排列组合与概率教学文案
高二数学教案设计排列组合与概率
高二数学教案设计排列组合与概率高二数学教案设计：排列组合与概率教学目标：1. 理解排列和组合的概念，能够正确地计算排列和组合的数目；2. 掌握应用排列组合思想解决实际问题的方法；3. 了解概率的基本概念，能够计算简单事件的概率；4. 掌握概率计算方法，包括基本事件的概率、互斥事件的概率等。
教学准备：教材：高中数学教材第X册教具：白板、黑板、彩色粉笔、直尺、图形工具教学过程：一、引入新知（5分钟）为激发学生学习兴趣，引导学生思考，教师可提出以下问题：问题一：小明要从五本书中选取3本，共有多少种不同的选法？问题二：小红喜欢5个不同颜色的球，她每次只能选2个，那么她一共有多少种不同的选择方式？通过这两个问题的引导，学生可以初步感受到排列组合的概念，并思考如何计算这个问题。
二、探究排列组合的概念（15分钟）1. 讲述排列和组合的概念，并提供相应的数学定义。
2. 通过几个简单的例子来引导学生理解排列和组合的计算方法。
例子一：小明有5个国旗，要选3面挂在自己的房间里，请问一共有多少种不同的挂法？例子二：班上有8名男生和6名女生，要从中选取3名同学参加数学竞赛，请问一共有多少种不同的选法？通过解答这两个例子，让学生明确排列和组合的区别，懂得如何应用相应的计算方法。
三、讲解排列和组合的计算公式（20分钟）1. 讲解排列的计算公式，即阶乘的概念。
2. 讲解组合的计算公式，即阶乘的运用。
3. 通过实例演算，进一步巩固学生对排列组合计算公式的理解。
四、应用排列组合解决问题（15分钟）1. 引导学生应用排列组合的知识解决实际问题。
例子一：小区里有10栋楼，每栋楼有5户人家，要选出3栋楼作为安保巡逻的范围，请问一共有多少种不同的选择方式？例子二：班级里有10名男生和8名女生，要从中选出3名同学参加篮球比赛，请问一共有多少种不同的选法？通过这类问题的训练，学生能够灵活应用排列组合的知识解决实际问题。
五、引入概率概念（10分钟）1. 介绍概率的概念和基本计算方法。
《排列与组合》教学设计优秀9篇
《排列与组合》教学设计优秀9篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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排列组合和概率名师讲座.
第十章排列、组合和概率§10.2 排列一、素质教育目标【知识教学点】使学生理解并掌握排列、排列数的概念，排列数的公式，并能运用这些知识解决一些简单的应用题。
【能力训练点】通过对排列知识的学习和解排列应用题，学会分析问题的方法并提高计算能力和解决应用问题的能力。
【德育渗透点】结合解简单的排列应用题的计算以及直接法和间接法的运用，即正向思考和逆向思考，提高学生的抽象思维能力和逻辑思维能力，以及辩证思维能力。
【美育渗透点】通过排列的学习，领略诸如“特殊元素优先考虑法”“插空法”“捆绑法”“去杂法”等不同建模方式的解题功效，体会数学的简洁美、应用美。
二、学法引导1、排列问题是有序问题，换句话说，无序问题不是排列问题，可从具体的计算排列数的实践中，抽象出排列的概念，排列问题中“有序”的要求，可以表现为一组互不相同的元素要与另一组互不相同的“位置”确定某种对应关系。
2、比较复杂的排列问题，常常结合分类计数原理或分步计数原理来解决。
3、排列问题，是有很强实际背景的数学问题，要习惯于用具体的“排队”方法来检验计算公式是否得当，即注意把一个计算过程与一个具体的完成事情的过程对应起来，这样才能把排列问题学活、学透。
三、重点、难点、疑点及解决办法【重点】解有关排列的应用题主要是把“元素”“排列”“排列数”这三个概念灵活地运用到具体问题里去，要通过典型例题来分析解题步骤，即先看问题能不能归结为排列问题，再看是否有限制条件，然后考虑直接计算法或间接计算法。
【难点】排列问题中有些限制条件是明显的，但的比较隐蔽，要理解题意，防止重复或遗漏，用不同的方法去解同一个问题，不仅可以开拓思路，提高分析问题的能力，还能起到核对答案，避免出现差错的作用。
【疑点】排列问题的得数一般很大，用直观的方法检验是不可能的，解决的办法是：严格审题，看分类（或分步）时是否有相交部分，或者有遗漏符合条件的情况，再有就是减少元素，同法计算，再检验结果。
高中数学-排列组合和概率-人教版全部教案(1)
两个基本原理一、教学目标1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力二、教材分析1.重点：加法原理，乘法原理。
解决方法：利用简单的举例得到一般的结论．2.难点：加法原理，乘法原理的区分。
解决方法：运用对比的方法比较它们的异同．三、活动设计1.活动：思考，讨论，对比，练习．2.教具：多媒体课件．四、教学过程正1．新课导入随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多样化，高标准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方法完成，或几个过程才能完成。
排列组合这一章都是讨论简单的计数问题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原理是排列组合的关键．2．新课我们先看下面两个问题．(l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？板书：图因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4十2十3=9种不同的走法．一般地，有如下原理：加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n 种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1十m2十…十m n种不同的方法．(2) 我们再看下面的问题：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条．从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？板书：图这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村又有2种不同的走法．因此，从A村经B村去C村共有3X2=6种不同的走法．一般地，有如下原理：乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1 m2…m n种不同的方法．例1 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．1）从中任取一本，有多少种不同的取法？2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？解：（1）从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上层取数学书，可以从6本书中任取一本，有6种方法；第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法．根据加法原理，得到不同的取法的种数是6十5=11．答：从书架L任取一本书，有11种不同的取法．（2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有6种方法；第二步取一本语文书，有5种方法．根据乘法原理，得到不同的取法的种数是N＝6X5＝30．答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的方法．练习：一同学有4枚明朝不同古币和6枚清朝不同古币1）从中任取一枚，有多少种不同取法？2）从中任取明清古币各一枚，有多少种不同取法？例2(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复三位数？(2)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？(3)由数字0，l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有5种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这仍有5种选法，第三步确定个位上的数字，同理，它也有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是N=5X5X5=125．答：可以组成125个三位数．练习：1、从甲地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可走，又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．（1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？（2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？2．一名儿童做加法游戏．在一个红口袋中装着2O张分别标有数1、2、 (19)20的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数；在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、…、9、1O的黄卡片，从中任抽一张，把上面的数作为加数．这名儿童一共可以列出多少个加法式子？3．题2的变形4．由0－9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？小结：要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加法，分步时用乘法其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习练习1．（口答）一件工作可以用两种方法完成．有5人会用第一种方法完成，另有4人会用第二种方法完成．选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？2．在读书活动中，一个学生要从2本科技书、2本政治书、3本文艺书里任选一本，共有多少种不同的选法？3．乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有多少项？4．从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通．从甲地到丙地共有多少种不同的走法？5．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？作业：（略）排列【复习基本原理】1.加法原理做一件事，完成它可以有n类办法，第一类办法中有m1种不同的方法，第二办法中有m2种不同的方法……，第n办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…m n种不同的方法.2.乘法原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，.那么完成这件事共有N=m1⨯m2⨯m3⨯…⨯m n种不同的方法.3.两个原理的区别：【练习1】1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的机票？2.由数字1、2、3可以组成多少个无重复数字的二位数？请一一列出.【基本概念】1.什么叫排列？从n个不同元素中，任取m(nm≤)个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．．2.什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同.3.什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列.4.什么叫一个排列？【例题与练习】1.由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数？2.已知a、b、c、d四个元素，①写出每次取出3个元素的所有排列；②写出每次取出4个元素的所有排列.