频率特性1
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课件：第三章-1-频率特性基本概念及波特图
2. 一阶零点因子
Av2( j)
Av2 ( ) 20 lg 1 ( / z )2
2
(
)
arct
an
z
结的论贡：献| A是网v( j负络)的函| (d，数B)最的大每20为一lg 个－Av(一900) 度阶 2，极0lg在点1ω因＝子 ω（zp负2处半为20轴－lg）415对度相，p位2
ω贡＝献ω是p－就(2是0) d幅B0频/十 波a倍rc特频ta图n或的－z 转6da折rBc频/t倍an率频，p程在。ω>ωp 处对幅度的
(1 j )
Av (
j )
Av (0) (1
j
z
)
p
其中Av (0)
Avm
z p
(1 j )
Av (
j )
Av (0)
(1
j
z
)
表示成分贝形式：
p
其中Av (0)
Avm
z p
| Av ( j) | (dB) 20lg Av(0) 20lg
2
1
z
20lg
2
1
p
() 0 arctan arctan
零点：z1＝0 z2＝－σ2
极点：p1＝－σ1
零极图为：
p2 ( n ) jn 1 2
p3 ( n ) jn 1 2
3.2.4 波特图绘制方法
波特图：用折线逼近幅度频率特性和相位频率特性， 频率轴采用对数刻度，幅值（以dB表示）和相位采用 线性刻度。
H( j) | H( j) | e j()
零点因子的波特图： H（1 j) j 1() 90 | H（1 j) | 或 | H（1 j) | 20lg(dB)
频率特性实验报告
一、实验目的1. 理解频率特性的基本概念和测量方法。
2. 掌握使用Bode图和尼奎斯特图分析系统频率特性的方法。
3. 了解频率特性在系统设计和稳定性分析中的应用。
二、实验原理频率特性描述了系统对正弦输入信号的响应，通常用幅频特性和相频特性来表示。
幅频特性表示输出信号幅度与输入信号幅度之间的关系，相频特性表示输出信号相位与输入信号相位之间的关系。
频率特性的测量通常通过以下步骤进行：1. 使用正弦信号发生器产生不同频率的正弦信号。
2. 将信号输入被测系统，并测量输出信号的幅度和相位。
3. 根据测量数据绘制幅频特性和相频特性曲线。
三、实验设备1. 正弦信号发生器2. 示波器3. 信号分析仪4. 被测系统（如电路、控制系统等）四、实验步骤1. 准备实验设备，确保各设备连接正确。
2. 设置正弦信号发生器，产生一系列不同频率的正弦信号。
3. 将正弦信号输入被测系统，并使用示波器或信号分析仪测量输出信号的幅度和相位。
4. 记录不同频率下的幅度和相位数据。
5. 使用绘图软件绘制幅频特性和相频特性曲线。
五、实验结果与分析1. 幅频特性分析通过绘制幅频特性曲线，可以观察到系统对不同频率信号的衰减程度。
一般来说，低频信号的衰减较小，高频信号的衰减较大。
根据幅频特性，可以判断系统的带宽和稳定性。
2. 相频特性分析通过绘制相频特性曲线，可以观察到系统对不同频率信号的相位延迟。
相频特性曲线通常呈现出滞后或超前特性。
根据相频特性，可以判断系统的相位裕度和增益裕度。
3. 系统稳定性分析根据幅频特性和相频特性，可以判断系统的稳定性。
如果系统的相位裕度和增益裕度都大于零，则系统是稳定的。
否则，系统可能是不稳定的。
六、实验结论通过本次实验，我们成功地测量了被测系统的频率特性，并分析了其幅频特性和相频特性。
实验结果表明，被测系统在低频段表现出较小的衰减，而在高频段表现出较大的衰减。
相频特性曲线显示出系统在低频段滞后，在高频段超前。
根据频率特性分析，可以得出被测系统是稳定的。
第六节 频率特性(1)
第六节、放大器的频率特性一、频率特性的概念如图所示：电容器对交流信号的阻抗与交流信号的频率成反比、与电容的容量成反比。
Zc=1/2πfC在RC串联电路中，当F很低的时候，Zc很大，所以U L1很小。
当F很高的时候，Zc越来越小，所以U L1逐渐接近Ui。
在CR串联电路中，当F很低的时候，Zc很大，所以U L2很接近Ui。
当F很高的时候，Zc越来越小，所以U L2逐渐减小。
二、耦合电容和旁路电容对放大器低频截止频率的影响如图所示：1、耦合电容对放大器低频截止频率的影响在共发射极放大器中，耦合电容与放大器的输入阻抗组成了一个串联回路。
