新课标人教版高中数学必修二课件：圆的标准方程
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高中数学人教版必修二《圆的标准方程》课件
圆的标准方程
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
在直角坐标平面中确定一条直线的方法有哪些？ 两点可以确定一条直线；一点和倾斜角可以确定一条直线； 横、纵截距可以确定一条直线等等. 直角坐标平面中两点间的距离公式：设点 则这两点间的距离 ，
检测下预习效果：
点击“随堂训练”
选择“《圆的标准方程》预习自测”
问题探究
课堂小结
随堂检测
（1）确定圆的基本要素是圆心和半径； （2）圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程为 （3）点 点 点 点 与圆C： 在圆C上 在圆C内 在圆C外 的位置关系： ； ； ； ；
知识回顾 重难点突破
问题探究
课堂小结
随堂检测
（1）圆的标准方程的推导思想和过程；
（2）在各种条件下会求圆的圆心坐标和半径大小，进而求出圆的方程.
【思路点拨】找圆心坐标和半径大小是求得方程的关键. 【解题过程】因为线段AB为直径，所以圆心坐标为(1,0)，半径 所以圆的方程为 . ，
知识回顾
强化提升、灵活应用
问题探究
课堂小结
随堂检测
例3. 已知圆与x轴相切，圆心在直线y=2x上，且被直线x+y-3=0平分周 长，求该圆的标准方程. 【思路点拨】直线平分圆周长，则圆心必在该直线上. 【解题过程】∵圆被直线平分周长，∴圆心必在直线x+y-3=0上， 所以由条件可知圆心为直线y=2x和x+y-3=0的交点，即圆心C(1,2)
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究二：圆的标准方程
•活动① 如果圆心C的坐标为(a,b)，半径大小为r，那么圆的方程是什么？
设圆上任意一点M(x,y)，则M到圆心C的距离等于半
知识回顾
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在直角坐标平面中确定一条直线的方法有哪些？ 两点可以确定一条直线；一点和倾斜角可以确定一条直线； 横、纵截距可以确定一条直线等等. 直角坐标平面中两点间的距离公式：设点 则这两点间的距离 ，
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（1）确定圆的基本要素是圆心和半径； （2）圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程为 （3）点 点 点 点 与圆C： 在圆C上 在圆C内 在圆C外 的位置关系： ； ； ； ；
知识回顾 重难点突破
问题探究
课堂小结
随堂检测
（1）圆的标准方程的推导思想和过程；
（2）在各种条件下会求圆的圆心坐标和半径大小，进而求出圆的方程.
【思路点拨】找圆心坐标和半径大小是求得方程的关键. 【解题过程】因为线段AB为直径，所以圆心坐标为(1,0)，半径 所以圆的方程为 . ，
知识回顾
强化提升、灵活应用
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课堂小结
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例3. 已知圆与x轴相切，圆心在直线y=2x上，且被直线x+y-3=0平分周 长，求该圆的标准方程. 【思路点拨】直线平分圆周长，则圆心必在该直线上. 【解题过程】∵圆被直线平分周长，∴圆心必在直线x+y-3=0上， 所以由条件可知圆心为直线y=2x和x+y-3=0的交点，即圆心C(1,2)
知识回顾
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课堂小结
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探究二：圆的标准方程
•活动① 如果圆心C的坐标为(a,b)，半径大小为r，那么圆的方程是什么？
设圆上任意一点M(x,y)，则M到圆心C的距离等于半
必修2《圆的标准方程》1(人教版)PPT课件
极坐标方程与标准方程的关系
通过极坐标与直角坐标的转换公式 $x = rcostheta, y = rsintheta$， 可以将极坐标方程转换为标准方程。
标准方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 可以通过配方转换为极坐标方 程。
极坐标方程的应用
描述圆的形状和大小。 解决与圆相关的几何问题，如求圆的面积、周长等。
圆的几何意义
01
02
03
04
圆是中心对称图形，对称中心 是圆心。
圆也是轴对称图形，任何经过 圆心的直线都是它的对称轴。
圆的周长与直径的比值是一个 常数，这个常数叫做圆周率π
。
圆的面积与半径的平方成正比 ，比例系数是π。
2023
PART 02
圆的标准方程
REPORTING
标准方程的形式
圆的标准方程为： $(x - a)^{2} + (y b)^{2} = r^{2}$
切线的定义
与圆有且仅有一个公共点 的直线。
切线的性质
切线与半径垂直，且切点 到圆心的距离等于半径长 。
切线的判定方法
若直线与圆有公共点，且 过该点的半径与直线垂直 ，则该直线为圆的切线。
2023
PART 06
圆的综合应用
REPORTING
圆与直线的位置关系
相离
直线与圆没有交点，即圆心到直 线的距离大于圆的半径。
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$
标准方程的应用
用于判断点与圆的位置关系 用于求解与圆有关的轨迹问题
用于求解圆的切线方程 用于解决与圆相关的最值问题
2023
高中数学：4.《圆的标准方程》【新人教A版必修2】PPT完美课件
解:当M不在坐标上时，设切线的斜率为k,则k= - 1 .
