不等式的解集与区间 (1)
让你识别不等式的意义
让你识别不等式的意义不等式是数学中常见的概念，它以不等于号（>、<、≥、≤）来表示两个数之间的大小关系。
通过学习不等式，我们可以在实际问题中判断大小关系，并进行相应的分析和求解。
本文将就不等式的意义进行详细的阐述和讨论。
一、不等式的基本定义不等式是一种数学表达式，它将两个数或者两个代数表达式进行比较。
不等式的意义在于揭示了两个数之间的大小关系。
我们可以通过不等式来表示一个数大于另一个数（例如：a > b），也可以表示一个数小于等于另一个数（例如：c ≤ d）等等。
二、不等式的解集不等式的解集是使得不等式成立的数的集合。
根据不等式的类型和特性，解集可以是一个区间、一个点或者无解。
我们可以通过求解不等式来确定其解集，并进一步分析问题。
三、不等式的意义1. 在代数运算中的应用不等式在代数运算中具有重要的意义。
它可以帮助我们判断一组代数式的大小关系，并进行相应的计算和推导。
例如，当我们需要求解一个多项式的根时，可以通过不等式关系判断多项式的根的范围，进而缩小求解的范围，提高计算效率。
2. 在函数图像中的应用不等式在函数图像中也有广泛的应用。
通过不等式关系，我们可以确定函数图像的增减性、极值点、拐点等重要的性质。
这些信息可以帮助我们更好地理解和分析函数图像，并且在实际问题中进行应用。
3. 在实际问题中的应用不等式在实际问题中的应用非常广泛。
例如，在经济学中，我们常常需要分析收入与消费之间的关系，可以通过不等式来确定经济状况是否平衡或者是否存在盈亏；在物理学中，不等式可以用来判断物体运动的范围和方向；在生活中，我们可以通过不等式来优化时间规划，合理安排工作和休息时间等等。
四、不等式的解法和求解策略对于不等式的求解，我们可以采用不同的策略和方法。
常见的求解方法包括图像法、试探法、代数方法等。
根据问题的具体情况和要求，选择合适的方法来求解不等式，可以更好地理解问题和得到准确的结果。
五、总结通过学习和理解不等式，我们可以在实际问题中应用数学知识进行分析和求解。
不等式的解集求解方法
不等式的解集求解方法不等式是数学中常见的一类问题，涉及到不等关系的确定和解的范围。
本文将介绍一些常见的不等式求解方法，帮助读者更好地理解和应用不等式解集的确定方法。
一、一元不等式的求解方法对于一元不等式，我们可以通过一些基本的规则和性质来确定其解集。
以下是一些常用的方法：1. 图像法：将不等式转化为图像的形式，从图像上确定解集。
例如，对于线性不等式ax + b > 0，可以将其转化为对应的直线ax + b = 0，并确定直线上方的部分为解集。
2. 数轴法：将不等式对应的解集在数轴上表示出来。
例如，对于不等式x > a，可以在数轴上标记点a，并将大于a的部分标记为解集。
3. 区间法：将解集表示为区间的形式。
例如，对于不等式x ∈ (a,b)，可以表示解集为开区间(a, b)。
4. 符号法：通过符号的变化来确定不等式的解集。
例如，对于不等式(ax + b)(cx + d) > 0，可以通过判断(ab + cd)的符号来确定解集。
若ab + cd > 0，则解集为x < -b/a 或 x > -d/c；若ab + cd < 0，则解集为 -b/a < x < -d/c。
二、多元不等式的求解方法对于多元不等式，其解集的确定需要考虑到各个变量之间的关系。
以下是一些常见的方法：1. 图形法：将多元不等式转化为在坐标系中的图形，通过观察图形的交点和区域来确定解集。
例如，对于二元不等式系统{ax + by > c，dx + ey > f}，可以将其转化为对应的两条直线，并观察两条直线的交点及其相对位置来确定解集。
2. 消元法：通过消去其中一个变量，将多元不等式转化为一元不等式。
例如，对于二元不等式系统{ax + by > c，dx + ey > f}，可以通过消去y变量，转化为关于x的不等式，然后再根据一元不等式的求解方法来确定解集。
第三节 一元一次不等式(组)的解集与区间
集的规定可知a＝6.
同步精练
9．若不等式组
2x 1 3
1,
的解集{x|x>2}，则a的取值范围
x a
是___a_≤__2__．
【提示】
解不等式组
2x 1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3 x a
1,
得
x x
2,要
a,
使解集是{x|x>2}，需a≤2.
