第二章 等式与不等式
新教材高中数学第二章等式与不等式212一元二次方程的解集及其根与系数的关系课件
【解析】因为关于 x 的一元二次方程 x2－(2m＋3)x＋m2＝0 有两个不相等的实数根， 所以 Δ＝[－(2m＋3)]2－4m2＝12m＋9＞0，所以 m＞－43 .因为 x1＋x2＝2m＋3，x1·x2 ＝m2. 又因为 x1＋x2＝m2，所以 2m＋3＝m2，解得：m＝－1 或 m＝3.因为 m＞－34 ，所以 m＝3.
＝
b a
c
；x1x2＝ a
．
思考 利用一元二次方程根与系数的关系解题时，需要注意什么条件？ 提示：先把方程化为ax2＋bx＋c＝0的形式，然后验证，是否满足a≠0，Δ＝b2－ 4ac≥0这两个条件，同时满足这两个条件才能用根与系数的关系解题．
【基础小测】
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
思考
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式
x＝－b±
b2－4ac 2a
适合用于所有的一
元二次方程吗？
提示：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式只适合于方程有根时使用，即： 当根的判别式 Δ＝b2－4ac≥0 时适用．
2．一元二次方程根与系数的关系
若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，则有x1＋x2
利用根与系数的关系求代数式值的三个步骤 (1)算：计算出两根的和与积． (2)变：将所求的代数式表示成两根的和与积的形式． (3)代：代入求值．
1．下列方程中，无实数根的方程是( )
A．x2＋1＝0
B．x2＋x＝0
C．x2＋x－1＝0 D．x2＝0
【解析】选 A.A.因为 Δ＝－4×1×1＝－4＜0，
【补偿训练】 用配方法求方程 3x2－6x＋4＝0 的解集． 【解析】移项，得 3x2－6x＝－4. 二次项系数化为 1，得 x2－2x＝－43 . 配方，得 x2－2x＋12＝－43 ＋12，(x－1)2＝－13 . 因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数时，(x－1)2 都是非负数，上式都不 成立，即原方程的解集为∅.
新教材高中数学第二章等式与不等式 不等式 一元二次不等式的解法学案含解析新人教B版必修第一册
2.2.3 一元二次不等式的解法学习目标1.经历从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的过程，能用符号语言来描述这个模型，提升数学抽象素养;2.通过一元二次不等式实例的求解，能概括解一元二次不等式的一般步骤，提高总结归纳能力;会运用一元二次不等式知识解决有关的问题，发展数学应用意识.自主预习汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6 m ，乙车的刹车距离略超过10 m .已知甲、乙两种车型的刹车距离s m 与车速v km/h 之间的关系分别为s 甲=1100v 2-110v ，s 乙=1200v 2-120v.试判断甲、乙两车有无超速现象. 不难看出，要判断甲、乙两车是否超速，就是要得到它们车速的取值范围，也就是要解不等式 1100v 2-110v>6和 ， 即v 2-10v-600>0和 ，一般地，形如ax 2+bx+c>0的不等式称为 ，其中a ，b ，c 是 ，而且 .一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等.[尝试与发现1]任意选定一些数，看它们是否是不等式x (x-1)>0的解，由此给出解这个不等式的方法. 注意到 ，结果才能是正数，也就是说，ab>0当且仅当，或，因此，不等式可以转化为两个不等式组，或，用类似的方法可以求得不等式(x+1)(x-1)<0的解，但此时的依据是:ab<0当且仅当，或 ，因为不等式可以转化为两个不等式组，或，一般地，如果x 1<x 2，则不等式(x-x 1)(x-x 2)<0的解集是 .不等式(x-x 1)(x-x 2)>0的解集是 .[尝试与发现2]通过代入数值验证的方法，猜测以下一元二次不等式的解集，由此总结求一元二次不等式解集的一般方法:(1)x 2<-1;(2)x 2>-2;(3)x 2<9.因为任何一个实数的平方一定是一个非负数，因此上述尝试与发现中(1)的解集为 ，(2)的解集为 .对于x 2<9来说，两边同时开根号可得√x 2<√9，即|x|<3，因此-3<x<3，从而得到(3)的解集为(-3，3). 课堂探究例1 求不等式x 2-x-2>0的解集.反思感悟:因式分解法:不等式的左端能够进行因式分解可用此法，它只能适用于解决一类特殊的不等式. 跟踪训练1 求下列不等式的解集:(1)2x 2+x-6>0; (2)(3x-1)(x+4)>0.例2 求下列不等式的解集:(1)x 2+4x+1≥0; (2)x 2-6x-1≤0;(3)-x 2+2x-1<0; (4)2x 2+4x+5>0.反思感悟:配方法:一元二次不等式ax 2+bx+c>0(a ≠0)通过配方总可以化为(x-h )2>k 或(x-h )2<k 的形式，然后根据k值的正负即可求得不等式的解集.跟踪训练2 求下列不等式的解集:(1)x 2+x+1>0. (2)-4x 2+18x-814≥0.例3 求不等式2x+1x -2≥1的解集.反思感悟:1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零.2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解.跟踪训练3 求下列不等式的解集: (1)x+21-x <0; (2)x+1x -2≤2.核心素养专练1.不等式x 2>1的解集是( )A .{x|x>1}B .{x|x>±1}C .{x|-1<x<1}D .{x|x>1或x<-1}2.不等式x (2-x )<0的解集是( )A .(2，+∞)B .(-∞，2)C .(0，2)D .(-∞，0)∪(2，+∞)3.不等式x 2+2x-3<0的解集为( )A .{x|x<-3或x>1}B .{x|x<-1或x>3}C .{x|-1<x<3}D .{x|-3<x<1}4.求下列不等式的解集:(1)x (x-3)<0; (2)(x+1)(1-x )≥0;(3)x 2+6x-7≤0; (4)x 2-8x+16<0.5.求下列不等式的解集:(1)x 2+2x-5<0; (2)x 2-4x-2≥0;(3)x 2+6x+10≤0; (4)x 2-8x+16≤0;(5)-x 2+8x-1≤0; (6)2x 2-4x+3<0.6.求下列不等式的解集:(1)x+1x -1>0; (2)1x -1>1.参考答案自主预习1200v 2-120v>10，v 2-10v-2 000>0，一元二次不等式，常数，a ≠0，只有两个同号的数相乘，，(x 1，，2)，(-∞，x 1)∪(x 2，+∞)，⌀，R 课堂探究例1 (-∞，-1)∪(2，+∞).