kOM
=
y0 , x0
k = - x0 . y
0
kOM y
经过点M 的切线方程是
y
-
y0
=
-
x0 y
(x-
x0 ),
0
M(x0, y0)
整理得 x0x+y0y=x0 2+y0 2.
O
x
因为点M在圆上,所以
所求的切线方程是 x0
x2 + y2 = r
(x-a)2+(y-b)2=r2
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
练习 1 (口答) 、求圆的圆心及半径
(1)、x2+y2=4 (2)、(x+1)2+y2=1
y
Y
-2
0 +2 X
-1 0
X
C(0、0) r=2
C(-1、0) r=1
练习 2、写出下列圆的方程
（1）、圆心在原点，半径为3；
（2）、圆心在(-3、4),半径为 5
高中数学：4.《圆的标准方程》【新 人教A版 必修2 】PPT完 美课件
把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m
答：支柱A2P2的长度约为3.86m.
高中数学：4.《圆的标准方程》【新 人教A版 必修2 】PPT完 美课件
高中数学：4.《圆的标准方程》【新 人教A版 必修2 】PPT完 美课件
•
2对教育来说，阅读是最基础的教学手 段，教 育里最 关键、 最重要 的基石 就是阅 读。
高中数学人教版必修2第四章圆的方程全章公开课课件
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
例1. 已知线段AB的端点B的坐标为（4,3），端点A在圆 (x+1)2+y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。
相关点法：又叫代入法. 在直角坐标系中,一个点
的运动变化引起另外一些点的运动变化（这些点具有 相关性）,把它们的坐标用一个表示另外一个,再代入 已知轨迹方程,就可求出未知的轨迹方程.
（2）没有xy这样的项。
探究：当D=0，E=0或F=0时，
圆 x2y2D xE yF0 的位置分别 有什么特点？
y
y
y
C
C
C
o
x
o
x
o
x
D=0
E=0
F=0
练习1:下列方程各表示什么图形?
(1)x2 y2 0__原__点_(_0_,0_) (2)x2 y2 2x4y60____ (3)x2 y2 2axb2 0________
(2) x2y22axya0 是圆的方程的充要条件是( D )
(A)a 1 2
(B)a 1 (C )a 1
2
2
(D)a 1 2
x (3)圆 x2y28x10yF0与 轴相切,则这个圆截 y
轴所得的弦长是 ( A )
( A)6 (B )5 (C )4
(D )3
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程
圆心 (1, 1) ，半径3
⑵圆 (x－2)2+ (y+4)2=2
圆心 (2, －4) ，半径 2 . ⑶圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2
圆心 (－1, －2) ，半径|m|
《圆的标准方程教学》人教版高中数学必修二PPT课件(第4.411课时)
2、圆的特征是什么？
✓ 圆上每个点到圆心的距离为半径
✓ 到圆心的距离为半径的点在圆上
新知探究
解析几何的基本思想
圆在坐标系下有什么样的方程？
新知探究
已知圆的圆心c(a,b)及圆的半径R,在直角坐标系下如何确定圆的方程？
y
M
R
P={M||MC|=R}
C(a,b)
O
x
新知探究
圆的标准方程
设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．
若圆心在X轴上，则方程为：( − )2 + 2 = 2
若圆心在Y轴上，则方程为： 2 + ( − )2 = 2
可见，圆心用来定位
若半径r=1，就成了单位圆。可见半径用来定形。
C
O
x
新知探究
圆的方程情势有什么特点？
特点：
这是二元二次方程，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．
讲授人：XXX 时间：202X.6.1
P P T
新知探究
例1:根据下列条件，求圆的方程：
⑴圆心在点C（-2,1），并过点（2，-2）的圆。
⑵圆心在点C(1,3)，并与直线3 − 4 − 6 = 0 相切的圆的方程。
⑶过点（0,1）和点（2,1），半径为 5 。
新知探究
⑴圆心在点C（-2,1），并过点（2，-2）的圆。
解：（1）∵点（2，-2）在圆上，∴所求圆的半径为
(5 −
于是൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ⇒
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
