2018届高考数学模拟考试试卷及答案(理科)(六)
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷ⅡⅢ)理科数学(六)答案
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅱ/Ⅲ)理科数学(六)答案1．C 【解析】解法一 z i==，故选C ．解法二 z i ==，故选C ． 2．D 【解析】不等式2x −x −6<0的解集为{x |−2<x <3}，又x ∈N ，所以A ={0，1，2}，故集合A 的子集的个数为32=8，故选D ． 3．C 【解析】∵x >1，y >0，∴yx >1，0<yx-<1，则y x −yx->0．4．D 【解析】输入x =2.4，则y =2.4，x =[2.4]−1=1>0，∴x =yz=1.2；y =1.2，x =[1.2]−1=0， ∴x =yz=0.6；y =0.6， x =[0.6]−1=−1<0，则z =x +y =−1+0.6=−0.4，故选D ．5．A 【解析】依题意，c =2y x =-平行，∴b a =2228a b c +==，解得a =b = ∴双曲线的方程为22135x y -=，故选A ． 6．C 【解析】当0<x <1时，()f x =x ln x <0，2()f x =2x ln x <0，2()f x =2x ln 2x <0，[()f x ]2=(x ln x )2>0．又2()f x −2()f x =2x ln x −x 2ln 2x =2x ln x −22x ln x =2x (1−x )ln x <0，所以 2()f x <2()f x <[()f x ]2．故选C ．7．A 【解析】由三视图知该几何体是一个组合体，右边是半个圆柱(底面半径为2，高为3)，左边是一个四棱锥(底面是长和宽分别为4和3的长方形，高为2)．则该几何体的体积V =12×π×22×3+13×3×4×2=6π+8，侧面积S 侧=π×2×3+12×3×2+12×8．B 【解析】由a cos B =b cos A 及正弦定理得sin A cos B =sin B cos A ，所以sin(A −B )=0，故B =A =6π，c，由余弦定理得16=2c +2()2a −2c ·2a cos 6π，得a=7，c=7，S =12ac sin B=7． 9．C 【解析】由2x +2y =2，x ≥0，y ≥0，知围成的区域D因而其面积S =142=2π．作出图形如图所示，y2x +2y =2的交点为 M (1，1)，过点M 作MB ⊥x 轴于点B ，连接OM ， 则S 阴影=⎰+S 扇形OAM −S ∆OBM =321203x +124π⨯×2−12×1×1=146π+．由几何概型概率公式知所求概率P =11146232S S πππ+==+阴影，故选C ．10．C 【解析】解法一 由题意得双曲线的渐近线方程为y =±b ax ，右顶点A (a ，0)，右焦点F (c ，0)，则点A 到渐近线的距离dabc=，|AF |=c −a ． 由已知得ab c=2(c −a )，即2ab(c −a )，42a 2b =32c (c −a )2， 由于2b =2c −2a ，因而42a (2c −2a )=32c (c −a )2，∴3e 4−6e 3−e 2+4=0， 3e 3(e −2)−(e +2)(e −2)=0，(e −2)(e −1)(3e 2+3e +2)=0，得e =2，故选C ．解法二 如图，过A 作渐近线的垂线，垂足为B ，由已知得d =2|AF |=2(c −a )，即|AB |=2(c −a )．又|AB |=|OA |sin ∠BOA =a =ab c ，∴ab c =2 (c −a )，∴2ab (c −a )，42a 2b =32c (c −a )2，由于2b =2c −2a ， 因而42a (2c −2a )=32c (c −a )2，∴3e 4−6e 3−e 2+4=0，3e 3(e −2)−(e + 2)(e −2)=0， (e −2)(e −1)(3e 2+3e +2)=0，得e =2，故选C ．11．D 【解析】如图，在∆ABC 中，由已知得AC 2=AB 2+BC 2−2AB ·BC cos ∠ABC=4+4−2×2×2×(−12)=12，因而AC =2．设圆1O 的半径为r ，则2r ， ∴r =2．连接OO 1，O 1B ，又圆锥母线与底面所成的角为45°，因而在∆OO 1B 中，OO 1=O 1B =r =2，则球O 的半径R =OB球O 的体积V =3333R π=，故选D ．12．D 【解析】将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度后所得的图象对应的函数解析式为()g x =sin[ω(x +12π)+ϕ]=sin(ωx +12πω+ϕ)，又()g x 的图象关于原点对称， 则12πω+ϕ=k π，k ∈Z ，2πω=6k π−6ϕ，且sin ϕ=−sin(6k π−5ϕ)，k ∈Z ， 即sin ϕ=sin 5ϕ，所以5ϕ=2nπ+ϕ或5ϕ=2nπ+π−ϕ，n ∈Z ，又ϕ≠0且−2π<ϕ<2π，因而ϕ=−6π或ϕ=6π，故选D ． 13．9 000【解析】设工人数为n ，由已知最多为600人，则劳动力的年生产能力为n × 2 000 =2 000n ．由生产该产品平均每件需要120个工时， 得产量为 2 000n ÷120=503n ≤503×600=10 000(件)，而这10 000件产品需要某重要部件的数量40 000>2 000+34 000=36 000，因此从供应部提供的信息知年生产量为 36 000÷4=9 000，刚好达到预计销售量的最低限， 由此可见，明年产量最多为9 000件．14．4【解析】通解 如图，连接CF ，由于B ，F ，E 三点共线，因而可设(1)CF CB CE λλ=+-，则33(1)24CF CD CA λλ=+- ．又A ，F ，D 三点共线，∴32λ+34(1−λ)=1， 得λ=13， ∴1233CF CB CE =+ =1132CB CA + ，1132AF CF CA CB CA =-=- ，1132FD CD CF CB CA =-=-，即F 为AD 的中点，因而ABF S ∆=12ABD S ∆=16ABC S ∆=4．优解 如图，过D 作AC 的平行线，交BE 于H ，则由已知2CD DB =，得DH ∥13CE ，又3CE EA = ，因而DH ∥EA ，∆AEF ≌△DHF ，则F 为AD 的中点，因而ABF S ∆=12ABD S ∆=16ABC S ∆=4．15．649【解析】令x =2，则92=0a +1a +2a +…+9a ，令x =0，则0=0a −1a +2a +…−9a ，因而1357902468a a a a a a a a a a ++++=++++ =82，而9x =[1+(x −1)]9，其中789=C T (x −1)7，因而7a =79C =36，则135797a a a a a a ++++=25636=649． 16．(1，54)【解析】作出函数()f x 的图象如图1所示，作出函数()g x 的图象如图2所示． y =(())g f x −a 有4个零点，等价于方程(())g f x =a 有4个不同的实数解， 设t =()f x ，则t ≤1，g (1)=54，()g t =a ，数形结合可知，当()g t =a ，t =()f x 各有2个不同的解时，方程(())g f x =a 才能有4个不同的实数解，又t ≤1，要使()g t =a 有2个不同的实数解，则a ∈[1，54]．当a =54时，()g t =a 有2个不同的实数根1t ，2t ，且满足0<1t <12，2t =1，对于2t =1，t =()f x 仅有1解，即方程(())g f x =a 有3个不同的实数解，不符合题意；当a =1时，()g t =a =1有2个实根3t =0，4t =12，又()f x =0仅有1解，()f x =12有2个不同的解，即方程(())g f x =1有3个不同的实数解，不符合题意．综上所述，a ∈(1，54)．图1 图217．【解析】(1)当n =1时，1a =1S =t ·3−2t +1=t +1．（1分）当n ≥2时，n a =n S −1n S -=t ·3n −t ·13n -=2t ·13n -．∵数列{}n a 是等比数列，∴1212323n n n n a t a t ---⋅=⋅=3(n ≥2)， ∴21231a t a t ⋅=+=3，∴t =1，1a =2， ∴n a =2·13n -(n ∈N*)．（5分）(2)由(1)知，31n n S =-，∴1+n S =3n，∴1113n n S =+，n b =131log 1n S +=n ， ∴n n a b =2n ×13n -，（7分）n T =2+4×3+6×32+…+2n ×13n -， ①3n T =2×3+4×32+6×33+…+2n ×3n，② ①−②得，−2n T =2+2(3+32+33+…+13n -)−2n ×3n=2+2×13(13)13n ---−2n ×3n，∴n T =1(21)322nn -+（12分）【备注】高考对数列的考查主要涉及：(1)等差、等比数列的有关知识，数列通项公式的求解，数列求和的方法(如裂项相消法、错位相减法、分组求和法等)；(2)通过数列的递推关系式求通项公式的各种方法，考查考生的逻辑推理能力，用转化与化归思想(配凑、变形)将一般数列转化为等差或等比数列；(3)利用函数与不等式处理取值范围和最值问题，凸显数列的函数特性和工具性．18．【解析】(1)(i)由题意得，所求同学的成绩为6×75 +(72+76+74+70+73)=85，因而排名第一．（2分）(ii)根据分步乘法计数原理知(a ，b )的取值共有5×4=20种情况，若2x +2ax +2b =0有实根，则(2a )2−4b 2≥0，即a ≥b ，而满足a ≥b 的情况有10种，因而由古典概型的概率计算公式得所求概率P =1020=12．（6分） (2)随机变量ξ的所有可能取值为1，2，3，P (ξ=1)=1335C C =310，P (ξ=2)= 213235C C C =35， P (ξ=3)= 3335C C =110．因而ξ的分布列为E (ξ)=310×1+35×2+110×3= 5．（12分） 【备注】(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的、各次之间相互独立的一种试验，每一次试验只能有两种结果(即要么发生，要么不发生)，且任何一次试验中发生的概率都是一样的，在相同条件下重复地做n 次试验称为n 次独立重复试验；(2)在n 次独立重复试验中，若事件A 每次发生的概率为p ，则A 发生的次数为k 的概率为C k n p k (1−p )n −k，事件A 发生的次数是一个随机变量X ，其分布列称为二项分布，记为X ~B (n ，p )． 19．【解析】(1)由题意知EA ∥12FD ，EB ∥12FC ，所以AB ∥CD ，即A ，B ，C ，D 四点共面．由EF =EB =12FC =2，EF ⊥AB ，得FB =BC 则BC ⊥FB ，又翻折后平面AEFD ⊥平面EBCF ，平面AEFD ∩平面EBCF =EF ，DF ⊥EF ，所以DF ⊥平面EBCF ，因而BC ⊥DF ，又DF ∩FB =F ，所以BC ⊥平面BDF ，由于BC 平面BCD ，则平面BCD ⊥平面BDF ，又平面ABD 即平面BCD ，所以平面ABD ⊥平面BDF ．（5分）(2)向量法 以F 为坐标原点，FE ，FC ，FD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则F (0，0，0)，B (2，2，0)，设EA =t (t >0)，则A (2，0，t )，D (0，0，2t )，AB =(0，2，−t )，AD=(−2，0，t )．（8分） 设平面ABD 的法向量为m =(x ，y ，z )，则00AB AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即2020y tz x tz -=⎧⎨-+=⎩， 取x =t ，则y =t ，z =2，所以m =(t ，t ，2)为平面ABD 的一个法向量． 又平面F AD 的一个法向量为n =(0，1，0)， 则|cos<m ，n>|=||||||⋅=⋅m n m n 12， 所以tEA（12分）传统法 由(1)知，平面ABD 即平面ABCD ，因而二面角B −AD −F 即二面角C −AD −F ．因为平面AEFD ⊥平面EBCF ，平面AEFD ∩平面EBCF =EF ，CF ⊂平面EBCF ，CF ⊥EF ，所以CF ⊥平面AEFD ．（7分）如图，作FH ⊥AD 于H ，连接CH ，则CH ⊥AD ，∠CHF 为二面角C −AD −F 的平面角．设EA =t (t >0)，则FD =2t ，在三角形ADF 中，AD由ADF S ∆=12×2t ×2=12HF ，得HF．在直角三角形CFH 中，tan ∠CHF=FC HF t==，因而2t +4=32t ，解得tEA（12分）20．【解析】(1)由已知，22x y +=4与x 轴交于1F (−2，0)，2F (2，0)，则|1F 2F | =4，由题意知|P 1F |+|P 2F |=2a ，cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +- =22121212(||||)||2||||PF PF F F PF PF +-−1=2124162||||a PF PF -−1≥224162a a -−1=1−28a =−13，当且仅当|P 1F |=|P 2F |=a 时等号成立，因而2a =6，由椭圆的定义知，P 的轨迹为椭圆，且1F ，2F 分别为其左、右焦点，2b =2a −2c =2，所以所求轨迹方程为26x +22y =1．（6分）(2)如图，设直线l 的方程为x = my +2，A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，由222162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(m 2+3)y 2+4my −2=0，则1y +2y =−243m m +，1y 2y =−223m +．（8分） 假设存在这样的“恒点”E (t ，0)，则2EA EA AB +⋅ =EA EB ⋅=(1x −t ，1y )·(2x −t ，2y )=(m 1y +2−t ，1y )·(m 2y +2−t ，2y ) =(m 2+1) 1y 2y +(2−t)m (1y +2y )+(2−t )2=2222224(2)33m t m m m ----++++(2−t )2 =2222(6)312103t m t t m -+-++． 若2EA EA AB +⋅是与直线l 的斜率无关的定值，则其为与m 无关的定值，则32t −18=32t −12t +10，得t =73， 此时定值为(73)2−6=−59，“恒点”为(73，0)．（12分） 21．【解析】(1)∵()h x =log a x 的图象在(1，0)处的切线方程为x −y −1=0，1()ln h x x a '=，∴1(1)1ln h a'=⋅ =1，∴a =e ，()h x =ln x ． ∴()f x = m ()h x +212m x ++1， ∴()f x '=m x +(m +1)x =2(1)m x mx++，x ∈(0，+∞)．（3分）①当m +1≤0，即m ≤−1时，()f x '<0，()f x 在区间(0，+∞)上单调递减； ②当m ≥0时，()f x '>0，()f x 在区间(0，+∞)上单调递增；③当−1<m <0时，令()f x '=0，得x∴()f x 在区间(0上单调递减，在区间，+∞)上单调递增． 综上所述，当m ≤−1时，()f x 在区间(0，+∞)上单调递减；当− 1<m <0时，()f x 在区间(0)上单调递减，在区间，+∞)上单调递增；当m ≥0时，()f x 在区间(0，+∞)上单调递增．（6分） (2)依题意及(1)得函数()ln x x x b ϕ=--，则1()1x xϕ'=-，令()x ϕ'=0，得x =1， ∴当0<x <1时，()x ϕ'>0，函数()x ϕ在区间(0，1)上单调递增；当x >1时，()x ϕ'<0，函数()x ϕ在区间(1，+∞)上单调递减，∴当x =1时，()x ϕmax =−1−b ．（8分）∵函数()x ϕ的图象恒与x 轴有两个不同的交点M (1x ，0)，N (2x ，0)， 且当x 趋近于0时，()x ϕ趋近于−∞，当x 趋近于+∞时，()x ϕ趋近于−∞， ∴−1−b >0，b <−1，且1x ≠2x ，（9分）故不妨设1x <2x ，则0<1x <1<2x ．要证ϕ'(122x x +)<0，需证122x x +>1，即1x +2x >2，当2x ≥2时，显然成立．当1<2x <2时，令F (x )=()x ϕ−ϕ(2−x )，x ∈(1，2)，∵()x ϕ=ln x −x −b ，∴F (x )=ln x −ln(2−x )−2x +2，()F x ' =1x +12x -−2=22(1)(2)x x x -->0，x ∈(1，2)，∴F (x )在(1，2)上单调递增，∴F (2x )>F (1)=0，即ϕ(2x )>ϕ(2−2x )，（10分）又由题意知ϕ(1x )=ϕ(2x )，∴ϕ(1x )>ϕ(2−2x )．∵()x ϕ在(0，1)上单调递增，1x ∈(0，1)，2−2x ∈(0，1)，∴1x >2−2x ，即1x +2x >2．综上可得，1x +2x >2，即证12()02x x ϕ+'<．（12分）22．【解析】(1)曲线1C 的普通方程为2x +2(1)y -=1，即2x +2y −2y =0，曲线1C 的极坐标方程为2ρ−2ρsin θ=0，即ρ=2sin θ．因为曲线2C 的极坐标方程为ρ=2cos θθ，即2ρ=2ρcos θρsin θ，故曲线2C 的直角坐标方程为2x +2y =2x ，即(x −1)2+(y 2=4．（5分）(2)解法一 直线l 的极坐标方程θ=3π化为直角坐标方程得y，由2220y x y y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩得00x y =⎧⎨=⎩，或32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则|OM|==，由222y x y x ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩得00x y =⎧⎨=⎩或2xy =⎧⎪⎨=⎪⎩则|ON．故|MN |=|ON |−|OM |=4解法二 直线l 的极坐标方程为θ=3π，曲线1C 的极坐标方程为ρ=2sin θ，所以|OM |=2sin 3π曲线2C 的极坐标方程为ρ=2cos θθ，所以|ON |=2cos 3π3π=4．故|MN |=|ON |−|OM |=4（10分）23．【解析】(1)若a =1，则不等式()f x +()g x ≥3化为2−2x +|x −1|≥3．当x ≥1时，2−2x +x −1≥3，即2x −x +2≤0，(x −12)2+74≤0不成立；当x <1时，2−2x −x +1≥3，即2x +x ≤0，解得−1≤x ≤0．综上，不等式()f x +()g x ≥3的解集为{x |−1≤x ≤0}．（5分）(2)作出y=()f x 的图象如图所示，当a <0时，()g x 的图象如折线①所示， 由22y x a y x =-⎧⎨=-⎩，得2x +x −a −2=0，若相切，则Δ=1+4(a +2)=0，得a =−94，数形结合知，当a ≤−94时，不等式无负数解，则−94<a <0．当a =0时，满足()f x >()g x 至少有一个负数解．当a >0时，()g x 的图象如折线②所示，此时当a =2时恰好无负数解，数形结合知，当a ≥2时，不等式无负数解，则0<a <2．综上所述，若不等式()f x >()g x 至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是(−94，2)．（10分）。
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试仿真卷(六)数学(理)含答案
