八年级数学三角形的证明1.4角平分线教案2新版北师大版
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明1.4角平分线1优秀教学案例
1.介绍角平分线的定义：角平分线是指从一个角的顶点出发，把这个角平分成两个相等角的线段。
2.讲解角平分线的性质：角平分线垂直于对边，将对边分成相等的线段，同时也将对角分成相等的角。
3.演示如何使用直尺和圆规作出三角形的角平分线，并解释作图过程中的关键步骤。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成若干小组，每组学生共同探讨如何作三角形的角平分线，并互相交流心得。
3.小组合作的学习方式：我将学生分成小组，让他们在合作中探讨如何作三角形的角平分线。这种小组合作的学习方式，不仅能够提高学生的团队协作能力，还能够促进学生之间的交流和互助，从而提高他们的学习效果。
4.反思与评价的环节：在教学的最后，我引导学生进行反思和评价，让他们回顾所学内容，总结角平分线的性质和作法。这种反思与评价的环节，能够帮助学生巩固所学知识，提高他们的自我认知能力。同时，也能够让我及时了解学生的学习情况，为下一步的教学做好准备。
5.全面的教学目标：在教学设计中，我不仅关注学生的知识和技能的培养，还注重培养他们的过程与方法和情感态度与价值观。这种全面的教学目标，能够帮助学生在学习数学的过程中，提高他们的思维能力，培养他们的团队合作精神，同时也让他们感受到数学学习的乐趣，增强他们的自信心。
这些亮点都是我在教学过程中努力实现的，也是我在教学中的一些成功经验。我相信，只有不断总结和反思，才能够不断提高教学水平，更好地为学生服务。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握角平分线的定义，理解角平分线的性质，能够运用角平分线的性质解决相关问题。
2.培养学生运用几何画图工具，如直尺、圆规等，正确作出三角形的角平分线。
3.使学生了解角平分线在实际问题中的应用，提高学生的数学应用能力。
八年级数学下册 第一章 三角形的证明 1.4.2 角平分线课件
A
D N
M F
P
B
E
C
第三页，共十三页。
用心(yòng xīn)想一想，马到功成
证明(zhèngmíng)：三角形三条角平分线相交于一点．
已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交(xiāngjiāo)于点P，
求证：P点在∠BAC的角平分线上．
第十一页，共十三页。
课内拓展 延伸 (tuò zhǎn)
如图，△ABC中，点O是∠BAC与∠ABC的平分线的交点 (jiāodiǎn)，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知 △ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长.
A
D OE
B
C
第十二页，共十三页。
内容(nèiróng)总结
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC ，其中D、E、F是垂足
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上
D N
A
F
M
∴PD=PE
P
同理：PE=PF．∴PD=PF．
B
∴点P在∠BAC的平分线上
E
C
∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
第四页，共十三页。
三角形角平分线的性质(xìngzhì)定理
A
(2)求证：AB=AC+CD．
(2)证明(zhèngmíng)：由(1)的求解过程可
知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL)
C
∴AC=AE．
∵BE=DE=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD．
E
D
B
第九页，共十三页。
八年级数学下册第一章三角形的证明1.4.2角平分线测试含解析新版北师大版
《角平分线》、选择题1. 如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D, C分别在D ,C '的位置，若/ EFB=65 ,则/AED 等于（）A. 70 °B. 65 °C. 50 °D. 25 °【答案】C【解析】试题分析：由平行可求得/ DEF又由折叠的性质可得/ DEF=/ D EF,结合平角可求得/ AED .四边形ABCD为矩形，••• AD// BC, •••/ DEF2 EFB=65，又由折叠角相等可得/ D' EF=Z DEF=65 ,•••/ AED =180°—65°—65° =50°，故选 C.考点：1.平行线的性质；2.翻折变换（折叠问题）.2. 如图所示.在ABC中，AC=BC/ C=9C° , AD平分/ CAB交BC于点D, DEL AB于点E.若AB=6 cm,则DEB的周长为（）A. 12 cmB. 8 cmC. 6 cmD. 4 cm【答案】C【解析I：/ C=90 , AD平分/ CAB交BC于点D, DEL AB于点E.•DE=DC•AE=AC=BC•BE+ DE+ BD=BDF DC+ BE= BC+ BE=ACF BE=AEF BE=AB=6 cm故选C.3. 