=2
ቐ = −3
=5
所求圆的方程为：( − 2)2 +( + 3)2 = 25
✓ 圆上每个点到圆心的距离为半径
✓ 到圆心的距离为半径的点在圆上
新知探究
解析几何的基本思想
圆在坐标系下有什么样的方程？
新知探究
已知圆的圆心c(a,b)及圆的半径R,在直角坐标系下如何确定圆的方程？
y
M
R
P={M||MC|=R}
C(a,b)
O
x
新知探究
圆的标准方程
设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．
若圆心在X轴上，则方程为：( − )2 + 2 = 2
若圆心在Y轴上，则方程为： 2 + ( − )2 = 2
可见，圆心用来定位
若半径r=1，就成了单位圆。可见半径用来定形。
C
O
x
新知探究
圆的方程情势有什么特点？
特点：
这是二元二次方程，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．
讲授人：XXX 时间：202X.6.1
P P T
新知探究
例1:根据下列条件，求圆的方程：
⑴圆心在点C（-2,1），并过点（2，-2）的圆。
⑵圆心在点C(1,3)，并与直线3 − 4 − 6 = 0 相切的圆的方程。
⑶过点（0,1）和点（2,1），半径为 5 。
新知探究
⑴圆心在点C（-2,1），并过点（2，-2）的圆。
解：（1）∵点（2，-2）在圆上，∴所求圆的半径为
(5 −
于是൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ⇒
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
=2
ቐ = −3
=5
所求圆的方程为：( − 2)2 +( + 3)2 = 25
高中数学必修二 第四章 圆的方程 全套PPT
港口
O
轮船
这样，受台风影响的圆区域 所对应的圆心为O 的圆的方程为
港口
x2 y 2 9
轮船航线所在直线 l 的方程为
O
轮船
4 x 7 y 28 0
问题归结为圆心为O 的圆与直线 l 有无公共点．
想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？
平面几何中，直线与圆有三种位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点．
2 2
2
标准方程
特别地，若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x y r
2 2
2
圆的标准方程
已知圆的圆心为C(a,b),半径为r,求圆的方程. 解：设点M (x,y)为圆C上任一点， 圆上所有点的集合
y
M(x,y)
P = { M | |MC| = r }
( x a ) ( y b) r
3.求圆的一般方程的方法： ①待定系数法；②代入法.
小结：求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
待定系数法
设方程为 ( x a ) 2 ( y b) 2 r 2 (或x 2 y 2 Dx Ey F 0)
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
(5 a ) 2 (1 b) 2 r 2 a2 2 2 2 (7 a ) (3 b) r b 3 (2 a) 2 (8 b) 2 r 2 r 5
所求圆的方程为
( x 2) ( y 3) 25
2 2
待定系数法
例2 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）, 端点A在圆(x+1)2+y2=4 上运动，求线段AB的中点M 的轨迹方程.
O
轮船
这样，受台风影响的圆区域 所对应的圆心为O 的圆的方程为
港口
x2 y 2 9
轮船航线所在直线 l 的方程为
O
轮船
4 x 7 y 28 0
问题归结为圆心为O 的圆与直线 l 有无公共点．
想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？
平面几何中，直线与圆有三种位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点．
2 2
2
标准方程
特别地，若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x y r
2 2
2
圆的标准方程
已知圆的圆心为C(a,b),半径为r,求圆的方程. 解：设点M (x,y)为圆C上任一点， 圆上所有点的集合
y
M(x,y)
P = { M | |MC| = r }
( x a ) ( y b) r
3.求圆的一般方程的方法： ①待定系数法；②代入法.
