晶体结构章节要求1掌握晶体的特征晶格周期性的描述
第2章 晶体结构讲解
第2章晶体结构为了便于对材料进行研究，常常将材料进行分类。
如果按材料的状态进行分类，可以将材料分成晶态材料，非晶材料及准晶材料。
因所有的晶态材料有其共同的规律，近代晶体学知识就是为研究这些共同规律而必备的基础。
同时为了研究非晶材料与准晶材料及准晶材料也必须以晶体学理论做为基础。
在一般的教材中对晶体学的基础知识已经有了不同深度的阐述，作为辅导教材，对教科书上已经有较多阐述的内容，本章中就简要的进行说明，而重点在于用动画形式，将在教材中难以用文字表达清楚的内容进行较多的阐述，加深对教材内容的理解记忆2.1晶体学基础2.1.1 空间点阵和晶胞具有代表性的基本单元（最小平行六面体）作为点阵的组成单元，称为晶胞。
将晶胞作三维的重复堆砌就构成了空间点阵。
为了便于分析研究晶体中质点的排列规律性，可先将实际晶体结构看成完整无缺的理想晶体并简化，将其中每个质点抽象为规则排列于空间的几何点，称之为阵点。
这些阵点在空间呈周期性规则排列并具有完全相同的周围环境，这种由它们在三维空间规则排列的阵列称为空间点阵，简称点阵。
同一空间点阵可因选取方式不同而得到不相同的晶胞<晶胞、晶轴和点阵矢量>根据6个点阵参数间的相互关系，可将全部空间点阵归属于7种类型，即7个晶系。
按照"每个阵点的周围环境相同"的要求，布拉菲（Bravais A．）用数学方法推导出能够反映空间点阵全部特征的单位平面六面体只有14种，这14种空间点阵也称布拉菲点阵。
空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象。
1 空间点阵最初人们认为凡是具有规则外形的天然矿物均为晶体。
但现在人们认识到晶体的规则的几何外形是内部结构规律的外在反映. 近代的科学研究表明了下面的两个基本事实:1）如果说某一种材料是晶体，其基本的特征是：组成该材料的内部的微观粒子(原子,分子,离子等)在三微的空间做有规则的周期性的排列。
2）这种排列的规律决定了材料的性能。
根据这样的事实我们可以抽象出个的重要概念即空间点阵。
第一章 晶体结构(Crystal Structure)
基元（ basis）
构成晶体的基本结构单元。 基元是化学组成、空间结构、排列取向、周 围环境相同的原子、分子、离子或离子团的集 合。 可以是一个原子(如铜、金、银等)，可以是 两个或两个以上原子(如金刚石、氯化钠、磷化 镓等)，有些无机物晶体的一个基元可有多达 100个以上的原子，如金属间化合物NaCd2的基 元包含1000 多个原子，而蛋白质晶体的一个基 元包含多达10000 个以上的原子。
六角密堆积晶格结构是一个复式晶格
基元为两个原子 2 1 1 （0，0，0）、( , , ) 3 3 2
c
a
b
三、致密度
反映粒子排列的紧密程度，或也称堆积因 子。 定义： 晶胞内所有粒子的体积与晶胞体积之比。
例1：计算简单立方晶胞的致密度
解： 3 简单立方晶胞的体积为 a,
晶胞内有一个原子，原 子半径为 0 .5 a
a ( a a ) 1 2 3
就是布拉菲格子的晶胞。 晶胞基矢的选取使得平行六面体有尽可能多的相等的棱和 角，有尽可能多的直角，尽可能地反映空间点阵的对称性。 ，一般 晶胞体积为 。 a ( b c )
c构成的最小的平行六面体 以不共面的晶胞基矢 a 、b 、
如果将A、B两个原子看作为一 个基元，则点阵结构就如前页所示 ，格子就是布拉菲格子了。
二维蜂窝格子 (非布拉菲格子)
