2021年新疆高考数学重难点热点复习：数列

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2021年新疆高考数学重难点热点复习：数列
1．已知在递增等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3是a 1和a 9的等比中项．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若b n =2a n +1a n ⋅a n+1
，求数列{b n }的前n 项和S n ． 【解答】解：（1）设数列{a n }的公差为d
∵a 3是a 1和a 9的等比中项，
∴a 32=a 1⋅a 9
∴（1+2d ）2＝1•（1+8d ）
∴d ＝0（舍）或d ＝1，
∴a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝1+（n ﹣1）•1＝n
（2）由于b n =2a n +
1a n ⋅a n+1， 所以b n =2n +(1n −1n+1)
所以T n =(2+22+⋯+2n )+(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1)
整理得T n =2n+1−2+1−1n+1，
故T n =2n+1−1−1n+1 2．已知a 、β为方程4x 2+2ix ﹣3−√3i =0的两根，其中a ∈R ．定义数列{a n }：a 1＝β．a 2＝
β+√3．且当n ≥2时，a n 2+2ia n ﹣l ＝（a n ﹣1+i ）（a n +1+i ）．
（1）求a 1，a 2；
（2）求数列{a n }的通项公式；
（3）求a 20162+a 20172+a 20182的值．
【解答】解：（1）根据求根公式易得，α=
√32，β=−√32−12i ， 所以a 1=−√32−12i ，a 2=√32−12i ．
（2）因为a n+1+i
a n +i =a n +i
a n−1+i ，
所以数列{a n +i } 是等比数列，
a 2+i
a 1+i =−12−√32i =cos 4π3+isin 4π3
， a 1+i =−√32+12i =cos 5π6+isin 5π6，
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于是a n =(cos
5π6+isin 5π6)⋅(cos 4π3+isin 4π3)n−1−i =(cos 5π6+isin 5π6)⋅(cos
4(n−1)π3+isin 4(n−1)π3)−i =cos 8n−36π+(sin 8n−36
π−1)i ． （3）由（2）可知数列 {a n } 的周期为 3，
所以a 20162+a 20172+a 20182=a 12+a 22+a 32=−3．
3．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝m ，a n +1＝S n +1（n ∈N *）．
（1）求实数m 的值和数列{a n }的通项公式；
（2）设b n ={a n (n 为奇数)log 2a n (n 为偶数)
(n ∈N ∗)，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ． 【解答】解：（1）a 2＝S 1+1＝a 1+1＝m +1，
由a n +1＝S n +1得a n ＝S n ﹣1+1（n ≥2），
相减可得a n +1﹣a n ＝a n （n ≥2）即a n +1＝2a n （n ≥2）．
又{a n }是等比数列，则公比q ＝2，
则a 2＝2a 1即m +1＝2m ，可得m ＝1，
故a n =2n−1(n ∈N ∗)．
（2）由b n ={a n (n 为奇数)log 2a n (n 为偶数)，得b n ={2n−1(n 为奇数)n −1(n 为偶数)
(n ∈N ∗)． 则T 2n ＝（b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1）+（b 2+b 4+b 6+…+b 2n ）
＝（20+22+24+…+22n ﹣
2）+[1+3+5+…+（2n ﹣1）] =1−4n 1−4−+12n （1+2n ﹣1）
=4n −13
+n 2． 4．设数列{a n }前n 项和为S n 且2a 1＝a 2＝2，等差数列{b n }满足b 1＝1，b 2+b 5＝b 8且b 2S n +1+b 5S n
﹣1＝b 8S n （n ≥2，n ∈N *）．
（1）求{a n }和{b n }的通项公式；
（2）求数列{a n b n }的前n 项和T n ．
【解答】解：（1）设公差为d 的等差数列{b n }满足b 1＝1，b 2+b 5＝b 8， 则b 1+d +b 1+4d ＝b 1+7d ，解得d =12，。