小结：求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
待定系数法
设方程为 ( x a ) 2 ( y b) 2 r 2 (或x 2 y 2 Dx Ey F 0)
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
(5 a ) 2 (1 b) 2 r 2 a2 2 2 2 (7 a ) (3 b) r b 3 (2 a) 2 (8 b) 2 r 2 r 5
所求圆的方程为
( x 2) ( y 3) 25
2 2
待定系数法
例2 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）, 端点A在圆(x+1)2+y2=4 上运动，求线段AB的中点M 的轨迹方程.
人教版高中数学必修2第四章第1节《圆的标准方程》ppt参考课件2
小1.结圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
(x a)2 (y b)2
2.圆心
C
①两条直线的交点
（弦的垂直平分线）
②直径的中点
O
3.半径
C
①圆心到圆上一点的距离
②圆心到切线的距离
A
B
x
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
C(2,-8)
解题思路：圆心：两条中垂线的交点 半径：圆心到圆上一点
A(5,1) x
B(7,-3)
例2．已知圆的方程是 x2 y2 ，r求2 经过圆上一点
M x的0切, y线0 的方程．
y
解：设切线的斜率为 k,半径OM的斜率为k1
由题意：k
k1
y k1 0
x0
1
k
练习
求圆的圆心及半径 (1)、x2+y2=4 (2)、(x+1)2+y2=1
(3)、(x 2)2 (y 3)2 m2 (m 0)
例1 △ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.
高中数学必修课件第二章圆的标准方程
基本元素
圆心、半径、弧、弦等。
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
圆的表示方法
通常用圆心坐标和半径长度来表示一个圆，如 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$。
圆的性质与定理
性质
圆是中心对称图形，也是轴对称图形 ；同圆或等圆中，相等的圆心角所对 的弧相等，所对的弦也相等；垂直于 弦的直径平分这条弦等。
定理
垂径定理、切线长定理、割线定理、 相交弦定理等。
确定圆心坐标和半径
在平面直角坐标系中，圆心坐标为$(a,b)$， 半径为$r$。
列出距离公式
根据两点间距离公式，圆上任一点$P(x,y)$ 到圆心$O(a,b)$的距离为$sqrt{(xa)^{2}+(y-b)^{2}}$。
列出等式并化简
由于点$P$在圆上，其到圆心的距离等于半 径$r$，因此有$sqrt{(x-a)^{2}+(yb)^{2}}=r$，平方后得到圆的标准方程$(xa)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$。
例如，对于圆$(x-1)^2+(y-2)^2=4$ 和点$P(2,3)$，因为$(2-1)^2+(32)^2=2<4$，所以点$P$在圆内。
若$(x_0-a)^2+(y_0-b)^2<r^2$，则 点$P$在圆内。
求解与圆有关的最值问题
利用圆心到直线的距离公式求解最值问题。 例如，求圆$(x-1)^2+(y-2)^2=4$上的点到 直线$3x+4y-10=0$的距离的最大值和最小 值。
点与圆、直线与圆的位置关系
点与圆的位置关系
点在圆内、点在圆上、点在圆外。
直线与圆的位置关系
直线与圆相交、直线与圆相切、直线与圆相离。
圆心、半径、弧、弦等。
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
圆的表示方法
通常用圆心坐标和半径长度来表示一个圆，如 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$。
圆的性质与定理
性质
圆是中心对称图形，也是轴对称图形 ；同圆或等圆中，相等的圆心角所对 的弧相等，所对的弦也相等；垂直于 弦的直径平分这条弦等。
定理
垂径定理、切线长定理、割线定理、 相交弦定理等。
确定圆心坐标和半径
在平面直角坐标系中，圆心坐标为$(a,b)$， 半径为$r$。
列出距离公式