因为耦合电容对交流信号有容抗存在，所以到达放大器b点的信号幅度已经降低。
而且频率越低，耦合电容的容抗越大，输入信号到达放大器b点的信号幅度越低，从而影响放大器在频率低端的电压放大倍数。
这与RC串联电路具有同样的特性。
我们将放大器在频率低端的电压放大倍数降低到正常放大倍数的根号二分之一的频率点称为放大器的低频截止频率。
2、旁路电容对放大器低频截止频率的影响旁路电容对放大器低频截止频率的影响与耦合电容具有同样的原理，只是从放大器三极管发射极看进去的阻抗；与基极看进去的阻抗相差β倍，因此，同样容量的电容器，发射极电容比基极电容对放大器低频特性的影响要大β倍。
所以，耦合电容和旁路电容影响的都是放大器的低频截止频率。
三、影响放大器高频截止频率的因素电子线路的分布电容对放大器高频截止频率的影响最为显著。
1、三极管的极间电容三极管的三个电极之间都存在着分布电容Cce、Ccb、Cce。
这些分布电容的参数都很小，高频小功率三极管的基建电容通常在10PF以下。
在低频的时候容抗很大，对放大器频率特性的影响可以忽略不计。
当进入高频阶段以后，参数很小的分布电容的容抗逐渐减小，对放大器的高频特性越来越严重地产生根本性的制约。
如图A所示：2、分布电容对共发射极放大器高频信号放大能力的影响a、共发射极放大器输入高频信号的时候，基极与发射极之间的极间电容Cbe 会对输入信号产生对的分流的作用。
频率特性的概念.
110 2 10 2 10 A( ) G ( j ) ( 2 ) ( ) 11 2 112 2 112 2 10 10 ( ) arctg arctg arctg 110 110 11
7
由已知r(t)=sin(t+30°)，得 w=1
5.1 频率特性的概念
一、定义：
线性系统对正弦输入信号的稳态响应称频率响应。
二、特点：
设系统的闭环传递函数
b0 s m b1s m1 ... bm G( s) ............(n m) n n 1 a0 s a1s ... an
输入r(t)=Arsinwt，则 ：
w
A(w)
G(jw)
n G(j ) 2 2 (j ) 2n (j ) n
A( ) G ( j ) 1
P(w)
P
n 2
(n 2 ) 2 (2 n ) 2
2
2 2 2 [1 ( ) ] (2 ) n n
10
2 n ( ) G ( j ) arctg 2 n 2
C1 C2 Cn d d* C(s) ... s s1 s s2 s sn s jw s jw
求拉氏反变换得：
C (t ) C1e C2e ... Cn e de
s1t s2t sn t
jt
d e
* jt
（si 为系统的闭环特征根。）
穿越频率wc： w=1时，L(w)=0，因此wc=1
27
L(w) 20 – 20db/dec 0 w
积分环节
0 90
0.1
1
控制工程--频率特性分析(1)
1
A( ) K
1 T12 2 1
1
jT1 1 jT2 1
1
(T1 T2 ) ( ) arctgT1 arctgT2 arctg 1 T1T2 2
T22 2 1
当＝0时， A( ) K , ( ) 0 1 当＝ 时，A( ) K T1T2 ， ( ) 900 T1T 2 T1 T2
0
当＝时， A( ) 0,
( ) 1800
1 T1T2
频率特性与负虚轴的交点频率为
交点坐标是
(0, jK
T1T2 T1 T2
)
Im
0
K
0
Re
1 T1T2
(0, jk
T1T2 T1 T2
)
例2 系统极坐标图
例3 已知系统的开环传递函数如下式试绘制该系统的奈奎斯 特图。 K
Im
K T
T
T
0
T
K
K T
Re
例4 极坐标图
二、乃氏图的一般形状
设线性定常系统的开环传递函数为：
G (s) K ( 1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) v s (T1s 1)(T2 s 1) (T s 1) K ( i s 1) s v (Tk s 1)
§5.3 反馈控制系统的开环频率特性 (一)系统开环乃氏图的绘制
主要知识点
• 回顾：典型环节乃氏图 • 系统乃氏图的绘制（PPT,P15）
一、典型环节的伯德图 1.比例环节
