排列组合与概率统计
排列组合、二项式定理与概率统计
排列组合、二项式定理与概率统计
概率统计与排列组合和二项式定理是数学中的重要知识。
它们主要用来解释和计算物理实验的概率，以及理解事件出现的概率统计规律。
排列组合是概率统计的基础，是指在一组数中，每个数字的位置不同的可能的组合数。
它的公式有:A(n,m)=n(n-1)...(n-m+1)。
这里的A表示从n个中取出m个的排列数。
二项式定理（亦称二项分布定理）是研究一个随机变量满足二项分布的定理。
它是推导概率统计解决一些问题的重要方法，它通过如下公式来计算事件发生的概率：
C(n,k)=An,m/k!，其中n表示试验次数，m表示成功的次数，k表示重复的次数。
概率统计用来研究不同事件出现的可能性和规律。
这些规律会告诉我们正发生的事件的可能性有多大，并帮助我们更好地解释现象。
概率统计的计算和分析是一个复杂的过程，需要全面的、简易的的方法。
排列组合、二项式定理等工具是进行概率统计分析的有力帮助，它们可以帮助我们了解不同事件出现的概率，并对现象加以解释和推断。
数学中的排列组合与概率计算
数学中的排列组合与概率计算排列组合与概率计算是数学中重要的概念和工具，广泛应用于各个领域，包括统计学、物理学、计算机科学等。
本文将介绍排列组合与概率计算的基本概念和方法，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、排列组合的基本概念1.1 排列排列是从一组元素中选取若干元素按一定顺序排列的方式。
对于n 个不同的元素，从中选取m个元素进行排列，可以表示为P(n,m)。
排列的计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1。
1.2 组合组合是从一组元素中选取若干元素不考虑顺序的方式。
对于n个不同的元素，从中选取m个元素进行组合，可以表示为C(n,m)。
组合的计算公式为：C(n,m) = n! / (m! × (n-m)!)二、概率计算的基本原理概率是用来描述事件发生可能性的数值，它的取值范围在0到1之间，0表示不可能发生，1表示一定会发生。
概率计算基于排列组合的概念和原理，通过对事件的样本空间和事件的发生情况进行计数和分析，来得出事件发生的概率。
2.1 样本空间样本空间是指一个随机试验的所有可能结果的集合。
例如，掷一枚普通的硬币，它的样本空间包括正面和反面两个可能的结果。
2.2 事件事件是样本空间的子集，表示我们关心的某种结果。
例如，掷一枚硬币出现正面是一个事件。
2.3 概率概率是事件发生的可能性。
对于一个随机试验和事件，概率的计算公式为：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的发生情况数，n(S)表示样本空间的元素个数。
三、排列组合与概率计算的应用排列组合和概率计算在各个领域都有广泛的应用。
下面以几个具体的例子说明它们的具体应用。
3.1 组合在概率计算中的应用在扑克牌游戏中，计算一个牌型的概率就可以使用组合的概念。
附加题-排列组合、概率统计(2)
教学目标：掌握概率统计问题的算法。
教学重点：离散型随机变量的分布列，准确运用期望和方差公式，条件概率及相对独立事件、理解n 次独立重复实验的模型。
教学难点：条件概率及相对独立事件的概率求法，期望与方差公式运用。
教学过程：一、排列、组合、二项式定理1、排列数公式:A n m=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=错误！未找到引用源。
，!nn A n =.组合数公式：C nm=错误！未找到引用源。
，01nn n C C ==.组合数性质：mn mn nC C -=；2、二项式定理：掌握二项展开式的通项：1(0,1,2,...,)rn rrr n T C ab r n -+==；例1．已知)(321*∈++++=N n A A A A a nn n n n n ，当n ≥2时，求证：⑴na a n n =+-11；⑵12311111(1)(1)(1)(1)3na a a a n++++-≤（1）因为)2(A )]!1()1[()!1()!(!A 11n k n k n n n k n n k n kn ≤≤=----⋅=-=--，所以当2≥n 时，nna n 1=)A A A (21nn n n +++ =)]A A ([11111---+++n n n n n n n111111)A A (1----+=+++=n n n n a . 所以na a n n =+-11．（2）由（1）得1111---=+n n n n na a a a ，即1111--=+n n n na a a ，所以3241231231111(1)(1)(1)(1)234na a a a a a a a a a +⋅+⋅+⋅⋅+=⋅⋅…nn a n a )1(1++11(1)!(1)!n a n n +==++)A A A (112111+++++++n n n n +-+=)!1(1!1n n (11)12!1!+++11(1)(1)(2)n n n n ≤++--- (22)11+⨯++-+-+--=)2111()111(n n nn …2)211(+-+n13-=．［另法：可用数学归纳法来证明+-+)!1(1!1n n (11)1132!1n+++≤-！］ 二、概率分布1、离散性随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量ε可能取得值为： X1，X2，…，X3，…，ε取每一个值Xi （I=1，2，…）的概率为P （P xi ==)ε，则称表εX1 X2 … xi … PP1P2…Pi…为随机变量ε的概率分布，简称ε的分布列。
高考必背的排列组合与概率统计
有序 排 列 ， 序组 合． 无
（ ） 类 计 数 原 理 ： ｍｌｍ２ １分 Ｎ＝ ＋ ＋
…
口 生 的概 率 没有 影 响 ．这 样 的 两 发 个事 件 叫做 相 互 独 立事 件。 ７ ．几 种 类 型 的概 率 求 法 你 知
道吗？
（ ｍ 为各类办法中的方法数 １
分 步 计 数 原 理 ： ｍＩ …ｍ Ⅳ： ｍ２
ｆ 为 各 类办 法 中的 方法 数 ） ｍ． ．
（） 歹 ： （ １ － ） ２ 排 Ｉ ＡＴ ｎ－ ） － … ｊ ２
