第二章-不等式的解集与区间
初二数学不等式解集表示方法
初二数学不等式解集表示方法不等式是数学中常见的一种表示关系的方式。
在初二数学中，学生将学习如何解不等式，并且要使用特定的方法来表示不等式的解集。
本文将介绍初二数学中常用的不等式解集表示方法。
一、不等式的解集表示方法解不等式时，需要找到使不等式成立的变量取值范围。
这个取值范围称为不等式的解集。
在表示不等式的解集时，常用以下几种方法：1. 图形表示法：对于简单的不等式，可以将其转化为图形，用图形表示不等式的解集。
例如，不等式x > 2表示x在2的右边，可以用一条竖直线表示，然后在这条竖直线的右边标上一个开圈，表示不包括2。
这样，表示了不等式x > 2的解集。
2. 区间表示法：对于一些特定的不等式，可以使用区间表示法来表示解集。
区间表示法使用中括号和圆括号来表示开闭区间。
例如，不等式3 ≤ x ≤ 7可以用区间表示法表示为[3, 7]。
3. 不等式符号表示法：对于简单的不等式，可以直接使用不等式符号表示解集。
例如，不等式x > 5可以表示为x > 5。
4. 集合表示法：对于一些复杂的不等式，可以使用集合表示法来表示解集。
集合表示法使用大括号来表示集合。
例如，不等式x^2 - 4 < 0的解集可以表示为{x | -2 < x < 2}。
二、解不等式的方法解不等式的方法主要有以下几种：1. 图像法：对于一些简单的不等式，可以绘制图像来解不等式。
首先，将不等式转化为等式，然后绘制等式的图像。
接着，根据不等式的符号确定图像的左右区间，并标出解集。
例如，对于不等式x + 2 > 0，可以将其转化为等式x + 2 = 0，得出x = -2。
将x = -2绘制在数轴上，并在-2的右边标上箭头，表示解集为x > -2。
2. 正负数法：适用于一些关于不等式的基本问题。
根据不等式的正负号和绝对值的性质，可以确定不等式的解集。
例如，对于不等式2x - 3 < 7，可以将其转化为等式2x - 3 = 7，得出x = 5。
不等式的解集与区间
a, b
用数轴表示为：
a
b
x
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讲授新课：
3.半开半闭区间: 满足 a x b或a x b 的全体实数 x 的集合都叫做半开半闭区间。
a, b 或 ( a , b ] 记作：
数轴表示分别为：
a b b x x
x x
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课堂小结：
（1）会用集合表示不等式的解集 （2）会用区间法表示不等式的解集 （3）会在数轴上表示不等式的解集
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课后作业：
必做题：
练习册第27页1—5题 选做题：
练习册第28页6、7、8题
§2.1.2不等式的解集与区间
陈福梅
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学习目标：
1.了解不等式解集的概念，了解一元一次不等式 （组）的概念。 2.掌握一元一次不等式（组）的解法。 3.掌握用集合的性质描述法、区间表示不等式解集 的方法。
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复习回顾：
所以不等式组的解集是① ② = x | x 2
用数轴表示：
-3 -2 -1 0
1
2
3
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讲授新课：
设a, b R，且a b, 则：
1.闭区间： 记作： a, b 用数轴表示为： a b x
a xb
x
2.开区间: 满足a x b 的全体实数 x 的集合叫做开区间。 记作：
(1) 1 x 5
(3) 6 x 2
1,5
(4) 3 x 3
2,3
(5) x 5
6, 2
不等式的解集与区间
-2
-1
0
课堂 感悟
用不等式表示生活中数量关系.
一元一次不等式的概念
这节课 我学会了
生活中不等关系无处不在
不等式的解及其解集
作业：书本P30 4
课后思考题：我们班如果要
组织同学去玉黛湖公园开展活动，该 如何买票更加合算？（玉黛湖公园的 票价是：每人1５元；一次购票满３ ０张，每张票可少收１元。）
a
例4 例5
用区间法表示下列不等式的解集:
3 x 8.5
x 10
用集合的性质描述法表示下列区间,并在 数轴上表示:
(1) [4,12]
(2) (-∞,-6)
利用数轴来表示下列不等式的解集.
练一练
(1)x＞-1
1 (2)x＜ 2
-1 0 1
0
12
变 式: 已知x的取值范围如图所示,你能写出x的 取值范围吗?
x 3 7 x 5 2x 9 x
知识点三:
设a,b R,且 a b,则：
叫做闭区间,记作
叫做开区间,记作 叫做半开半闭区间,分别 记作
知识点三:
a 与b叫做区间的
端点
在数轴上表示区间时,
端点属于这个区间,用实心点表示,不属于这个区间,用空心 点表示.
