0431.2.1 平面的基本性质与推论(1)
1.2.1平面的基本性质和推论
A b,
过直线 b和点 A只有一个平面.
A , P ,
AP ,
即： a .
过a，b只有一个平面 ,
即：过 a，b 有且只有一个平面．
右图是一张倒置 的课桌，你能用所 学的知识检查一下 桌子的四条腿是否 在同一个平面内？
【例2】两两相交且不共点 的三条直线必在同 一个平面内.
B A C
所以过点A和直线BC确定平面.（推论1）
因为A∈， B∈BC，所以B∈. 故AB ，同理AC ， 所以AB，AC，BC共面.
B
证法三：
A
C
因为A，B，C三点不在一条直线上， 所以过A，B，C三点可以确定平面.（公理3） 因为A∈，B∈，所以AB .（公理1） 同理BC ，AC ， 所以AB，BC，CA三直线共面.
即直线AD、BD、CD共面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个 平面.
图形语言：
a b
符号语言：a b P 有且只有一个平面 , 使a , b
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面.
已知：直线 a，b且 a
b面 ． . 证明：在a上取不同于点P的点A．
证明： AB P,
P AB，P 平面 ,
点P在平面ABC与平面的交线上. （公理2）
同理可证：
Q ，R也在平面ABC与平面 的交线上.
P，Q，R三点共线.
要证明空间诸点共线，通常证明这些点同时落在两个相 交平面内，则落在它们的交线上.
练习 1.用符号表示“点A在直线l上，l在平面
A
B C
a b c
研
已知：a // b // c, a l A, b l B, c l C
121 平面的基本性质与推论
平面的基本性质与推论（1）一. 教学内容：1. 理解三个基本性质的内容及应用二. 知识分析（1）关于公理1①三种数学语言表述：文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。
图形语言表述：如图1所示图1符号语言表述：②内容剖析：公理1的内容反映了直线与平面的位置关系，条件“线上两点在平面内”是公理的必须条件，结论“线上所有点都在面内”。
这个结论阐述两个观点，一是整个直线在平面内，二是直线上所有点都在平面内。
③公理（1）的作用：既可判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又可用直线检验平面。
（2）关于公理2①公理2的三种数学语言表述：文字语言表述：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
图形语言表述：如图2所示符号语言表述：A、B、C三点不共线有且只有一个平面α，使.②内容剖析：公理2的条件是“过不在同一直线上的三点”，结论是“有且只有一个平面”。
条件中的“三点”是条件的骨干，不会被忽视，但“不在同一直线上”这一附加条件则易被遗忘，如舍之，结论就不成立了，因此绝对不能遗忘．同时还应认识到经过一点、两点或在同一直线上的三点可有无数个平面；过不在同一直线上的四点，不一定有平面，因此要充分重视“不在同一直线上的三点”这一条件的重要性。
公理2中的“有且只有一个”含义要准确理解。
这里的“有”是说图形存在。
“只有一个”是说图形惟一，本公理强调的是存在和惟一两个方面。
因此“有且只有一个”必须完整的使用，不能仅用“只有一个”来替代“有且只有一个”，否则就没有表达存在性。
“确定一个平面”中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和惟一性这两方面的，这个术语今后也会常常出现，要理解好。
③公理2的作用：作用一是确定平面；作用二是可用其证明点、线共面问题。
（3）关于公理3①公理3的三种数学语言表述：文字语言表述：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
1.2.1平面的基本性质与推论
三,共面与异面直线
1.空间中的几个点或几条直线都在同一 1.空间中的几个点或几条直线都在同一 平面内,我们就说它们共面 共面. 平面内,我们就说它们共面 如图: 如图:把这类既不相交又 不平行的直线叫做异面直 不平行的直线叫做异面直 线 判断: 判断:
A l
α B
课堂练习: 选择题: 课堂练习: 1,选择题
2个平面分空间有两种情况: 个平面分空间有两种情况: 个平面分空间有两种情况
(1)两平面没有公共点时 两平面没有公共点时 (2)两平面有公共点时 两平面有公共点时
两个平面把空间分成3或 个部分 个部分. 两个平面把空间分成 或4个部分.