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（六）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是()2,1A 和()0,1B ，则12z z =（ ） A ．12i --B ．12i -+C ．12i -D ．12i +2．已知集合{}|1M x x =<，{}21x N x =>，则M N =（ ）A ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|1x x <D ．∅3．已知函数()ln f x x =，若()11f x -<，则实数x 的取值范围是（ ） A ．(),e 1-∞+B ．()0,+∞C ．()1,e 1+D ．()e 1,++∞4，则cos2α等于（ ）A ．35B ．12C ．13D ．3-级 姓名 准考证号 考场号 座位号卷只装订不密封5．已知向量()2,1=-a ，()1,A x -，()1,1B -，若AB ⊥a ，则实数x 的值为（ ） A ．5-B ．0C ．1-D ．56．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为112V =⨯（底面圆的周长的平方⨯高），则由此可推得圆周率π的取值为（ ） A ．3B ．3.1C ．3.14D ．3.27．已知三角形ABC中，AB AC ==，3DB AD =，连接CD 并取线段CD 的中点F ，则AF CD ⋅的值为（ ） A ．5-B ．154-C ．52-D ．2-8．已知正项数列{}n a 满足221120n n n n a a a a ++--={}n b 的前n 项和为（ ） A ．nB ．()12n n -C ．()12n n +D ．()()122n n ++9．设不等式组33240,0x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥≥⎩所表示的平面区域为M ，在M 内任取一点(),P x y ，1x y +≤的概率是（ ）A ．17B ．27C ．37D ．4710．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）ABC ．41πD ．31π11． e 为自然对数的底数，已知函数()y f x ax =-有唯一零点的充要条件是（ ） A ．1a <-98a > B ．1a <-C ．1a >-D ．1a >-或98a >12．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，O,12p N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，连结OM ，ON 分别交抛物线E 于点A ，B ，且A ，B ，F 三点共线，则p 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷卷包括必考题和选考题两部分。
2018年全国高考数学模拟试题6及详细答案(精校版)
2018年全国高考数学模拟试题六一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合，则（）A ．B ．C ．D ．2．已知复数满足：，其中是虚数单位，则的共轭复数为（）A ．B ．C ．D ．3．三内角的对边分别为,则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件4．如图，四边形是边长为2的正方形，曲线段所在的曲线方程为，现向该正方形内抛掷1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（）A ．B ．C ．D ．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的值为（）A．0 B．1 C．16 D．326．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．12 B．16 C ．D．247．函数（）的图象的大致形状是（）8．已知函数（）图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（）A. 关于点对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称9．在中，点是边上任意一点，是线段的中点，若存在实数和，使得，则（）A ．B ．C．2 D ．10．在锐角中，，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．11．已知实数满足，则的最大值为（）A ．B ．C ．D ．12．已知函数，是图象上任意一点，过点作直线和轴的垂线，垂足分别为，又过点作曲线的切线，交直线和轴于点.给出下列四个结论：①是定值；②是定值；③（是坐标原点）是定值；④是定值.其中正确的是（）A．①②B．①③C．①②③D．①②③④二、填空题13．若a＝log43，则2a＋2－a ＝.14．函数f (x)＝2sin2(4π＋x )－cos2x （4π≤x≤2π）的值域为.15．已知圆x2＋y2＝4,B(1,1)为圆内一点，P,Q为圆上动点，若PBQ=900，则线段PQ中点的轨迹方程为.16．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18.“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号.用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现.现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：步数/步10000以上男生人数/人1 2 7 15 5女性人数/人0 3 7 9 1规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”.（1）以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率，记表示随机抽取3人中被系统评为“积极性”的人数，求和的数学期望.（2）为调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）.其中男性中被系统评定为“积极性”的有4人，“懈怠性”的有2人，从中任意选取3人，记选到“积极性”的人数为；其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的各有2人，从中任意选取2人，记选到“积极性”的人数为；求的概率.19.如图，在直角梯形中，，且分别为线段的中点，沿把折起，使，得到如下的立体图形.（1）证明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.20.已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点（点均在第一象限），与轴，轴分别交于两点，且满足（其中为坐标原点）.证明：直线的斜率为定值.21. 已知函数.（1）讨论的导函数零点的个数；（2）若函数的最小值为，求的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，已知直线：（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设点的极坐标为，直线与曲线的交点为，，求的值.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数.（1）当时，求不等式的解集；【参考答案】一、选择题1．D【解析】因为，所.故选D.2．B【解析】. ，所以的共轭复数为.故选B.3.C【解析】根据二倍角公式、正弦定理可得.故选C.4.A【解析】根据条件可知，，阴影部分的面积为，所以，豆子落在阴影部分的概率为.故选A.5.B【解析】；；；.故选B.6.B【解析】该几何体的直观图如图所示，其体积为（）.故选B.7.C【解析】故选C.8.A【解析】由函数图象相邻两条对称轴之间的距离为可知其周期为，所以，所以.将函数的图象向左平移个单位后，得到函数图象.因为得到的图象关于轴对称，所以，，即，.又，所以，所以，其图象关于点对称. 故选A.9. B【解析】因为点在边上，所以存在，使得. 因为是线段的中点，所以又，所以，，所以. 故选B.10.D【解析】.因为是锐角三角形，所以得.所以.故选D.11. C【解析】作可行域，如图阴影部分所示.表示可行域内的点与点连线的斜率.易知，，.当直线与曲线相切时，，切点为，所以切点位于点、之间. 因此根据图形可知，的最大值为.故选C.12．C【解析】①设，则，为定值，所以①正确；②因为四边形四点共圆，所以，又由①知，所以，为定值，故②正确；③ 因为，所以过点的曲线的切线方程为，所以，，所以，为定值，故③正确；.④，不是定值，故④不正确, 故选C.二．填空题 13．33【解析】原式＝2log 43＋2－log43＝＋31＝33.14. [2，3]【解析】依题意，f (x )＝1－cos2(4π＋x )－cos2x ＝sin2x －cos2x ＋1＝2sin(2x －3π)＋1.当4π≤x ≤2π时，6π≤2x －3π≤32π，21≤sin(2x －3π)≤1，此时f (x )的值域是[2，3] 15. x 2＋y 2－x －y －1＝0【解析】设PQ 的中点为N (x ′，y ′)．在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x ′2＋y ′2＋(x ′－1)2＋(y ′－1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.16. 22【解析】设P (2p t2，t )，易知F (2p ，0)，则由|PM |＝2|MF |，得M (2p ，3t)，当t ＝0时，直线OM 的斜率k＝0，当t ≠0时，直线OM 的斜率k ＝2p t2＝2p t ，所以|k |＝2p |t|≤2p |t|＝22，当且仅当|t|p ＝2p |t|时取等号，于是直线OM 的斜率的最大值为22.三、解答题17.解：（1）设等差数列的公差为，因为成等比数列， 所以，即，化简得，又，所以，从而.（2）因为，所以， 所以，以上两个等式相减得，化简得.18.解：（1）被系统评为“积极性”的概率为.故，的数学期望； （2）“”包含“”，“ ”，“”，“”，“”，“”，，，，，，，所以.19.（1）证明：由题可得，则，又，且，所以平面.因为平面，所以平面平面；（2）解：过点作交于点，连结，则平面，，又，所以平面，易证，则，得，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则.故，设是平面的法向量，则，令，得，设是平面的法向量，则，令，则，因为，所以二面角的余弦值为.20.解：（1）由题意可得，解得，故椭圆的方程为；（2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，故可设直线的方程为，点的坐标分别为，由，化简得，，即，由，消去得，则，且，故，因此，即，又，所以，又结合图象可知，，所以直线的斜率为定值.21.解：（1），令，故在上单调递增，则，因此，当或时，只有一个零点；当或时，有两个零点；（2）当时，，则函数在处取得最小值，当时，则函数在上单调递增，则必存在正数，使得，若，则，函数在与上单调递增，在上单调递减，又，故不符合题意.若，则，函数在上单调递增，又，故不符合题意.若，则，设正数，则，与函数的最小值为矛盾，综上所述，，即.22. 解：（1）把展开得，两边同乘得①.将，，代入①即得曲线的直角坐标方程为②.（2）将代入②式，得，易知点的直角坐标为.设这个方程的两个实数根分别为，，则由参数的几何意义即得.23. 解：（1）当时，原不等式可化为.若，则，即，解得；若，则原不等式等价于，不成立；若，则，解得.综上所述，原不等式的解集为：. （2）由不等式的性质可知，所以要使不等式恒成立，则，所以或，解得，所以实数的取值范围是.。
2018届广东省六校高三5月高考模拟考试理科数学试题及
第4题图2018届高三六校高考模拟考试理科数学试题本试卷共21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题（本大题共8小题，每题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．满足3i 13i z ⋅=-的复数z 的共轭复数．．．．是（ ） A ．3i -+ B ．3i -- C ．3i + D ．3i -2．已知函数()f x =M ，()ln(1)g x x =+的定义域为N ，则M N = （ ）A ．{}|1x x >-B ．{}|1x x <C ．{}|11x x -<<D ．∅3．如图给出的是计算1111352013++++的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入（ ）A ．1i i =-B ．1i i =+C ．2i i =-D ．2i i =+4．若变量x y ，满足24023000x y x y x y ⎧+⎪-+⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≤≤≥≥则3z x y =-+的最大值是（ ）A ．90B ．80C ．50D ．405．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，22S =，则4S = （ ）A ．2B ．6C ．16D ．206． 已知直线1:4l y x =，2:4l y x =-，过3(,2)2M 的直线l 与12,l l 分别交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则||AB 等于（ ）A ．12B C D7．已知某四棱锥的三视图，如右图。
则此四棱锥的体积为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．68．设00x y >>，，定义x y ⊗=，则()2x y ⎡⊗⎣+2()x y ⊗()max y x ⊗⎤⎦等于（ ）AB．32+C．22+D．12+二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）（一）必做题（第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答）9．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校 学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0．19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 ．10．若12322()log (1) 2.，，，x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则((2))f f 的值为 . 11．曲线33y x ax =++在点（1，m ）处的切线方程为2y x n =+，则a = ．（a m n ，，为常数） 12．已知()2sin()(||)32f x x ππϕϕ=+<，若1x =是它一条对称轴，则 ϕ= ．13．如右图，等边△ABC 中，244AB AD AC AE =＝＝＝，则BE CD ⋅=．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）曲线4cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）上一点P 到点()20A -，与()20B ，的距离之和为 ．15．（几何证明选讲选做题）如右图，在Rt △ABC 中，斜边12AB =，直角边6AC =，如果以C 为圆心的圆与AB 相切于D ，则⊙C 的半径长为 ．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（本小题满分12分）已知函数21()2cos 22f x x x x R =--∈，． （1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）设△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c且c =()0f C =，若sin 2sin B A =，求,a b 的值。
2018年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷(理科)
2018年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷（理科）（一）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|2﹣x＞0}，B={x|（）x＜1}，则（）A．A∩B={x|0＜x≤2}B．A∩B={x|x＜0}C．A∪B={x|x＜2}D．A∪B=R 2．（5分）已知i为虚数单位，a为实数，复数z满足z+3i=a+ai，若复数z是纯虚数，则（）A．a=3 B．a=0 C．a≠0 D．a＜03．（5分）我国数学家邹元治利用如图证明勾股定理，该图中用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形的两条直角边，用弦（c）表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9=6π，则tan a5=（）A．B．C．﹣D．﹣5．（5分）已知函数f（x）=x+（a∈R），则下列结论正确的是（）A．∀a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递增B．∃a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递减C．∃a∈R，f（x）是偶函数D．∃a∈R，f（x）是奇函数，且f（x）在区间（0，+∞）内单调递增6．（5分）（1+x）（2﹣x）4的展开式中x项的系数为（）A．﹣16 B．16 C．48 D．﹣487．（5分）如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A．π+4+4 B．2π+4+4 C．2π+4+2 D．2π+2+48．（5分）若a＞1，0＜c＜b＜1，则下列不等式不正确的是（）A．log2018a＞log2018b B．log b a＜log c aC．（a﹣c）a c＞（a﹣c）a b D．（c﹣b）a c＞（c﹣b）a b9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的n值为11，则判断框中的条件可以是（）A．S＜1022？B．S＜2018？C．S＜4095？D．S＞4095？10．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，则（）A．g（x）=2sin（2x+）B．g（x）=2sin（2x+）C．g（x）=2sin2x D．g（x）=2sin（2x﹣）11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C与P、Q两点，则+的值为（）A．B．C．1 D．212．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，n（a n+1﹣a n）=a n+1，n∈N*，若对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式＜2t2+at﹣1恒成立，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量=（1，λ），=（3，1），若向量2﹣与=（1，2）共线，则向量在向量方向上的投影为．14．（5分）若实数x，y满足，则z=x﹣3y+1的最大值是．15．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的下焦点F1作y轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好过其上焦点F2，则双曲线的离心率为．16．（5分）一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acosA=bcosC+ccosB．