系统频率特性
系统的频率特性
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本章学习要求、重点、难点
➢学习要求 掌握频率响应和频率特性的概念和含义，会根据传 递函数求频率特性。 掌 握 频 响 特 性 的 图 形 描 述 方 法 ： Bode 图 、 Nyquist 图 及 其 绘 制 方 法 。 掌 握 典 型 环 节 的 Bode 图 和 Nyquist图的特点和绘制方法。 掌握最小相位系统和非最小相位系统的概念及本质。 掌握频域性能指标的含义及求法。
是这一变化导致了线性时不变系统不能准确、快速地响应输
入信号（时域响应上表现为输出信号波形与输入信号波形不
同或滞后），产生误差。为了减小误差，我们需要知道B和
随是如何变化的，变化的原因是什么，怎样才能快速准
确地响应。 为了表示B和随变化，我们写成B()和()。
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5-1 频率特性
➢系统的频率特性可以从两方面来衡量：
稳态响应为Css(t)=Bsin(ωt+φ)，其中：
B A G( j)
G( j) arctan
Im Re
G( G(
j j
) )
G( j) G(s) G( j) e j() s j
称为正弦值B、输出与输入的相
位差一般要随着正弦输入信号的频率的变化而变化，正
了解用开环频率特性求闭环频率特性的方法；了解 开环增益的求法。
了解实验法确定系统频率特性的方法和过程（系统 辨识）。
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本章学习要求、重点、难点
➢本章重点
频率响应和频率特性的概念和含义，会根据传递函 数求频率特性； 典型环节的Bode图和Nyquist图及其特点； 最小相位系统和非最小相位系统的概念及本质； 频域性能指标的含义及求法。
控制工程 第5章 系统的频率特性
频响函数 幅频特性 相频特性
1 G ( j ) 1 j 0.005 1 | G ( j ) | 1 (0.005 )2 0 0.005 ( ) arctan arctan 1 1 arctan(0.005 )
可见：输入信号频率越高，稳态输出幅值衰减越大，相移越大（这正是惯性环节 的频响特性）。
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5-1 频率特性
本例题也可以采用第 4 章介绍的求时间响应的方法获 得稳态响应，即利用传递函数求出零状态响应，然后分 解出其中的稳态响应。 而利用频响函数可直接求出稳态 响应。
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y( t ) L [Y ( s )] 0.555e 200 t
m k f (t)/x (t) f(t)—力
A
f(t) = Asin(ωt)
A B
x(t)—位移 B
0 -A
ωt
υ
单自由度有阻尼振动 x(t) = Bsin(ωt+υ)+瞬态响应 系统力学模型 教材101页图5-2中的标注“υ”不对，应改成“υ/ω”，
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或将横坐标标尺改成“ωt”。
5-1 频率特性
相频特性 = 正弦信号稳态响应相角 - 正弦输入信号相角
幅频特性和相频特性合起来描述了系统的频响特 性或频率特性。
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5-1 频率特性
系统频率特性的获得 解析法 令输入x(t)=x0sin(t)，求解微分方程的特解（稳 态解）。可以利用拉氏变换求解；
利用频率响应函数；
实验法
输入正弦信号，测量稳态输出。
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5-1 频率特性
利用频率响应函数求频率特性 频率响应函数的定义：对连续线性定常系统，输出 的付立叶变换 C(j) 与输入的付立叶变换 R(j) 之比 ，叫频率响应函数，简称频响函数，也称为正弦传 递函数，记作G(j) 。即
系统的频率特性分析
１．0 型系统（v=0） ２．I 型系统（v=1） 3 . II 型系统（v=2） ……
极坐标图的形状与系统的型号有关，一 般情况如下（注意起始点）：
II型系 统
w0
w w
Im
w 0
w 0 Re
I型系 统
w0
w 0 型系统
w 基准点 ( 1 , L ( 1 ) 2l0 g K ) 第一转折频率之左
斜率 20 v dBdec
的特性及其延长线
⑷ 叠加作图
一阶 二阶
惯性环节 复合微分 振荡环节 复合微分
-20dB/dec +20dB/dec -40dB/dec -40dB/dec
⑸ 修正 根据误差曲线修正
① L(w) 最右端曲线斜率=-20(n-m) dB/dec ⑹ 检查 ② 转折点数=(惯性)+(一阶复合微分)+(振荡)+(二阶复合微分)
(1 w2 )1 1 ( 4 5 w2)jw (1 5 (1 w 2)j2 1 w ( 2 4 )w2)
G (j0) 90G (j)0270
渐近线： RG e(j[0) ] 15
与实轴交点：Im G (j[w) ]0 w1 20.707
15
10
RG (e j0 .[ 7) 0 ]7
(1 0 .5 )1 ( 4 0 .5 ) 3
对数幅频特性记为 对数相频特性记为
单位为分贝（dB) 单位为弧度（rad)
Bode Diagram 0
Phase (deg) Magnitude (dB)
-50
-100 0
-45
-90
-135
系统的频率特性
三、机械系统动刚度的概念
质量-弹簧-阻尼系统(m- k- B)
f(t):输入力
x(t):输出位移
k
B
m
其传递函数
阻尼比
无阻尼自然频率
系统的频率特性
动柔度： 动刚度： ω = 0时，即为系统静刚度。 当
f
x1
k1
m1
k2
m2
x2
例p142：弹簧吸振器简化图示模型,若质量m1受到干扰力f=Asinωt,如何选择吸振器参数m2和k2,使质量m1产生的振幅为最小?