3个平面 个平面 3个平面把空间分成 ,6,7或8个部分. 个平面把空间分成4, , 或 个部分 个部分. 个平面把空间分成
1个或0个 个或0
m
基本性质2 基本性质2 经过不在同一条直线 上的 三点有且只有一个平面
A B C
想一想: 想一想:哪些现象可以用来说明基本性 质2 ?
平面的基本性质2 经过不在同一条直线上的三点 三点, 平面的基本性质2 经过不在同一条直线上的三点, 有且只有一个平面 . 推论1 经过一条直线和直线外的一点, 推论1 经过一条直线和直线外的一点, 有且只有一个平面 . 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 相交直线 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面 . 平行直线 推论3 经过两条平行直线,
作用? 作用?
基本性质3 基本性质 如果不重合的两个平面有一个公共 那么它们有且只有一条过这个点的公共直线. 点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.
其中a 其中a b 为交线
b a α β δ γ
课件3：1.2.1 平面的基本性质与推论
谢 谢！
[解] ∵E、F 分别是 AB、BC 的中点，∴EF 綊12AC.
又∵DG DC＝DH DA＝
，∴HG 綊13AC.
∴EF∥HG，且 EF>HG，∴EH 与 FG 相交于点 P.
又∵P∈EH，P∈FG，而EH⊂平面ABD，FG⊂平面BCD， ∴P∈平面ABD，P∈平面BCD. ∴P∈平面ABD∩平面BCD＝BD， 即直线BD经过点P. 因此直线EH、FG、BD相交于一点．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[解析] 由共面的条件知，平行四边形是平面图形，∴②③④正确，
①不正确．故选C.
[答案] C
3．如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条 直线中，异面直线共有( )
A．12对
B．24对
C．36对
D．48对
[解析] 可构成异面直线的只能是侧棱与底面正六边形的与此侧棱不 相交的边，故一条侧棱构成4对，∴共24对．
共面问题 例2 已知直线m与直线a、直线b分别交于A、B两点，且a∥b.求证： 直线a、b、m共面． [解] 如图所示，∵a∥b，∴a、b 确定一个平面 α， 又∵m∩a＝A，m∩b＝B， ∵A∈α，B∈α，∴m⊂α，∴直线 a、b、m 共面．
跟踪练习2 已知：a、b、c、d是两两相交且不共点的四条直线． 求证：a、b、c、d共面． [解] (1)有三线共点的情况，如图． 设b、c、d三线相交于点K，与a分别交于N、P、M且K∉a. ∵K∉a，∴K和a确定一个平面，设为α. ∵N∈a，a⊂α，∴N∈α，∴NK⊂α，即b⊂α. 同理，c⊂α，d⊂α，∴a、b、c、d共面．
[答案] B
4．三角形、四边形、梯形、圆中一定是平面图形的有________个． [解析] 由共面的条件知，平面图形有三角形、梯形、圆共3个． [答案] 3
1.2.1平面的基本性质与推论
AB α.
练习：
A （1） B
（2）l
AB 。
, Al
A
。
公理1的作用有两个： （1）作为判断和证明直线是否在平面内的依据，即只 需要看直线上是否有两个点在平面内就可以了；
（2）公理1可以用来检验某一个面是否为平面，检验
的方法为：把一条直线在面内旋转，固定两个点在面
基本性质3：
①文字语言：如果不重合的两个平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.
②图形语言：
③符号语言：
P∈(α∩β) α∩β=l
P∈l.
思考：如何理解基本性质3？ (1) 性质3反映了平面与平面的位置关系， 只要“两面共一点”，就有“两面共一线， 且过这一点，线惟一”. (2) 从集合的角度看，对于不重合的两个平 面，只要他们有公共点，它们就是相交的
位置关系，交集是一条直线.
(3) 性质3的作用: 其一判定两个平面是否相交; 其二可以判定点在直线上. 点是某两个 平面的公共点，线是这两个平面的公共交 线，则这点在线上. 因此它还是证明点共线或线共点，并
且作为画截面的依据.