二、布拉菲格子的原胞与晶胞 a3 以不共面的原胞基矢 a 、 、 a 1 2 构成的最小的平行六面体就是
布拉菲格子的原胞。其体积为:
基矢的取法不唯一，故原胞的取法也不唯一。 无论如何选取，原胞均有相同的体积。 对于布拉菲格子，原胞只含有一个基元（格点）。
原胞体积为：
晶体结构2
4) 晶体确定的熔点
5) 晶体的对称性
理想晶体的外形与其内部的微观结构是紧密相关的，都具 有特定的对称性，而且其对称性与性质的关系非常密切。
6)晶体对的X-射线衍射 晶体的周期性结构使它成为天然的三维光栅，周期与 晶体的周期性结构使它成为天然的三维光栅，周期与X 光波长相当, 能够对X光产生衍射 光产生衍射。 光波长相当, 能够对 光产生衍射。
固体物质按原子(分子、离子 在空间排列 固体物质按原子 分子、离子)在空间排列 分子 是否长程有序 是否长程有序
晶态结构示意图
按周期性规律重复排列
非 晶 态 结 构 示 意 图
晶体的基本特征
1)晶体能自发形成多面体外形(晶体的自范性 自范性) 自范性 F(晶面数 晶面数)+V(顶点数 顶点数)=E(晶棱数 2 晶棱数)+ 晶面数 顶点数 晶棱数 满足欧拉定理 欧拉定理
T0,T1,T2, …Tm …组成的集合，满足群的条件，构成∞阶平移群 组成的集合，满足群的条件，构成 阶平移群 组成的集合
a
a'
b.二维周期性结构与平面点阵 二维周期性结构与平面点阵: 二维周期性结构与平面点阵
平移群表示 Tm,n = ma + nb (m, n = 0,±1, ± 2 …) ±
周期性结构二要素: 周期性结构二要素:
(1) 周期性重复的内容结构基元 周期性重复的内容结构基元(motif); 结构基元 (2) 周期性重复的大小与方向，即平移矢量。 周期性重复的大小与方向，即平移矢量。
周期性结构的研究方法—点阵理论: 周期性结构的研究方法 点阵理论: 点阵理论
将晶体中的结构基元(重复的内容)抽象为几何学 中的点,这些点按一定的方式在空间重复排列形成点 阵(由点阵点组成)
晶体的周期性名词解释
晶体的周期性名词解释晶体是物质的一种状态，其内部结构呈现高度有序的排列。
晶体由大量原子、离子或分子按照一定的规律组织而成，其周期性结构是晶体的一个重要特征。
本文将从晶体周期性、晶格、晶胞和晶系四个方面进行解释。
晶体周期性晶体的周期性是指晶体内部的结构和性质在空间上重复出现的规律性。
通过观察晶体，我们可以发现一系列重复的结构单元，这些结构单元被称为晶胞。
晶体周期性的存在使得物质的一些性质如电导率、热导率和光学性质等呈现出明显的规律性。
晶格晶格是晶体内部的一个空间排列，描述了晶体原子、离子或分子的有序性和周期性。
晶格的基本单位是晶胞，晶胞中的原子、离子或分子按照一定的规则排列。
晶格具有三个独立参数，分别是晶胞的边长a、b、c，以及三个晶胞之间的夹角α、β、γ。
通过调整这些参数的数值，可以获得不同的晶格结构。
晶胞晶胞是晶体中的最小重复单元。
晶体的周期性结构可以通过晶胞来描述。
晶胞通常由一组原子、离子或分子构成，并按照一定的几何规则排列。
晶胞的形状可以是立方体、四面体、六面体等各种多边形。
晶体的性质和结构可以通过晶胞内的原子、离子或分子的位置和类型来确定。
晶系晶系是描述晶体内部结构的一个分类系统。
根据晶胞的几何形状和晶格参数的数值关系，可以将晶体分为七个晶系：立方晶系、四方晶系、正交晶系、单斜晶系、菱方晶系、三斜晶系和六角晶系。
不同的晶系具有不同的晶胞形状和晶胞参数，这决定了晶体的对称性和性质。