（1）求角A的大小；（2）若点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB=2，BC=4，求AD的长．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱CC1⊥地面ABC，且CC1=2AC=2BC，AC⊥BC，D是AB的中点，点M在侧棱CC1上运动．（1）当M是棱CC1的中点时，求证：CD∥平面MAB1；（2）当直线AM与平面ABC所成的角的正切值为时，求二面角A﹣MB1﹣C1的余弦值．19．（12分）第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，这是2017年我国重要的主场外交活动，对推动国际和地区合作具有重要意义．某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况，在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩（百分制），如茎叶图所示．（1）写出该样本的众数、中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取1人．①记X表示选取4人的成绩的平均数，求P（X≥87）；②记ξ表示测试成绩在80分以上的人数，求ξ的分布和数学期望．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为，点P在椭圆C上，且△PF1F2的面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+2（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，若在x轴上存在点G，使得|GM|=|GN|，求点G的横坐标的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣2a﹣ln（x+a），a∈R，e为自然对数的底数．（1）若a＞0，且函数f（x）在区间[0，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围；（2）若0＜a＜，试判断函数f（x）的零点个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为+=1，以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=3．（1）求直线l的直角坐标方程和椭圆C的参数方程；（2）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，求|2x+y﹣1|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）求不等式f（x）+f（2+x）≤4的解集；（2）若g（x）=f（x）﹣f（2﹣x）的最大值为m，对任意不相等的正实数a，b，证明：af（b）+bf（a）≥m|a﹣b|．2018年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|2﹣x＞0}，B={x|（）x＜1}，则（）A．A∩B={x|0＜x≤2}B．A∩B={x|x＜0}C．A∪B={x|x＜2}D．A∪B=R【解答】解：集合A={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}，B={x|（）x＜1}={x|x＞0}，则A∩B={x|0＜x＜2}，A∪B=R．故选：D．2．（5分）已知i为虚数单位，a为实数，复数z满足z+3i=a+ai，若复数z是纯虚数，则（）A．a=3 B．a=0 C．a≠0 D．a＜0【解答】解：由z+3i=a+ai，得z=a+（a﹣3）i，又∵复数z是纯虚数，∴，解得a=0．故选：B．3．（5分）我国数学家邹元治利用如图证明勾股定理，该图中用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形的两条直角边，用弦（c）表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设直角三角形的长直角边为a=4，短直角边为b=3，由题意c=5，∵大方形的边长为a+b=3+4=7，小方形的边长为c=5，则大正方形的面积为49，小正方形的面积为25，∴满足题意的概率值为：1﹣=．故选：B．4．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9=6π，则tan a5=（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：由等差数列的性质可得：S9=6π==9a5，∴a5=．则tan a5=tan=﹣．故选：C．5．（5分）已知函数f（x）=x+（a∈R），则下列结论正确的是（）A．∀a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递增B．∃a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递减C．∃a∈R，f（x）是偶函数D．∃a∈R，f（x）是奇函数，且f（x）在区间（0，+∞）内单调递增【解答】解：当a≤0时，函数f（x）=x+在区间（0，+∞）内单调递增，当a＞0时，函数f（x）=x+在区间（0，]上单调递减，在[，+∞）内单调递增，故A，B均错误，∀a∈R，f（﹣x）=﹣f（x）均成立，故f（x）是奇函数，故C错误，故选：D．6．（5分）（1+x）（2﹣x）4的展开式中x项的系数为（）A．﹣16 B．16 C．48 D．﹣48=•24﹣r（﹣x）r，【解答】解：∵（2﹣x）4展开式的通项公式为T r+1∴（1+x）（2﹣x）4的展开式中x项的系数为﹣•23+24=﹣16，故选：A．7．（5分）如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A．π+4+4 B．2π+4+4 C．2π+4+2 D．2π+2+4【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．其直观图如下所示：其表面积S=2×π•12+2××2×1++﹣2×1=2π+4+4，故选：B8．（5分）若a＞1，0＜c＜b＜1，则下列不等式不正确的是（）A．log2018a＞log2018b B．log b a＜log c aC．（a﹣c）a c＞（a﹣c）a b D．（c﹣b）a c＞（c﹣b）a b【解答】解：根据对数函数的单调性可得log2018a＞log2018b正确，log b a＜log c a正确，∵a＞1，0＜c＜b＜1，∴a c＜a b，a﹣c＞0，∴（a﹣c）a c＜（a﹣c）a b，故C不正确，∵c﹣b＜0，∴（c﹣b）a c＞（c﹣b）a b正确，故选：C．9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的n值为11，则判断框中的条件可以是（）A．S＜1022？B．S＜2018？C．S＜4095？D．S＞4095？【解答】解：第1次执行循环体，S=3，应不满足输出的条件，n=2，第2次执行循环体，S=7，应不满足输出的条件，n=3，第3次执行循环体，S=15，应不满足输出的条件，n=4，第4次执行循环体，S=31，应不满足输出的条件，n=5，第5次执行循环体，S=63，应不满足输出的条件，n=6，第6次执行循环体，S=127，应不满足输出的条件，n=7，第7次执行循环体，S=255，应不满足输出的条件，n=8，第8次执行循环体，S=511，应不满足输出的条件，n=9，第9次执行循环体，S=1023，应不满足输出的条件，n=10，第10次执行循环体，S=2047，应不满足输出的条件，n=11第11次执行循环体，S=4095，应满足输出的条件，故判断框中的条件可以是S＜4095？，故选：C．10．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，则（）A．g（x）=2sin（2x+）B．g（x）=2sin（2x+）C．g（x）=2sin2x D．g（x）=2sin（2x﹣）【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象，可得==+，∴ω=2，根据+φ=2•（﹣）+φ=0，∴φ=，故f（x）=2sin（2x+）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，故g（x）=2sin（2x++）=2sin（2x+）．故选：A．11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C与P、Q两点，则+的值为（）A．B．C．1 D．2【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），过点F作斜率为1的直线l：y=x﹣1，可得，消去y可得：x2﹣6x+1=0，可得x P+x Q=6，x P x Q=1，|PF|=x P+1，|QF|=x Q+1，|PF||QF|=x Q+x P+x P x Q+1=6+1+1=8，则+===1．故选：C．12．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，n（a n+1﹣a n）=a n+1，n∈N*，若对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式＜2t2+at﹣1恒成立，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]【解答】解：根据题意，数列{a n}中，n（a n+1﹣a n）=a n+1，﹣（n+1）a n=1，即na n+1则有﹣==﹣，则有=（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（a2﹣a1）+a1 =（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（1﹣）+2=3﹣＜3，＜2t2+at﹣1即3﹣＜2t2+at﹣1，∵对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式＜2t2+at﹣1恒成立，∴2t2+at﹣1≥3，化为：2t2+at﹣4≥0，设f（a）=2t2+at﹣4，a∈[﹣2，2]，可得f（2）≥0且f（﹣2）≥0，即有即，可得t≥2或t≤﹣2，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量=（1，λ），=（3，1），若向量2﹣与=（1，2）共线，则向量在向量方向上的投影为0．【解答】解：向量=（1，λ），=（3，1），向量2﹣=（﹣1，2λ﹣1），∵向量2﹣与=（1，2）共线，∴2λ﹣1=﹣2，即λ=．∴向量=（1，﹣），∴向量在向量方向上的投影为||•cos＜，＞===0．故答案为：0．14．（5分）若实数x，y满足，则z=x﹣3y+1的最大值是．【解答】解：实数x，y满足，对应的可行域如图：线段AB，z=x﹣3y+1化为：y=，如果z最大，则直线y=在y轴上的截距最小，作直线l：y=，平移直线y=至B点时，z=x﹣3y+1取得最大值，联立，解得B（，）．所以z=x﹣3y+1的最大值是：．故答案为：﹣．15．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的下焦点F1作y轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好过其上焦点F2，则双曲线的离心率为．【解答】解：过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的下焦点F1作y轴的垂线，交双曲线于A，B两点，则|AB|=，以AB为直径的圆恰好过其上焦点F2，可得：，∴c2﹣a2﹣2ac=0，可得e2﹣2e﹣1=0，解得e=1+，e=1﹣舍去．故答案为：1+．16．（5分）一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为4．【解答】解：设该项长方体底面边长为x米，由题意知其高是：=6﹣2x，（0＜x＜3）则长方体的体积V（x）=x2（6﹣2x），（0＜x＜3），V′（x）=12x﹣6x2=6x（2﹣x），由V′（x）=0，得x=2，且当0＜x＜2时，V′（x）＞0，V（x）单调递增；当2＜x＜3时，V′（x）＜0，V（x）单调递减．∴体积函数V（x）在x=2处取得唯一的极大值，即为最大值，此时长方体的高为6﹣2x=2，∴其外接球的直径2R==2，∴R=，∴其外接球的体积V==4．故答案为：4．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acosA=bcosC+ccosB．（1）求角A的大小；（2）若点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB=2，BC=4，求AD的长．【解答】解：（1）∵2acosA=bcosC+ccosB，∴2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosA=，∴A=．（2）在△ABC中，由余弦定理的cosA==，解得AC=1+或AC=1﹣（舍）．∵BD是∠ABC的平分线，∴=，∴AD=AC=．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱CC1⊥地面ABC，且CC1=2AC=2BC，AC⊥BC，D是AB的中点，点M在侧棱CC1上运动．（1）当M是棱CC1的中点时，求证：CD∥平面MAB1；（2）当直线AM与平面ABC所成的角的正切值为时，求二面角A﹣MB1﹣C1的余弦值．【解答】证明：（1）取线段AB的中点E，连接DE，EM．∵AD=DB，AE=EB，∴DE∥BB1，ED=，又M为CC1的中点，∴．∴四边形CDEM是平行四边形．∴CD∥EM，又EM⊂MAB1，CD⊄MAB1∴CD∥平面MAB1；解（2）∵CA，CB，CC1两两垂直，∴以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱CC1⊥地面ABC，可得∠MAC为直线AM与平面ABC所成的角，设AC=1，tan，得CM=∴C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），B1（0，1，2），M（0，0，）设AMB1的法向量为，可取又平面B1C1CB的法向量为．cos==．∵二面角A﹣MB1﹣C1为钝角，∴二面角A﹣MB1﹣C1的余弦值为﹣．19．（12分）第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，这是2017年我国重要的主场外交活动，对推动国际和地区合作具有重要意义．某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况，在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩（百分制），如茎叶图所示．（1）写出该样本的众数、中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取1人．①记X表示选取4人的成绩的平均数，求P（X≥87）；②记ξ表示测试成绩在80分以上的人数，求ξ的分布和数学期望．【解答】解：（1）众数为76，中位数为76，抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人，故从该校学生中任选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率为=，∴该校这次测试成绩在70分以上的约有：3000×=2000人．（2）①由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94，当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类：一类是：82，88，93，94，共1种；另一类是：76，88，93，94，共3种．∴P（X≥87）==．②由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，4，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，∴ξ的分布列为：ξ01234 P∴E（ξ）==2．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为，点P在椭圆C上，且△PF1F2的面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+2（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，若在x轴上存在点G，使得|GM|=|GN|，求点G的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）显然当点P位于短轴端点时，△PF1F2的面积取得最大值，∴，解得，∴椭圆的方程为=1．（2）联立方程组，消元得（8+9k2）x2+36kx﹣36=0，∵直线l恒过点（0，2），∴直线l与椭圆始终有两个交点，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，设MN的中点为E（x0，y0），则x0=，y0=kx0+2=．∵|GM|=|GN|，∴GE⊥MN，设G（m，0），则k GE==﹣，∴m==，当k＞0时，9k+≥2=12．当且仅当9k=，即k=时取等号；∴﹣≤m＜0，当k＜0时，9k+≤﹣2=﹣12，当且仅当9k=，即k=﹣时取等号；∴0＜m≤．∴点G的横坐标的取值范围是[﹣，0）∪（0，]．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣2a﹣ln（x+a），a∈R，e为自然对数的底数．（1）若a＞0，且函数f（x）在区间[0，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围；（2）若0＜a＜，试判断函数f（x）的零点个数．【解答】解：（1）∵函数f（x）在区间[0，+∞）内单调递增，∴f′（x）=e x﹣≥0在区间[0，+∞）恒成立，即a≥e﹣x﹣x在[0，+∞）恒成立，记g（x）=e﹣x﹣x，则g′（x）=﹣e﹣x﹣1＜0恒成立，故g（x）在[0，+∞）递减，故g（x）≤g（0）=1，a≥1，故实数a的范围是[1，+∞）；（2）∵0＜a＜，f′（x）=e x﹣，记h（x）=f′（x），则h′（x）=e x+＞0，知f′（x）在区间（﹣a，+∞）递增，又∵f′（0）=1﹣＜0，f′（1）=e﹣＞0，∴f′（x）在区间（﹣a，+∞）内存在唯一的零点x0，即f′（x0）=﹣=0，于是x0=﹣ln（x0+a），当﹣a＜x＜x0时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞x0时，f′（x）＞0，f（x）递增，故f（x）min=f（x0）=﹣2a﹣ln（x0+a）=x0+a+﹣3a≥2﹣3a，当且仅当x0+a=1时取“=”，由0＜a＜得2﹣3a＞0，∴f（x）min=f（x0）＞0，即函数f（x）无零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为+=1，以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=3．（1）求直线l的直角坐标方程和椭圆C的参数方程；（2）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，求|2x+y﹣1|的最大值．【解答】解：（1）根据题意，椭圆C的方程为+=1，则其参数方程为，（α为参数）；直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，变形可得ρsinθcos+ρcosθsin=3，即ρsinθ+ρcosθ=3，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得x+y﹣6=0，即直线l的普通方程为x+y﹣6=0；（2）根据题意，M（x，y）为椭圆一点，则设M（2cosθ，4sinθ），|2x+y﹣1|=|4cosθ+4sinθ﹣1|=|8sin（θ+）﹣1|，分析可得，当sin（θ+）=﹣1时，|2x+y﹣1|取得最大值9．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）求不等式f（x）+f（2+x）≤4的解集；（2）若g（x）=f（x）﹣f（2﹣x）的最大值为m，对任意不相等的正实数a，b，证明：af（b）+bf（a）≥m|a﹣b|．【解答】（1）解：不等式f（x）+f（2+x）≤4，即为|x﹣2|+|x|≤4，当x≥2时，2x﹣2≤4，即x≤3，则2≤x≤3；当0＜x＜2时，2﹣x+x≤4，即2≤4，则0＜x＜2；当x≤0时，2﹣x﹣x≤4，即x≥﹣1，则﹣1≤x≤0．综上可得，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤3}；（2）证明：g（x）=f（x）﹣f（2﹣x）=|x﹣2|﹣|x|，由|x﹣2|﹣|x|≤|x﹣2﹣x|=2，当且仅当x≤0时，取得等号，即g（x）≤2，则m=2，任意不相等的正实数a，b，可得af（b）+bf（a）=a|b﹣2|+b|a﹣2|=|ab﹣2a|+|ab﹣2b|≥|ab﹣2a﹣ab+2b|=|2a﹣2b|=2|a﹣b|=m|a﹣b|，当且仅当（a﹣2）（b﹣2）≤0时，取得等号，即af（b）+bf（a）≥m|a﹣b|．。