二. 平面基本性质的推论
推论1： 文字语言 ：经过一条直线和直线外的一点， 有且只 有一个平面. 图形语言：
内后，如果其他点也在面内，则该面为平面。
基本性质2：
①文字语言：经过不在同一条直线上的三点，有且只 有一个平面，也可以说成不共线的三点确定一个平面。
②图形语言：
③符号语言：A、B、C三点不共线，有且只有一个平 面α，使得A∈α，B∈α， C∈α.
A, B, C不共线 A, B, C确定一平面
思考：如何理解基本性质2？ (1)性质2是确定平面的条件. (2)深刻理解“有且只有”的含义，这里的 “有”是说平面存在，“只有”是说平面 惟一，“有且只有”强调平面存在并且惟 一这两方面.
课件4：1.2.1 平面的基本性质与推论
预习自测
2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三点可以确定一个平面.( ) (2)一条直线和一个点可以确定一个平面.( ) (3)四边形是平面图形.( ) (4)两条相交直线可以确定一个平面.( )
预习自测
【解析】 (1)错误.不共线的三点可以确定一个平面. (2)错误.一条直线和直线外一个点可以确定一个平面. (3)错误.四边形不一定是平面图形. (4)正确.两条相交直线可以确定一个平面. 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.平面的画法 (1)水平放置的平面通常画成一个 平行四边形 ，它的锐角 通常画成 45°，且横边长等于其邻边长的2倍 .如图①. (2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体 感，把被遮挡部分用 虚线 画出来.如图②.
①
②
知识梳理
3.平面的表示法 下图中的平面可表示为 平面α 、平面ABCD、 平面AC 或 平面BD .
求证：a，b，c三条直线必过同一点.
课堂检测
证明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ. 由于直线a和b不平行， ∴a、b必相交. 设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b.
课堂检测
【解析】 若直线与平面有两个公共点，则这条直线 一定在这个平面内，故①正确；直线l在平面α内用符 号“⊂”表示，即l⊂α，②错误；由a与b相交，说明两个 平面有公共点，因此一定相交，故③正确. 【答案】 ①③
课堂检测 5.如图，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β ＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行.
典型例题
解：已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点， 求证：a，b，c，d四线共面. 证明：(1)若a，b，c三线共点于O，如图所示，∵O∉d，
平面的基本性质与推论
（2）A∈β，B ∈β，C ∈β，
D ∈ β，E β，F β；
（3）α∩β= AB ；
例2．如图中△ABC，若AB、BC 在平面 α内，判断AC 是否在平面α内？
C A
B
解：∵ AB在平面α内，∴ A点一定在平 面α内，又BC在平面α内，∴ C点一定在 平面α内， ( 点A、点C都在平面α内，) 直线AC 在平面α内（公理1）.
C1 B1 E
C
A
B
P
则P∈D1F，P∈DA ，
又∵D1F 平面BED1F，P在平面BED1F
内.
AD 平面ABCD，P∈
平面ABCD，
D1
C1
又B为平面ABCD与平 A1
面BED1F的公共点， F D ∴连结PB，PB 即为
平面BED1F 与平面 ABCD的交线.
P
A
B1 E C
B
D1 A1 FD A P
(3) 公理3的作用: 其一判定两个平面是否相交; 其二可以判定点在直线上. 点是某两个
平面的公共点，线是这两个平面的公共交 线，则这点在线上.
因此它还是证明点共线或线共点，并 且作为画截面的依据.
二. 平面基本性质的推论
（1）推论1： 文字语言 ：经过一条直线和直线外的一 点，有且只有一个平面.
C1 B1 E
C B
例5. 如图所示，已知△ABC的三个顶点都 不在平面α内，它的三边AB、BC、AC延长 线后分别交平面α于点P、Q、R， 求证：点P、Q、R在同一条直线上.