解 其稳态响应为： 求一阶系统G(s)=K/Ts+1的频率特性及在正弦信号xi(t)=Xsinωt作用下的频率响应。
求系统如图所示，当输入3cos(4t-30°)+sin(10t+45 °)时，试求系统的稳态输出。
[结论]：当传递函数中的复变量s用 jω代替时，传递函数就转变为频率特性。反之亦然。 到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下几种：微分方程、传递函数、脉冲响应函数和频率特性。它们之间的关系如下： 微分方程 频率特性 传递函数 脉冲函数
卡通风学期计划
频率特性
频率特性的对数坐标图
频率特性的极坐标图
最小相位系统
闭环频率特性与频域性能指标
系统辨识
第五章 系统的频率特性
B
D
F
A
C
E
掌握系统频率特性的概念和求法
掌握系统闭环频率特性的求取方法
根据bode图估计系统的传递函数
熟悉系统的bode图和nyquist图的构成
系统幅频特性和相频特性的求法
解:以f为输入,x1为输出,系统微分方程为
则位移x1与干扰力f之间的传递函数为
第六章控制系统的频率特性
S平面上的两点之间的弧线可映射为F平面 的一段弧线：
S平面上的一条闭合的围线可映射为F平面 的一段闭合围线。
条件：S平面上的弧线和围线不经过奇异点
例：对于分式复变函数： 取：
取：
弧线：
s1 : 2 j2
S
-3 -2 s2 :
1
F
F (s1 ) :
4 5
j
2 5
F (s2 ) :1 2
频率特性法： 通过实验对开环对象施加不同频率的正 弦信号，即可获得系统的频率特性（幅 频特性曲线和相频特性曲线），方法简 便； 从频率特性图中分析闭环系统的性能， 分析参数变化对系统瞬态响应的影响。
二、常用的频率特性表示方法
对数频率特性曲线，也称波特图(Bode) 对数幅频特性曲线: 对数相频特性曲线
3.乃奎斯特图顺时针包围原点N圈 4.n、m、N之间存在关系：N = m - n
j
[S ]
j
[F ]
F (s) 1 G0 (s)
[F]平面 → [G]平面： Nyquist图围绕[F]平面原点
的圈数
Nyquist图围绕[G]平面中
[F ]
点的圈数。
[G]
系统在S右半平面闭环特征根的个数m取决 于开环传递函数 的Nyquist曲线围绕
10-1
100
频 率 (rad/sec)
相位：G( ji )
101
0.6 0.4 0.2
0 -0.2 -0.4
乃奎斯特图
G( ji ) G( ji )
Im
-1
-0.5
0
0.5
1
Re
第六章 控制系统的频率特性
第2小节 幅角原理
频率特性(frequencycharacteristic)百科物理大全
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频率特性（frequencycharacteristic）
频率特性(frequencycharacteristic)
是表征系统动态功能特性的频域物理模型。
系统的频率特性是传递函数，在电路系统控制中亦称网络函数。
只要知道了系统的传递函数，对于任何刺激(输入)均可预测系统相应的反应(输出)。
对于单一输入和输出的线性定常系统，其状态方程为常系数线性特征方程。
由状态方程的拉普拉斯(Laplace)变换的常系数特征方程，可求得系统的传递函数。
对系统施以不同的激励信号，由系统响应的频率特性实验曲线也可求得传递函数。
频率特性分析是系统辨识的重要方法，如20世纪50年代以来，对瞳孔系统的物理模型的研究，取得了模型与生物实验结果广泛一致的吻合，阐明了生理学难以解释的虹膜震颤、瞳孔收缩的大小效应等，成为生物控制论定量研究的成功典范。
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第四章系统的频率特性分析
第四章 频率特性分析4.1 什么是频率特性？解 对于线性定常系统，若输入为谐波函数，则其稳态输出一定是同频率的谐波函数，将输出的幅值与输入的幅值之比定义为系统的幅频特性；将输出的相位于输入的相位之差定义为系统的相频特性。
将系统的幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性。
4.2 什么叫机械系统的动柔度，动刚度和静刚度？解 若机械系统的输入为力，输出为位移（变形），则机械系统的频率特性就是机械系统的动柔度；机械系统的频率特性的倒数就是机械系统的动刚度；当0=w 时，系统频率特性的倒数为系统的静刚度。
4.3已知机械系统在输入力作用下变形的传递函数为 12+s (mm/kg)，求系统的动刚度，动柔度和静刚度。
