高一数学下学期入学考试试题
福建省高一下学期入学考试数学试题(解析版)
高一数学试题一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 若是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是 αA. B.C.D.90α︒-90α︒+360α︒-180α︒+【答案】C 【解析】【详解】分析：由题意逐一考查所给选项即可求得最终结果. 详解：若是第一象限角，则：α位于第一象限， 90α︒-位于第二象限， 90α︒+位于第四象限， 360α︒-位于第三象限，180α︒+本题选择C 选项.点睛：本题主要考查象限角的概念，意在考查学生的转化能力和概念熟练程度. 2. 已知：，那么命题的一个必要非充分条件是（ ） P 20x x -<P A. B. 01x <<11x -<<C.D.1223x <<122x <<【答案】B 【解析】【分析】先解不等式求出，然后结合选项根据必要不充分条件的概念即可判断. 01x <<【详解】因为，所以，然后结合选项根据必要不充分条件的概念可判断， 20x x -<01x <<故选：B.3. 已知集合，则（ ） (){}{}ln 12,Z 3sin A x x B y y x =+<=∈=A B = A. B.C.D.{}0,1,2,3{}0,3{}3∅【答案】A 【解析】【分析】由对数的单调性求得集合A ，根据正弦函数性质求得集合，进而求其交集.B【详解】由，可得，则 ()ln 12x +<201e x <+<{}21e 1A xx =-<<-∣又， {}{}Z 3sin 3,2,1,0,1,2,3B y y x =∈==---所以. {}0,1,2,3A B = 故选：A4. 已知角的终边经过点，则（ ）θ(2,3)-sin θ=A. B.C. 2D.3-【答案】A 【解析】【分析】根据正弦函数的定义直接计算即可. 【详解】因为角的终边经过点，θ(2,3)-所以，r ==sin θ==故选：A5. 函数的零点所在区间为（ ） ()4ln 1f x x x=-+A. B. (0,1)(1,2)C. D.(2,3)(3,4)【答案】C 【解析】【分析】根据解析式判断函数在定义域上的连续性，再根据零点存在性定理判断零点所在区间即可. 【详解】由题设，是定义域在上连续不断的递增函数, ()f x (0,)+∞又，， (2)ln221ln210f =-+=-<()413ln31ln3033f =-+=->由零点存在定理可知,零点所在区间为. (2,3)故选:.C 6. 已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） (1)y f x =-[2,4]-()ln(3)y f x x =⋅+A.B.C. D.(3,3]-1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦[1,3]-(3,5]-【答案】A 【解析】【分析】根据复合函数定义域及对数函数定义域即可求.【详解】的定义域是，即，故，则的定义域为(1)y f x =-[2,4]-[]2,4x ∈-[]13,3x -∈-()y f x =，[]3,3-又的定义域为，故的定义域为. ln(3)y x =+()3,-+∞()ln(3)y f x x =⋅+[]()(]3,33,3,3 --+∞=-故选：A. 7. 已知，则（ ） 33111log ,,2223c a b ===A. B. a b c <<b c a <<C. D.c a b <<c b a <<【答案】D 【解析】【分析】根据对数计算，指数幂，并与常见的数值比较大小即可得解. 【详解】因为， 33111log ,,2223c a b ===所以，1231,a ==>11331021,2b -⎛⎫<==< ⎪⎝⎭，2231log log 10c =<=所以. c b a <<故选：D .8. 已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，设函数()f x R ()()2f x f x -=01x ≤≤()f x x =，则函数的零点个数为（ ）()()7log g x f x x =-()g x A. 6 B. 8C. 12D. 14【答案】C 【解析】【分析】根据函数奇偶性即可以得到函数为周期函数，把函数的零点个数转()()2f x f x -=()f x ()g x化成方程的根的个数，即在同一坐标系中和图像的交点个数. ()7log 0f x x -=()y f x =7log y x =【详解】依题意可知，函数是定义在上的偶函数，且 ()f x R ()()2f x f x -=所以，， ()()()()22f x f x f x f x =-=--=+即函数是以2为周期的偶函数；()f x 令，即，()()7log 0g x f x x =-=()7log f x x =在同一坐标系中分别作出和的图像如下图所示：()y f x =7log y x =由图像可知，两函数图像共有12个交点， 即函数共由12个零点. ()g x 故选：C.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 a b >lg lg a b >22a b >a b >C. 若，则 D. 若，则,a b c d >>22ac bd >22ac bc >a b >【答案】BD 【解析】【分析】根据对数函数、不等式的性质等知识确定正确答案.【详解】A 选项，若，但没有意义，所以A 选项错误.1,2,a b a b =-=->lg ,lg a b B 选项，由于，所以B 选项正确.22a b a b >⇔>C 选项，若，则， 2,1,1,2a b c d ====-,a b c d >>但，所以C 选项错误.22ac bd <D 选项，由于，则，所以，D 选项正确.22ac bc >20c >a b >故选：BD10. 给出以下四个结论，其中所有正确结论的序号是（ ） A. 命题“”的否定是“．”21,1x x ∀>>2001,1x x ∃≤≤B. 若函数，则4211x f x x x +⎛⎫+= ⎪⎝⎭(2)2f =C. “”是“函数在区间内有零点”的充要条件 ()()0f a f b <()f x (,)a b D. 函数（其中，且）的图象过定点1()log (21)1x a f x a x -=+--0a >1a ≠(1,0)【答案】BD 【解析】【分析】对A ，任意一种都符合的否定是存在一种不符合；对B ，化简得，即可2112f x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由整体法代入求值.对C ，结合零点存在定理，注意需在连续；对D ，结合指数函数、对数函数()f x (,)a b 的定点判断即可.【详解】对A ，命题“”的否定是“．”，A 错；21,1x x ∀>>2001,1x x ∃>≤对B ，，故，B 对； 2422211112x f x x x x x x x +⎛⎫⎛⎫+==+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2(2)222f =-=对C ，由零点存在定理得，函数需在内连续且，则在区间内有零点，()f x (,)a b ()()0f a f b <()f x (,)a b C 错；对D ，由，故过定点，D 对.(1)log 111010a f a =+-=+-=()f x (1,0)故选：BD11. 关于函数有如下四个命题，其中正确的是（ ） 1()sin sin f x x x=+A. 的图象关于y 轴对称B. 的图象关于原点对称 ()f x ()f xC. 的图象关于直线对称D. 的图象关于点(π，0)对称()f x π2x =()f x 【答案】BCD 【解析】【分析】求得的奇偶性判断选项AB ；利用与是否相等判断选项C ；利用()f x π()2f x -π()2f x +与是否相等判断选项D.(2π)f x +()f x --【详解】∵的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z}， 1()sin sin f x x x=+()()11()sin sin ()sin sin f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭∴为奇函数，其图象关于原点对称.故A 错误，B 正确；()f x ∵ ππ11()sin cos π22cos sin 2f x x x x x ⎛⎫-=-+=+⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭ππ11()sin cos π22cos sin 2f x x x x x ⎛⎫+=++=+⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭∴，∴的图象关于直线对称，故C 正确；ππ()()22f x f x -=+()f x π2x =又()()11(2π)sin 2πsin sin 2πsin f x x x x x+=++=++，()()11()sin sin sin sin f x x x x x-=-+=-+--∴，(2π)()f x f x +=--∴的图象关于点(π，0)对称，故D 正确． ()f x 故选：BCD ．12. 设函数（，是常数，）若在区间上具有()()cos f x x ωϕ=+ωϕ0ω>π02ϕ<<()f x π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调性，且，则下列说法正确的是（ ） π5π11π242424f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A. 的周期为 ()f x 2πB. 的单调递减区间为()f x πππ,π(Z)63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C. 的对称轴为 ()f x ππ(Z)122k x k =+∈D. 的图象可由的图象向左平移个单位得到 ()f x ()sin g x x ω=5π6【答案】B 【解析】【分析】由于函数（，是常数，）若在区间()()cos f x x ωϕ=+ωϕ0ω>π02ϕ<<()f x π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上具有单调性，可得，由可得函数的一个对称中心和相邻和04ω<≤π5π11π242424f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对称轴，即可得与的值，即可得函数的解析式，结合余弦型函数的周期性、单调性、对称性、ωφ()f x 图象变换逐项判断即可.【详解】解：函数，是常数，，， ()cos()(f x x ωϕω=+ϕ0ω>π0)2ϕ<<若在区间上具有单调性，则，． ()f x π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12π5ππ22424ω⋅≥+04ω∴<≤， π5π11π242424f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则的图象关于点对称，的图象关于直线对称，()f x π,012⎛⎫⎪⎝⎭()f x π3x =，①，且，． πππ122k ωϕ∴⨯+=+Z k ∈ππ3n ωϕ⨯+=Z n ∈两式相减，可得，故 或（舍去）． 4()2n k ω=--2ω=6ω=当时，则由①可得，．2ω=π3ϕ=()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭综上，．()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故它的周期为，故A 错误； 2ππ2=令，求得，可得函数的减区间为ππ2π22π3k x k ≤+≤+Z k ∈ππππ63k x k -≤≤+Z k ∈，故B 正确． πππ,π(Z)63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦令，求得，，故的对称轴为直线，，故C 错误；π2π3x k +=ππ26k x =-Z k ∈()f x ππ26k x =-Z k ∈由的图象向左平移个单位得到函数 的图象，故D 错()sin 2g x x =5π65ππsin 2cos 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+≠+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭误.故选：B ．三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填写至答题卷的相应位置.13. 已知半径为1的扇形，其弧长与面积的比值为___________． 【答案】2 【解析】【分析】根据扇形的弧长和面积的公式运算求解.【详解】设扇形的圆心角为，则其弧长，面积， ()0,2πα∈1l αα=⨯=11122S l α=⨯=故弧长与面积的比值. 212l Sαα==故答案为：2.14. 已知正数x ，y 满足，则上的最小值为______________． 21x y +=21y x y+【答案】 2+【解析】 【分析】变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，从而2111111y x x y x y y x ++=+--=11x y+得到的最小值. 21y x y+【详解】正数x ，y 满足，21x y +=故， 2111111yx x y x y yx ++=+--=其中， ()1111221233x y x y y y y x x x ⎛⎫+=++=+++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当，即时，等号成立，2x y y x=1,x y =-=故. 211112x y x y y+-≥+=+故答案为：2+15. 若，，且，则的最大值为______． απ0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()21sin sin sin cos cos αβααβ+=tan β【解析】【分析】由题意结合商数关系及平方关系可得，再利用基本不等式即可得出答案.2tan tan 2tan 1=+αβα【详解】解：由， ()21sin sin sin cos cos αβααβ+=得，2222sin cos sin cos tan tan 1sin 2sin cos 2tan 1αααααβαααα===+++因为，所以， π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()tan 0,α∈+∞则，2tan 1tan 12tan 12tan tan αβααα==≤=++当且仅当，即时，取等号， 12tan tanαα=tan α=所以. tan β. 16. 对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美()y f x =0x ()()000f x f x +-=()()00,x f x ()f x 点”．已知，则曲线的“优美点”个数为______． 