跟踪训练1 (1)(-∞，-2)∪，(2)(-∞，-4)∪，例2 (1)(-∞，-2-√3 ]∪[-2+√3，+∞)(2)[3-√10，3+√10 ](3){x|x ≠1}(4)R跟踪训练2 (1)R(2){94}例3 (-∞，-3]∪(2，+∞)跟踪训练3 (1)(-∞，-2)∪(1，+∞)(2)(-∞，2)∪[5，+∞) 核心素养专练3.D4.(1)(0，3) (2)[-1，1](3)[-7，1] (4)⌀5.(1)[-1-√6，-1+√6](2)(-∞，2-√6 ]∪[2+√6，+∞) (3)⌀(4){4} (5)(-∞，4-√15]∪[4+√15，+∞)(6)⌀6.(1)(-∞，-1)∪(1，+∞) (2)(1，2)学习目标1.能在现实情境或数学情境中提取出一元二次不等式模型.2.能恰当使用因式分解法和配方法解一元二次不等式.课堂探究情境与问题: 汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据. 在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6 m ，乙车的刹车距离略超过10 m .已知甲、乙两种车型的刹车距离s m 与车速v km/h 之间的关系分别为s 甲=1100v 2-110v ，s 乙=1200v 2-120v. 试判断甲、乙两车有无超速现象. 任务一:通过阅读上面内容，解答以下问题: 问题1:(1)如何构建数学关系式解决是否超速问题?(2)所得数学关系特征是什么? 一般的，形如 的不等式称为一元二次不等式，其中a ，b ，c 是 ，而且 ，不等号也可以是 .任务二:探究形如:(x-x 1)(x-x 2)>0或(x-x 1)(x-x 2)<0的解集. 问题2:(1)两个数相乘结果为正数，则这两个数满足什么关系?依据:ab>0当且仅当 . (2)x (x-1)>0可以等价转化成什么形式?解集是什么? (3)(x+1)(x-1)<0的解集是什么? 依据:ab<0当且仅当 . 结论:一般地，如果x 1<x 2，则不等式(x-x 1)(x-x 2)<0的解集是 . 不等式(x-x 1)(x-x 2)>0的解集是 . 这种解不等式的方法叫因式分解法. 问题3:使用因式分解法解一元二次不等式的前提是什么?例1 求不等式x 2-x-2>0的解集.回到情境与问题中的不等式，v 2-10v-600>0可以化为(v+20)(v-30)>0，因此甲车的车速v>30;而v 2-10v-2 000>0可以化为 ，因此乙车的车速 .由此可见，乙车肯定超速了. 小结因式分解法解题规律:任务三:探究形如:(x-h )2>k 或(x-h )2<k 的解集问题4:(1)通过代入数值验证的方法，猜测以下一元二次不等式的解集: ①x 2<-1 ;②x 2>-2 ;③x 2<9 .(2)类比方程的研究方法，解不等式x 2<9.(3)借助(2)解法特点解不等式x 2-6x-1≤0.结论:一元二次不等式ax 2+bx+c>0(a ≠0)通过配方总是可以变为(x-h )2>k 或(x-h )2<k 的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集. 这种解不等式的方法叫配方法. 问题5:(1)配方法适合解什么特征的一元二次不等式?(2)几种特殊情形:①(x-h )2>0的解集为 ;(x-h )2<0的解集为 .②当k<0时，不等式(x-h )2>k 的解集为 ，不等式(x-h )2<k 的解集为 . 例2 求下列不等式的解集:(1)x 2+4x+1≥0; (2)-x 2+2x-1<0;(3)2x 2+4x+5>0.变式训练:x 2-12>-x 2.小结配方法解题规律:拓展性问题:求不等式2x+1x -2≥1的解集.课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获?(知识层面、思想方法层面)布置作业1.阅读课本，结合学案，进行知识整理、整合.2.完成课本第71页A 组 第2，3题;B 组 第1，2题.3.选做题:B 组 第5题.参考答案课堂探究1:(1)1100v 2-110v>6;1200v 2-120v>10 (2)ax 2+bx+c>0;常数;a ≠0;< ≥ ≤问题2:(1)同号;，或，(2)，或，(-∞，0)∪(1，+∞)(3)(-1，1);，或，(x1，x2);(-∞，x1)∪(x2，+∞)问题3:一元二次不等式是特殊类型、能因式分解.例1(-∞，-1)∪(2，+∞)情境与问题:(v+40)(v-50)>0;v>50.问题4:(1)①⌀;②R;③(-3，3).(2)∵x2<9，∴√x2<√9，即|x|<3，∴-3<x<3.不等式的解集为(-3，3).(3)[3-√10，3+√10].问题5:(1)一般的一元二次不等式(2)①(-∞，h)∪(h，+∞);⌀;②R;⌀例2(1)(-∞，-2-√3]∪[-2+√3，+∞)(2)(-∞，1)∪(1，+∞)(3)R变式训练:(-∞，-1)∪，拓展性问题:(-∞，-3]∪(2，+∞)课堂小结略布置作业略。
2021_2022学年新教材高中数学第二章等式与不等式2.2.1不等式及其性质课件新人教B版必修第一
第二章
2.2.1 不等式及其性质
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
课标阐释
1.了解日常生活中的不等关系.(数学抽象)
2.掌握不等式的性质.(数学抽象)
3.能利用不等式的性质对数或式进行大小比较,解不等式(组)和不等式证
明.(逻辑推理)
思维脉络
课前篇 自主预习
【激趣诱思】
(1)不等式a≥b应读作“a大于或者等于b”,其含义是指“或者a>b,或者a=b”,
等价于“a不小于b”,即若a>b与a=b之中有一个正确,则a≥b正确.
(2)不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”,其含义是指“或者a<b,或者a=b”,
等价于“a不大于b”,即若a<b与a=b之中有一个正确,则a≤b正确.
系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合
法.
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论,
则综合法可用框图表示为:
P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q
(2)分析法:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直
至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、
(-)(-)
-
(-)(-)
=
(-)
.
(-)(-)
∵c>a>b>0,∴a-b>0,c-a>0,c-b>0.
(-)
∴(-)(-)>0,-
∴-
>
.