解 根据动刚度和动柔度的定义有 动柔度()()()12+====jw jw s s G jw G jw λ mm/kg 动刚度 )(jw K =)(1jw G =21+jw kg/mm 静刚度 ()()5.0021010==+====K w jw w jw G w jw kg/mm4.4若系统输入为不同频率w 的正弦函数Asinwt,其稳态输出相应为Bsin(wt+ϕ).求该系统的频率特性。
解：由频率特性的定义有 G （jw ）=AB e jw。
4.5已知系统的单位阶跃响应为）（。
t x =1-1.8te 4-+0.8te9-，试求系统的幅辐频特性与相频特性。
解：先求系统的传递函数，由已知条件有）（。
t x =1-1.8te 4-+0.8te9-（t 0≥））（S X i =s 1）（。
S X =s 1-1.841+s +0.891+s ）（S G =）（）（。
S X S X =()()9436++s s ）（jw G =jw s s G =）（=()()jw jw ++9436）（w A =）（jw G =22811636ww +•+）（w ϕ=0-arctan 4w -arctan 9w =-arctan 4w -arctan 9w4.6 由质量、弹簧、阻尼器组成的机械系统如图所示。
机械工程控制基础(第4章 系统的频率特性分析)
（4.1.10）
根据频率特性的定义可知，系统的幅频特性和相频特性分别为：
G ( j ) Xi ( ) G ( j ) A ( ) X o ( )
（4.1.11）
故 G ( j ) G ( j ) e
j G ( j )
就是系统的频率特性，它是将 G ( s )
d dt
微分方程
dt
s 传递函数 s
系统
j
频率特性
j
图4.1.2 系统的微分方程、传递 函数和频率特性相互转换关系图
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4.1.4 频率特性的特点和作用
第1
系统的频率特性就是单位脉冲响应函数的Fourier变换，即频谱。 所以，对频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析。
第2
K
所以
A
X o Xi
1 T
2
2
arctan T
或
K 1 T
2 2
e
j arctan T
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2. 将传递函数中的s换为 j (s=j )来求取
由上可知，系统的频率特性就是其传递函数G(s)中复变量s j 的特殊情况。由此得到一个极为重要的结论与方法，即将系统的传递
G
j 端点的轨迹即为频率特性的极坐标图, 或称为Nyquist 图, 如
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图4.2.1所示。它不仅表示幅频特性和相频特性, 而且也表示实频特性和
虚频特性。图中的箭头方向为从小到大的方向。
正如4.1节所述, 系统的幅频特性和相频特
性分别为
A ( ) X o ( ) Xi G
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第三章 系统频率特性系统的时域分析是分析系统的直接方法，比较直观，但离开计算机仿真，分析高阶系统是困难的。
系统频域分析是工程广为应用的系统分析和综合的间接方法。
频率分析不仅可以了解系统频率特性，如截止频率、谐振频率等，而且可以间接了解系统时域特性，如快速性，稳定性等，为分析和设计系统提供更简便更可靠的方法。
本章首先阐明频率响应的特点，给出计算频率响应的方法，接着介绍Nyquist 图和Bode 图的绘制方法、系统的稳定裕度及系统时域性能指标计算。
3.1 频率响应和频率特性3.1.1 一般概念频率响应是指系统对正弦输入的稳态响应。
考虑传递函数为G(s)的线性系统，若输入正弦信号t X t x i i ωsin )(= (3.1-1)根据微分方程解的理论，系统的稳态输出仍然为与输入信号同频率的正弦信号，只是其幅值和相位发生了变化。
输出幅值正比于输入的幅值i X ，而且是输入正弦频率ω的函数。
输出的相位与i X 无关，只与输入信号产生一个相位差ϕ，且也是输入信号频率ω的函数。
即线性系统的稳态输出为)](sin[)()(00ωϕωω+=t X t x (3.1-2)由此可知，输出信号与输入信号的幅值比是ω的函数，称为系统的幅频特性，记为)(ωA 。
输出信号与输入信号相位差也是ω的函数，称为系统的相频特性，记为)(ωϕ。