21,0()2,0x x f x x x x x ⎧->⎪=⎨⎪--≤⎩()f x 【答案】5 【解析】【分析】由曲线与曲线交点个数即可得到曲线的“优美点”个数. ()f x ()f x --()f x 【详解】曲线的“优美点”个数即曲线与曲线交点个数.()f x ()f x ()f x --由，可得， 21,0()2,0x x f x xx x x ⎧->⎪=⎨⎪--≤⎩()()21,0()2,0x x x f x x x x ⎧--->⎪--=⎨⎪-----≤⎩即，则， 21,0()2,0x x f x x x x x ⎧-+<⎪-=⎨⎪-+≥⎩21,0()2,0x x f x xx x x ⎧-<⎪--=⎨⎪-≥⎩同一坐标系内作出（实线）与的图像（虚线）.()y f x =()y f x =--由图像可得两函数图像共有5个交点，则曲线的“优美点”个数为5 ()f x 故答案为：5四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 在①，②，③到这三个条件中任2111x A xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭1322A x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭{}22log (1)log 3A x x =+<选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题．设全集，__________，U =R ．{}220B x x x a a =++-<（1）若，求；3a =()()A B R RIðð（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． x A ∈x B ∈【答案】（1）或{3x x ≤-2}x ≥（2） [0,1]【解析】【分析】（1）化简集合，然后利用补集的定义计算出，，即可求解；,A B R A ðR B ð（2）由题意可得 ,接着分，，三种情况进行讨论即可 B A (1)a a -<--(1)a a -=--(1)a a ->--【小问1详解】若选①：， ()(){}{}212102101211x x A x x x x x x x x x --⎧⎫⎧⎫=<=<=-+<=-<<⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭，{}{}26032B x x x x x =+-<=-<<∴或，或，{R 1A x x =≤-ð}2x ≥{R 3B x x =≤-ð}2x ≥故或；()(){R R 3A B x x ⋂=≤-ðð}2x ≥若选②：， {}133131222222A x x x x x x ⎧⎫⎧⎫=-<=-<-<=-<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，{}{}26032B x x x x x =+-<=-<<∴或，或，{R 1A x x =≤-ð}2x ≥{R 3B x x =≤-ð}2x ≥故或；()(){R R 3A B x x ⋂=≤-ðð}2x ≥若选③：， {}{}{}22log (1)log 301312A x x x x x x =+<=<+<=-<<， {}{}26032B x x x x x =+-<=-<<∴或，或，{R 1A x x =≤-ð}2x ≥{R 3B x x =≤-ð}2x ≥故或；()(){R R 3A B x x ⋂=≤-ðð}2x ≥【小问2详解】由（1）知，{}{}2212,0{()[(1)]0}A x x B x x x a a x x a x a =-<<=++-<=++-<因为“”是“”的必要不充分条件，∴ ,x A ∈x B ∈B A （ⅰ）若，即，此时， (1)a a -<--12a >{(1)}B x a x a =-<<--所以且等号不同时取得，解得，故； 112a a -≤-⎧⎨-≤⎩1a ≤112a <≤（ⅱ）若，即，此时，符合题意； (1)a a -=--12a =B =∅（ⅲ）若，即，此时， (1)a a ->--12a <{(1)}B x a x a =--<<-等号不同时取得，解得故． 112a a -≤-⎧⎨-≤⎩0,a ≥102a ≤<综上所述，a 的取值范围是[0,1]18. 已知二次函数（a ，b ，c 为常数）2()f x ax bx c =++（1）若不等式的解集为且，求函数在上的最值； ()0f x ≤{}05x x x ≤≥或(1)4f =()f x [1,3]x ∈-（2）若b ，c 均为正数且函数至多一个零点，求的最小值． ()f x (1)f b【答案】（1）最小值为，最大值为6-254（2）2【解析】 【分析】（1）根据二次函数和对应的二次不等式的解集的对应关系即可求解；（2）根据二次不等式的恒成立确定，再由均值不等式即可求解.240∆=-≤b ac 【小问1详解】由题意， ()()()0015255051400f c a f a b c b f a b c c a ⎧===-⎧⎪=++=⎪⎪⇒=⎨⎨=++=⎪⎪=⎩⎪<⎩所以2()5f x x x =-+∵在上单增，在上单减 ()f x 51,2éö÷-ê÷êëø5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦当时，的最大值为， [1,3]x ∈-()f x 52524f ⎛⎫=⎪⎝⎭最小值为．(1)6f -=-【小问2详解】 由至多只有一个零点，(0)0,()f c f x =>则，240∆=-≤b ac 又可知，0b >0a >所以0b <≤则（当且仅当时取等号），(1)1112f a b c a c b b b +++==+≥+≥+=22a b c ==则的最小值为2. (1)f b19. 我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售.经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1350万元，每生产 （千台）电脑需要另投成本万元，且x ()T x 另外每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全2+100+1000,0<<40,()=10000601+-7450,40,ax x x T x x x x ≥⎧⎪⎨⎪⎩部售出.已知2021年共售出10000台平板电脑，企业获得年利润为1650万元.（1）求该企业获得年利润（万元）关于年产量 （千台）的函数关系式;()W x x （2）当年产量为多少千台时，该企业所获年利润最大?并求最大年利润.【答案】（1） 210+500-2350,0<<40,()=10000+6100,40.x x x W x x x x ---≥⎧⎪⎨⎪⎩（2）100千台，最大年利润为5 900万元.【解析】【分析】（1）由已知的条件知道该函数为一个分段函数，所以分两种情况把表达式分别求出来即可 （2）由（1）知当时，为二次函数，利用二次函数的性质求它在该区间上的最大值，当040x <<40x ≥时，利用基本不等式性质求最大值.【小问1详解】解：10 000台=10千台,则，根据题意得：(10)1002000T a =+0.610000100200013501650a ⨯---=，解得，=10a 当时，，040x <<22()0.610001350101001000105002350W x x x x x x =⨯----=-+-当时，40x ≥， 1000010000()0.61000135060174506100W x x x x x x=⨯---+=--+综上所述. 210+5002350,0<<40()=10000+6100,40x x x W x x x x ----≥⎧⎪⎨⎪⎩【小问2详解】当时，040x <<22()10500235010(25)3900W x x x x =-+-=--+当时， 取得最大值；25x =()W x max ()3900W x =当时，40x ≥， 10000()61006100900W x x x =--+≤-=当且仅当时，=100x max ()5900W x =因为，59003900>故当年产量为100千台时,该企业所获年利润最大,最大年利润为5 900万元.20. 已知函数的部分图象如图． ()()π=cos +>0,>0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（1）求的解析式及单调减区间；()f x （2）求函数在上的最大值和最小值． π=24y f x -⎛⎫ ⎪⎝⎭π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】（1），减区间为 π()cos(26f x x =-π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）函数在上的最大值为2，最小值为 y π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦1-【解析】 【分析】（1）利用已知条件求出函数的关系式，从而可求单调减区间；()f x （2）由（1）得函数，根据的范围，结合余弦函数性质得最值. 2π2cos(23y x =-x 【小问1详解】解：由图可知，且， 1A =ππ2π43124T ω=-=所以，2ω=所以，()cos(2)f x x ϕ=+将点代入解析式可得，得 π(,1)12πcos()16ϕ+=π2π,Z 6k k ϕ+=∈即，又，所以 π2π,Z 6k k ϕ=-+∈π2ϕ≤π6ϕ=-则 ()cos(2)6f x x π=-所以的单调减区间满足 ()f x π2π2π2π,Z 6k x k k ≤-≤+∈解得： π7πππ,Z 1212k x k k +≤≤+∈则的单调减区间为： ()f x π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【小问2详解】解：由（1）得： πππ2π2()2cos 2()2cos(2)4463y f x x x --⎡⎤==-=-⎢⎥⎣⎦因为，所以 π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2π2π2,33π3x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦故当时，；当时， =0x min 1y =-3x π=max 2y =所以函数在上的最大值为2，最小值为. y π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦1-21. 已知定义域为的函数是奇函数． R ()2313x x f x a +-=+（1）求实数的值；a （2）判断函数的单调性并证明；()f x （3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． t ∈R ()()2520f mt f m ++->m 【答案】（1）9a =（2）增函数；证明见解析（3）()3,-+∞【解析】【分析】（1）根据奇函数定义可构造方程求得的值；a （2）任取，整理得，由此可得结论； 21x x >()()()()()2121212331093131x x x x f x f x --=⋅>++（3）由奇偶性和单调性可化简不等式为，分离变量可得，根据能成立的思想252mt m +>-231m t >-+可知，由此可求得结果. 2min31m t ⎛⎫>- ⎪+⎝⎭【小问1详解】为定义在上的奇函数，，()f x R ()()f x f x ∴-=-即，，. 223113313393x x x x x x a a a --+---==-+⋅++239393x x x a a a +∴⋅+=+=+⋅9a ∴=【小问2详解】由（1）得：， ()23113193931x x x x f x +--==⋅++任取，则， 21x x >()()()()()21212121212331313119313193131x x x x x x x x f x f x -⎛⎫---=-=⋅ ⎪++++⎝⎭，，，，21330x x -> 2310x +>1310x +>()()210f x f x ∴->为定义在上的增函数.()f x \R 【小问3详解】不等式可化为， ()()2520f mt f m ++->()()()2522f mt f m f m +>--=-由（2）知：为上的增函数，，， ()f x R 252mt m ∴+>-231m t ∴>-+若存在，使得不等式成立，则； t ∈R ()()2520f mt f m ++->2min31m t ⎛⎫>- ⎪+⎝⎭，，，， 211t +≥ 2331t ∴≤+2min331t ⎛⎫∴-=- ⎪+⎝⎭3m ∴>-即实数的取值范围为.m ()3,-+∞22. 已知函数的定义域关于原点对称，且． 22(),()ln ,()2x x b c x f x g x g x b x b⋅+-==++(0)4f =（1）求b ，c 的值，判断函数的奇偶性并说明理由；()g x （2）若关于x 的方程有解，求实数m 的取值范围．2[()](1)()20f x m f x ---=【答案】（1）为奇函数2,10,()b c g x ==（2） 282,5m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】(1)根据奇函数的定义域的对称性即可确定参数，再根据奇函数的定义即可求解; (2)根据分离常数法和参编分离确定范围即可求解.【小问1详解】由题意，的定义域满足， 2()ln x g x x b -=+20x x b->+即的解集关于原点对称，(2)()0x x b -+>根据二次函数的性质可得与关于原点对称，故．2x =x b =-2b =∴， 222()ln ,()222x x x c g x f x x -⋅+==++∴， 2(0)43c f +==∴.10c =又定义域关于原点对称， ()g x , 222()ln ln ln ()222x x x g x g x x x x --+--===-=--+-+故()(),g x g x -=-为奇函数．()g x 【小问2详解】由（1）， 252233()2221222222x x x x x f x +++⎛⎫===+ ⎪+++⎝⎭因为∵，222x +>∴， 330222x <<+∴的值域为()f x (2,5)故关于x 的方程有解，2[()](1)()20f x m f x ---=即在上有解． 2[()]21()f x m f x -=+()(2,5)f x ∈令，()((2,5))t f x t =∈则， 22211t m t t t-=+=-+∵在上单调递增, 21m t t=-+(2,5)t ∈的值域为, 21m t t =-+222821,512,255⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即m 的值域为， 282,5⎛⎫ ⎪⎝⎭即实数m 的取值范围为．282,5⎛⎫ ⎪⎝⎭。
高一数学下学期开学考试试题含解析 9
A.只与圆 的半径有关
B.只与弦 的长度有关
C.既与圆 的半径有关，又与弦 的长度有关
D.与圆 的半径和弦 的长度均无关
【答案】B
【解析】
【分析】
过 作出弦 的垂直平分线，然后利用数量积模的运算，结合解直角三角形，求得 的值的表达式，由此确定正确选项.