证明：由已知AB的延长线交 平面α于点P，根据公理3， 平面ABC与平面α必相交于 一条直线，设为l，
பைடு நூலகம் P∈直线AB，P∈面ABC，又直线AB∩ 面α=P，∴ P∈面α. ∴ P是面ABC与面α的公共点，
高中数学必修二教案-1.2.1 平面的基本性质与推论1-人教B版
课题§1.2.1平面的基本性质与推论教学目标知识与技能1理解并掌握平面的基本性质和推论并能运用它们解释生活中的某些现象；2.掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念；3初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；4.通过实例和多媒体直观教学，培养学生的观察能力和空间想象能力。
过程与方法通过观察实验，直观感知，操作确认理解与掌握平面的基本性质与推论。
情感态度与价值观通过从实际生活中抽象出数学模型，利用一些数学理论去诠释生活中的现象。
使学生感悟数学源于生活，增强学习兴趣。
教学重点平面的基本性质与推论，以及它们的应用教学难点文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化与应用教学环境及资源准备多媒体教室 PPT教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图引入新课给出四幅图片，联系生活实际导入新课以上生活经验都应用了哪些数学知识？教师提出问题，学生认真思考，带着问题进入到新课的学习中。
通过生活中常见的事物引发学生学习的兴趣。
初步体会数学与实际生活的联系。
新课教学一、空间中点、直线、平面之间的位置关系空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把点看做元素，直线、平面看成是点的集合，教师引导发现可以借助集合符号表示空间中点、线、面的位置关系。
学生动手填表格，明确如何用符号语言和图形语言表示点线面位置关系。
首先明确点线面位置关系的符号语言，为学习性质及推论的三种语言的相互转化做铺垫。
所以可以借助集合符号来描述点、线、面的位置关系。
即点在线上或在面内都要用“∈”符号。
线在面内要用“⊂”符号。
数学实验1：如果把书看作一个平面，把你的笔看作是一条直线的话：(1)你能使笔上的一个点在平面内，而其他点不在平面内吗？(2)你能使笔上的两个点在平面内，而其他点不在平面内吗？二、平面的基本性质及推论1.基本性质1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内图形语言：符号语言：若A∈l；B∈l，A∈α，B∈α，则AB⊂α或若A∈α，B∈α，则直线AB⊂α作用：判断或证明直线在平面内（只需证线上两点在平面内）举例：把一把尺子放在桌面上，如果尺子是直的，能判断桌面是否是平的，检验是否完全贴合即可。
18-19 第1章 1.2 1.2.1 平面的基本性质与推论
1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论学习目标：1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．(难点) 2.掌握平面的基本性质及推论，能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(重点) 3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，并能解决空间线面的位置关系问题．(难点)[自主预习·探新知]1．平面的基本性质及推论公理内容图形符号基本性质1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α基本性质2经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α基本性质3如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(图1-2-1①)．推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面(图1-2-1②)．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面(图1-2-1③)．2．异面直线(1)定义：把既不相交又不平行的直线叫做异面直线．(2)画法：(通常用平面衬托)图1-2-23．空间两条直线的位置关系思考：不在同一平面的两条直线是异面直线，对吗？[提示]不对，是不同在任何一个平面内．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三点可以确定一个平面．()(2)一条直线和一个点可以确定一个平面．()(3)四边形是平面图形．()(4)两条相交直线可以确定一个平面．()[解析](1)错误．不共线的三点可以确定一个平面．(2)错误．一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．(3)错误．四边形不一定是平面图形．(4)正确．两条相交直线可以确定一个平面．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．下列说法正确的是________.【导学号：90662067】①两条直线无公共点，则这两条直线平行；②两直线若不是异面直线，则必相交或平行；③过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线；④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．[解析]①错误．空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面．②正确．因空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面．③错误．过平面外一点与平面内一点的连线，和平面内过该点的直线是相交直线．④错误．和两条异面直线都相交的两直线也可能是相交直线．[答案]②3．根据图1-2-3，填入相应的符号：A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________.图1-2-3[答案]∈∉⊄AC[合作探究·攻重难]文字语言、图形语言、符号语言的相互转化根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m⊄α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.[解](1)点A在平面α内，点B不在平面α内；(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上；(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.图形分别如图(1)，(2)，(3)所示．图(1)图(2)图(3)[规律方法]1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．2．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”表示，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示．3．由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．1.如图1-2-4，根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.图1-2-4[解](1)点P∈直线AB；(2)点C∉直线AB；(3)点M∈平面AC；(4)点A1∉平面AC；(5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB⊂平面AC；(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.点、线共面问题已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内.【导学号：90662068】[思路探究]四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：一是有三条直线共点；二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况．