不等式二

三式相加 2a 2 2b2 2 2(a b ab)
3
即 a2 b2 1 a b ab.
(2) ∵ a,b, c 是正数,∴ a b c 33 abc 0 , 1 1 1 33 1 0 ,两式相乘得, a b c abc
(a b c)(1 1 1) 9 .( a b c 时,取等号). abc
如果 a b 且 c 0 那么 ac bc （乘法单调性） 性质 5: 如果 a b c ,则 a c b (移项法则)
性质 6：如果 a b 0 ，那么 n a n b (n N *且n 1) 推论 1：如果 a b 且 c d ，那么 a c b d （相加法则）
画龙点睛
1. 实数大小的基本性质反映了实数运算的性质和实数大小顺序之间的关系, 是不等式证明和解不等式的主要依据;
2. 对于不等式的性质,要正确理解和灵活运用,搞清每一性质的条件和结论, 学会分析条件与结论之间的相互联系;
3. 作差比较法可用于代数式值的大小比较及证明不等式当中; 综合法是使 用不等式的性质和已证明的不等式去直接推证;
① a 2 b2 2ab(a,b R) ; a 2 1 2a ;
② a b ≥ ab (a,b R ) ; 2
③ b a ≥2（ a, b 同号）; ab
④ a 1 ≥2 (a R ) ; a
庖丁解牛
a b c ≥ 3 abc (a,b R ) ; 3
例 1 下列命题中正确的是( )
24
24
a3 1<b3 1.
综合运用
例 6(1)已知 a, b 是实数,求证 a2 b2 1 a b ab;
(2) 已知 a,b, c 是正数,求证 (a b c)(1 1 1) 9 . abc
分析可利用某些已经证明过的重要不等式和不等式的性质.
证明(1) ∵ a 2 1 2a , b2 1 2b , a2 b2 2ab
A. f (x) g(x) B. f (x) g(x) C. f (x) g(x) D.随 x 值变化而变化
5. 若 a 2或b 1， 则M a2 b2 4a 2b 的值与-5 的大小关系是( )
A. M 5 二. 填空题
B. M 5
C. M 5
D.不能确定
6. 7 2与 6 3 的大小关系是________.
2 如果 a,b, c R ，那么 a b c 3 abc .
3 （当且仅当 a b c 时取“=” ）.
3.均值定理运用: (1)不等式的证明
运用均值定理证明不等式的结构特征：①满足定理的条件；②不等式一边为 和的形式，另一边为积或常数的形式． (2)求最值问题
应用定理时注意以下几个条件:①两个变量必须是正变量； ②当它们的和为 定值时，其积取得最大值；当它们的积是定值时，其和取得最小值； ③当且仅 当两个数相等时取最值．
6
(3)实际应用 解决实际应用问题的一般步骤是:①先理解题意，设变量，设变量时一般把要
求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽 象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
庖丁解牛
例 1 设 a, b 是不相等的正数,则( )
ab
a2 b2
例 4 当 x 1时，求函数 y x 1 的最小值. x 1
分 析 y x 1 x 1 1 1 ， 由 于 (x 1) 1 1 为 定 值 ， 且 依 题 知
x 1
x 1
x 1
x 1 0 ，故可用均值定理求最值. 解∵ x 1，∴ x 1 0
由均值定理 ，y x 1 x 1 1 1 2 (x 1) 1 1 3 .
10.设 ,试确定 的取值范围.
2
2
11.对 实数 x, y ,求证: x2 xy y 2 0 .
挑战自我
12. 对 实数 a,b R ,且 a b 1,求证: (1 1 )(1 1) 9 . ab
5
第二讲 均值定理
学习目标
1. 理解算术平均数与几何平均数的意义； 2. 掌握均值定理； 3. 会用均值定理求最值问题； 4. 会解有关不等式的简单应用问题.
1
推论 2 如果 a b 0 且 c d 0 ，那么 ac bd （相乘法则）
推论 3 如果 a b 0 , 那么 an bn (n N *且n 1)
4. 不等式的证明: 证明不等式就是要证明所给不等式在给定条件下恒成立.由
于不等式的形式多种多样，所以证明的关键在于分析欲证不等式的特点，选
(a b)b
分析三题不等式的特征,均符合用均值定理证明,且满足使用条件. 证明 (1)∵ x 1∴ lg x 0 log x 10 0
于是 lg x log x 10 2 lg x lg x 10 2
(2)∵ 0 x 1 lg x 0 log x 10 0
于是 ( lg x) ( log x 10) 2
分析 x(8 2x) 2x(4 x),由于 x (4 x) 4 为定值，且依题意有 x 0,4 x 0 ，
故可用均值定理求最值.