【详解】过 作 交 于 ，图像如以下图所示.故 ，故只与弦 的长度有关.应选B.
【点睛】本小题主要考察指数式和对数式互化，考察指数函数的性质，考察比拟大小的方法，属于中档题.
和 的图像如下图，假设关于 的方程 和 的实数根的个数分别为 和 ，那么 〔 〕
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别求得 和 的实数根的个数，相加后得出正确选项.
【详解】根据函数的图像，由 ，得 或者 .当 时，由 的图像可知 有三个解，即 有三个根.当 时，由 的图像可知 有三个解，即 有三个根.故 有 个根，即 .由 ，结合 图像可知， 有三个零点 .当 时，由 图像知此时有 个零点；当 时，由 图知此时有 个零点；当 时，由 的图像知此时有 个零点.故 有 个根.故 ，所以此题选A.
【点睛】本小题主要考察函数的奇偶性，考察式子的变形，考察函数的最大值与最小值，属于根底题.
为正数，且 ，那么〔 〕
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将题目所给指数式转化为对数式的形式，求得 的表达式，进而求得 的表达式，由此比拟出三者的大小关系.
【详解】设 ，故 ，所以 ， ， ，由于 ， ，故 ，故 ； .故 ，故 .综上所述 ，应选D.
的图像，只要将 的图像上所有点〔 〕
高一新生入学考试数学试题及答案
高一新生入学考试数学试题及答案
一、选择题
1.若二次函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且经过点(-1, 4)，则a,
b, c的符号关系是：
A. a > 0, b < 0, c > 0
B. a > 0, b < 0, c < 0
C. a > 0, b > 0, c > 0
D. a > 0, b > 0, c < 0
解答：由题意可知，二次函数的图像开口向上，所以a > 0。
又因为经过点(-1, 4)，代入得4 = a(-1)^2 + b(-1) + c，化简得a - b + c = 4。
由于a > 0，所以a的系数为正，所以b的系数b为负。
而c则有可能是正数或负数，所以选项A和B均可以排除。
综上所述，答案为选项D。
二、填空题
1.解方程2x + 5 = 3 - x的解为x = ______。
解答：将方程化简得3x + 5 = 3，然后移项得3x = -2，最后除以3得x = -2/3。
所以方程的解为x = -2/3。
三、解答题
1.已知函数y = x^2 - 2x + 1。
求函数在x = 1处的切线方程。
解答：首先求得函数的导数为y' = 2x - 2。
然后代入x = 1得y' = 2(1) - 2 = 0。
所以函数在x = 1处的切线斜率为0。
由于切线经过点(1, 0)，所以切线方程为y - 0 = 0(x - 1)，即y = 0。
所以函数在x = 1处的切线方程为y = 0。
湖南省岳阳县第一中学2023-2024学年高一下学期入学考试数学试卷
x1
2
3
y 10 000 9 500 ?
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是（ ）
A．10 000 元
B．9 500 元
C．9 000 元
D．8 500 元
7．已知 f (x) 是定义域为 (, ) 的奇函数,满足f(1 x) f(1 x).若 f (1) 2 ，则
f (1) f (2) f (3) L f (50)
上的最小值是．
16．函数
y
1
1
x
,
xБайду номын сангаас
1
的图象与函数
y
2sin
x
2020
x
2022
的图象所有交点的
0, x 1
横坐标之和等于.
四、解答题 17．已知关于 x 的不等式－x2+ax+b>0.
(1)若该不等式的解集为（－4，2），求 a，b 的值；
(2)若 b=a+1，求此不等式的解集.
18．已知函数
A．2, 1,0,1 B．0,1, 2
C．2
D．2
2．“ log2 2x 3 1 ”是“ 4x 8 ”的 （ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．若 f x lg x2 2ax 1 a 在区间 ,1 上递减，则 a 的取值范围为（ ）
A．1, 2
(2)若 f 2x2 x f 2x2 k 0 恒成立，求实数 k 的取值范围．
20．世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合
动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这 3 类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自
陕西省西安市高一下学期开学考试数学试题(解析版)
一、单选题1．设集合或，，则集合（ ） {1M x x =≤}3x ≥{}2log 1N x x =≤M N ⋂=A ． B ．C ．D ．(],1-∞(]0,1[]1,2(],0-∞【答案】B【分析】利用对数函数性质化简集合，再结合交集的运算求解即可. N 【详解】由题知，， {}{}2log 102N x x x x =≤=<≤又或，{1M x x =≤}3x ≥则，即. {}01M N x x ⋂=<≤(]0,1x ∈故选：B2．把化为弧度为（ ） 50 A ． B ．C ．D ．50518π185π9000π【答案】B【分析】根据角度与弧度的转化公式求解.【详解】， 5505018018ππ=⨯=故选：B3．若，且，则是 sin 0α<tan 0α>αA ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】C【详解】，则的终边在三、四象限； 则的终边在三、一象限，sin 0α<αtan 0α>α，，同时满足，则的终边在三象限．sin 0α<tan 0α>α4．已知幂函数的图象经过点，则（ ）()f x x α=()2,4()3f -=A ． B ．3 C ． D ．93-9-【答案】D【分析】根据已知点求出的解析式，将代入即可()f x 3-【详解】将代入解析式得：，所以，，所以()2,424α=2α=()2f x x =()39f -=故选：D5．“”是“为锐角”的（ ） cos 0A >A A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】B【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为为锐角，所以，所以，所以“”是“为锐角”的必A 0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 0A >cos 0A >A 要条件；反之，当时，，但是不是锐角，所以“”是“为锐角”的非充分条3,22A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 0A >A cos 0A >A 件.故“”是“为锐角”必要不充分条件. cos 0A >A 故选：B.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，与角的余弦在各象限的正负，属于基础题. 6．下列函数中，在定义域内既是单调函数，又是奇函数的是（ ） A ． B ． 13y x =5x y =C ． D ．2log y x =1y x -=【答案】A【分析】根据解析式可直接判断出单调性和奇偶性.【详解】对于A ：为奇函数且在上单调递增，满足题意； 13y x =R 对于B ：为非奇非偶函数，不合题意； 5x y =对于C ：为非奇非偶函数，不合题意；2log y x =对于D ：在整个定义域内不具有单调性，不合题意. 1y x -=故选：A.7．为了得到函数的图像,可以将函数的图像2sin(2)3y x π=-2sin 2y x =A ．向右平移个单位长度 6πB ．向右平移个单位长度 3πC ．向左平移个单位长度 6πD ．向左平移个单位长度3π【答案】A【详解】试题分析：根据题意，令，解得，由图像平移知，需要将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像；故答案为A.【解析】函数图像平移法则的应用.8．设，，，则（ ） 0.1log 0.2a = 1.1log 0.2b =0.21.2c =A ． B ．C ．D ．b ac >>c b a >>c a b >>a c b >>【答案】C【分析】根据对数函数和指数函数的单调性结合中间量法即可得解. 【详解】因为，0.10.10.10log 1log 0.2log 0.11a =<=<=，1.1 1.1log 0.2log 10b ==<，0.201.2 1.21c =>=所以. c a b >>故选：C.9．已知点P (sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为（ ） A ． B ．3π-23πC ． D ． 23π-43π-【答案】D【分析】结合特殊角的三角函数值，求出点P 的坐标，进而根据三角函数的定义即可求出结果. 【详解】因为P (sin(－30°)，cos(－30°))，所以P ，所以θ是第二象限角，且1(2-，又θ∈[－2π，0)，所以.tan θ=43πθ=-故选：D.10．若，则等于（ ）2cos sin 0αα-=tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭A ． B ． C ．D ．13-133-3【答案】B【分析】求出的值，利用两角差的正切公式可求得结果.tan α【详解】因为，则，故，2cos sin 0αα-=sin 2cos αα=tan 2α=因此，. tan tan2114tan 41231tan tan 4παπαπα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+故选：B.11．已知函数，则下列判断错误的是（ ） ()2cos 41f x x =+A ．为偶函数 B ．的图象关于直线对称()f x ()f x 4x π=C ．的值域为D ．的图象关于点对称()f x []1,3-()f x ,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】分别研究三角函数的奇偶性、对称性、值域即可.【详解】对于A 项，因为定义域为R ，，所以为()f x ()2cos(4)12cos 41()f x x x f x -=-+=+=()f x 偶函数，故A 项正确；对于B 项，令，，解得：，，当时，，所以图象关于直线4πx k =Z k ∈π4k x =Z k ∈1k =π4x =()f x 对称，故B 项正确； π4x =对于C 项，因为，所以，即：值域为，故C 项正确； 1cos 41x -≤≤12cos 413x -≤+≤()f x [1,3]-对于D 项，令，，解得：，，当时，，所以π4π2x k =-+Z k ∈ππ84k x =-+Z k ∈0k =π8x =-，所以图象关于点对称，故D 项错误.π(18f -=()f x π(,1)8-故选：D.12．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图像是()()()f x x a x b =--a b >()2xg x a b =+-（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由二次函数图象可得，然后利用排除法结合指数函数的性质分析判断即01,12b a <<<<可【详解】由函数（其中）的图象可得，()()()f x x a x b =--a b >01,12b a <<<<所以，所以排除BC ，()00210g a b b =+-=-<因为，所以为增函数，所以排除A ，12a <<()2xg x a b =+-故选：D二、填空题13．函数的定义域为___________________tan 2y x =【答案】. 2,4k x x k Z ππ⎧⎫+≠∈⎨⎬⎩⎭【分析】由正切函数的定义域得出，解出不等式可得出所求函数的定tan y x =()22x k k Z ππ≠+∈义域．【详解】由于正切函数为，tan y x =,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭解不等式，得， ()22x k k Z ππ≠+∈()24k x k Z ππ+≠∈因此，函数的定义域为， tan 2y x =2,4k x x k Z ππ⎧⎫+≠∈⎨⎬⎩⎭故答案为． 2,4k x x k Z ππ⎧⎫+≠∈⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查正切型函数定义域的求解，解题时需结合正切函数的定义域列不等式进行计算，考查计算能力，属于中等题．14．已知函数f (x )＝ax －3＋2的图像恒过定点A ，则A 的坐标为___________． 【答案】(3，3)【分析】利用指数函数的性质a 0＝1，令 x －3＝0，即得解 【详解】由a 0＝1知，当x －3＝0，即x ＝3时，f （3）＝3， 即图像必过定点(3，3)． 故答案为：(3，3)15．已知一个扇形的面积为，半径为，则其圆心角为___________.3π2【答案】6π【解析】结合扇形的面积公式即可求出圆心角的大小. 【详解】解：设圆心角为，半径为，则，由题意知，，解得，αr 2r =2114322r παα==⋅6πα=故答案为:6π16．函数y ＝log ax (a ＞0且a ≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________． 【答案】2或12【分析】分a ＞1, 0＜a ＜1两种情况讨论,利用对数函数的单调性求解即可. 【详解】①当a ＞1时，y ＝log ax (a ＞0且a ≠1)在[2，4]上为增函数， 所以有log a 4－log a 2＝1，解得a ＝2；②当0＜a ＜1时，y ＝log ax (a ＞0且a ≠1)在[2，4]上为减函数， 所以有log a 2－log a 4＝1，解得a ＝, 12所以a ＝2或. 12故答案为：2或12【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性，分类讨论的思想，属于中档题.三、解答题17．计算下列各式（式中分母均是正数）：(1)； 211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2).()352log 24⨯【答案】(1)； 4a (2). 13【分析】（1）直接利用指数幂的运算法则计算化简得解； （2）直接利用对数的运算法则计算化简得解. 【详解】（1）原式.()()2111153262362634aba +-+-=⨯-÷-=⎡⎤⎣⎦（2）原式.3522222log 2log 435log 435log 235213=+=+=+=+⨯=18．