Im
K
0
0
放大环节的极坐标图
Re
频率特性的基本概念
•表1-1 RC网络的幅频特性和相频0.707 0.45 0.196 0
() 0
45 63.4 78.69 90
图1-2 RC网络的幅频和相频特性 图1-3 RC网络频率特性的幅相曲线
对数频率特性图又称伯德图（Bode图），包括对数幅频特性 和对数相频特性两条曲线，其中，幅频特性曲线可以表示 一个线性系统或环节对不同频率正弦输入信号的稳态增益； 而相频特性曲线则可以表示一个线性系统或环节对不同频 率正弦输入信号的相位差。对数频率特性图通常绘制在半 对数坐标纸上，也称单对数坐标纸。
（3）利用对数运算可以将幅值的乘除运算化为加减运算， 并可以用简便的方法绘制近似的对数频率幅相特性，从而 大大简化系统频率特性的绘制过程。
自动控制原理
来求取。 （3）通过实验所测数据，进行分析求取。
G( j) G(s) s j
1.2频率特性的图形表示方法
频率特性函数最常用的两种图形表示 方法，分别为极坐标图和对数频率特 性图。
极坐标图，又称奈奎斯特图、幅相频 率特性图，其特点是将频率 作为参 变量。
当正弦信号的频率 由0 变化时， 系统频率特性向量的幅值和相位也随 之作相应的变化，其端点在复平面上 移动而形成的轨迹曲线称为幅相曲线， 其中曲线上的箭头表示频率增大的方 向。
自动控制原理
频率特性的基本概念
1.1频率特性的定义 频率特性反映了系统的频率响应与正弦
输入信号之间的关系。
图1-1 RC网络
控制系统频率特性的求解方法具有如下三种途径： （1）根据已知的系统方程，输入正弦函数求出其稳态解， 而后求解输出稳态分量和输入正弦信号的复数比。 （2）根椐系统传递函数，利用表达式
对数幅频特性图是表示环节的对数幅值 L() 20lg A()和频率 的关系曲线。
光学成像系统的频率特性(1)
fy
sin
yf
f
f
f
所以 能在透镜的后焦面上得到物体的频谱分布。
35
3.1 透镜的傅里叶变换性质
透镜的渐晕效应
0 l L f0 2d 0
36
3.1 透镜的傅里叶变换性质
37
3.1 透镜的傅里叶变换性质
fM
M lL 2d 0
1, 透镜孔径内 P x, y 0， 其它
k 2 2 tl x, y exp j x y 2f
Px, y
12
3.1.2 透镜的傅里叶变换性质
一定方向的平面波经过凸透镜后能够会 聚于焦点，说明该点与该平面波两者之 间的振幅和位相密切相关，且该点的位 置与平面波的传播方向对应，因而透镜 后焦面上的复振幅分布与入射波前的角 谱存在确定的关系。 透镜的傅里叶变换性质的根源是它对入 射波前的位相调制能力。 本节的讨论分为三种情形。 所有讨论在衍射理论的基础上展开。
23
3.1 透镜的傅里叶变换性质
透镜后焦面上的光场分布正比于物体的傅立叶 变换； 后焦面上的位相分布于物体频谱的位相分布并 不相同； 透镜后焦面上的强度分布为：
I f xf , yf
A f
xf yf T f , f
39
总结
用光学方法实现傅里叶变换，对物体做 频谱分析，较之计算机处理速度快，信 息容量大，装置简单。 物体越小，频谱越展宽，衍射图样的尺 寸就越大，因而光学频谱分析可以用来 对微小物体做尺寸分析。 光学频谱分析同样可以用来做图像分析。
Chapter5-1+频率特性的基本概念典型环节的频率特性[1]
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18
2.2 频率特性的表示方法：
指数表示法：
G(j)＝ G(j) e j ( )＝A()e j ( )
极坐标表示法： G( j )＝A( ) ( ) 直角坐标表示法： G( j )＝P( )＋jQ( ) 工程上常用图形来表示频率特性，常用的有： 幅相曲线(极坐标图) ，也称奈奎斯特(Nyquist)图。 (半)对数坐标图，也称伯德(Bode)图。
C0 C1s C2 1T A U c ( s) 2 2 2 2 s 1 T s s 1 T s
A T AT - AT C 0 slim C 1 1 T s 2 2 1 2T 2 1 2T 2
A C2 1 2T 2
C (s) G ( s )＝ R(s)
C ( j ) G ( j )＝ ＝G ( s ) s＝j R ( j )