10．不等式x－3≥1＋5x的解集可用区间表示为(_－__∞_，__－__1_]．
解：解不等式4x＋6＞0，得x＞ 3 ;
2
解不等式3x－5<0，得x＜ 5 .
3
∴原不等式的解集是
3 2
,
5 3
.
同步精练
13．已知不等式组 数a，b的值．
2x 2x
a a
b b
的解集是(－5，4)，求实
解：不等式2x－a＞－b等价于2x＞a－b，解得x＞ a b ;
2
不等式2x－a＜b等价于2x＜a＋b，解得x＜ a b .
知识梳理
(3)一元一次不等式组的解法 若a＜b，则不等式组
①
x a x b
的解集为__{_x_|_x＞__b_}____；
②
x a x b
的解集为_{_x_|_a_＜__x_＜__b_}_；
③
x a x b
的解集为__{_x_|_x＜__a_}____；
④
x a x b
的解集为_____∅_______．
|
x
5 3
典例解析
(2)去分母得2(x－2)≤3x－6，去括号2x－4≤3x－6，移项、 合并同类项得－x≤－2，化系数得x≥2，所以不等式的解集 为{x|x≥2}．
职高数学《区间(1)》
例2 用集合的描述法表示下列区间：
(1) 2,1; (2)3,5.
解：(1)x | 2 x 1; (2)x | 3 x 5.
1.用区间表示下列不等式的解集， 并用数轴表示这些区间：
(1)x 2; (3)x 2;
(2)2 x 5; (4)R.
2.用集合的描述法表示下列区间：
(1)2,3; (2) 3,1; (3) ,2; (4)1,.
的所有实数集合， 叫做半开半闭
区间， 分别记做a,b或a,b.
a, b
x
a
b
a, b
x
a
b
实数集R也可以用区间(,)表示， “”读做“无穷大”， 但它不是一个具体的数，
只是一个记号.它的前面的“”和“”号表示方
向， 例如，“”表示数在数轴上向正的方向无
限变大.
满足不等式x a, x b和x a, x b的
作业： 用区间表示下列不等式的解集，
并在数轴上表示这些区间：
(1) 2 x 3; (2) 3 x 4;
(3) 2 x 3; (4) 3 x 4;
(5)x 3;
(6)x 4.
集合表示.
(a, b)
x
a
b
闭区间 满足不等式a x b的所有实数集合，
叫做闭区间， 记做a,b.
在数轴上用介于a, b两点之间并包括端
点在内的一线段上所有的点的表示， 如
下图， 也可以用形如x | a x b的集合
表示.
a, b
x
a
b
半开半闭区间 满足不等式a x b或a x b
简述不等式的基本性质。
2.比较下列各对实数的大小：
(1) 6 与 11；
13 25 (2) 5 与 7 .
不等式的解集与区间
数轴表示：
a
b
x
a
b
x
练习：用区间表示－1≤x＜3，－1＜x≤3， 并在数轴上表示出来。
区间
注：
（1）a与 b (a＜ b )分别叫做区间的左端点和右端点，a 必须写在区间左端，b写在右端。
（2）数轴表示区间时，属于这个区间的实数所对应的端 点，用实心点表示，不属于这个区间的实数所对应的端 点，用空心点表示。
区间
在实数集R中，有没有 最大的数和最小的数？
实数集R 用区间表示为（ -∞，+∞ ） -∞ 读作： 负无穷大 +∞ 读作： 正无穷大
区间
(4)无穷区间
解集表示 区间表示
数轴表示
{x|x≥a} [a,+ ∞)
{x|x > a} (a,+ ∞)
{x|x≤b} {x|x＜b}
( －∞,b] (－∞,b)
• 不等式解集的名称及数轴表示，归纳起来可分为 两种情形：
区间
（1）a、b∈ R，a＜ b。
集合
区间
｛ x︱a ≤x≤ b ｝ a,b
｛x︱a ＜x＜ b｝ a,b
｛x︱a ≤ x＜ b｝ a,b
｛x︱a＜ x≤ b｝ a,b
数轴表示
区间
（2）a ∈ R.