如图所示，D, E分别是△ ABC的边AC. BC上的点，若厶ADB^A EDB^A EDC 则/C的度数为（）A. PA=PBB. PO 平分/ APBC. OA=OBD. AB 垂直平分 OP【答案】D【解析】试题解析：•••点 E 是/ AOB 的平分线上一点，EC L OA ED L OB• DE=CE / DOE M COE M EDO M ECO=90 ,在厶DOE 和厶COE 中上DOE = ZCOEZEDO = ZECO OE = OE•••△ DOE2A COE• M DEO M CEO OD=OC• OE 平分/ DEC OE 垂直平分 DC ,•••只有选项 D 错误；选项A 、B 、C 都正确；故选D.考点：1.角平分线的性质；2.线段垂直平分线的性质.5.如图，已知点 D 是M ABC 的平分线上一点，点 P 在BD 上 , PA L AB PC L BC 垂足分别为 A,论错误的是（ ）.A. 15 °B. 20 °C. 25 °D. 30 °【答案】D【解析】•••△ ADB^A EDB^A EDC•••/ C=/ DBE M DBA / DEC M DEB d A=90° ,•••/ C=3C °故选D.4. 如图所示，OP 平分/ AOB PALOAC.下列结A. AD=CPB. △ ABP^^ CBPC. △ ABD^^ CBDD. / ADB/ CDB【答案】A【解析】•••点D是/ ABC的平分线上一点，点P在BD上, PAL AB PC! BC垂足分别为A, C.••• PA=PC•••△ABP^A CBP , △ABD^A CBD ,•••/ ADB/ CDB,故选A6. 如图所示，AD L OB BC L OA垂足分别为D、C, AD与BC相交于点P,若PA= PB则/I与/2的大小A. / 1 = / 2B. / 1>/ 2C. / KZ 2D.无法确定【答案】A【解析】••• AD L OB BC L OA垂足分别为D C, AD与BC相交于点P, PA= PB, / CPA Z DPB•△ CPA^△/ DPB(AAS)•PC=PD••/ 1 = /2故选A.点睛：本题考查了三角形全等的判定和性质；主要先利用全等三角形证明CP= DP,再由角平分线的逆定理可知0P是角AOB的平分线，由判定可知/ 1 = / 2.二、填空题7. ________________________________________________________________________ 已知AD>A ABC的角平分线，DE L AB于E,且DE=5cm则点D到AC的距离是_____________________________________ .【答案】5【解析】••• AD是厶ABC的角平分线,DEL AB于E,•••点D到AB AC的距离相等•••点D到AC的距离是5 故答案为5.8. 如图，△ ABC中，AD为/ BAC的平分线，DEL AB, DF丄AC, E、F为垂足，在以下结论中：①厶ADE^A ADF②、BDE^A CDF③厶ABD^A ACD④AE=AF⑤BE=CF⑥BD=CD其中正确结论的个数是 ___________________ .【答案】2.【解析】••• AD为/ BAC的平分线，DEL AB DF L AC•△ADE^A ADF•AE=AF故正确结论的个数是2.9. ___________________________________________________________________________________________ 如图，Rt △ ABC 中，/ C=90o BD 是角平分线，DEL AB 垂足为E, BC=6 CD=3 AE=4,贝U DE= __________________ ,【解析】••• Rt △ ABC中，/ C=90o BD是角平分线，DEL AB•CD=DE=3•Rt △BCD B Rt △BED•BC=BE=6又•/ AE=4•AB=10•AC=8•AD=5•△ ABC的周长=24.故答案为3,5,24.10. 如图，△ ABC中，/ C=90o BD平分/ ABC交AC于D, DE是AB的垂直平分线, DE= BD,且DE=1.5cm,【解析】•••/ C=90o BD平分/ ABC交AC于D,••• DE=CD=1.5又••• DE= BD,•BD=3.•/ DE是AB的垂直平分线，•BD=AD=3.•AC=4.5故答案为4.5.11. △ ABC 中，/ C=90 , AD平分/ BAC 已知BC=8cm BD=5cm 则点D到AB 的距离为_____________ .【答案】3【解析】试题解析：CD=BC-BD=8cm-5cm=3cm•••/ C=90 ,•D到AC的距离为CD=3cm•/ AD平分/ CAB•D点到线段AB的距离为3cm.12. 如图所示,/ AOB=40 , 0M平分/ AOB MALOA于A, MBL OB于B,则/ MAB的度数为 _________________【答案】20°【解析】••• 0M平分/ AOB£AOB•••/ AOM W BOM= =20°.又••• MAL OA 于A, M L OB于B,• MA=MB••• Rt △ OA 降 Rt △ OBM•••/ AMO / BMO=70 ,• △ AMN ^A BMN•••/ ANM / BNM=9° ,•••/ MAB=90 -70° =20°故答案为20°/ BDE=/ EDM.又••• DM=BD , DE=DE ,••• △ BED ◎△ MED.同理可得厶MFD ^A CFD.• BE=EM , CF=MF.•/ 在A EMF 中， EM + MF>EF.• BE + CF>EF.14. 如图，已知 CD£AB 于D, BE!AC 于E , CD 交BE 于点O.