-
−
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新教材高中数学第二章等式与不等式 不等式 一元二次不等式的解法学案含解析新人教B版必修第一册
2．2.3 一元二次不等式的解法[课程目标] 1.掌握一元二次不等式的概念；2.会用因式分解法和配方法解一元二次不等式．知识点一一元二次不等式的概念[填一填]一般地,形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c均为常数,而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等．知识点二一元二次不等式的解法[填一填]1．因式分解法(1)一般地,如果x1<x2,则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1,x2),不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞,x1)∪(x2,＋∞)．(2)解一元二次不等式,先把不等式化成定义形式ax2＋bx＋c>0(其中不等号也可以是“<”“≥”“≤”等),若ax2＋bx＋c比较容易因式分解,可先将其进行因式分解,然后根据不等式解集的形式写出不等式的解集．2．配方法(1)把一元二次不等式x2＋bx＋c>0化为(x＋h)2>k(h,k为常数)的形式,当k≥0时,就可以用直接开平方法求出不等式的解集．这种解一元二次不等式的方法叫做配方法．(2)一般步骤：一移,将含未知数的项移到不等号的左边,常数项移到不等号的右边；二除,二次项的系数不为1时,不等号两边同时除以二次项的系数,将其化为1；三配,不等号两边同时加上一次项系数一半的平方,将其左边配成完全平方式；四开,不等号右边是非负数时,用直接开平方法解不等式；方程右边是负数时,原不等式的解集为任意实数．[答一答]1．不等式x2－3x＋2>0的解集是什么？提示：x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)>0其解集为{x|x<1或x>2}．2．不等式(x－1)(x－a)>0(a∈R)的解是什么？提示：当a>1时,不等式的解集是(－∞,1)∪(a,＋∞)；当a＝1时,不等式的解集是(－∞,1)∪(1,＋∞)；当a<1时,不等式的解集是(－∞,a)∪(1,＋∞)．3．用配方法解不等式x2＋2x≤0.提示：x2＋2x＝(x＋1)2－1≤0,即(x＋1)2≤1,－1≤x＋1≤1,即－2≤x≤0,不等式的解集是[－2,0]．类型一 因式分解法解一元二次不等式 [例1] 求下列不等式的解集： (1)x 2－5x －6>0； (2)(2－x )(x ＋3)<0； (3)x 2－2x －8<0；(4)4(2x 2－2x ＋1)>x (4－x )．[解] (1)因为x 2－5x －6＝(x －6)(x ＋1), 所以原不等式等价于(x －6)(x ＋1)>0.所以原不等式的解集为(－∞,－1)∪(6,＋∞)． (2)原不等式等价于(x －2)(x ＋3)>0,所以不等式的解集为(－∞,－3)∪(2,＋∞)． (3)因为x 2－2x －8＝(x －4)(x ＋2), 所以原不等式等价于(x －4)(x ＋2)<0. 所以原不等式的解集为(－2,4)． (4)由原不等式得8x 2－8x ＋4>4x －x 2, 所以原不等式等价于9x 2－12x ＋4>0. 因为9x 2－12x ＋4＝(3x －2)2, 所以原不等式等价于(3x －2)2>0, 所以原不等式的解集为{x |x ≠23}．用因式分解法解一元二次不等式,首先要把不等式进行因式分解,注意先把二次项系数化为正数,否则得到相反的结论.[变式训练1] 求下列不等式的解集： (1)2x 2＋7x ＋3>0； (2)－x 2＋8x －15>0； (3)x 2－4x －5<0； (4)－3x 2－2x ＋8≥0.解：(1)因为2x 2＋7x ＋3＝(2x ＋1)(x ＋3),所以原不等式等价于(2x ＋1)(x ＋3)>0. 所以原不等式的解集为(－∞,－3)∪(－12,＋∞)．(2)原不等式等价于x 2－8x ＋15<0. 因为x 2－8x ＋15＝(x －3)(x －5), 所以原不等式等价于(x －3)(x －5)<0.所以原不等式的解集为(3,5)． (3)因为x 2－4x －5＝(x ＋1)(x －5), 所以原不等式可化为(x －5)(x ＋1)<0. 所以原不等式的解集为(－1,5)． (4)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0, 即3(x －43)(x ＋2)≤0,即(x －43)(x ＋2)≤0,所以原不等式的解集为[－2,43]．类型二 配方法解一元二次不等式 [例2] 用配方法解下列不等式： (1)4x 2＋4x －5≤0； (2)14x 2＋x ＋2≥0. [解] (1)4x 2＋4x －5＝(2x ＋1)2－6≤0, 即(2x ＋1)2≤6,－6≤2x ＋1≤6, －1＋62≤x ≤6－12.所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＋62≤x ≤6－12. (2)14x 2＋x ＋2＝(12x ＋1)2＋1≥0, 因为不等式恒成立,所以不等式的解集为R .[变式训练2] 用配方法求下列不等式的解集： (1)x 2＋6x >1； (2)2x 2＋6≥7x .解：(1)原不等式等价于x 2＋6x －1>0,因为x 2＋6x －1＝x 2＋6x ＋9－9－1＝(x ＋3)2－10,所以原不等式可化为(x ＋3)2－10>0,即(x ＋3)2>10.两边开平方,得|x ＋3|>10,从而可得x ＋3>10或x ＋3<－10,所以x >10－3,或x <－10－3.所以原不等式组的解集为(－∞,－10－3)∪(10－3,＋∞)．(2)原不等式可化为x 2－72x ＋3≥0,因为x 2－72x ＋3＝x 2－72x ＋(74)2－(74)2＋3＝(x －74)2－116,所以原不等式可化为(x －74)2－116≥0,即(x －74)2≥116,得x －74≥14或x －74≤－14,解得x ≥2或x ≤32.故原不等式的解集为{x |x ≤32或x ≥2}．类型三 含参数的一元二次不等式的解法 [例3] 解关于x 的不等式ax 2＋3x ＋2>－ax －1(a >0)．[解] 不等式ax 2＋3x ＋2>－ax －1可化为ax 2＋(a ＋3)x ＋3>0,即(ax ＋3)(x ＋1)>0. 当－3a<－1,即0<a <3时,原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－1或x <－3a ；当－3a ＝－1,即a ＝3时,原不等式的解集为{x |x ≠－1}； 当－3a>－1,即a >3时,原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >－3a .综上所述,当0<a <3时,原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－3a 或x >－1；当a ＝3时,原不等式的解集为{x |x ≠－1}； 当a >3时,原不等式的解集为{x |x <－1或x >－3a }．含参数的一元二次不等式要注意对参数的讨论,不重复不遗漏．如本题要依据－3a 与－1的大小关系进行讨论．[变式训练3] 关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0,若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m <x <2,则m 的取值范围是(－∞,0)．解析：∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m <x <2, ∴方程(mx －1)(x －2)＝0的两个实数根为1m 和2,且⎩⎪⎨⎪⎧m <0，1m<2，解得m <0,∴m 的取值范围是m <0.类型四 分式不等式的解法 [例4] 解下列不等式． (1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－x x ＋3>1. [解] (1)∵2x －13x ＋1≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0⇔⎩⎨⎧x ≤－13或x ≥12，x ≠－13⇔x <－13或x ≥12,∴原不等式的解集为{x |x <－13,或x ≥12}．(2)方法1：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，2－x >x ＋3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，2－x <x ＋3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >－3，x <－12，或⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，x >－12⇔－3<x <－12. ∴原不等式的解集为{x |－3<x <－12}．方法2：原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0⇔－2x －1x ＋3>0⇔2x ＋1x ＋3<0⇔(2x ＋1)(x ＋3)<0⇔－3<x <－12.∴原不等式的解集为{x |－3<x <－12}．(1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解,但要注意分母不为零.(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.[变式训练4] (1)下列选项中,使不等式x <1x <x 2成立的x 的取值范围是( A )A ．x <－1B ．－1<x <0C ．0<x <1D ．x >1解析：由x <1x <x 2可得⎩⎨⎧x <1x，1x<x 2，即⎩⎨⎧x 2－1x<0，1－x3x <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或0<x <1，x <0或x >1，所以x <－1.(2)不等式：x ＋2x 2＋x ＋1>1的解集为{x |－1<x <1}．