求解下列问题：(1)已知，且，求的值；4cos 5α=-tan 0α>()()()π2sin πsin 2cos 2πcos αααα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭-+-(2)求值：. sin10sin 50sin 70︒︒︒【答案】(1)54(2) 18【分析】（1）根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可； （2）根据诱导公式，给合正弦的二倍角公式进行求解即可.【详解】（1）因为，且，则为第三象限角，4cos5α=-tan 0α>α故， 3sin 5α===-因此，. sin 3tan cos 4ααα==原式；2sin cos 2sin cos 1315tan cos cos 2cos 2424αααααααα++===+=+=+（2）1sin 80sin10cos10cos 20cos 4018sin10sin 50sin 70sin10cos 40cos 20.cos10cos108︒︒︒︒︒︒︒︒=︒︒︒===︒︒19．已知，是第四象限角，求，，的值.3sin 5α=-αsin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭tan 74πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【解析】由平方关系以及商数关系求出，，再由两角差的正弦公式，两角和的余弦公cos αtan α式，两角差的正切公式求解即可.【详解】由，是第四象限角，得，3sin 5α=-α4cos 5α===所以. 3sin 35tan 4cos 45ααα-===-于是有43sin sin cos cos sin 44455πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 44455πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 3tan tan1tan 144tan 7341tan 1tan tan 144παπααπαα----⎛⎫-====- ⎪+⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了两角差的正弦公式，两角和的余弦公式，两角差的正切公式，属于中档题.20．已知函数.()()111sin 222f x x x x =∈R (1)求的最小正周期； ()f x (2)求的单调递增区间； ()f x (3)若，求的值域. []0,x π∈()f x 【答案】(1)4π(2)， 54,433k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z (3) 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简函数可得，进而利用正弦型函数周期()1sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的计算公式求解即可；（2）由（1）知，利用正弦函数的单调性即可求解；()1sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（3）由，可得，从而整体思想可知当时，函数取得最[]0,x π∈15,2336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦1232x ππ+=()f x大值，最大值为；当时，函数取得最小值，最小值为，从而可13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭15236x ππ+=()f x ()12f π=得的值域.()f x【详解】（1）由题意，函数()111111sin cos sin sin cos sin 222323223f x x x x x x ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭πππ，根据正弦型函数周期的计算公式，可得函数的最小正周期为.()f x 24T ππω==（2）由函数，()1sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令，，解得，， 1222232k x k πππππ-+≤+≤+k ∈Z 54433k x k ππππ-+≤≤+k ∈Z 所以函数的单调递增区间为，. ()f x 54,433k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z （3）由函数，()1sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当，可得，[]0,x π∈15,2336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦结合正弦型函数的性质得：当时，即时，函数取得最大值，最大值为； 1232x ππ+=3x π=()f x 13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭当时，即时，函数取得最小值，最小值为.15236x ππ+=x π=()f x ()12f π=所以函数的值域为.()f x 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦21．已知函数（且），且函数的图象过点． ()log a f x x =0a >1a ≠(2,1)（1）求函数的解析式；()f x （2）若成立，求实数m 的取值范围．()21f m m -<【答案】（1）；（2）.()2log f x x =(1,0)(1,2)- 【分析】(1)将点代入函数解析式，求出，可得的解析式； ()3,1a ()f x (2)解对数不等式，结合函数的定义域，可求出实数的取值范围．x 【详解】(1)，解得，故函数的解析式()21,log 21a f =∴= 2a =()f x ()2log f x x =(2) 即，解得或()21f m m -<()2222log 1log 202m m m m -<=⇔<-<10m -<<12m <<故实数m 的取值范围是(1,0)(1,2)- 22．已知函数的部分图象如图所示：()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><(1)求的解析式；()f x (2)将函数的图象作怎样的变换可得到函数的图象？ sin y x =()f x 【答案】(1)；()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)答案见解析【分析】(1)由图象可得，，从而可得，所以，再代入2A =π22T =2ω=()()2sin 2f x x ϕ=+，结合，可得，即可得函数的解析式； π,212⎛⎫- ⎪⎝⎭π<ϕ23ϕπ=(2) 方法一：先作平移变化，再作伸缩变化； 方法二：先作伸缩变化，再作平移变化. 【详解】（1）解：由图可知，，， 2A =π5πππ212122T ω⎛⎫==--= ⎪⎝⎭解得，2ω=此时，因为函数图象过点，()()2sin 2f x x ϕ=+π,212⎛⎫- ⎪⎝⎭所以，ππ2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，‘ ππ2π,Z 62k k ϕ-+=+∈所以， 2π2π,Z 3k k ϕ=+∈因为，解得， π<ϕ23ϕπ=所以；()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）解：方法一：先把的图象向左平移个单位，然后把图象上所有点的横坐标缩小为sin y x =2π3原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点的纵坐标扩大为原来的2倍（横坐标不变），得12到的图象；()f x 方法二：先把的图象上所有点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），然后把图象上sin y x =12所有点向左平移个单位，再把图象上所有点的纵坐标扩大为原来的2倍（横坐标不变），得到π3第 11 页 共 11 页的图象.()f x。
四川省绵阳2022-2023学年高一下学期入学考试数学试题(含解析)
四川省绵阳2022-2023学年高一下学期入学考试数学试题一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.如果全集*{|5}U x N x =∈<，{1,2}M =，则U M =ðA.∅ B.{1,2}C.{3,4}D.{0,3,4}【正确答案】C【分析】首先确定集合U ，然后求解补集即可.【详解】由题意可得：{}1,2,3,4U =，结合补集的定义可知{}3,4U M =ð.本题选择C 选项.本题主要考查集合的表示方法，补集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.用二分法求函数()ln 26f x x x =+-在()23x ∈，内零点近似值的过程中，得到()()()20 2.50 2.750f f f <<>，，，则函数()f x 的零点落在区间（）A.()22.5，B.()2.52.75，C.()2.753，D.不能确定【正确答案】B【分析】根据零点存在性定理，计算端点处函数值，即可求解.【详解】由于ln ,26y x y x ==-均为定义域内的单调递增函数，故()ln 26f x x x =+-在()23x ∈，单调递增，()()()()2ln 220,3ln 30, 2.75ln 2.750.50, 2.5ln 2.510f f f f =-<=>=->=-<故存在0x ∈()2.52.75，，使得()00f x =，故选：B3.一条弧所对的圆心角是2rad ，它所对的弦长为2，则这条弧的长是（）A.1sin1B.1sin 2C.2sin1 D.2sin 2【正确答案】C【分析】画出图形解直角三角形即可．【详解】如图设2AOB ∠=，2AB =，过点O 作OC AB ⊥，C 为垂足，并延长OC 交弧AB 于D ，则1AOD BOD ∠=∠=，112AC AB ==．Rt AOC 中，1sin sin1AC r AO AOC ===∠，从而弧长为122sin1sin1r α=⨯= ，故选：C ．4.函数()2,0,ln ,0x a x f x x x ⎧⋅<=⎨>⎩（a ∈R ），则12e f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭﹐则a =（）A.4B.2C.12D.14【正确答案】A【分析】由题意先求出11e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再求1122e f f a -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解方程即可得出答案.【详解】因为0x >时，()ln f x x =，所以11ln 1e ef ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则()11122e f f f a -⎛⎫⎛⎫=-=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得.4a =故选：A .5.防疫部门对某地区乙型流感爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t （单位：天）与病情爆发系数()f t 之间，满足函数模型：()()0.222011et f t --=+，当()110f t =时，标志着流感疫情将要局部爆发，则此时t 约为（参考数据：ln 9 2.2≈）（）A.10B.20C.30D.40【正确答案】A【分析】根据()110f t =列式，并根据给出参考数据，结合指数函数的性质解相应的指数方程，即可得答案.【详解】因为()110f t =，()()0.222011et f t --=+，所以()0.222011e110t --+=，即()0.22201e 10t --+=，所以()0.2220e 9t --=，由于ln 9 2.2≈，故 2.2e 9≈，所以()0.2220 2.2e e t --≈，所以()0.2220 2.2t --≈，解得10t ≈.故选：A.6.已知1sin(),123πα+=则7cos()12απ+的值为（）A.13B.223C.13-D.-【正确答案】C【分析】由三角函数的诱导公式，化简得7cos(sin()1212ππαα+=-+，代入即可求解，得到答案.【详解】由三角函数的诱导公式，可得7cos()cos[()]sin(1212212ππππααα+=++=-+，又1sin(123πα+=，所以71cos(123πα+=-.故选：C.7.已知2log 3a =，131log 2b =，125c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a c b<< B.b<c<aC.c<a<bD.c b a<<【正确答案】D【分析】利用对数函数和指数函数的性质比较即可【详解】因为2221log 2log 3log 42=<<=，3133311log log log 2log 3122=<=<=，121215105525-<==<，所以c b a <<，故选：D.8.函数()(ln sin f x x x =⋅的图象大致形状为（）A.B.C.D.【正确答案】A【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用()0,x π∈上的函数值的正负即可判断；【详解】解：因为()(ln sin f x x x =⋅，定义域为R ，且()(()ln sin f x x x -=-+⋅-((()ln sin ln sin ln sin x x x x x f x ⎛⎫=--⋅=-⋅=⋅=所以()(ln sin f x x x =+⋅为偶函数，函数图象关于y 轴对称，故排除B 、D ；又当()0,x π∈时(]sin 0,1x ∈，()220,x π∈，()2211,1xπ+∈+1>，则1x +>，所以(ln 0x +>，所以()0f x >，即可排除C ；故选：A二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.下列函数中，在定义域内是奇函数的是（）A.2log (1)y x =+B.sin y x= C.2xy = D.3y x =【正确答案】BD【分析】根据奇函数的定义逐项分析判断.【详解】对A ：2log (1)y x =+的定义域为()1,-+∞，则2log (1)y x =+为非奇非偶函数，A 错误；对B ：sin y x =的定义域为R ，且()sin sin x x -=-，故sin y x =为奇函数，B 正确；对C ：1222xx x -=≠-，故2xy =不是奇函数，C 错误；对D ：3y x =的定义域为R ，且()33x x -=-，故3y x =为奇函数，D 正确.故选：BD.10.下列说法正确的有（）A.命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定为“x ∃∈R ，210x x ++≤”B.