【解析】试题分析：在DA 上取一点M ，使DM=DB=DC,连结EM 、MF ,实质上是将△ 别沿DE 、DF 翻折180°得到△ DEM 及厶MFD ，从而使问题得到解决的 •试题解析：在DA 上取一点 M ，使DM=DB=DC,连结EM 、MF ，DBE >△ DFC 分 B D . C•/ DE 平分/ ADB ,三、证明题DE 、DF 分别平分/ ADB 和/ADC【答案】证明见解析⑴若OC=OB求证：点0在/ BAC的平分线上.⑵若点0在/ BAC的平分线上，求证：OC=OB【答案】⑴证明见解析，(2)证明见解析.【解析】略15. 如图，四边形ABCD中, AB=AD AB丄BC ADL CD, P是对角线AC上一点,求证：PB=PD.【答案】证明见解析•【解析】试覆分析：易证AABC WAADC均为直角三角形.即可证明RTAABC^RTzlADC ’可= ZDAC ,即可证明△BAP^DDAP ,可得PB^PD t即可解题・试题解析：•/ AB=AD AB丄BC AD L CD AC=AC••• Rt△ ABC^ Rt△ ADC( HL)••• CB=C(全等三角形的对应边相等)•AC平分/ BAD(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)•/ AB=AD Z BAP2 ADP AP=AP•△APB^A APD.(SAS)•PB=PD.(全等三角形的对应边相等)点睛：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证RT^ABC^RT^ADC 和厶BAP^A DAP是解题的关键.。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明全章教案
- AAS（角-角-边）全等定理
3.节：三角形的角平分线、中线、高线
-三角形角平分线的性质与判定
-三角形中线的性质与判定
-三角形高线的性质与判定
4.节：等腰三角形的性质与判定
-等腰三角形的底角相等
-等腰三角形的底边中线等于底边
-等腰三角形的顶角平分线、底边中线、底边高线互相重合
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调全等三角形的SSS、SAS、ASA、AAS判定定理和等腰三角形的性质这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形证明相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示全等三角形判定定理的基本原理。
北师大版八年级数学下容
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明全章教案：
1.节：三角形的性质与判定
-三角形的内角和定理
-三角形的两边之和大于第三边
-三角形的两边之差小于第三边
2.节：全等三角形的判定
- SSS（边-边-边）全等定理
- SAS（边-角-边）全等定理
实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作的过程较为顺利。但在成果展示环节，我发现部分学生表达不够清晰，逻辑推理能力有待提高。因此，在接下来的教学过程中，我将注重培养学生的表达能力和逻辑推理能力。
学生小组讨论环节，大家积极参与，气氛活跃。但在讨论过程中，我也发现了一些问题。例如，有些学生在讨论时容易偏离主题，讨论内容与三角形证明的实际应用关联性不强。针对这个问题，我将在今后的教学中加强对学生的引导，确保讨论内容紧扣主题。
北师大版八年级数学下册《一章 三角形的证明 4. 角平分线 角平分线》公开课课件_4
用心想一想，马到功成
[例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD 是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD=4 cm，求AC的长；
A
(2)求证：AB=AC+CD．
(2)证明：由(1)的求解过程可知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL)
用心想一想，马到功成
请作出一个三角形三个内角 的角平分线，你发现了什么？
三角形的三条角平分线相交于一点
用心想一想，马到功成
证明：三角形三条角平分线相交于一点．
已知：如图，设△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，
求证：P点在∠BAC的角平分线上．
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC， PE⊥BC，其中D、E、F是垂足
C ∴AC=AE． ∵BE=DE=CD， ∴AB=AE+BE=AC+CD．
E
D
B
比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
三边垂直平分线 三条角平分线
三角 形
锐角三角形 钝角三角形 直角三角形
交点性质
比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
三边垂直平分线 三条角平分线
三角 形
锐角三角形 钝角三角形 直角三角形
(1)已知CD=4 cm，求AC的长；
(2)求证：AB=AC+CD．
E
CD B
(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB ∴DE=CD=4cm ∵AC=BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角) ∵∠C=90°，∴∠B= ×90°=45°． ∴∠BDE=90°—45°=45°． ∴BE=DE(等角对等边)． 在等腰直角三角形BDE中
