频率特性的绘制

ω →0 + ω →0 + ω →0 +
K (bm −1 − an −ν −1 )ω V (ω ) = a n2−υ −1ω 2 + 1
j 00
lim G ( jω ) = lim U (ω ) + j lim V (ω ) = K + j 0 = Ke
ω →0 +
lim A(ω ) = K
ω →0+
斜率为 − 20dB / dec, 过(ω＝1, 0dB )点的直线;ϕ = −900
(5)一阶微分 转折频率ω1=3
L(ω ) dB
60 40 20 0.01 -20 -40 -60 0.1 1
-2d / s
ω
10
-20
积分
-40
-20
惯性
-60
振荡
ϕ (ω )
20 lg A(ω ) = 20 lg A1 (ω ) + 20 lg A2 (ω ) + L + 20 lg An (ω ) = ∑ 20 lg Ai (ω )
n i =1
ϕ (ω ) = ϕ1 (ω ) + ϕ2 (ω ) + L + ϕn (ω ) = ∑ ϕn (ω )
i =1
n
对数幅频特性和相频特性都符合叠加原则。 对数幅频特性和相频特性都符合叠加原则。
优点：可以精确地绘制频率特性的极坐标图。 缺点：非常麻烦，工作量大，不实用。 开环极坐标图用于系统分析时， 开环极坐标图用于系统分析时，不需要精确 的图形，只需要绘制概略极坐标图。为了较快地 的图形，只需要绘制概略极坐标图。 绘制极坐标图的大致形状， 绘制极坐标图的大致形状，需研究根据开环频率 特性的解析式绘制极坐标图的一般规律和特点。 特性的解析式绘制极坐标图的一般规律和特点。
ϕ (ω ) = ϕ1 (ω ) + ϕ2 (ω ) + L + ϕn (ω )
系统频率特性的幅值为各组成环节幅值的乘积， 相位为各组成环节相位的和。
步骤:
1、分别求出组成系统的各串联典型环节频率特 性的幅值和相角； 2、按照“幅值相乘、相角相加”的原则算出与 选定的ω相对应的开环系统频率特性的相角ϕ(ω)和幅 值A(ω) ； 3.1 按照所得相角和幅值绘制开环系统的极坐标 图(逐点描迹)。 3.2 根据所得的幅值A(ω)和相角ϕ(ω)，算出系统 频率特性的实部U(ω)和虚部V(ω)，根据实部和虚部绘 制轨迹图(避免使用量角工具)。
K [b0 ( jω ) m + b1 ( jω ) m −1 + L + bm −1 ( jω ) + 1] G ( jω ) = ( jω )ν [ a0 ( jω ) n −ν + a1 ( jω ) n −ν −1 + L + an −ν −1 ( jω ) + 1]
(2)高频段 (ω→∞，终点 ω ，终点)
思路：寻求绘制概略幅相曲线的快捷方法 2、实用概略极坐标图的绘制 设系统开环频率特性为：
K [b0 ( jω ) m + b1 ( jω ) m −1 + L + bm −1 ( jω ) + 1] G ( jω ) = ( jω )ν [a0 ( jω ) n −ν + a1 ( jω ) n −ν −1 + L + an −ν −1 ( jω ) + 1]
1
ων
(3)依次画转折频率以后部分,增减斜率。
例：绘制开环对数幅频渐近特性曲线
300( s + 2) G (s) H (s) = s ( s + 0.5)( s + 30)
解：
40(0.5s + 1) G(s) H (s) = 1 s (2s + 1)( s + 1) 30
低频段： 经过点(ω=1，20lgk＝32dB)斜率为-20dB/dec的直线
−∞ (bm −1 > an −ν −1 ) = +∞ (bm −1 < an −ν −1 )
结论： 型系统的幅相曲线的低频段起始于负实 结论 ： 2型系统的幅相曲线的低频段起始于负实 轴上的无穷远点。 轴上的无穷远点。
同样的方法，可知： 同样的方法，可知： 3型系统的幅相曲线的低频段起始于正虚轴 上的无穷远点。 上的无穷远点。 4型系统的幅相曲线的低频段起始于正实轴 上的无穷远点。 上的无穷远点。 5型及5型以上系统很难稳定，需要改造。 型及5型以上系统很难稳定，需要改造。
分子分母同乘以 −1
− K [(an −ν −1bm −1ω 2 + 1) + (bm −1 − an −ν −1 )( jω )] = ω 2 [a n2−ν −1ω 2 + 1] ν 2型系统， = 2
− K (an −ν −1bm −1ω 2 + 1) U (ω ) = ω 2 (a n2−ν −1ω 2 + 1)