解析：因为x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0,所以原不等式可化为x ＋2>x 2＋x ＋1,即x 2－1<0,解得－1<x <1,所以原不等式的解集为{x |－1<x <1}．1．下列各式：①x 2＋3>x ；②2x 2－3x >2x (x －1)－1；③3x 2－4x >5；④x 2>－1x ＋2.其中一元二次不等式有( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：①③把各项移到“>”左边,右边变为0,满足一元二次不等式的概念特征,是一元二次不等式；②化简后不含二次项,不是一元二次不等式；④中含有分式,不是一元二次不等式．2．不等式－x 2－2x ＋3>0的解集为( C ) A ．(－2,1) B ．(－3,－1) C ．(－3,1) D ．(－1,3)解析：原不等式等价于x 2＋2x －3<0,即(x ＋3)(x －1)<0,所以不等式的解集为(－3,1)． 3．不等式2x －1x ＋3>0的解集是( D )A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B ．(4,＋∞)C ．(－∞,－3)∪(4,＋∞)D ．(－∞,－3)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析：2x －1x ＋3>0⇔(2x －1)(x ＋3)>0⇒x <－3或x >12.故选D.4．不等式－x 2＋5x >6的解集是(2,3)． 解析：不等式－x 2＋5x >6变形为x 2－5x ＋6<0, 因式分解为(x －2)(x －3)<0,解得2<x <3. ∴不等式－x 2＋5x >6的解集为(2,3)． 5．解下列不等式： (1)2＋3x －2x 2>0； (2)x (3－x )≤x (x ＋2)－1； (3)x 2－2x ＋3>0.解：(1)原不等式可化为2x 2－3x －2<0, 所以(2x ＋1)(x －2)<0,故原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <2.(2)原不等式可化为2x 2－x －1≥0, 所以(2x ＋1)(x －1)≥0,故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12或x ≥1.(3)因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0, 故原不等式的解集是R .。
新教材高中数学第二章等式性质与不等式性质教案新人教A版必修第一册
新教材高中数学新人教B 版选择性必修第二册：第二章一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质【素养目标】1．了解现实世界和日常生活中的等量关系与不等关系．(数学抽象)2．了解不等式(组)的实际背景，会用不等式(组)表示不等关系．(数学建模)3．掌握不等式的性质及应用．(逻辑推理)4．会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小．(数学运算)5．能运用等式的性质或不等式的性质解决相关问题．(逻辑推理)【学法解读】在相等关系与不等关系的学习中，学生通过类比学过的等式与不等式的性质，进一步探索等式与不等式的共性与差异．第1课时不等关系与比较大小必备知识·探新知基础知识知识点1 不等式与不等关系不等式的定义所含的两个要点．(1)不等符号<，>，______，______或≠.(2)所表示的关系是____________.思考1：不等式“a b ≤”的含义是什么？只有当“a b <”与“a b =”同时成立时，该不等式才成立，是吗？提示：不等式a b ≤应读作“a 小于或者等于b ”，其含义是指“a b <或者a b =”，等价于“a 不大于b ”，即若a b <或a b =之中有一个正确，则a b ≤正确．知识点2 比较两实数a ，b 大小的依据000a b a b a b ->⎧⎪-<⎨⎪-=⎩如果依据如果如果比较两实数a ，b 的大小⎩⎪⎨⎪⎧ 依据⎩⎪⎨⎪⎧ 如果a －b>0，那么________如果a －b<0，那么________如果a －b ＝0，那么________结论：确定任意两个实数a ，b 的大小关系，只 需确定它们的差a －b 与0的大小关系思考2：(1)在比较两实数a ，b 大小的依据中，a ，b 两数是任意实数吗？(2)若“0b a ->”，则a ，b 的大小关系是怎样的？提示：(1)是 (2)b a >基础自测1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)不等式2x ≥的含义是指x 不小于2.( )(2)若20x ＝，则0x ≥.( )(3)若10x -≤，则1x <.( )(4)两个实数a ，b 之间，有且只有a b >，a b =，a b <三种关系中的一种．( )[解析] (1)不等式2x ≥表示2x >或2x ＝，即x 不小于2.(2)若20x =，则0x =，所以0x ≥成立．(3)若10x -≤，则1x <或者1x =，即1x ≤.(4)任意两数之间，有且只有a b >，a b =，a b <三种关系中的一种，没有其他大小关系．2．大桥桥头立着的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T 满足关系( )A ．40T <B ．40T >C ．40T ≤D ．40T ≥3．已知1x <，则22x +与3x 的大小关系为_____________.关键能力·攻重难题型探究题型一 用不等式(组)表示不等关系例1 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件．若把提价后商品的售价设为x 元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？[分析] 由“这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件”确定售价变化时相应每天的利润，由“每天的利润不低于300元”确定不等关系，即可列出不等式．[解析] 若提价后商品的售价为x 元，则销售量减少10101x -⨯件，因此，每天的利润为810010()[)]0(1x x ---元，则“每天的利润不低于300元”可以用不等式表示为810010()[(10300)]x x ---≥⋅.[归纳提升] 将不等关系表示成不等式的思路(1)读懂题意，找准不等式所联系的量．(2)用适当的不等号连接．例2 某矿山车队有4辆载重为10t 的甲型卡车和7辆载重为6t 的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运360t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．[分析] 首先用变量x ，y 分别表示甲型卡车和乙型卡车的车辆数，然后分析已知量和未知量间的不等关系：(1)卡车数量与驾驶员人数的关系；(2)车队每天运矿石的数量；(3)甲型卡车的数量；(4)乙型卡车的数量．再将不等关系用含未知数的不等式表示出来，要注意变量的取值范围．[解析] 设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，则9106683600407,x y x y x y x y N +≤⎧⎪⨯+⨯≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩即954300407,x y x y x y x y N+≤⎧⎪+≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩ [归纳提升] 用不等式组表示不等关系的方法首先要先弄清题意，分清是常量与常量、变量与变量、函数与函数还是一组变量之间的不等关系；然后类比等式的建立过程找到不等词，选准不等号，将量与量之间用不等号连接；最后注意不等式与不等关系的对应，不重不漏，尤其要检验实际问题中变量的取值范围．【对点练习】❶用一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m ，要求菜园的面积不小于2110m ，靠墙的一边长为xm ，试用不等式表示其中的不等关系．[解析] 由于矩形菜园靠墙的一边长为xm ，而墙长为18m ，所以018x <≤， 这时菜园的另一条边长为30(15)()22x x m -=-．因此菜园面积(15)2x S x =⋅-，依题意有110S ≥， 即(15)1102xx -≥， 故该题中的不等关系可用不等式组表示为018(15)1102x x x <≤⎧≥⎪⎨-⎪⎩ 题型二 比较实数的大小例3 已知a ，b[解析] 方法一(作差法)：-=+===. ∵a ，b0>，20≥，∴0≥≥方法二(作商法)===11==+≥.∵0>0>+≥方法三(平方后作差)：∵222a b b a =+，2a b =++∴222()()a b a bab +--=. ∵0a >，0b >，∴2()()0a b a b ab+-≥.又0+>0>+≥[归纳提升] 比较大小的方法1．作差法的依据：0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<. 步骤：作差—变形—判断差的符号—得出结论．注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是多少无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或多个因式的积的形式．2．作商法的依据：()0b ><时，1()a a b b >⇔><；1a a b b =⇔=；1()a a b b<⇔<>. 步骤：作商——变形——判断商与1的大小——得出结论．注意：作商法的适用范围较小，且限制条件较多，用的较少．3．介值比较法：(1)介值比较法的理论根据：若a b >，b c >，则a c >，其中b 是a 与c 的中介值．(2)介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值．【对点练习】❷当1x ≤时，比较33x 与231x x -+的大小．[解析] 3232()()()331331x x x x x x --+--=+ 231()()1x x x +=--231()()1x x =+-．因为1x ≤，所以10x ≤－， 而2310x +>.