[解]已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面．证明：(1)若a，b，c三线共点于O，如图所示，∵O∉d，∴经过d与点O有且只有一个平面α.∵A、B、C分别是d与a、b、c的交点，∴A、B、C三点在平面α内．由公理1知a、b、c都在平面α内，故a、b、c、d共面．(2)若a、b、c、d无三线共点，如图所示，∵a∩b＝A，∴经过a、b有且仅有一个平面α，∴B、C∈α.由公理1知c⊂α.同理，d⊂α，从而有a、b、c、d共面．综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内．[规律方法]证明点线共面常用的方法1．纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内．2．重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合．2．一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面．[解]已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c，l共面．证明：法一：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α，∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α，故l⊂α.又∵a∥c，∴a，c确定一个平面β.同理可证l⊂β，∴α∩β＝a且α∩β＝l.∵过两条相交直线a、l有且只有一个平面，故α与β重合，即直线a，b，c，l共面．法二：由法一得a、b、l共面α，也就是说b在a、l确定的平面α内．同理可证c在a、l确定的平面α内．∵过a和l只能确定一个平面，∴a，b，c，l共面.空间两直线位置关系的判定如图1-2-5，正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：【导学号：90662069】图1-2-5①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________．[思路探究]判断两直线的位置关系，主要依据定义判断．[解析]根据题目条件知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”．同理，直线AB与直线B1C“异面”．所以②④都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”．[答案]①平行②异面③相交④异面[规律方法]1．判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断．2．判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面．3．若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则()A．a∥c B．a、c是异面直线C．a、c相交D．a、c平行或相交或异面D[若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面．]点共线与线共点问题[探究问题]1．如图1-2-6，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E.能否判断点E在平面A1BCD1内？图1-2-6[提示]如图，连接BD1，∵A1C∩平面ABC1D1＝E，∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1.∵A1C⊂平面A1BCD1，∴E∈平面A1BCD1.2．上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？[提示]由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又E∈BD1，根据公理3可知B，E，D1三点共线．如图，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，求证：EF，GH，BD交于一点．[思路探究](1)两平面的交线⇒点P在交线上．(2)过其中两条直线的平面相交⇒第三条直线与交线相交⇒三线共点．[证明]如图可知，平面ABD∩平面BCD＝BD.易知FH∥AC且FH＝25AC，GE∥AC且GE＝12AC，所以FH∥GE且GH，EF交于点O.因为GH⊂平面ABD，O∈GH.所以O∈平面ABD.因为EF⊂平面BCD，O∈EF.所以O∈平面BCD，所以O∈平面ABD∩平面BCD ＝BD.所以EF，GH，BD交于一点．[当堂达标·固双基]1．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是() A．平行或异面B．相交或异面C．异面D．相交B[如图，在长方体AB CD-A1B1C1D1中，AA1与B C是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩B C＝B，DD1与B C是异面直线，故选B.]2．下列说法中正确的个数为()【导学号：90662070】①三角形一定是平面图形；②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；③圆心和圆上两点可确定一个平面；④三条平行线最多可确定三个平面．A．1 B．2C．3 D．4C[圆上两点为直径端点时，它们与圆心共线，此时这三个点不能确定平面，故③不正确，①②④正确，故选C.]3．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.C[∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.]4．有以下三个说法：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；③已知平面α与β不重合，若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b 相交，则α与β相交．其中正确的序号是________．[解析]若直线与平面有两个公共点，则这条直线一定在这个平面内，故①正确；直线l在平面α内用符号“⊂”表示，即l⊂α，②错误；由a与b相交，说明两个平面有公共点，因此一定相交，故③正确．[答案]①③5．如图1-2-7，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行.【导学号：90662071】图1-2-7 求证：a，b，c三条直线必过同一点．[证明]∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ.由于直线a和b不平行，∴a、b必相交．设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b.∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α.又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P.∴a，b，c三条直线相交于同一点．。
人教版B版高中数学必修2平面的基本性质与推论
[解答] ∵E∈AB，H∈AD， ∴E∈平面 ABD，H∈平面 ABD，∴EH⊂平面 ABD. ∵EH∩FG＝O，∴O∈平面 ABD， 同理可证 O∈平面 BCD， ∴O∈平面 ABD∩平面 BCD，即 O∈BD， 所以 B、D、O 三点共线．
两个不全等的三角形 ABC、A1B1C1 不在同一平面内，如 图 37－4 所示，A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA，求证：AA1、 BB1、CC1 交于一点．
BA1，即寻找一条与BA1平行且恰与AC1相交的直线，把两条异
面直线所成的角转化为两条相交直线所成的平面角，把问题 化归为求解三角形的内角．
[解析] 方法 1：过 B 作 BD 綊 AC，连接 AD、C1D， ∵A1C1 綊 AC，即 A1C1 綊 BD， ∴四边形 A1C1DB 是平行四边形， 则 A1B∥C1D，即∠AC1D 是异面直线 BA1 与 AC1 所成的角， 设 AB＝AC＝AA1＝a，由∠ABD＝∠DCC1＝∠ACC1＝∠BAC
⑥如图四边形AD′B′C中，AD′＝D′B′＝B′C＝CA，
但它不是平行四边形，所以⑥也错. 正确的命题只有④.