对于命题p ：“1x ∃≤，2320x x -+≥”则p ⌝为“1x ∀>，2320x x -+<”C.“a b <”是“22ac bc <”的必要不充分条件D.“2m <”是“1x m x+>对()0,1x ∈恒成立”的充分不必要条件【正确答案】ACD【分析】根据含有一个量词的命题的否定的规则判断A 、B ，根据充分条件、必要条件的定义判断C 、D.【详解】解：对于A ：命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定为“x ∃∈R ，210x x ++≤”，故A 正确；对于B ：命题p ：“1x ∃≤，2320x x -+≥”则p ⌝为“1x ∀≤，2320x x -+<”，故B 错误；对于C ：由a b <推不出22ac bc <，当0c =时22ac bc =，故充分性不成立，由22ac bc <，则20c >，所以a b <，故必要性成立，所以“a b <”是“22ac bc <”的必要不充分条件，故C 正确；对于D ：当()0,1x ∈时12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时取等号，因为()0,1x ∈，所以12x x +>，因为1x m x+>对()0,1x ∈恒成立，所以2m ≤，因为(),2-∞(],2-∞，所以“2m <”是“1x m x+>对()0,1x ∈恒成立”的充分不必要条件，故D 正确；故选：ACD11.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数()10x f x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数，称为狄利克雷函数，则关于()f x ，下列说法正确的是（）A.()f x 的值域为[]01，B.()f x 的定义域为RC.()()1x R ff x ∀∈=，D.任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立【正确答案】BCD【分析】根据分段函数的解析式和函数的性质逐一判断可得选项.【详解】因为函数()10x f x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数，所以()f x 的值城为{}01，，故A 不正确；因为函数()10x f x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数，所以()f x 的定义城为R ，故B 正确；因为(){}01x R f x ∀∈∈，，，所以()()1f f x =，故C 正确；对于任意一个非零有理数T ，若x 是有理数，则x +T 是有理数；若x 是无理数，则x +T 是无理数，根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T ，都有()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立，故D 正确，故选：BCD.12.已知函数()22log 2,02815,2x x f x x x x ⎧+<≤=⎨-+>⎩，若方程()f x k =有四个不同的根1x 、2x 、3x 、4x ，且1234x x x x <<<，则下列结论正确的是（）A.23k <≤B.122x x +≥C.()12348x x x x +=D.1223x x +>【正确答案】BCD【分析】作出函数()y f x =与y k =的图象，数形结合可判断A 选项；求出121x x =，212x <<，利用基本不等式可判断B 选项，利用双勾函数的单调性可判断D 选项；利用二次函数的对称性可求得34x x +的值，可判断C 选项的正误.【详解】在同一个坐标系内作出()22log 2,02815,2x x f x x x x ⎧+<≤=⎨-+>⎩和y k =的图象，如下图所示：要使方程()f x k =有四个不同的根，只需23k <<，故A 错误；对于B ，由图可知12012x x <<<<，由()()12f x f x =可得2122log 2log 2x x -+=+，所以，211x x =，即121x x =，所以，122222x x x x +=+≥当且仅当()222212x x x =<<时，即当2x =B 对；对于C ，由图可知，点()3,x k 与点()4,x k 关于直线4x =对称，则348x x +=，所以，()12348x x x x +=，故C 对；对于D ，由121=x x 得：()1222212122x x x x x =++<<，令()12g x x x=+，其中12x <<，任取m 、()1,2n ∈且m n <，则()()()()()2111222m n mn m n g m g n m n m n m n mn mn ---⎛⎫⎛⎫-=+-+=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为12m n <<<，则0m n -<，1mn >，故()()g m g n <，即函数()g x 在()1,2上单调递增，因为()21,2x ∈，则()()2221213g x x g x =+>=，故D 对.故选：BCD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题卡中的横线上．）13.幂函数()f x 的图像经过点(4,2)P ，则(9)f =_______.【正确答案】3【分析】设幂函数()f x x α=，由条件求α，再求()9f 的值.【详解】设幂函数()f x x α=，()f x 图像经过点(4,2)P ，42α∴=，12α∴=，()12f x x ∴=，()12993f ∴==.故3本题考查根据求幂函数的解析式和求值，意在考查基本公式，属于简单题型.14.计算7log 23log lg125lg87++的值为___________.【正确答案】132##6.5【分析】由对数的运算性质求解，【详解】原式323313log 3lg(1258)23222=+⨯+=++=，故13215.已知函数21()lg(1)f x x x =+-，若1()2f x f ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，则x 的取值范围是________．【正确答案】11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】根据函数解析式得出其定义域关于原点对称，并得到()()f x f x -=，即()f x 为偶函数，根据复合函数单调性与单调性加减的变化结合偶函数性质得出函数()f x 在()0,∞+上单调递增，()f x 在(),0∞-上单调递减，即可根据单调性结合偶函数性质解不等式得出答案.【详解】()21()lg 1f x x x=+-，定义域为0x ≠，()()()2211lg 1lg(1)f x x x f x x x⎡⎤-=-+-=+-=⎣⎦-，定义域关于原点对称，则()f x 为偶函数，当0x >时，21y x =+单调递增，lg y x =单调递增，则()2lg 1y x =+单调递增，1y x=-也单调递增，则()f x 在()0,∞+上单调递增，根据偶函数的性质得()f x 在(),0∞-上单调递减，当0x >时，()1122f x f f ⎛⎫⎛⎫≥-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据单调性得12x ≥，当0x <时，()12f x f ⎛⎫≥-⎪⎝⎭，根据单调性得12x ≤-，故答案为.11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭16.已知函数()225,1,1x ax x f x a x x⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩，在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是________．【正确答案】[]2,1--【分析】根据二次函数和反比例函数的单调性，结合分割点处函数值之间的关系，列出不等式，求解即可.【详解】因为函数()225,1,1x ax x f x a x x ⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩在R 上是减函数，根据题意：10125a a a a -≥⎧⎪->⎨⎪++≥-⎩，解得[]2,1a ∈--.故答案为.[]2,1--四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知全集U =R ，集合2{|40}A x x x =-<，{}|32B x m x m =≤≤-．（1）当3m =时，求()U A B ⋂ð；（2）如果A B A ⋃=，求实数m 的取值范围．【正确答案】（1）()U A B ⋂ð＝{x |x ＜3或x ≥4}（2）（﹣∞，2）【分析】(1)根据一元二次不等式的解法求出集合A ，根据不等式的性质求出集合B ，结合集合交并补的运算即可得出结果；(2)将A ∪B ＝A 转化为B ⊆A ，分类讨论B ＝∅和B ≠∅时的情况，列出对应的不等式(组)，解之即可.【小问1详解】A ＝{x |0＜x ＜4}，m ＝3时，B ＝{x |3≤x ≤7}.∴A ∩B ＝{x |3≤x ＜4}，且U ＝R .∴U ð（A ∩B ）＝{x |x ＜3或x ≥4}.【小问2详解】∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .①B ＝∅时，m ＞3m ﹣2，解得m ＜1②B ≠∅时，10324m m m ≥⎧⎪>⎨⎪-<⎩，解得1≤m ＜2.综上，实数m 的取值范围为（﹣∞，2）18.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()8,P m -，且3sin 5α=-.（1）求tan α的值；（2）求3π2cos cos()25πsin cos(π)2αααα⎛⎫++- ⎪⎝⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值【正确答案】（1）34（2）54【分析】（1）根据三角函数的定义可得6m =-，进而可求正切，（2）由诱导公式化简，代入即可求解.【小问1详解】由三角函数定义得3sin 5α==-，两边平方解得236m =，又3sin 05α=-<，故0m <，∴6m =-．即3tan 4y x α==．【小问2详解】3π2cos cos()2sin cos 2sin cos 25πcos cos 2cos sin cos(π)2ααααααααααα⎛⎫++- ⎪++⎝⎭==+⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，由（1）得3tan 4α=．原式2sin cos 12tan 52cos 24αααα++===19.在党的二十大胜利召开之际，某厂发行具有音频功能的《光辉历程》纪念册．生产该产品需要固定设备投资10万元，每生产x 万册纪念册，投人生产成本()C x 万元，且()236,06,12832100,6,1x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪+⎩每册纪念册售价30元，根据市场调查生产的纪念册能全部售出．（1）求利润()f x （万元）关于生产册数x （万册）的函数关系式；（2）问生产多少册纪念册时，利润()f x 最大？并求出最大值．【正确答案】（1）232410,06()128290,61x x x f x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪+⎩（2）生产7万册纪念册时，利润()f x 最大，最大值为60万元．【分析】（1）根据所给条件用总销售收减去所有成本可得利用函数；（2）根据利用函数，一段由二次函数性质得最大值，一段用基本不等式得最大值，再比较可得．【小问1详解】因为()236,06,12832100,6,1x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪+⎩所以232410,06()30()10128290,61x x x f x x C x x x x ⎧-+-<<⎪=--=⎨--+≥⎪+⎩【小问2详解】06x <<时，22()324103(4)38f x x x x =-+-=--+，4x =时，最大值()38f x =，6x ≥时，12864()2902[(1]922926011f x x x x x =--+=-+++≤-⨯+=++），当且仅当6411x x +=+，即7x =时等号成立．综上，生产7万册纪念册时，利润()f x 最大，最大值为60万元．20.已知函数1()22x xf x =+．（1）判定函数()f x 在[)0,∞+上的单调性并用定义证明；（2）若函数()421x x g x m =+⋅+在[]1,2-内有零点，求实数m 的取值范围．【正确答案】（1）增函数，证明见解析（2）17,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【分析】（1）增函数，利用单调性的定义证明即可；（2）由题意知得411222x x x x m +==+，转化为函数y m =-与122x x y =+在[]12-，上图象有交点，由（1）可知函数122x x y =+在[)0+∞，上为增函数，是R 上的偶函数，可得min ()(0)f x f =，max ()(2)f x f =可得答案.【小问1详解】()f x 为增函数，证明如下，证明：设1x ，2[0,)x ∈+∞，且12x x <，()()()1212111212111122222222x x x x x x x x f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1212122122x x x x ⎛⎫=-- ⎪⋅⎝⎭，∵12x x <，∴1222x x <，12122221x x x x +⋅=>，1211022x x ->⋅，∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，∴函数f (x )在[)0,∞+上为增函数；【小问2详解】由题意知，方程4210x xm -+⋅=，得411222x x x x m +==+，若方程4210x x m +⋅+=在[]12-，内有根，则函数y m =-与122x xy =+在[]12-，上图象有交点，由（1）可知，函数122x x y =+，在[)0+∞，上为增函数，又知函数122x x y =+是R 上的偶函数，则在[]12-，上min ()(0)2f x f ==，max 17()(2)4f x f ==，∴m 的取值范围为17,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．21.已知二次函数()f x 的图象过原点和点()1,3-，且满足()()11f x f x -+=--．