解∵ 0 x 4 ,∴ x 0,4 x 0 ,
由均值定理得，x (8 2x) 2x(4 x) 2( x 4 x)2 8 . 2
当且仅当 x 4 x , 即 x 2 时， x(8 2x) 取最大值 8.
∵ ( 3 2)2 ( 10 )2 2 6 5 24 25 0
a b 1 < 10 3 2
(2) (a3 1) (b3 1) a3 b3 (a b)(a 2 ab b2 )
(a b)[(a 1 b)2 3b2 ] 24
∵ a b a b 0 ,[(a 1 b)2 3b2 ] 0 (a b)[(a 1 b)2 3b2 ] 0
则 lg x log x 10 2
7
(3) ∵ a b 0 , a 1 (a b)b
(a b) 1 b (a b)b
1
33 (a b)
b3
(a b)b
当且仅当 a b 1 b ,即 a 2,b 1时等号成立. (a b)b
例 3 当 0 x 4 时，求 x(8 2x) 的最大值.
数同时为负时就不成立.而 B 中的 2x 0 ,所以成立.答案选 B. 例 5 比较大小
(1) 1 和 10 ;(2)已知 a b,比较 a3 1和 b3 1的大小. 3 2
分析均采用作差比较法.题(1)含根式的比较,一般平方后再作差. 题(2)作差后 要用到因式分解和配方.
解(1)∵ 1 3 2 3 2
择适当的方法.常用不等式的证明法有作差比较法和综合法.
(1)作差比较法:依据是实数大小的三个基本关系式.证明步骤:作差
变形
(因式分解、配方、通分等) 判定.
(2)综合法: 利用某些已经证明过的不等式（如均值不等式，重要不等式，函数
单调性）作为基础，再运用不等式的性质推导出所要证的不等式的
方法.
重要不等式:
A.若 a b,则ac2 bc2
B.若 a b a,则b 0
C. 若 b a a,则b 0
D.若 ab 0,则a 0且b 0
分析 解此类题的关键是正确利用不等式的有关性质.
解 A. 没有考虑到 c 2 是否为零; C.利用性质 5 应是 b 0 ; D.忽略了 a, b 同时为负
第二章 不等式
第一讲 不等式的性质与证明
学习目标
1. 了解不等式的定义; 2. 熟悉不等式的基本性质及推论，会证明简单的不等式; 3. 能够灵活运用不等式的性质解题; 4. 掌握作差比较法及综合法证明不等式.
内容要点
不等式的性质与证明
实数大小的基本关系式
不等式的基本性质
不等式的证明
不等式的性质与证明：
4
7. 若a b,则a(a b)2 与b(a b)2 的大小关系是_____________.
8.已知1 x 2,1 y 2 ,则 x 的取值范围是___________. y
9.已知 x y ,则 x4 y 4 与 x3 y xy3 的大小关系是___________.
三. 解答题
A. x m y n B. x m y n
C. x y nm
分析可用不等式的有关性质及实数大小的基本关系式.
D. x y n m
2
解结合推论 1、推论 2 及基本关系式，答案应选 D.
例 4 已知 a b ，则下列式子成立的是（ ） A. a b B. a 2x b 2x C. a lg x b lg x D. | a || b | 分析需结合根式、指数函数、对数函数及绝对值的有关性质. 解 A 中的 a, b 若有负数则无意义.C 中的 lg x 可能为非正数,则式子不成立.D 在两
A. ab
2
2
C. ab a2 b2 a b
2
2
a b a2 b2
B. ab
2
2
D. a2 b2 ab a b
2
2
分析 用均值定理及作差比较法求解,要注意使用条件.
解由均值定理 a b, a b
ab ,
a2 b2
2ab
ab ,
2
2
2
又 a b 2
a2
b2
x 1
x 1
x 1
当且仅当 x 1 1 ，即 x 2 时， y x 1 取最小值 3.
x 1
x 1
例 5 求函数 y 2x2 3 , (x 0) 的最小值． x
1. 不等式的定义:用不等号“ ,, ,, ”将两个数学表达式连接起来所得的式 子叫不等式.
2. 实数大小的基本关系式:
a b 0 a b, a b 0 a b, a b 0 a b 3. 不等式的基本性质: 性质 1：如果 a b ，那么 b a ；如果 b a ，那么 a b （对称性） 性质 2：如果 a b ， b c 那么 a c （传递性） 性质 3：如果 a b ，那么 a c b c （加法单调性） 性质 4：如果 a b 且 c 0 , 那么 ac bc ；