所以2()(10)31x x +-≤，所以32331x x x ≤-+.第2课时 不等式性质必备知识·探新知基础知识知识点1不等式的性质性质1 a b >⇔ ________；(对称性)性质2 a b >，b c >⇒ ________；(传递性)性质3 a b >⇒ ______________；(同加保序性)推论：a b c >⇒＋___________；(移项法则)性质4 a b >，0c >⇒ __________，(乘正保序性)a b >，0c ac bc <⇒<；(乘负反序性)性质5 a b >，c d >⇒ ______________；(同向相加保序性)性质6 0a b >>，0c d >>⇒ __________；(正数同向相乘保序性)性质7 0a b >>⇒ __________()2n N n ∈≥，．(非负乘方保序性)思考：(1)性质3的推论实际就是解不等式中的什么法则？(2)性质4就是在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗？为什么？(3)使用性质6,7时，要注意什么条件？提示：(1)移项法则．(2)不对．要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数，不改变不等号的方向，但是同乘以负数时，要改变不等号的方向．(3)各个数均为正数．基础自测1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)若a b >，则22ac bc >.( )(2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．( )(3)设a ，b R ∈，且a b >，则33a b >.( )(4)若a c b d >＋＋，则a b >，c d >.( )[解析] (1)由不等式的性质，22ac bc a b >⇒>；反之，0c =时，a b >22ac bc >.(2)相乘需要看是否00a b c d >>⎧⎨>>⎩，而相加与正、负和零均无关系．(3)符合不等式的可乘方性．(4)取4a =，5c =，6b =，2d =，满足a c b d >＋＋，但不满足a b >，故此说法错误．2．设b a <，d c <，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a c b d ->-B ．ac bd >C ．a c b d >＋＋D ．a d b c >＋＋3．已知0a <，10b -<<，那么下列不等式成立的是( )A ．2a ab ab >>B ．2ab ab a >>C ．2ab a ab >>D ．2ab ab a >>[解析] 由10b -<<，可得21b b <<，又0a <，∴2ab ab a >>，故选D ．4．用不等号“>”或“<”填空：(1)如果a b >，c d <，那么a c -______b d -；(2)如果0a b >>，0c d <<，那么ac ______bd ；(3)如果0a b >>，那么21a ______21b ； (4)如果0a b c >>>，那么c a ______c b . [解析] (1)∵cd ->-，∴c d ->-，∵a b >，∴a c b d ->-.(2)∵0c d <<，∴0c d ->->.∵0a b >>，∴ac bd ->-，∴ac bd <.(3)∵0a b >>，∴0ab >，10ab >，∴110a b ab ab>>， ∴110b a >>，∴2211()()b a >，即2211a b<. (4)∵0a b >>，所以10ab >，10ab >.于是11a b ab ab ⋅>⋅，即11b a >，即11a b <.∵0c >，∴c c a b<. 关键能力·攻重难题型探究例1 若0a b <<，则下列结论正确的是( )A ．22a b <B ．2ab b <C ．11a b> D ．22ac bc > [分析] 通过赋值可以排除A ，D ，根据不等式的性质可判断B ，C 正误．[解析] 若0a b <<，对于A 选项，当2a =-，1b =-时，不成立；对于B 选项，等价于a b >，故不成立；对于C 选项，110b a<<，故选项正确；对于D 选项，当0c =时，不正确． [归纳提升] 判断关于不等式的命题真假的两种方法(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断．(2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断．【对点练习】❶设a ，b 是非零实数，若a b <，则下列不等式成立的是( )A ．22a b <B ．22ab a b <C ．2211ab a b <D ．b a a b< [解析] 当0a <，0b >时，22a b <不一定成立，故A 错．因为22()ab a b ab b a =--，0b a ->，ab 符号不确定，故B 错.2222110a b ab a b a b --=<，所以2211ab a b <，故C 正确．D 中b a 与a b的大小不能确定． 题型二 利用不等式的性质证明不等式例2设a b c >>，求证：111>0a b b c c a++---. [分析] 不等式证明，就是利用不等式性质或已知条件，推出不等式成立．[证明] 因为a b c >>，所以c b ->-.所以0a c a b ->->，所以11>>0a b a c--. 所以110a b c a+>--.又0b c ->， 所以10b c >-.所以1110a b b c c a ++>---. [归纳提升] 利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．【对点练习】❷若0a b >>，0c d <<，0e <，求证：22>()()e e a c b d --. [证明] 因为0c d <<，所以0c d ->->.又因为0a b >>，所以0a c b d ->->.所以22()()0a c b d ->->.所以22110()()a c b d <>--. 又因为0e <，所以22>()()e e a c b d --. 题型三 利用不等式的性质求范围例3 已知14x -<<,23y <<.(1)求x y -的取值范围．(2)求32x y ＋的取值范围．[解析] (1)因为14x -<<,23y <<，所以32y -<-<-，所以42x y -<-<.(2)由14x -<<,23y <<，得3312x -<<,426y <<，所以13218x y <<＋.[归纳提升] 利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．【对点练习】❸已知1025m <<，3015n -<<-，求m n -与m n的取值范围． [解析] 因为3015n -<<-，所以1530n <-<，所以 10152530m n <-<＋＋，即2555m n <-<.因为3015n -<<-，所以1111530n -<-<，所以1113015n <-<，又111<<3015n ， 所以10253015m n <-<，即1533m n <-<. 所以5133m n -<<-. 误区警示错用同向不等式性质例4 已知1260a <<,1536b <<，a b的取值范围是_____________. [错解] ∵1260a <<,1536b <<，∴1260<<1536a b ， ∴45<<53a b .故填45<<53a b . [错因分析] 把不等式的同向不等式(正项)相乘的性质用到了除法，从而导致错误．[正解] ∵1536b <<，∴1113615b <<，又1260a <<，∴12603615a b <<，∴ 143a b <<，故填143a b<<. [方法点拨] 若题目中指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围．学科素养不等关系的实际应用不等关系是数学中最基本的部分关系之一，在实际问题中有广泛应用，也是高考考查的重点内容．例5 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：2m )分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/2m )分别为a ，b ，c ，且a b c <<.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A ．ax by cz ++B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++[分析] 本题考查实际问题中不等关系的建立及利用不等式的性质比较大小．[解析] 方法一：因为x y z <<，a b c <<，所以0()()()()()ax by cz az by cx a x z c z x x z a c ++-++--=--=>＋，故ax by cz az by cx ++>++；同理，0()()()()()ay bz cx ay bx cz b z x c x z x z c b ++-++--=--=<＋，故ay bz cx ay bx cz ++<++.又0()()()()()az by cx ay bz cx a z y b y z a b z y ++-++--=--+<=，故az by cx ay bz cx ++<++.综上可得，最低的总费用为az by cx ++.方法二：采用特殊值法进行求解验证即可，若1x =，2y =，3z =，1a =，2b =，3c =，则14ax by cz ++＝，10az by cx ++＝，11ay bz cx ++＝，13ay bx cz ++＝.由此可知最低的总费用是az by cx ++.[归纳提升] 对于不等关系判断问题的求解，一般需要通过作差进行推理论证，对运算能力要求较高，但对于具有明确不等关系的式子进行判断时，特殊值法是一种非常值得推广的简便方法．。
人教高中数学必修一B版《不等式》等式与不等式说课复习(不等式及其性质)
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已知－1<x<4，2<y<3.
(1)求 x－y 的取值范围；
(2)求 3x＋2y 的取值范围．
【解】 (1)因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以
－4<x－y<2.
