精编数学建模,姜启源第七章差分方程模型.ppt

回归模型《数学模型》(第三版)电子课件姜启源谢金星叶俊编制共35页

文家。汉族，东晋浔阳柴桑人（今江西九江）。曾做过几年小官，后辞官回家，从此隐居，田园生活是陶渊明诗的主要题材，相关作品有《饮酒》、《归园田居》、《桃花源记》、《五柳先生传》、《归去来兮辞》等。10、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
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6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新来燕，双双入我庐，先巢故尚在，相将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、陶渊明（约 365年 —427年），字元亮，（又一说名潜，字渊明）号五柳先生，私谥“靖节”，东晋末期南朝宋初期诗人、文学家、辞赋家、散

(完整版)差分方程模型(讲义)

差分方程模型一. 引言数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。

1. 确定性连续模型1) 微分法建模(静态优化模型)，如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。

2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。

3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。

4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。

2. 确定性离散模型1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。

2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。

3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。

4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。

随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。

在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。

有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。

例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。

这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。

二. 差分方程简介在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。

有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。

但是，往往都需要用计算机求数值解。

这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。

数学模型姜启源 ppt课件

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《数学模型》姜启源主编
数学模型
9 五 5－6 6.4种群的相互依存
2
7.1市场经济中的蛛网模型
10 五 5－6 7.2减肥计划-节食与运动
2
8.3层次分析模型
12 五 5－6 8.4效益的合理分配
2
9.2报童的诀窍(讨论课)
13 五 5－6 9.5随机人口模型
2
9.6航空公司的预定票策略
14 五 5－6 10.1牙膏的销售量
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学
建立数学模型的全过程
建模（包括表述、求解、解释、检验等）
2020/11/13
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《数学模型》姜启源主编
第一章建立数学模型
1.2 数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
1.3 数学建模示例
1.4 数学建模的方法和步骤
1.5 数学模型的特点和分类
1.6 怎样学习数学建模
2020/11/13
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《数学模型》姜启源主编
第一章建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
《数学模型》姜启源主编
数学模型
数学模型
2020/11/13
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《数学模型》姜启源主编
数学模型
课程简介
课程名称数学模型与数学建模 Mathematical Modeling
先修课程微积分、线性代数、概率论与数理统计课程简介

姜启源编《数学模型》第四版_第七章_稳定性模型

设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，
都有
lim
t
x(t)
x0
,
称x0是方程(1)的稳定平衡点.
不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法
F (x0 ) 0 x0 稳定 F (x0 ) 0 x0 不稳定
第六页，共61页。
产量模型 x(t) F (x) rx(1 x ) Ex N
c2 )
p2N 2
第九页，共61页。
捕捞过度
• 封闭式捕捞追求利润R(E)最大
• 开放式捕捞只求利润R(E) > 0
ER
r (1 2
c) pN
R(E) T (E) S(E)
pNE (1
E ) cE
令
=0
r
c Es r(1 pN )
R(E)=0时的捕捞强度Es=2ER
~ 临界强度
临界强度下的渔场鱼量
x1 (t )
r1x1 (1
x1 N1
)
x2 (t)
r2 x2 (1
x 2
N
)
2
• 两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用
与乙的数量成正比; 甲对乙有同样的作用.
模型
x1 (t )
r1 x1 1
x1 N1
1
x2 N2
x2 (t)
r2 x2 1
2
x1 N1
x2 N2
对于消耗甲的资源而言，
乙(相对于N2)是甲(相对于 N1) 的 1 倍.
建模
h(x)=Ex, E~捕捞强度
记 F(x) f (x) h(x)
有捕捞情况下渔场鱼量满足
x(t) F (x) rx(1 x ) Ex

差分方程模型ppt课件

依此类推，可得一系列的点
P1( x1, y1 ), P2 ( x2 , y1), P3 ( x2 , y2 ), P4 ( x3, y2 ),
图上的箭头表示求出 Pk 的次序，由图知
lim
k
Pk
(
x,
y)
P0
(
x0
,
y0
)
即市场经济趋于稳定。
14
并不是所有的需求g 函数和供应函数都趋于稳定，若给定
其中含的最yt高阶差分的阶数称为该差分方程的阶数。
差分方程也t 可以写成不显含差分的形式，例如二阶差分
方程
2 yt yt yt可以0 写成
yt2 yt1 yt 0
2
满足一阶差分方程的序列 yt 称为差分方程的解，若解中含有独立的常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。
(3) 下一时段的商品数量由上一时段的商品价格决定，
xk 1 g( yk )
称为供应函数，由于价格越高可导致产量越大，所以可以假设供应函数是一个单调递增的函数。
12
3、模型求解
在同一坐标系中同时做出供应函数和需求函数的图形，设两条曲线相交于 P0 (x0, y0 ) 则 P0为平衡点。因为此时
t3
最小。根据这一方程可以迭代求解以后各年第一季度销售
23
量的预测值 y6 21, y7 19,。第7年销售量预测值居然小于第 6年的，稍作分析，不难看出，如分别对第一季度建立差分方程，则根据统计数据拟合出的系数可能会相差甚大，但对同一种商品，这种差异应当是微小的，故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差分方程，为此，将季度编号为 t 1,2, 20，令 yt a1 yt4 a2 yt8 a3，利用全体数据来拟合求拟合得到最好的系数。即求 a1, a2 , a3使得