15
频率特性的概念 不 设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。
40
给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦， 曲线如下:
结论：
Ar=1 ω=0.5
给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入 同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。
14
电路理论的角度理解频率特性的含义：将输入与输出表 示为复数形式，即输入信号为Rm·ej0，输出信号为
j ( ) ，则输出与输入之比为： A Rm e
A Rm e j ( ) j ( ) A e Rm e j 0
再从傅里叶变换的角度理解频率特性的含义：线性系统 的传递函数的定义为：零初始条件下系统输出拉氏变换 与输入拉氏变换之比，即
信号的总能量
P N db 10 lg 0 P 1
2
2.2 频率特性的表示方法：
指数表示法：
G(j)＝ G(j) e j ( )＝A()e j ( )
极坐标表示法： G( j )＝A( ) ( ) 直角坐标表示法： G( j )＝P( )＋jQ( ) 工程上常用图形来表示频率特性，常用的有： 幅相曲线(极坐标图) ，也称奈奎斯特(Nyquist)图。 (半)对数坐标图，也称伯德(Bode)图。
C0 C1s C2 1T A U c ( s) 2 2 2 2 s 1 T s s 1 T s
A T AT - AT C 0 slim C 1 1 T s 2 2 1 2T 2 1 2T 2
A C2 1 2T 2
C (s) G ( s )＝ R(s)
C ( j ) G ( j )＝ ＝G ( s ) s＝j R ( j )
15
频率特性的概念 不 设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。
40
给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦， 曲线如下:
结论：
Ar=1 ω=0.5
给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入 同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。
14
电路理论的角度理解频率特性的含义：将输入与输出表 示为复数形式，即输入信号为Rm·ej0，输出信号为
j ( ) ，则输出与输入之比为： A Rm e
A Rm e j ( ) j ( ) A e Rm e j 0
再从傅里叶变换的角度理解频率特性的含义：线性系统 的传递函数的定义为：零初始条件下系统输出拉氏变换 与输入拉氏变换之比，即
信号的总能量
P N db 10 lg 0 P 1
2
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5.1频率特性的基本概念
一、频率响应
频率响应是时间响应的特例，是控制系统对正弦 输入信号的稳态正弦响应。即一个稳定的线性定常系 统，在正弦信号的作用下，稳态时输出仍是一个与输 入同频率的正弦信号，且输出的幅值与相位是输入正 弦信号频率的函数。
下面用用一个简单的实例来说明频率响应的概念：
示例：
如图所示一阶RC网络，ui(t)与u0(t)分别为输入与输出信 号，其传递函数为
输出与输入相位差为
= -arctanTω
二者均仅与输入频率，以及系统本身的结构与参数
有关。
实际上，频率响应的概念具有普遍意义。对于稳定 的线性定常系统（或元件），当输入信号为正弦信号
r(t)=sint 时，过渡过程结束后，系统的稳态输出必为
css(t)=Asin(ωt+)，如图所示。
sint 线 性 Asin(ωt+)
s p1 s p2
s pn s j s - j
对输出求拉氏反变换可得
c(t) (K1e p1t K2e p2t Kne pnt ) (Kce j t Kce j t )
css(t) =Kce-jωt+K-cejωt
系数Kc和K-c可由留数定理确定，可以求出
