江门市2019年高考模拟考试数学(理科)及答案
江门市2019年高考模拟考试数学(理科)
江门市2019年高考模拟考试数 学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一项是符合题目要求的．⒈已知ABCD 是复平面内一个平行四边形，AB 对应的复数为i +1，AD 对应的复数为i 23-，其中 i 为虚数单位．则AC 对应的复数为A.i 32-B.i 32+-C.i -4D.i +-4 ⒉已知集合{}是菱形或矩形x x A |=，{}是矩形x x B |=，则=B C AA.{}是菱形x x |B.{}形是内角都不是直角的菱x x |C.{}是正方形x x |D.{}是邻边都不相等的矩形x x |⒊已知)sin(ϕω+=x A y 的最大值为1，在区间]32, 6[ππ上， 函数值从1减小到1-，函数图象（如图1）与y 轴的交点P 坐标是A.)21 , 0(B.)22, 0( C.)23, 0( D.⒋经过25)2()1(22=++-y x 的圆心，且与向量)4 , 3(-=a 垂直的直线的方程是A.01143=--y xB.01143=+-y xC.0134=-+y xD.0234=++y x ⒌已知0>a ，0>b ，12=+b a ，则ba 11+的取值范围是 A.)6 , (-∞ B.) , 4[∞+ C.) , 6[∞+ D.) , 223[∞++ ⒍从一个三棱柱111C B A ABC -的六个顶点中任取四点，这四点不共面的概率是A.51 B.52 C.53 D.54 ⒎若)()21(2010201022102010R x x a x a x a a x ∈++++=- ，则=++++2102010*********a a a aACD EO图2B A.1- B.0 C.1 D.2010⒏用{}c b a , , m ax 表示a 、b 、c 三个数中的最大值，则{}243 , 12 , 3m ax )(xx x f x-+=在区间]2 , 0[上的最大值M 和最小值m 分别是A ．9=M ，13-=mB ．5=M ，13-=mC ．9=M ，2=mD ．5=M ，1=m二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． ㈠必做题（9～13题）⒐某高中高一、高二、高三在校学生人数分别为1200、1200、1100，现要从中抽取140名学生参加周末公益活动，若用分层抽样的方法，则高三年级应抽取 人． ⒑下列命题中，真命题是 （将真命题前面的编号填写在横线上）． ①已知平面α、β和直线a 、b ，若a =βα ，α⊂b 且b a ⊥，则βα⊥．②已知平面α、β和两异面直线a 、b ，若α⊂a ，β⊂b 且β//a ，α//b ，则βα//． ③已知平面α、β、γ和直线l ，若γα⊥，γβ⊥且l =βα ，则γ⊥l ． ④已知平面α、β和直线a ，若βα⊥且β⊥a ，则α⊂a 或α//a ． ⒒由直线x y =与曲线2x y =所围图形的面积=S ． ⒓函数)1(log 1|2|)(2---=x x x f 的定义域为 ．⒔产量相同的机床Ⅰ、Ⅱ生产同一种零件，它们在一小时内生产出的次品数1X 、2X 的分布列分别如下：两台机床中，较好的是 ，这台机床较好的理由是 ．㈡选做题（14～15题，考生只能从中选做两题）⒕（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==my x θθsin cos （m 是常数，] , (ππθ-∈是参数），若曲线C 与x 轴相切，则=m ． ⒖（几何证明选讲选选做题）如图2，ABC Rt ∆中，090=C ，30=A ，圆O 经过B 、C 且与AB 、AC 相交于D 、E ． 若32==EC AE ，则=AD ，圆O 的半径=r ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分。
广东省江门市2019届高三高考模拟(第一次模拟)考试数学(理)试卷(解析版)
江门市2019年高考模拟考试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.是虚数单位，若是纯虚数，则实数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算法则得到复数的化简式子，再由实部为0得到结果.【详解】若是纯虚数，化简虚数得到，纯虚数即解得m=-1.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，以及实部和虚部的概念，题型较为基础.2.设集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由补集的概念得到，再由交集的概念得到结果即可.【详解】根据题干得到，则.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了集合的交集和补集的概念，题型较为基础.3.某地气象局把当地某月（共30天）每一天的最低气温作了统计，并绘制了如下图所示的统计图，假设该月温度的中位数为，众数为，平均数为，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】据众数的定义是出现次数最多的数据结合图求出众数；据中位数的定义：是将数据从小到大排中间的数，若中间是两个数，则中位数是这两个数的平均值；据平均值的定义求出平均值，比较它们的大小．【详解】由图知众数＝5由中位数的定义知，得分的中位数为m e，是第15个数与第16个数的平均值，由图知将数据从大到小排第15个数是5，第16个数是6，∴＝5.5，（2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10） 5.97，∴＜m e＜，故答案为：D．【点睛】本题考查了众数，中位数与平均数，要注意中位数是中间两个数的平均数．4.直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】由已知向量等式可知C 在AB 所在的直线上，由直线方程的两点式得答案． 【详解】由，且λ+μ＝1，得＝，∴，即，则C 、A 、B 三点共线．设C （x ，y ），则C 在AB 所在的直线上， ∵A （2，1）、B （4，5）， ∴AB 所在直线方程为 ，整理得：．故P 的轨迹方程为：．故选：A.【点睛】本题考查共线向量基本定理的应用，考查轨迹方程的求法，考查数学转化思想方法，是中档题． 5.根据市场调查，预测某种日用品从年初开始的个月内累计的需求量（单位：万件）大约是（）．据此预测，本年度内，需求量超过万件的月份是（ ）A. 5月、6月B. 6月、7月C. 7月、8月D. 8月、9月【答案】C 【解析】 【分析】现根据题意得到第n 个月时的需求量，再由需求量大于5得到n 的范围，进而得到结果.【详解】日用品从年初开始的个月内累计的需求量（单位：万件）大约是（）,则第个月的需求量为，故答案为：C.【点睛】这个题目考查了数列通项的求法中已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项；也考查了不含参的二次不等式的求法，较为基础.6.一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若，且这个四棱锥的体积，则这个四棱锥的侧面积（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图得到原图，根据边长关系和图形特点得到侧面积.【详解】根据三视图得到原图：底面边长为，高为h，体积为侧面积为4个三角形，，根据题目得到故侧面积为32.故答案为：B.【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.7.若，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据解析式得到函数的周期和对称轴，对称中心，进行估算，结合函数的单调性和图像得到结果.【详解】根据函数解析式得到函数的周期为，对称轴和对称中心为，估算，结合函数的图像可得到故答案为：A.【点睛】这个题目考查了三角函数的单调性的应用，以及函数的对称中心和对称轴的求解，题目难度中等.8.若与两个函数的图象有一条与直线平行的公共切线，则（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】先根据和曲线相切得到切线方程，再根据和二次函数相切得到参数值.【详解】设在函数处的切点设为（x,y）,根据导数的几何意义得到，故切点为（1，0），可求出切线方程为y=x-1,直线和也相切，故,化简得到,只需要满足故答案为：D.【点睛】求切线方程的方法：①求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.9.在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题是一个等可能事件的概率，在二项式（x+1）10的展开式中任取一项有11种结果，1和x系数都为1，只考虑二项式系数即可，写出二项式系数为1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1得到奇数4个，得到概率．【详解】有题意知本题是一个等可能事件的概率，在二项式（x+1）10的展开式中任取一项有11种结果，1和x 系数都为1，我们只考虑二项式系数即可．二项式系数为1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1得到奇数4个， ∴任取一项，该项的系数为奇数的概率p ＝故选：B ．【点睛】本题考查等可能事件的概率和二项式系数的特点，本题解题的关键是看出二项式的展开式中所有的二项式系数的值，本题比较特殊，因为二项式的系数等于项的系数． 10.直角坐标系中，双曲线（）与抛物线相交于、两点，若△是等边三角形，则该双曲线的离心率（ ）A. B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】根据题干得到点A 坐标为，代入抛物线得到坐标为，再将点代入双曲线得到离心率. 【详解】因为三角形OAB 是等边三角形，设直线OA 为，设点A 坐标为，代入抛物线得到x=2b,故点A 的坐标为，代入双曲线得到故答案为：D.【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围). 11.是球内接正四面体，若球的半径为，则（ ）A. B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】根据正四面体的各个棱长都相等，以及外接球这一条件得到，而由正四棱锥的结论得到外界球半径和棱长的关系，进而得到结果.【详解】根据正四面体的性质，以及外接球的半径都是1，OA=OB=OC=OD，故得到三角形OAB和三角形OBC，OAC，OAD是全等的三角形，则设四棱锥的边长为a,则外接球的半径为高的四分之三，高是棱的边长的本题中半径为1，棱长为，三角形OAB的顶角的余弦值为. 故答案为：B.【点睛】本题考查四面体的外接球问题，考查了空间想象能力，正四面体即各个侧棱都相等，各侧面都是等边三角形，它有很多性质，例如：外接球的半径是高的四分之三，内切球的半径是高的四分之一，对棱互相垂直.12.若直线与曲线在第一象限无交点，则正整数的最大值是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由导数研究函数的单调性可得：f（x）在为减函数，在为增函数，则f（x）min，由导数求曲线切线方程得：g（x）＝2+lnx﹣x,g′（x），易得g（x）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，设g（x）＝0的两根为x1，x2，不妨设x1＜x2，则4＜x2＜5，则m＝2+lnx2＝x2∈（3，4），由图可知，k＜m，即正整数k的最大值是3，得解．【详解】因为f（x）＝x+xlnx，所以f′（x）＝2+lnx，当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，则f（x）在为减函数，在为增函数，则f（x）min，设直线y＝m（x﹣1）与曲线y＝x+xlnx在第一象限切于点P（x0，y0），则切线方程为：y＝（2+lnx0）x﹣x0，又此直线过点（1，0），解得：2+lnx0﹣x o＝0，设g（x）＝2+lnx﹣xg′（x），易得g（x）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，设g（x）＝0的两根为x1，x2，不妨设x1＜x2，由g（3）＝ln3﹣1>0, g（4）＝ln4﹣2<0则3＜x2＜4，则m＝2+lnx2＝x2∈（3，4），由图可知，k＜m，即正整数k的最大值是3，故选：C．【点睛】这个题目考查了函数图像的交点问题，它和函数的零点问题是等价的；通过导数研究函数的单调性和极值，得到函数的单调性和图像的变化趋势，进而得到两个函数的图像的交点情况.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13.命题“在空间中，若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线”的逆否命题是_________．【答案】在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面【解析】【分析】根据逆否命题的写法得到结果即可.【详解】逆否命题是既否条件又否结论，在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面.故答案为：在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面.【点睛】这个题目考查了逆否命题的写法，题目较为简单.14.甲、乙、丙、丁、戊名学生进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”．从这个回答分析，人的名次排列可能有_________种不同的情况．（用数字作答）【答案】【解析】【分析】甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．【详解】由题意，甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有A33种排法．故共有3•3•A33=54种不同的情况．故答案为：54．【点睛】本题主要考查排列、组合与简单的计数问题，解决此类问题的关键是弄清完成一件事，是分类完成还是分步完成，是有顺序还是没有顺序，像这种特殊元素与特殊位置的要优先考虑．15.已知、、是锐角△内角、、的对边，是△的面积，若，，，则_________．【答案】【解析】【分析】根据三角形的面积公式得到角C的正弦值，进而得到角C的值，再由余弦定理得到边c的值.【详解】根据三角形面积公式得到，因为三角形为锐角三角形，故得到角C为，再由余弦定理得到故答案为：7.【点睛】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.16.在直角坐标系中，记表示的平面区域为，在中任取一点，的概率_________．【答案】【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，再由几何概率的计算公式得到结果.【详解】根据不等式组得到可行域为图中染色部分，满足的是黑色部分，在中任取一点，的概率黑色部分的面积除以总的染色面积，记直线的交点为,,,故答案为：.【点睛】这个题目考查了简单的线性规划的可行域的画法，以及几何概型的面积型的计算.在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列（）．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）弦化切求得方程的根可得到数列的通项；（2）通过第一问得到数列是周期为4的数列，通过观察列举得到和的规律，进而得到结果.【详解】（1）,解得，，，,依题意，，.（2）是周期的数列,，，，,，，，,从而，，……，所以是周期为4的数列,（）.【点睛】这个题目考查了数列的通项公示的求法以及数列的和的求法；采用的是观察法，得到数列的周期，进而得到数列的和.18.如左图，平面五边形中，，，将△沿折起，得到如右图的四棱锥．（1）证明：；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】(1)通过图中的集合关系得到，进而得到线线垂直；（2）建立空间坐标系得到直线的方向向量和面的法向量得到线面角.【详解】（1）取的中点，连接、。