2018年高考理科数学模拟试卷(共三套)(含答案)
2018年高考理科数学模拟试卷（一）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合S={1，2}，设S的真子集有m个，则m=（）A．4 B．3 C．2 D．12．已知i为虚数单位，则的共轭复数为（）A．﹣+i B． +i C．﹣﹣i D．﹣i3．已知、是平面向量，如果||=3，||=4，|+|=2，那么|﹣|=（）A． B．7 C．5 D．4．在（x﹣）10的二项展开式中，x4的系数等于（）A．﹣120 B．﹣60 C．60 D．1205．已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d，若f（x）=2017﹣（x﹣a）（x﹣b）的零点为c，d，则下列不等式正确的是（）A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d6．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想及其重要，对后世产生了巨大影响，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，若运行改程序（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305），则输出n的值为（）A．48 B．36 C．30 D．247．在平面区域内随机取一点（a，b），则函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A． B．C．D．8．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2 B．3 C．D．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．3010．已知常数ω＞0，f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx图象的对称中心得到对称轴的距离的最小值为，若f（x0）=，≤x0≤，则cos2x0=（）A．B．C．D．11．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A． B．C．D．12．抛物线M的顶点是坐标原点O，抛物线M的焦点F在x轴正半轴上，抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，设A是抛物线M上的一点，若•=﹣4，则点A的坐标是（）A．（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）B．（1，2）或（1，﹣2）C．（1，2） D．（1，﹣2）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某校1000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N（90，σ2），若分数在（70，110]内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70分的人数为人．14．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为．15．计算=（用数字作答）16．已知f（x）=，若f （x﹣1）＜f（2x+1），则x的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，当n≥2时，a n=2a n S n﹣2S n2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+S n）≥k对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由．18．云南省20XX年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70，85）内，记为B等，分数在[60，70）内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别作出甲校如图1所示样本频率分布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D的所有数据茎叶图．（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC，SB=SC，M是BC的中点，AB=1，BC=2．（1）求证：AM⊥SD；（2）若二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，求四棱锥S﹣ABCD的体积．20．已知椭圆E的中心在原点，焦点F1、F2在y轴上，离心率等于，P 是椭圆E上的点，以线段PF1为直径的圆经过F2，且9•=1．（1）求椭圆E的方程；（2）做直线l与椭圆E交于两个不同的点M、N，如果线段MN被直线2x+1=0平分，求l的倾斜角的取值范围．21．已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f（x）=e x﹣ax﹣1的定义域为（0，+∞）．（1）设a=e，求函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程；（2）判断函数f（x）的单调性；（3）设g（x）=ln（e x+x3﹣1）﹣lnx，若∀x＞0，f（g（x））＜f（x），求a 的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知直线L的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）直接写出直线L的极坐标方程和曲线C的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与L夹角为的直线l，设直线l与直线L的交点为A，求|PA|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．解：∵集合S={1，2}，∴S的真子集的个数为：22﹣1=3．故选：B．2．解：∵=，∴的共轭复数为．故选：C．3．解：根据条件：==4；∴；∴=9﹣（﹣21）+16=46；∴．故选：A．==（﹣1）r x10﹣2r，4．解：通项公式T r+1令10﹣2r=4，解得r=3．∴x4的系数等于﹣=﹣120．故选：A5．解：由题意设g（x）=（x﹣a）（x﹣b），则f（x）=2017﹣g（x），所以g（x）=0的两个根是a、b，由题意知：f（x）=0 的两根c，d，也就是g（x）=2017 的两根，画出g（x）（开口向上）以及直线y=2017的大致图象，则与f（x）交点横坐标就是c，d，f（x）与x轴交点就是a，b，又a＞b，c＞d，则c，d在a，b外，由图得，c＞a＞b＞d，故选D．6．解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：D．7．解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的图形为△OAB，其中对应面积为S=×4×4=8，若f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，则满足a＞0且对称轴x=﹣≤1，即，对应的平面区域为△OBC，由，解得，∴对应的面积为S1=××4=，∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为=，故选：B．8．解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，∴cosBsinC=sinCsinB，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=，=acsinB=ac=1+，∵S△ABC∴ac=4+2，由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即b2=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=4，当且仅当a=c时取“=”，∴b的最小值为2．故选：A．9．解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，其底面面积S=×3×4=6，棱柱的高为：5，棱锥的高为3，故组合体的体积V=6×5﹣×6×3=24，故选：C10．解：由f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx，化简可得：f（x）=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵对称中心得到对称轴的距离的最小值为，∴T=π．由，可得：ω=1．f（x0）=，即2sin（2x0+）=∵≤x0≤，∴≤2x0+≤∴sin（2x0+）=＞0∴cos（2x0+）=．那么：cos2x0=cos（2x0+﹣）=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=故选D11．解：如图所示：由已知得球的半径为2，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，在△ABC△中，PO=2，OD=BC=，∴，sinθ=．故选：C12．解：x2+y2﹣6x+4y﹣3=0，可化为（x﹣3）2+（y+2）2=16，圆心坐标为（3，﹣2），半径为4，∵抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，∴3+=4，∴p=2．∴F（1，0），设A（，y0）则=（，y0），=（1﹣，﹣y0），由•=﹣4，∴y0=±2，∴A（1，±2）故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．解：由X服从正态分布N（90，σ2）（σ＞0），且P（70≤X≤110）=0.35，得P（X≤70）=（1﹣0.35）=．∴估计这次考试分数不超过70分的人数为1000×=325．故答案为：325．14．解：设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为（c，0），当x=c时代入双曲线﹣=1得y=±，则A（c，），B（c，﹣），则AB=，将x=c代入y=±x得y=±，则C（c，），D（c，﹣），则|CD|=，∵|AB|≥|CD|，∴≥•，即b≥c，则b2=c2﹣a2≥c2，即c2≥a2，则e2=≥，则e≥．故答案为：[，+∞）．15．解：由===．故答案为：．16．解：∵已知f（x）=，∴满足f（﹣x）=f（x），且f（0）=0，故f（x）为偶函数，f（x）在[0，+∞）上单调递增．若f（x﹣1）＜f（2x+1），则|x﹣1|＜|2x+1|，∴（x﹣1）2＜（2x+1）2，即x2+2x＞0，∴x＞0，或x＜﹣2，故答案为：{x|x＞0，或x＜﹣2}．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（1）∵当n≥2时，a n=2a n S n﹣2S n2，∴a n=，n≥2，∴（S n﹣S n﹣1）（2S n﹣1）=2S n2，∴S n﹣S n﹣1=2S n S n﹣1，∴﹣2，n≥2，∴数列{}是以=1为首项，以2为公差的等差数列，∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴S n=，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=﹣，∵a1=S1=1，∴a n=，（2）设f（n）=，则==＞1，∴f（n）在n∈N*上递增，要使f（n）≥k恒成立，只需要f（n）min≥k，∵f（n）min=f（1）=，∴0＜k≤18．解：（1）由频率分布直方图可得：（x+0.012+0.056+0.018+0.010）×10=1，解得x=0.004．甲校的合格率P1=（1﹣0.004）×10=0.96=96%，乙校的合格率P2==96%．可得：甲乙两校的合格率相同，都为96%．（2）甲乙两校的C等级的学生数分别为：0.012×10×50=6，4人．X=0，1，2，3．则P（X=k）=，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．∴X的分布列为：X0123PE（X）=0+1×+2×+3×=．19．证明：（1）∵SB=SC，M是BC的中点，∴SM⊥BC，∵平面ABCD⊥平面SBC，平面ABCD∩平面SBC=BC，∴SM⊥平面ABCD，∵AM⊂平面ABCD，∴SM⊥AM，∵底面ABCD是矩形，M是BC的中点，AB=1，BC=2，∴AM2=BM2==，AD=2，∴AM2+BM2=AD2，∴AM⊥DM，∵SM∩DM=M，∴AM⊥平面DMS，∵SD⊂平面DMS，∴AM⊥SD．解：（2）∵SM⊥平面ABCD，∴以M为原点，MC为x轴，MS为y轴，过M作平面BCS的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设SM=t，则M（0，0，0），B（﹣1，0，0），S（0，t，0），A（﹣1，0，1），=（0，0，1），=（1，t，0），=（﹣1，0，1），=（0，t，0），设平面ABS的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣，0），设平面MAS的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，0，1），设二面角B﹣SA﹣M的平面角为θ，∵二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，∴sinθ=，cosθ==，∴cosθ===，解得t=，∵SM⊥平面ABCD，SM=，∴四棱锥S﹣ABCD的体积：V S﹣=== ABCD．20．解：（1）由题意可知：设题意的方程：（a＞b＞0），e==，则c=a，设丨PF1丨=m，丨PF2丨=n，则m+n=2a，线段PF1为直径的圆经过F2，则PF2⊥F1F2，则n2+（2c）2=m2，9m•n×cos∠F1PF2=1，由9n2=1，n=，解得：a=3，c=，则b==1，∴椭圆标准方程：；（2）假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被x=﹣平分，∴直线l的斜率存在．设直线l：y=kx+m，则由消去y，整理得（k2+9）x2+2kmx+m2﹣9=0∵l与椭圆交于不同的两点M，N，∴△=4k2m2﹣4（k2+9）（m2﹣9）＞0，即m2﹣k2﹣9＜0①设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣∴=﹣=﹣，∴m=②把②代入①式中得（）2﹣（k2+9）＜0∴k＞或k＜﹣，∴直线l倾斜角α∈（，）∪（，）．21．解：（1）a=e时，f（x）=e x﹣ex﹣1，f（1）=﹣1，f′（x）=e x﹣e，可得f′（1）=0，故a=e时，函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程是y=﹣1；（2）f（x）=e x﹣ax﹣1，f′（x）=e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增；当a＞0时，令f′（x）=e x﹣a=0，得x=lna，则f（x）在（﹣∞，lna]上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（3）设F（x）=e x﹣x﹣1，则F′（x）=e x﹣1，∵x=0时，F′（x）=0，x＞0时，F′（x）＞0，∴F（x）在[0，+∞）递增，∴x＞0时，F（x）＞F（0），化简得：e x﹣1＞x，∴x＞0时，e x+x3﹣1＞x，设h（x）=xe x﹣e x﹣x3+1，则h′（x）=x（e x﹣ex），设H（x）=e x﹣ex，H′（x）=e x﹣e，由H′（x）=0，得x=1时，H′（x）＞0，x＜1时，H′（x）＜0，∴x＞0时，H（x）的最小值是H（1），x＞0时，H（x）≥H（1），即H（x）≥0，∴h′（x）≥0，可知函数h（x）在（0，+∞）递增，∴h（x）＞h（0）=0，化简得e x+x3﹣1＜xe x，∴x＞0时，x＜e x+x3﹣1＜xe x，∴x＞0时，lnx＜ln（e x+x3﹣1）＜lnx+x，即0＜ln（e x+x3﹣1）﹣lnx＜x，即x＞0时，0＜g（x）＜x，当a≤1时，由（2）得f（x）在（0，+∞）递增，得f（g（x））＜f（x）满足条件，当a＞1时，由（2）得f（x）在（0，lna）递减，∴0＜x≤lna时，f（g（x））＞f（x），与已知∀x＞0，f（g（x））＜f（x）矛盾，综上，a的范围是（﹣∞，1]．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．解：（Ⅰ）直线L的参数方程为（t为参数），普通方程为2x+y﹣6=0，极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ﹣6=0，曲线C的极坐标方程为ρ=，即ρ2+3ρ2cos2θ=4，曲线C 的普通方程为=1；（Ⅱ）曲线C上任意一点P（cosθ，2sinθ）到l的距离为d=|2cosθ+2sinθ﹣6|．则|PA|==|2sin（θ+45°）﹣6|，当sin（θ+45°）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．解：（Ⅰ）当a=5时，关于x的不等式f（x）＞9，即|x+5|+|x﹣2|＞9，故有①；或②；或③．解①求得x＜﹣6；解②求得x∈∅，解③求得x＞3．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣6，或x＞3}．（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）=|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}={x|﹣1≤x≤2 }，如果A∪B=A，则B⊆A，∴，即，求得﹣1≤a≤0，故实数a的范围为[﹣1，0]．2018年高考理科数学模拟试卷（二）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．复数z满足方程=﹣i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}，则（∁R A）∩B 等于（）A．{x|1≤x＜3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|﹣2＜x＜1}D．