(2)由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以 1<3x＋2y<18.
栏目 导引
第二章 等式与不等式
■名师点拨
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(1)推论 1 表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相
反的符号后，从不等式的一边移到另一边．
(2)推论 2 表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不
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________．
解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)， 又因为 x<1，所以 x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所 以 M >N.
人教版高中数学B版必修一《第二章 等式与不等式——一元二次方程的解集及其根与系数的关系》课件
一
二
课前篇 自主预习
2.填空
方程 ax2+bx+c=a
x+2������������
2+4������������-������2(a≠0),
4������
(1)当 Δ=b2-4ac>0 时,方程的解集为
-������+
������2-4������������ 2������
,
-������-
������2-4������������ 2������
么可得 x=± ������或 mx+n=± ������,从而通过降次转化为一元一次方程. (2)配方法: 用配方法解一元二次方程的一般步骤是: ①化二次项系数为1:用二次项系数去除方程两边,将方程化为 x2+px+q=0的形式; ②移项:把常数项移至方程右边,将方程化为x2+px=-q的形式; ③配方:方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”,使方程左边成 为含有未知数的完全平方形式,右边是一个常数,把方程化为 (x+m)2=n(n≥0)的形式; ④用直接开平方法解变形后的方程.
=
4������������ 4������.
(2)原方程等价于(x-2)(x+1)=0,
∴方程的两根为 x1=2,x2=-1.
x1+x2=1,x1x2=-2.
课前篇 自主预习
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课堂篇 探究学习
探究一
探究二
思维辨析 当堂检测
反思感悟 一元二次方程的常见解法 (1)开平方法:如果方程能化成 x2=p 或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那
x1+x2= 2������ + 2������
第二章 2.1 第二课时等式性质与不等式的性质
第二课时 等式性质与不等式的性质课标要求素养要求1.掌握不等式的基本性质；2.运用不等式的性质解决有关问题.通过学习不等式的性质及运用不等式的性质解决问题，提升数学抽象及数学运算素养.教材知识探究在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，也可以用不等式来表示这一现象.问题 你能利用这一事实表示出糖水浓度不等式吗？提示 糖水变甜这一现象对应的不等式为a b <a ＋c b ＋c，其中a <b ，c >0.1.等式的性质性质1 如果a ＝b ，那么b ＝a ； 性质2 如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ； 性质3 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ； 性质4 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ； 性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝b c .2.不等式的性质 注意这些性质是否可逆(易错点) 性质1 如果a >b ，那么b <a ；如果b <a ，那么a >b .即a >b b <a .性质2 如果a >b ，b >c ，那么a >c ，即a >b ，b >c a >c . 性质3 如果a >b ，那么a ＋c >b ＋c .性质4 如果a >b ，c >0，那么ac >bc ；如果a >b ，c <0，那么ac <bc . 性质5 如果a >b ，c >d ，那么a ＋c >b ＋d . 性质6 如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd . 性质7 如果a >b >0，那么a n >b n (n ∈N ，n ≥2).教材拓展补遗[微判断] 1.a >bac 2>bc 2.(×)提示 当c ＝0时，不成立.2.同向不等式相加与相乘的条件是一致的.(×)提示 相乘需要看是否⎩⎨⎧a >b >0，c >d >0，而相加与正、负和零均无关系.3.设a ，b ∈R ，且a >b ，则a 3>b 3.(√) [微训练]1.已知a ，b ，m 是正实数，则不等式b ＋m a ＋m >ba 成立的条件是( )A.a <bB.a >bC.与m 有关D.恒成立解析b ＋m a ＋m －b a ＝m （a －b ）a （a ＋m ），而a >0，m >0且m （a －b ）a （a ＋m ）>0，∴a －b >0.即a >b . 答案 B2.已知m >n ，则( ) A.m 2>n 2 B.m >n C.mx 2>nx 2D.m ＋x >n ＋x解析 由于m 2－n 2＝(m －n )(m ＋n )，而m ＋n >0不一定成立，所以m 2>n 2不一定成立，而m ，n 不一定有意义，所以选项A ，B 不正确；选项C 中，若x 2＝0，则不成立. 答案 D [微思考]1.若a >b ，c >d ，那么a ＋c >b ＋d 成立吗？a －c >b －d 呢？提示 a ＋c >b ＋d 成立，a －c >b －d 不一定成立，但a －d >b －c 成立. 2.若a >b ，c >d ，那么ac >bd 成立吗？提示 不一定，但当a >b >0，c >d >0时，一定成立.题型一 利用不等式的性质判断命题的真假【例1】 若1a <1b <0，有下面四个不等式：①|a |>|b |，②a <b ，③a ＋b <ab ，④a 3>b 3，则不正确的不等式的个数是( ) A.0 B.1 C.2D.3解析 由1a <1b <0可得b <a <0，从而|a |<|b |，①②均不正确；a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab 成立，③正确；a 3>b 3，④正确. 故不正确的不等式的个数为2. 答案 C规律方法 不等式的性质常与比较大小结合考查，此类问题一般结合不等式的性质，利用作差法或作商法求解，也可以用特殊值求解.【训练1】 设a >b >0，c <d <0，则下列不等式中一定成立的是( ) A.ac >bd B.a d <b c C.a d >b cD.ac 2<bd 2解析 a >b >0，c <d <0，即为－c >－d >0， 即有－ac >－bd >0，即ac <bd <0，故A 错；由cd >0，又ac <bd <0，两边同乘1cd ，可得a d <bc ，则B 对，C 错； 由－c >－d >0，－ac >－bd >0， 可得ac 2>bd 2，则D 错.故选B. 答案 B题型二 利用不等式的性质证明不等式解决此类问题一定要记准，记熟不等式的性质，并注意在解题中灵活地加以应用 【例2】 若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a ＋b b ≤c ＋dd . 证明 ∵bc －ad ≥0，∴bc ≥ad ，∴bc ＋bd ≥ad ＋bd ， 即b (c ＋d )≥d (a ＋b ).又bd >0，两边同除以bd 得，a ＋b b ≤c ＋dd .规律方法 1.不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小；2.证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导.【训练2】 (1)已知a >b ，e >f ，c >0，求证：f －ac <e －bc . (2)a <b <0，求证：b a <ab .证明 (1)因为a >b ，c >0，所以ac >bc ，即－ac <－bc . 又e >f ，即f <e ，所以f －ac <e －bc .(2)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝（b ＋a ）（b －a ）ab ，∵a <b <0，∴b ＋a <0，b －a >0，ab >0， ∴（b ＋a ）（b －a ）ab <0，故b a <a b . 