css(t)= A(ω) ·R·sin[ωt+ (ω)]
求出元件或系统的幅频特性A(ω)与相频特性(ω)的表达
式，便可求出完整的频率特性表达式。
四、由传递函数求取频率特性
实际上，由于微分方程、传递函数、频率特性描述系 统各变量之间相互关系的数学表达式，都是控制系统的数 学模型。和微分方程与传递函数之间可以相互转换类似， 系统的频率特性也可以由已知的传递函数通过简单的转换 得到，这种求取方法称为解析法。
D(s) (s p1 )( s p2 ) (s pn )
为简化分析，假定系统的特征根全为不相等的负实根。
输入信号为 r(t)=Rsinωt
输出信号的拉氏变换为
C(s)
N (s)
R
(s p1)( s p2 ) (s pn ) (s j)( s j)
K1 K2 L Kn Kc K-c
第5章——控制系统的频域分析
• 5.1频率特性的基本概念 • 5.2幅相频率特性及其绘制 • 5.3对数频率特性及其绘制 • 5.4奈奎斯特稳定判据 • 5.5相对稳定性 • 5.6利用开环频率特性分析系统的性能 • 5.7闭环系统频率特性
频率特性法
控制系统的时域分析法是研究系统在典型输入信号 作用下的性能，对于一阶、二阶系统可以快速、直接地 求出输出的时域表达式、绘制出响应曲线，从而利用时 域指标直接评价系统的性能。因此，时域法具有直观、 准确的优点。然而，工程实际中有大量的高阶系统，要 通过时域法求解高阶系统在外输入信号作用下的输出表 达式是相当困难的，需要大量计算，只有在计算机的帮 助下才能完成分析。此外，在需要改善系统性能时，采 用时域法难于确定该如何调整系统的结构或参数。
三、频率特性的实验求取方法
向待求元件或系统输入一个频率可变的正弦信号
r(t)=Rsinωt 在0→∞的范围内不断改变ω的取值，并测量与每一个 ω值对应的系统的稳态输出
css(t)= A(ω)Rsin(ωt+(ω))
测量并记录相应的输出、输入幅值比与相角差。根据 所得数据绘制出幅值比与相角差随ω的变化曲线，并据此
[T=c/K] , K=10N/m c=10N.s/m,
f(t)=sint, 求稳态位移输出
输入幅值为1N正弦力，
解： 正弦作用 f (t) sin t, 1
1
G( j) K
，G( j) 0.1
jT 1
j 1
A() 0.1 0.1 (m / N) 2 1 2
() arctan arctan1 45
2.频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数，与 外界因素无关。
3. 频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电 感、弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输 入信号的频率有关。
4.频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力，一般 有“低通滤波”与“相位滞后”作用。
频率特性的数学意义
A(ω)反映幅值比随频率而变化的规律，称为幅频 特性，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在 幅值上是放大（A＞1）还是衰减（A＜1）。
而(ω)反映相位差随频率而变化的规律，称为
相频特性，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入
时在相位上是超前（＞0º）还是滞后（＜0º）。
系统的频率特性包含幅频特性与相频特性两方 面，并且强调频率ω是一个变量。
稳态输出：X (t) 0.1 sin(t 45)
2
五、频率特性的物理意义和数学本质
物理意义
1.在某一特定频率下，系统输入输出的幅值比与相位差是确 定的数值，不是频率特性。当输入信号的频率ω在0→∞的范 围内连续变化时，则系统输出与输入信号的幅值比与相位差 随输入频率的变化规律将反映系统的性能，才是频率特性 。
R
G(s)=
U0 (s) Ui (s)
=
1 Ts +1
i(t)
ui(t)
C u0(t)
图5-1 RC网络
其中T=RC，为电路的时间常数，单位为s。
在零初始条件下，当输入信号为一正弦信号，即