【排列数】1.定义：从n个不同元素中，任取m(nm≤)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m元素的排列数，用符号mp表示.n用符号表示上述各题中的排列数.2. 排列数公式：m n p =n(n-1)(n-2)…(n -m+1)=1n p ；=2n p ；=3n p ；=4n p ；计算：25p = ； 45p = ；215p = ； 【课后检测】1. 写出：① 从五个元素a 、b 、c 、d 、e 中任意取出两个、三个元素的所有排列； ② 由1、2、3、4组成的无重复数字的所有3位数.③ 由0、1、2、3组成的无重复数字的所有3位数.2. 计算：① 3100p② 36p ③ 2848p 2p - ④ 712812p p排 列课题：排列的简单应用(1)目的：进一步掌握排列、排列数的概念以及排列数的两个计算公式，会用排列数公式计算和解决简单的实际问题．过程：一、复习：（引导学生对上节课所学知识进行复习整理）1．排列的定义，理解排列定义需要注意的几点问题；2．排列数的定义，排列数的计算公式)1()2)(1(+---=m n n n n A m n 或)!(!m n n A m n -= （其中m ≤n m,n ∈Z ） 3．全排列、阶乘的意义；规定 0!=14．“分类”、“分步”思想在排列问题中的应用．二、新授：例1：⑴ 7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：7个元素的全排列——77A ＝5040⑵ 7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040⑶ 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列——66A =720⑷ 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有22A 种；第二步 余下的5名同学进行全排列有55A 种 则共有22A 55A =240种排列方法 ⑸ 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法一（直接法）：第一步 从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有25A 种方法；第二步 从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有55A 种方法 所以一共有25A 55A ＝2400种排列方法．解法二：（排除法）若甲站在排头有66A 种方法；若乙站在排尾有66A 种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有55A 种方法．所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有77A －662A ＋55A =2400种．小结一：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑．例2 ： 7位同学站成一排．⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有66A 种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法．所以这样的排法一共有66A 22A ＝1440种． ⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同上，一共有55A 33A ＝720种． ⑶甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有25A 种方法；将剩下的4个元素进行全排列有44A 种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法．所以这样的排法一共有25A 44A 22A ＝960种方法． 解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有255A 种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有960)2(225566=⋅-A A A 种方法．解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有14A 种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有55A 种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有14A 55A 22A ＝960种方法． 小结二：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．例3： 7位同学站成一排．⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？解法一：（排除法）3600226677=⋅-A A A解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有55A 种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有26A 种方法，所以一共有36002655=A A 种方法．⑵甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：先将其余四个同学排好有44A 种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有35A 种方法，所以一共有44A 35A ＝1440种． 小结三：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．三、小结：1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置；⑵某些元素要求连排（即必须相邻）；⑶某些元素要求分离（即不能相邻）；2．基本的解题方法：⑴有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法）；⑵某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；⑶某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；⑷在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列问题的根基．四、作业：《课课练》之“排列课时1—3”排列课题：排列的简单应用(2)目的：使学生切实学会用排列数公式计算和解决简单的实际问题，进一步培养分析问题、解决问题的能力，同时让学生学会一题多解．过程：一、复习：1．排列、排列数的定义，排列数的两个计算公式；2．常见的排队的三种题型：⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置——优限法； ⑵某些元素要求连排（即必须相邻）——捆绑法； ⑶某些元素要求分离（即不能相邻）——插空法． 3．分类、分布思想的应用． 二、新授：示例一： 从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？解法一：（从特殊位置考虑）1360805919=A A 解法二：（从特殊元素考虑）若选：595A ⋅ 若不选：69A则共有 595A ⋅＋69A ＝136080解法三：（间接法）=-59610A A 136080示例二：⑴ 八个人排成前后两排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在后排，则共有多少种不同的排法？略解：甲、乙排在前排24A ；丙排在后排14A ；其余进行全排列55A ．所以一共有24A 14A 55A ＝5760种方法． ⑵ 不同的五种商品在货架上排成一排，其中a , b 两种商品必须排在一起，而c, d 两种商品不排在一起, 则不同的排法共有多少种？略解：（“捆绑法”和“插空法”的综合应用）a , b 捆在一起与e 进行排列有22A ； 此时留下三个空，将c, d 两种商品排进去一共有23A ；最后将a , b “松绑”有22A ．所以一共有22A 23A 22A ＝24种方法． ☆⑶ 6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的坐法有多少种？略解：（分类）若第一个为老师则有33A 33A ；若第一个为学生则有33A 33A 所以一共有233A 33A ＝72种方法． 示例三：⑴ 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的正整数？略解：3255545352515=++++A A A A A⑵ 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比13 000大的正整数？解法一：分成两类，一类是首位为1时，十位必须大于等于3有3313A A 种方法；另一类是首位不为1，有4414A A 种方法．所以一共有3313A A 1144414=+A A 个数比13 000大．解法二：（排除法）比13 000小的正整数有33A 个，所以比13 000大的正整数有-55A 33A ＝114个． 示例四： 用1，3，6，7，8，9组成无重复数字的四位数，由小到大排列．⑴ 第114个数是多少？ ⑵ 3 796是第几个数？解：⑴ 因为千位数是1的四位数一共有6035=A 个，所以第114个数的千位数应该是“3”，十位数字是“1”即“31”开头的四位数有1224=A 个；同理，以“36”、“37”、“38”开头的数也分别有12个，所以第114个数的前两位数必然是“39”,而“3 968”排在第6个位置上，所以“3 968” 是第114个数．⑵ 由上可知“37”开头的数的前面有60＋12＋12＝84个，而3 796在“37”开头的四位数中排在第11个（倒数第二个），故3 796是第95个数．示例五： 用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中⑴ 能被25整除的数有多少个？ ⑵ 十位数字比个位数字大的有多少个？解： ⑴ 能被25整除的四位数的末两位只能为25，50两种，末尾为50的四位数有24A 个，末尾为25的有1313A A 个，所以一共有24A ＋1313A A ＝21个．注： 能被25整除的四位数的末两位只能为25，50，75，00四种情况．⑵ 用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，一共有3003515=A A 个．因为在这300个数中，十位数字与个位数字的大小关系是“等可能．．．的．”，所以十位数字比个位数字大的有150213515=A A 个． 三、小结：能够根据题意选择适当的排列方法，同时注意考虑问题的全面性，此外能够借助一题多解检验答案的正确性．四、作业：“3＋X ”之 排列 练习组 合 ⑴课题：组合、组合数的概念目的：理解组合的意义，掌握组合数的计算公式．过程：一、复习、引入：1．复习排列的有关内容：以上由学生口答．2．提出问题：示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的．引出课题：组合．．问题．二、新授：1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．注：1．不同元素2．“只取不排3．相同组合：元素相同判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：⑴ 从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览；（组合）⑵ 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．（排列）2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号mnC 表示．