湖南省名校联考联合体2022-2023学年高一下学期入学考试数学试题(解析版)

即 ，
即 ，
即存在 ，使得 成立，
因为函数 在 上单调递增，
所以当 时 有最大值等于 ，所以 ，
即 ，解得 ，
故答案为: .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知不等式 的解集是集合 ，函数 的定义域是集合 .
（1）分别求集合 ；
（2）若 是 成立的必要不充分条件，试求实数 的取值范围.
对于B，函数 ，当 时，令 ，原函数变为 ， ，原函数又是偶函数，所以函数 的最小值是 ，故B正确；
对于C，函数 ，当 时，令 ，原函数变为 ， 在 上是减函数，在 上是增函数，所以 在 上是减函数，在 上是增函数，故C错误；
对于D，由C，结合 的图象关于y轴对称可得 的增区间是 ， ，故D正确.
故选：ABD
所以扇形的弧长 .
设扇形的圆心角的弧度数为 ,
由扇形的弧长公式得: ，且
即 ，解得 ，所以扇形的圆心角的弧度数是4.
故选：B.
3.函数 （ 且 ）恒过定点（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数函数的知识确定正确选项.
【详解】当 ，即 时， ，所以定点为 .
故选：C
4.已知函数f(x)= -sinx，则f(x)在区间[0，2π]上的零点个数为（）
【解析】
【分析】（1）利用函数单调性的定义与作差法即可证明；
（2）将 转化为 ，再用换元法 将不等式化为 ，再利用配方法求得右式的最值，进而解决问题.
【小问1详解】
任取 ，且 ，则 ，
，
，
所以 ，所以 在区间 上单调递增.
【小问2详解】
不等式 在 上恒成立，等价于 在 上恒成立，
令 ，因为 ，所以 ，则有 在 恒成立，
【分析】先求出 在 上的取值范围，再利用分段函数的值域进行求解．
【详解】因为 在 上单调递增，
所以当 时， ，
若函数 的值域为R，
则 ，
解得 ．
故选：A.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
22.如图，一质点在以O为圆心，2为半径 圆周上逆时针匀速运动，角速度为 ，初始位置为 ， ，x秒后转动到点 .设 .
（1）求 的解析式，并化简为最简形式；
（2）如果曲线 与直线 的两个相邻交点间的距离为 ，求 的值.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）
根据任意角的三角函数的定义求出 ， ，进一步可得 .
【答案】C
【解析】
【分析】从图象中的最小值入手，求出 ，进而求出函数的最大值，即为答案.
【详解】从图象可以看出，函数 最小值为-2，即当 时，函数取得最小值，即 ，解得： ，所以 ，当 时，函数取得最大值， ，这段时间水深（单位：m）的最大值为8m.
故选：C
7.已知函数f(x)满足f(2x)＝log2x，则f(16)＝（ ）
令 ，则 ，
所以 ，所以 ，所以实数 的取值范围为 .
20.已知 是定义在R上的偶函数.
（1）求a的值;
（2）若关于x的方程 有2个不相等的实数根，求实数m的取值范围.
【答案】（1）0（2）
【解析】
【分析】（1）根据偶函数满足 求解即可；
（2）数形结合分析 的根为2时的情况即可.
【小问1详解】
有偶函数性质可得 ，故 ，即 ，故 .
12.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2f，3f，4f等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，一般不易单独听出来，所以我们听到的声音的函数为 .则函数 的周期不可能为（）
5.为了得到函数 的图象，只需把余弦曲线 上所有的点（）
A.横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B.横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D.纵坐标缩短到原来的 ，横坐标不变
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数 的图象变换规律，横坐标伸缩变换，可得结论．
【详解】将函数 图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，
（2）
由已知建立三角方程，可求解.
【小问1详解】
由题意得 ， ，
故
.
【小问2详解】
由 ，得 ，
则 或 ， ，
即 或 ，
由 ，得 ；
由 ，得 .
综上， 或 .