幅频特性：)()()(0ωωωi X X A = (3.1-3)相频特性：)()()(0ωϕωϕωϕi -= (3.1-4)频率特性是指系统在正弦信号作用下，稳态输出与输入之比对频率的关系特性，可表示为：)()()(0ωωωj X j X j G i = (3.1-5)频率特性)(ωj G 是传递函数)(s G 的一种特殊形式。
任何线性连续时间系统的频率特性都可由系统传递函数中的s 以ωj 代替而求得。
)(ωj G 有三种表示方法：)()()(ωϕωωj e A j G = (3.1-6))()()(ωωωjV U j G += (3.1-7))(sin )()cos()()(ωϕωωωωjA A j G +=(3.1-8) 式中，实频特性：)(cos )()(ωϕωωA U =虚频特性：)()(arctan )()()()()(sin )()(22ωωωϕωωωωϕωωU V V U A A V =+==一般在分析系统的结构及参数变化对系统性能的影响时，频域分析比时域分析要容易些。
根据频率特性，可以较方便地判别系统的稳定性和稳定裕度，并可通过频率特性选择系统参数或对系统进行校正，使系统性能达到预期的性能指标。
同时，由频率特性易于选择系统工作频率范围，或根据工作频率要求，设计具有合适的频率特性的系统。
频率特性物理意义明确并且可以用实验的方法测定出来。
控制系统的频率特性与其动态特性和静态性能之间存在着定性和定量的关系，因此，可以利用图表、曲线和经验公式作为辅助工具来分析和设计系统。
3.1.2 频率响应的计算一、连续时间系统频率响应的计算011011)()()(a s a s a b s b s b s U s Y s G n n n n m m m m ++++++==----ΛΛ (3.1-9)则系统的频率响应可以由：011011)()()()()(a j a j a b j b j b j G n n n n m m m m ++++++=----ΛΛωωωωω (3.1-10)直接求出。
又设已知系统的状态方程模型为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=DU CX Y BU AX X . （3.1-11）则系统的频率响应可以由下式直接求出：D B A I j C j G +-=-1)()(ωω (3.1-12)二、离散时间系统频率响应的计算若离散系统的状态空间模型为(F,G ,C,D)，则此系统的频率响应为：D G F I e C T j G T j +-=--1)()(ωω (3.1-13)如离散系统以传递函数模型表示，将T j e z ω=代入，则系统的频率响应为：11211121)()()()()(+-+-++++++++=n T j n n T j n T j m T j m m T j m T j T j b e b e b e a b e b e b e b e G ωωωωωωωΛΛ (3.2-14)式中，T 为采样周期。
应注意，离散时间系统的采样频率T s πω2=，而系统的频率范围应在2~0sω之间。
三、频率响应计算函数MATLAB 控制工具箱中，函数FREQRESP 用于计算LTI 系统的频率响应，它既适用于连续时间系统，也适用于离散时间系统；既适用于SISO 系统，也适用于MIMO 系统。
函数调用格式为：),(ωsys freqresp H =其中，sys 为系统模型；ω为指定的实频率向量，单位为rad/s; 返回值H 是系统的频率响应。
它是一个三维数组。
例如，SISO 系统，H(1,1,5)表示频率点)5(ω所对应响应值；对于MIMO系统，H(1,2,5)表示第1个输出和第2个输入之间在)5(ω频率点的响应值。
频率响应H 为复变量。
为了说明函数FREQRESP 所采用的计算方法，下面程序用两种方法计算一个离散的频率响应：1.采用变换T j e z ω=；2.直接用函数FREQRESP 。
[例3-1]已知离散系统传递函数为：9048.081.10464.00478.0)(2+-+=z z z z G ，采样周期s T s 1.0=，试计算它的频率响应并绘制其幅频图和相频图,amp301.m 。
图3-1 系统的频率响应3.2 频率特性图示法在经典控制论中，常用图示法来描述系统的频率特性，它们是：（1）幅相频特性—Nyquist 图，ω由∞→0表示极坐标上的)(ωj G 的幅值和相角关系。
（2）对数幅相特性—Bode 图，它由两个图组成：对数幅频特性图和对数相频特性图。
纵坐标分别是：幅值)(lg 20)(ωωA L =，以dB 表示；相角)(ωϕ，以度表示。
横坐标为频率，采用对数分度。