例如：示例2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙．即有323=C 种组合．又如：从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览的组合：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 一共6种组合，即：624=C在讲解时一定要让学生去分析：要解决的问题是排列问题还是组合问题，关键是看是否与顺序有关．那么又如何计算mn C 呢？3．组合数公式的推导⑴提问：从4个不同元素a ，b ，c ，d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？启发： 由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：组 合 排列d c bc d b b d c d b c c b d b c d b c d d c a c d a a d c d a c c a d a c d a c d d b a b d a a d b d a b b a d a b d a b d c b a b c a a c b c a b b a c a b c a b c ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→由此可知：每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 33A ，所以：333434A A C =．⑵ 推广： 一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数mn C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分布计数原理得：m n A ＝m n C m mA ⋅ ⑶ 组合数的公式：!)1()2)(1(m m n n n n A A C m m mn mn+---==或 )!(!!m n m n C m n -= ),,(n m N m n ≤∈*且⑷ 巩固练习：1．计算：⑴ 47C ⑵ 710C2．求证：11+⋅-+=m n m n C mn m C 3．设,+∈N x 求321132-+--+x x x x C C 的值．解：由题意可得：⎩⎨⎧-≥+-≥-321132x x x x 即：2≤x ≤4 ∵,+∈N x ∴x =2或3或4当x =2时原式值为7；当x =3时原式值为7；当x =2时原式值为11． ∴所求值为4或7或11． 4．例题讲评例1． 6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分 法？略解：90222426=⋅⋅C C C例2．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有34C ，1624C C ⋅，2614C C ⋅，所以一共有34C +1624C C ⋅+2614C C ⋅＝100种方法．解法二：（间接法）10036310=-C C5．学生练习：（课本99练习） 三、小结：此外，解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理． 四、作业：课堂作业：教学与测试75课课外作业：课课练 课时7和8组 合 ⑵课题：组合的简单应用及组合数的两个性质目的：深刻理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的应用问题． 过程：一、复习回顾：1．复习排列和组合的有关内容：强调：排列——次序性；组合——无序性． 2．练习一：练习1：求证：11--=m n m nC mn C ． （本式也可变形为：11--=m n m n nC mC ） 练习2：计算：① 310C 和710C ； ② 2637C C -与36C ；③ 511411C C + 答案：① 120，120 ② 20，20 ③ 792 （此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础．） 3．练习二：⑴ 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？ ⑵ 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？答案：⑴45210=C （组合问题） ⑵90210=A （排列问题）二、新授：1．组合数的．理解： 一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n - m 个元素．因 为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：mn nm n C C -=．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想． 证明：∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=- 又 )!(!!m n m n C m n -=∴m n nm n C C -= 注：1︒ 我们规定 10=n C2︒ 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标． 3︒ 此性质作用：当2n m >时，计算m n C 可变为计算mn n C -，能够使运算简化．例如：20012002C ＝200120022002-C ＝12002C =2002．4︒ y n x n C C =y x =⇒或n y x =+2．示例一：（课本101例4）一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ ⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：⑴ 5638=C ⑵ 2127=C ⑶ 3537=C 引导学生发现：=38C +27C 37C ．为什么呢？我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立．一般地，从121,,,+n a a a 这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是m n C 1+，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的，共有1-m nC 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m 个元素组成的，共有mn C 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．3．组合数的1-． 证明： )]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n )!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n )!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n)!1(!)!1(+-+=m n m n mn C 1+= ∴ m n C 1+＝m n C +1-m nC ． 注：1︒ 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数．2︒ 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．4．示例二：⑴ 计算：69584737C C C C +++⑵ 求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C⑶ 解方程：3213113-+=x x C C⑷ 解方程：333222101+-+-+=+x x x x x A C C⑸ 计算：4434241404C C C C C ++++和554535251505C C C C C C +++++ 推广：n n n n n n n n C C C C C 21210=+++++-5．组合数性质的简单应用： 证明下列等式成立：⑴ （讲解）11321++---=+++++k n k k k k k n k n k n C C C C C C⑵ （练习）1121++++++=++++k k n k n k k k k k k k C C C C C⑶ )(23210321nn n n n n n n nC C C n nC C C C +++=++++6．处理《教学与测试》76课例题 三、小结：1．组合数的两个性质； 2．从特殊到一般的归纳思想． 四、作业： 课堂作业：《教学与测试》76课课外作业：课本习题10.3；课课练课时9组 合 ⑶课题：组合、组合数的综合应用⑴目的：进一步巩固组合、组合数的概念及其性质，能够解决一些较为复杂的组合应用问题，提高合理选用知识的能力． 过程：一、知识复习：1．复习排列和组合的有关内容：依然强调：排列——次序性；组合——无序性． 2．排列数、组合数的公式及有关性质性质1：m n n m n C C -= 性质2：m n C 1+＝m n C +1-m n C 常用的等式：111010====+++k k k k k k C C C C3．练习：处理《教学与测试》76课例题 二、例题评讲：例1．100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查． ⑴ 都不是次品的取法有多少种？ ⑵ 至少有1件次品的取法有多少种？ ⑶ 不都是次品的取法有多少种？解：⑴ 2555190490=C ； ⑵ 13660354101903102902103901104904100=+++=-C C C C C C C C C ； ⑶ 39210154901103902102903101904104100=+++=-C C C C C C C C C ． 例2．从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？解：分为三类：1奇4偶有4516C C ；3奇2偶有2536C C ；5奇1偶有56C 所以一共有4516C C +2536C C +23656=C ．例3．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？ 解：我们可以分为三类：① 让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有2324C C ；② 让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有1334C C ； ③ 让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有2334C C ． 所以一共有2324C C +1334C C +2334C C ＝42种方法．例4．甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表 ？解法一：（排除法）422131424152426=+-C C C C C C解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有2414C C ；另一类为甲不值周一，但值周六，有2324C C ．所以一共有2414C C +2324C C ＝42种方法．例5．6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？解：第一步从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有26C 种方法；第二步将5个“不同元素（书）”分给5个人有55A 种方法．根据分步计数原理，一共有26C 55A ＝1800种方法． 变题1：6本不同的书全部送给5人，有多少种不同的送书方法？ 变题2： 5本不．同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？变题3： 5本相．同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？答案：1．1562556=； 2．72056=A ； 3．656=C ． 三、小结：1．组合的定义，组合数的公式及其两个性质； 2．组合的应用：分清是否要排序．。