2019届广东省江门市高三调研测试数学(理)试题 word版
2019届广东省江门市高三调研测试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|230}A x x x =+-<，{|21}xB x =≥，则AB =（ ）A ．(,3]-∞-B ．(,1]-∞C ．(3,0]-D ．[0,1) 2. i 是虚数单位，R 是实数集，a R ∈，若12a iR i+∈-，则a =（ ） A ．12 B ．12- C ．2 D ．-2 3.已知:0p a <；2:q a a >，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要4. e 是自然对数的底数，若1(,1)x e -∈，ln a x =，1()2xb =，xc e =，则（ ）A ．b c a >>B ．a b c >> C. c b a >> D ．c a b >> 5.若||1a =，||2b =，()(2)1a b a b +-=-，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．3π-B ．6π- C. 3π D ．6π 6.若抛物线22(0)y px p =>的焦点是双曲线222813x y p-=的右焦点，则此双曲线的离心率为（ ）A B 7.已知点(,)a b 在直线230x y ++=上运动，则24ab+有（ ）A ．最大值16B 最小值16 D 8.已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：①//m n ，//m α ⇒ //n α ②//αβ，//m n ， m α⊥⇒ n β⊥ ③m n ⊥，m α⊥⇒ //n α，或n α⊂ ④αβ⊥，//m α ⇒ m β⊥ 其中，正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．49.正项等比数列{}n a 的前n 项和n S ，若11a =，2635128a a a a +=，则下列结论正确的是（ ） A ．n N +∀∈，1n n S a +≤ B ．n N +∃∈，312n n n n a a a a ++++=+ C. n N +∀∈，12n n n a a a ++≤ D ．n N +∃∈，212n n n a a a +++= 10.已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，且其图像向左平移3π个单位后得到函数()cos g x x ω=的图像，则函数()f x 的图像（ ） A ．关于直线12x π=对称 B ．关于直线512x π=对称 C. 关于点(,0)12π对称 D ．关于点5(,0)12π对称 11.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱的长度为（ ）A ．4B ．3 C.．12.设m R ∈，函数22()()()xf x x m e m =-+-（e 是自然对数的底数），若存在0x 使得01()2f x ≤，则m =（ ） A ．14 B ．13 C. 12D ．1 第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.直线20x y +=被曲线222610x y x y +--+=所截得的弦长等于 ．14.已知实数,x y 满足约束条件2211x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩，若目标函数2z x ay =+仅在点(3,4)取得最小值，则a 的取值范围是 ．15.球O 是正方体1111ABCD A B C D -的外接球，若正方体1111ABCD A B C D -的表面积为1S ，球O 的表面积为2S ，则12S S = ． 16.已知函数cos ,[,0]2()(0,1]x x f x x π⎧∈-⎪=∈，若12()f x dx π-=⎰ ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2cos cos cos a A b C c B =+. （1）求A ；（2）若7,8a b ==，求c .18. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，n N +∀∈，11(21)44n n S n a =++. （1）求123,,a a a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法给予证明.19. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是菱形，1AB B C ⊥.（1）证明：1AC AB =； （2）若AB BC =，13CBB π∠=，12CAB π∠=，求直线1AB 与平面111A B C 所成角的正弦值.20. 在平面直角坐标系Oxy 中，(2,0)A -，(2,0)B ，P 为不在x 轴上的动点，直线PA 、PB 的斜率满足14PA PB k k =-.（1）求动点P 的轨迹Γ的方程；（2）若(3,0)T ，,M N 是轨迹Γ上两点，1MN k =，求TMN ∆面积的最大值. 21. 已知函数()ln f x x ax =-，a 是常数且a R ∈.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线经过点(1,0)-，求a 的值；（2）若10a e<<（e 是自然对数的底数），试证明：①函数()f x 有两个零点，②函数()f x 的两个零点12,x x 满足122x x e +>.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）证明：直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，并求点(1,2)M 到,A B 两点的距离之积. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()||2f x x a x =-+，a 是常数，且a R ∈. （1）求不等式()21f x x ≤+的解集；（2）若1x ≥-时恒有()0f x ≥，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DBACC 6-10:ADBAC 11、12：BC 二、填空题13. 4 14. (,2)-∞- 15. 2π16. 14π+三、解答题17.（1）由余弦定理222cos 2c a b B ac +-=，222cos 2a b c C ab+-=，得2cos cos acosA b C c B a =+= ∴1cos 2A =∵0A π<<，∴3A π=.（方法二）由正弦定理2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =， 得4sin cos 2sin cos 2sin cos 2sin()R A A R B C R C B R B C =+=+A B C π++=，所以1cos 2A =， ∵0A π<<，∴3A π=.（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得222178282c c =+-⨯⨯⨯ 即28150c c -+= 解得：3c =或5c =. 18.（1）分别取1,2,3n =得1113144S a a ==+，21225144S a a a =+=+，312337144S a a a a =++=+， 解得11a =，23a =，35a =. （2）猜想21n a n =-1n =时，由（1）知，11211a ==⨯-，猜想成立，假设()n k k N +=∈时，21k a k =-则1111111[(23)][(21)]4444k k k k k a S S k a k a +++=-=++-++111(23)(21)44k k k a k a +=+-+ 所以111(21)(21)44k k k a k a +-=+因为21k a k =-，所以1212(1)1k a k k +=+=+- 所以，1n k =+时21n a n =-成立， 综上所述，任意n N +∈，21n a n =-. 19.（1）连接1BC 交1B C 于点O ，连接AO ，∵四边形11BB C C 是菱形，∴11BC B C ⊥且O 为1B C 中点， ∵1AB B C ⊥，1ABBC B =，∴1B C ⊥平面1ABC ，AO ⊂平面1ABC ，∴1B C AO ⊥， O 为1B C 中点，AO 为1B C 的垂直平分线，∴1AC AB =.（2）不妨设2AB BC ==，则1BO C O =，11CO B O ==， ∵12CAB π∠=，∴1AO =，2224AB BO AO =+=，AO BO ⊥又1AO B C ⊥，1B C BO O =，∴AO ⊥平面11BB C C（方法一）以O 为原点，1,,OB OB OA 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系Oxyz ， 则(0,0,1)A，B ，1(0,1,0)B ，(0,1,0)C - 设平面ABC 的一个法向量为(,,)n a b c =，则30n AB a c n ACb c ⎧=-=⎪⎨=--=⎪⎩， b c -==，设(1,3,n =-，直线1AB 与平面111A B C 所成角的正弦值，即直线1AB 与平面ABC 所成角的正弦值为111|||cos ,|7||||2n AB n AB n AB <>=== （方法二）设点1B 到平面ABC 的距离为h ， 三棱锥1A BCB -的体积113BCB V S AO ∆=⨯⨯ 三棱锥1B ABC -的体积13ABCV S h ∆=⨯⨯ =，得h =直线1AB 与平面111A B C 所成角的正弦值，即直线1AB与平面ABC 所成角的正弦值为17h AB ==. 20.（1）设(,)P x y 为轨迹Γ上任意一点， 依题意，1224y y x x ⨯=-+-， 整理化简得：221(0)4x y y +=≠ （2）设:MN y x b =+由2214x y y x b⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2252(1)04x bx b ++-=，250b ∆=->设1122(,),(,)M x y N xy ，则1285x x b+=-，2124(1)5x x b =-，12|||MN x x=-=T 到直线MN 的距离d =TMN ∆的面积1||2S MN d =⨯⨯==设22()(3)(5)f x x x =+-，'()2(3)(1)(25)f x x x x =-+-+ 解'()0f x =，得1x =或52x =-或3x =-因为250b ∆=->，即'()0f x =有且仅有一个解1x =，TMN ∆165=. 21.（1）切线的斜率'(1)1k f a ==-(1)f a =-，(1)01(1)2f ak -==---解12aa -=-，得2a = （2）①解1'()0f x a x =-=，得1x a=当10x a <<时，'()0f x >；当1x a>时，'()0f x <，所以()f x 在1x a =处取得最大值1()ln 1f a a=--(1)0f a =-<，因为10a e <<，所以1()ln 10f a a =-->，()f x 在区间1(1,)a有零点，因为()f x 在区间1(0,)a 单调递增，所以()f x 在区间1(0,)a有唯一零点.由幂函数与对数函数单调性比较及()f x 的单调性知，()f x 在区间1(,)a+∞有唯一零点，从而函数()f x 有两个零点. ②不妨设1210x x a <<<，作函数2()()()F x f x f x a =--，20x a<<， 则1()0F a=，222(1)'()'()'()0(2)ax F x f x f x a x ax -=+-=≥- 所以11()()0F x F a <=，即112()()0f x f x a --<，112()()f x f x a->又12()()f x f x =，所以122()()f x f x a->因为1210x x a <<<，所以1221,(,)x x a a -∈+∞，因为()f x 在区间1(,)a+∞单调递减，所以122x x a -<，122x x a+>又10a e <<，1e a>，所以122x x e +>22.（1）由122x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数得直线l的普通方程为30x y +-=由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=（2）方法一：将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得22(1)(2)4(1)0+-=即210t -+=24140∆=-=>，方程有两个不同的根，即直线与曲线相交于两点由参数t 的几何意义得12||||||1MA MB t t ==（方法二）由224030x y x x y ⎧+-=⎨+-=⎩解得：x =，17y =，||||[1MA MB =+⨯-= 23.（1）依题意，||1x a -≤11x a -≤-≤，11a x a -≤≤+不等式的解集为{|11}x a x a -≤≤+（2）()0f x ≥即||20x a x -+≥等价于30x a x a ≥⎧⎨-≥⎩或0x ax a <⎧⎨+≥⎩等价于3x aa x ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩或x a x a <⎧⎨≥-⎩ 当0a ≥时，原不等式的解集为{|}x x a ≥{|}x a x a -≤<{|}x x a =≥-当0a <时，原不等式的解集为{|}3ax x ≥因为1x ≥-时，()0f x ≥恒成立，所以01a a ≥⎧⎨-≤-⎩或013a a <⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得1a ≥或3a ≤-，即a 的取值范围为(,3][1,)-∞-+∞（方法二）3,(),x a x af x x a x a-≥⎧=⎨+<⎩()f x 是单调递增函数，当1x ≥-时，()f x 的最小值为(1)|1|2f a -=+-()0f x ≥恒成立当且仅当|1|20a +-≥，即|1|2a +≥解得：1a ≥或3a ≤-，即a 的取值范围为(,3][1,)-∞-+∞.。
广东省江门市2019届高考模拟(第一次模拟)考试数学(理科)试题(解析版)
