时代数学报第三届数学文化节第二轮(七年级)

时代数学报第三届数学文化节
第二轮活动“能力素质挑战”书面问题解答
（七年级）
（2008年1月6日 上午9：00～11：00）
亲爱的读者，欢迎参加时代数学报第三届数学文化节！在第一轮“基础知识闯关”活动中，你已经感受到扑面而来的数学文化气息，以你良好的基础，完全有信心从容地接受第二轮活动的“能力素质挑战”！这里，重要的不是为了胜人一筹，而是由此更上一层楼。

进一步明白学好数学需要多方面的知识和素养，同时再一次展现你的灵性和潜能，品位数学文化的美丽芬芳和博大精深，简单些吧，写成一个公式：
广泛阅读＋深入思考＋仔细品味＝享受数学
再简单些吧，写成一个“数学公式”：G ＋S ＋Z ＝X 。

Let ’s go!
（注：满分150分，除第7题10分，第15题11分，第18题10分外每题7分。

选择题只有一个正确答案）
数学之史
1、天籁谐音 1766年德国人提丢斯发现，太阳系中的行星到太阳的距离遵循表1所示的规律。

表1
根据表1，第7颗行星到太阳的距离是 天文单位。

当提丢斯将这一发现公布于众之后，人们最终在行星带中“2.8”这一位置找到了一颗小行星，即“谷神星”。

2、一网打尽 正整数集只是有理数集合的一部分，有趣的是，德国数学家康托尔（1845～1918）曾将所有有理数像正整数那样排成一列纵队，从而和正
整数集一一对应起来。

让我们跟随康托尔的思路吧！
任一个有理数都可以写成一个既约分数
q
p
（p 是整数，q 是正整数）它可以对应着网格纸（如图）上
的一个点，即p 所在行与q 所在列的交点，记为点（q ，p ）。

如
3
1
对应图中的点A （3，1）。

这样，每个有理数对应着网格纸上的格点（水平线与竖直线的交叉点），而康托尔用图中的方法从中心O 出发“螺旋式”地扩展开去，将平面内所有格点“一网打尽”。

在图中，O （0，0）是第一个点，A （1，-1）是第 个点，B （-1，2）是第 个
江 苏 教 育 出 版 社 时 代 数 学 报
江苏省教育学会中学数学教学专业委员会
主办单位：
0 6 3 1 2 4 6 8 7 5 4 2 1 8
7 3 5 （第2题）
点，第35个点是（ ）。

数学之美
3、对称天地 很多建筑物都是对称的，如常州市的天宁寺宝塔，其底座就是一个正八边形，这个八边形有对称轴 条。

4、奇数宝塔 奇数宝塔（如图）的前5行中，每一行各数的和分别是 ， ， ， ， 。

那么第7行中有 个数，这些数依次是 ， ， ， ， ， ， ；它们的和是 。

5、出入相补 图中是三个半径为1的圆，六个阴影部分完全相同，六个阴影部分的面积和是 。

数学之用
6、翻译密码 在密码学中，直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码。

有一种密码，将英文的26个字母a ，b ，c ， …，z （不论大小写）依次对应于1，2，3，…，26这26个自然数（如表2），当明码对应的序号x 为奇数时，其密码对应的序号为21+=
x y ；当明码对应的序号x 为偶数时，其密码对应的序号为132
+=x
y 。

按上述规定，将明码“love ”译成的密码是（ ）
（A ）qawq （B ）shxc （C ） sdri （D ）love
7、薄利多销 在玉桥市场，甲、乙两人各销售100件某种衬衫，甲本着薄利多销的原则，不久就全部售完；乙最初售价每件比甲贵18元，卖出一半后因十分滞销，不得已按最初售价对折销售，虽勉强售完，但多花了时间，且最后卖得的总钱数比甲所得少10%，求甲每件衬衫的售价。

8、进退自如 一个机器人从数轴的原点出发，沿数轴的正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，若x n 表示第n 秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，则x 8＝ ;x 21＝ ;x 104＝ ; x 2008＝ 。

（第3题） 第n 行
1 (1)
3 5 (2)
7 9 11 (3)
13 15 17 19 (4)
21 23 25 27 29 ……5 ……………………… （第4题） （第5题）
9、想想做做 如图，台上有一大张白纸，一把尺，一支笔，一个正方体木块，请你设计一种方法量出正方体木块的对角线AB 的长度（画示意图，并加以说明）。

10、盲文世界 1829年，法国盲人路易·布莱尔发明了点字
，它是由一个框
内6个凸或不凸的点组成的，以凸点数的多少和点位的不同代表不同的符号，因此，可变化组成 个不同的符号（没有任何凸点就不计数），这已成为现代国际上普遍采用的盲文形式。