总结晶体的周期性是晶体结构和性质规律性的基础，晶格、晶胞和晶系是解释晶体周期性的重要概念。
晶胞是晶体内部最小重复单元，晶胞的几何形状和晶格参数的数值关系决定了晶体的对称性和性质。
晶系则是对晶体进行分类的系统，根据晶胞的几何形状和晶格参数的数值关系将晶体分为七个晶系。
通过深入理解晶体周期性名词的解释，我们可以更好地认识晶体的结构和性质。
晶体学作为一门重要的学科，不仅在材料科学、固体物理等领域具有广泛的应用，还为我们认识自然界中的多种物质提供了有力的工具和方法。
晶体结构.01
1.1 几种常见的晶体结构
一、晶体的定义
晶 体: 组成固体的原子（或离子）在微观上的 排列具有长程周期性结构
非晶体：组成固体的粒子只有短程序（在近邻或 次近邻原子间的键合：如配位数、键长 和键角等具有一定的规律性），无长程 周期性 准 晶: 有长程的取向序，沿取向序的对称轴方向 有准周期性，但无长程周期性
第一章 晶体结构(crystal structure)
1-1 几种常见的晶体结构 1-2 晶格的周期性 1-3 晶向、晶面和它们的标志 1-4 对称性和Brawais点阵
1-5 倒点阵及其基本性质
1-6 晶体衍射物理基础
1
1-1几种常见的晶体结构
主要内容
1.1简立方晶格结构(cubic)
1) NaCl晶体的结构 氯化钠由Na+和Cl－结合而成 —— 一种典型的离子晶体 Na+构成面心立方格子；Cl－也构成面心立方格子
20
2) CsCl晶体的结构 CsCl结构 —— 由两个简单立方子晶格彼此沿立方体空间对 角线位移1／2 的长度套构而成
21
CsCl晶体
22
3) ZnS晶体的结构 —— 闪锌矿结构 立方系的硫化锌 —— 具有金刚石类似的结构 化合物半导体 —— 锑化铟、砷化镓、磷化铟
六角密排晶格的原胞基矢选取 —— 一个原胞中包含A层 和B层原子各一个 —— 共两个原子 k
定义：
i
j
原胞基矢为：
a1 , a2 , a3
a1 a2 a3
（四）晶格周期性的描述 —— 布拉伐格子
Bravais lattices
由于组成晶体的组分和 组分的原子排列方式的 多样性，使得实际的晶 体结构非常复杂。
晶体的认识
晶体的认识
晶体是一种固态物质，其分子、原子或离子按照一定的规律排列而形成的具有有序结构的晶格。
晶体具有一系列特定的物理、化学和光学性质，对于科学、工程和技术领域都具有重要的意义。
1.结构特征：
有序排列：晶体内部的原子、分子或离子按照规则排列成三维结构，形成紧密有序的晶格。
周期性结构：晶体结构具有周期性，即晶胞结构会在三个方向上不断重复。
各向同性：晶体的性质在各个方向上基本上是相同的，具有各向同性的特点。
2.形成与生长：
凝固过程：晶体通常是在液态物质凝固时形成的，根据条件的不同，可以形成不同形态的晶体。
生长过程：晶体的生长是晶体原子或分子逐渐在晶体表面上沉积并排列，逐渐扩大晶体尺寸的过程。
3.物理性质：
光学性质：晶体具有各向异性，对于光的传播有一定的影响，因此在光学器件中具有广泛的应用。
热学性质：晶体的热传导、热膨胀等性质因晶格结构而异，影响材料的热学性能。
电学性质：某些晶体表现出特定的电学行为，如电介质、半导体和导体等。
4.应用与意义：
材料工程：晶体材料在材料科学和工程中具有广泛的应用，如半导体、光电子器件等。
地球科学：晶体矿物是地球科学中研究地壳结构和地球演化的重要对象。
化学合成：某些晶体结构被用于设计新型的化学反应和合成方法。