-1 0 1 2 3
-1 0 1 2 3
识
点
二
求不等式组解集的过程,叫做解不等式组.
例3
分析:
说明:
解不等式组 x 5 2x 4 3x 1 9 x
这个不等式组包含两不等式,因此,求这个 不等式组的解集,实际上就是求这两个 不等式的解集的交集
两个不等式的解集可以在数轴上表示出来..
试一试
解不等式
不等式与区间的表示
不等式与区间的表示不等式是数学中常见的一种数值关系表示方式，用于表示一系列数值之间的大小关系。
区间则是表示一定范围内所有数值的集合，是不等式中常用的一种形式。
本文将介绍不等式的基本概念以及如何使用区间来表示不等式。
一、不等式的基本概念不等式是数学中比较两个数大小关系的一种表示方式。
常见的不等式符号有：大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）、不等于（≠）等。
例如，对于任意两个实数a和b，可以用不等式来表示它们的大小关系：- a > b 表示a大于b；- a < b 表示a小于b；- a ≥ b 表示a大于等于b；- a ≤ b 表示a小于等于b；- a ≠ b 表示a不等于b。
不等式可以通过运算来推导和解决问题，如加减乘除、开方、对数等运算。
在解决不等式问题时，我们需要明确每个不等式的含义和限制条件，并找出满足所有不等式的解集。
二、区间的表示区间是一种表示数值范围的方式，可以使用数轴上的箭头表示。
常见的区间符号有：开区间（a, b）、闭区间[a, b]、半开半闭区间[a, b)和(b, a]等。
- 开区间表示不包括端点，例如(a, b)表示大于a小于b的一组实数；- 闭区间表示包括端点，例如[a, b]表示大于等于a小于等于b的一组实数；- 半开半闭区间表示包括左侧端点但不包括右侧端点，例如[a, b)表示大于等于a小于b的一组实数；- (b, a]表示大于a小于等于b的一组实数。
区间可以用来表示不等式的解集，同时也可以用于表示函数的定义域和值域等概念。
三、使用区间表示不等式在数学中，我们常常需要求解不等式的解集，而区间的表示方式可以方便地表示不等式的解集。
下面以几个例子来说明如何使用区间来表示不等式。
例1：求解不等式x > 2的解集。
解：不等式x > 2表示x的取值大于2。
根据区间的表示方式，解集可以表示为(2, +∞)，表示从2开始，一直到正无穷的数值范围。
不等式的解集及区间
x
a
b
x
a
b
(1)含有两个端点的数轴区域设 设a＜x＜b
a bx a≤x≤b {x| a≤x≤b} [a，b]
a bx
a bx a bx
a＜x＜b
a＜x≤b
a≤x＜b
{x| a＜x＜b} {x| a＜x≤b}
(a，b)
(a，b]
{x| a≤x＜b} [a，b)
• 开区间 满足不等式a＜x＜b 的所有实数的集 合，叫做开区间，记做（a,b)，在数轴上用介 于a,b两点之间而不包括端点的一条线段上所 有的点表示。如图：
x
a
b
• 闭区间 满足不等式a≤x≤b的所有实数的集合， 叫做闭区间，记做[a，b]，用数轴表示为：
x
a
b
半开半闭区间
不等式满足a＜x≤b 或 a≤x＜b
成的一元一次不等式组的解集。
思考：如果各个不等式的解集的交集是空集呢？
求解不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
例2：解不等式组
{x -5 2 x -4 3 x 1< 9- x
解：由不等式得 x-2x≤5-4， -x≤1， x≥-1. 所以不等式的解集是{x|x≥-1}. 由不等式得 3x+x<9-1， 4x<8， x<2. 所以不等式的解集是{x|x≤2}。 取交集得到元不等式的解集是{x|-1≤x<2}. 请同学们自己在数轴上表示出来.