{x|﹣2＜x≤﹣1或2≤x＜3}3．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=2﹣x﹣2x D．f（x）=﹣tanx 4．已知“x＞2”是“x2＞a（a∈R）”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（4，+∞）C．（0，4]D．（﹣∞，4]5．已知角α是第二象限角，直线2x+（t anα）y+1=0的斜率为，则cosα等于（）A． B．﹣C．D．﹣6．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）A．16 B．8 C．4 D．27．（﹣）8的展开式中，x的系数为（）A．﹣112 B．112 C．56 D．﹣568．在△ABC中，∠A=60°，AC=3，面积为，那么BC的长度为（）A．B．3 C．2D．9．记曲线y=与x轴所围成的区域为D，若曲线y=ax（x ﹣2）（a＜0）把D的面积均分为两等份，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣10．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为m e，众数为m0，平均值为，则（）A．m e=m0=B．m e=m0＜C．m e＜m0＜D．m0＜m e＜11．已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的侧面积为（）A．20+8B．44 C．20 D．4612．函数f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后关于y轴对称，则以下判断不正确的是（）A．是奇函数 B．为f（x）的一个对称中心C．f（x）在上单调递增D．f（x）在（0，）上单调递减二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为．15．已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为．16．已知向量，的夹角为θ，|+|=2，|﹣|=2则θ的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S6=51，a5=13．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}的通项公式是b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．袋中有大小相同的四个球，编号分别为1、2、3、4，从袋中每次任取一个球，记下其编号．若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放同袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球．（1）求“第二次取球后才停止取球”的概率；（2）若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和数学期望．19．在三棱椎A﹣BCD中，AB=BC=4，AD=BD=CD=2，在底面BCD内作CE ⊥CD，且CE=．（1）求证：CE∥平面ABD；（2）如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1）．（1）求椭圆C的方徎；（2）若动点P在直线l：x=﹣2上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PM=PN，再过P作直线l′⊥MN，直线l′是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．21．已知函数f（x）=m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx（m≥1）．（1）求证：函数f（x）在定义域内存在单调递减区间[a，b]；（2）是否存在实数m，使得曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC 的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°．（Ⅰ）求∠AEC的大小；（Ⅱ）求AE的长．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x0y中，动点A的坐标为（2﹣3sinα，3cosα﹣2），其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为ρcos （θ﹣）=a．（Ⅰ）判断动点A的轨迹的形状；（Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=2，解不等式f（x）≥2；（2）若a＞1，∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．解：由=﹣i，得，即z=1+i．则复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1）．位于第一象限．故选：A．2．解：∵集合A={x|x2+x﹣2＜0}={x|﹣2＜x＜1}，集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}={x|﹣2＜x＜3}，∴（C R A）∩B={x|x≤﹣2或x≥1}∩{x|﹣2＜x＜3}={x|1≤x＜3}．故选：A．3．解：A中，f（x）=是奇函数，但在定义域内不单调；B中，f（x）=是减函数，但不具备奇偶性；C中，f（x）2﹣x﹣2x既是奇函数又是减函数；D中，f（x）=﹣tanx是奇函数，但在定义域内不单调；故选C．4．解：由题意知：由x＞2能得到x2＞a；而由x2＞a得不出x＞2；∵x＞2，∴x2＞4；∴a≤4；∴a的取值范围是（﹣∞，4]．故选：D．5．解：由题意得：k=﹣=，故tanα=﹣，故cosα=﹣，故选：D．6．解：开始条件i=2，k=1，s=1，i＜8，开始循环，s=1×（1×2）=2，i=2+2=4，k=1+1=2，i＜8，继续循环，s=×（2×4）=4，i=6，k=3，i＜8，继续循环；s=×（4×6）=8，i=8，k=4，8≥8，循环停止，输出s=8；故选B：=（﹣2）r C8r x4﹣r，7．解：（﹣）8的展开式的通项为T r+1令4﹣r=1，解得r=2，∴展开式中x的系数为（﹣2）2C82=112，故选：B．8．解：在图形中，过B作BD⊥ACS△ABC=丨AB丨•丨AC丨sinA，即×丨AB丨×3×sin60°=，解得：丨AB丨=2，∴cosA=，丨AD丨=丨AB丨cosA=2×=1，sinA=，则丨BD丨=丨AB丨sinA=2×=，丨CD丨=丨AC丨﹣丨AD丨=3﹣1=2，在△BDC中利用勾股定理得：丨BC丨2=丨BD丨2+丨CD丨2=7，则丨BC丨=，故选A．9．解：由y=得（x﹣1）2+y2=1，（y≥0），则区域D表示（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，而曲线y=ax（x﹣2）（a＜0）把D的面积均分为两等份，∴=，∴（﹣ax2）=，∴a=﹣，故选：B．10．解：根据题意，由题目所给的统计图可知：30个得分中，按大小排序，中间的两个得分为5、6，故中位数m e=5.5，得分为5的最多，故众数m0=5，其平均数=≈5.97；则有m0＜m e＜，故选：D．11．解：由题意可知四棱锥O﹣ABCD的侧棱长为：5．所以侧面中底面边长为6和2，它们的斜高为：4和2，所以棱锥O﹣ABCD的侧面积为：S=4×6+2=44．故选B．12．解：把函数f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到y=2sin（2x++φ+π）=﹣2sin（2x++φ）的图象，再根据所得关于y轴对称，可得+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x++φ）=2cos2x．由于f（x+）=2cos（2x+）=﹣sin2x是奇函数，故A正确；当x=时，f（x）=0，故（，0）是f（x）的图象的一个对称中心，故B正确；在上，2x∈（﹣，﹣），f（x）没有单调性，故C不正确；在（0，）上，2x∈（0，π），f（x）单调递减，故D正确，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过点A时，直线在y 轴上的截距最小，z有最大值为6．故答案为：6．14．解：由三视图得到几何体如图：其体积为；故答案为：15．解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：﹣=1（a＞0，b ＞0）一条渐近线的方程为ax﹣by=0，∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，∴，∴2b=a，∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，∴FF1=3，∴c2+4=9，∴c=，∵c2=a2+b2，a=2b，∴a=2，b=1，∴双曲线的方程为﹣x2=1．故答案为：﹣x2=1．16．解：由|+|=2，|﹣|=2，可得：+2=12，﹣2=4，∴=8≥2，=2，∴cosθ=≥．∴θ∈．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则∵S6=51，∴×（a1+a6）=51，∴a1+a6=17，∴a2+a5=17，∵a5=13，∴a2=4，∴d=3，∴a n=a2+3（n﹣2）=3n﹣2；（2）b n==﹣2•8n﹣1，∴数列{b n}的前n项和S n==（8n﹣1）．18．解：（1）记“第二次取球后才停止取球”为事件A．∴第一次取到偶数球的概率为=，第二次取球时袋中有三个奇数，∴第二次取到奇数球的概率为，而这两次取球相互独立，∴P（A）=×=．（2）若第一次取到2时，第二次取球时袋中有编号为1，3，3，4的四个球；若第一次取到4时，第二次取球时袋中有编号为1，2，3，3的四个球．∴X的可能取值为3，5，6，7，∴P（X=3）=×=，P（X=5）=×+×=，P（X=6）=×+×=，P（X=7）=×=，∴X的分布列为：X3567P数学期望EX=3×+5×+6×+7×=．19．（1）证明：∵BD=CD=2，BC=4，∴BD2+CD2=BC2，∴BD⊥CD，∵CE⊥CD，∴CE∥BD，又CE⊄平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CE∥平面ABD；（2）解：如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，由AD⊥BD得AD⊥平面BDC，∴AD⊥CE，又CE⊥CD，∴CE⊥平面ACD，从而CE⊥AC，由题意AD=DC=2，∴Rt△ADC中，AC=4，设AC的中点为F，∵AB=BC=4，∴BF⊥AC，且BF=2，设AE中点为G，则FG∥CE，由CE⊥AC得FG⊥AC，∴∠BFG为二面角B﹣AC﹣E的平面角，连接BG，在△BCE中，∵BC=4，CE=，∠BCE=135°，∴BE=，在Rt△DCE中，DE==，于是在Rt△ADE中，AE==3，在△ABE中，BG2=AB2+BE2﹣AE2=，∴在△BFG中，cos∠BFG==﹣，∴二面角B﹣AC﹣E的余弦值为﹣．20．解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1），∴，解得a2=12，b2=4，∴椭圆C的方程为．（2）∵直线l的方程为x=﹣2，设P（﹣2，y0），，当y0≠0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知x1≠x2，联立，∴，∴，又∵PM=PN，∴P为线段MN的中点，∴直线MN的斜率为，又l′⊥MN，∴l′的方程为，即，∴l′恒过定点．当y0=0时，直线MN为，此时l′为x轴，也过点，综上，l′恒过定点．21．（1）证明：令f′（x）=0，得mx2﹣（m+2）x+1=0．（*）因为△=（m+2）2﹣4m=m2+4＞0，所以方程（*）存在两个不等实根，记为a，b （a＜b）．因为m≥1，所以a+b=＞0，ab=＞0，所以a＞0，b＞0，即方程（*）有两个不等的正根，因此f′（x）≤0的解为[a，b]．故函数f（x）存在单调递减区间；（2）解：因为f′（1）=﹣1，所以曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l为y=﹣x+2．若切线l与曲线C只有一个公共点，则方程m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx=﹣x+2有且只有一个实根．显然x=1是该方程的一个根．令g（x）=m（x﹣1）2﹣x+1+lnx，则g′（x）=．当m=1时，有g′（x）≥0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x=1是方程的唯一解，m=1符合题意．当m＞1时，令g′（x）=0，得x1=1，x2=，则x2∈（0，1），易得g（x）在x1处取到极小值，在x2处取到极大值．所以g（x2）＞g（x1）=0，又当x→0时，g（x）→﹣∞，所以函数g（x）在（0，）内也有一个解，即当m＞1时，不合题意．综上，存在实数m，当m=1时，曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与C 有且只有一个公共点．[选修4-1：几何证明选讲]22．解：（Ⅰ）连接AB，因为：∠APO=30°，且PA是⊙O的切线，所以：∠AOB=60°；∵OA=OB∴∠AB0=60°；∵∠ABC=∠AEC∴∠AEC=60°．（Ⅱ）由条件知AO=2，过A作AH⊥BC于H，则AH=，在RT△AHD中，HD=2，∴AD==．∵BD•DC=AD•DE，∴DE=．∴AE=DE+AD=．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．解：（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），则，利用同角三角函数的基本关系消去参数α可得，（x﹣2）2+（y+2）2=9，点A的轨迹为半径等于3的圆．（Ⅱ）把直线C方程为ρcos（θ﹣）=a化为直角坐标方程为+=2a，由题意可得直线C与圆相切，故有=3，解得a=3 或a=﹣3．[选修4-5：不等式选讲]24．解：（1）当a=2时，，由于f（x）≥2，则①当x＜1时，﹣2x+3≥2，∴x≤；②当1≤x≤1时，1≥2，无解；③当x＞2时，2x﹣3≥2，∴x≥．综上所述，不等式f（x）≥2的解集为：（﹣∞，]∪[，+∞）；（2）令F（x）=f（x）+|x﹣1|，则，所以当x=1时，F（x）有最小值F（1）=a﹣1，只需a﹣1≥1，解得a≥2，所以实数a的取值范围为[2，+∞）．2018年高考理科数学模拟试卷（三）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z满足z（1﹣i）2=1+i（i为虚数单位），则z=（）A． +i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i2．已知集合A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=（）A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．[2，4]D．（2，4]3．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，σ12）及N（μ2，σ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（）A．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中C．甲类水果的平均质量μ1=0.4kgD．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小4．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n（n，m∈N*）且a1=5，则a8=（）+mA．40 B．35 C．12 D．55．设a=（），b=（），c=ln，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b6．执行如图所示的程序框图，则输出b的值为（）A．2 B．4 C．8 D．167．若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，则k的值为（）A．﹣1 B．﹣C．﹣D．﹣38．某同学在运动场所发现一实心椅子，其三视图如图所示（俯视图是圆的一部分及该圆的两条互相垂直的半径，有关尺寸如图，单位：m），经了解，建造该类椅子的平均成本为240元/m3，那么该椅子的建造成本约为（π≈3.14）（）A．94.20元 B．240.00元C．282.60元D．376.80元9．当函数f（x）=sinx+cosx﹣t（t∈R）在闭区间[0，2π]上，恰好有三个零点时，这三个零点之和为（）A．B． C． D．2π10．有5位同学排成前后两排拍照，若前排站2人，则甲不站后排两端且甲、乙左右相邻的概率为（）A．B．C．D．11．某工厂拟生产甲、乙两种实销产品．已知每件甲产品的利润为0.4万元，每件乙产品的利润为0.3万元，两种产品都需要在A，B两种设备上加工，且加工一件甲、乙产品在A，B设备上所需工时（单位：h）分别如表所示．甲产品所需工时乙产品所需工时A设备23B设备41若A设备每月的工时限额为400h，B设备每月的工时限额为300h，则该厂每月生产甲、乙两种产品可获得的最大利润为（）A．40万元B．45万元C．50万元D．55万元12．若函数g（x）满足g（g（x））=n（n∈N）有n+3个解，则称函数g（x）为“复合n+3解”函数．已知函数f（x）=（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…，k∈R），且函数f（x）为“复合5解”函数，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣e，e）C．（﹣1，1）D．（0，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，则•=．14．有下列四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的命题有（填写所有正确命题的编号）．15．若等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=2，则++…+=．16．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A在C上，若|AF|=，以线段AF为直径的圆经过点B（0，1），则p=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，设内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin（A﹣）﹣cos（A+）=．（1）求角A的大小；（2）若a=，sin2B+cos2C=1，求△ABC的面积．18．某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书、还书的等待时间进行调查，得到下表：甲图书馆12345借（还）书等待时间T1（分钟）频数1500 1000 500 500 1500乙图书馆12345借（还）书等待时间T2（分钟）频数100050020001250250以表中等待时间的学生人数的频率为概率．（1）分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；（2）学校规定借书、还书必须在同一图书馆，某学生需要借一本数学参考书，并希望借、还书的等待时间之和不超过4分钟，在哪个图书馆借、还书更能满足他的要求？19．如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．