高考数学回归课本教案：排列组合与概率
高考数学回归课本教案：排列组合与概率一、教学目标1. 理解排列组合的概念，掌握排列组合的计算方法。
2. 理解概率的基本原理，掌握概率的计算方法。
3. 能够运用排列组合和概率的知识解决实际问题。
二、教学内容1. 排列组合的概念和计算方法。
2. 概率的基本原理和计算方法。
3. 排列组合和概率在实际问题中的应用。
三、教学重点1. 排列组合的计算方法。
2. 概率的计算方法。
四、教学难点1. 排列组合的复杂计算。
2. 概率的推理和计算。
五、教学方法1. 采用讲解、示例、练习相结合的方法，帮助学生理解和掌握排列组合和概率的知识。
2. 通过实际问题的讨论，培养学生的应用能力。
一、排列组合的概念和计算方法1. 排列的概念和计算方法a. 排列的定义b. 排列的计算公式c. 排列的示例和练习2. 组合的概念和计算方法a. 组合的定义b. 组合的计算公式c. 组合的示例和练习二、概率的基本原理和计算方法1. 概率的概念和计算方法a. 概率的定义b. 概率的计算公式c. 概率的示例和练习2. 条件概率和独立事件的概率a. 条件概率的定义和计算方法b. 独立事件的定义和概率计算方法c. 条件概率和独立事件的示例和练习三、排列组合和概率在实际问题中的应用1. 排列组合在实际问题中的应用a. 人员安排问题的解决b. 活动安排问题的解决c. 排列组合应用题的练习2. 概率在实际问题中的应用a. 概率在决策中的应用b. 概率在预测中的应用c. 概率应用题的练习这只是一个初步的教案框架，具体的内容可以根据实际需要进行调整和补充。
希望对你有所帮助。
六、排列组合的综合应用1. 排列组合的综合问题解决a. 多重排列组合问题的分析b. 排列组合问题的高级应用c. 综合应用题的练习七、概率的进一步理解和应用1. 概率的公理体系和性质a. 概率的基本公理b. 概率的互补事件和独立事件的性质c. 概率的练习题2. 随机事件的分布a. 离散型随机变量的定义和性质b. 连续型随机变量的定义和性质c. 随机事件分布列的练习题八、概率的计算方法1. 直接计算法a. 利用概率的基本性质计算概率b. 利用排列组合计算概率c. 直接计算法的练习题2. 条件计算法a. 利用条件概率计算概率b. 利用独立事件的概率计算概率c. 条件计算法的练习题九、概率分布和期望值1. 离散型随机变量的期望值a. 离散型随机变量的期望值的定义和性质b. 离散型随机变量期望值的计算方法c. 离散型随机变量期望值的练习题2. 连续型随机变量的期望值a. 连续型随机变量的期望值的定义和性质b. 连续型随机变量期望值的计算方法c. 连续型随机变量期望值的练习题十、实际问题的概率分析和解决1. 概率模型构建a. 实际问题概率模型的建立b. 概率模型的求解和分析c. 概率模型构建的练习题2. 实际问题的概率解决a. 利用概率解决随机事件问题b. 利用概率解决决策问题c. 实际问题概率解决的练习题重点和难点解析一、排列组合的概念和计算方法难点解析：排列组合的复杂计算，尤其是当元素数量较多时，如何快速准确地计算出结果。
人教版高中数学《排列组合和概率》全部教案设计
两个基本原理一、教学目标1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力二、教材分析1.重点：加法原理，乘法原理。
解决方法：利用简单的举例得到一般的结论．2.难点：加法原理，乘法原理的区分。
解决方法：运用对比的方法比较它们的异同．三、活动设计1.活动：思考，讨论，对比，练习．2.教具：多媒体课件．四、教学过程正1．新课导入随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多样化，高标准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方法完成，或几个过程才能完成。
排列组合这一章都是讨论简单的计数问题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原理是排列组合的关键．2．新课我们先看下面两个问题．(l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4班，汽车有 2班，轮船有 3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？板书：图因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法．一般地，有如下原理：加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1十m2十…十m n种不同的方法．(2) 我们再看下面的问题：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条．从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？板书：图这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B 村到C村又有2种不同的走法．因此，从A村经B村去C村共有 3X2=6种不同的走法．一般地，有如下原理：乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1 m2…m n种不同的方法．例1 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．1）从中任取一本，有多少种不同的取法？2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？解：（1）从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上层取数学书，可以从6本书中任取一本，有6种方法；第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法．根据加法原理，得到不同的取法的种数是6十5=11．答：从书架L任取一本书，有11种不同的取法．（2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有6种方法；第二步取一本语文书，有5种方法．根据乘法原理，得到不同的取法的种数是 N ＝6X5＝30．答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的方法．练习：一同学有4枚明朝不同古币和6枚清朝不同古币1）从中任取一枚，有多少种不同取法？ 2）从中任取明清古币各一枚，有多少种不同取法？例2(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复三位数？(2)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？(3)由数字0，l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有5种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这仍有5种选法，第三步确定个位上的数字，同理，它也有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是N=5X5X5=125．答：可以组成125个三位数．练习：1、从甲地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可走，又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．（1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？（2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？2．一名儿童做加法游戏．在一个红口袋中装着2O张分别标有数1、2、...、19、20的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数；在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、 (9)1O的黄卡片，从中任抽一张，把上面的数作为加数．这名儿童一共可以列出多少个加法式子？3．题2的变形4．由0－9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？小结：要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加法，分步时用乘法其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习练习1．（口答）一件工作可以用两种方法完成．有 5人会用第一种方法完成，另有4人会用第二种方法完成．选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？2．在读书活动中，一个学生要从 2本科技书、 2本政治书、 3本文艺书里任选一本，共有多少种不同的选法？3．乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有多少项？4．从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通．从甲地到丙地共有多少种不同的走法？5．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？作业：（略）欢迎您进入数学999 /排列【复习基本原理】1.加法原理做一件事，完成它可以有n类办法，第一类办法中有m1种不同的方法，第二办法中有m2种不同的方法……，第n办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…m n种不同的方法.2.乘法原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，.那么完成这件事共有N=m1⨯m2⨯m3⨯…⨯m n种不同的方法.3.两个原理的区别：【练习1】1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的机票？2.由数字1、2、3可以组成多少个无重复数字的二位数？请一一列出.【基本概念】m≤)个元素（这里的被取元素各不相同）1.什么叫排列？从n个不同元素中，任取m(n按照一定的顺序．．．．．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列2.什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同.3.什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列.4.什么叫一个排列？【例题与练习】1.由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数？2.已知a、b、c、d四个元素，①写出每次取出3个元素的所有排列；②写出每次取出4个元素的所有排列.【排列数】1. 定义：从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n p 表示.用符号表示上述各题中的排列数.2. 排列数公式：m n p =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=1n p ；=2n p ；=3n p ；=4n p ；计算：25p = ； 45p = ；215p = ；【课后检测】1. 写出：① 从五个元素a 、b 、c 、d 、e 中任意取出两个、三个元素的所有排列；② 由1、2、3、4组成的无重复数字的所有3位数.③ 由0、1、2、3组成的无重复数字的所有3位数.2. 