(－∞ ，a]
a
x
x＞a
{x| x ＞ a}
(a，＋∞)
ax x＜a {x| x ＜ a}
(－∞，a)
对于实数集 R，也可用区间(－ ∞ ，＋∞) 表示 ．
探究不等式与区间
探究不等式与区间不等式与区间是数学中常见的概念，它们在描述数值范围、解决数值问题等方面具有重要作用。
本文将从不等式与区间的定义、性质以及在实际问题中的应用等方面进行探究。
一、不等式的定义与性质不等式是用不等号表示的数学关系，与等式不同，不等式中的未知数可以取多个值。
不等式可以分为一元不等式和多元不等式两种。
1.1 一元不等式一元不等式是只包含一个未知数的不等式。
例如：x > 3，2x - 5 ≤ 7等。
对于一元不等式，我们可以通过一些基本的性质进行求解。
1.1.1 加减法性质若a > b，则a + c > b + c；若a < b，则a + c < b + c。
例如：对于不等式x > 3，我们可以将两侧分别加上2得到x + 2 > 5。
1.1.2 乘除法性质若a > b且c > 0，则ac > bc；若a < b且c > 0，则ac < bc。
例如：对于不等式2x - 5 ≤ 7，我们可以将两侧同时除以2得到x - 2.5 ≤ 3.5。
1.2 多元不等式多元不等式是包含多个未知数的不等式。
例如：x + y > 5，3x - 2y < 10等。
对于多元不等式，我们需要考虑多个未知数之间的关系，可以通过图像、表格或等价转化等方法进行求解。
二、区间的定义与性质区间是由一对数构成的集合，该集合中的数满足特定的大小关系。
在数轴上，区间可以表示为一个连续的线段。
2.1 闭区间与开区间闭区间是指数轴上两个端点都包含在内的区间，用方括号表示。
例如：[a, b]表示不小于a且不大于b的所有实数。
开区间是指数轴上两个端点都不包含的区间，用圆括号表示。
例如：(a, b)表示大于a且小于b的所有实数。
2.2 半开半闭区间与无穷区间半开半闭区间是指只有一侧的端点包含在内的区间，用方括号和圆括号混合表示。
例如：[a, b)表示不小于a且小于b的所有实数。
第二章 考点6 一元一次不等式(组)及其解法
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
【解】 (1)原不等式可化为4(4－2x)<12－3(x－3)⇒16－8x<12 －3x＋9⇒－5x<5⇒x>－1，∴原不等式的解集为{x|x>－1}．
(2)原不等式组可化为 ，
2x 16 10
2 x 1 3
x
4x 12,
1 0,
即
x x
1, 解得x≤1 5,
1 3
,
5 2
．
【提示】
由题意得
3x 1 0,
2x 5,
解得
1 3
x
5 2
.
A组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B组 1 2 3
8．已知 x 1 x 1 ，化简：|2x＋1|－|1－x|＝ x+2 ． 43
【提示】 由 x 1 x 1 得x≥7，
43 ∴|2x＋1|－|1－x|＝2x＋1－(x－1)＝x＋2.
10．若关于x的不等式组 是 [2，＋∞) ．
x x
m 1, 2m 1
无解，则m的取值范围
【提示】∵不等式组无解，∴2m－1≥m＋1，∴m≥2.
A组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B组 1 2 3
三、解答题 11．解下列关于x的不等式． (1)ax＋4<2x＋a2，其中a>2； (2)mx＋1>x＋m3，其中m<1．
A．(
4
2x ，1]
5
3x
4 B．(
4
，2)
3
3
C．(2，＋∞)
D．(－∞，2)
A组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B组 1 2 3
不等式与区间
不等式与区间不等式是数学中的一种常见表达方式，用于比较两个数或者两个算式的大小关系。
区间则是不等式的一种特殊表达形式，表示一个数的范围。
一、不等式基础不等式有以下几种形式：1. 严格不等式：表示两个数不相等的关系，使用 "<" 或 ">" 符号进行表示。
例如：a < b 或 c > d。
2. 非严格不等式：表示两个数包括相等的关系，使用"≤" 或"≥" 符号进行表示。
例如：x ≤ y 或u ≥ v。
在解不等式时，需要注意以下几个原则：1. 相加相减法则：可以在不等式的两侧同时加上或减去相同的数，而不改变不等式的方向。
例如：若 a < b，则 a + c < b + c。
2. 相乘相除法则：可以在不等式的两侧同时乘以或除以正数，而不改变不等式的方向；但是若乘以或除以负数，则需要改变不等式的方向。
例如：若 x > y，则 2x > 2y；若 z < w，则 -3z > -3w。
二、不等式的解集与图示解一个不等式意味着找到满足该不等式的数的集合，这个集合称为不等式的解集。
1. 一元不等式的解集表示：对于只含有一个未知数的不等式，可以通过解不等式得到一个数轴上的一段区间来表示解集。