晶体的研究涉及多个领域，其特殊的结构和性质使其在科学研究、工程应用和技术创新中发挥着重要作用。
第一章 晶体结构(Crystal Structure)
§1.3 晶格的周期性
一、布拉菲（Bravais）格子
布喇菲(A. Bravais)，法国学者，1850年提出。 定义: 各晶体是由一些基元（或格点）按一定规则, 周期重 复排列而成。任一格点的位矢均可以写成形式 R n a n a n a n 1 n 2 n 3 、 、 a1 a2 。其中， 、 、 取整数， n 1 1 2 2 3 3 a Rn 为基矢， 为布拉菲格子的格矢，或称 正格矢。 3 能用上式表示的空间点阵称为布拉菲点阵，相应的 空间格子称为布拉菲格子．
§1.2 空间点阵
空间点阵定义： 晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的 点子在空间有规则地作周期性的无限分布，这 些点子的总体称为点阵。 X射线衍射技术从实验上证明。
1、格点与基元 如果晶体是由完全相同的一种原子所组成 的，则格点代表原子或原子周围相应点的位置, 如铜的晶体结构。 点阵（lattice） 在空间任何方向 上均为周期排列的无 限个全同点的集合。
基元（ basis）
构成晶体的基本结构单元。 基元是化学组成、空间结构、排列取向、周 围环境相同的原子、分子、离子或离子团的集 合。 可以是一个原子(如铜、金、银等)，可以是 两个或两个以上原子(如金刚石、氯化钠、磷化 镓等)，有些无机物晶体的一个基元可有多达 100个以上的原子，如金属间化合物NaCd2的基 元包含1000 多个原子，而蛋白质晶体的一个基 元包含多达10000 个以上的原子。
复式晶格：
如果晶体的基元中包含两种或两种以上的原 子。显然,每一种等价原子各构成与晶体基元代表 点的空间格子相同的网格 , 称为晶体的 子晶格 . 每 一种等价原子的子晶格具有相同的几何结构，整 个晶格可视为，子晶格相互位移套构而成。该晶 体晶格称为复式晶格． 例如：氯化钠晶体
固体物理1-2晶体的周期性
②平行六面体形原胞 — 固体物理学原胞，有时难 反映晶格的全部宏观对称性→Wigner-Seitz 取法
Wigner-Seitz原胞（对称原胞）—— 由某 一个格点为中心做出最近各点和次 近各点连线 的中垂面，这些包围的空间为维格纳—塞茨原 胞
vvv i j k
ar2
a 2
vvv i jk
ar3
a 2
vvv i jk
体心立方晶格的原胞
原胞
av1
av2
av3
a3 2
1 原胞 2 bcc
bcc
a1 a2
0
a3
∴只包含一个原子 → 因而为最小周期性单元
原胞：
基矢
av1 av2
a 2 a 2
r (i
r (i
v j
晶胞的特点：
（1）晶胞的选择反映晶体的对称性， （2）晶胞中格点不仅出现在顶角上，还会出现在体心或面心 （3）晶胞体积为原胞体积的整数倍， （4）每个晶胞中平均包含不止1个格点。
sc
sc 格子的一个立方单元 体积中含的原子数：1
sc格子的立方单元是最小 的周期性单元 — 选取其 本身为原胞。
由立方体的顶点到三个近 邻的格点引三个基矢：
v j
v k)
v k)
av3
Байду номын сангаас
a 2
r (i
v j
v k)
体积
V
av1 av2
av3
a3 2
原子个数 1
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第一章晶体结构（一）章节要求1、 掌握晶体的特征晶格周期性的描述方法：基元、布拉菲格子、原胞、基矢 的概念。