江门市2019年高考模拟考试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.是虚数单位，若是纯虚数，则实数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算法则得到复数的化简式子，再由实部为0得到结果.【详解】若是纯虚数，化简虚数得到，纯虚数即实部等于0即可，2m+2=0解得m=-1.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，以及实部和虚部的概念，题型较为基础.2.设集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由补集的概念得到，再由交集的概念得到结果即可.【详解】根据题干得到，则.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了集合的交集和补集的概念，题型较为基础.3.某地气象局把当地某月（共30天）每一天的最低气温作了统计，并绘制了如下图所示的统计图，假设该月温度的中位数为，众数为，平均数为，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】据众数的定义是出现次数最多的数据结合图求出众数；据中位数的定义：是将数据从小到大排中间的数，若中间是两个数，则中位数是这两个数的平均值；据平均值的定义求出平均值，比较它们的大小．【详解】由图知众数＝5由中位数的定义知，得分的中位数为m e，是第15个数与第16个数的平均值，由图知将数据从大到小排第15个数是5，第16个数是6，∴＝5.5，（2×3+3×4+10×5+6×3+3×7+2×8+2×9+2×10）＝5.97，∴＜m e＜，故答案为：D．【点睛】本题考查了众数，中位数与平均数，要注意中位数是中间两个数的平均数．4.直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知向量等式可知C在AB所在的直线上，由直线方程的两点式得答案．【详解】由，且λ+μ＝1，得＝，∴，即，则C、A、B三点共线．设C（x，y），则C在AB所在的直线上，∵A（2，1）、B（4，5），∴AB所在直线方程为，整理得：．故P的轨迹方程为：．故选：A.【点睛】本题考查共线向量基本定理的应用，考查轨迹方程的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．5.根据市场调查，预测某种日用品从年初开始的个月内累计的需求量（单位：万件）大约是（）．据此预测，本年度内，需求量超过万件的月份是（）A. 5月、6月B. 6月、7月C. 7月、8月D. 8月、9月【答案】C【解析】【分析】现根据题意得到第n个月时的需求量，再由需求量大于5得到n的范围，进而得到结果.【详解】日用品从年初开始的个月内累计的需求量（单位：万件）大约是（）,则第n个月的需求量为，故答案为：C.【点睛】这个题目考查了数列通项的求法中已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项；也考查了不含参的二次不等式的求法，较为基础.6.一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若，且这个四棱锥的体积，则这个四棱锥的侧面积（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图得到原图，根据边长关系和图形特点得到侧面积.【详解】根据三视图得到原图：，底面边长为，高为h，体积为侧面积为4个三角形，，根据题目得到故侧面积一共为32.故答案为：B.【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.7.若，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据解析式得到函数的周期和对称轴，对称中心，进行估算，结合函数的单调性和图像得到结果.【详解】根据函数解析式得到函数的周期为，对称轴和对称中心为，估算，结合函数的图像可得到故答案为：A.【点睛】这个题目考查了三角函数的单调性的应用，以及函数的对称中心和对称轴的求解，题目难度中等.8.若与两个函数的图象有一条与直线平行的公共切线，则（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】先根据和曲线相切得到切线方程，再根据和二次函数相切得到参数值.【详解】设在函数处的切点设为（x,y）,根据导数的几何意义得到，故切点为（1，0），可求出切线方程为y=x-1,直线和也相切，故,化简得到,只需要满足故答案为：D.【点睛】求切线方程的方法：①求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.9.在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题是一个等可能事件的概率，在二项式（x+1）10的展开式中任取一项有11种结果，1和x系数都为1，只考虑二项式系数即可，写出二项式系数为1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1得到奇数4个，得到概率．【详解】有题意知本题是一个等可能事件的概率，在二项式（x+1）10的展开式中任取一项有11种结果，1和x系数都为1，我们只考虑二项式系数即可．二项式系数为1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1得到奇数4个，∴任取一项，该项的系数为奇数的概率p＝故选：B．【点睛】本题考查等可能事件的概率和二项式系数的特点，本题解题的关键是看出二项式的展开式中所有的二项式系数的值，本题比较特殊，因为二项式的系数等于项的系数．10.直角坐标系中，双曲线（）与抛物线相交于、两点，若△是等边三角形，则该双曲线的离心率（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题干得到点A坐标为，代入抛物线得到坐标为，再将点代入双曲线得到离心率.【详解】因为三角形OAB是等边三角形，设直线OA为，设点A坐标为，代入抛物线得到x=2b,故点A的坐标为，代入双曲线得到故答案为：D.【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围).11.是球内接正四面体，若球的半径为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据正四面体的各个棱长都相等，以及外接球这一条件得到，而由正四棱锥的结论得到外界球半径和棱长的关系，进而得到结果.【详解】根据正四面体的性质，以及外接球的半径都是1，OA=OB=OC=OD，故得到三角形OAB和三角形OBC，OAC，OAD是全等的三角形，则设四棱锥的边长为a,则外接球的半径为高的四分之三，高是棱的边长的本题中半径为1，棱长为，三角形OAB的顶角的余弦值为.故答案为：B.【点睛】本题考查四面体的外接球问题，考查了空间想象能力，正四面体即各个侧棱都相等，各侧面都是等边三角形，它有很多性质，例如：外接球的半径是高的四分之三，内切球的半径是高的四分之一，对棱互相垂直. 12.若直线与曲线在第一象限无交点，则正整数的最大值是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】函数图像无交点转化为函数和x轴无交点，对函数求导得到函数的单调性和图像的变化趋势，进而得到结果.【详解】直线与曲线在第一象限无交点,即函数和x轴无交点，是增函数，导函数存在一个零点为，函数在，使得函数和轴没有交点只需要依次代入k=1,2,3,均满足不等式，k=4不再满足不等式，因为对数的变化非常快，故从4之后也没有满足题意的值.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了函数图像的交点问题，它和函数的零点问题是等价的，将图像的交点转化为函数的零点；通过导数研究函数的单调性和极值，进而得到函数的大致变化趋势，得到结果.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13.命题“在空间中，若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线”的逆否命题是_________．【答案】在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面【解析】【分析】根据逆否命题的写法得到结果即可.【详解】逆否命题是既否条件又否结论，在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面.故答案为：在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面.【点睛】这个题目考查了逆否命题的写法，题目较为简单.14.甲、乙、丙、丁、戊名学生进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”．从这个回答分析，人的名次排列可能有_________种不同的情况．（用数字作答）【答案】【解析】【分析】甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．【详解】由题意，甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有A33种排法．故共有3•3•A33=54种不同的情况．故答案为：54．【点睛】本题主要考查排列、组合与简单的计数问题，解决此类问题的关键是弄清完成一件事，是分类完成还是分步完成，是有顺序还是没有顺序，像这种特殊元素与特殊位置的要优先考虑．15.已知、、是锐角△内角、、的对边，是△的面积，若，，，则_________．【答案】【解析】【分析】根据三角形的面积公式得到角C的正弦值，进而得到角C的值，再由余弦定理得到边c的值.【详解】根据三角形面积公式得到，因为三角形为锐角三角形，故得到角C为，再由余弦定理得到故答案为：7.【点睛】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.16.在直角坐标系中，记表示的平面区域为，在中任取一点，的概率_________．【答案】【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，再由几何概率的计算公式得到结果.【详解】根据不等式组得到可行域为：图中染色部分，满足的是黑色部分，在中任取一点，的概率黑色部分的面积除以总的染色面积，故答案为：.【点睛】这个题目考查了简单的线性规划的可行域的画法，以及几何概型的面积型的计算.在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列（）．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）弦化切求得方程的根可得到数列的通项；（2）通过第一问得到数列是周期为4的数列，通过观察列举得到和的规律，进而得到结果.【详解】（1）,解得，，，,依题意，，.（2）是周期的数列,，，，,，，，,从而，，……，所以是周期为4的数列,（）.【点睛】这个题目考查了数列的通项公示的求法以及数列的和的求法；采用的是观察法，得到数列的周期，进而得到数列的和.18.如左图，平面五边形中，，，将△沿折起，得到如右图的四棱锥．（1）证明：；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】(1)通过图中的集合关系得到，进而得到线线垂直；（2）建立空间坐标系得到直线的方向向量和面的法向量得到线面角.【详解】（1）取的中点，连接、。
广东省江门市2019届高三第一次模拟考试数学(理)试题 含解析
江门市2019年高考模拟考试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.是虚数单位，若是纯虚数，则实数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算法则得到复数的化简式子，再由实部为0得到结果.【详解】若是纯虚数，化简虚数得到，纯虚数即解得m=-1.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，以及实部和虚部的概念，题型较为基础.2.设集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由补集的概念得到，再由交集的概念得到结果即可.【详解】根据题干得到，则.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了集合的交集和补集的概念，题型较为基础.3.某地气象局把当地某月（共30天）每一天的最低气温作了统计，并绘制了如下图所示的统计图，假设该月温度的中位数为，众数为，平均数为，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】据众数的定义是出现次数最多的数据结合图求出众数；据中位数的定义：是将数据从小到大排中间的数，若中间是两个数，则中位数是这两个数的平均值；据平均值的定义求出平均值，比较它们的大小．【详解】由图知众数＝5由中位数的定义知，得分的中位数为m e，是第15个数与第16个数的平均值，由图知将数据从大到小排第15个数是5，第16个数是6，∴＝5.5，（2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10） 5.97，∴＜m e＜，故答案为：D．【点睛】本题考查了众数，中位数与平均数，要注意中位数是中间两个数的平均数．4.直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知向量等式可知C在AB所在的直线上，由直线方程的两点式得答案．【详解】由，且λ+μ＝1，得＝，∴，即，则C、A、B三点共线．设C（x，y），则C在AB所在的直线上，∵A（2，1）、B（4，5），∴AB所在直线方程为，整理得：．故P的轨迹方程为：．故选：A.【点睛】本题考查共线向量基本定理的应用，考查轨迹方程的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．5.根据市场调查，预测某种日用品从年初开始的个月内累计的需求量（单位：万件）大约是（）．据此预测，本年度内，需求量超过万件的月份是（）A. 5月、6月B. 6月、7月C. 7月、8月D. 8月、9月【答案】C【解析】【分析】现根据题意得到第n个月时的需求量，再由需求量大于5得到n的范围，进而得到结果.【详解】日用品从年初开始的个月内累计的需求量（单位：万件）大约是（）,则第个月的需求量为，故答案为：C.【点睛】这个题目考查了数列通项的求法中已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项；也考查了不含参的二次不等式的求法，较为基础.6.一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若，且这个四棱锥的体积，则这个四棱锥的侧面积（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图得到原图，根据边长关系和图形特点得到侧面积.【详解】根据三视图得到原图：底面边长为，高为h，体积为侧面积为4个三角形，，根据题目得到故侧面积为32.故答案为：B.【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.7.若，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据解析式得到函数的周期和对称轴，对称中心，进行估算，结合函数的单调性和图像得到结果. 【详解】根据函数解析式得到函数的周期为，对称轴和对称中心为，估算，结合函数的图像可得到故答案为：A.【点睛】这个题目考查了三角函数的单调性的应用，以及函数的对称中心和对称轴的求解，题目难度中等.8.若与两个函数的图象有一条与直线平行的公共切线，则（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】先根据和曲线相切得到切线方程，再根据和二次函数相切得到参数值.【详解】设在函数处的切点设为（x,y）,根据导数的几何意义得到，故切点为（1，0），可求出切线方程为y=x-1,直线和也相切，故,化简得到,只需要满足故答案为：D.【点睛】求切线方程的方法：①求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.9.在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题是一个等可能事件的概率，在二项式（x+1）10的展开式中任取一项有11种结果，1和x系数都为1，只考虑二项式系数即可，写出二项式系数为1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1得到奇数4个，得到概率．【详解】有题意知本题是一个等可能事件的概率，在二项式（x+1）10的展开式中任取一项有11种结果，1和x系数都为1，我们只考虑二项式系数即可．二项式系数为1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1得到奇数4个，∴任取一项，该项的系数为奇数的概率p＝故选：B．【点睛】本题考查等可能事件的概率和二项式系数的特点，本题解题的关键是看出二项式的展开式中所有的二项式系数的值，本题比较特殊，因为二项式的系数等于项的系数．10.直角坐标系中，双曲线（）与抛物线相交于、两点，若△是等边三角形，则该双曲线的离心率（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题干得到点A坐标为，代入抛物线得到坐标为，再将点代入双曲线得到离心率.【详解】因为三角形OAB是等边三角形，设直线OA为，设点A坐标为，代入抛物线得到x=2b,故点A的坐标为，代入双曲线得到故答案为：D.【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).11.是球内接正四面体，若球的半径为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据正四面体的各个棱长都相等，以及外接球这一条件得到，而由正四棱锥的结论得到外界球半径和棱长的关系，进而得到结果.