数学之思
11、并非拼凑 有时两数的和恰等于这两数的商，如-4＋2＝（-4）÷2，3
2343234
÷=+
等，试写出另外3个这样的等式： 。

12、变与不变 将27个棱长为1（单位：cm ）的正方体，摆成3×3×3的大正方体（如图①），从上面、正面、左面看到的大正方体的正投影图都如图②，是3×3的正方形。

（1）如果将图①中，左前方的9个正方体和右后方的9个正方体取走，就变成图③，这时，从正面、左面、上面看的正投影图依次是图④中的 。

（2）在图③中，至少要补放 个正方体后，组成的立体图形，从上面看的正投影图是图②。

13、五环填数 在五环图案 内，分别填写五个数a ，b ，c ，d ，e ，
其中a ，b ，c 是三个连续偶数（a ﹤b ﹤c ），d ，e 是两个奇数
（第9题）
· · · · · ·
a b c d e
（d ﹤e ），且满足a ＋b ＋c ＝d ＋e ，
例如
，请你在小于20的正整数中选择另
一组符合条件的数，填入右图中。

14、瞻前顾后 用n 个2×1的长方形（如图①）可以覆盖2×n 的大长方形棋盘（如图②）。

当然，可能有很多种不同的覆盖方法，表3列出了n ＝1，2，3，4，5时对应的方法数，请在表3中填出n ＝6，7时对应的方法数。

15、聪明的乌鸦 口渴的乌鸦看到一只装了水的瓶，瓶的旁边还有350粒玉米（假
设每粒玉米的体积相等），乌鸦本想立即吃玉米，但口渴难忍，它还得用祖辈传下来的本领——投“石”喝水呢！乌鸦先叼了100粒玉米投入瓶中，水面上升到瓶的高度的
2
1
；再往瓶中投了150粒玉米，水面上升到瓶高度的8
7（如图，瓶是圆柱形）。

若再向瓶中投入玉米，乌鸦就能喝到水啦！
（1）如果瓶的容积是V ，那么每粒玉米的体积是 ； （2）最初瓶中水的体积是 ；
（3）如果乌鸦最终喝了瓶中水的70%，那么乌鸦还需投入瓶中 粒玉米； （4）这时它还可以吃到 粒玉米。

16、数字走廊 在图①在中，18个不同汉字分别代表1～18这18个不同的数，使得每个正方形顶点处4个数的和都相等，那么这个和最大是 。

请在图②中写出一种填法来。

17、顺思逆想 一年共有12个月，闰年的二月是29天，又有4个小月，7个大月，所以闰年共有29×1＋30×4＋31×7＝366（天）。

反过来思考：如果非负整数a ，b ，c 满足等式：29a ＋30b ＋31c ＝366（*），那么a ＋b ＋c ＝ ，这样的数组（a ，b ，c ）共有 组，它们分别是 。

2 4 6 5 7
① ②
（第14题）
表3 ① ②
（第16题）
18、是否可能有这样的社团，它的任何一个成员在社团内部有8个朋友，而任何两个成员在社团内有2个或3个公共朋友？请说出理由。

数学之语
19、咬文嚼字 数学的符号语言简练、准确；而文字语言通俗易懂，但有时不够精练，甚至容易引起歧义。

下面4句文字语言没有歧义的是（ ）。

（A ）a 与b 的平方的和 （B ）a ，b 的两数相差8 （C ）a 与b 的和的平方 （D ）a 除以b 与c 的和 20、数轴妙用 小涵、小敏和小灵三位同学对小雅书包里的书的本数作出不同的估计： 小涵说：“书包里至少有10本书。

” 小敏说：“不！不！书包里的书不到10本。

” 小灵接着说：“书包里最少有1本书。

” 这时，小雅说：“你们三人的话，只有1 个人正确。

” 请问：小雅书包里有几本书？ 这是一道逻辑推理题。

根据题意，三人的估计有三种可能情形，依次是：①对、错、错；②错、对、错③错、错、对，然后再一一分析之。

现在，我们利用数轴知识，画成下图：
从图中可见：
1）若书包中有1或2……或9本书，则小敏与小灵的估计都对了，不合题意； 2）若书包里至少有10本书，则小涵与小灵的估计都对了，也不合题意； 3）若书包里有0本书（即书包里没有书），只有小敏的估计正确，符合题意；
由此实例可见，利用数轴知识来解，真是一目了然，比平时的逻辑推理方法，更容易理解。

仿此，请大家做下面的一道趣题：
甲、乙、丙、丁四位同学对小雅同学书包里的书作出估计： 甲说：“书包里至多有１２本书。

” 乙说：“不！不！书包里的书至少５本，至多１１本。

” 丙说：“书包里至多８本书。

” 丁说：“我估计乙、丙两人中至少有一人估计对了。

” 小雅说：“你们４个人的话，只有１个人正确。

”
则甲、乙、丙、丁中 估计正确，小雅书包里有 本书。

（第20题）。