（ － １ ｔ ｎ ｍ＋ ）
０１ ． ＝１
旦
提 醒 （ ） 可 能 事件 的概 率 １等
ｎ－ ｍ
Ｊ （ ， — ｍ≤ ）规定 １ ｒ
（ 采 用排 列 组合 的 方 法 ） （ ＝ 常 ： Ａ） Ｐ
Ａ包含的等可能结果的个数
一
ｍ
次试验的等可能结果的总数 ｎ
（组 ： ＝ ３ 合ｃ 筹： ） ：
ｎｎ１一（－＋２ 一 （ ） ￣－ ｌ － ｎｍ
ｍ！
（） 斥 事 件 ： 招 ） （） ２互 Ｐ ＝ Ａ＋
提 醒 第ｒ ｌ 是 ＋ Ｃ 叶 ＋项 ： ６ ＝
（ ＝ １， ， ， 为 二 项 式 系数 ｒ ０， … ｎ） Ｃ：
（ ） 斥 事件 （ 不 相 容 事 ２互 互
件 ）Ａ・ ＝ ，Ａ与曰不 能 同时发 ： 曰 “
生” 叫做 、 互 斥． 曰
分点 ； （ 列频 率分 布表 ； 画频率 ⑤
６ 你 对 随 机 事 件 之 间 的关 系 ． 熟悉吗？ 提 醒 （ ） 然事 件ｎ， （ ＝ １必 Ｐ ｎ） １ 不 可能 事件 ４， （ ＝ ； ）Ｐ ）ｎ
高三数学总复习--排列组合与概率统计
排列组合复习一、 知识回顾1.分类计数原理和分步计数原理 （1）分类计数原理（加法原理）：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法。
那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。
(2) 分步计数原理（乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有 N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。
2.排列的定义：从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列 .3.排列数定义：从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示.4.排列数公式：!()()().()!n m n nn m n m A n An n n n m A n m --=---+==-1215.全排列：n 个不同元素全部取出的排列。
6.阶乘：从自然数1到n 的连乘积，记为!n n A n = ，规定：0！=17.组合的定义：从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素（这里的被取元素各不相同）并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
8.组合与排列的区别：组合无序，排列有序。
9.组合数：从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素的所有组合的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的组合数，用符号mn C 表示.10.组合数公式：()()()!.!!()!m m n n mm A n n n n m n C A m m n m ---+===-121()n m m n ≤∈*,,N11.两个性质：m n n m n C C -=；11-++=m nm n m n C C C ． 规定：01.n C =12.几个常用公式：⑴ !)!1(!n n n n -+=⋅ ⑵)!1(1!1)!1(+-=+n n n n ⑶ 111+++=+++m n m n m m m m C C C C⑷m mm m m n A A A ++++=1m m A ()m mm m m m m n m n C C C A C ++++++=⋅111概率统计复习分布列、数学期望和方差1、 分布列:ξx 1x 2 … x i … PP 1 P 2… P i…2、分布列的两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)3、数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξ x 1 x 2 … x n … Pp 1p 2…p n…则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望． 性质: b aE b a E +=+ξξ)(4、方差：ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋… 称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望． 性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+；（2）22)(ξξξE E D -=；5、二项分布:ξ～B (n ，p )，并记kn kkn qp C -＝b (k ；n ，p )．ξ1 … k … nPnn q p C 00111-n n q p C … kn k k n q p C - …q p C n n nE ξ=np, =ξD np (1-p )排列组合试题1、不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有A、12种B、20种C、24种D、48种2、有6个座位连成一排，安排3人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有A、36种B、48种C、72种D、96种3、从0，1，2，3，4每次取出不同的三个数字组成三位数，那么这些三位数的个位数字之和为A、80B、90C、110D、1204、以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是B、C、-6D、5、5人站成一排，其中A不在左端也不和B相邻的排法种数为A、48B、54C、60D、666、由数字0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有A、72B、60C、48D、527、用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第（）个数。