【详解】根据正四面体的性质，以及外接球的半径都是1，OA=OB=OC=OD，故得到三角形OAB和三角形OBC，OAC，OAD是全等的三角形，则设四棱锥的边长为a,则外接球的半径为高的四分之三，高是棱的边长的本题中半径为1，棱长为，三角形OAB的顶角的余弦值为.故答案为：B.【点睛】本题考查四面体的外接球问题，考查了空间想象能力，正四面体即各个侧棱都相等，各侧面都是等边三角形，它有很多性质，例如：外接球的半径是高的四分之三，内切球的半径是高的四分之一，对棱互相垂直.12.若直线与曲线在第一象限无交点，则正整数的最大值是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由导数研究函数的单调性可得：f（x）在为减函数，在为增函数，则f（x）min，由导数求曲线切线方程得：g（x）＝2+lnx﹣x,g′（x），易得g（x）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，设g（x）＝0的两根为x1，x2，不妨设x1＜x2，则4＜x2＜5，则m＝2+lnx2＝x2∈（3，4），由图可知，k＜m，即正整数k的最大值是3，得解．【详解】因为f（x）＝x+xlnx，所以f′（x）＝2+lnx，当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，则f（x）在为减函数，在为增函数，则f（x）min，设直线y＝m（x﹣1）与曲线y＝x+xlnx在第一象限切于点P（x0，y0），则切线方程为：y＝（2+lnx0）x﹣x0，又此直线过点（1，0），解得：2+lnx0﹣x o＝0，设g（x）＝2+lnx﹣xg′（x），易得g（x）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，设g（x）＝0的两根为x1，x2，不妨设x1＜x2，由g（3）＝ln3﹣1>0, g（4）＝ln4﹣2<0则3＜x2＜4，则m＝2+lnx2＝x2∈（3，4），由图可知，k＜m，即正整数k的最大值是3，故选：C．【点睛】这个题目考查了函数图像的交点问题，它和函数的零点问题是等价的；通过导数研究函数的单调性和极值，得到函数的单调性和图像的变化趋势，进而得到两个函数的图像的交点情况.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13.命题“在空间中，若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线”的逆否命题是_________．【答案】在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面【解析】【分析】根据逆否命题的写法得到结果即可.【详解】逆否命题是既否条件又否结论，在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面.故答案为：在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面.【点睛】这个题目考查了逆否命题的写法，题目较为简单.14.甲、乙、丙、丁、戊名学生进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”．从这个回答分析，人的名次排列可能有_________种不同的情况．（用数字作答）【答案】【解析】【分析】甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．【详解】由题意，甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有A33种排法．故共有3•3•A33=54种不同的情况．故答案为：54．【点睛】本题主要考查排列、组合与简单的计数问题，解决此类问题的关键是弄清完成一件事，是分类完成还是分步完成，是有顺序还是没有顺序，像这种特殊元素与特殊位置的要优先考虑．15.已知、、是锐角△内角、、的对边，是△的面积，若，，，则_________．【答案】【解析】【分析】根据三角形的面积公式得到角C的正弦值，进而得到角C的值，再由余弦定理得到边c的值. 【详解】根据三角形面积公式得到，因为三角形为锐角三角形，故得到角C为，再由余弦定理得到故答案为：7.【点睛】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.16.在直角坐标系中，记表示的平面区域为，在中任取一点，的概率_________．【答案】【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，再由几何概率的计算公式得到结果.【详解】根据不等式组得到可行域为图中染色部分，满足的是黑色部分，在中任取一点，的概率黑色部分的面积除以总的染色面积，记直线的交点为,,,故答案为：.【点睛】这个题目考查了简单的线性规划的可行域的画法，以及几何概型的面积型的计算.在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列（）．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2） .【解析】【分析】（1）弦化切求得方程的根可得到数列的通项；（2）通过第一问得到数列是周期为4的数列，通过观察列举得到和的规律，进而得到结果.【详解】（1） ,解得，，， ,依题意，，.（2）是周期的数列 ,，，， ,，，， ,从而，，……，所以是周期为4的数列,（）.【点睛】这个题目考查了数列的通项公示的求法以及数列的和的求法；采用的是观察法，得到数列的周期，进而得到数列的和.18.如左图，平面五边形中，，，将△沿折起，得到如右图的四棱锥．（1）证明：；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2） .【解析】【分析】(1)通过图中的集合关系得到，进而得到线线垂直；（2）建立空间坐标系得到直线的方向向量和面的法向量得到线面角.【详解】（1）取的中点，连接、。
广东省江门市2019-2020学年高三第二次模拟考试数学(理)试题Word版含答案
6 23 正视图俯视图左视图图1绝密★启用前广东省江门市2019-2020学年高三第二次模拟考试数学（理）试题本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）函数()1lg(63)f x x x =+-的定义域为（A ）(,2)-∞ （B ）(2,)+∞ （C ）[1,2)- （D ）[1,2]- （2）已知复数iia z 213++=(R a ∈，i 是虚数单位)是纯虚数，则||z 为 （A ）32（B ）152（C ）6 （D ）3（3）“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）已知1sin cos 3αα-=，则cos(2)2πα-= （A ）89-（B ）23 （C ）89（D 17（5）已知01a b c <<<<，则（A ）baa a >（B ）abc c >（C ）log log a b c c > （D ）log log b b c a >（6）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图1所示（单位：升），则此量器的体积为（单位：立方升） （A ）14（B ）212π+（C ）π+12（D ）π238+（7）设计如图2的程序框图，统计高三某班59位同学的数学平均分，输出不少于平均分的人数 （用j 表示），则判断框中应填入的条件是 （A ）?58<i （B ）?58≤i （C ）?59<j（D ）?59≤j（8）某微信群中四人同时抢3 则其中甲、乙两人都抢到红包的概率为（A ）14 （B ）34 （C ）53 （D ）21（9）已知实数,x y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-+≥+-a y y x y x 003202，若y x z 2-=的最小值为-3，则a 的值为（A ）1（B ）23 （C ）2（D ）37（10）函数xx x f )21()(2-=的大致图象是（A ） （B ） （C ） （D ）（11）已知一长方体的体对角线的长为10，这条对角线在长方体一个面上的正投影长为8，则这个长方体体积的最大值为（A ）64 （B ）128 （C ）192 （D ）384 （12）已知函数)0(21sin 212sin)(2>-+=ωωωx xx f ，R x ∈.若)(x f 在区间)2,(ππ内有零点，则ω的取值范围是O P QQD E F COBAP 图4图3F E DBCA（A ）155(,)(,)484+∞U （B ）)1,85[]41,0(Y （C ）1155(,)(,)8484U （D ）115(,)(,)848+∞U第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题:第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题:第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）已知向量(1,2),(2,1)a x b x =-=-r r 满足||||a b a b ⋅=-⋅r r u u r r，则 x = .（14）已知直线3460x y --=与圆2220()x y y m m R +-+=∈相切，则m 的值为 .（15）在△ABC 中，已知AB u u u r 与BC uuur 的夹角为150°，||2AC =u u u r ，则||AB uuu r 的取值范围是 .（16）已知双曲线2221(0)4x y b b-=>1F 、2F 是双曲线的两个焦点，A 为左顶点、B (0,)b ，点P 在线段AB 上，则12PF PF ⋅u u u r u u u u r的最小值为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，1)1(21+++=+n na n a nn ． （I ）求证：数列}1{+nan 是等比数列；（II ）求数列}{n a 的前n 项和为n S ． (18)（本小题满分12分）已知图3中，四边形 ABCD 是等腰梯形，CD AB //，CD EF //，O 、Q 分别为线段AB 、CD 的中点，OQ 与EF 的交点为P ，OP =1，PQ =2，现将梯形ABCD 沿EF 折起，使得3=OQ ，连结AD 、BC ，得一几何体如图4示．(Ⅰ)证明：平面ABCD ⊥平面ABFE ；(Ⅱ)若图3中，45A ∠=o，CD=2，求平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值． （19）（本小题满分12分）某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智 力游戏，游戏共五关．规定第一关没过者没奖励，过n*)(N n ∈关者奖励12-n 件小奖品（奖品都一样）．图5是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估计概率．(Ⅰ)估计小明在1次游戏中所得奖品数的期望值； (Ⅱ)估计小明在3 次游戏中至少过两关的平均次数； (Ⅲ)估计小明在3 次游戏中所得奖品超过30件的概率． （20）(本小题满分12分)已知椭圆()012222>>=+b a by a x 与抛物线)0(22>=p px y 共焦点2F ，抛物线上的点M 到y 轴的距离等于2||1MF -，且椭圆与抛物线的交点Q 满足25||2=QF ． （I ）求抛物线的方程和椭圆的方程；（II ）过抛物线上的点P 作抛物线的切线=+y kx m 交椭圆于A 、B 两点，设线段AB 的中点为),(00y x C ，求0x 的取值范围．(21)（本小题满分12分）设函数2)()(a x x f -=（a R ∈），x x g ln )(=，(Ⅰ) 试求曲线)()()(x g x f x F +=在点))1(,1(F 处的切线l 与曲线)(x F 的公共点个数； (Ⅱ) 若函数)()()(x g x f x G ⋅=有两个极值点，求实数a 的取值范围． （附：当0<a ，x 趋近于0时，xax -ln 2趋向于∞+） 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． (22) (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：x y ⋅=αtan （πα<≤0，2πα≠），抛物线C ：⎩⎨⎧-==ty t x 22（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l 1 和抛物线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 1 和抛物线C 相交于点A （异于原点O ），过原点作与l 1垂直的直线l 2，l 2和抛物线C 相交于点B （异于原点O ），求△OAB 的面积的最小值．(23) (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x =-． （Ⅰ）求不等式()1f x ≤的解集A ；（Ⅱ）当,m n A ∈时，证明：1m n mn +≤+．广东省江门市2019-2020学年高三第二次模拟考试数学（理）试题参考答案一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：解析：（6）易得该几何体为一底面半径为2、高为2的圆柱与一长、宽、高分别为4、3、1的长方体的组合，故其体积为： 21()24311222ππ⨯⨯+⨯⨯=+.（8）3个红包分配给四人共有34A 种分法，“甲、乙两人都抢到红包”指从3个红包中选2个分配给甲、乙，其余1个分配给另外二人，其概率为2213223432214322C A A A ⋅⨯⨯==⨯⨯． （9）如右图，当直线y x z 2-=过点(2,)A a a -时，z 取得最小值，即2231a a a --=-⇒=.（10）由(0)1f =-可排除（D ），由044)2(=-=-f ，01616)4(=-=-f ，可排（A ）（C ），故选（B ）. （11）以投影面为底面，6=，设长方体底面边长分别为,a b ，则2264a b +=，6V ab =223()192a b ≤+=．(12) 1cos sin 1())22224x x f x x ωωπω-=+-=-，由(41)()0()4k f x x k Z πω+=⇒=∈令2ω=得函数)(x f 有一零点98x π=(,2)ππ∈，排除（B ）、（C ），令38ω=得函数()f x 在(0,)+∞上的零点从小到大为：12210,,33x x ππ==L ，显然1x ∉)2,(ππ，2x ∉)2,(ππ可排除（A ），故答案为（D ） 【法二：)4sin(22)(πω-=x x f ，由0)(=x f 得ππωk x =-4，当)2,(ππ∈x 时，)42,4(4πωππωππω--∈-x ，由题意知存在Z k ∈，)42,4(πωππωππ--∈k ，即)412,41(--∈ωωk ，所以41)41(21+<<+k k ω，由0>ω知0≥k ，当Λ,2,1,0=k 时，4181<<ω，4585<<ω，4989<<ω，…，所以选D ．】 二、填空题：(15) 由AB u u u r 与BC uuu r 的夹角为150°知30B ∠=o,由正弦定理得： ||||4sin sin 30AB AC C ==ou u u r u u u r||4sin AB C ⇒=u u u r ,又0150C <<o得0||4AB <≤u u u r . （16）易得1c b ==，设(,)P x y 则12(,),)PF PF x y x y ⋅=-⋅-u u u r u u u u r225x y =+-， 显然，当OP AB ⊥时，22x y +取得最小值， 由面积法易得22min4()5x y +=，故12PF PF ⋅u u u r u u u u r 的最小值为421555-=-.三、解答题：（17）解：（I ）证法1：由已知得1211+⋅=++nan a n n ，-----------------------------1分 ∴)1(2111+=+++nan a n n ，--------------------------------------------------------3分 又211=+a ，得01≠+n a n ，∴21111=++++na n a nn ，---------------------------------------5分 ∴数列}1{+na n是首项为2，公比为2的等比数列．