八年级数学下册第一章三角形的证明1.4.2角平分线课后作业(新版)北师大版
1.4.2 角平分线1．如图，△AB C 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ∶S △BCO ∶S △CAO 等于( )A ．1∶1∶1B ．1∶2∶3C ．2∶3∶4D ．3∶4∶52．边长为7，24，25的△ABC 内有一点P 到三边的距离相等，则这个距离是( )A ．1B ．3C ．4D ．63．如图，O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边AB ，BC ，AC 的距离OD ＝OE ＝OF ，若∠A＝70°，则∠BOC＝ ．4．如图，在△ABC 中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC ，PD ＝PE ＝PF ，求证：∠BPC＝90°＋12∠B AC.5．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BD 是Rt△ABC 的一条角平分线，点O ，E ，F 分别在BD ，BC ，AC 上，且四边形OECF 是正方形． (1)求证：点O 在∠BAC 的平分线上；(2)若AC ＝5，BC ＝12，求OE 的长．参考答案 1.C 2.B 3. 125°4. 证明：∵PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD ＝PE ＝PF ， ∴点P 是△ABC 三个内角平分线的交点．∴CP 平分∠ACB，BP 平分∠AB C.∴∠PCB＝12∠ACB，∠PBC＝12∠ABC.∴∠BPC＝180 °－∠PCB－∠PBC＝180 °－12∠ACB－12∠ABC＝180 °－12(∠ACB＋∠ABC)＝180 °－12(180 °－∠BAC)＝90 °＋12∠BAC.5.解：(1)证明：过点O 作OM⊥AB 于点M.∵四边形O ECF 为正方形，∴OE＝EC ＝CF ＝OF ，OE⊥BC 于点E ，OF⊥AC 于点F. ∵BD 是∠ABC 的平分线，OM⊥AB，OE⊥BC， ∴OE＝OM.∴OM＝OF.∵OM⊥AB，OF⊥AC，∴AO 平分∠BAC，即点O 在∠BAC 的平分线上．(2)∵Rt△ABC 中，∠C＝90 °，AC ＝5，BC ＝12， ∴AB＝13.易证：BE ＝BM ，AM ＝AF.∵BE＝BC －CE ，AF ＝AC －C F ，且CE ＝CF ＝OE ， ∴BE＝12－OE ，AF ＝5－OE.∵BM＋AM ＝AB ，即BE ＋AF ＝13，∴12－OE ＋5－OE ＝13.解得OE ＝2.。
八年级数学下册第一章三角形的证明1.4角平分线教案1新版北师大版
《角平分线》线段的垂直平分线是义务教育课程标准实验教科书（北师版）《数学》八年级下册第一章第 4 节内容，本章主要是有关命题的证明及三角形的性质；本节要求了解勾股定理逆定理的证明方法结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题、知道原命题成立其。
所以本节的重点是进一步掌握演绎推理的方法。
学生的知识技能基础：通过上节的学习，学生对于角平分线性质定理和逆定理均有一个很深的了解和理解，在此基础上本节主要是通过例题来巩固定理和逆定理的应用，提高学生证明推理能力。
【知识与能力目标】（1）证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论。
（2）角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用。
【过程与方法目标】（1）进一步发展学生的推理证明意识和能力。
（2）培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力。
（3）提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力。
【情感态度价值观目标】①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。
②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
【教学重点】①三角形三个内角的平分线的性质。
②综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题。
【教学难点】角平分线的性质定理和判定定理的综合应用。
教学过程第一环节：设置情境问题，搭建探究平台问题I习题1. 8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？能证明自己发现的结论一定正确吗？于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点”。
当然学生可能会提到折纸证明、软件演示等方式证明，但最终，教师要引导学生进行逻辑上的证明。