题型三 利用不等式的性质求范围同向可加性，同向同正可乘性是解这类问题的常用性质 【例3】 已知1<a <6，3<b <4，求a －b ，ab 的取值范围. 求解范围时，不可两式直接相减 解 ∵3<b <4，∴－4<－b <－3. ∴1－4<a －b <6－3，即－3<a －b <3. 又14<1b <13，∴14<a b <63， 即14<a b <2.规律方法 求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除.【训练3】 已知－π2<β<α<π2，求2α－β的取值范围.解 ∵－π2<α<π2，－π2<β<π2， ∴－π2<－β<π2.∴－π<α－β<π. 又∵β<α，∴α－β>0，∴0<α－β<π， 又2α－β＝α＋(α－β)，∴－π2<2α－β<32π.一、素养落地1.通过学习并理解不等式的性质，培养数学抽象素养，通过运用不等式的性质解决问题，提升数学运算素养.2.利用不等式的性质证明简单的不等式是否成立，实际上就是根据不等式的性质把不等式进行适当的变形，证明过程中注意不等式成立的条件. 二、素养训练1.设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A.M >N B.M ＝N C.M <ND.与x 有关解析 M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0.∴M >N . 答案 A2.设a ，b ∈R ，若a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是( ) A.a －b >0 B.a 3＋b 3>0 C.a 2－b 2<0D.a ＋b <0解析 本题可采用特殊值法，取a ＝－2，b ＝1，则a －b <0，a 3＋b 3<0，a 2－b 2>0，排除A ，B ，C ，故选D. 答案 D3.若8<x <10，2<y <4，则xy 的取值范围为________. 解析 ∵2<y <4，∴14<1y <12.又∵8<x <10，∴2<xy <5. 答案 2<xy <54.下列命题中，真命题是________(填序号).①若a >b >0，则1a 2<1b 2；②若a >b ，则c －2a <c －2b ；③若a <0，b >0，则－a <b ；④若a >b ，则2a >2b . 解析 ①a >b >00<1a <1b1a 2<1b 2；②a >b－2a <－2bc －2a <c －2b ；对③取a＝－2，b ＝1，则－a <b 不成立.④正确. 答案 ①②④5.已知c a >db ，bc >ad ，求证：ab >0.证明 ∵⎩⎪⎨⎪⎧c a >d b ，bc >ad ，∴⎩⎪⎨⎪⎧c a －d b >0，bc －ad >0.∴⎩⎪⎨⎪⎧bc －ad ab >0，bc －ad >0，∴ab >0.基础达标一、选择题1.已知a <b <0，则下列式子中恒成立的是( ) A.1a <1b B.1a >1b C.a 2<b 2D.a b <1解析 因为a <b <0，不妨令a ＝－3，b ＝－2， 则－13>－12，可排除A ； (－3)2>(－2)2，可排除C ； a b ＝－3－2>1，可排除D ； 而－13>－12，即1a >1b ，B 正确. 答案 B2.设x <a <0，则下列不等式一定成立的是( ) A.x 2<ax <a 2 B.x 2>ax >a 2 C.x 2<a 2<axD.x 2>a 2>ax解析 ∵x <a <0，∴x 2>a 2. ∵x 2－ax ＝x (x －a )>0，∴x 2>ax . 又ax －a 2＝a (x －a )>0，∴ax >a 2. ∴x 2>ax >a 2. 答案 B3.设a <b <0，则下列不等式中不正确的是( ) A.2a >2b B.ac <bc C.|a |>－bD.－a >－b 解析 a <b <0，则2a >2b ，选项A 正确；当c >0时选项B 成立，其余情况不成立，则选项B 不正确；|a |＝－a >－b ，则选项C 正确；由－a >－b >0，可得－a >－b ，则选项D 正确，故选B. 答案 B4.已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( ) A.a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >a C.a b >a >a b 2D.a b >a b 2>a解析 由题意知ab >0，b 2>1， 则a b 2>a ，且a b 2<0，所以a b >a b 2>a . 答案 D5.若1<a <3，－4<b <2，那么a －|b |的范围是( ) A.－3<a －|b |≤3 B.－3<a －|b |<5 C.－3<a －|b |<3D.1<a －|b |<4 解析 ∵－4<b <2，∴0≤|b |<4，∴－4<－|b |≤0. 又∵1<a <3，∴－3<a －|b |<3. 答案 C二、填空题6.若a >b >0，则a ＋1b ________b ＋1a (用“<”，“>”，“＝”填空). 解析 法一 ∵a >b >0，∴0<1a <1b ， 即1b >1a >0，∴a ＋1b >b ＋1a .法二 a ＋1b －(b ＋1a )＝（a －b ）（1＋ab ）ab ，∵a >b >0，∴a －b >0，ab >0，1＋ab >0， 则a ＋1b >b ＋1a . 答案 > 7.若a <b <0，则1a －b与1a 的大小关系是________. 解析1a －b －1a ＝a －（a －b ）（a －b ）a ＝b （a －b ）a， ∵a <b <0，∴a －b <0，则b （a －b ）a <0，1a －b <1a.答案1a －b <1a8.已知－π2≤α<β≤π2，则α－β2的取值范围是________. 解析 ∵－π2≤α<β≤π2，∴－π4≤α2<β2≤π4. ∴－π4≤α2<π4，①－π4<β2≤π4，∴－π4≤－β2<π4.② 由①＋②得－π2≤α－β2<π2.又知α<β，∴α－β<0.∴－π2≤α－β2<0. 答案 －π2≤α－β2<0 三、解答题9.判断下列各命题的真假，并说明理由. (1)若a <b ，c <0，则c a <cb ； (2)若ac 3<bc 3，则a >b ； (3)若a >b ，且k ∈N *，则a k >b k ； (4)若a >b ，b >c 则a －b >b －c . 解 (1)∵a <b ，不一定有ab >0， ∴1a >1b 不一定成立， ∴推不出c a <cb ，∴是假命题.(2)当c >0时，c 3>0，∴a <b ，∴是假命题.(3)当a ＝1，b ＝－2，k ＝2时，显然命题不成立，∴是假命题.(4)当a ＝2，b ＝0，c ＝－3时，满足a >b ，b >c 这两个条件，但是a －b ＝2<b －c ＝3，∴是假命题. 10.已知c >a >b >0，求证：a c －a >b c －b. 证明a c －a －bc －b ＝a （c －b ）－b （c －a ）（c －a ）（c －b ）＝ac －ab －bc ＋ab （c －a ）（c －b ）＝c （a －b ）（c －a ）（c －b ）. ∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0，a －b >0. ∴c （a －b ）（c －a ）（c －b ）>0.∴a c －a >b c －b. 能力提升11.已知a >b >0，c <d <0，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a d 3<⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 3.证明 ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∴0<－1c <－1d .∵a >b >0，∴－a d >－bc >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－a d 3>⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c 3，即－⎝ ⎛⎭⎪⎫a d 3>－⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a d 3<⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 3. 12.已知1≤a ＋b ≤4，－1≤a －b ≤2，求4a －2b 的取值范围. 解 法一 设u ＝a ＋b ，v ＝a －b 得a ＝u ＋v 2，b ＝u －v2， ∴4a －2b ＝2u ＋2v －u ＋v ＝u ＋3v . ∵1≤u ≤4，－1≤v ≤2，∴－3≤3v ≤6. 则－2≤u ＋3v ≤10，即－2≤4a －2b ≤10. 法二 令4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )， ∴4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b . ∴⎩⎨⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3. 又⎩⎨⎧1≤a ＋b ≤4，－3≤3（a －b ）≤6. ∴－2≤4a －2b ≤10.。