差分方程模型PPT课件

回到全国竞赛题。这里提出了新的问题： (1)潜伏期病人如何描述？ (2)死亡病人在模型中的描述。 (3)需要考虑人口的迁移影响，如何描述？ (4)如何控制疾病的蔓延？
问题的图示
b O
a
d
d
利用简单的几何关系即得到 yk1 f ( yk ), y1 b
例2：按年龄分组的种群增长模型。
问题考虑两个要点：增长和人口分布人口分布：对于连续问题，可以利用分布函数和密度函数描绘。
我们也可以利用离散的方法描述人口分布。把t时
刻人口从小到大分为n组，第k 组人数xk(t)，则离散人口分布可以利用向量
试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。
附录1 《国家人口发展战略研究报告》附录2 人口数据（《中国人口统计年鉴》中的部分数据）及其说明
差分方程建模：设第k天病人所占比例为i(k)，健康人数量为s(k)，则第k天病人数量变化为
Ni(k 1) Ni(k) s(k)Ni(k) Ni(k)
第k天健康人数量变化为
Ns(k 1) Ns(k) s(k)Ni(k)
把两个式子化简即得到差分方程组。
差分方程和微分方程的建模过程没有差异，差别在于：变化率和的意义不同。
一阶线性差分方程组的稳定性：设一阶线性差分方程组的解为{Xk}, 而受扰动解为 {Yk}。记扰动误差为
k X k Yk 则扰动误差满足
k1 A k
对任意初始扰动0，k0的充分必要条件为
( A) 1
这就是差分方程的稳定性条件。

《差分方程》PPT课件

方程变为yt+1+ayt=b, a,b均为非零常数．
试以 yt (为待定常数)形式的特解代入方程得 +a (1+a) b．
当a≠-1时,可求得特解
b yt 1 a
当a1时,改设特解 yt t (为待定系数),将其代入方程得 (t+1)+a t(1+a) t+ b
返回上页下页求得特解 yt bt
6
返回上页下页
三、差分方程的解定义4 如果将已知函数yt=j(t)代入方程F(t,yt,yt+1,…， yt+n)=0, 使其对 t=…,-2,-1,0,1,2,… 成为恒等式 , 则称 yt=j(t) 为方程的解.含有n个任意(独立)常数C1,C2,…,Cn的解
yt=(t,C1,C2,…,Cn)
依此定义类推,有
D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1, D2yt+2= Dyt+3- Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2,
………………
类推,计算两个相继的二阶差分之差,便得到三阶差分 D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt,
5
返回上页下页
定义3′ 含有两个或两个以上函数值yt,yt+1,…的函数方程,称为(常)差分方程,出现在差分方程中未知函数下标的最大差,称为差分方程的阶．
n阶差分方程的一般形式为 F(t,yt,yt+1,…，yt+n)=0,

回归模型《数学模型》(第三版)电子课件姜启源、谢金星、叶俊编制

500 0
-500
e ~ x1
-1000 0 5 10 15 20
500
0
-500
e ~组合
1 2 3 4 5 6
-1000
R2,F有改进，所有回归系数置信区间都不含零点，模型完全可用
消除了不正常现象异常数据(33号)应去掉
去掉异常数据后的结果
200
参数参数估计值置信区间 a0 11200 [11139 11261] a1 498 [494 503] a2 7041 [6962 7120] a3 -1737 [-1818 -1656] a4 -356 [-431 –281] a5 -3056 [-3171 –2942] a6 1997 [1894 2100] R2= 0.9998 F=36701 p=0.0000
参数
0 1 2 3 4
两模型销售量预测比较
控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=6.5百万元
ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ 0 1x1 2 x2 3 x2 y
ˆ y 8.2933 (百万支)
区间 [7.8230，8.7636]
ˆ x x x2 x x ˆ y 0 1 1 ˆ2 2 ˆ3 2 ˆ4 1 2
输入 y~n维数据向量
2 x= [1 x1 x2 x2 ] ~n4数据矩阵, 第1列为全1向量
输出
b~的估计值
bint~b的置信区间
r ~残差向量y-xb
rint~r的置信区间
alpha(置信水平,0.05) 参数
0 1 2 3
参数估计值置信区间 17.3244 [5.7282 28.9206] 1.3070 [0.6829 1.9311 ] -3.6956 [-7.4989 0.1077 ] 0.3486 [0.0379 0.6594 ] R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000

《数学建模》课件：第7章差分方程模型(投影版)

求得的方程的解
x=x =
b
n
称为该差分方程的平衡点（奇解）。
ai
i0
若记该差分方程的一般解（通解）为 xk，它若满足：lkim xk x，
则称 x 是稳定的，否则，称 x 是不稳定的。
6. 特征方程
称代数方程： an n an1 n1 a1 a0 0
为差分方程 an xkn a1xk1 a0xk b 对应的特征方程。
x1 y1 x2 y2 x3
xk x0 , yk y0
P1 P2 P3 P0
xk x0 , yk y0 P1 P2 P3 P0
P0是稳定平衡点
y
f
y2 P3
yy30 y1
P2
g 曲线斜率
P4
P0
K f Kg
P1
0 x2 x0 x3 x1 x
P0是不稳定平衡点
y
P3 f
根据导数的定义：
f
'(xk )
lim =
x xk
f
(x) f (xk ) x xk
lim = f (x) f (xk ) lim = f (x) f (xk )
x xk
x xk
x xk-
x xk
于是，当分割足够细时，用差商代替微商，则得到如下差分公式：
向前差分：
f
'(xk )
数学建模
第七章差分方程模型
数学建模
第七章差分方程与代数方程模型
主讲教师：邵红梅
数学建模
第七章差分方程模型
差分方程稳定性理论简介
一、差分方程
所谓n阶差分方程，简单地说，是指对于一个点列 xk ，把它的前n+1项