ui(t)=Uisin t 时
Ui与分别为输入信号的振幅与角频率，可以运用时域法
求电路的输出。
输出的拉氏变换为：
重要
由以上可推得一个十分重要的结论：系统的频率特性可 由系统的传递函数G(s)将jω代替其中的s而得到。由拉氏变 换可知，传递函数的复变量s =σ+jω。当σ=0时，s = jω。所 以G(jω)就是σ=0时的G(s) 。即当传递函数的复变量s用jω代 替时，传递函数转变为频率特性，这就是求取频率特性的解 析法。
因此，频率特性可定义为：
线性定常系统（或元件）在零初始条件下， 当输入信号的频率ω在0→∞的范围内连续变化时， 系统输出与输入信号的幅值比与相位差随输入频 率变化而呈现的变化规律为系统的频率特性。
频率特性可以反映出系统对不同频率的输入 信号的跟踪能力，只和系统的结构与参数有关， 是线性定常系统的固有特性。
Rsinωt
线性定常系统，传递函数为G(s)
G(jω)= G(s)|s=jω = A(ω)·ej
A(ω)·R·sin[ωt+ (ω)]
A(ω)是幅频特性， 是相频特性
因此，在求已知传递函数系统的正弦稳态响应时， 可以避开时域法需要求拉氏变换及反变换的繁琐计算， 直接利用频率特性的物理意义简化求解过程。
系统的输出分为两部分，第一部分为瞬态分量，对应 特征根；第二部分为稳态分量，它取决于输入信号的形式。 对于一个稳定系统，系统所有特征根的实部均为负，瞬态 分量必将随时间趋于无穷大而衰减到零。因此，系统响应 正弦信号的稳态分量必为同频率的正弦信号：
设n阶系统的传递函数为
G(s) N (s)
N (s)
定常系统
r(t)
css(t)
t
图5-2 线性系统及频率响应示意图
二、频率特性
1、基本概念
对系统的频率响应作进一步的分析，由于输入输出的幅
值比A与相位差只与系统的结构、参数及输入正弦信号的
频率ω有关。在系统结构、参数给定的前提下，幅值比A与
相位差仅是ω的函数，可以分别表示为A(ω)与(ω)。
若输入信号的频率ω在0→∞的范围内连续变化，则系统 输出与输入信号的幅值比与相位差将随输入频率的变化而 变化，反映出系统在不同频率输入信号下的不同性能，这 种变化规律可以在频域内全面描述系统的性能。
A() U 2() V 2() () arctan U ()
V ()
U() A()cos()
V () A()sin()
并且A(ω)与U(ω)为ω的偶函数，(ω)与V(ω)
是ω的奇函数(说明G(jω) 与G(-jω)是共轭函数)。 以上函数都是ω的函数，可以用曲线表示它
们随频率变化的规律。使用曲线表示系统的频率 特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。
在工程实践中, 往往并不需要准确地计算系统响应的全 部过程，而是希望避开繁复的计算，简单、直观地分析出 系统结构、参数对系统性能的影响。因此，主要采用两种 简便的工程分析方法来分析系统性能，这就是根轨迹法与 频率特性法，本章将详细介绍控制系统的频率特性法。 控制系统的频率特性分析法是利用系统的频率特性（元 件或系统对不同频率正弦输入信号的响应特性）来分析系 统性能的方法，研究的问题仍然是控制系统的稳定性、快 速性及准确性等，是工程实践中广泛采用的分析方法，也 是经典控制理论的核心内容。
对于上例所举的一阶电路， 其幅频特性和相频特性的表达
ui(t)
式分别为：
R
i(t) C u0(t)
A(ω)=
1 1+T 2ω2
图5-1 RC网络
(ω)= -arctanTω
G( j) 1 jT 1
G(s)=
U0 (s) = 1 Ui (s) Ts 1
举例： 1
已知：传函 G(s) K Ts 1
④频率分析法使得控制系统的分析十分方便、直观，并 且可以拓展应用到某些非线性系统中。近来，频率法还发 展到可以应用到多输入量多输出量系统，称为多变量频域 控制理论。
本章重点介绍频率特性的基本概念、幅相频率特性与 对数频率特性的绘制方法、奈奎斯特稳定判据、控制系统 的相对稳定性、利用开环频率特性分析系统闭环性能的方 法。
频率特性是描述系统固有特性的数学模型，与微分方 程、传递函数之间可以相互转换。
此时电路的稳态输出为：
lim
t
u0
(t
)
Ui 1T
2 2
sin(
t
arctan