（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()()2log 22a g x x x =-+（0a >，且1a ≠），若存在[]13,0x ∈-，使得对任意[]21,2x ∈，都有()()12f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】（1）2()2f x x x =--；（2）()0,1[2,)⋃+∞.【分析】（1）设函数()2f x ax bx =+，当满足()()11f x f x -+=--时，函数关于=1x -对称，再由函数过的点，代入，利用待定系数法可求得函数的解析式；（2）根据题意可知()()max max f x g x ≥，分别求两个函数的的最大值，求解不等式即得.【小问1详解】由题可设2()f x ax bx =+，()()11f x f x -+=--，所以()f x 的对称轴方程为12b x a =-=-，又函数的图象经过点()1,3-，所以+3a b =-，两式联立，解得1a =-，2b =-，所以2()2f x x x =--；【小问2详解】由题意可知max max ()()f x g x ≥，因为2()2f x x x =--，[]3,0x ∈-，所以()f x 在(3,1)--单调递增，(1,0)-单调递减，当=1x -时，max ()1f x =，∵222y x x -=+在[]1,2上单调递增，当01a <<时，log a y x =单调递减，∴函数()()2log 22a g x x x =-+在[]1,2上单调递减，∴()max 0g x =，适合题意；当1a >时，log a y x =单调递增，∴函数()()2log 22a g x x x =-+在[]1,2上单调递增，∴()()2max log 2222log 2a a g x =-⨯+=，则log 21log a a a ≤=，解得2a ≥；综上所述，实数a 的取值范围为()0,1[2,)⋃+∞.22.已知函数21()log 1ax f x x +=-，21()log x g x x-=．（1）若()f x 为奇函数，求实数a 的值；（2）若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()()()h x f x g x =+在区间[]1,3t t ++上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．【正确答案】（1）1（2）221a ≥【分析】（1）由()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，即可求出实数a 的值；（2）求出()()()h x f x g x =+在区间[]1,3t t ++的单调性，得到函数()h x 的最大值和最小值的差，由题意转化为一元二次不等式恒成立问题后求解.【小问1详解】∵21()log 1ax f x x +=-是奇函数，()()f x f x ∴-=-，∴2211log log 11ax ax x x -+=----，即2211log log 11ax x x ax --=++，即1111ax x x ax --=++，∴1a =．【小问2详解】222111()()()log log log 1ax x ax h x f x g x x x x+-+=+=+=-，1a xμ=+在区间[1,3]t t ++上单调递减，2()log x ϕμ=为增函数，所以函数21()log h x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间[1,3]t t ++上单调递减，由题意得(1)(3)1h t h t +-+≤即2211log log 113a a t t ⎛⎫⎛⎫+-+≤ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即11213a a t t ⎛⎫+≤+ ⎪++⎝⎭，即2(41)310at a t a +++-≥，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．令2(41)31y at a t a =+++-，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．∵0a >，∴4102a a+-<．∴函数2(41)31y at a t a =+++-在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，当12t =时，y 有最小值211042a -≥，∴实数a 的取值范围是221a ≥．。
高一数学下学期开学考试试题含解析
卜人入州八九几市潮王学校HY二零二零—二零二壹高一下学期开学考试数学试题一、选择题〔本大题一一共12小题，一共分〕，，那么以下关系正确的选项是A. B. C. D.与没有公一共元素【答案】B【解析】【分析】判断两个集合的元素的特征，即可推出结果．【详解】5，，，所以．应选：B．【点睛】此题考察集合的相等的条件的应用，集合的运算的关系，考察计算才能.，那么满足的的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可．【详解】函数，的图象如图：满足，可得：或者，解得．应选：D．【点睛】此题考察分段函数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，考察计算才能．，那么是()A.奇函数，且在〔0,1〕上是增函数B.奇函数，且在〔0,1〕上是减函数C.偶函数，且在〔0,1〕上是增函数D.偶函数，且在〔0,1〕上是减函数【答案】A【解析】试题分析：由题意得，函数的定义域为，解得，又，所以函数的奇函数，由，令，又由，那么，即，所以函数为单调递增函数，根据复合函数的单调性可知函数在上增函数，应选A.考点：函数的单调性与奇偶性的应用.【方法点晴】此题主要考察了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性的断定、函数的单调性的断定与应用、复合函数的单调性的断定等知识点的综合考察，着重考察了学生分析问题和解答问题的才能，以及推理与运算才能，此题的解答中确定函数的定义域是解答的一个易错点，属于根底题.4.，在单位圆中角的正弦线、余弦线、正切线的长度分别，那么它们的大小关系是A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，AT>MP>OM，即c>a>b.5.，，假设与的夹角为钝角，那么的取值范围为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】可求出，根据与的夹角为钝角即可得出，且不平行，从而得出，解出的范围即可．【详解】；的夹角为钝角；，且不平行；；解得，且；的取值范围为：．应选：B．【点睛】考察向量坐标的数量积运算，向量数量积的计算公式，向量平行时的坐标关系．，那么在上的零点的个数为〔〕A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】试题分析：由以下列图可得在上的零点的个数为，应选C.考点：函数的零点.y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：〔1〕由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；〔2〕由函数的单调性，判断图象的变化趋势；〔3〕由函数的奇偶性，判断图象的对称性；〔4〕由函数的周期性，判断图象的循环往复．8.是定义域为的奇函数,满足.假设，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考察求值问题，常利用奇偶性及周期性进展变换，将所求函数值的自变量转化到解析式的函数定义域内求解．，，，，假设且，那么四边形的面积为A.15 B.16 C.17 D.18【答案】B【解析】【分析】可求出，，根据且即可建立关于x，y的方程组，解出x，y，从而可求出的值，进而得出四边形ABCD的面积．【详解】，，；，且；；解得；，或者；．应选：B．【点睛】考察向量坐标的加法和数量积的运算，向量平行时的坐标关系，向量垂直的充要条件．，，，那么的值等于〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由,那么,又，,解得,应选B.考点：1、同角三角函数之间的关系；2、特殊角的三角函数.的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到，且，那么的最大值为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律得到函数g(x)的解析式，再由正弦函数的图象的特征即函数的值域，正弦函数图像的整体性，得出结论．【详解】依题意得g(x)=sin2+2=sin+2,假设g(x1)·g(x2)=9,那么g(x1)=g(x2)=3,那么g〔x1〕=g〔x2〕=3，所以sin=sin=1.因为x1,x2∈[-2π,2π],所以2x1+,2x2+,设2x1++2kπ,2x2++2nπ,k,n∈Z,那么当2x1+=-,2x2+时,|x1-x2|获得最大值3π.应选：C．【点睛】此题主要考察函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，正弦函数的图象的特征，属于中档题．在进展函数伸缩平移时把两个函数化为同名函数是解题的关键；函数图像平移满足左加右减的原那么，这一原那么只针对x本身来说，需要将其系数提出来，再进展加减.12.如图，在中，设，的中点为的中点为的中点恰为，那么等于A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量的三角形法那么以及向量中点关系，结合向量的根本定理可表示出．【详解】由题意可得，，，应选：C．【点睛】此题考察平面向量根本定理，表示出是解决问题的关键，属中档题.二、填空题〔本大题一一共4小题，一共分〕的定义域为______．【答案】或者，【解析】【分析】由，切化弦得，即或者，然后解出答案．【详解】因为所以等价于或者所以或者，故答案为：或者，．【点睛】此题考察三角函数的定义域及其求法，考察象限角与轴线角的三角函数值的符号，是根底题．14.，向量，，假设，那么角的值是______．【答案】【解析】【分析】根据平面向量的数量积与三角恒等变换，即可求出C的值．【详解】向量，，那么，又，所以，即，所以；又，所以，所以，解得．故答案为：．【点睛】此题考察了平面向量的数量积与三角恒等变换的应用问题，是根底题．15.是定义在内的偶函数，且在上是增函数，设，，，那么的小关系是______．【答案】【解析】【分析】根据题意，分析可得在上为减函数，进而可得，，，据此分析可得答案．【详解】根据题意，是定义在内的偶函数，且在上是增函数，那么在上为减函数，那么，，，且有，那么有；故答案为：．【点睛】此题考察函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数的性质，属于根底题．16.给定一组函数解析式：；；；：；；及如下列图的一组函数图象，请按照图象顺序将7个函数解析式依次排序______．【答案】【解析】【分析】根据幂函数的定义域，奇偶性和单调性分别进展判断即可．【详解】：的定义域为，当时，对应第6个图象；是偶函数，图象关于y轴对称，当时为增函数，且当时，对应第4个图象；的定义域为，在上为减函数，对应第3个图象；的定义域为是偶函数，在上为减函数，对应第2个图象：的定义域为，在上是增函数，且当时，，对应第7个图象；的定义域为是奇函数，在是减函数，对应第1个图象；是奇函数的应用为R，那么上是增函数，对应第5个图象故7个函数解析式依次排序，故答案为：【点睛】此题主要考察幂函数图象的判断，结合函数的定义域奇偶性，单调性分别进展判断是解决此题的关键．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共分〕，集合，，假设，务实数的取值集合．【答案】或者.【解析】【分析】对集合M进展讨论，然后根据条件，即可务实数a的取值范围．【详解】当，即，时，，满足条件，当，即时，或者，假设，那么或者，即或者，此时，综上：a的取值范围是或者【点睛】此题主要考察集合关系的应用，比较根底要注意对集合M进展分类讨论．且．当时，函数恒有意义，务实数的取值范围；是否存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，并且最大值为1？假设存在，试求出的值；假设不存在，请说明理由．【答案】〔1〕设是减函数，又时，有意义且的取值范围是〔2〕假设存在实数,满足题设条件，在区间上单调递减函数，且是减函数，由即但这样的实数不存在【解析】试题分析：〔1〕根据对数函数的定义，可知且，时，显然符合，时，由别离参数得，右边函数在上单调递减，故，故；〔2〕假设存在符合题设条件的实数，根据复合函数单调性可知，由〔1〕知，由的最大值为，与不符，故不存在.试题解析：〔1〕当时，由函数恒有定义知恒成立，即，∴，又且，∴实数的取值范围为；〔2〕假设存在符合题设条件的实数，那么函数在区间上为减函数，且是减函数，∴，又在上恒为正，那么，故，由的最大值为，与不符，故不存在符合题设条件的实数．考点：对数函数定义域与单调性.19.如图，在中，，，为线段的垂直平分线，与交与点为上异于的任意一点.求的值；判断的值是否为一个常数，并说明理由．【答案】14；是.【解析】【分析】法一：由题意及图形，可把向量用两个向量的表示出来，再利用数量积的公式求出数量积；将向量用与表示出来，再由向量的数量积公式求数量积，根据其值的情况确定是否是一个常数；法二：由题意可以以BC所在直线为x轴，DE所在直线为y轴建立坐标系，得出各点的坐标，由向量坐标的定义式求出的坐标表示，由向量的数量积公式求数量积；设E点坐标为，表示出向量的坐标再由向量的数量积坐标表示公式求数量积即可.【详解】法1：由可得，，,的值是一个常数为线段BC的垂直平分线，L与BC交与点D，E为L上异于D的任意一点，，故：解法2：以D点为原点，BC所在直线为x轴，L所在直线为y轴建立直角坐标系，可求，此时，，设E点坐标为，，常数．【点睛】此题考察向量在几何中的应用，此题采用了二种解法，一是基向量法，一是向量的坐标表示，解题的关键是建立坐标系与设定其向量.图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象．求函数的解析式；当时，方程有唯一实数根，求的取值范围．【答案】；，．【解析】【分析】根据函数的图象变换规律，求得的解析式．由题意可得当时，函数的图象和直线只有一个交点，数形结合可得m的范围．【详解】将的图象向左平移个单位长度得到的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得的图象．，，，当时，方程有唯一实数根，函数的图象和直线只有一个交点，如下列图：故方程有唯一实数根的m的取值范围为，．【点睛】此题主要考察函数的图象变换规律，正弦函数的图象，方程根的存在性以及个数判断，属于中档题．，其图象与轴相邻的两个交点的间隔为．求函数的解析式；2假设将的图象向左平移个长度单位得到函数的图象恰好经过点，求当获得最小值时，在上的单调递增区间．【答案】〔1〕；〔2〕，【解析】【分析】利用两角差的正弦公式、二倍角及辅助角公式将化简，根据正弦函数性质，求得的值，求得的解析式；2利用三角恒等变换规律，求得m的值，求得的解析式，根据正弦函数图象及性质求得函数在上的单调区间．【详解】，，，，由函数的周期，，，，2将的图象向左平移个长度单位，，函数经过，，即，，，，，当，m取最小值，此时最小值为，，令，那么，当，即时，函数单调递增，当，即时，单调递增；在上的单调递增区间，【点睛】此题考察三角恒等变换公式，正弦函数图象及性质，三角函数图象变换规律，考察转化思想，属于中档题．=)且=.(1)求的值.(2)假设函数=有零点,务实数的取值范围.(3)当时,恒成立,务实数的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕；〔3〕.【解析】试题分析：〔1〕由函数的解析式以及，求得的值；〔2〕由题意可得，函数的图象和直线有交点，那么有，即可求得的取值范围；〔3〕由题意可得当恒成立，令，那么，且，利用单调性求得，从而求得实数的取值范围.试题解析：(1)对于函数=,由,∴.(2)==.假设函数===有零点,那么函数的图象和直线有交点,∴,∴.(3)∵当恒成立,即恒成立,令,那么,且==,∵=在上单调递减,∴=,∴.点睛：此题主要考察了指数函数的性质以及换元法的运用.解答中涉及到不等式的恒成立问题的求解，不等式的性质的应用，解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键，试题综合性强，属于中档试题.。