-----------------------6分 【证法2：由1)1(21+++=+n na n a nn 得12(1)(1)n n na n a n n +=+++，----------------1分 由01>a 及递推关系，可知0>n a ，所以01≠+na n， ∴111(1)2(1)2(1)12(1)(1)(1)(1)1n n n n n n a na n n n a n n n a n a n n n a n n n+++++++++===+++++++，------------------5分∴数列}1{+n an 是首项为2，公比为2的等比数列．----------------------------------6分】（II ）由（I ）得n n n na 22211=⋅=+-，∴n n a n n -⋅=2，---------------------------8分Q D E F COBAP23122232(1)22n n n S n n -=+⨯+⨯++-+⋅L ])1(321[n n +-++++-Λ，设23122232(1)22n nn T n n -=+⨯+⨯++-+⋅L ，-------------① 则2341222232(1)22n n n T n n +=+⨯+⨯++-+⋅L ，---------②①式减去②式得23122222n n n T n +-=++++-⋅L12(12)212n n n +-=-⋅-22)1(1---=+n n ，得22)1(1+-=+n n n T ，------------------------------------------------------------------10分又(1)123(1)2n n n n +++++-+=L ， ∴1(1)(1)222n n n n S n ++=--+．-----------------------------------------------------12分 （18）解：(Ⅰ)证明：在图3中，四边形ABCD 为等腰梯形，O 、Q 分别为线段AB 、CD 的中点，∴OQ 为等腰梯形ABCD 的对称轴，又AB//CD EF //， ∴OP ⊥EF 、PQ ⊥EF ，①---------------------2分在图4中，∵222PQ OP OQ =+，∴OP OQ ⊥--------------3分由①及P PQ OP =I ，得EF ⊥平面OPQ ，∴EF ⊥OQ ，----------------4分 又OP EF P =I ，∴OQ ⊥平面ABFE ，----------------------------------5分又⊂OQ 平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ABFE ；-------------------------------------6分 (Ⅱ)在图4中，由45A ∠=o，CD=2，易得PE=PF=3，AO=OB=4，----------------7分以O 为原点，PO 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系xyz O -，如图所示， 则)0,4,0(B 、)0,3,1(-F、C得)0,1,1(--=BF，(0,BC =-u u u r-------8分 设(,,)m x y z =r是平面BCF 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥BC m BF m ρρ，得030m BF x y m BC y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u r r u u u r r ， 取z =3，得(m =u r ---------9分同理可得平面ADE的一个法向量(n =r-------------------------------------10分 设所求锐二面角的平面角为θ，则|||||||,cos |cos n m n m n m ρρρρρρ⋅⋅=><=θ35= 所以平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值为35．-------------------------------12分 （19）解：(Ⅰ)设小明在1次游戏中所得奖品数为ξ，则ξ的分布列为-------------------2分ξ的期望值41.0161.082.043.022.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ；----------------4分(Ⅱ)小明在1 次游戏中至少过两关的概率为0.7，-----------------------------5分 设小明在3 次游戏中至少过两关的次数为X ，可知)7.0,3(~B X ，则X 的平均次数1.27.03)(=⨯=X E ；------------------------------------------7分(Ⅲ)小明在3 次游戏中所得奖品超过30件含三类：恰好一次16=ξ和两次8=ξ，恰好二次16=ξ，恰好三次16=ξ，---------------------------------------------------------------8分213)8()16(=⋅=ξξP P C 003.01.01.032=⨯⨯=，---------------------------------9分)16()16(223≠⋅=ξξP P C =027.0)1.01(1.032=-⨯⨯，------------------------10分333)16(=ξP C 001.01.03==------------------------------------------------------------11分所以小明在3 次游戏中所得奖品超过30件的概率为031.0001.0027.0003.0=++．------12分 （20）解：（I ）∵抛物线上的点M 到y 轴的距离等于2||1MF -，∴点M 到直线1-=x 的距离等于点M 到焦点2F 的距离，----------------1分 得1-=x 是抛物线px y 22=的准线，即12-=-p， 解得2=p ，∴抛物线的方程为x y 42=；-----------------------------------3分 可知椭圆的右焦点)0,1(2F ，左焦点)0,1(1-F ， 由25||2=QF 得251=+Q x ，又Q Q x y 42=，解得)6,23(±Q ，-------4分 由椭圆的定义得||||221QF QF a +=62527=+=，----------------------5分 ∴3=a ，又1=c ，得8222=-=c a b ，∴椭圆的方程为18922=+y x ．-----------------------------------------------------6分 （II ）显然0≠k ，0≠m ，由⎩⎨⎧=+=xy m kx y 42，消去x ，得0442=+-m y ky ， 由题意知01616=-=∆km ，得1=km ，-----------------------------------7分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=18922y x m kx y ，消去y ，得072918)89(222=-+++m kmx x k ， 其中4)18(22-=∆km 0)729)(89(22>-+m k ，化简得08922>+-m k ，-------------------------------------------------------9分又mk 1=，得09824<--m m ，解得902<<m ，--------------------10分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则89922210+-=+=k x x x <0， 由91122>=mk ，得10->x ，∴0x 的取值范围是)0,1(-．--------------12分（21）解：（Ⅰ）∵2)1()1(a F -=，xa x x F 1)(2)('+-=，切线l 的斜率为a F 23)1('-=，---------------------------------------------1分∴切线l 的方程为)1)(23()1(2--=--x a a y ，即2)23(2-+-=a x a y ，-----2分联立x a x x F y ln )()(2+-==，得02ln 32=++-x x x ；设2ln 3)(2++-=x x x x h ，则x x x h 132)('+-=xx x )1)(12(--=，----------3分 由0)('>x h 及0>x ，得210<<x 或1>x ， ∴)(x h 在)21,0(和),1(∞+上单调递增，可知)(x h 在)1,21(上单调递减，----4分 又0)1(=h ，031)1(242<-=ee e h ，所以∈∃0x )21,0(，0)(0=x h ，-----------5分∴方程02ln 32=++-x x x 有两个根：1和0x ，从而切线l 与曲线)(x F 有两个公共点．--6分 (Ⅱ)由题意知0)1ln 2)(()('=-+-=xax a x x G 在),0(∞+至少有两不同根，----------------7分 设xa x x r -+=1ln 2)(， ①当0>a 时，a x =1是0)('=x G 的根，由1ln 2+=x y 与x a y =（0>a ）恰有一个公共点，可知01ln 2=-+xax 恰有一根2x ， 由a x x ==12得a =1，不合题意，∴当0>a 且1≠a 时，检验可知a x =1和2x 是)(x G 的两个极值点；-----------------8分 ②当0=a 时，0)1ln 2()('=+=x x x G 在),0(∞+仅一根，所以0=a 不合题意；--9分③当0<a 时，需01ln 2)(=-+=xax x r 在),0(∞+至少有两不同根， 由02)('2>+=x a x x r ，得2a x ->，所以)(x r 在),2(∞+-a上单调递增，可知)(x r 在)2,0(a-上单调递减，因为0<a ，x 趋近于0时，)(x r 趋向于∞+，且1>x 时，0)(>x r ，由题意知，需0)(min<x r ，即03)2ln(2)2(<+-=-aa r ，解得232-->e a ，------11分∴0223<<--a e．综上知，32(2,0)(0,1)(1,)a e -∈-+∞U U ．---------------------------------------------------12分选做题：（22）解：（Ⅰ）可知l 1是过原点且倾斜角为α的直线，其极坐标方程为αθ=(,)2R παρ≠∈---------------------------------------------------------2分抛物线C 的普通方程为x y 42=，-------------------------------------------3分 其极坐标方程为θρθρcos 4)sin (2=，化简得θθρcos 4sin 2=．-----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）解法1：由直线l 1 和抛物线C 有两个交点知0α≠，把αθ=代入θθρcos 4sin 2=，得ααρ2sin cos 4=A ，-----------------6分可知直线l 2的极坐标方程为2παθ+=)(R ∈ρ，-----------------------7分代入θθρcos 4sin 2=，得ααρsin 4cos 2-=B ，所以ααρ2cos sin 4-=B ，----8分 ||||21||||21B A OAB OB OA S ρρ⋅=⋅=∆|cos sin 2|16αα=16|2sin |16≥=α， ∴△OAB 的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分【解法2：设1l 的方程为(0)y kx k =≠，由24,.y x y kx ⎧=⎨=⎩得点244(,)A k k ，------6分依题意得直线2l 的方程为1y x k=-，同理可得点2(4,4)B k k -，-------------7分故1||||2OAB S OA OB ∆=⋅=分21816||k k +==⋅≥，（当且仅当1k =±时，等号成立） ∴△OAB 的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分】 （23）解：（Ⅰ）由211x -≤，得1211x -≤-≤，即||1x ≤，--------------3分解得11x -≤≤，所以[]1,1A =-；----------------------------------------------5分（Ⅱ）法一：()22222211m n mn m n m n +-+=+--()()2211m n =--------------------------------------7分因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，210m -≤，210n -≤，--------8分 故()()22110m n ---≤，()221m n mn +≤+又显然10mn +≥，故1m n mn +≤+．-------------------------------------------------1 0分【法二：因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，----------------6分而()()()1110m n mn m n +-+=--≤------------------------------7分()()()1110m n mn m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦，-------------------------8分即()11mn m n mn -+≤+≤+，故1m n mn +≤+．------------------------------------10分】。
2019广东省江门市一模数学理科word精校版
