第二章 不等式 复习

解集的公共部分
即原不等式的解集为{x|x≤－5}．求出不等式组的解集
开始 去分母 去括号 移项
合并同类项 化成ax>b(a0)
是 {x| x > }b
a
否 a>0
b
{x| x < }a
开始 求不等式组中 各个不等式的解集
求出各个不等式 解集的公共部分
求出不等式组的解集
五、一元二次不等式的解法：
一元二次不等式的定义 含有一个未知数并且未知数最高次数是二次的不等式叫 一元二次不等式. 它的一般形式:
{x|a < x < a}
a = 0或a < 0时上述结果
还成立吗?
{x|x < a 或 x > a} 为什么?
-a
0
a
x
解下列不等式 ： （1）|x| < 5； （2）|x|－3 > 0； （3）3|x| > 12．
不等式|x| < a的解集是{x|-a < x < a}． 不等式|x| > a的解集是{x|x < -a 或 x > a}．
一元一次不等式组的解法：
一元一次不等式组的定义
由几个含有同一个未知数的一元一次不等式所组成 的不等式组叫做一元一次不等式组． 例：解下列不等式组：
例2 解下列不等式组：
解：（1）由原不等式组可得
x5 4 x 1 3
即
xx543
所以
x≤－5．
开始
求不等式组中 各个不等式的解集 －求5 出各个不 43等0式 x
第二章 不等式 复习
知识框架
一、实数大小比较
实数与数轴上的点是一一对应的．
－4 －3 －2 －1
0
12
3
4
5x
数轴上的任意两点中，右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大．
B
A
b
a
A (B)
a (b)
A
B
a
b
a ＞ b
a －b＞0
a ＝ b
a－b＝0
a ＜ b
a－b＜0
例1 、对任意实数 x，比较（x+1)(x+2) 与 (x3)(x+6) 的大小 ．
所以 (x2+1)2 ≥( x4+x2+1)． 当且仅当 x=0 时，等号成立．
由此我们可以得出比较两个实数大小的方法，即是作差法.
作差法的步骤：作差变形定号(与0比较大小) 结论.
二、不等式的性质
性质1 如果a＞b，b＞c，那么a＞c． b
a
（传递性）
a＞b
c
b
b＞c
a
？
c a＞c
性质2(加法法则) 如果a＞b，那么 a＋c＞b＋c ．
{x|-1<x<2}
{x|x<-2或x>3}
（3）x22x3>0；
{x|x<-1或x>3}
（4）x22x3<0． {x|-1<x<3}
1. (a+b)2＝__a_2_+_2_a_b+_b_2____； (ab)2＝___a_2_-2_a_b_+_b_2 __．
2 （1）解不等式x24x +4>0
a bx a≤x＜b
{x| a＜x＜b} {x| a＜x≤b} {x| a≤x＜b}
(a，b)
(a，b]
[a，b)
开区间 半开半闭区间 半开半闭区间
其中 a，b 叫做区间的端点．
a
x
x≥ a
{x| x≥ a}
[a ，＋∞)
ax x≤ a {x| x≤ a} (－∞ ，a]
a
x
x＞a
{x| x ＞ a}
(a，＋∞)
ax x＜a {x| x ＜ a} (－∞，a)
对于实数集 R，也可用区间(－ ∞ ，＋∞) 表示 ．
例1 用区间记法表示下列不等式的解集： （1）9≤x≤10 ； （2） x≤0.4 ．
解：（1）[9，10] ； （2）(－∞，0.4 ] ． 例2 用集合的性质描述法表示下列区间： （1）（－4，0）； （2）（－8 ，7].
解：（1）{ x | －4＜x＜0}； （2）{ x | －8＜x≤7}．
解：
－2
01
x
四、一元一次不等式的解法：
一元一次不等式的定义 0.6 x＜50＋0.4 x．
未知数的个数是1，且它的次数是1的不等式叫做一元一次 不等式．
一元一次不等式的一般形式是ax+b>O或ax+b<O(a≠O，a，b为已知 数)． 解一元一次不等式的一般步骤： (1)去分母；(2)去括号；(3)移项； (4)合并同类项；(5)化系数为1．
如果不等式的两边都乘同一个负数，不等号的方向改变．
b b a＞b
aa
？
2 a＞2 b
要点：不等式的三条基本性质．
方法：作差比较法．
注意点：不等式的基本性质3中同乘负数一定 要改变不等号的方向．
设 a＜x＜b
a bx a≤x≤b
{x| a≤x≤b} [a，b] 闭区间
a bx a＜x＜b
a bx a＜x≤b
ax2+bx+c>0（≥0）或ax2+bx+c＜0（≤0）.
判断式子是否是一元二次不等式？ （1）x23x＋5≤0； （2）x2－9≥0； （3）3x2－2 x＞0； （4）x2＋5＜0； （5）x2－2 x≤3；（6）3x＋5＞0； （7）（x 2）2≤4；（8）x2＜4．
解一元二次不等式：
（1）(x+1)(x2)<0； （2）(x+2)(x3)>0；
(1) 解含绝对值的不等式关键是去掉绝对值符号； (2) 去绝对值符号时一定要注意不等式的等价性，即去掉绝对值 符号后的不等式（组）与原不等式是等价的．
ac
？
b c a＞b
a＋c＞b＋c
推论
如果a＋c＞b，那么a＞bc ． 不等式的两边同时加
上（或同时减去）同一 个数，不等号的方向不
如果a＞b，那么 ac＞bc ．变．
性质3(乘法法则) 如果 a＞b，c＞0，那么 a c＞b c． 如果 a＞b，c＜0，那么 a c＜b c．
如果不等式的两边都乘同一个正数，不等号的方向不变．
解 因为 (x+1)(x+2) (x3)(x+6) ＝ (x2+3x+2) (x2+3x18)
＝ 20 ＞0．
所以 (x+1)(x+2) ＞ (x3)(x+6)．
比较两个代数式的大 小，就2 与 x4+x2+1 的大小 ．
解 因为 (x2+1)2 ( x4+x2+1) ＝ (x4+2x2+1) x4x21 ＝ x2 ≥ 0．
解:
x24x+4=(x2)2，
因为对于任意实数 x ，都有 (x2)2≥0， 所以原不等式的解集为 { x| x ≠2 }．
（2）解不等式x24x +4<0
解: 因为没有一个实数 x 使得不等式 (x2)2＜0， 所以原不等式的解集为.
六、含绝对值不等式的解法
如果 a > 0，那么
想一想
︱x︱< a ︱x︱> a