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章末整合
知识结构·理脉络
等式与不等式
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧等式⎩⎪⎪⎨
⎪⎪⎧等式的性质与方程的解集
一元二次方程：ax 2
＋bx ＋c ＝0(a ≠0)⎩⎨⎧
求根公式：x ＝－b ±b 2
－4ac
2a 根与系数的关系：x 1
＋x 2
＝－b a ，x 1x 2
＝c
a 方程组的解集⎩⎪⎨⎪
⎧
二元一次方程组三元一次方程组
二元二次方程组
等式与不等式
⎩
⎪⎪⎨⎪⎪⎧不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧
不等关系与不等式⎩⎪⎨⎪⎧
不等式的概念实数(代数式)大小的比较⎩⎪⎨⎪⎧ 依据⎩⎪⎨⎪⎧
a －
b <0⇔a <b a －b ＝0⇔a ＝b
a －
b >0⇔a >b
基本方法：作差法、作商法
不等式的性质：对称性、传递性、可加性、可乘性
等式与不等式
⎩
⎪⎨⎪⎧一元二次不等式及其解法⎩⎪⎨
⎪⎧
概念
解法⎩⎪⎨⎪
⎧ 因式分解法、配方法
含参不等式的解法应用
⎩
⎪⎨⎪⎧ 解分式不等式——化归为整式不等式
从实际问题中建立一元二次不等式模型
等式与不等式
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⎪
⎪
⎪⎧
均值不等式
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⎨
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⎪
⎧内容：a＋b2≥ab(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时，等号成立
证明
⎩⎪
⎨
⎪⎧几何证明
代数证明
应用
⎩⎪
⎨
⎪⎧比较大小
证明不等式
求最值
⎩⎪
⎨
⎪⎧
⎦
⎥
⎤
积定和最小
和定积最大
具备条件
一正、二定、三相等
解决实际问题
要点梳理·晰精华
1．不等式基本性质中注意问题
(1)不等式的基本性质中性质4、6要注意符号，另外还有一些常用的结论，同学们也要掌握．如：“a>b且ab>0，则
1
a<
1
b”，“a>b，c<d，则a－c>b－d”，“a>b>0，c>d>0，则
a
d>
b
c”．在使用这些性质时，要注意上述各不等式成立的条件．
(2)不等式的基本性质中，对表达不等式性质的各不等式要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说，每条性质是否具有可逆性．运用不等式的基本性质解答不等式问题时，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误．
2．一元二次不等式的解法
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx
＋c(a>0)的图像
一元二次方程ax2＋bx
＋c＝0(a>0)的根
有两相异实数根x1＝
－b－Δ
2a，x2＝
－b＋Δ
2a(x1<x2)
有两相等实数根x1＝
x2＝－
b
2a
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的
解集
{x|x<x1，或x>x2}{x|x∈R，x≠－
b
2a}R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的
解集
{x|x1<x<x2}∅∅3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－
b
a，x1＋x2＝
c
a，若bc ＝0时，关系式仍然成立．
4．不等式组、简单分式不等式、绝对值不等式的解法
(1)不等式组的解集等于组成该不等式组的每个不等式解集的交集． (2)解简单分式不等式应等价转化为整式不等式(整式不等式组)求解．
(3)解绝对值不等式可根据绝对值的几何意义求解，也可按零点分段法逐段脱去绝对值号求解．
5．均值不等式及有关结论
(1)均值不等式：如果a >0，b >0，那么a ＋b
2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即正数
a 与
b 的算术平均数不小于它们的几何平均数．
(2)几个常用的重要结论：
①b a ＋a
b
≥2(a 与b 同号，当且仅当a ＝b 时取等号)． ②a ＋1a ≥2(a >0，当且仅当a ＝1时取等号)，a ＋1
a ≤－2(a <0，当且仅当a ＝－1时取等号)．
③ab ≤(a ＋b 2)2
(a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)．
(3)利用均值不等式求最值 已知x >0，y >0，则
①如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记：积定和最小)． ②如果x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值s 2
4
(简记：和定积最大)．
素养突破·提技能
类型 特殊不等式的解法 ┃┃典例剖析__■ 1．一元高次不等式的解法
典例1 解不等式：(x ＋2)(x 2－x －12)>0.
思路探究：可转化为不等式组或用数轴标根法两种方法求解．
归纳提升：解简单的一元高次不等式，主要通过数轴标根法来求解，其步骤是
(1)将f(x)最高次项系数化为正数．
(2)将f(x)分解为若干个一次因式或二次不可分解的因式的积，然后求出f(x)＝0的解，并在数轴上标出．
(3)自数轴正方向起，用曲线从右至左、自上而下依次从各解穿过数轴．
(4)记数轴上方为正，下方为负，根据不等式写出解集．
在用数轴标根法求解高次不等式的过程中要注意：①区间端点能否取到；②各因式中最高次项的系数要全为正数；③奇数个等根，穿过，偶数个等根，穿而不过．2．分式不等式的解法
典例2解不等式：x2＋2x－3
－x2＋x＋6
<0.
思路探究：一般地，解分式不等式的基本思想是化分式不等式为整式不等式或整式不等式组．
归纳提升：分式不等式的求解在高考中比较常见，解分式不等式的过程就是转化的过程，通过不等式的性质和符号运算规律将其转化为整式不等式问题，注意不等式的等价变形．类型含参不等式恒成立问题的求解策略
┃┃典例剖析__■
不等式恒成立问题是高考中的热点内容，它以多种形式出现在高中数学的各个分支中，扮演着重要的角色．求解含参不等式的恒成立问题的关键是转化与化归思想．一般而言，针对不等式的表现形式，有如下两种策略．
1．判别式法
典例3对于x∈R，不等式x2－2x＋3－m≥0恒成立，求实数m的取值范围．思路探究：不等式x2－2x＋3－m≥0恒成立，可转化为函数y＝x2－2x＋3－m图像恒在x 轴及其上方，即Δ≤0.
归纳提升：有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化为二次函数或一元二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．
2．分离变量法
典例4 若关于x 的不等式ax 2－2x ＋2>0对于满足1<x <4的一切实数x 恒成立．求
实数a 的取值范围．
思路探究：可先将参数的a 分离出来即a >2x －2x 2，然后再求2x －2
x 2的最值．
归纳提升：如果能够将参数分离出来，建立明确的参数和变量x 的关系，那么可以利用函数的最值求解．a >y 恒成立⇔a >y max ，a <y 恒成立⇔a <y min .
类型 均值不等式的变形技巧 ┃┃典例剖析__■ 1．技巧一：添项
典例5 求函数y ＝3x 2＋16
2＋x 2
的最小值．
思路探究：当求和的最小值时，尽可能凑定积，本题需添6，减6.
2．技巧二：放入根号内或两边平方
典例6 求函数y ＝x 1－x 2(0<x <1)的最大值．
思路探究：求积的最值(因式中含根号)，把变量都放在同一条件下的根号里或者将两边平方去根号，整合结构形式，凑成定和，是解决本题的关键所在．
3．技巧三：分子常数化
典例7设x∈(0，＋∞)，求函数y＝2x
x2＋4
的最大值．
思路探究：当分子的变量因子次数比分母的小且变量因子不为零时，都可同时除以分子所含变量因子使分子变量常数化，以实现变量形式的统一，从而使问题得以解决．归纳提升：运用均值不等式求解函数最值的关键是在求解过程中充分重视运用“一正、二定、三相等”这三个条件的基础上，观察结果，合理变形．其中，成功实现变形是关键．。