简单格子与复式格子，原胞、晶胞的概念与选取。
常 见晶格结构及其代表晶体。
2、 掌握晶列与晶面，晶向指数与晶面指数（密勒指数）的含义与 确定方法。
3、 掌握倒格子和布里源区的概念，正空间和倒空间的联系和转换,会计算倒格子体积等量4、 熟悉晶体的对称操作、对称素的概念，晶体点群的基本知识。
七大晶系与十四种布拉菲格子。
5、 熟悉晶体衍射理论，会推导劳厄定理和布拉格定理的等价关系6、 理解基于衍射理论的晶体结构计算方法匕4.金刚石结构（二）章节结构 1.长程有序•晶体共性2•自限性和晶面角守恒定律 3. 各向异性 4. 固定熔点 5. 非晶体与准晶体厂1.简单立方晶体结构（sc ）2. 体心立方晶体结构（bcc ）•常见晶体结构3.密堆积-六角密排（hcp ）'面心立方（ccp ）•晶体结构模型化研究：晶体结构 =晶格+基元(转化为晶格研究)-分类：简单格子；复式格子晶格 丿组成：原胞与原胞基矢；晶胞；常见晶体结构的原胞或晶胞描述方法：晶列和晶面指数；晶面和密勒指数广1.晶体的对称性 2•晶体的对称操作和对称元素四•晶体的宏观对称性 S 3.点群和空间群4.七大晶系和十四种布拉菲格子五.晶体结构计算1.布拉格定理2.劳厄定理 3.两者等价(2)倒格子1.倒矢量，倒格矢和倒格子2. 倒矢量和倒格矢的性质1. 布里渊衍射条件⑶布里渊区 Y2.布里渊区：一维，二维，简立方，面心立方，体心立方3. 布里渊区的性质(4)基于衍射理论的晶体结构计算(三)基础知识-、晶体的共性定义内部质点在三维空间呈周期性重复排列的固体为晶体。
1、长程有序一一晶体中的原子都是按一定规则排列的，这种至少在微米量级范围的有序 排列，称为晶体的长程有序。
晶体可以分为单晶体和多晶体，多晶体是由许多单晶体构成的。
单晶体，在整体范围内原子排列都是规则的。
多晶体，在各晶粒范围内，原子排列是有序的。
2、自限性 —— 晶体具有自发地形成封闭几何多面体的特性，称为晶体的自限性。
晶面角守恒定律 —— 尽管同一种晶体的外形可能不同， 但相应的两晶面之间的夹角总是 不变的，这一规律称为晶面角守恒定律。
{1. 结构基元的傅里叶分析2. 晶体结构的实验确定散射波振幅Y结构因子 原子的形状因子3、各向异性晶体各向异性的表现有以下几个方面：（1）平行石英晶体的晶轴入射的单色光，不产生双折射；而沿其它方向入射的单色光，会产生双折射。
（2）晶体具有沿某些确定方位的晶面发生劈裂的现象，晶体的这一解理性也是各向异性的表现。
（3）外形上也可反映晶体的各向异性。
不同方位晶面的形状、大小不同。
4、非晶态和准晶态非晶态物质的短程序：晶体最基本的特征是组成固体材料的原子（或分子、离子）在空间周期性地排列，即具有长程序。
非晶态物质的特点是不具有长程序。
由于非晶物质也是一种凝聚态。
因此在一个原子间距的范围内，原子的排列却有一定次序，例如有确定的配位数等，即具有短程序。
非晶材料的基本特点－－失去了长程序、保留短程序。
准晶态：一种介于晶态与非晶态之间的新的状态。
特点：（1）具有长程的取向序而没有长程的平移对称序（周期性）；（2）取向序具有周期性所不能容许的点群对称（3）沿取向序对称轴的方向具有准周期性，由两个或两个以上不可公度的特征长度按着特定的序列方式排列。
三、晶体结构模型化研究晶体结构= 晶格+基元晶体的内部结构，可以概括为有一些相同的化学质点在空间有规律地作周期性的无限分布。