江门市2019年高考模拟考试数学（理科）试卷 第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．在答题卷上相应题目的答题区域内作答． 1．i 是虚数单位，若i im ++22是纯虚数，则实数=m （ ） A ．1B ．1-C ．4D ．4-2．设集合}5,4,3,2,1{=U ，}4,2,1{=A ，}5,2{=B ，则=)(B C A U （ ）A ．}2{B ．}5{C ．}4,1{D ．}4,2{3．某地气象局把当地某月（共30天）每一天的最低气温作了统计，并绘制了如下图所示的统计图，假设该月温度的中位数为c m ，众数为0m ，平均数为x ，则（ ）A ．x m m c ==0B ．x m m c <=0C ．x m m c <<0D ．x m m c <<04．直角坐标系xOy 中，已知两点)5,4(),1,2(B A ，点C 满足OB OA OC μλ+=，其中R ∈μλ,，且1=+μλ．则点C 的轨迹方程为（ ）A ．32-=x yB ．1+=x yC ．92=+y xD ．5)3()3(22=-+-y x5．根据市场调查，预测某种日用品从年初开始的n 个月内累计的需求量n S （单位：万件）大约是)12,,2,1)(521(272 =--=n n n nS n ．据此预测，本年度内，需求量超过5万件的月份是（ ） A ．5月、6月B ．6月、7月C ．7月、8月D ．8月、9月6．一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若22=a ，且这个四棱锥的体积16=V ，则这个四棱锥的侧面积=S （ ）A ．16B ．32C ．64D ．23232+7．若)42sin()(π-=x x f ，则（ ）A ．)3()2()1(f f f >>B ．)1()2()3(f f f >>C ．)3()1()2(f f f >>D ．)2()3()1(f f f >>8．若x x f ln )(=与ax x x g +=2)(两个函数的图象有一条与直线x y =平行的公共切线，则=a （ ）A ．1B ．2C ．3D ．3或1-9．在二项式10)1(x +的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是（ ）A ．52 B ．114 C ．115 D ．116 10．直角坐标系xOy 中，双曲线)0,(12222>=-b a by a x 与抛物线bx y 22=相交于B A ,两点，若OAB ∆是等边三角形，则该双曲线的离心率=e （ ）A ．34B ．45 C ．56 D ．67 11．ABCD 是球O 内接正四面体，若球O 的半径为1，则=+⋅+)()(OD OC OB OA （ ）A ．34B ．34-C ．31D ．31-12．若直线)1(-=x k y 与曲线x x x y ln +=在第一象限无交点，则正整数k 的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅰ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答． 13．命题“在空间中，若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线”的逆否命题是_________．14．甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”．从这个回答分析，5人的名次排列可能有_________种不同的情况．（用数字作答） 15．已知c b a ,,是锐角ABC ∆内角C B A ,,的对边，S 是ABC ∆的面积，若310,5,8===S b a ，则=c _________． 16．在直角坐标系xOy 中，记⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥1020y x y x x 表示的平面区域为Ω，在Ω中任取一点),(00y x M ，1300≥-y x 的概率=P _________．三、解答题：共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分．17．已知函数xx x x x f 222sin cos 1)cos (sin )(--+=，方程3)(=x f 在),0(+∞上的解按从小到大的顺序排成数列)}({*N ∈n a n ． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n n a b sin =，求数列}{n b 的前n 项和n S ．18．如左图，平面五边形ABCDE 中，︒=∠=∠=∠=∠90CDE E BAD B ，AE DE CD ==，将ADE ∆沿AD 折起，得到如右图的四棱锥ABCD P -． （1）证明：AD PC ⊥；（2）若平面⊥PAD 平面ABCD ，求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．19．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左、右焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上，4||||21=+PF PF ，椭圆的离心率21=e ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）B A ,是椭圆上另外两点，若PAB ∆的重心是坐标原点O ，试证明PAB ∆的面积为定值．（参考公式：若坐标原点O 是PAB ∆的重心，则0=++OB OA OP ）20．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单提成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单提成6元，大于40单的部分每单提成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表： 甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表（1）若将大于40单的工作日称为“繁忙日”，根据以上频数表能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“繁忙日”与公司有关？（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；①小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘，你会推荐小王去哪家？为什么？参考公式和数据：()()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=2221．设函数ax x e x f ax -+=2)(，e 是自然对数的底数，R ∈a 是常数． （1）若1=a ，求)(x f 的单调递增区间；（2）讨论曲线)(x f y =与x x y 22+=公共点的个数．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题目积分． 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线ααα(sin 4cos 44:1⎩⎨⎧=+=y x C 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为04cos 42=--θρρ．（1）分别求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）P 是曲线1C 和2C 的一个交点，过点P 作曲线1C 的切线交曲线2C 于另一点Q ，求||PQ ． 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数||)(x x f =，m x x g +--=|4|)(，R ∈x ，R ∈m 是常数． （1）解关于x 的不等式03|)(|>-+m x g ；（2）若曲线)(x f y =与)21(x g y =无公共点，求m 的取值范围．。
2019届广东省江门市高三调研测试数学（理）试题
2019届广东省江门市高三调研测试数学（理科） 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|230}A x x x =+-<，{|21}xB x =≥，则AB =（ ）A ．(,3]-∞-B ．(,1]-∞C ．(3,0]-D ．[0,1) 2. i 是虚数单位，R 是实数集，a R ∈，若12a iR i+∈-，则a =（ ） A ．12 B ．12- C ．2 D ．-2 3.已知:0p a <；2:q a a >，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要4. e 是自然对数的底数，若1(,1)x e -∈，ln a x =，1()2xb =，xc e =，则（ ）A ．b c a >>B ．a b c >> C. c b a >> D ．c a b >> 5.若||1a =，||2b =，()(2)1a b a b +-=-，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．3π-B ．6π- C. 3π D ．6π 6.若抛物线22(0)y px p =>的焦点是双曲线222813x y p-=的右焦点，则此双曲线的离心率为（ ）A B 7.已知点(,)a b 在直线230x y ++=上运动，则24ab+有（ ）A ．最大值16B 最小值16 D 8.已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：①//m n ，//m α ⇒ //n α ②//αβ，//m n ， m α⊥⇒ n β⊥ ③m n ⊥，m α⊥⇒ //n α，或n α⊂ ④αβ⊥，//m α ⇒ m β⊥ 其中，正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．49.正项等比数列{}n a 的前n 项和n S ，若11a =，2635128a a a a +=，则下列结论正确的是（ ） A ．n N +∀∈，1n n S a +≤ B ．n N +∃∈，312n n n n a a a a ++++=+ C. n N +∀∈，12n n n a a a ++≤ D ．n N +∃∈，212n n n a a a +++= 10.已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，且其图像向左平移3π个单位后得到函数()cos g x x ω=的图像，则函数()f x 的图像（ ） A ．关于直线12x π=对称 B ．关于直线512x π=对称 C. 关于点(,0)12π对称 D ．关于点5(,0)12π对称 11.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱的长度为（ ）A ．4B ．3 C. 23．2212.设m R ∈，函数22()()()xf x x m e m =-+-（e 是自然对数的底数），若存在0x 使得01()2f x ≤，则m =（ ） A ．14 B ．13 C. 12D ．1 第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.直线20x y +=被曲线222610x y x y +--+=所截得的弦长等于 ．14.已知实数,x y 满足约束条件2211x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩，若目标函数2z x ay =+仅在点(3,4)取得最小值，则a 的取值范围是 ．15.球O 是正方体1111ABCD A B C D -的外接球，若正方体1111ABCD A B C D -的表面积为1S ，球O 的表面积为2S ，则12S S = ．16.已知函数2cos ,[,0]2()1,(0,1]x x f x x x π⎧∈-⎪=⎨⎪-∈⎩，若12()f x dx π-=⎰ ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2cos cos cos a A b C c B =+. （1）求A ；（2）若7,8a b ==，求c .18. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，n N +∀∈，11(21)44n n S n a =++. （1）求123,,a a a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法给予证明.19. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是菱形，1AB B C ⊥.（1）证明：1AC AB =； （2）若AB BC =，13CBB π∠=，12CAB π∠=，求直线1AB 与平面111A B C 所成角的正弦值.20. 在平面直角坐标系Oxy 中，(2,0)A -，(2,0)B ，P 为不在x 轴上的动点，直线PA 、PB 的斜率满足14PA PB k k =-.（1）求动点P 的轨迹Γ的方程；（2）若(3,0)T ，,M N 是轨迹Γ上两点，1MN k =，求TMN ∆面积的最大值. 21. 已知函数()ln f x x ax =-，a 是常数且a R ∈.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线经过点(1,0)-，求a 的值；（2）若10a e<<（e 是自然对数的底数），试证明：①函数()f x 有两个零点，②函数()f x 的两个零点12,x x 满足122x x e +>.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1222x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）证明：直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，并求点(1,2)M 到,A B 两点的距离之积. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()||2f x x a x =-+，a 是常数，且a R ∈. （1）求不等式()21f x x ≤+的解集；（2）若1x ≥-时恒有()0f x ≥，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DBACC 6-10:ADBAC 11、12：BC 二、填空题13. 4 14. (,2)-∞- 15. 2π16. 14π+三、解答题17.（1）由余弦定理222cos 2c a b B ac +-=，222cos 2a b c C ab+-=，得2cos cos acosA b C c B a =+= ∴1cos 2A =∵0A π<<，∴3A π=.（方法二）由正弦定理2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =， 得4sin cos 2sin cos 2sin cos 2sin()R A A R B C R C B R B C =+=+A B C π++=，所以1cos 2A =， ∵0A π<<，∴3A π=.（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得222178282c c =+-⨯⨯⨯ 即28150c c -+= 解得：3c =或5c =. 18.（1）分别取1,2,3n =得1113144S a a ==+，21225144S a a a =+=+，312337144S a a a a =++=+， 解得11a =，23a =，35a =. （2）猜想21n a n =-1n =时，由（1）知，11211a ==⨯-，猜想成立，假设()n k k N +=∈时，21k a k =-则1111111[(23)][(21)]4444k k k k k a S S k a k a +++=-=++-++111(23)(21)44k k k a k a +=+-+ 所以111(21)(21)44k k k a k a +-=+因为21k a k =-，所以1212(1)1k a k k +=+=+- 所以，1n k =+时21n a n =-成立， 综上所述，任意n N +∈，21n a n =-. 19.（1）连接1BC 交1B C 于点O ，连接AO ，∵四边形11BB C C 是菱形，∴11BC B C ⊥且O 为1B C 中点， ∵1AB B C ⊥，1ABBC B =，∴1B C ⊥平面1ABC ，AO ⊂平面1ABC ，∴1B C AO ⊥， O 为1B C 中点，AO 为1B C 的垂直平分线，∴1AC AB =.（2）不妨设2AB BC ==，则1BO C O =，11CO B O ==， ∵12CAB π∠=，∴1AO =，2224AB BO AO =+=，AO BO ⊥又1AO B C ⊥，1B C BO O =，∴AO ⊥平面11BB C C（方法一）以O 为原点，1,,OB OB OA 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系Oxyz ， 则(0,0,1)A，B ，1(0,1,0)B ，(0,1,0)C - 设平面ABC 的一个法向量为(,,)n a b c =，则30n AB a c n AC bc ⎧=-=⎪⎨=--=⎪⎩， b c -==，设(1,3,n =-，直线1AB 与平面111A B C 所成角的正弦值，即直线1AB 与平面ABC 所成角的正弦值为111|||cos ,|7||||2n AB n AB n AB <>===（方法二）设点1B 到平面ABC 的距离为h ， 三棱锥1A BCB -的体积113BCB V S AO ∆=⨯⨯ 三棱锥1B ABC -的体积13ABC V S h ∆=⨯⨯=，得h =直线1AB 与平面111A B C 所成角的正弦值，即直线1AB 与平面ABC 所成角的正弦值为17h AB ==. 20.（1）设(,)P x y 为轨迹Γ上任意一点， 依题意，1224y y x x ⨯=-+-， 整理化简得：221(0)4x y y +=≠ （2）设:MN y x b =+由2214x y y x b⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2252(1)04x bx b ++-=，250b ∆=->设1122(,),(,)M x y N x y ，则1285x x b +=-，2124(1)5x x b =-，12|||MN x x =-=T 到直线MN的距离d =TMN ∆的面积1||2S MN d =⨯⨯==设22()(3)(5)f x x x =+-，'()2(3)(1)(25)f x x x x =-+-+ 解'()0f x =，得1x =或52x =-或3x =- 因为250b ∆=->，即'()0f x =有且仅有一个解1x =，TMN ∆165=.21.