作业
谢谢，再见！
不等式的解集：在含有未知数的不等式中，能使不 等式成立的未知数值的全体所构成的集合，叫做不 等式的解集。
解不等式：求不等式的解集过程。
不等式的解集
用集合的性质描述法写出下列不等式的解集：
（1）x-3≥0
{x| x≥3 }
x-3＞0 {x| x>3 }
不等式与区间的表示
不等式与区间的表示不等式是数学中常见的一种数值关系表示方式，用于表示一系列数值之间的大小关系。
区间则是表示一定范围内所有数值的集合，是不等式中常用的一种形式。
本文将介绍不等式的基本概念以及如何使用区间来表示不等式。
一、不等式的基本概念不等式是数学中比较两个数大小关系的一种表示方式。
常见的不等式符号有：大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）、不等于（≠）等。
例如，对于任意两个实数a和b，可以用不等式来表示它们的大小关系：- a > b 表示a大于b；- a < b 表示a小于b；- a ≥ b 表示a大于等于b；- a ≤ b 表示a小于等于b；- a ≠ b 表示a不等于b。
不等式可以通过运算来推导和解决问题，如加减乘除、开方、对数等运算。
在解决不等式问题时，我们需要明确每个不等式的含义和限制条件，并找出满足所有不等式的解集。
二、区间的表示区间是一种表示数值范围的方式，可以使用数轴上的箭头表示。
常见的区间符号有：开区间（a, b）、闭区间[a, b]、半开半闭区间[a, b)和(b, a]等。
- 开区间表示不包括端点，例如(a, b)表示大于a小于b的一组实数；- 闭区间表示包括端点，例如[a, b]表示大于等于a小于等于b的一组实数；- 半开半闭区间表示包括左侧端点但不包括右侧端点，例如[a, b)表示大于等于a小于b的一组实数；- (b, a]表示大于a小于等于b的一组实数。
区间可以用来表示不等式的解集，同时也可以用于表示函数的定义域和值域等概念。
三、使用区间表示不等式在数学中，我们常常需要求解不等式的解集，而区间的表示方式可以方便地表示不等式的解集。
下面以几个例子来说明如何使用区间来表示不等式。
例1：求解不等式x > 2的解集。
解：不等式x > 2表示x的取值大于2。
根据区间的表示方式，解集可以表示为(2, +∞)，表示从2开始，一直到正无穷的数值范围。
不等式组的解集与区间
{x| x≥3 }
{x| x>3 } {x| x≤2 } {x| x<2 }
（3）x-2≥0
x-3≤0 （4）x-2＞0
{x| 2≤x≤3 }
{x| 2＜x＜3 } {x| 2≤x＜3 } {x| 2＜x≤3 }
x-3＜0
（5）x-2≥0
练习：解不等式组
2( x 1) 5 x 5 x 3 3x 1
(1) (2)
1、一元一次不等式（组）的解集
2、一元一次不等式（组）的解集的表示方法
（1）集合描述法 （2）区间：闭区间 开区间 半开半闭区间 无限区间
x-3＜0
（6）x-2＞0 x-3≤0
区间是指一定范围内的所有实数所 构成的集合。也就是数轴上某一“段” 所有的点所对应的所有实数。
设a,b是两个实数，而且a<b.我们规定
（1）满足不等式a ≤ x ≤ b 的实数x的集 合叫做以 a , b 为端点的闭区间，记作[a,b]
数轴表示
a
b
x
设a,b是两个实数，而且a<b.我们规定
b
x
在实数集R中，有没有 最大的数和最小的数？
实数集R 用区间表示为（ -∞，+∞ ）
-∞ 读作： 负无穷大
+∞ 读作： 正无穷大
x
填
表：
区间表示 数轴表示 a a b b x x x x
解集表示
{x|x≥a}
[a,+ ∞) (a,+ ∞)
{x|x > a} {x|x≤b}
{x|x＜b}
( －∞,b]
（－ ∞ ，－1]∪［2，＋∞）
不等式的解集及区间
x
a
b
x
a
b
(1)含有两个端点的数轴区域设 设a＜x＜b
a bx a≤x≤b {x| a≤x≤b} [a，b]
a bx
a bx a bx
a＜x＜b
a＜x≤b
a≤x＜b
{x| a＜x＜b} {x| a＜x≤b}
(a，b)
(a，b]
{x| a≤x＜b} [a，b)
• 开区间 满足不等式a＜x＜b 的所有实数的集 合，叫做开区间，记做（a,b)，在数轴上用介 于a,b两点之间而不包括端点的一条线段上所 有的点表示。如图：
x
a
b
• 闭区间 满足不等式a≤x≤b的所有实数的集合， 叫做闭区间，记做[a，b]，用数轴表示为：
x
a
b
半开半闭区间
不等式满足a＜x≤b 或 a≤x＜b
成的一元一次不等式组的解集。
思考：如果各个不等式的解集的交集是空集呢？
求解不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
例2：解不等式组
{x -5 2 x -4 3 x 1< 9- x
解：由不等式得 x-2x≤5-4， -x≤1， x≥-1. 所以不等式的解集是{x|x≥-1}. 由不等式得 3x+x<9-1， 4x<8， x<2. 所以不等式的解集是{x|x≤2}。 取交集得到元不等式的解集是{x|-1≤x<2}. 请同学们自己在数轴上表示出来.