第二环节：展示思维过程，构建探究平台已知：如图，设△ ABC的角平分线.BM CN相交于点P,证明：P点在ZB AC的角平分线上.证明：过P点作PDL AB PF1 AC PE丄BC其中D E、F是垂足.••• BM是△ ABC的角平分线，点P在BM上，••• PD=PE角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.同理：PE=PF.• PD=PF.•••点P在Z BAC的平分线上（在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）.•••△ABC的三条角平分线相交于点P.在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢？（PD=PE=PF,即这个交点到三角形三边的距离相等. ）于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.F三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点钝角三角形交于三角形外一点直角三角形交于斜边的中点问题2如图：直线11、丨2、丨3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的？要求学生思考、交流。
八年级数学下册1三角形的证明课题角平分线学案新版北师大版
课题角平分线【学习目标】1．探索并理解角平分线的性质及判定．2．能灵活运用角平分线的性质和判定解决有关问题．【学习重点】角平分线性质定理及判定定理的推导及运用．【学习难点】应用角平分线性质定理及判定定理进行求解与证明．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．知识链接：角是轴对称图形，角平分线所在直线是它的对称轴．情景导入生成问题旧知回顾：1．什么是角平分线？答：角平分线是以这个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分为相等的两个角．2.用折纸法画出∠AOB的平分线，在角平分线上取一点P，从点P分别向角的两边作垂线，垂足为D、E，则PD 和PE相等吗？答：相等，由∠1＝∠2，∠PDO＝∠PEO＝90°，OP＝OP，∴△PDO≌△PEO，∴PD＝PE.自学互研生成能力知识模块一角平分线的性质定理【自主探究】阅读教材P28的内容，回答下列问题：角平分线性质定理内容是什么？答：角平分线上的点到这个角的两边距离相等．范例1：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DC＝3，则点D到AB的距离是3．(图1)(图2)方法指导：角平分线性质应用十分广泛，它是特定图形下AAS的简写，做题时联系轴对称图形思考并添加辅助线．方法指导：常见辅助线的作法：①在角的两边上截取等长线段；②过角平分线上一点向两边作垂线段；③连接角内一点与角的顶点．行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组在展示过程中，老师引导其他组进行补充，纠错，最后进行总结评分．学习笔记：检测可当堂完成．仿例1：如图2，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，下列结论中不一定成立的是( D)A．PA＝PB B．PO平分∠APBC．OA＝OB D．AB垂直平分OP仿例2：如图3，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E，AB＝a，CD＝m，则AC的长为a－m．(图3)(图4)仿例3：如图4，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：DE＝DF.证明：连接AD，在△ACD和△ABD中，AC＝AB，CD＝BD，AD＝AD，∴△ACD≌△ABD(SSS)，∴∠EAD＝∠FAD，即AD平分∠EAF.∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴DE＝DF.归纳：角平分线性质与三角形全等相结合，根据轴对称图形对应线段相等来思考问题．知识模块二角平分线的判定定理角平分线性质定理的逆命题是什么？它是真命题吗？为什么？答：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，它是真命题．如图PD⊥OA，PE⊥OB，且PD＝PE，求证：点P在∠AOB的角平分线上．证明：连接OP，由HL定理可得△PDO≌△PEO，∴∠POD＝∠POE，即点P在∠AOB的角平分线上．范例2：如图所示，AB∥CD，O为∠A、∠C的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝1，则AB与CD之间的距离等于2．仿例：如图，AB⊥AD，BC⊥CD，若AB＝BC，则点B在∠ADC的角平分线上；若点D在∠ABC的角平分线上，则AD＝DC．归纳：角平分线的判定是HL定理在此图中的简写，它与角平分线性质定理互为逆定理．交流展示生成新知【交流预展】1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．【展示提升】知识模块一角平分线的性质定理知识模块二角平分线的判定定理检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
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《角平分线》
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：通过上节的学习，学生对于角平分线性质定理和逆定理均有一个
很深的了解和理解，在此基础上本节主要是通过例题来巩固定理和逆定理的应用，提高学生
证明推理能力.