这些化学质点（代表原子、离子、分子或其集团的重心）的分布总体称为点阵，也称为格子。
点阵中的点子称为阵点、结点或格点。
所谓格点的周期性阵列，就是说如果把晶体结构看作是在三维空间无限延伸的，则任一点周围的情况的都是完全相同的。
通常把这种点的周期性阵列称为布拉菲点阵或布拉菲格子。
构成阵点的具体原子、离子、分子或其集团，都是构成晶体的基本结构单元，称为基元。
1、简单格子和复式格子晶格可以分为两类：简单格子（布拉菲格子）和复式格子（非布拉菲格子）。
在布拉菲格子中，所有的格点都是等价的，当然要求晶体中的所有原子都等价（种类相同、性质相同）。
在复式格子中，有些格点是不等价的。
金刚石、NaCI、CsCI、六角密积、C60等晶体就是这样的结构。
2、组成1）原胞和基矢晶格是由基本平移矢量定义的。
原胞是指能完全平移覆盖晶格的最小单元，它只反映晶格的周期性。
2）晶胞或惯用原胞晶胞或称为惯用原胞是一倍或几倍于原胞的晶格周期性单位•它既可以反映晶格的周期性，又可以反映晶格的对称性。
3、描述1）晶列和晶向由于晶体的周期性结构，布拉菲格子的格点可以看成分列在一系列相互平行的直线上，而无遗漏，这样的直线系称为晶列。
晶列族：如果一平行直线族把格点包括无遗，且每一直线上都布有格点，则称这些直线为同一族晶列。
同一格子可以形成方位不同的晶列，晶列的取向称为晶向。
一组能表示晶列方向的数称为晶向指数。
2）晶面和密勒指数晶体的晶面：在布拉伐格子中，相互平行、等间距的平面可以将所有的格点包括这些相互平行的平面称为晶体的晶面能够标志晶面取向的一组数，称为晶面指数。
要描写一个平面的方位，就是要找出一个坐标系中表示该平面的法线方向，或给出该平面在三个坐标轴上截距。
用结晶学原胞基矢构成坐标系，得到的晶面指数，称之为密勒指数，用（hkl）表示。
四、晶体的宏观对称性1、晶体的对称性晶体的对称性就是指晶体经过某些特定的操作之后，能够回复到原来状态的性质。
晶体对称性可以分为宏观对称性（指操作时，晶体至少有一点保持不变）和微观对称 ____________________ 操作（对称操作中包括平移操作，或者是有平移操作的复合操作）。
2、晶体的对称操作和对称元素1）对称操作从对称性的角度概括和区别不同晶体的宏观对称性，就是要考查这些晶体所具有的刚性对称操作。
这些对称操作包括：绕某一个轴的转动操作对某一个面的镜像操作对某一个点的反演操作以及它们的组合操作这些对称操作不是平移对称操作，被称作是宏观对称操作。
因为这些操作保持空间的某一点不动，又称为点对称操作。
三维晶体的正交变换有以下几种：1、转动2、中心反演3、镜像2）对称元素对称元素是对称操作所依赖的几何要素，如点、线和面等。
对称元素是该操作所依赖的旋转轴，称为n 度（或者n 重、n 次）旋转对称轴，由于晶格周期性的限制，n 只能取1，2，3, 4和6,即晶体不能有 5度或6度以上的旋 转轴，这个规律称为晶体的对称性规律。
②反映和镜面 晶体沿某一平面反映后能与自身重合的操作，称为反映对称操作对称元素即该操作所依赖的平面，称为镜面（或对称面） ③ n 度象转轴晶体绕某一固定轴旋转角度同时对垂直于此轴的某一镜面进行反映，晶体能自身重合，这样的操作称为象转对称 操作。
对称元素是该操作所依赖的旋转轴，称为n 度象转轴。
④ 中心反演：这一对称操作（旋转 180后，再反映）称为中心反演。