（1）当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；（2）当D、E、F分别为线段VA、VC、AB上的中点，且VC=2BC时，求二面角B ﹣DE﹣F的余弦值．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点P（2，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足=，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．（i）求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标；（ii）求△OAB面积的最大值．21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax（其中a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+x2，且函数g（x）有极大值点x0，求证：x0f（x0）+1+ax02＞0．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为（θ为参数），设E的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的极坐标方程；（2）设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|﹣2a，其中a∈R．（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）≤2x+1的解集；（2）若x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．解：∵z（1﹣i）2=1+i，∴，故选：C．2．解：集合A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}={x|（x﹣1）（x﹣4）≤0}={x|1≤x ≤4}=[1，4]；B={y|y=3x+2，x∈R}={y|y＞2}=（2，+∞），则A∩B=（2，4]．故选：D．3．解：由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg，故B，C，D正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=，故A 不正确．故选：A．4．解：数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n+m（n，m∈N*）且a1=5，令m=1，则S n+1=S n+S1=S n+5．可得a n+1=5．则a8=5．故选：D．5．解：b=（）=＞（）=a＞1，c=ln＜1，∴b＞a＞c．故选：B．6．解：第一次循环，a=1≤3，b=2，a=2，第二次循环，a=2≤3，b=4，a=3，第三次循环，a=3≤3，b=16，a=4，第四次循环，a=4＞3，输出b=16，故选：D．7．解：圆C：x2+y2﹣2x+4y=0的圆心（1，﹣2），若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，可知直线经过圆的圆心，可得﹣2=k﹣1，解得k=﹣1．故选：A．8．解：由三视图可知：该几何体为圆柱的．∴体积V=．∴该椅子的建造成本约为=×240≈282.60元．故选：C．9．解：f（x）=2sin（x+）﹣t，令f（x）=0得sin（x+）=，做出y=sin（x+）在[0，2π]上的函数图象如图所示：∵f（x）在[0，2π]上恰好有3个零点，∴=sin=，解方程sin（x+）=得x=0或x=2π或x=．∴三个零点之和为0+2π+=．故选：B．10．解：由题意得：p===，故选：B．11．C解：设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，约束条件是目标函数是z=0.4x+0.3y由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分由z=0.4x+0.3y，结合图象可知，z=0.4x+0.3y在A处取得最大值，由可得A（50，100），此时z=0.4×50+0.3×100=50万元，故选：C．12．解：函数f（x）为“复合5解“，∴f（f（x））=2，有5个解，设t=f（x），∴f（t）=2，∵当x＞0时，f（x）=，∴f（x）=，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min=f（1）=1，∴t≥1，∴f（t）=2在[1，+∞）有2个解，当x≤0时，f（x）=kx+3，函数f（x）恒过点（0，3），当k≤0时，f（x）≥f（0）=3，∴t≥3∵f（3）=＞2，∴f（t）=2在[3，+∞）上无解，当k＞0时，f（x）≤f（0）=3，∴f（t）=2，在（0，3]上有2个解，在（∞，0]上有1个解，综上所述f（f（x））=2在k＞0时，有5个解，故选：D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．解：在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，可得AD=BD=5，即AB=10，由勾股定理可得AC==8，则•=﹣•=﹣||•||•cosA=﹣5×8×=﹣32．14．解：如图在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，对于①，AB⊥BB′，BC⊥BB′，AB、BC不平行，故错；对于②，两底面垂直于同一条侧棱，两个底面平面平行，故正确；对于③，相邻两个侧面同垂直底面，这两个平面不平行，故错；对于④，平行的侧棱垂直底面，侧棱平行，故正确．故答案为：②④15．解：∵等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=2，∴=2，解得a1=．∴a n==．∴=．则++…+=3×==1﹣．故答案为：1﹣．16．解：由题意，可得A（，），AB⊥BF，∴（，﹣1）•（，﹣1）=0，∴﹣+1=0，∴p（5﹣p）=4，∴p=1或4．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（1）sin（A﹣）﹣cos（A+）=sin（A﹣）﹣cos（2π﹣A）=sin（A﹣）﹣cos（A+）=sinA﹣cosA﹣cosA﹣sinA=即cosA=，∵0＜A＜π，∴A=．（2）由sin2B+cos2C=1，可得sin2B=2sin2C，由正弦定理，得b2=2c2，即．a=，cosA==，解得：c=1，b=∴△ABC的面积S=bcsinA=．18．解：（1）根据已知可得T1的分布列：T1（分钟）12345P0.30.20.10.10.3T1的数学期望为：E（T1）=1×0.3+2×0.2+3×0.1+4×0.1+5×0.3=2.9．T2（分钟）12345P0.20.10.4 0.250.05T2的数学期望为：E（T1）=1×0.2+2×0.1+3×0.4+4×0.25+5×0.05=2.85．因此：该同学甲、乙两图书馆借书的平均等待时间分别为：2.9分钟，2.85分钟．（2）设T11，T12分别表示在甲图书馆借、还书所需等待时间，设事件A为“在甲图书馆借、还书的等待时间之和不超过4分钟”．T11+T12≤4的取值分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．。
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(六)答案
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(六)答案1．D【解析】由M={x|x(4−x)<0}得M={x|x<0或x>4}，又N={2，3，4，5}，所以M∩N={5}，故选D．优解由N中x∈Z排除A，B，又4∉M，故选D．2．D【解析】通解设z=m+n i(m，n∈R)，则(1+i)(m−1+n i)=m−n−1+(m+n−1)i=1−i，根据复数相等的充要条件，可得1111--=⎧⎨+-=-⎩m nm n解得11=⎧⎨=-⎩mn则z=1−i，故复数z在复平面内对应的点位于第四象限，故选D．优解由(1+i)(z−1)=1−i得z−1=21i(1i)1i(1i)(1i)--=++-=−i，所以z=1−i，故复数z在复平面内对应的点位于第四象限，故选D．3．D【解析】因为a∥b，所以3sinα=cosα⇒tanα=13，所以tan(α+4π)=113113+-=2，选D．4．D【解析】粮仓的形状为一个如图所示的直四棱柱，其体积为V=982+×7×12=714(立方尺)，又7141.62≈441，所以可以储存粟米约为441斛．5．B【解析】方程2x+2mx+n=0有实根，即42m−4n≥0，∴n≤2m，作出函数n=2m(0≤m≤3)的图象如图所示，图中阴影部分的面积3231031903===⎰S m dm m ，而0≤m ≤3，0≤n ≤9所表示的图形的面积S =3×9=27，∴方程2x +2mx +n =0有实根的概率P =113=S S ．故选B ． 6．C 【解析】由141+=-n n n a a S 可得，12141+++=-n n n a a S ，两式相减得121()4+++-=n n n n a a a a ，因为n a ≠0，所以2+n a −n a =4．由1a =1，1a 2a =41S −1，可得2a =3，故{21-n a }是首项为1，公差为4的等差数列，21-n a =4n −3=2(2n −1)−1， {2n a }是首项为3，公差为4的等差数列，2n a =4n −1=2(2n )−1，所以n a =2n −1． 7．D 【解析】通解 由题意得，A =3，22362πππ=-=T ，所以T =π，ω=2． 又函数()f x 的图象在y 轴右侧的第一个最高点为(6π，3)， 所以sin(2×6π+φ)=1，又|φ|<2π， 所以φ=6π，所以()f x =3sin(2x +6π)．优解 由题意及图象得，A =3，22362πππ=-=T ，所以T =π，ω=2． 又由图象知，(6π，3)为“五点作图法”中的第二点，所以2×6π+φ=2π，所以φ=6π ，所以()f x =3sin(2x +6π)．8．B 【解析】圆C ：2x +2y +2x +1=0化为标准方程得22(1)(3++=x y ，所以其圆心为(−1，Γ：22221-=x y a b(a >0，b >0)，数形结合知，与圆C 相切的双曲线的一条渐近线方程为ax +by =0=，所以222()3()=+a a b ，=a ，所以===c e a ， 故选B ．9．A 【解析】程序框图运行如下：i =1，S =0+(−1)1×1=−1；i =2，S =−1+(−1)2×2=−1+2=1；i =3，S =1+(−1)3×3=1−3=−2；i =4，S =−2+(−1)4×4=−2+4=2；……i =10，S =(−1+2)+(−3+4)+(−5+6)+(−7+8)+(−9+10)=5； i =11，S =5+(−1)11×11=5−11=−6；i =12，S =−6+(−1)12×12=6．此时结束循环， 所以整数n 的值为5．10．C 【解析】因为()f x '=2x −1，所以当x ∈(−∞，−1)和(1，+∞)时，()f x 单调递增，当x ∈(−1，1)时，()f x 单调递减，故x =−1是函数()f x 的极大值点． 又函数()f x 在(t ，8−2t )上有最大值，所以t <−1<8−2t ， 又f (−1)=f (2)=23，且()f x 在(1，+∞)上单调递增， 所以f (8−2t )≤f (2)，从而t <−1<8−2t ≤2，得−3<t ≤11．C 【解析】如图，设1BB 与11B C 的中点分别为E 、F ，平面AEF 截三棱柱所得的截面为四边形AEFN ，其中过点A 、线段1BB 的中点与11B C 的中点的平面与平面11AAC C 相交所得交线为AN ，延长AE 、11A B 、NF 交于点M ，取11A B 的中点D ，连接DF ，则DF =2，1MB =4，△MDF ∽△1MA N ，则11MD DF MA A N =，即1628A N=，得1A N =83，因为1AA ∥1BB ，所以∠1A AN 为异面直线1BB 与AN 所成的角，所以tan∠1A AN =118233A N AA a ==，所以a =4．将三棱柱补成正方体，所以外接球的半径为12．B 【解析】依题意得()'f x =(1+2x )'x e +(1+2x )(x e )'=2(1)+x xe 0，∴()f x 在(−∞，+∞)上是单调递增函数．∵a >1，∴(0)f =1−a <0且()f a =(1+2a )ae −a >1+2a −a >0，∴()f x 在区间(0，a )上有零点，且仅有一个零点．令()'f x =0，得x =−1，又(1)-f =2-a e ，∴P (−1，2-a e )，∴OP K =2210--=---a e a e． 又()'f m =2(1)+m m e ，∴2-a e=2(1)+m m e ，易知me m +1，∴2-a e =2(1)+m me 3(1)+m ，即1+m，即m1．故选B ． 13．2y =4x 或2x =−12y 【解析】设焦点在x 轴上的抛物线的标准方程为2y =ax ，将点(1，−2)代入可得a =4，故抛物线的标准方程是2y =4x ；设焦点在y 轴上的抛物线的标准方程为2x =by ，将点(1，−2)代入可得b =−12，故抛物线的标准方程是2x =−12y ．综上可知，过点(1，−2)的抛物线的标准方程是2y =4x 或2x =−12y ．14．4【解析】因为3(2nx 的展开式中二项式系数的和为128，所以2n =128，即n =7，所以3(2n x 的展开式的通项为1r T +=71377277C (2)(C 2)(1)r r r r r r rx x 2---=-， 当r =0，2，4，6时，21−72r 为自然数，所以有理项的个数为4． 15．(−∞，−1]∪[0，+∞)【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当直线x y z +=过点A (k ，k )时，z 取得最大值，所以k +k =6，得k =3，因此B (−6，3)，而3yx +表示点C (−3，0)与可行域内的点(x ，y )连线的斜率， 且CB k =−1，所以3y x +≥0或3yx +≤−1，所以3y x +的取值范围是(−∞，−1]∪[0，+∞)．16．−16【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意有2(3a +2)=2a +4a ，又4S =1a +28，即2a +3a +4a =28，得3a =8，∴311231208a q a q a a q ⎧+=⎨==⎩解得122a q =⎧⎨=⎩或13212a q =⎧⎪⎨=⎪⎩ 又2a >1a ，∴1a =2，q =2，∴2n n a =，122n n S +=-．∴1112121211(22)(22)2222n n n n n n n n a S S +++++++==-----， ∴n T =(2122-−3122-)+(3122-−4122-)+…+(12112222n n ++---)= 2122-−2122n +-=211222n +--．故211222n +--−22n -=38−[2122n +-+116 (22n +−2)]，又22n +−2≥6， y =1x +16x 在[6，+∞)上单调递增，故211222n +--−22n -≤38−(16+616)=−16， 故M ≥−16，∴M 的最小值为−16．17．【解析】(1)由已知及正弦定理得，cos C sin B =(2sin A −sin C )cos B ，sin(B +C )=2sin A cos B ， sin A =2sin A cos B ，∵在△ABC 中，sin A ≠0，故cos B =12，B =3π．（4分） (2)在△ABC 中，∵cos A =17，∴sin A=7， ∴sin C =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B=712⨯+172⨯=14． 由正弦定理sin sin b cB C=得5b =7c ， 故可设b =7x ，c =5x ，D 为AC 边上的中点，则BD=2．（9分）由余弦定理，得2BD =2AB +2AD −2AB ·AD cos A ， ∴1294=252x +14×492x −2×5x ×12×7x ×17，得x =1，∴b =7，c =5，∴12ABC S ∆=b csin A =12×7×（12分） 18．【解析】(1)这12名新手的成绩分别为68，72，88，95，95，96，96，97，98，99，100，100，则平均成绩为(68+72+88+95+95+96+96+97+98+99+100+100)÷12=92， 其方差为112[(92−68)2+ (92−72)2+(92−88)2+2×(92−95)2+2×(92−96)2+(92−97)2+ (92−98)2+(92−99)2+2×(92−100)2] =112(242+202+42+2×32+2×42+52+62+72+2×82)= 3203． (2)抽取的12名新手中，成绩低于95分的有3个，成绩不低于95分的有9个，故抽取的12名新手中合格的频率为93124=，故从该市新手中任选1名合格的概率为34． X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，则P (X =0)=04C 03()4(1−34)4=1256， P (X =1)= 14C 13()4(1−34)3=12325664=， P (X =2)=222433C ()(1)44-= 5427256128=，P (X =3)=33143310827C ()(1)4425664-==，P (X =4)=44043381C ()(1)44256-=．所以X 的分布列为EX =0×1256+1×64+2×128+3×64+4×256=3．【备注】在高考试卷中，概率与统计的内容每年都有所涉及，以解答题的形式出现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识别等知识的综合题，命题方式主要有三种：其一，与各种统计图、表结合；其二，与线性回归相结合；其三，与独立性检验相结合．19．【解析】(1)由题意，1BB ⊥平面ACBN ，AN ⊂平面ACBN ，所以1BB ⊥AN ，又以AB 为直径的圆经过点C 、N ，所以AC ⊥BC ，AN ⊥BN ，又1BB ∩BN =B ， 所以AN ⊥平面1BB N ．又AN ⊂平面1AC N ，故平面1AC N ⊥平面1BB N ．（5分）(2)如图，连接1BC ，交1B C 于点G ，设AB ∩CN =M ，连接GM ，因为平面1AC B ∩平面1B CN =GM ，1AC ∥平面1BCN ，所以1AC ∥GM ，又G 为1BC 的中点，所以M 为AB 的中点，又AC =BC ，所以CM ⊥AB ，所以N 为圆弧AB 的中点．（7分）故以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴，1CC 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，不妨设AC =3，则C (0，0，0)，1C (0，0，3)，N (3，3，0)，1B (3，0，3)，A (0，3，0)，CN =(3，3，0)，1CB=(3，0，3)，AN =(3，0，0)，1AC =(0，−3，3)， （8分）设平面1B NC 的法向量为m =(x ，y ，z )，则10CB CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 所以330330x z x y +=⎧⎨+=⎩ 令x =1，则m =(1，−1，−1)为平面1B NC 的一个法向量． 同理可求平面1AC N 的一个法向量为n =(0，3，3)，（10分） 设平面1AC N 与平面1B NC 夹角的大小为θ，则cos θ=||⋅⋅m n |m |n ||=故平面1AC N 与平面1B NC夹角的余弦值为3（12分） 20．