► 探究点2 三点共线与三线共点问题
例 2 如图 37－3 所示，E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上的点，且 EH 与 FG 相交于点 O. 求证：B、D、O 三点共线．
平面的基本性质与推论
知识梳理
1．平面的概念及其表示 (1)平面的概念 几何里所说的“平面”就是从一些物体(课桌面、海平面等) 抽象出来的，平面有两个特征：①__无__限__延__展____________，即 平面是无边界且无限延展的；②___平__的__(_没__有__厚__度__)________， 即平面是无厚薄、无大小、无数个平面重叠在一起，仍然是一 个平面，平面是无所谓面积的． 一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部 分．
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2、下列四种叙述：
①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；
③空间四点中有三点共线，则此四点必共面；④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．
其中正确说法的序号是()
A．②③④B．②③C．①②③D．①③
(4)平面α内的两条直线M、n相交于A：________________________．
三、基础自测：
1、下列命题：
①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 M，宽是20 M；
④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为()
A．1 B．2 C．3 D．4
符号：________________________________．
4、用符号语言表示下列语句：
(1)点A在平面α内但在平面β外：______________．
(2)直线l经过面α内一点A，α外一点B：________________________．
(3)直线l在面α内也在面β内：____________．
高一数学（2019级）导学案
课型：新授课编制人：年级主任：班级：姓名：编号：043
1．2.1平面的基本性质与推论(1)
一、学习目标
1、掌握文字、符号、图形语言之间的转化，
2、理解公理1、公理2、公理3，并能运用它们解决点共线、线共面、线共点等问题．
二、基础知识
1、公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么________________在此平面内．
2、若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作()
A．M∈b∈β B．M∈b⊂β C．M⊂b⊂β D．M⊂b∈β
3、已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有()
A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条D．1条或2条或3条
4、空间中可以确定一个平面的条件是()
A．两条直线B．一点和一直线C．一个三角形D．三个点
5、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，
E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：(1)C1、O、M三点共线；
(2)E、C、D1、F四点共面；(3)CE、D1F、DA三线共点．
【当堂检测】
1、空间三条不重合的直线a、b、c能确定的平面的个数是()
5、空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有()
A．2个或3个B．4个或3个C．1个或3个D．1个或4个
四、典型例题：
例1、下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是()
例2、若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α之间的关系可记为()
A．M∈a，a∈αB．M∈a，a⊂α C．M⊂a，a⊂α D．M⊂a，a∈α
2、平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()
A．3 B．4 C．5 D．6
3、若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成________部分．
4、如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是___＝B，l1∩l3＝C. 求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．
例4、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE、D1F、DA三线交于一点．
五、课堂练习
1、若A∈平面α，B∈平面α，C∈直线AB，则()
A．C∈αB．C∉α C．AB⊄α D．AB∩α＝C
符号：________________________________．
2、公理2：过________________________________的三点，________________一个平面．
3、公理3：如果两个不重合的平面有________公共点，那么它们有且只有________过该点的公共直线．
3、若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成()
A．5部分B．6部分C．7部分D．8部分