根据两点间距离公式，圆上任一点$P(x,y)$ 到圆心$O(a,b)$的距离为$sqrt{(xa)^{2}+(y-b)^{2}}$。
列出等式并化简
由于点$P$在圆上，其到圆心的距离等于半 径$r$，因此有$sqrt{(x-a)^{2}+(yb)^{2}}=r$，平方后得到圆的标准方程$(xa)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$。
例如，对于圆$(x-1)^2+(y-2)^2=4$ 和点$P(2,3)$，因为$(2-1)^2+(32)^2=2<4$，所以点$P$在圆内。
若$(x_0-a)^2+(y_0-b)^2<r^2$，则 点$P$在圆内。
求解与圆有关的最值问题
利用圆心到直线的距离公式求解最值问题。 例如，求圆$(x-1)^2+(y-2)^2=4$上的点到 直线$3x+4y-10=0$的距离的最大值和最小 值。
点与圆、直线与圆的位置关系
点与圆的位置关系
点在圆内、点在圆上、点在圆外。
直线与圆的位置关系
直线与圆相交、直线与圆相切、直线与圆相离。
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注意： 要将直线方程化为一般式．
圆 已知两条平行直线方程为: 的 Ax By C1 0和Ax By C2 0 标 则它们之间的距离为: 准 C1 C2 d 方 2 2 A B 程
两条平行直线间的距离
【主体自学】
看书P128-----130
圆 【排忧解惑】 的 圆的标准方程 标 圆的定义： 准 平面内到定点的距离等于定长的点的集合。 方 圆心 定点 r 程 C
圆 的 标 M x 准 方 程
圆心：已知
半径：圆心到切线的距离
小结
1.圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
A
2.圆心
①两条直线的交点 （弦的垂直平分线） ②直径的中点
C
3.半径
①圆心到圆上一点 ②圆心到切线的距离
O C
圆 的 标 准 B 方 x 程
圆 的 标 准 方 程
例2
解：设所求圆的方程为：
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a ) 2 (1 b) 2 r 2 a2 2 2 2 (7 a ) (3 b) r b 3 (2 a ) 2 (8 b) 2 r 2 r 5
2 2
(2)r | CM | 5
( x 8) ( y 3) 25
2 2
圆 的 标 准 方 程
求圆心和半径
⑴圆 (x－1)2+ (y－1)2=9 圆心 (1, 1) ，半径3 ⑵圆 (x－2)2+ (y+4)2=2 圆心 (2, －4) ，半径 ⑶圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2 圆心 (－1, －2) ，半径|m|
圆 圆心C(a,b),半径r M(x,y) 的 x O 标 C 准 标准方程 方 若圆心为O（0，0），则圆的方程为： 程
y
例1
若点到圆心的距离为d，
(1)d>r时，点在圆外；
(2)d=r时，点在圆上；
(3)d<r时，点在圆内;
圆 的 标 准 方 程
练习 1
(1)( x 3) ( y 4) 5
·
定长
半径
圆的标准方程
圆心是C(a,b),半径是r,求圆的方程. 设点M (x,y)为圆C上任一点， 则 |MC|= r 圆上所有点的集合 P = { M | |MC| = r } y
O
( x a ) ( y b) r
2 2
圆 的 标 M(x,y) 准 x C 方 程
圆的标准方程
圆 的 标 准 方 程
圆 的 【目标导学】 1.能根据图形推导出圆的标准方程； 标 2.能根据条件求圆的标准方程； 准 3.能根据方程求出圆心及半径； 方 4.掌握标准方程的字母意义。 程
点到直线距离公式
y
圆 S 的 Q l : Ax By C 0 标 d R 准 P (x ,y ) 方 O x | Ax By C | d 程 A B
93 46 6 a 5 b 2 2
1
1 2
P P 1 2
2
2
2
2
圆心：直径的中点
半径：直径的一半
例：求以C(1,3)为圆心,并且和直线 3x-4y-7=0 相切的圆. y 解： 设所求圆的半径为r 则：
r
| 3 1- 4 3 - 7 | 3 4
2 2
16 = 5
C
O
∴所求圆的方程为：
所求圆的方程为
待定系数法
圆 的 标 准 方 程
例3
y
O
C
l : x y 1 0
圆心：两条直线的交点
圆 弦AB的垂 A(1,1) 直平分线 的 x 标 准 B(2,-2) 方 程
半径：圆心到圆上一点
例2 方法二
O