【解析】(1)由题意得2cca >b >0可知椭圆E 的焦点在x 轴上，不妨取1C (0，b )，2C (0，−b )，又A (1，0)，12⋅ C A C A =1−2b =0，∴2b =1．∴椭圆E 的方程为23x +2y =1，离心率3==c e a ．（3分）(2)实数m ，n 之间满足数量关系m =n +1(m ≠3)． 下面给出证明：①当取M0)，N (0)时，BM k=33+，BP k =23--n m ，NB k= ∵BM k +NB k =2BP k ，∴2×23--n m，解得m =n +1(m ≠3)．（5分） ②当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x =ty +1，M (1x ，1y )，N (2x ，2y )．联立方程得22113=+⎧⎪⎨+=⎪⎩x ty x y 化简得(2t +3)2y +2ty −2=0，（7分） ∴1y +2y =223-+t t ，1y 2y =223-+t ． ∵BM k =1123--y x ，BP k =23--n m ，NB k =2223--y x ，BM k +NB k =2BP k ，∴2×23--n m =1123--y x +2223--y x ，（9分） 又1123--y x +2223--y x ==122112(2)(2)(2)(2)(2)(2)--+----y ty y ty ty ty =2，∴23--nm=1，解得m =n +1(m ≠3)． 综上，当m =n +1(m ≠3)时满足题意．（12分）【备注】解析几何解答题主要涉及交点个数、中点、弦长、最值与定值问题等．(1)如果遇到弦的中点或直线的斜率，则考虑利用点差法求解，但需要注意验证；(2)求最值与参数的取值范围时，注意确定自变量的取值范围；(3)求弦长问题，一般联立直线与圆锥曲线的方程得一元二次方程，再利用根与系数的关系求解．21．【解析】(1)由题意，()f x '=2xe ax -=0有两个不等的根1x ，2x (1x <2x )，显然x =0不是方程()f x '=2xe ax -=0的根，令()f x '=0，则a =2x e x，即()F x =2xe x的图象与直线y =a 有两个不同的交点．（2分）因为()F x '=2(1)2x e x x-，所以当x <0或0<x <1时，()F x '<0，()F x 为减函数， 当x >1时，()F x '>0，()F x 为增函数，即当x >0时，()F x ≥(1)F =2e ， 当x <0时，()F x <0，且单调递减，所以a >2e ， 故实数a 的取值范围为(2e，+∞)．（5分） (2)因为(1)f '=2e a -=b +1，所以b =2e a -−1．根据题意，方程xe =2a 2x +bx +1在(0，1)内有解，设()g x =221xe ax bx ---，则()g x 在(0，1)内有零点．设0x 为()g x 在(0，1)内的一个零点，则由g (0)=0，g (1)=0知()g x 在区间(0，0x )和(0x ，1)上不可能单调递增，也不可能单调递减，设()h x =()g x '，则()h x 在区间(0，0x )和(0x ，1)上均存在零点，即()h x 在(0，1)上至少有两个零点，（7分） 又()g x '=xe −4ax −b ， 所以()h x '=x e −4a ，当a ≤14时，()h x '>0，()h x 在区间(0，1)上单调递增，()h x 不可能有两个及以上零点； 当a ≥4e时，()h x '<0，()h x 在区间(0，1)上单调递减，()h x 不可能有两个及以上零点；当14<a <4e时，令()h x '=0得x =ln(4a )∈(0，1)，所以()h x 在区间(0，ln(4a ))上单调递减，在(ln(4a )，1)上单调递增，()h x 在区间(0，1)上的最小值为(ln(4))h a ， 若()h x 有两个零点，则(ln(4))h a <0，h (0)>0，h (1)>0， 即(ln(4))h a =4a −4a ln(4a )−b =6a −4a ln(4a )+1−e (14<a <4e)，（9分） 设Φ(x )=32x −x ln x +1−e (1<x <e )，则Φ'(x )=12−ln x ，令Φ'(x )=0，得x当1<xΦ'(x )>0，Φ(x )x <e 时，Φ'(x )<0，Φ(x )单调递减， 所以Φ(x )max =Φ−e <0，所以(ln(4))h a <0恒成立， 由h (0)=1−b =2a −e +2>0，h (1)=e −4a −b =1−2a >0，得22e -<a <12，（10分） 当22e -<a <12时，设()h x 的两个零点分别为3x ，4x ，则()g x 在(0，3x )上单调递增，在(3x ，4x )上单调递减，在(4x ，1)上单调递增，所以3()g x >g(0)=0，4()g x <g(1)=0，则()g x 在(3x ，4x )内有零点． 综上，实数a 的取值范围是(22e -，12)， 又 b =e −2a −1，所以b ∈(e −2，1)．（12分）22．【解析】(1)依题意，圆C 的极坐标方程为2ρ−4ρcos θ+4ρsin θ=0，即ρ=4cos θ−4sin θ．因为直线l 的斜率为−1，故直线l 的倾斜角为34π． 又直线l 过点(3，0)，故直线l的参数方程为32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数)． (2)椭圆中a =5，b =4，所以c，M (3，0)在直线l 上．设P ，Q 两点对应的参数分别为1t ，2t ，将l 的参数方程代入22440x y x y +-+=得2t−3=0．所以|MP |·|MQ |=|12t t |=3．11 23．【解析】(1) ()f x =53,221313,22251,22x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪---⎨⎪⎪->⎪⎩≤≤，当x <−32时，()f x <0，即52−x <0，无解；当−32 x 12时，()f x <0，即−3x −12<0，得−16<x 12； 当x >12时，()f x <0，即x −52<0，得12<x <52．综上，M ={x |−16<x <52}．（5分）(2)欲证3|a +b |<|ab +9|，只需证92()a b +<22a b +18ab +81， 即证0<22a b −92a −92b +81，即证0<(2a −9)(2b −9)． 因为a ，b ∈M ，所以−16<a <52，−16<b <52，所以2a −9<0，2b −9<0，所以(2a −9)(2b −9)>0，所以3|a +b |<|ab +9|．（10分）。
黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(六)数学(理科)试卷(解析版)
普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（六）理科数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，求出，计算得到答案【详解】阴影部分表示的集合为，故选【点睛】本题主要考查的是韦恩图表达集合的关系和运算，属于基础题2. 已知复数的共轭复数，则复数的虚部是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数乘除运算化简，求得后得到答案【详解】则则复数的虚部是故选【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算以及复数的基本概念，属于基础题。
3. 设为等比数列的前项和，，则（）A. B. C. D.【答案】B【分析】设等比数列的公比为，利用可以求出，再根据等比数列的前项和公式可得到结果【详解】设等比数列的公比为，解得则故选【点睛】这是一道关于等比数列的题目，解答此题的关键是熟知等比数列的通项公式及其前项和公式，属于基础题4. 已知，表示两个不同平面，，表示两条不同直线.对于下列两个命题：①若，，则“”是“”的充分不必要条件；②若，，则“”是“且”的充要条件.判断正确的是（）A. ①，②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题C. ①是假命题，②是真命题D. ①，②都是假命题【解析】解：由α，β表示两个不同平面，a，b表示两条不同直线，知：①若b⊂α，a⊄α，则“a∥b”⇒“a∥α”，反之，“a∥α”推不出“a∥b”，∴“a∥b”是“a∥α”的充分不必要条件，故①是真命题．②若a⊂α，b⊂α，则“α∥β”⇒“α∥β且b∥β”，反之，“α∥β且b∥β”，推不出“α∥β”，∴“α∥β”是“α∥β且b∥β”的充分不必要条件，故②是假命题．故选：B．5. 若的展开式中项的系数为，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二次项定理可以求出的二项展开式的通项为，令，求得的值，根据求得，利用基本不等式即可求解【详解】的二项展开式的通项为令，解得则，当且仅当时取等号，即的最小值为故选【点睛】本题主要考查的是二次项定理，解题的关键是求出二项展开式的通项为，属于基础题6. 执行如图所示的算法框图，输出的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】第1次判断后S=1，k=1，第2次判断后S=2，k=2，第3次判断后S=8，k=3，第4次判断后3<3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8.故选C.7. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体是（）A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱【答案】A【解析】【分析】作出几何体的直观图进行判断【详解】由于三视图均为三角形，作出几何体的直观图如图所示，故几何体为三棱锥故选【点睛】本题是一道基础图，主要考查了简单空间图形的三视图，作出几何体的直观图即可得到答案8. 已知，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,,,所以,选D.9. 已知实数，满足，若的最小值为，则实数的值为（）A. B. 或 C. 或 D.【答案】D【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，分类讨论求得最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数即可得到答案【详解】由作出可行域如图：联立，解得联立，解得化为由图可知，当时，直线过时在轴上的截距最大，有最小值为，即当时，直线过时在轴上的截距最大，有最小值为，即综上所述，实数的值为故选【点睛】本题主要考查的是简单线性规划，本题有两个易错点，一是可行域错误；二是不能正确的对进行分类讨论，根据不同情况确定最优解，利用最小值求解的值，并确定是否符合题意，线性规划题目中含有参数的问题是常考题10. 设函数，给出下列四个命题：①当时，是奇函数；②当，时，方程只有一个实数根；③函数可能是上的偶函数；④方程最多有两个实根.其中正确的命题是（）A. ①②B. ①③C. ②③④D. ①②④【答案】A【解析】【分析】利用函数的解析式结合奇偶性，单调性的定义逐一考查所给函数的性质即可求得结果【详解】①当时，函数，则函数是奇函数，故正确②当，时，函数在上是增函数，且值域为，则方程只有一个实数根，故正确③若函数是上的偶函数，则，即，不存在等式在上成立，故错误④当，时，方程有三个实根：，因此，方程最多有两个实根错误综上所述，正确的命题有①②故选【点睛】对于函数的奇偶性和单调性的判断，利用定义法来证明，对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可以利用函数的值域或者最值，结合函数的单调性，草图确定其中参数的范围。
高三数学-2018年高考数学模拟试题6答案 精品
2018年高考数学模拟试题6参考答案一、选择题：每小题5分，满分60分.1．A 2．B 3．B 4．B 5．A 6．B 7．D 8．A 9．B 10．C 11．C 12．A 二、填空题：每小题4分，满分16分.13．3510,10-==x x 或； 14．2； 15．2； 16．①③④ 三、解答题：7．解：原不等式可化为⎪⎩⎪⎨⎧-<-≥-2)121(0x x x a a a a a 即⎪⎩⎪⎨⎧->-≥)3(4)4(2a a a a x x ……………4分 当a >3时，1≥x ………7分 当a =3时，且,4log ,13≠≥x x 且……………11分∴当a =3时，原不等式的解集{4log ,1|3≠≥x x x 且}；当a >3时，{1|≥x x }……12分18．解：（I ）222,sin )()sin (sin 2222=-=-R B b a C A 又，由正弦定理得：,2)(])2()2[(2222222222ab c b a b ab c a Rbb a R c R a =-+-=-∴-=- (3)分由余弦定理得：30,21cos ,cos 2ππ=∴<<∴=∴=C C C ab C ab ………6分（II ）B A B R A R ab C ab S sin sin 32sin 2sin 2433sin 21sin 21=⋅===π)]cos()[cos(3B A B A --+-=……………………………………………………9分 时故当3,1)cos()cos(32332ππ===--+=∴=+B A B A B A S B A ，223323max =+=S ………………………………………………………………12分 法2：B A B R A R ab C ab S sin sin 32sin 2sin 2433sin 21sin 21=⋅===π……4分 )sin 32cos cos 32(sin sin 32)32sin(sin 32A A A A A πππ-=-==)sin cos sin 3(3)sin 21cos 23(sin 322A A A A A A +=+23)cos 212sin 23(3)]2cos 1(212sin 23[3+-=-+=A A A A23323323)62sin(3=+≤+-=πA …………………………………10分 当233,3,262max ===-S A A 时即时πππ………………………………………12分19．解：（I ）∵PO ⊥平面BCD ，∴PO ⊥BC ∴平面PCD ⊥平面BCD 又 ∵BC ⊥CD∴BC ⊥平面PCD ∴BC ⊥PD 又 ∵BP ⊥PD DP ⊥平面PCB ， DP ⊥CP ……（理3分，文4分）（II ）作OE ⊥BD 于E ，则PE ⊥BD ，则AE ⊥BD ，A 、E 、O 共线 ∴∠PEO 就是二面角P —BD —C 的平面角.在Rt △ABD 中 AB=6，AD=32 ∴∠ABD=30°，∠ADB=60°， 则∠DAE=30° ∴AE=ADcos60°=3=PE ，430cos ==ADAO ∴OE=1 在Rt △POE 中，,31c os ==∠PE OE PEO ∴∠PEO=31arccos ………………………………………（理科8分，文科12分）（III ）作CF ⊥PB ，F 为垂足，∴DP ⊥平面PCB ∴平面PBD ⊥平面BCP ∵CF ⊥平面PDB ，∠CDF 就是CD 与平面BDP 所成的角在Rt △PBC 中， ∴∠BCP=90°，BC=23，BP=6 ∴PC=26 ∴CF ·BP=BC ·CP ，∴CF=22在Rt △CDF 中，sin ∠CDF=32arcsin 32=∠∴=CDF CD CF ………………（理12分）20．解：设),(11y x A 、),(22y x B ，中点N （1，y 0）. 当AB 直线的倾斜角90°时，AB 直线方程是x=1，|AB|=2.………………2分当AB 直线的倾斜角不为90°时，222211,y x y x ==相减得：ky k y y y y y x x 21:12))((00212121==∴-+=-即 ……………4分设AB 直线方程为：)1(21),1(0-=--=-x k ky x k y y 即由于弦AB 与直线y=1有公共点，故当21,02111211,12>∴>->+-=k k k k k y 即时………………………6分 ,121,10121)1(2122121222-==+∴=-+-⎪⎩⎪⎨⎧=-=-k y y k y y k k y y y x x k k y 故 故|AB|=)14)(11(]4))[(11(||1122212212212k k y y y y k y y k -+=-++=-+ (8)分)14)(11(||014011]41,0(1,2122222k k AB k k k k -+=∴≥->+∴∈∴≥25||,36,1411,25)21411(max 22222==-=+=-++≤AB k kk k k 时即故当………10分此时AB 直线方程是：01624=--y x ……………………………………12分21．解：（I ）200；…………………………………………………………………………3分（II ）降低税率后的税率为（10－x ）%，农产品的收购量为a （1+2x %）万担，收购总金额为200a （1+2x %）故y =200a （1+2x %）（10－x ）%=)10)(2100(10000200x x a -+)100(),10)(2100(501<<-+=x x x a ……………………………………………7分 （III ）原计划税收为200a ×10%=20a （万元），依题意得：)10)(2100(501x x a -+20,100,24208440%,2.83202≤<∴<<≤≤-≤-+⨯≥x x x x x a 又解得即答：x 的取值范围是0<x ≤2.22．解：（I ）由已知得241)233()3(,0,41)23()(22=--=∴≠--=a f a x a x f 1=∴a0)2(,0)1(,23)(2==∈+-=∴f f R x x x x f …………………………4分（II ）11)1()1(1=+=++⋅+n n n n n b a b a f g 即 ① 112222)2()2(++=+=++⋅n n n n n n b a b a f g 即 ②由①②得,22,1211++-=-=n n n n b a …………………………………………8分（III ）1221212122)22()22(||++++++⋅=-+-=n n n n n n n C C ，设数列{r n }的公比为q ，则111122)1(22||)1(++++⋅=+⋅==+=+n n n n n n n n q r C C q r r r 即222)1(121=∴⋅=+∴+++nn n n r r q r nn n nr r 49823221⋅=∴⋅=∴+………10分)14(273241)41(498)(2232221-=--⋅=++++=nn nn r r r r S πππ=⋅-=∞→∞→n nn n n n r S 498)14(2732lim lim 2π34982732ππ=……………………………………………14分。
黑龙江省2018年 普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟(六) 数学(理科)试卷(PDF版)