计算：① 3100p② 36p ③ 2848p 2p - ④ 712812p p欢迎您进入数学999 /排 列课题：排列的简单应用(1)目的：进一步掌握排列、排列数的概念以及排列数的两个计算公式，会用排列数公式计算和解决简单的实际问题．过程：一、复习：（引导学生对上节课所学知识进行复习整理）1．排列的定义，理解排列定义需要注意的几点问题；2．排列数的定义，排列数的计算公式)1()2)(1(+---=m n n n n A m n 或)!(!m n n A m n -= （其中m ≤n m,n ∈Z ）3．全排列、阶乘的意义；规定 0!=14．“分类”、“分步”思想在排列问题中的应用．二、新授：例1：⑴ 7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：7个元素的全排列——77A ＝5040⑵ 7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040⑶ 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列——66A =720⑷ 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有22A 种；第二步 余下的5名同学进行全排列有55A 种 则共有22A 55A =240种排列方法 ⑸ 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法一（直接法）：第一步 从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有25A 种方法；第二步 从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有55A 种方法 所以一共有25A 55A ＝2400种排列方法． 解法二：（排除法）若甲站在排头有66A 种方法；若乙站在排尾有66A 种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有55A 种方法．所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有77A －662A ＋55A =2400种．小结一：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑．例2 ： 7位同学站成一排．⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有66A 种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法．所以这样的排法一共有66A 22A ＝1440种． ⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同上，一共有55A 33A ＝720种． ⑶甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有25A 种方法；将剩下的4个元素进行全排列有44A 种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法．所以这样的排法一共有25A 44A 22A ＝960种方法．解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有255A 种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有960)2(225566=⋅-A A A 种方法．解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有14A 种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有55A 种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有14A 55A 22A ＝960种方法． 小结二：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．例3： 7位同学站成一排．⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？解法一：（排除法）3600226677=⋅-A A A解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有55A 种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有26A 种方法，所以一共有36002655=A A 种方法．⑵甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：先将其余四个同学排好有44A 种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有35A 种方法，所以一共有44A 35A ＝1440种． 小结三：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．三、小结：1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置；⑵某些元素要求连排（即必须相邻）；⑶某些元素要求分离（即不能相邻）；2．基本的解题方法：⑴ 有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法）；⑵ 某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；⑶ 某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；⑷ 在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列问题的根基．四、作业：《课课练》之“排列 课时1—3”欢迎您进入数学999 /排 列课题：排列的简单应用(2)目的：使学生切实学会用排列数公式计算和解决简单的实际问题，进一步培养分析问题、解决问题的能力，同时让学生学会一题多解．过程：一、复习：1．排列、排列数的定义，排列数的两个计算公式；2．常见的排队的三种题型：⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置——优限法；⑵某些元素要求连排（即必须相邻）——捆绑法；⑶某些元素要求分离（即不能相邻）——插空法．3．分类、分布思想的应用．二、新授：示例一： 从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？解法一：（从特殊位置考虑）1360805919=A A 解法二：（从特殊元素考虑）若选：595A ⋅ 若不选：69A则共有 595A ⋅＋69A ＝136080解法三：（间接法）=-59610A A 136080示例二：⑴ 八个人排成前后两排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在后排，则共有多少种不同的排法？略解：甲、乙排在前排24A ；丙排在后排14A ；其余进行全排列55A ．所以一共有24A 14A 55A ＝5760种方法． ⑵ 不同的五种商品在货架上排成一排，其中a , b 两种商品必须排在一起，而c, d两种商品不排在一起, 则不同的排法共有多少种？略解：（“捆绑法”和“插空法”的综合应用）a , b 捆在一起与e 进行排列有22A ；此时留下三个空，将c, d 两种商品排进去一共有23A ；最后将a , b “松绑”有22A ．所以一共有22A 23A 22A ＝24种方法． ☆⑶ 6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的坐法有多少种？略解：（分类）若第一个为老师则有33A 33A ；若第一个为学生则有33A 33A 所以一共有233A 33A ＝72种方法． 示例三：⑴ 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的正整数？略解：3255545352515=++++A A A A A⑵ 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比13 000大的正整数？解法一：分成两类，一类是首位为1时，十位必须大于等于3有3313A A 种方法；另一类是首位不为1，有4414A A 种方法．所以一共有3313A A 1144414=+A A 个数比13 000大．解法二：（排除法）比13 000小的正整数有33A 个，所以比13 000大的正整数有-55A 33A ＝114个． 示例四： 用1，3，6，7，8，9组成无重复数字的四位数，由小到大排列．⑴ 第114个数是多少？ ⑵ 3 796是第几个数？解：⑴ 因为千位数是1的四位数一共有6035=A 个，所以第114个数的千位数应该是“3”，十位数字是“1”即“31”开头的四位数有1224=A 个；同理，以“36”、“37”、“38”开头的数也分别有12个，所以第114个数的前两位数必然是“39”,而“3 968”排在第6个位置上，所以“3 968” 是第114个数．⑵ 由上可知“37”开头的数的前面有60＋12＋12＝84个，而3 796在“37”开头的四位数中排在第11个（倒数第二个），故3 796是第95个数．示例五： 用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中⑴ 能被25整除的数有多少个？⑵ 十位数字比个位数字大的有多少个？解： ⑴ 能被25整除的四位数的末两位只能为25，50两种，末尾为50的四位数有24A 个，末尾为25的有1313A A 个，所以一共有24A ＋1313A A ＝21个．注： 能被25整除的四位数的末两位只能为25，50，75，00四种情况．⑵ 用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，一共有3003515=A A 个．因为在这300个数中，十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的．．．．”，所以十位数字比个位数字大的有150213515=A A 个． 三、小结：能够根据题意选择适当的排列方法，同时注意考虑问题的全面性，此外能够借助一题多解检验答案的正确性．四、作业：“3＋X ”之 排列 练习欢迎您进入数学999 /组 合 ⑴课题：组合、组合数的概念目的：理解组合的意义，掌握组合数的计算公式．过程：一、复习、引入：1以上由学生口答．2．提出问题：示例1： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？示例2： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的．引出课题：组合．．问题． 二、新授：1．组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合．注：1．不同元素 2．“只取不排”——无序性 3．相同组合：元素相同 判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：⑴ 从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览；（组合）⑵ 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．（排列）2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号m n C 表示．例如：示例2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙．即有323=C 种组合．又如：从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览的组合：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 一共6种组合，即：624=C在讲解时一定要让学生去分析：要解决的问题是排列问题还是组合问题，关键是看是否与顺序有关．