二、教学任务分析
本节课的教学目标是：
1．知识目标
(1)证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论．
(2)角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用．
2．能力目标
(1)进一步发展学生的推理证明意识和能力．
(2)培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力．
(3)提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力．
3．情感与价值观要求
①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
4．教学重点、难点
重点
①三角形三个内角的平分线的性质．
②综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题．
难点
角平分线的性质定理和判定定理的综合应用．
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：第一环节：设置情境问题，搭建探究平台；第二环节：展
示思维过程，构建探究平台；第三环节：例题讲解；第四环节：课时小结；第五环节：课后
作业.
第一环节：设置情境问题，搭建探究平台
问题l 习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？能证明自己
发现的结论一定正确吗？
于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点” ．
当然学生可能会提到折纸证明、软件演示等方式证明，但最终，教师要引导学生进行逻
辑上的证明.
第二环节：展示思维过程，构建探究平台
已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，
证明：P点在∠BAC的角平分线上．
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．
同理：PE=PF．
∴PD=PF．
∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平
分线上)．
∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”
的成果呢？
(PD=PE=PF，即这个交点到三角形三边的距离相等．)
于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交
于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
三边垂直平分线 三条角平分线
三
角形
锐角三角形 交于三角形内一点
交于三角形内一点
钝角三角形 交于三角形外一点
直角三角形 交于斜边的中点
交点性质
到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距
离相等
问题2
如图：直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三
条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的？
l
3
l
2
1
l
C
B
A
D
F
E
M
N
C
B
A
P
要求学生思考、交流.实况如下：
[生]有一处．在三条公路的交点A、B、C组成的△ABC三条角平分线的交点处．因为三角
形三条角平分线交于一点，且这一点到三边的距离相等．而现在要建的货物中转站要求它到
三条公路的距离相等．这一点刚好符合．
[生]我找到四处．(同学们很吃惊)除了刚才同学找到的三角形ABC内部的一点外，我认
为在三角形外部还有三点．作∠ACB、∠ABC外角的平分线交于点P1(如下图所示)，我们利用
角平分线的性质定理和判定定理，可知点P1在∠CAB的角平分线上，且到l1、l2、l3的距离
相等．同理还有∠BAC、∠BCA的外角的角平分线的交点P3；因此满足条件共4个，分别是P、
P1、P2、P
3
P
1
P
l
3
l
2
1
l
C
B
A
第三环节：例题讲解
[例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB，垂足为E
．
(1)已知CD=4 cm，求AC的长；
(2)求证：AB=AC+CD．
分析：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在
一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它
们解决问题．第(1)问中，求AC的长，需求出BC的长，而BC=CD+DB，CD=4
cIn，而BD在等腰直角三角形DBE中，根据角平分线的性质，DE=CD=4cm
，
再根据勾股定理便可求出DB的长．第(2)问中，求证AB=AC+CD．这是我们第一次遇到这种形
式的证明，利用转化的思想AB=AE+BE，所以需证AC=AE，CD=BE．
(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，
∠C=90°，DE⊥AB．
∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)．
∵∠AC=∠BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角)．
∵∠C=90°，
∴∠B=12 ×90°=45°．
A
D
B
E
C
∴∠BDE=90°—45°＝45°．
∴BE=DE(等角对等边)．
在等腰直角三角形BDE中
BD=2DE2.=4 2 cm
(勾股定理)，
∴AC=BC=CD+BD=(4+42)cm．
(2)证明：由(1)的求解过程可知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL
定理)
∴AC=AE．
∵BE=DE=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD．
[例2]已知：如图，P是么AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D．
求证：(1)OC=OD；
(2)OP是CD的垂直平分线．
P
D
A
E
C
O
B
证明：(1)P是∠AOB角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等)．
在Rt△OPC和Rt△OPD中，
OP=OP，PC=PD
，
∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL定理)．
∴OC=OD(全等三角形对应边相等)．
(2)又OP是∠AOB的角平分线，
∴OP是CD的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理)．
思考：图中还有哪些相等的线段和角呢？
第四环节：课时小结
本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这
一点到三角形各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算
和证明问题．
第五环节：课后作业
习题1.10第1、2题
四、教学反思
本节对学生能力的要求很高，如例1中问题作为教师要善于 利用这个典型例题，加以发
挥，使例题的功能得以体现，达到以点带线，以线带面的功效.如果课堂时间允许还可以将
该题加以改变，用多种方法证明和求解.