(－∞ ，a]
a
x
x＞a
{x| x ＞ a}
(a，＋∞)
ax x＜a {x| x ＜ a}
(－∞，a)
对于实数集 R，也可用区间(－ ∞ ，＋∞) 表示 ．
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叫做闭区间,记作
叫做开区间,记作
叫做半开半闭区间,分别 记作
知识点三:
a 与b叫做区间的
端点
在数轴上表示区间时,
端点属于这个区间,用实心点表示,不属于这个区间,用空心 点表示.
-1 0 1 2 3
-1 0 1 2 3
X>1
X≤2
实数集R,也可用区间表示为(-∞,+ ∞) ,
符号” ,+ ∞”读作 “正无穷大” 符号” ,- ∞”读作 “负无穷大”
-2
-1
0
课
堂
感
悟
用不等式表示生活中数量关系.
一元一次不等式的概念
这节课 我学会了
生活中不等关系无处不在 不等式的解及其解集
练习1：用区间表示下列集合。 （1）{x | 2 x 3} 解:1) 2,3
（2）{x | 3
3) 2,3 x 3} { （4） x | 3 x 4} 4) 3,4 （5）{x | x 3} 5) 3, 。 3 { （6） x | x 4} 6) ,4
用区间法表示下列不等式的解集:
例4
3 x 8 .5
x 10
例5
用集合的性质描述法表示下列区间,并在 数轴上表示: (1) [4,12] (2) (-∞,-6)
利用数轴来表示下列不等式的解集. (1)x＞-1
-1
0
1
练一练
(2)x＜
1 2
0
1
2
变 式: 已知x的取值范围如图所示,你能写出x的 取值范围吗?
满足 x a 的全体实数,可记作
[a,+∞)
. a
满足x a的全体实数,可记作 a 满足 x a 的全体实数,可记作 (a ,+∞) (-∞, a]
.
a 满足x a 的全体实数,可记作 a (-∞, a)
知 识 回 顾
不等式(组)的解集
在含有未知数的不等式中，能使不等 式成立的未知数的值的全体所构成的集合， 叫做不等式的解集。 几个不等式可以组成不等式组，这几 个不等式的解集的交集，叫做不等式组的 解集。
1,7
,5
{x | 1 x 7}
{x | x 5}
4)
.
5
例2：解不等式组 7+3x ≤ 9+5x (1)
｛6 ＋x ＞4x－3 (2)
[-1 ，3)
解：原不等式组的（1）（2）的解集分别为 {x|x≥-1}，{x|x<3} 所以原不等式组的解集是: {x|x≥-1}∩{x|x<3}=
练习：解不等式组
2( x 1) 5 x 5 x 3 3x 1
(1) (2)
(1，+∞)
知识点一:
新 知
探
究
由不等式的所有解组成的集合，我们把它叫做不等式的解集. （solution set)
注：(1)解集中包括了每一个解
(2)解集是一个范围
求不等式解集的过程叫做解不等式。
例1
2 求不等式 x 50的解集 3
解： 原不等式两边乘以3去分母得 2 x 150 两边同除以2得 x 75 所以原不等式的解集是{x | x 75}
求解步骤
大于向右
用数轴表示
空心圆圈表示
75不在解集内
0
75
（3）x-2≥0
x-3≤0 （4）x-2＞0
{x| 2≤x≤3 }
{x| 2＜x＜3 } {x| 2≤x＜3 } {x| 2＜x≤3 }
-2 -1
0
1
2
x
（3）{x|x>-1}
解： {x|x>-1}表示为（-1，+∞）， 数轴表示
-2 -1 0 1 x
（4）{x|x≤3}
解: {x|x≤3}表示为（- ∞ ，3]，数
轴表示
3
0 1
2
x
练习1：用区间表示下列集合。 （1）{x | 2 x 3} 解:1) 2,3
（2）{x | 2 （3）{x | 3 （4）{x |
x 3}
2) 3) 4)
2,3
3,4 3,
x 4}
x 3} 。 3
练习2：用集合描述法表示下列区间 1) 2) 3)
3,1
2,4
{x | 3 x 1}
{x | 2 x 4}
（3）{x | 2
x 4}
2)
3,4
.