高中数学排列组合概率统计
排列组合：1．排列及计算公式．排列及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号用符号 p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n 2)……(n 2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式．组合及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从n 个不同元素中取出m(m m(m≤n)≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式．其他排列与组合公式从n 个元素中取出r 个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n 个元素被分成k 类，每类的个数分别是n1,n2,...nk 这n 个元素的全排列数为个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k 类元素,每类的个数无限,从中取出m 个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列（Pnm(n 为下标，m 为上标)）Pnm=n×（n-1）（n-m+1）；Pnm=n ！/（n-m ）！（注：！是阶乘符号）；Pnn （两个n 分别为上标和下标）分别为上标和下标） =n ！；0！=1；Pn1（n 为下标1为上标）=n 组合（Cnm(n 为下标，m 为上标)） Cnm=Pnm/Pmm Cnm=Pnm/Pmm ；；Cnm=n Cnm=n！！/m /m！（！（！（n-m n-m n-m）！；）！；）！；Cnn Cnn Cnn（两个（两个n 分别为上标和下标）分别为上标和下标） =1 =1 =1 ；；Cn1Cn1（（n 为下标1为上标）为上标）=n =n =n；；Cnm=Cnn-m排列定义 从n 个不同的元素中，取r 个不重复的元素，按次序排列，称为从n 个中取r 个的无重排列。
高考数学复习专题——排列组合-概率与统计(教师版)
一、排列组合问题的解题策略一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑〞法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进展排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。
评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑〞法解决，共有种排法。
二、不相临问题——选空插入法例2． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空〞法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .评注：假设个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空〞法解决，共有种排法。
三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比拟难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法〞，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。
例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。
例4． (1995年高考题) 1名教师和4名获奖学生排成一排照像留念，假设教师不排在两端，那么共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素〔教师〕的排法，因教师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法.例5．〔2000年全国高考题〕乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进展分类讨论，最后总计。
概率与统计如何求解排列与组合的问题
概率与统计如何求解排列与组合的问题在概率与统计中，排列与组合是常见的问题类型，它们涉及到对一组元素进行不同排列或选择的方式。
这些问题在实际生活中广泛应用，例如在抽奖、密码破解、数据分析等领域都有重要的作用。
本文将介绍如何求解排列与组合的问题。
一、排列问题排列是指从一组元素中选取若干个元素按特定的顺序排列，常用符号为P。
在计算排列问题时，我们需要考虑两个因素：元素的重复性和元素的顺序性。
1.1 无重复元素的排列当元素没有重复时，排列数可以直接通过计算阶乘来得到。
假设有n个元素，要从中选取r个元素进行排列，则排列数P可以表示为：\[P(n,r) = n!/(n-r)!\]1.2 有重复元素的排列当元素中存在重复元素时，排列数需要进行调整。
我们可以通过同理可知，假设有n个元素中，其中重复元素有m个，则排列数P可以表示为：\[P(n,r) = n!/(n_1! * n_2! * ... * n_m!)\]其中，n_1, n_2, ..., n_m表示每个重复元素的个数。
例如，有5个不同的字母要进行排列，其中有2个重复的字母，即n=5, m=2，要选取3个字母进行排列，即r=3，那么排列数P可以计算为：\[P(5,3) = 5!/(5-3)! = 60\]二、组合问题组合是指从一组元素中选取若干个元素，不考虑其顺序，常用符号为C。
在计算组合问题时，我们同样需要考虑元素的重复性。
2.1 无重复元素的组合当元素没有重复时，组合数可以通过排列数的除法得到。
假设有n 个元素，要从中选取r个元素进行组合，则组合数C可以表示为：\[C(n,r) = P(n,r)/r! = n!/(r! * (n-r)!) \]2.2 有重复元素的组合当元素中存在重复元素时，组合数需要进行调整。