2024年秋季高一新生入学分班考试数学模拟卷-解析版
2024年秋季高一新生入学分班考试数学模拟卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列计算过程正确的是（）A ．()2211a a +=+B ．()21x x x x +÷=+C=D ．()()22444a b a b a b -+=-2．如图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速（单位：千米/小时）情况，则下列关于车速描述错误的是（）A ．平均数是23B ．中位数是25C ．众数是30D ．方差是129【答案】D 【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的计算公式和定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．【详解】A 、这组数据的平均数是（10×3+20×2+30×4+40×1）÷（3+2+4+1）=23，故本选项正确；B 、共有10辆车，则中位数是第5和6个数的平均数，则中位数是（20+30）÷2=25，故本3．一副三角板如图所示摆放，若直线a b ，则1∠的度数为（）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒【答案】B 【分析】根据平行公理及平行线的性质即可得答案．【详解】过点B 作MN a ∥，∵a b ，∴MN a b ∥∥，∴1NBA ∠=∠，NBE CEB ∠=∠，∵BEC 是等腰直角三角形，∴45BEC ∠=︒，∴45NBE ∠=︒，∵ABF △直角三角形，60ABF ∠=︒，∴14560ABF ABN NBE ∠=∠+∠=∠+︒=︒，∴115∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，平行公理．4．下图是甲乙丙三位同学在一次长跑练习中所用时间与路程之间的函数图像，其中最先到达终点和平均速度最快的分别是（）A ．甲和乙B ．甲和丙C ．丙和甲D ．丙和乙【答案】B 【分析】直接观察图像即可判断谁先到达终点，直线倾斜度越大即直线越陡，则速度越快.【详解】观察图像可知甲最先到达终点，丙最后到达终点，表示乙的直线倾斜度最小，表示丙的直线倾斜度最大，故丙的速度最快.故选B.【点睛】本题主要考查了根据一次函数图像解决实际问题，在路程与时间的关系图中，比例系数k 表示速度，k 越大，直线越陡，则表示速度越快，掌握以上知识是解题的关键.5．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，连接AC 、BD ，CE 平分ACD ∠交BD 于点E ，则DE 长（）A ．12B ．12C 1D ．12【答案】C四边形ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，CE 平分ACD ∠交BD EO EF ∴=，正方形ABCD 的边长为2AC ∴=，1222CO AC ∴==，∵22,CF CE EF CO =-22CF CO ∴==，1EF DF DC CF ∴==-=222DE EF DF ∴=+=故选：C ．6．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与轴交于点C ，且OA OC =，M是抛物线的顶点，三角形AMB 的面积等于1，则以下结论：①2404b ac a-<；②10ac b -+=；③()3228b a -=；④c OA OB a ⋅=-，其中正确的结论是（）A．②④B．①②④C．①③④D．①②③④7．如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm，当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是（）A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm【答案】A=，O离地面的距离为h，【分析】本题考查相似的性质和判定，设长边OA a=，短边OB b由相似的性质得到OA、OB和OH之间的关系并求解，即可解题．=，O离地面的距离为h，【详解】解：设长边OA a=，短边OB b根据相似得：8．已知函数2(0)(0)x x y x x ⎧≤=⎨>⎩，若,a x b m y n ≤≤≤≤则下列说法正确的是（）A ．当1n m -=时，b a -有最小值B ．当1n m -=时，b a -无最大值C ．当1b a -=时，n m -有最小值D ．当1b a -=时，n m -有最大值由图可知：当0x ≤时，y 随x 的增大而减小，当当0a b ≤≤时，22,m b n a ==，当1n m -=时，即：221a b -=，∴()()1a b a b -+=，∴1b a a b-=-+，当a b +的值越小，小值，当0a b <≤时，,m a n b ==，当1n m -=时，1b a -=，当0a b <<时，0m =，1n m -=时，1n =，当1a =-，综上：当1n m -=时，b a -有最大值，无最小值，故选项A ，B 错误；当0a b ≤≤时，22,m b n a ==，当1b a -=时，即：()()()22n m a b a b a b a b -=-=+-=-+，∴当a b +越小时，n m -的值越大，即n m -没有最大值，当0a b <≤时，,m a n b ==，当1b a -=时，1-=-=n m b a ；当0a b <<时，0m =，当1b a -=时，x a =和x b =的函数值相同时，n m -的值最小，综上：当1b a -=，n m -有最小值，无最大值；故选项C 正确，D 错误．故选C ．9．在同一坐标系中，若直线2y x =-+与直线4y kx =-的交点在第一象限，则下列关于k 的判断正确的是（）A ．10k -<<B ．12k -<<C ．0k >D ．2k >故选：D ．10．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB AD =，对角线AC 、BD 相交于点E ，GH 是直径，GH AC ⊥于点F ,AF AB =．若AE a =，则BC CD ⋅的值是（）A ．26a B ．29a C ．212a D ．218a二、填空题11．2023年10月，“中国空间站”入选了2023年全球十大工程成就．空间站离地球的距离约为400000米，数据400000用科学记数法可表示为．12．如图，把一个转盘分成四等份，依次标上数字1，2，3，4，若连续自由转动转盘两次，指针指向的数字分别记作,a b ，把,a b 作为点A 的横、纵坐标．则点(),A a b 在函数2y x =的图象上的概率为．由图可知，连续自由转动转盘两次，指针指向的数字的所有等可能的结果共有使得点(),A a b 在函数2y x =的图象上的结果有2则点(),A a b 在函数2y x =的图象上的概率为P =故答案为：18．【点睛】本题考查了一次函数的应用、利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．13．如果2310x x -+=，则2212x x +-的值是【答案】5【分析】将二次根式的被开方数和一元二次方程同时进行化简，然后再将二次根式进行化简.【详解】解：方程x 2-3x+1=0中，当x=0时，方程左边为将方程两边同除以x ，则有：x-3+1x =0，即13x x+=，∴原式=22211244x x x x ⎛⎫++-=+- ⎪⎝⎭=234-故答案为：5．14．如图，在菱形纸片ABCD 中，1AB =，=60B ∠︒，将菱形纸片沿折痕EF 翻折，使点D 落在AB 的中点G 处，则DE 的长为．G 是AB 中点，12AG ∴=， 四边形ABCD 是菱形，AB 1AD AB ∴==，1AE x ∴=-，∵=60B ∠︒120BAD ∴∠=︒，∴=60MAE ∠︒9030MEA MAE ∠=︒-∠=︒ ，三、解答题15．如图，ABC 内接于O ，AB AC =，ADC △与ABC 关于直线AC 对称，AD 交O 于点E ．(1)求证：CD 是O 的切线．(2)连接CE ，若1cos 3D =，6AB =，求CE 的长．【答案】(1)证明见解析(2)4【分析】（1）如图所示，连接OC ，连接AO 并延长交BC 于F ，根据等边对等角得到A ABC CB =∠∠，再证明AF BC ⊥，得到90ACF CAF ∠+∠=︒，由OA OC =，得到OAC OCA ∠=∠，由轴对称的性质可得ACB ACD ∠=∠，即可证明90ACD OCA ∠+∠=︒，从而证明CD 是O 的切线；（2）由轴对称的性质得B D ∠=∠，CD BC =，再由圆内接四边形对角互补推出，CED D ∠=∠，得到CE CD BC ==，解Rt ABF ，求出2BF =，则24BC BF ==，即可得到4CE BF ==．（2）解：由轴对称的性质得B D ∠=∠，CD ∵四边形ABCE 是圆内接四边形，∴180B AEC AEC CED +=︒=+∠∠∠∠，∴CED D ∠=∠，∴CE CD BC ==，∵1cos 3D =，∴1cos cos 3B D ==，在Rt ABF 中，cos 2BF AB B =⋅=，∴24BC BF ==，∴4CE BF ==．【点睛】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质与判定，锐角三角函数，轴对称的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．16．李丽大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理品牌服装的销售．已知该品牌服装进价每件40元，日销售y （件）与销售价x （元/件）之间的关系如图所示（实线），每天付员工的工资每人82元，每天应支付其他费用106元．(1)直接写出日销售y （件）与销售价x （元/件）之间的函数关系式；(2)当某天的销售价为48元/件时，收支恰好平衡（收入=支出），求该店员工人数；(3)若该店只有2名员工，则每天能获得的最大利润是多少元?此时，每件服装的价格应定为多少元?【答案】(1)21404058825871x x y x x -+≤≤⎧=⎨-+≤≤⎩（）（）；(2)3人．(3)每天能获得的最大利润是180元，此时，每件服装的价格应定为55元．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据收入等于支出，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案；（3）分两种情况解答：①当4058x ≤<时；②当5871x ≤≤时，依据：总利润=单件利润×销售量-工人工资及其他费用列出函数解析式，求解即可．【详解】（1）解：（1）当4058x ≤<时，设y 与x 的函数解析式为11y k x b =+，由图象可得：111160402458k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：112140k b =-⎧⎨=⎩．∴2140y x =-+；当5871x ≤≤时，设y 与x 的函数解析式为22y k x b =+，由图象得：222224581171k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：22182k b =-⎧⎨=⎩．∴82y x =-+．综上所述：y =2140(4058)82(5871)x x x x -+≤≤⎧⎨-+≤⎩＜．（2）设人数为a ，当48x =时，24814044y =-⨯+=，则(4840)4410682a -⨯=+，解得：3a =．答：该店员工人数为3．（3）设每件服装的价格为x 元时，每天获得的利润为w 元．当4058x ≤<时(40)(2140)822106w x x =--+-⨯-222205870x x =-+-22(55)180x =--+当55x =时，w 最大值180=．当5871x ≤≤时(40)(82)822106w x x =--+-⨯-21223550x x =-+-2(61)171x =--+当61x =时，w 最大值＝171．∵180171>∴w 最大值180=答：每天能获得的最大利润是180元，此时，每件服装的价格应定为55元．【点睛】本题考查了二次函数的应用与一次函数和一元一次方程的应用能力，理解题意找到符合题意得相等关系函数解析式是解题的关键．17．已知二次函数243y ax ax a =-+（0a ＞），记该函数在m x n ≤≤上的最大值为M ，最小值为N ．已知3M N -=．(1)当04x ≤≤时，求a 的值．(2)当12a =，1n m =+时，求m 的值．(3)已知2m t =+，21n t =+（t 为整数），若M N为整数，求a 的值．18．【问题背景】如图1，在矩形ABCD 中，点M ，N 分别在边BC ，AD 上，且1BM MC m =，连接BN ，点P 在BN 上，连接PM 并延长至点Q ，使1PM MQ m=，连接CQ ．【尝试初探】求证：CQ BN ∥；【深入探究】若AN BM AB ==，2m =，点P 为BN 中点，连接NC ，NQ ，求证：NC NQ =；【拓展延伸】如图2，在正方形ABCD 中，点P 为对角线BD 上一点，连接PC 并延长至点Q ，使1(1)PC n QC n =>，连接DQ ，若22222(1)n BP DQ n AB +=+，求BP BD 的值（用含n 的代数式表示）（3）过Q 作QM BD 交BC 的延长线于在正方形ABCD 中，QM BD ，∴~ CBP CMQ ，45∠=∠=︒DBC CMQ 1BP BC PC19．如图①，线段AB ，CD 交于点O ，连接AC 和BD ，若A ∠与B ∠，C ∠与D ∠中有一组内错角成两倍关系，则称AOC 与BOD 为青蓝三角形，其中成两倍关系的内错角中，较大的角称为青蓝角．(1)如图②，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，已知AB BD ⊥，COD △为等边三角形．求证：AOB 和COD △为青蓝三角形．(2)如图③，已知边长为2的正方形ABCD ，点P 为边CD 上一动点（不与点C ，D 重合），连接AP 和BP ，对角线AC 和BP 交于点O ，当AOP 和BOC 为青蓝三角形时，求DAP ∠的正切值．(3)如图④，四边形ABCD 内接于O ，BCP 和ADP △是青蓝三角形，且ADP Ð为青蓝角，延长AD ，BC 交于点E ．①若8AB =，5CD =，求O 的半径；②记BCD △的面积为1S ，ABE 的面积为2S ，12S y S =，cos E x =，当3BE BC =时，求y 关于x 的函数表达式．则PD PH =，设PD PH m ==，则 45DCA ∠=︒，PH ∴PHC V 是等腰直角三角形，∴2PC PH =，∴22m m -=，解得()221m =-，∴tan DP DAP AD ∠==②若2APO CBO ∠=∠则BPI CBO ∠=∠，∴2APO BPI ∠=∠，则API APO ∠=∠-∠ DAP API ∠=∠，∠∴DAP CBP ∠=∠，又 ADP BCP ∠=∠=∴(AAS DAP CBP ≌ADP Ð和BCP ∠都是 AB 所对的圆周角，∴ADP ÐBCP =∠，又 ADP Ð为青蓝角，∴2ADP CBP ∠=∠，∴ 2AB CD =，OM AB ⊥，∴ 2AB AM=，∴ AM CD=，∴5AM CD ==，OM AB ⊥，8AB =，∴4AN BN ==，∴223MN AM AN =-=，设O 的半径为r ，在Rt ANO 中，222OA AN ON =+，∴()22243r r =+-，解得256r =，∴O 的半径为256； 2ADP CBP ∠=∠，ADP ∠=∠。