举例说明：解不等式 2x - 3 > 5，需要先将 x 的系数移到一侧得到 2x > 8，再将x 分离，得到 x > 4。
所以不等式的解集为 x ∈ (4, +∞)。
2. 多元不等式的解集表示：对于含有两个或两个以上未知数的不等式，可以通过解不等式得到平面上的一个区域来表示解集。
举例说明：解不等式系统 {x + y > 2, x - y < 4}，可以通过先将不等式转化为等式，再画出相应的直线，最后根据不等式的符号确定对应的区域。
经求解得到该不等式系统的解集为{(x, y) | x + y > 2, x - y < 4}。
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次数是1，系数不等于0的整式不等式叫做一元一次不等式。
不等式的解集
用集合的性质描述法写出下列不等式的解集：
（1）x-3≥0
{x| x≥3 }
x-3＞0 （2）x-2≤0 x-2＜0
{x| x>3 } {x| x≤2 }
区间
注：
（1）a与 b (a＜ b )分别叫做区间的左端点和右端点，a 必须写在区间左端，b写在右端。 （2）数轴表示区间时，属于这个区间的实数所对应的端 点，用实心点表示，不属于这个区间的实数所对应的端 点，用空心点表示。
区间
在实数集R中，有没有 最大的数和最小的数？
实数集R 用区间表示为（ -∞，+∞ ）
练习：用区间表示集合｛x︱-1＜x＜3｝,并在数轴上表示出来。
(-1,3)
－1
3
x
区间
（3)半开半闭区间 满足 a x ＜ b 或 a＜ x b 的全体实数的集合，都叫做半 开半闭区间。 分别记作[ a， b）（ a，b]。 数轴表示： a a b b
x
x
练习：用区间表示－1≤x＜3，－1＜x≤3， 并在数轴上表示出来。
6、解不等式组：求不等式组解集的过程。
不等式的解集 用集合的性质描述法写出下列不等式组的解集：
（1）x-2≥0 x-3≤0
{x| 2≤x≤3 }
（2）x-2＞0
x-3＜0
{x| 2＜x＜3 }
不等式的解集
（3）x-2≥0 x-3＜0
{x| 2≤x＜3 } {x| 2＜x≤3 }
（4）x-2＞0
x-3≤0
{x| x<2 }
不等式的解集 概念
4、一元一次不等式组：含有相同未知数的几个一元一次
不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
5、一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解
集的交集，叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集。
特别的，如果个不等式的解集的交集是空集，那么
由它们所组成的不等式组的解集是空集。
（1）闭区间 • 满足 a x b 的全体实数 x 的集合，记为[a，b]。
数轴表示：
例如：用区间表示集合
x 1 x 3，并在数轴上表示出来。
－1 x 3
a
b
x
－1， 3
区间
（2)开区间 满足 a＜ x ＜ b 的全体实数 x 的集合，记为 (a，b） 数轴表示： a b x
第二章
方程与不等式
§2.2.1 不等式的解集与区间
下列词汇对应什么不等号？
“至少” ≥ ≤ “至多” “不少（小） 于” “不多（大） ≠ 于” “不等于”
≥ ≤
不等式的解集 概念
1、不等式的解集：在含有未知数的不等式中，能使不等 式成立的未知数值的全体所构成的集合，叫做不等式的解 集。
不等式的解集，一般可用集合的性质描述法来表示。
-∞ 读作： 负无穷大
+∞ 读作： 正无穷大
区间
(4)无穷区间解集表示ຫໍສະໝຸດ 区间表示 数轴表示 a a x x
{x|x≥a}
[a,+ ∞) (a,+ ∞)
{x|x > a} {x|x≤b}
{x|x＜b}
( －∞,b]
(－∞,b)
b
b
x x
区间
• 例1
用区间法表示下列不等式的解集:
（1）-3＜x≤8.5
除了性质描述法还有其他的方法来 表示不等式的解集吗？
区间
复习回顾：
实数与数轴上的点之间可以建立一一对应的关系。
数轴上的任意两点中，右边的点对应的实数比 左边的点对应的实数大。
例如1到5之间的数
例如-4到0之间的数
用不等式表示为 1 x 5 用不等式表示为 4 x 0
区间 设 a、b∈ R，且 a＜ b:
习题5
谢谢，再见！
区间
（1）a、b∈ R，a＜ b。
集合 区间 数轴表示
x a x a ＜ x＜ b｝ ｛x ︱
｛ ︱ ≤ ≤b｝ ｛ ︱ ≤
a, b
a, b
a, b
x a x＜ b ｝
｛ ︱ ＜ ≤ b｝
x a x
a, b
区间
（2）a ∈ R.
作 业
教材P30练习2-3 习题4(1)(2)
例2
（2）X≥10
用集合性质描述法表示下列区间：
（1）[4，12]
例3
（2）（- ∞ ，-6）
} 在数轴上表示集合 {x | x 2或x 1
区间 课堂小结
• 本节学习了不等式解集的概念以及不等式解集的 两种表示方法：集合的性质描述法和区间表示。 • 不等式解集的名称及数轴表示，归纳起来可分为 两种情形：