那么又如何计算m n C 呢？3．组合数公式的推导⑴提问：从4个不同元素a ，b ，c ，d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？启发： 由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：组 合 排列dcbcdb bdc dbc cbd bcd bcd dcacda adc dac cad acd acd dba bda adb dab bad abd abd cbabca acb cab bac abc abc ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→由此可知：每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 33A ，所以：333434A A C =． ⑵ 推广： 一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分布计数原理得：m n A ＝m n C m mA ⋅ ⑶ 组合数的公式：!)1()2)(1(m m n n n n A A C m m m n m n +---==或 )!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且 ⑷ 巩固练习： 1．计算：⑴ 47C ⑵ 710C2．求证：11+⋅-+=m n m n C mn m C3．设,+∈N x 求321132-+--+x x x x C C 的值．解：由题意可得：⎩⎨⎧-≥+-≥-321132x x x x 即：2≤x ≤4 ∵,+∈N x ∴x =2或3或4当x =2时原式值为7；当x =3时原式值为7；当x =2时原式值为11． ∴所求值为4或7或11． 4．例题讲评例1． 6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分 法？略解：90222426=⋅⋅C C C例2．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有34C ，1624C C ⋅，2614C C ⋅，所以一共有34C +1624C C ⋅+2614C C ⋅＝100种方法． 解法二：（间接法）10036310=-C C5．学生练习：（课本99练习） 三、小结：此外，解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理． 四、作业：课堂作业：教学与测试75课课外作业：课课练 课时7和8欢迎您进入数学999 /组 合 ⑵课题：组合的简单应用及组合数的两个性质目的：深刻理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的应用问题． 过程：一、复习回顾：1．复习排列和组合的有关内容：强调：排列——次序性；组合——无序性． 2．练习一：练习1：求证：11--=m n mn C mn C ． （本式也可变形为：11--=m n m n nC mC ） 练习2：计算：① 310C 和710C ； ② 2637C C -与36C ；③ 511411C C + 答案：① 120，120 ② 20，20 ③ 792 （此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础．） 3．练习二：⑴ 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？⑵ 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？答案：⑴45210=C （组合问题） ⑵90210=A （排列问题）二、新授：1．组合数的 性质1：m n n m n C C -=．理解： 一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n - m 个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：m n nm n C C -=．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想．证明：∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=- 又 )!(!!m n m n C mn -=∴m n n m n C C -=注：1︒ 我们规定 10=n C2︒ 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．3︒ 此性质作用：当2n m >时，计算m n C 可变为计算mn n C -，能够使运算简化．例如：20012002C ＝200120022002-C ＝12002C =2002．4︒ y n xn C C =y x =⇒或n y x =+2．示例一：（课本101例4）一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ ⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：⑴ 5638=C ⑵ 2127=C ⑶ 3537=C 引导学生发现：=38C +27C 37C ．为什么呢？我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立．一般地，从121,,,+n a a a 这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是mn C 1+，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m-1个元素与1a 组成的，共有1-m n C 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m 个元素组成的，共有mn C 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．3．组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m nC ． 证明： )]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n )!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n)!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n)!1(!)!1(+-+=m n m n mn C 1+= ∴ m n C 1+＝m n C +1-m nC ． 注：1︒ 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数．2︒ 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．4．示例二：⑴ 计算：69584737C C C C +++⑵ 求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C⑶ 解方程：3213113-+=x x C C⑷ 解方程：333222101+-+-+=+x x x x x A C C⑸ 计算：4434241404C C C C C ++++和554535251505C C C C C C +++++ 推广：n n n n n n n n C C C C C 21210=+++++-5．组合数性质的简单应用： 证明下列等式成立：⑴ （讲解）11321++---=+++++k n k k k k k n k n k n C C C C C C⑵ （练习）1121++++++=++++k k n k n k k k k k k k C C C C C⑶ )(23210321n n n n nn n n n C C C n nC C C C +++=++++6．处理《教学与测试》76课例题 三、小结：1．组合数的两个性质；2．从特殊到一般的归纳思想． 四、作业： 课堂作业：《教学与测试》76课课外作业：课本习题10.3；课课练课时9欢迎您进入数学999 /组 合 ⑶课题：组合、组合数的综合应用⑴目的：进一步巩固组合、组合数的概念及其性质，能够解决一些较为复杂的组合应用问题，提高合理选用知识的能力． 过程：一、知识复习：1．复习排列和组合的有关内容：依然强调：排列——次序性；组合——无序性． 2．排列数、组合数的公式及有关性质性质1：m n n m n C C -= 性质2：m n C 1+＝m n C +1-m nC常用的等式：111010====+++k k k k k k C C C C3．练习：处理《教学与测试》76课例题 二、例题评讲：例1．100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查． ⑴ 都不是次品的取法有多少种？ ⑵ 至少有1件次品的取法有多少种？⑶ 不都是次品的取法有多少种？解：⑴ 2555190490=C ； ⑵ 13660354101903102902103901104904100=+++=-C C C C C C C C C ； ⑶ 39210154901103902102903101904104100=+++=-C C C C C C C C C ． 例2．从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？解：分为三类：1奇4偶有4516C C ；3奇2偶有2536C C ；5奇1偶有56C 所以一共有4516C C +2536C C +23656=C ．例3．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻 译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？ 解：我们可以分为三类：① 让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有2324C C ；② 让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有1334C C ； ③ 让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有2334C C ． 所以一共有2324C C +1334C C +2334C C ＝42种方法．例4．甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表 ？解法一：（排除法）422131424152426=+-C C C C C C解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有2414C C ；另一类为甲不值周一，但值周六，有2324C C ．所以一共有2414C C +2324C C ＝42种方法．例5．6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？解：第一步从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有26C 种方。
排列、组合及概率的复习教案
排列、组合及概率的复习教案平湖职业中专陈云萍一、教学目标：(一)知识目标：1、明确排列、组合的定义，掌握相应公式；2、理解随机事件的概念，会求几种事件的概率(二)能力目标：能根据已知条件，解决排列、组合及概率的题目；(三)德育目标 1、培养学生分析问题解决问题的能力；2、培养学生归纳总结的能力.二、教学重点：排列、组合及概率的相关概念三、教学难点：排列、组合及概率知识的具体应用四、教学过程：1、分析《历年会考中有关排列、组合及概率的数学题目》答题情况分析；2、根据《历年会考中有关排列、组合及概率的数学题目》，总结归纳会考中的常用知识点；3、做相应练习相应练习1、下列事件分别是哪一类事件？（1）明天会下雨；（2）导体通电时发热；（3）地球不停地转动；（4）南京市去年十月份的最高气温超过60。