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四川省新津中学2017-2018学年高一数学下学期入学考试试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上.4.考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设{1,2,3,4,5}U =，{1,2,5}A =，{2,3,4}B =，则U BC A =（ ）A ．∅B ．{2}C ．{3,4}D ．{1,3,4,5} 2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．3y x = B ．1y x =C ．3log y x =D ．1()2x y = 3. 若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式①｜a ｜＞｜b ｜；②a ∥b ； ③｜a ｜＞0；④｜｜=±1，其中正确的有（ ）A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤4.已知α是第一象限角，那么2α是（ ）A ．第一象限角B ．第一或第三象限角 C.第二象限角 D ．第一或第二象限角 5.已知2log 0.3a =，0.32b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 三者的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >> C.b c a >> D ．c b a >> 6.当01a <<时，在同一坐标系中，函数xy a =与log a y x =的图象是（ ） A ． B ． C. D ． 7. 在ABC △中，点E 满足3BE EC =，且AE mAB nAC =+，则m n -=（ ） A.12B.12-C.13-D.138.若函数2()(21)1f x x a x =+-+在区间(,2]-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ C.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦9.不等式2313x x a a --+≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.(][) 1 4 -∞+∞，，B.[]1 4-，C.[]4 1-，D.(][) 4 1 -∞-+∞，，10.函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<）的图象如图所示，为了得到()sin g x x ω=的图象，则只要将()f x 的图象 A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C.向右平移6π个单位长度 D ．向左平移6π个单位长度11.定义在R 上的奇函数()f x ，满足(1)0f =，且在(0,)+∞上单调递增，则()0xf x >的解集为（ ）A ．{|1x x <-或1}x >B ．{|01x x <<或10}x -<< C.{|01x x <<或1}x <- D ．{|10x x -<<或1}x >12.已知函数2|1|,0()|log |,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则3122341()x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．(1,)-+∞ B ．[1,1]- C.(,1)-∞ D ．(1,1]-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请将答案填在答题卷中的相应位置.） 13.已1249a =（0a >），则23log a = ． 14.若幂函数()f x 的图象经过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭，则(3)f = ． 15.已知(31)4()log a a x a f x x-+⎧=⎨⎩(1)(1)x x <≥是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 ． 16.给出下列命题：①函数5sin(2)2y x π=-是偶函数； ②方程8x π=是函数5sin(2)4y x π=+的图象的一条对称轴方程；③若α、β是第一象限角，且αβ>，则sin sin αβ>；④设1x ，2x 是关于x 的方程|log |a x k =（0a >，1a ≠，0k >）的两根，则121x x =； 其中正确命题的序号是 ．（天厨所有正确命题的序号）三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）已知α为ABC ∆的内角，且3tan 4α=-，计算： （1）sin cos sin cos αααα+-； （2）sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18. （本小题满分12分）已知集合{|3A x x =≤-或2}x ≥，{|15}B x x =<<，{|12}C x m x m =-≤≤ （1）求A B ，()R C A B ；（2）若BC C =，求实数m 的取值范围.19. （本小题满分12分）已知函数()xf x a =（0a >且1a ≠）的图象经过点1(2,)9（1）比较(2)f 与2(2)f b +的大小； （2）求函数22()x xg x a-=（0x ≥）的值域.20. （本小题满分12分）设函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<）的最高点D 的坐标为(,2)8π，最高点D 运动到相邻最低点时，函数图象与x 轴的交点的坐标为3(,0)8π. （1）求函数()f x 的解+析式；（2）求()f x 的单调增区间.21. （本小题满分12分）某上市股票在30天内每股的交易价格P （元）与时间t （天）组成有序对(,)t P ，点(,)t P 落在右方图象中的两条线段上，该股票在30天内（包括30天）的日交易量Q （万股）与时间t （天）的函数关系为：40Q t =-+，030t ≤≤，t N +∈ （1）根据提供的图象，写出该种股票每股的交易价格P （元）与时间t （天）所满足的函数关系式；（2）用y （万元）表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求出这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少？22. （本小题满分12分）已知函数121()log 1axf x x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数. （1）求a 的值；（2）当(1,)x ∈+∞时，12()log (1)f x x m +-<恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于x 的方程12()log ()f x x k =+在[2,3]上有解，求k 的取值范围.数学参考答案及评分意见一、选择题1-5:CADBC 6-10:DDBBC 11、12：AD 二、填空题 13.4 14.19 15.11[,)7316.①②③ 三、解答题17.（1）原式31tan 1143tan 1714αα-++===----……………………… （2）由已知有α为钝角，又3tan 4α=-，∴3sin 5α=，4cos 5α=-原式7cos sin 5αα=-=-…………………………………………………………10分18.（1）{|25}AB x x =≤<………………………………………………2分{|32}R C A x x =-<<(){|35}R C A B x x =-<<………………………………………………5分（2）∵BC C = ∴C B ⊆……………………………………………………………………………6分Ⅰ）当C =∅时，∴12m m ->即1m <-………………………………………………………………8分 Ⅱ）当C ≠∅时，∴121125m m m m -≤⎧⎪->⎨⎪<⎩∴522m <<………………………………………………………10分 综上所述：m 的取值范围是5(,1)(2,)2-∞-…………………………………………12分19.解（1）由已知得219a = ∴13a =……………………………………………3分∵1()()3x f x =在R 上递减，222b ≤+∴2(2)(2)f f b ≥+…………………………………………………………………6分 （2）∵0x ≥，∴221x x -≥-……………………………………………………………………………8分∴221()33x x-≤………………………………………………………………………10分∴()g x 的值域为(0,3]………………………………………………………………………………………12分20.解：（1）依题意，得2A =………………………………………………………………………………2分由于34884T πππ=-=，∴T π=，∴22Tπω==………………………………………………………4分∴()2sin(2)f x x ϕ=+，把,28π⎛⎫⎪⎝⎭代入上式，得sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭又2πϕ<，∴3,444πππϕ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∴4πϕ=………………………………………………………………6分∴()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………………………………………………………7分 （2）令24x πθ=+，由2222k k πππθπ-≤≤+得：222242k x k πππππ-≤+≤+解得388k x k ππππ-≤≤+（k Z ∈） ∴()f x 的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）…………………………………………………12分21.（1）由图像知，前20天满足的是递增的直线方程，且过两点(0,2)，(20,6)，容易求得125P t =+；从20天到30天满足递减的直线方程，且过两点(20,6)，(30,5)，求得方程为1810P t =-+，故P （元）与时间t （天）所满足的函数关系式为：12,020,518,2030,10t t t N P t t t N++⎧+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪+≤≤∈⎪⎩…………………………………………………6分（2）由（1）可知221(15)125,020,51(60)40,2030,10t t t N t t t N++⎧--+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪--<≤∈⎪⎩……………………………………………9分 当020t ≤≤，15t =时，min 125y =.………………………………………………………………………10分当2030t <≤，y 随t 的增大而减小.…………………………………………………………………………1分 所以，在30天中的第15天，日交易额的最大值为125万元.………………………………………………12分22.（1）∵函数()f x 的图象关于原点对称，∴函数()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，…………………………………………………………………1分 即111222111log log log 111ax ax x x x ax+--=-=----，解得1a =-或1a =（舍）.………………………………4分 （2）111122221()log (1)log log (1)log (1)1xf x x x x x ++-=+-=+-…………………5分 当1x >时，12log (1)1x +<-，………………………………………………………………………………7分∵当(1,)x ∈+∞时，12()log (1)f x x m +-<恒成立，∴1m ≥-.………………………………………………………………………8分 （3）由（1）知，12()log ()f x x k =+，即11221()log log ()1x f x x k x +==+-，即11x x k x +=+-即211k x x =-+-在[2,3]上有解，…………………………………………………………………………………………………9分2()11g x x x =-+-在[2,3]上单调递减………………………………………………………………………10分()g x 的值域为[1,1]-，…………………………………………………11分∴[1,1]k ∈-…………………………………………………………………………12分。