圆 A(5,1) 的 标 x C 准 B(7,-3) 方 程 D(2,-8) 半径：圆心到圆上一点
y
圆心：两条弦的中垂线的交点
练习 3 解：设点C（a，b）为直径
的中点，则
圆 的 P (6,3) C P (4,9) 圆心坐标为（5，6） r CP 标 CM 10 （4 5） （9 6） 10 准 圆方程为 CN 13 10 方 CQ 3 10 （x 5） （y 6） 10 因此点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内。 程
0 0 2 2
注意： 要将直线方程化为一般式．
圆 已知两条平行直线方程为: 的 Ax By C1 0和Ax By C2 0 标 则它们之间的距离为: 准 C1 C2 d 方 2 2 A B 程
两条平行直线间的距离
【主体自学】
看书P128-----130
圆 【排忧解惑】 的 圆的标准方程 标 圆的定义： 准 平面内到定点的距离等于定长的点的集合。 方 圆心 定点 r 程 C
圆 的 标 M x 准 方 程
圆心：已知
半径：圆心到切线的距离
小结
1.圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
A
2.圆心
①两条直线的交点 （弦的垂直平分线） ②直径的中点
C
3.半径
①圆心到圆上一点 ②圆心到切线的距离
O C
圆 的 标 准 B 方 x 程
圆 的 标 准 方 程
例2
解：设所求圆的方程为：
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a ) 2 (1 b) 2 r 2 a2 2 2 2 (7 a ) (3 b) r b 3 (2 a ) 2 (8 b) 2 r 2 r 5
2 2
(2)r | CM | 5
( x 8) ( y 3) 25
2 2
圆 的 标 准 方 程
求圆心和半径
⑴圆 (x－1)2+ (y－1)2=9 圆心 (1, 1) ，半径3 ⑵圆 (x－2)2+ (y+4)2=2 圆心 (2, －4) ，半径 ⑶圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2 圆心 (－1, －2) ，半径|m|
圆 圆心C(a,b),半径r M(x,y) 的 x O 标 C 准 标准方程 方 若圆心为O（0，0），则圆的方程为： 程
y
例1
若点到圆心的距离为d，
(1)d>r时，点在圆外；
(2)d=r时，点在圆上；
(3)d<r时，点在圆内;
圆 的 标 准 方 程
练习 1
(1)( x 3) ( y 4) 5
·
定长
半径
圆的标准方程
圆心是C(a,b),半径是r,求圆的方程. 设点M (x,y)为圆C上任一点， 则 |MC|= r 圆上所有点的集合 P = { M | |MC| = r } y
O
( x a ) ( y b) r
2 2
圆 的 标 M(x,y) 准 x C 方 程
圆的标准方程
圆 的 标 准 方 程
圆 的 【目标导学】 1.能根据图形推导出圆的标准方程； 标 2.能根据条件求圆的标准方程； 准 3.能根据方程求出圆心及半径； 方 4.掌握标准方程的字母意义。 程
点到直线距离公式
y
圆 S 的 Q l : Ax By C 0 标 d R 准 P (x ,y ) 方 O x | Ax By C | d 程 A B
93 46 6 a 5 b 2 2
1
1 2
P P 1 2
2
2
2
2
圆心：直径的中点
半径：直径的一半
例：求以C(1,3)为圆心,并且和直线 3x-4y-7=0 相切的圆. y 解： 设所求圆的半径为r 则：
r
| 3 1- 4 3 - 7 | 3 4
2 2
16 = 5
C
O
∴所求圆的方程为：
所求圆的方程为
待定系数法
圆 的 标 准 方 程
例3
y
O
C
l : x y 1 0
圆心：两条直线的交点
圆 弦AB的垂 A(1,1) 直平分线 的 x 标 准 B(2,-2) 方 程
半径：圆心到圆上一点
例2 方法二
O
圆 A(5,1) 的 标 x C 准 B(7,-3) 方 程 D(2,-8) 半径：圆心到圆上一点
y
圆心：两条弦的中垂线的交点
练习 3 解：设点C（a，b）为直径
的中点，则
圆 的 P (6,3) C P (4,9) 圆心坐标为（5，6） r CP 标 CM 10 （4 5） （9 6） 10 准 圆方程为 CN 13 10 方 CQ 3 10 （x 5） （y 6） 10 因此点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内。 程