（3）对数幅相特性—Nichols 图，它是以ω为参变量来表示对数幅值和相角关系图。
MATLAB 控制工具箱中，有专用的函数可方便地实现这三个图形的绘制。
3.2.1 Nyfquist 图的绘制频率特性)(ωj G 是频率ω的复变函数，可以在复平面上用一个矢量来表示。
该矢量的幅值)()(ωωj G A =，相角)()(ωωϕj G ∠=。
当频率ω从∞→0变化时，)(ωj G 矢端的轨迹即为频率特性。
因此，把频率特性在复平面上用极坐标表示的几何图形，称为频率特性的极坐标图，或称为Nyquist 图。
Nyquist 图不便于分析频率特性中某个环节对频率特性的影响。
MATLAB 控制工具箱中有绘制Nyquist 图的函数NYQUIST ，调用格式为：)()Im,[Re,),,,2,1(),,2,1(),()(sys nyquist sysN sys sys nyquist sysN sys sys nyquist sys nyquist sys nyquist =ωωωΛΛ其中，sys 为系统模型；ω频率向量；Re 为频率响应实部；Im 频率响应虚部。
MATLAB 中，频率范围ω可由两个函数给定：),,(log 21N space ωω产生频率在1ω和2ω之间N 个对数分布频率点；),,(21N linspace ωω产生频率在1ω和2ω之间N 个线性分布的频率点；N 可以缺省。
函数NYQUIST 用于计算LTI 系统的Nyquist 频率响应。
调用时，若不包含左边输出变量，函数NYQUIST 绘制系统的Nyquist 图；调用时，若包含左边输出变量，则不绘图，只输出变量的向量，这常用于分析系统频率特性。
同时，MATLAB 控制工具箱中还有绘制Nichols 图的函数NICHOLS ，其调用格式为：)(],,[),,,2,1(),,2,1(),()(sys nichols phase mag sysN sys sys nichols sysN sys sys nichols sys nichols sys nichols =ωωωΛΛ函数nichols(sys)用来计算LTI 系统的频率响应并绘制Nichols 图，分析系统的开环和闭环特性。
[例3-2]绘制系统32152)(22++++=s s s s s G k 的Nyquist 图和Nichols 图，amp302.m 。
图3-2 Nyquist 图由图3.2可见，该系统的开环Nyquist 曲线不包围)0,1(j -点，故闭环是稳定的。
3.2.2 Bode 图的绘制Bode 图是由两幅图组成，分别称为对数幅频特性和对数相频特性。
它在频率响应法中应用最为广泛。
它的横坐标是频率)/(s rad ω，对数幅频特性的纵坐标是幅值)(lg 20ωj G ，单位dB ；对数相频特性的纵坐标为)(ωϕ，单位deg 。
Bode 图便于对系统中不同环节的作用以及整个系统进行分析。
MATLAB 控制系统工具箱中，用于Bode 图绘制的函数是BODE 。
函数BODE 用于计算线性时不变系统（LTI ）的频率响应、幅值和相位，绘制Bode 图，调用方式为：)(],,[),,,2,1(),,2,1(),()(sys bode phase mag sysN sys sys bode sysN sys sys bode sys bode sys bode =ωωωΛΛ其中，sys 为系统模型；mag 为幅值；phase 为相位；ω频率范围。
函数BODE 可用于任意LTI 系统，即单输入单输出(SISO)系统，多输入多输出(MIMO)系统 ，连续时间系统，离散时间系统。
用函数)(sys bode 绘制系统的Bode 图时，频率范围将根据系统零极点自动确定。
),(ωsys bode 是根据给定的频率范围ω绘制系统sys 的频率特性曲线。
),,,2,1(ωsysN sys sys bode Λ是根据给定的频率范围ω绘制多个系统的频率特性曲线。
当函数调用带有左边输出变量时，函数将返回频率响应的幅值mag ，相位phase 和频率值ω。
[例3-3]例3-1系统，试绘制其Bode 图，amp303.m 。
图3-3 Bode 图比较图3-3和图3-1可知，在MATLAB 中，可用不同方法求得系统的频率响应特性，函数BODE 完成例3-1程序的所有计算。
3.3 稳定裕度由Nyquist 稳定判据可知，若系统开环的Nyquist 轨迹不包围)0,1(j -点，闭环系统是稳定的。
当系统开环Nyquist 轨迹离点)0,1(j -越远，闭环系统的稳定程度越高；开环Nyquist 轨迹离点)0,1(j -越近，则其闭环系统的稳定程度越低。