（1）切线的斜率'(1)1k f a ==-(1)f a =-，(1)01(1)2f ak -==---解12aa -=-，得2a = （2）①解1'()0f x a x =-=，得1x a=当10x a <<时，'()0f x >；当1x a>时，'()0f x <，所以()f x 在1x a =处取得最大值1()ln 1f a a=--(1)0f a =-<，因为10a e <<，所以1()ln 10f a a =-->，()f x 在区间1(1,)a有零点，因为()f x 在区间1(0,)a 单调递增，所以()f x 在区间1(0,)a有唯一零点.由幂函数与对数函数单调性比较及()f x 的单调性知，()f x 在区间1(,)a+∞有唯一零点，从而函数()f x 有两个零点. ②不妨设1210x x a <<<，作函数2()()()F x f x f x a =--，20x a<<， 则1()0F a=，222(1)'()'()'()0(2)ax F x f x f x a x ax -=+-=≥- 所以11()()0F x F a <=，即112()()0f x f x a --<，112()()f x f x a->又12()()f x f x =，所以122()()f x f x a->因为1210x x a <<<，所以1221,(,)x x a a -∈+∞，因为()f x 在区间1(,)a+∞单调递减，所以122x x a -<，122x x a+>又10a e <<，1e a>，所以122x x e +>22.（1）由1222x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消去参数得直线l的普通方程为30x y +-=由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-= （2）方法一：将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得22(1)(2)4(1)0222++--+=即210t -+=24140∆=-=>，方程有两个不同的根，即直线与曲线相交于两点由参数t 的几何意义得12||||||1MA MB t t ==（方法二）由224030x y x x y ⎧+-=⎨+-=⎩解得：x =，17y =，||||[1MA MB =+⨯-= 23.（1）依题意，||1x a -≤11x a -≤-≤，11a x a -≤≤+不等式的解集为{|11}x a x a -≤≤+（2）()0f x ≥即||20x a x -+≥等价于30x a x a ≥⎧⎨-≥⎩或0x ax a <⎧⎨+≥⎩等价于3x aa x ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩或xa x a <⎧⎨≥-⎩ 当0a ≥时，原不等式的解集为{|}x x a ≥{|}x a x a -≤<{|}x x a =≥-当0a <时，原不等式的解集为{|}3ax x ≥因为1x ≥-时，()0f x ≥恒成立，所以01a a ≥⎧⎨-≤-⎩或013a a <⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得1a ≥或3a ≤-，即a 的取值范围为(,3][1,)-∞-+∞（方法二）3,(),x a x a f x x a x a-≥⎧=⎨+<⎩()f x 是单调递增函数，当1x ≥-时，()f x 的最小值为(1)|1|2f a -=+- ()0f x ≥恒成立当且仅当|1|20a +-≥，即|1|2a +≥解得：1a ≥或3a ≤-，即a 的取值范围为(,3][1,)-∞-+∞.。
广东省江门市2019届高三第一次模拟考试数学(理)试题含答案解析
江门市2019年高考模拟考试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.是虚数单位，若是纯虚数，则实数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算法则得到复数的化简式子，再由实部为0得到结果.【详解】若是纯虚数，化简虚数得到，纯虚数即解得m=-1.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，以及实部和虚部的概念，题型较为基础.2.设集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由补集的概念得到，再由交集的概念得到结果即可.【详解】根据题干得到，则.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了集合的交集和补集的概念，题型较为基础.3.某地气象局把当地某月（共30天）每一天的最低气温作了统计，并绘制了如下图所示的统计图，假设该月温度的中位数为，众数为，平均数为，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】据众数的定义是出现次数最多的数据结合图求出众数；据中位数的定义：是将数据从小到大排中间的数，若中间是两个数，则中位数是这两个数的平均值；据平均值的定义求出平均值，比较它们的大小．【详解】由图知众数＝5由中位数的定义知，得分的中位数为m e，是第15个数与第16个数的平均值，由图知将数据从大到小排第15个数是5，第16个数是6，∴＝5.5，（2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10） 5.97，∴＜m e＜，故答案为：D．【点睛】本题考查了众数，中位数与平均数，要注意中位数是中间两个数的平均数．4.直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知向量等式可知C在AB所在的直线上，由直线方程的两点式得答案．【详解】由，且λ+μ＝1，得＝，∴，即，则C、A、B三点共线．设C（x，y），则C在AB所在的直线上，∵A（2，1）、B（4，5），∴AB所在直线方程为，整理得：．故P的轨迹方程为：．故选：A.【点睛】本题考查共线向量基本定理的应用，考查轨迹方程的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．5.根据市场调查，预测某种日用品从年初开始的个月内累计的需求量（单位：万件）大约是（）．据此预测，本年度内，需求量超过万件的月份是（）A. 5月、6月B. 6月、7月C. 7月、8月D. 8月、9月【答案】C【解析】【分析】现根据题意得到第n个月时的需求量，再由需求量大于5得到n的范围，进而得到结果.【详解】日用品从年初开始的个月内累计的需求量（单位：万件）大约是（）,则第个月的需求量为，故答案为：C.【点睛】这个题目考查了数列通项的求法中已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项；也考查了不含参的二次不等式的求法，较为基础.6.一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若，且这个四棱锥的体积，则这个四棱锥的侧面积（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图得到原图，根据边长关系和图形特点得到侧面积.【详解】根据三视图得到原图：底面边长为，高为h，体积为侧面积为4个三角形，，根据题目得到故侧面积为32.故答案为：B.【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.7.若，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据解析式得到函数的周期和对称轴，对称中心，进行估算，结合函数的单调性和图像得到结果.【详解】根据函数解析式得到函数的周期为，对称轴和对称中心为，估算，结合函数的图像可得到故答案为：A.【点睛】这个题目考查了三角函数的单调性的应用，以及函数的对称中心和对称轴的求解，题目难度中等.8.若与两个函数的图象有一条与直线平行的公共切线，则（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】先根据和曲线相切得到切线方程，再根据和二次函数相切得到参数值.【详解】设在函数处的切点设为（x,y）,根据导数的几何意义得到，故切点为（1，0），可求出切线方程为y=x-1,直线和也相切，故,化简得到,只需要满足故答案为：D.【点睛】求切线方程的方法：①求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.9.在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题是一个等可能事件的概率，在二项式（x+1）10的展开式中任取一项有11种结果，1和x系数都为1，只考虑二项式系数即可，写出二项式系数为1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1得到奇数4个，得到概率．【详解】有题意知本题是一个等可能事件的概率，在二项式（x+1）10的展开式中任取一项有11种结果，1和x系数都为1，我们只考虑二项式系数即可．二项式系数为1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1得到奇数4个，∴任取一项，该项的系数为奇数的概率p＝故选：B．【点睛】本题考查等可能事件的概率和二项式系数的特点，本题解题的关键是看出二项式的展开式中所有的二项式系数的值，本题比较特殊，因为二项式的系数等于项的系数．10.直角坐标系中，双曲线（）与抛物线相交于、两点，若△是等边三角形，则该双曲线的离心率（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题干得到点A坐标为，代入抛物线得到坐标为，再将点代入双曲线得到离心率.【详解】因为三角形OAB是等边三角形，设直线OA为，设点A坐标为，代入抛物线得到x=2b,故点A的坐标为，代入双曲线得到故答案为：D.【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).11.是球内接正四面体，若球的半径为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据正四面体的各个棱长都相等，以及外接球这一条件得到，而由正四棱锥的结论得到外界球半径和棱长的关系，进而得到结果.【详解】根据正四面体的性质，以及外接球的半径都是1，OA=OB=OC=OD，故得到三角形OAB和三角形OBC，OAC，OAD是全等的三角形，则设四棱锥的边长为a,则外接球的半径为高的四分之三，高是棱的边长的本题中半径为1，棱长为，三角形OAB的顶角的余弦值为. 故答案为：B.【点睛】本题考查四面体的外接球问题，考查了空间想象能力，正四面体即各个侧棱都相等，各侧面都是等边三角形，它有很多性质，例如：外接球的半径是高的四分之三，内切球的半径是高的四分之一，对棱互相垂直.12.若直线与曲线在第一象限无交点，则正整数的最大值是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由导数研究函数的单调性可得：f（x）在为减函数，在为增函数，则f（x）min，由导数求曲线切线方程得：g（x）＝2+lnx﹣x,g′（x），易得g（x）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，设g（x）＝0的两根为x1，x2，不妨设x1＜x2，则4＜x2＜5，则m＝2+lnx2＝x2∈（3，4），由图可知，k＜m，即正整数k的最大值是3，得解．【详解】因为f（x）＝x+xlnx，所以f′（x）＝2+lnx，当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，则f（x）在为减函数，在为增函数，则f（x）min，设直线y＝m（x﹣1）与曲线y＝x+xlnx在第一象限切于点P（x0，y0），则切线方程为：y＝（2+lnx0）x﹣x0，又此直线过点（1，0），解得：2+lnx0﹣x o＝0，设g（x）＝2+lnx﹣xg′（x），易得g（x）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，设g（x）＝0的两根为x1，x2，不妨设x1＜x2，由g（3）＝ln3﹣1>0, g（4）＝ln4﹣2<0则3＜x2＜4，则m＝2+lnx2＝x2∈（3，4），由图可知，k＜m，即正整数k的最大值是3，故选：C．【点睛】这个题目考查了函数图像的交点问题，它和函数的零点问题是等价的；通过导数研究函数的单调性和极值，得到函数的单调性和图像的变化趋势，进而得到两个函数的图像的交点情况.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13.命题“在空间中，若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线”的逆否命题是_________．【答案】在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面【解析】【分析】根据逆否命题的写法得到结果即可.【详解】逆否命题是既否条件又否结论，在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面.故答案为：在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面.【点睛】这个题目考查了逆否命题的写法，题目较为简单.14.甲、乙、丙、丁、戊名学生进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”．从这个回答分析，人的名次排列可能有_________种不同的情况．（用数字作答）【答案】【解析】【分析】甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．【详解】由题意，甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有A33种排法．故共有3•3•A33=54种不同的情况．故答案为：54．【点睛】本题主要考查排列、组合与简单的计数问题，解决此类问题的关键是弄清完成一件事，是分类完成还是分步完成，是有顺序还是没有顺序，像这种特殊元素与特殊位置的要优先考虑．15.已知、、是锐角△内角、、的对边，是△的面积，若，，，则_________．【答案】【解析】【分析】根据三角形的面积公式得到角C的正弦值，进而得到角C的值，再由余弦定理得到边c的值.【详解】根据三角形面积公式得到，因为三角形为锐角三角形，故得到角C为，再由余弦定理得到故答案为：7.【点睛】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.16.在直角坐标系中，记表示的平面区域为，在中任取一点，的概率_________．【答案】【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，再由几何概率的计算公式得到结果.【详解】根据不等式组得到可行域为图中染色部分，满足的是黑色部分，在中任取一点，的概率黑色部分的面积除以总的染色面积，记直线的交点为,,,故答案为：.【点睛】这个题目考查了简单的线性规划的可行域的画法，以及几何概型的面积型的计算.在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列（）．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2） .【解析】【分析】（1）弦化切求得方程的根可得到数列的通项；（2）通过第一问得到数列是周期为4的数列，通过观察列举得到和的规律，进而得到结果.【详解】（1） ,解得，，， ,依题意，，.（2）是周期的数列 ,，，， ,，，， ,从而，，……，所以是周期为4的数列,（）.【点睛】这个题目考查了数列的通项公示的求法以及数列的和的求法；采用的是观察法，得到数列的周期，进而得到数列的和.18.如左图，平面五边形中，，，将△沿折起，得到如右图的四棱锥．（1）证明：；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2） .【解析】【分析】(1)通过图中的集合关系得到，进而得到线线垂直；（2）建立空间坐标系得到直线的方向向量和面的法向量得到线面角.【详解】（1）取的中点，连接、。