绝密 启用前普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(六)理科数学本试卷共８页,２４题(含选考题).全卷满分１５０分.考试用时１５０分钟. 祝考试顺利注意事项:１．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．其中第Ⅱ卷第(２２)题~第(２４)题为选考题,其它题为必考题．２．答题前,考生务必将密封线内项目填写清楚．考生作答时,请将答案答在答题卡上．必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效 ,在试题卷 ㊁草稿纸上答题无效．３．做选考题时,考生须按照题目要求作答,并用２B 铅笔在答题纸上把所选题号的题目涂黑．４．考试结束后,将本试题和答题纸一并交回．第Ⅰ卷(选择题,共６０分)一㊁选择题(本大题共１２小题,每小题５分,共６０分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)１．已知全集U ＝R ,集合A ＝{x |x ＜－１或x ＞４},B ＝{x |－２ɤx ɤ３},那么阴影部分表示的集合为(㊀㊀)A．{x |－２ɤx ＜４}㊀㊀㊀㊀B ．{x |x ɤ３或x ȡ４}㊀㊀㊀C ．{x |－２ɤx ɤ－１}㊀㊀㊀㊀D．{x |－１ɤx ɤ３}２．(２０１７ 河南九校联考)已知复数z 的共轭复数z ＝１－i １＋２i ,则复数z 的虚部是(㊀㊀)A．３５B ．３５i C ．－３５D．－３５i３．(２０１７ 海口市调研)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,a ２－８a ５＝０,则S８S ４＝(㊀㊀)A．１２B ．１７１６C ．２D．１７４．(２０１７ 贵州省适应性考试)已知α,β表示两个不同平面,a ,b 表示两条不同直线．对于下列两个命题:①若b ⊂α,a ⊄α,则 a ʊb 是 a ʊα 的充分不必要条件;②若a ⊂α,b ⊂α,则 αʊβ 是 a ʊβ且b ʊβ的充要条件．判断正确的是(㊀㊀)A．①,②都是真命题B ．①是真命题,②是假命题C ．①是假命题,②是真命题D．①,②都是假命题５．(２０１７ 菏泽市模拟)若a x ２＋b x æèçöø÷６的展开式中x ３项的系数为２０,则a ２＋b２的最小值为(㊀㊀)A．４B ．３C ．２D．１数学试卷(六)㊀㊀第１页(共８页)６．执行如图所示的算法框图,输出的S 值为(㊀㊀)A．２B ．４C ．８D．１６７．如图,网格纸上小正方形的边长为１,粗线画出的是某几何体的三视图,则这个几何体是(㊀㊀)A．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D．四棱柱８．(２０１７ 唐山市二模)已知a ＝l o g ３４,b ＝l o g π３,c ＝５０．５,则a ,b ,c 的大小关系是(㊀㊀)A．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜c ＜aD．b ＜a ＜c９．(２０１７ 合肥市质检)已知实数x ,y 满足x －y ＋１ȡ０,x －３y －１ɤ０,x ɤ１,ìîíïïïï若z ＝k x －y 的最小值为－５,则实数k 的值为(㊀㊀)A．－３B ．３或－５C ．－３或－５D．ʃ３１０．(２０１７ 甘肃省二诊)设函数f (x )＝x |x |＋b x ＋c ,给出下列四个命题:①当c ＝０时,y ＝f (x )是奇函数;②当b ＝０,c ＞０时,方程f (x )＝０只有一个实数根;③函数f (x )可能是R 上的偶函数;④方程f (x )＝０最多有两个实根．其中正确的命题是(㊀㊀)A．①②B ．①③C ．②③④D．①②④１１．(２０１７ 银川市质检)已知抛物线C :y２＝１６x ,焦点为F ,直线l :x ＝－１,点A ɪl ,线段A F 与抛物线C 的交点为B ,若|F A |＝５|F B |,则|F A |＝(㊀㊀)A．６２B ．３５C ．４３D．４０１２．已知f ᶄ(x )是函数f (x )(x ɪR )的导数,满足f ᶄ(x )＝f (x ),且f (０)＝２,设函数g (x )＝f (x )－l n f ３(x )的一个零点为x ０,则以下正确的是(㊀㊀)A．x ０ɪ(０,１)B ．x ０ɪ(１,２)C ．x ０ɪ(２,３)D．x ０ɪ(３,４)数学试卷(六)㊀㊀第２页(共８页)第Ⅱ卷(非选择题,共９０分)㊀㊀本卷包括必考题和选考题两部分,第１３题~第２１题为必考题,每个试题考生都必须做答,第２２题~第２４题为选考题,考生根据要求做答．二㊁填空题(本大题共４小题,每小题５分,共２０分．把答案填在答题纸上)１３．(２０１７ 武汉市调研)将函数f(x)＝３c o s x－s i n x的图象向右平移θ个单位长度后得到的图象关于直线x＝π６对称,则θ的最小正值为㊀㊀㊀㊀．１４．(２０１７ 郑州一预)抛掷两枚质地均匀的骰子,得到的点数分别为a,b,那么直线b x＋a y＝１的斜率kȡ－２５的概率是㊀㊀㊀㊀．１５．(２０１７ 长沙市模拟)M㊁N分别为双曲线x２４－y２３＝１左㊁右支上的点,设v是平行于x轴的单位向量,则|MNң v|的最小值为㊀㊀㊀㊀．１６．已知数列{a n}中,对任意的nɪN∗若满足a n＋a n＋１＋a n＋２＋a n＋３＝S(S为常数),则称该数列为４阶等和数列,其中S为４阶公和;若满足a n a n＋１ a n＋２＝T(T为常数),则称该数列为３阶等积数列,其中T为３阶公积．已知数列{p n}为首项为１的４阶等和数列,且满足p４p３＝p３p２＝p２p１＝２;数列{q n}为公积为１的３阶等积数列,且q１＝q２＝－１,设S n为数列{p n q n}的前n项和,则S２０１６＝㊀㊀㊀㊀．三㊁解答题(本大题共６小题,共７０分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)１７．(本小题满分１２分)已知向量m＝３s i n x ４,１æèçöø÷,n＝c o sx４,c o s２π４æèçöø÷,f(x)＝m n．(１)求f(x)的最大值,并求此时x的值;(２)在әA B C中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,满足f(B)＝３＋１２,a＝２,c＝３,求s i n A的值．１８．(本小题满分１２分)如图,在四棱锥PＧA B C D中,侧面P A Bʅ底面A B C D,底面A B C D为矩形,P A＝P B,O为A B的中点,O DʅP C．(１)求证:O CʅP D;(２)若P D与平面P A B所成的角为３０ʎ,求二面角DＧP CＧB的余弦值．１９．(本小题满分１２分)为了增强消防安全意识,某中学对全体学生做了一次消防知识讲座,从男生中随机抽取５０人,从女生中随机抽取７０人参加消防知识测试,统计数据得到如下列联表:优秀非优秀总计男生１５３５５０女生３０４０７０总计４５７５１２０数学试卷(六)㊀㊀第３页(共８页)(１)试判断能否有９０％的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关;附:K ２＝n (a d －b c)２(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )P (K ２ȡk ０)０．２５０．１５０．１００．０５０．０２５０．０１０k ０１．３２３２．０７２２．７０６３．８４１５．０２４６．６３５(２)为了宣传消防知识,从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法,随机选出６人组成宣传小组．现从这６人中随机抽取２人到校外宣传,求到校外宣传的同学中男生人数X 的分布列和数学期望．２０．(本小题满分１２分)已知椭圆E :x ２a ２＋y ２b２＝１(a ＞b ＞０)经过点(２２,２),且离心率为２２,F １,F ２是椭圆E 的左,右焦点．(１)求椭圆E 的方程;(２)若点A ,B 是椭圆上E 关于y 轴对称两点(A ,B 不是长轴的端点),点P 是椭圆E 上异于A ,B 的一点,且直线P A ,P B 分别交y 轴于点M ,N ,求证:直线M F １与直线N F ２的交点G 在定圆上．２１．(本小题满分１２分)设f (x )＝a x＋x l n x ,g (x )＝x ３－x ２－３．(１)如果存在x １,x ２ɪ[０,２]使得g (x １)－g (x ２)ȡM 成立,求满足上述条件的最大整数M ;(２)如果对于任意的s ,t ɪ１２,２[],都有f (s )ȡg (t)成立,求实数a 的取值范围．请考生在第２２㊁２３两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．２２．(本小题满分１０分)选修４－４:坐标系与参数方程在平面直角坐标系x O y 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C １的极坐标方程为ρ２－４ρc o s θ＋３＝０,θɪ[０,２π)．(１)求C １的直角坐标方程;(２)曲线C ２的参数方程为x ＝t c o s π６,y ＝t s i n π６ìîíïïïï(t 为参数)．求C １与C ２的公共点的极坐标．２３．(本小题满分１０分)选修４－５:不等式选讲设α,β,γ均为实数．(１)证明:|c o s (α＋β)|ɤ|c o s α|＋|s i n β|;|s i n (α＋β)|ɤ|c o s α|＋|c o s β|．(２)若α＋β＋γ＝０．证明:|c o s α|＋|c o s β|＋|c o s γ|ȡ１．数学试卷(六)㊀㊀第４页(共８页)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2018届高考数学模拟考试试卷及答案（理科）（六）第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合{|24}x A x =≥，集合(){|lg 1}B x y x ==-，则A B ⋂=A. [)1,2B. (]1,2C. [)2,+∞D. [)1,+∞ 2．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,1内单调递减的是A.2y x =B.cos y x =C.2x y =D.x y ln =3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若311318,3a a S +==-,那么5a 等于A. 4B. 5C. 9D. 184．已知()15sin ,15cos =， ()75sin ,75cos =OB =A. 2D. 15. 过原点且倾斜角为3π的直线被圆0422=-+y y x 所截得的弦长为B. 2C. 6D. 326．设m l ,是两条不同的直线， βα,是两个不同的平面，给出下列条件， 其中能够推出l ∥m 的是A. l ∥α，m ⊥β，α⊥βB. l ⊥α，m ⊥β，α∥βC. l ∥α，m ∥β，α∥βD. l ∥α，m ∥β，α⊥β7．函数()log 31a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-= 上，其中0,0>>n m ，则mn 的最大值为 A.161B.81C.41D.21 8. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若32-=n n a S ，则=n SA. 12+nB. 121-+n C. 323-⋅nD. 123-⋅n9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为 A. 4B. 2C. 43 D.2310. 千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，哈三中积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为1.35，我校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖及以上学生人数为63人，据此模型预报我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为 A. 111B. 117C.118D.12311．已知1F 、2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，点P 为双曲线C 右支上一点，直线1PF 与圆222x y a +=相切，且212PF F F =，则双曲线C 的离心率为B.43C.53D. 212. 设函数bx ax x x f ++=2ln )(，若1=x 是函数)(x f 的极大值点，则实数a 的取值范围是A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21， B. ()1，∞- C. [)∞+，1D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，212018年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（理工类）第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13.已知正方形ABCD 边长为2, M 是CD 的中点,则⋅= .14.若实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤111x y y x y ，则2x y +的最大值为 .15.直线l 与抛物线x y 42=相交于不同两点B A 、,若）4,(0x M 是AB 中点，则直线l 的 斜率=k .16.已知锐角111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于钝角222A B C ∆的三个内角的正弦值, 其中22π>A ,若122=C B ,则2222322C A B A +的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．(本小题满分12分)已知函数2()sin cos f x x x x =+. （1）当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域； （2）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a bc ()2A f =,4,5a b c =+=，求ABC ∆的面积.18. (本小题满分12分)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天课外体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）44将学生日均课外体育锻炼时间在[)40,60的学生评价为“课外体育达标”. （1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的22⨯列联表；合计（2）通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++0.00119. (本小题满分12分)如图，直三棱柱111C B A ABC -中，120=∠ACB 且21===AA BC AC ，E 是棱1CC 上动点，F 是AB 中点.（1）当E 是1CC 中点时，求证：//CF 平面1AEB ；（2）在棱1CC 上是否存在点E ，使得平面1AEB 与平面ABC 所成锐二面角为6π，A 1若存在，求CE 的长，若不存在，请说明理由.20. (本小题满分12分)已知F 是椭圆12622=+y x 的右焦点，过F 的直线l 与椭圆相交于),(11y x A ，),(22y x B 两点. （1）若321=+x x ，求AB 弦长；（2）O 为坐标原点,θ=∠AOB ,满足64tan 3=⋅θ，求直线l 的方程.21. (本小题满分12分)已知函数)0(12)2ln()(≥+++=x xax x f . （1）当2=a 时，求)(x f 的最小值；（2）若12ln 2)(+≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分) 在极坐标系中，曲线1C 的方程为22312sin ρθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线2C 的方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 21232（t 为参数）. （1）求曲线1C 的参数方程和曲线2C 的普通方程； （2）求曲线1C 上的点到曲线2C 的距离的最大值.23.选修4-5:不等式选讲(本小题满分10分) 已知函数()22f x x a x =--+.（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）当2a =时，函数()f x 的最小值为t ，114t m n +=- (0,0)m n >>，求m n +的最小值.理科数学答案一、选择题二、填空题13. 2 14. 5 15. 2116. 10 三、解答题17．（1）题意知，由2()sin cos sin(2)3f x x x x x π=+=-+∵0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴2,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴sin(2)3x π⎡-∈⎢⎣⎦可得()f x ⎡∈⎣（2）∵()22Af =，∴sin()03A π-=，∵()0,A π∈可得3A π=A 1∵4,5a b c =+=，∴由余弦定理可得22216()3253b c bc b c bc bc =+-=+-=-∴3bc = ∴1sin 2ABC S bc A ∆==18. (1)(2) 22200(60203090)2006.060 6.635150509011033K ⨯-⨯===<⨯⨯⨯ 所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关. 19.（1）取1AB 中点G ，连结FG EG 、，则FG ∥1BB 且121BB FG =. 因为当E 为1CC 中点时，CE ∥1BB 且121BB CE =， 所以FG ∥CE 且=FG CE .所以四边形CEGF 为平行四边形，CF ∥EG ， 又因为1AEB CF 平面⊄，1AEB EG 平面⊂， 所以//CF 平面1AEB ；（2）假设存在满足条件的点E ，设()10≤≤=λλCE .以F 为原点，向量1、、方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系.则()0,0,3-A ，()2,0,31B ，()λ,1,0E ，平面ABC 的法向量()1,0,0=m ，平面1AEB 的法向量()3,333--=λ，，()23199332=-++==λ， 解得1=λ，所以存在满足条件的点E ，此时1=CE .20.(1) 061212)13()2(63222222=-+-+⇒⎩⎨⎧-==+k x k x k x k y y x613221=⇒=⇒=+AB k x x(2) 36264tan 3=⇒=⋅∆AOB S θ()233,2-±==⇒x y x21. 01)2(4)(22≥++-+='x x ax a ax x f ，）（ （1）当2=a 时3211)(）（+-='x x x f ,12ln 2)1()(min +==f x f （2）00≥⇒≥a x①0=a 时, 12ln 212ln )1(+<+=f 不成立②4≥a 时, 0)(≥'x f ,)(x f 在),0(+∞递增, 12ln 222ln )0()(+>+=≥f x f 成立③40<<a 时, )(x f 在)4,0(a a -递减, ),4(∞+-aa递增 14224ln )4()(min +-++-=-=aaaaa a a f x f ）（设14042+=⇒>=-t a t a a ,12214ln )()4()(2min ++++==-=t t t t g a a f x f ）（ 0)1()1(4)(222<++-='t t t t g ,所以)(t g 在),0(+∞递减,又12ln 2)1(+=g 所以⇒≤<10t 4214<≤⇒≤-a aa综上: 2≥a22. （1）曲线1C 的参数方程为1:sin x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）曲线2C 的普通方程为20x -=（2）设曲线1C 上任意一点,sin )P αα，点P 到20x -=的距离d==∵2)224πα≤+-≤∴0d≤≤所以曲线1C上的点到曲线2C的距离的最大值为2223．（1）当1a=时，不等式为2120212x x x x--+≥⇔-≥+两边平方得224(1)(2)x x-≥+，解得4x≥或0x≤∴()0f x≥的解集为(][),04,-∞⋃+∞（2）当2a=时，6,2,()22223,226,2x xf x x x x xx x-≤-⎧⎪=--+=--<<⎨⎪-≥⎩，可得4t=-，∴1144m n+=(0,0)m n>>∴111()44m n m nm n⎛⎫+=++⎪⎝⎭1515914444416n mm n⎛⎫⎛⎫=++≥+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2m n=，即316n=，38m=时取等号.。