C；（5）对高三某班进行体检，有半数学生的视力在4.8以下；（6）任取两个自然数，发现它们的和是负数。
注：了解必然事件、不可能事件、随机事件的概念。
2、某校学生会由高一年级6人，高二年级5人，高三年级4人组成（1）选其中一人为校学生会主席，则不同的选法为________种；（2）选不同年级的两人参加市里组织的活动，则不同的选法有________种注：正确理解分类原理和分步原理。
3、某班在A、B、C、D四位候选人中，选正、副班长各一人，不同的选法数为（）（A ）4 （B ）12 （C ）42 （D ）244、4男3女排成一排，求满足下列排法的方法总数（1） 要求甲站在正中间；（2） 女生互不相邻；（3） 男生都排在一起注：理解排列的概念，掌握排列数公式，能运用排列的概念和两个原理解决一些问题。
5、从5篇稿件中选3篇参加征文评比，不同的选法共有（ ）（A ）35A 种 （B ）35C 种 （C ） 35种 （D ） 53种6、90100C -8999C 等于 （ ）（A ）89100C （B ）9099C （C ）8999C （D ）88100C7、若12n C =8n C ，求21nC 的值注：理解组合的概念，掌握组合数公式，能运用组合的有关知识解决一些问题。
排列组合与概率
排列组合与概率 Prepared on 22 November 2020第86课时：第十章排列、组合和概率——随机事件的概率一．课题：随机事件的概率二．教学目标：1．了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；2．掌握等可能事件的概率公式，并能熟练地运用排列组合的知识解决等可能事件的概率问题；三．教学重点：等可能事件的概率的计算．四．教学过程：（一）主要知识：1．随机事件概率的范围；2．等可能事件的概率计算公式；（二）主要方法：1．概率是对大量重复试验来说存在的一种规律性，但对单次试验而言，事件的发生是随机的；2．等可能事件的概率()mP An，其中n是试验中所有等可能出现的结果（基本事件）的个数，m是所研究事件A中所包含的等可能出现的结果（基本事件）个数，因此，正确区分并计算,m n的关键是抓住“等可能”，即n个基本事件及m 个基本事件都必须是等可能的；（三）基础训练：1．下列事件中，是随机事件的是（C）（A）导体通电时，发热；（B）抛一石块，下落；（C）掷一枚硬币，出现正面；（D）在常温下，焊锡融化。
2．在10张奖券中，有4张有奖，从中任抽两张，能中奖的概率为（C）()A 12()B13()C23()D453．6人随意地排成一排，其中甲、乙之间恰有二人的概率为（ C ）()A 13()B14()C15()D1104．有2n个数字，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两个数，则所取的两个数之和为偶数的概率为（C）()A 12()B12n()C121nn--()D121nn++（四）例题分析：例1．袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回抽三次，计算下列事件的概率：（1）三次颜色各不同；（2）三种颜色不全相同；（3）三次取出的球无红色或无黄色；解：基本事件有3327=个，是等可能的，（1）记“三次颜色各不相同”为A，332 ()279AP A==；（2）记“三种颜色不全相同”为B，2738 ()279P B-==；（3）记“三次取出的球无红色或无黄色”为C，332215 ()279P C+-==；例2．将一枚骰子先后掷两次，求所得的点数之和为6的概率。
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专题三： 排列、组合及二项式定理一、排列、组合与二项式定理【基础知识】1.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++L .2.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯L .3.排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n Λ=！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m ≤n)． 4.组合数公式 mn C =m n m mA A =m m n n n ⨯⨯⨯+--ΛΛ21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ，m ∈N *，且m ≤n). 5.组合数的两个性质：(1) m n C =m n nC - ; (2) m n C +1-m nC =m n C 1+ （3）1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C Λ.6.排列数与组合数的关系是：m m n n A m C =⋅！ .7.二项式定理：n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+---ΛΛ222110)( ;二项展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，Λ=.【题例分析】例1、从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力，如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参赛方法？解法：问题分成三类：（1）甲乙二人均不参加，有44A 种；（2）甲、乙二人有且仅有1人参加，有234C （44A －33A ）种；（3）甲、乙二人均参加，有24C （44A －233A ＋22A ）种，故共有252种．点评：对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种．例2: 有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生．(2)某女生一定要担任语文科代表．(3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表．(4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表．解：(1)先取后排,有13452335C C C C +种,后排有55A 种,共有5513452335)(A C C C （C+＝5400种．(2)除去该女生后先取后排：8404447=A C 种．(3)先取后排,但先安排该男生：3360441447=A C C 种．(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有36C 种,再安排该男生有13C 种,其余3人全排有33A 种,共331336A C C =360种．例3、、有6本不同的书（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？（2）分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？（5）分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（6）摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？解：（1）在6本书中，先取2本给甲，再从剩下的4本书中取2本给乙，最后2本给丙，共有90222426=⋅⋅C C C （种）。
（2）6本书平均分成3堆，用上述方法重复了33A 倍，故共有15332426=⋅A C C （种）。
（3）从6本书中，先取1本做1堆，再在剩下的5本中取2本做一堆，最后3本做一堆，共有60332516=⋅⋅C C C （种）（4）在（3）的分堆中，甲、乙、丙3人任取一堆，故共有36033332516=⋅⋅⋅A C C C （种）。
（5）平均分堆要除以堆数的全排列数，不平均分堆则不除，故共有15221516=⋅A C C （种）。
（6）本题即为6本书放在6个位置上，共有72066=A （种）。
例4、如果在n x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+421 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。
解：展开式中前三项的系数分别为1，2n ，8)1(-n n ， 由题意得：2×2n =1+8)1(-n n 得n =8。
设第r+1项为有理项，43168121r r r r x c T -+⋅⋅=，则r 是4的倍数，所以r=0，4，8。
有理项为295412561,835,xT x T x T ===。
【巩固训练】一.选择题：每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出填在题后的括号内.1、设k =1，2，3，4，5，则（x +2）5的展开式中x k 的系数不可能是A 10B 40C 50D 80.2、某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分.一球队打完15场，积33分.若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有A 3种B 4种C 5种D 6种.二.填空题：把正确答案填写在题中的横线上.3、将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 种.（以数字作答）4、设()()()()()9922105433321+++++++=++x a x a x a a x x Λ 则()286420a a a a a ++++―()=++++297531a a a a a 三.解答题：(解答应写文字说明，证明过程或演算步骤)5、（1）10个优秀指标分配给6个班级，每班至少一个，共有多少种不同的分配方法？（2）10个优秀名额分配到一、二、三3个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？6、若()432-x =44332210x a x a x a x a a ++++，求（1）()2420a a a ++―()231a a +的值。
（2）3210a a a a +++的值。