我们可以通过排列数的调整同理可知，假设有n个元素中，其中重复元素有m个，则组合数C可以表示为：\[C(n,r) = P(n,r)/(r! * n_1! * n_2! * ... * n_m!)\]其中，n_1, n_2, ..., n_m表示每个重复元素的个数。
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三 排列组合，概率统计
（一）排列组合
1知识点 1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情）
分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法 2，排列
排列定义：从n 个不同元素中，任取m （m≤n ）个元素（被取出的元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
排列数定义；从n 个不同元素中，任取m （m≤n ）个元素的所有排列的个数m n
A
公式
m n
A
=
!
()!
n n m - 规定0！=1
3，组合
组合定义 从n 个不同元素中，任取m （m≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合
组合数 从n 个不同元素中，任取m （m≤n ）个元素的所有组合个数
m n
C
m n
C
=
!
!()!
n m n m -
性质
m
n
C =
n m n
C
-
1
1m m m n n n C C C -+=+
2 排列组合题型总结 一 直接法
1 .特殊元素法
例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个
（1）数字1不排在个位和千位
（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择2
5A ，其余2位有四个可供选择2
4A ，由乘法原理：2
5A 2
4A =240 2．特殊位置法
（2）当1在千位时余下三位有3
5A =60，1不在千位时，千位有14A 种选法，个位有1
4A 种，余下的有2
4A ，共有1
4A 1
4A 24A =192所以总共有192+60=252 二 间接法当
2）可用间接法
2435462A A A +-=252
Eg 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任
意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数3
33
3
52A C ⨯⨯个，其中0在百位的有
2242⨯C ⨯2
2A 个，这是不合题意的。
故共可组成不同的三位数333352A C ⨯⨯-2242⨯C ⨯2
2A =432
三 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺
序，有多少中插入方法？
分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有
11019A A ⨯=100中插入方法。
四 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（3
32
4A C ）
,2，某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（19
28129A C ⋅）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有1
29C 其余的就是19所学校选28天进行排列）
五 阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法
例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 。
分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有7
11C 种
08年
18．（本小题共13分）
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．
09年
5．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ）
A ．8
B ．24
C ．48
D ．120 17．（本小题共13分）
某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是
1
3
，遇到红灯时停留的时间都是2min. （Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min 的概率 10年
⑶从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是 （A ）45 (B)35 （C ）2
5
(D)15
11年 16．（本小题共13分） 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.
（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.
（注：方差],)()()[(1
222212
x x x x x x n
s n -+-+-=
其中x 为n x x x ,,,21 的平均数）
12年
17.（本小题共13分）
近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其
他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾
20
20
60
（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ，其中0a >，600a b c ++=。
当数据,,a b c 的方差2
s 最大时，写出,,a b c 的值（结论不要求证明），并求此时2
s 的值。
（注：2
222121
[()()()]n s x x x x x x n
=-+-+⋅⋅⋅+-，其中x 为数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数）。