4
练习2：用集合描述法表示下列区间。
1) 2) 3) 4)
3,1
2,4
{x | 3 x 1}
{x | 2 x 4}
1,7
1,6
。 2
{x | 1 x 7}
5) 6)
2,
{x | 1 x 6} {x | x 2}
-1
0
3
x
(1)｛x|x≤-1或x≥2｝, 用区间如何表示？ (2) {x|-2≤x<2且x≠0}, 用区间如何表示？ 解:用区间分别表示为 （－ ∞ ，－1]∪［2，＋∞） [-2 ，0) ∪（0 , 2）
1、区间的概念 2、区间的表示方法：
闭区间 开区间 半开半闭区间 无穷大区间
P27T2(3)(4)T3(2)(3)
这个不等式组包含两不等式,因此,求这个 不等式组的解集,实际上就是求这两个 不等式的解集的交以在数轴上表示出来..
试 一 试
1 1 x 5 1 x 3 2
解不等式
解不等式组
x 3 7 x 5 2 x 9 x
知识点三:
设a, b R, 且 a b, 则：
x-3＜0
（5）x-2≥0
x-3＜0
（6）x-2＞0 x-3≤0
例2:
2x 3 x 1 解不等式 1 5 2
知 识 点 二
几个一元一次不等式的解集的交集,叫做由 它们组成的一元一次不等式组的解集.
求不等式组解集的过程,叫做解不等式组.
解不等式组
例3
x 5 2x 4 3 x 1 9 x
LOGO
LOGO
解集为
（1）x-3 ≤ 0 （2）x-2 ≥ 0
（3 ） x-2≥0
{x| x ≤ 3 }
{x|
x≥2 }
｛x-3≤0
{x| 2 ≤ x ≤3 }
除了用集合的方法表 示解集外还有没有其 他的表示方法呢？
区间
区间的概念:
介于两个实数之间的所有实数的集合叫做区间， 这两个实数叫做区间的端点。
LOGO
集合表示 {x a≤x≤b} {x a＜x＜b} {x a≤x＜b} {x a＜x≤b}
区间表示 [a , b] (a , b) [a , b) (a , b]
数轴表示
。 a 。 a
. a . a
。 b 。 b
. b
. b
注意： 有限 1.区间左端点通常比右端点 小 。 区间 2.两个端点之间用 “ 隔开 3.闭区间用 中 括号表示，开区间用 小 括号表示 ，”
数轴表示
。 a
。 a
. a . a
例1：用区间表示下列数集，并在数轴上表示 （1）{x|-1<x<3} （3）{x|x>-1} （2）{x|-2≤x<2} （4）{x|x≤3}
解:（1）{x|-1<x<3}表示为（-1，3）数轴表示
-1
0
3
x
（2）{x|-2≤x<2} 解：{x|-2≤x<2}表示为[-2，2) 数轴表示
其中a是左端点，b是右端点，a<b
实数集R可以用区间表示为 记号“∞”读作 “无穷大”
(-∞, +∞) 正无穷大 无限 区间
-∞ 为 负无穷大 ，+∞ 为
集合表示 {x x＜a} {x x≤a} {x x＞a} {x x≥a}
区间表示 (－∞, a) (－∞, a] (a , +∞) [a , +∞)
设a,b是两个实数，而且a<b, 我们规定： (1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫 做闭区间，表示为 [a,b] (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做 开区间，表示为 (a,b) (3)满足不等式a≤x<b的实数x的集合叫做 左闭右开区间，表示为 [a,b) (4)满足不等式a<x≤b的实数x的集合叫做 左开右闭区间，表示为 (a,b]
,5 {x | x 5}
.
5
（1）x-3≥0 x-3＞0 （2）x-2≤0 x-2＜0
{x| x≥3 }
{x| x>3 } {x| x≤2 } {x| x<2 }
作业：书本P30
4
课后思考题： 我们班如果要
组织同学去玉黛湖公园开展活动，该 如何买票更加合算？（玉黛湖公园的 票价是：每人1５元；一次购票满３ ０张，每张票可少收１元。）