二、等可能事件的概率【基础知识】 等可能性事件的概率()m P A n=. 【题例分析】例1、 某班有学生36人，血型分别为A 型12人,B 型10人,AB 型8人,O 型6人，现从中抽出2人，求这两人血型不相同的概率.解:P(两人血型相同)＝P(两人血型均为A 型)＋P(两人血型均为B 型)＋P(两人血型均为AB 型)＋P(两人血型均为O 型)＝45112362628210212=+++C C C C C . 所以，P(两人血型不同)＝1－45344511=. 点拨:从四种血型中抽出2种有C 24＝6种，依次分类则情形较复杂，所以本题用间接法较简便.例2、从男、女学生共有36名的班级中,任意选出两名委员,任何人都有同样的机会当选,如果选得同性委员的概率等于21，求男、女相差几名？ 解：设男生有x 名，则女生有36－x 名，选得2名委员都是男性的概率为2362C C x ＝3536)1(⨯-x x .选得两名委员都是女性的概率为236236C C x-＝3536)35)(36(⨯--x x . 以上两种选法是互斥的，所以选得两名委员是同性委员的概率等于其概率和. 依题意3536)1(⨯-x x ＋3536)35)(36(⨯--x x ＝21.解得x ＝15或x ＝21. 即该班男生有15名，女生有36－15＝21人或者男生有21人，女生有36－21＝15人，总之，男女相差6名.例3、在袋中装30个小球，其中彩球有n 个红色，5个蓝色,10个黄色，其余为白色，求：(1)如果已经从中取定了5个黄球和3个蓝球，并将它们编上了不同的号码后排成一排，那么使蓝色小球不相邻的排法有多少种？(2)如果从袋中取出3个都是颜色相同的彩球（不含白色）的概率是40613，且n ≥2，计算红球有几个？(3)根据(2)的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个红球的概率？解：(1)将5个黄球排成一排共有A 55种排法，将3个蓝球放在5个黄球所形成的6个空位上，有A 36种排法.∴所求的排法为A 55·A 36＝14400（种）.（2）取3个球的种数为C 330＝4060，设“3个球全是红色”为事件A ，“3个球全是蓝色”为事件B.“3个球都是黄色”为事件C ，则P(B)＝40601033035=C C ，P(C)＝4060120330310=C C . ∵A 、B 、C 彼此互斥，∴P(A ＋B ＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)，即40613＝P(A)＋4060120406010+.∴P(A)＝0，即取3个球，是红球的个数小于或等于2. 又∵n ≥2，故n ＝2.（3）记“3个球至少有一个是红球”为事件D ，则D 为“3个球中没有红球”，则 P(D)＝1－P(D )＝1－330328C C ＝14528. 例4、一种电器控制器在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入一箱，为了找出该箱中的二等品，我们把该箱中产品逐一取出进行测试.（1）求前两次取出都是二等品的概率；（2）求第二次取出的是二等品的概率；解：（1）四件产品逐一取出方式共有A 44种不同方式.前两次取出都是二等品的方式共有A 22·A 22种不同方式.所以前两次取出都是二等品的概率为： 61442222=A A A（2）第二次取出是二等品共有：3312A C ，所以第二次取出是二等品的概率是：21443312=A A C【巩固训练】一.选择题：每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出填在题后的括号内.1、数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（ ） 12519D 12518C 12516B 12513A 、 、 、 、 2、将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上和概率是(A)5216 (B)25216 (C)31216 (D)91216二.填空题：把正确答案填写在题中的横线上.3、袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是 .4、一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇。
若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________三.解答题：(解答应写文字说明，证明过程或演算步骤)5、8支球队中有3支弱队，以抽签的方式将这8支球队分为A 、B 两组，每组4支，求：(1)A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率；(2)A 组中至少有两支弱队的概率．6、有一个表面都涂有红颜色的正方体，被均匀地锯成了1000个小正方体,将这些正方体混合后，放入一个口袋内.(1)从该袋中任抽取一个正方体，恰有两个面涂有红色的概率是多少?(2)从袋中任取两个正方体，其中至少有一个面上有红色的概率是多少?三、互斥事件的概率【基础知识】1、 (1)互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.(2)对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.2.重点公式(1)如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生（即A 、B 中有一个发生）的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率和，即P （A+B ）=P （A ）+P （B ），推广:P （A 1+A 2+…+A n ）=P （A 1）+P （A 2）+…+P （A n ）.(2)对立事件的概率和等于1. P(P)+P(A )=P （A+A ）=1.【题例分析】例1、甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个.甲、乙二人各抽一题：（1）求甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率；（2）求甲、乙两人中至少一人抽到选择题的概率.解：（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的可能结果有C 16·C 14个，又甲、乙依次抽到一题的可能结果有C 110C 19个，所以，所求概率为：199101416C C C C =154. （2）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为191101314C C C C ，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为:1-191101314C C C C =1-9012=1-152=1513. 例2、某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，不够8环的概率是0.29.计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率.解：设这个射手在一次射击中命中10环或9环为事件A ，命中10环、9环、8环以及不够8环的事件分别记为A 1、A 2、A 3、A 4.∵A 2、A 3、A 4彼此互斥，∴P （A 2+A 3+A 4）=P(A 2)+P(A 3)+P(A 4)=0.28+0.19+0.29=0.76.又∵A 1=432A A A ++，∴P(A 1)=1-P （A 2+A 3+A 4）=1-0.76=0.24.∵A 1与A 2互斥，∴P （A ）＝P （A 1+A 2）=P （A 1）+P （A 2）=0.24+0.28＝0.52.故这个射手在一次射击中命中10环或9环的概率为0.52.例3、袋中放有3个伍分硬币，3个贰分硬币和4个壹分硬币，从中任取3个，求总值超过8分的概率.解：记“总值超过8分”为事件A ，它应有四种情况：（1）“取到3个伍分硬币”为事件A 1；（2）“取到2个伍分和一个贰分硬币”为事件A 2；（3）“取到2个伍分和一个壹分硬币”为事件A 3；（4）“取到一个伍分硬币和2个贰分硬币”为事件A 4.则P(A 1)=31033C C =1201. P(A 2)=3101323C C C =403. P(A 3)=3101423C C C =101. P(A 4)=3102313C C C =403. 依题意，A 1、A 2、A 3、A 4彼此互斥，∴P(A)=P(A 1+A 2+A 3+A 4)=P(A 1)+P(A 2)+P(A 3)+P(A 4)=12031 例4、经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：（I ）每天不超过20人排队结算的概率是多少？（Ⅱ）一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？解：（I ）每天不超过20人排队结算的概率为：P=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75，即不超过20人排队结算的概率是0.75.（Ⅱ）每天超过15人排队结算的概率为：0.25+0.2+0.05=21， 一周7天中，没有出现超过15人排队结算的概率为707)21(C ； 一周7天中，有一天出现超过15人排队结算的概率为617)21)(21(C ； 一周7天中，有二天出现超过15人排队结算的概率为5227)21()21(C ； 所以有3天或3天以上出现超过15人排队结算的概率为：75.012899])21()21()21)(21()21([152********>=++-C C C ， 所以，该商场需要增加结算窗口.【巩固训练】一.选择题：每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出填在题后的括号内.1、如果A 、B 两个事件互斥，那么（ ）A.A+B 是必然事件B.A +B 是必然事件C.A 与B 一定互斥D.A 与B 一定不互斥2、在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站，假定这个车站只能停靠一辆汽车，有一位乘客需5分钟之内赶到厂里，他可乘3路或6路车到厂里，已知3路车，6路车在5分钟内到此车站的概率分别为0.2和0.6，则此乘客在5分钟内能乘到所需车的概率为（ ）A.0.2B.0.6C.0.8D.0.12二.填空题：把正确答案填写在题中的横线上.3、甲、乙两人下成和棋的概率为21，乙获胜的概率为31，则乙不输的概率为_______. 4、有两个口袋，甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球，现从两袋中各取一只球,则两球颜色相同的概率为_______.三.解答题：(解答应写文字说明，证明过程或演算步骤)5、已知袋中装有红色球3个、蓝色球2个、黄色球1个,从中任取一球确定颜色后再放回袋中，取到红色球后就结束选取，最多可以取三次，求在三次选取中恰好两次取到蓝色球的概率.6、掷两个骰子，出现点数之和为4点或5点或偶数点的概率是多少？四、独立事件的概率【基础知识】1.独立事件A ，B 同时发生的概率P(A ·B)= P(A)·P(B).2.n 个独立事件同时发生的概率 P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )．3.（不要求记忆）n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率()(1).k k n k n n P k C P P -=-【题例分析】例1、某产品检验员检查每一件产品时，将正品错误地鉴定为次品的概率为0.1，将次口错误地鉴定为正品的概率为0.2，如果这位检验员要鉴定4件产品，这4件产品中3件是正品，1件是次品，试求检验员鉴定成正品，次品各2件的概率.解：有两种可能：将原1件次品仍鉴定为次品，原3件正品中1件错误地鉴定为次品;将原1件次品错误地鉴定为正品，原3件正品中的2件错误地鉴定为次品. 概率为P ＝9.01.02.09.01.08.0223213⨯⨯⨯+⨯⨯⨯C C ＝0.1998例2、已知两名射击运动员的射击水平，让他们各向目标靶射击10次，其中甲击中目标7次，乙击中目标6次，若在让甲、乙两人各自向目标靶射击3次中，求：（1）甲运动员恰好击中目标2次的概率是多少？（2）两名运动员都恰好击中目标2次的概率是多少？（结果保留两位有效数字）解. 甲运动员向目标靶射击1次，击中目标的概率为7/10=0.7乙运动员向目标靶射击1次，击中目标的概率为6/10=0.6(1)甲运动员向目标靶射击3次，恰好都击中目标2次的概率是44.0)7.01(7.01223=-⨯⨯c(2)乙运动员各向目标靶射击3次，恰好都击中目标2次的概率是[][]19.0)6.01(6.0)7.01(7.012231223=-⋅⋅⋅-⋅⋅c c 例3、冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等.（Ⅰ）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；（Ⅱ）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率.解：（I ）12821)1()5(25577=-=P P C P . （II ）P 6(5)+P 5(5)+P 4(4) =C 65P 5(1－P)+C 55P 5+C 44P 4=163 例4、有一批产品出厂前要进行五项指标检验，如果有两项指标不合格，则这批食品不能出厂，已知每项指标抽检是相互独立的，每项指标抽检出现不合格品的概率都是0.2。