lim ϕ (ω ) = 0
结论： 型系统的幅相曲线的低频段起始于实轴 结论 ： 0型系统的幅相曲线的低频段起始于实轴 上的点(K,j0)。 上的点 。
G ( jω )
ω →0 +
K [(an −ν −1bm −1ω 2 + 1) + (bm −1 − an −ν −1 )( jω )] ≈ j )ν ( jωω [a n2−υ −1ω 2 + 1]
Kb0 ( jω ) m Kb0 1 1 Kb0 1 − ( n − m )900 lim G ( jω ) ≈ = ⋅ n−m ⋅ n −m = ⋅ n−m e n ω →∞ a0 ( jω ) a0 j ω a0 ω
讨论：
n − m < 0 ,在物理上难以实现系统。
Kb0 Kb0 , j 0) 点。 n = m, lim G ( jω ) = , 终止于 ( ω →∞ a0 a0 n − m > 0, A(ω ) = 0 ϕ (ω ) = −(n − m)900
二、开环频率特性对数坐标图的绘制
1、从解析形式看对数坐标图的绘制
G ( jω ) = G1 ( jω )G2 ( jω )L Gn ( jω ) = A1 (ω ) A2 (ω )L An (ω )e j[ϕ1 (ω ) +ϕ2 (ω ) +L+ϕn (ω )] = A(ω )e jϕ (ω )
A(ω ) = A1 (ω ) A2 (ω ) L An
讨论： 讨论：
(1)低频段(ω→0,起始点 ω 起始点) 起始点
G ( jω )
ω →0 +
K [bm −1 ( jω ) + 1] ≈ ( jω )ν [an −ν −1 ( jω ) + 1]
分子分母同乘以 1 − an −ν −1 ( jω )
K [(an −ν −1bm −1ω 2 + 1) + (bm −1 − an −ν −1 )( jω )] = ( jω )ν [a n2−ν −1ω 2 + 1]
讲授技巧及注 通过数学公式推导、详细给出绘制步骤进行分析。 意事项
绘制开环频率特性的重要性
用频域法研究控制系统的最主要特点是根据开环频 率特性判别闭环系统的稳定性及时域性能指标； 闭环系统的稳定性及时域性能指标也可以从闭环频 域特性得到，但闭环特性需要从开环频率特性获得；
开环频率特性比较容易求得。
系统Bode图的绘制(叠加法) 例 绘制开环传递函数的对数坐标图
1 7.5( s + 1) 3 G( s) = 1 1 2 s ( s + 1)( s + s + 1) 2 2
(1) (1)比例 (2)积分 (3)振荡 (4)惯性
20lgK=20lg7.5=17.5dB; ϕ(ω) =00 ω -20lgω 转折频率ω3= 2 转折频率ω2=2
G ( jω )
ω →0 +
K [(an −ν −1bm −1ω 2 + 1) + (bm −1 − an −ν −1 )( jω )] ≈ ( jω )ν [a n2−ν −1ω 2 + 1]
ν 0型系统， = 0
K (an −ν −1bm −1ω 2 + 1) U (ω ) = a n2−υ −1ω 2 + 1
分子分母同乘以 − j
K [(bm −1 − an −ν −1 )ω − j (an −ν −1bm −1ω 2 + 1)] = ω (a n2−υ −1ω 2 + 1) ν 1型系统， = 1
K (bm −1 − an −ν −1 ) U (ω ) = 2 a n−ν −1ω 2 + 1
ω →0 + ω →0 +
900 0.01 -900 -1800 -2700 0.1 1 10
一阶微分
惯性
rad / s 比例 ω
积分 振荡
典型环节对数坐标图的特点： 比例环节和积分环节在整个频率段上起作用； 惯性环节、一阶微分环节、振荡环节和二阶 微分环节在转角频率之前的渐近线为0dB， 在转角频率之后的渐近线为斜率分别为-20、 20、-40、40dB/dec的斜线。
lim A(ω ) = ∞
ω →0 +
lim ϕ (ω ) = −900
结论： 型系统的幅相曲线的低频段起始于负虚 结论 ： 1型系统的幅相曲线的低频段起始于负虚 轴上的无穷远点。 轴上的无穷远点。
G ( jω )
ω →0 +
K [(an −ν −1bm −1ω 2 + 1) + (bm −1 − an −ν −1 )( jω )] ≈ 2 ( jω )ν [a n2−ν −1ω 2 + 1]