A ﹣1B.1C.2D.4
【答案】C
【解析】
【分析】根据16＝24，代入求解即可．
【详解】∵函数f(x)满足f(2x)＝log2x，且f(16)＝f(24)，
∴f(16)＝f(24)＝log24＝2，
故选：C．
8.已知函数 的值域为R，则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
（1）写出年利润S（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式（利润=销售收入－成本）；
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润．
【答案】（1） ；
（2）当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为2370万元.
【解析】
【分析】（1）根据利润 销售收入 成本，即可得解；
（2）分 和 两种情况，分别根据二次函数的性质和基本不等式，求出对应的 的最大值，再比较ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ小，即可得解．
【小问1详解】
当 时，年利润 ，
当 时， ，
∴年利润 ；
【小问2详解】
当 时， ，
所以S在 上单调递增，所以 ；
当 时， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 ，
因为 ，所以 ，
故当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为2370万元.
因此 ，解得 .
故所求实数 的取值范围是 .
18.已知幂函数 在 上单调递增
（1）求m 值；
（2）若 ，且 ，求 的最小值.
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】(1)用幂函数的定义可求得 的值，又由 上单调递增确定 .
(2)结合第一问的结论，用基本不等式中的乘1法可以解决.
【小问1详解】
由幂函数的定义得： ， 或 ，
【详解】对于A选项，在 中，令 ，可得 ，解得 ，A选项正确；
对于B选项，由于函数 的定义域为R，在 中，令 ，可得 ，所以 ，则函数 为奇函数，B选项正确；
对于C选项，任取 ， ，且 ，则 ， ，
所以 ，所以 ，则函数 在R上为减函数，所以 在区间 上有最小值 ，C选项错误；
对于D选项，由 可得 ，又函数 在R上为减函数，则 ，整理得 ，解得 ，D选项错误.
【答案】（1） 或 ， 或
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式得集合A，令 中真数大于零，解得集合B；
（2）由条件得集合A，B的包含关系，求出参数值.
【小问1详解】
由 ，化简得 ，即 且 ，
解得 ，或 ，所以 或 .
由题意知，函数 定义域满足 ，
即 ，解得 ，或 ，
所以 或 .
【小问2详解】
若 是 成立的必要不充分条件，则有 B
而 ，所以 .
故选：D.
2.已知扇形的半径是2，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（）
A.1B.4C.2D.
【答案】B
【解析】
【分析】扇形的圆心角的弧度数为 ,半径为 ,弧长为 ,面积为 ,由面积公式和弧长公式可得到关于 和 的方程,进而得到答案.
【详解】由扇形的面积公式得: ,
因为扇形的半径长为 ,面积为 ，则
【小问2详解】
由（1）可得 ，且当 时， 取得最小值 ，且 .
故若关于x的方程 ，即 有2个不相等的实数根，
则 或 ，即 或 .
故实数m的取值范围为
21.某跨国公司决定将某种智能产品在中国市场投放，已知该产品年固定研发成本30万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为 万元， ．
当 时， 在 上单调递减，与题设矛盾，舍去；
当 时， 在 上单调递增，符合题意；
综上可知： .
【小问2详解】
当且仅当 且 时，即 时， 的最小值为8.
19.已知函数 .
（1）用函数单调性的定义证明 在区间 上单调递增；
（2）若对 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）证明见详解；
（2） .
名校联考联合体2023年春季高一入学考试
数学
时量：120分钟满分：150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据交集的定义和运算即可求解.
【详解】集合 ， ，
故选：AB．
11.关于函数 有下列结论，其中正确的是（）
A.其图象关于y轴对称
B. 的最小值是
C.当 时， 是增函数；当 时， 是减函数
D. 的增区间是 ，
【答案】ABD
【解析】
【分析】确定函数奇偶性从而判断A，由单调性求得最小值判断B，根据复合函数的单调性，结合偶函数的性质判断CD即可．
【详解】对于A，函数 定义域为 ，又满足 ，所以函数 的图象关于y轴对称，故A正确；
纵坐标不变，得到函数 的图象．
故选： ．
6.福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港.如图，是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数 ，据此可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）