⑤ 旋转-反演轴 3、点群和空间群 1） 群是一组元素的集合，G ^{ E,A,B,C,D ••仁它满足以下性质：按照给定的乘法”规则，群 G 中任意两元素的 乘积"仍为群G 内的元素，即若 A,B € G ，贝U AB =C € G 。
这个性质称为群的闭合性（closure property ）;存在单位元素 E ，使得对所有元素 P € G ，有PE = EP = P ;对任意元素 P € G 。
存在逆元素 P — 1，使得 PP-1=P-1P=E ;元素间的 乘法”运算，满足结合律，A （BC ） =（ AB ）C 。
2） 由于晶体在进行宏观对称操作时，至少有一点是不动的，故称为点操作。
与点对称操作相应的对称元素群，称点群。
乘法”运算就是连续操作；单位元素为不动操作； 逆元素为转角和平移矢量大小相等、方向相反的操作由于晶体在进行宏观对称操作时，至少有一点是不动的，故称为点操作。
与点对称操作相应的对称元素群，称为点群 3） 空间群晶体结构内部由宏观对称元素和微观对称元素一起组合而成的对称群，称为空间群。
空间群分为两类：简单空间群，由一个平移群和一个点群的全部对称操作组合而成， 共有73个。
复杂空间群，群中可包含n 重螺旋轴以及滑移反映面。
空间群的总数是 230 个。
4、七个晶系和十四种布拉菲格子1） 七大晶系根据晶体的宏观对称性，按晶胞基矢构成的坐标系的性质，可以将晶体归纳为七大类，即七大晶系。
任何一种晶体结构分属于这 7个晶系之一，决定这种结构所对应 的点阵和点群。
三斜晶系；单斜晶系；正交晶系 （斜方晶系）；四角晶系（正方）；六角晶系；三角晶系 2） 十四种布拉菲格子七大晶系，每一晶系中包含一种或数种特征性的点阵，共有十四种，即有十四种后，能够自身重合的操作称为旋转对称操作。
①n 度旋转轴晶体绕某一固定轴旋转角度布拉菲格子。
任何一种晶体，对应的晶格都是十四种布拉菲格子的一种。
布拉菲 格子概括了晶格的对称性。
简单三斜；简单单斜；底心单斜；简单正交；底心正交；体心正交；面心正交； 六角；三角；简单四角；体心四角；简单立方；体心立方；面心立方五、晶体结构计算1、晶体衍射理论1）劳尔衍射条件：在-宛 Ex 2）布拉格定律：‘3〃曲3）布拉格的另一种以及两种公式等价 在弹性散射中，光子的能量是守恒的,k 和k '的大小相等，且有,2 2k ■(著層CgG 2F 面我们来说明它与布拉格定律是等价的 由倒格子的性质我们已知，以密勒指数（hkl ）为系数构成倒格矢垂直于密勒指数 （hkl ）的晶面族，而且这个晶面族的面间距为」 I ________因此可以写为 或者其中9是入射光与晶面之间的夹角。
2、晶体的倒格子1）倒格子：由八百皿 ？托用，因为是格矢，的端点的集合构成了整个晶格，而 矢量端点的集合也构成一个点阵，称为倒格子其中 即为倒格矢倒矢量：其中 是正格子原胞体积，称为倒矢量。
由 ，有因为G 是一个倒格矢代替G也应是一个倒格矢，用有2kG 2G —hb 眉 kb倒格子体积为2).倒格子的性质：倒格子的原胞体积与相应正格子的原胞体积成反比；正格子 是它本身倒格子的倒格子；以晶面族晶面指数为系数构成的倒格矢恰为晶面族 的公共法线方向；倒格矢的模与晶面族( hl h2 h3)的面间距成反比；一个具 有晶格周期性的函数可以用倒格矢展开成傅里叶级数； 倒格子保留了正格子的 全部宏观对称性3、布里渊区f 0( — 3 ) = C —G V1) 布里渊散射条件：任何连接原点和垂直平分面的波 矢都满足散射条件。
2) 布里渊区：倒格子的 W-S 原胞被称为第一布里渊区，它包括了所有能在晶体上发生布拉格反射的波的波矢 。