江门市2019届普通高中高三调研测试及答案(理数)
江门市2019 届普通高中高三调研测试数学（理科）本试卷共4页，21题，满分150 分，测试用时120分钟．1参考公式：锥体的体积公式V Sh，其中S 是锥体的底面积，h是锥体的高．3⒉设集合M x|x 2 ，N x|x2 2 ，下列关系正确的是⒊以下命题正确的是b 互相垂直，则实数的值为这个几何体的体积为离心率是B．10 C．103D．10 或103一、选择题：本大题共 8 小题，每小题项中，只有一项是符合题目要求的．⒈复数2i（ i 是虚数单位）的虚部是1iA． 1 B． 1 5 分，满分 40 分．在每小题给出的四个选C．i D． iB． M N C． M N D． M NA． a b 0， c d 0 ac bd C． a b ， c d a c b d 11 ab22 ac bc⒋已知 e1、 e2互相垂直， |e1 | 2|e2 | 2 ， a e1 e2 ， b e12e2，且a 、11A ．B．24C．1 D．的正三角形，左视图是直角三角形，俯视图是左视图3 A．3 C．2 33B．6D ．3图1⒍两个正数a 、b 的等差中项是 2 ，一个等比中项是 3 ，则双曲线2by2 1的⒎如图 2， PAB 所在的平面 和四边形 ABCD 所在的平面 互相垂直，且④函数 y x 2ax 1在[2,）上恒为正，则实数 a 的取值范围是 （其中真命题的序号是 （请填上所有真命题的序号） ． （二）选做题（ 14、15题，考生只能从中选做一题）⒕（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系 （ , ） 中，过点 （2 2, ） 作圆 44sin 的切线，则切线的极坐标方程为 ．AD ， BC ， AD 4 ， BC 8， AB 6 ． 若 tan ADP 2tan BCP 1，则动点 P 在平面 内 的轨迹是 A ．椭圆的一部分 B ． 线段 C ．双曲线的一部分D ． 以上都不是 x0⒏设 x 、 y 满足 y 0x y 1B ． [ 1, 0]A ．[0, 1]，则xx 2y 的取值范围是C ． ( , )D ．[ 2, 2]、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分． （一）必做题（ 9～13题）⒐曲线 y 1 x 2与 x 轴围成图形的面积是 开始 11⒑在程序框图 3 中输入 a、b，则输出 c63⒒ x 2（x 2）6展开式中， x 3的系数是 ． ⒓已知 a 、b 、c 分别是 ABC 的三个内角 A 、 B 、 对的边，若 cosB b ，则 B cosC⒔给出下列四个命题：①命题“ x R ， x 20”的否定是“ x R ， ②若 a 、b [0, 1] ，则不等式 a b 1成立的概率是 ； 4 16③线性相关系数 r 的值越大，表明两个变量的线性相关程度越强；2a c C 所 x 2 0 ”； 结束 c |tanb|图352)PC图2输入 a 、 bc | tana|输出 c tana tanb⒖（几何证明选讲选做题）如图 4，点 A 、 B 、C 是 圆O 上的点，且AB 2，BC 6， CAB 23 ， 则 AOB 对应的劣弧长为．⒗（本小题满分 14分）已知函数 f （x ） a sin x cos x 4cos 2 x ，x R ，f(6) 6．⑴求常数 a 的值；⑵求函数 f （x ） 的最小正周期和最大值．⒘（本小题满分 12 分）某旅游景点 2019年利润为 100 万元，因市场竞争，若不 开发新项目，预测从 2019年起每年利润比上一年减少 4万元。
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江门市2019年高考模拟考试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.是虚数单位，若是纯虚数，则实数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算法则得到复数的化简式子，再由实部为0得到结果.【详解】若是纯虚数，化简虚数得到，纯虚数即解得m=-1.故答案为： B.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，以及实部和虚部的概念，题型较为基础.2.设集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由补集的概念得到，再由交集的概念得到结果即可.【详解】根据题干得到，则.故答案为： C.【点睛】这个题目考查了集合的交集和补集的概念，题型较为基础.3.某地气象局把当地某月（共30天）每一天的最低气温作了统计，并绘制了如下图所示的统计图，假设该月温度的中位数为，众数为，平均数为，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】据众数的定义是出现次数最多的数据结合图求出众数；据中位数的定义：是将数据从小到大排中间的数，若中间是两个数，则中位数是这两个数的平均值；据平均值的定义求出平均值，比较它们的大小．【详解】由图知众数＝5由中位数的定义知，得分的中位数为m e，是第15个数与第16个数的平均值，由图知将数据从大到小排第15个数是5，第16个数是6，∴＝5.5，（2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10） 5.97，∴＜m e＜，故答案为：D．【点睛】本题考查了众数，中位数与平均数，要注意中位数是中间两个数的平均数．4.直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知向量等式可知C在AB所在的直线上，由直线方程的两点式得答案．【详解】由，且λ+μ＝1，得＝，∴，即，则C、A、B三点共线．设C（x，y），则C在AB所在的直线上，∵A（2，1）、B（4，5），∴AB所在直线方程为，整理得：．故P的轨迹方程为：．故选：A.【点睛】本题考查共线向量基本定理的应用，考查轨迹方程的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．5.根据市场调查，预测某种日用品从年初开始的个月内累计的需求量（单位：万件）大约是（）．据此预测，本年度内，需求量超过万件的月份是（）A. 5月、6月B. 6月、7月C. 7月、8月D. 8月、9月【答案】C【解析】【分析】现根据题意得到第n个月时的需求量，再由需求量大于5得到n的范围，进而得到结果.【详解】日用品从年初开始的个月内累计的需求量（单位：万件）大约是（）,则第个月的需求量为，故答案为： C.【点睛】这个题目考查了数列通项的求法中已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项；也考查了不含参的二次不等式的求法，较为基础.6.一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若，且这个四棱锥的体积，则这个四棱锥的侧面积（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图得到原图，根据边长关系和图形特点得到侧面积.【详解】根据三视图得到原图：底面边长为，高为h，体积为侧面积为4个三角形，，根据题目得到故侧面积为32.故答案为： B.【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.7.若，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据解析式得到函数的周期和对称轴，对称中心，进行估算，结合函数的单调性和图像得到结果.【详解】根据函数解析式得到函数的周期为，对称轴和对称中心为，估算，结合函数的图像可得到故答案为： A.【点睛】这个题目考查了三角函数的单调性的应用，以及函数的对称中心和对称轴的求解，题目难度中等.8.若与两个函数的图象有一条与直线平行的公共切线，则（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】先根据和曲线相切得到切线方程，再根据和二次函数相切得到参数值.【详解】设在函数处的切点设为（x,y）,根据导数的几何意义得到，故切点为（1，0），可求出切线方程为y=x-1,直线和也相切，故,化简得到,只需要满足故答案为： D.【点睛】求切线方程的方法：①求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.9.在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题是一个等可能事件的概率，在二项式（x+1）10的展开式中任取一项有11种结果，1和x系数都为1，只考虑二项式系数即可，写出二项式系数为1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1得到奇数4个，得到概率．【详解】有题意知本题是一个等可能事件的概率，在二项式（x+1）10的展开式中任取一项有11种结果，1和x系数都为1，我们只考虑二项式系数即可．二项式系数为1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1得到奇数4个，∴任取一项，该项的系数为奇数的概率p＝故选：B．【点睛】本题考查等可能事件的概率和二项式系数的特点，本题解题的关键是看出二项式的展开式中所有的二项式系数的值，本题比较特殊，因为二项式的系数等于项的系数．10.直角坐标系中，双曲线（）与抛物线相交于、两点，若△是等边三角形，则该双曲线的离心率（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题干得到点A坐标为，代入抛物线得到坐标为，再将点代入双曲线得到离心率.【详解】因为三角形OAB是等边三角形，设直线OA为，设点A坐标为，代入抛物线得到x=2b,故点A的坐标为，代入双曲线得到故答案为： D.【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).11.是球内接正四面体，若球的半径为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据正四面体的各个棱长都相等，以及外接球这一条件得到，而由正四棱锥的结论得到外界球半径和棱长的关系，进而得到结果.，故得到三角形OAB和三角形OBC，【详解】根据正四面体的性质，以及外接球的半径都是1，OA=OB=OC=ODOAC，OAD是全等的三角形，则设四棱锥的边长为a,则外接球的半径为高的四分之三，高是棱的边长的本题中半径为1，棱长为，三角形OAB的顶角的余弦值为. 故答案为： B.【点睛】本题考查四面体的外接球问题，考查了空间想象能力，正四面体即各个侧棱都相等，各侧面都是等边三角形，它有很多性质，例如：外接球的半径是高的四分之三，内切球的半径是高的四分之一，对棱互相垂直.12.若直线与曲线在第一象限无交点，则正整数的最大值是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由导数研究函数的单调性可得：f（x）在为减函数，在为增函数，则f（x）min，由导数求曲线切线方程得：g（x）＝2+lnx﹣x,g′（x），易得g（x）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，设g（x）＝0的两根为x1，x2，不妨设x1＜x2，则4＜x2＜5，则m＝2+lnx2＝x2∈（3，4），由图可知，k＜m，即正整数k的最大值是3，得解．【详解】因为f（x）＝x+xlnx，所以f′（x）＝2+lnx，当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，则f（x）在为减函数，在为增函数，则f（x）min，设直线y＝m（x﹣1）与曲线y＝x+xlnx在第一象限切于点P（x0，y0），则切线方程为：y＝（2+lnx0）x﹣x0，又此直线过点（1，0），解得：2+lnx0﹣x o＝0，设g（x）＝2+lnx﹣xg′（x），易得g（x）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，设g（x）＝0的两根为x1，x2，不妨设x1＜x2，由g（3）＝ln3﹣1>0, g（4）＝ln4﹣2<0则3＜x2＜4，则m＝2+lnx2＝x2∈（3，4），由图可知，k＜m，即正整数k的最大值是3，故选：C．【点睛】这个题目考查了函数图像的交点问题，它和函数的零点问题是等价的；通过导数研究函数的单调性和极值，得到函数的单调性和图像的变化趋势，进而得到两个函数的图像的交点情况.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13.命题“在空间中，若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线”的逆否命题是_________．【答案】在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面【解析】【分析】根据逆否命题的写法得到结果即可.【详解】逆否命题是既否条件又否结论，在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面.故答案为：在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面.【点睛】这个题目考查了逆否命题的写法，题目较为简单.14.甲、乙、丙、丁、戊名学生进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”．从这个回答分析，人的名次排列可能有_________种不同的情况．（用数字作答）【答案】【解析】【分析】甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．【详解】由题意，甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有A33种排法．故共有3?3?A33=54种不同的情况．故答案为：54．【点睛】本题主要考查排列、组合与简单的计数问题，解决此类问题的关键是弄清完成一件事，是分类完成还是分步完成，是有顺序还是没有顺序，像这种特殊元素与特殊位置的要优先考虑．15.已知、、是锐角△内角、、的对边，是△的面积，若，，，则_________．【答案】【解析】【分析】根据三角形的面积公式得到角C的正弦值，进而得到角C的值，再由余弦定理得到边c的值.【详解】根据三角形面积公式得到，因为三角形为锐角三角形，故得到角C为，再由余弦定理得到故答案为：7.【点睛】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.16.在直角坐标系中，记表示的平面区域为，在中任取一点，的概率_________．【答案】【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，再由几何概率的计算公式得到结果.【详解】根据不等式组得到可行域为图中染色部分，满足的是黑色部分，在中任取一点，的概率黑色部分的面积除以总的染色面积，记直线的交点为,,,故答案为：.【点睛】这个题目考查了简单的线性规划的可行域的画法，以及几何概型的面积型的计算.在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列（）．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2） .【解析】【分析】（1）弦化切求得方程的根可得到数列的通项；（2）通过第一问得到数列是周期为4的数列，通过观察列举得到和的规律，进而得到结果.【详解】（1） ,解得，，， ,依题意，，.（2）是周期的数列 ,，，， ,，，， ,从而，，……，所以是周期为4的数列,（）.【点睛】这个题目考查了数列的通项公示的求法以及数列的和的求法；采用的是观察法，得到数列的周期，进而得到数列的和.18.如左图，平面五边形中，，，将△沿折起，得到如右图的四棱锥．（1）证明：；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2） .【解析】【分析】(1)通过图中的集合关系得到，进而得到线线垂直；（2）建立空间坐标系得到直线的方向向量和面的法向量得到线面角.【详解】（1）取的中点，连接、。