九年级数学备考 中位线与面积
九年级数学中位线知识点
九年级数学中位线知识点中位线是数学中一个重要的概念，它在统计学和几何学中都有广泛的应用。
本文将详细介绍九年级数学中位线的相关知识点，包括定义、性质和求解方法等方面。
一、定义中位线是指一条线段，它连接平面上一个三角形的一个顶点和对边中点的线段。
具体来说，对于三角形ABC，若D是边AB的中点，则CD被称为三角形ABC的中位线。
二、性质1. 中位线的长度：中位线的长度等于对边的一半。
即，在三角形ABC中，若D为边AB的中点，则CD = 1/2 AB。
2. 中位线的位置：三角形ABC的三条中位线所交于一点，我们称之为重心（G）。
重心是三角形的一个重要特殊点，它将三角形分成六个小三角形，每个小三角形的面积相等。
3. 中位线的关系：在三角形中，任意两条中位线的交点都在第三条中位线上。
这个交点将每条中位线分成两个部分，其中一个部分是另一条中位线的2倍。
三、求解方法1. 已知三角形的顶点坐标：若已知三角形的顶点坐标A（x1, y1）、B（x2, y2）、C（x3, y3），求中位线CD的方法如下：a) 计算边AB的中点坐标D，D的坐标为（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2）；b) 通过点D和顶点C的坐标，可以得到中位线CD的方程；c) 求解中位线CD的相关参数，如长度、斜率等。
2. 已知三角形的边长：若已知三角形的边长a、b、c，求中位线CD的方法如下：a) 根据已知边长，利用海伦公式计算三角形的面积S；b) 根据面积S和三角形的高公式，计算三角形的高h；c) 通过三角形高的性质，计算出中位线CD的长度。
四、例题解析为了更好地理解中位线的概念和求解方法，我们将通过例题来进行解析：例题1：已知三角形ABC的坐标为A（2, 4）、B（6, 8）、C （8, 2），求中位线CD的长度。
解析：首先计算边AB的中点坐标D，D的坐标为（(2+6)/2, (4+8)/2）= (4, 6)。
然后根据两点间的距离公式，计算出CD的长度：CD = √[(8-4)^2 + (2-6)^2] = √[(4^2) + (-4)^2] = √(16+16) = √32 = 4√2例题2：已知三角形的边长分别为a = 5 cm，b = 12 cm，c = 13 cm，求中位线CD的长度。
数学初中中位线题型
数学初中中位线题型中位线是指一个平面图形的任意两个顶点之间的中垂线的交点。
在初中数学中，中位线是一个重要的概念，也是一种常见的考试题型。
以下是一些常见的中位线题型：1. 求三角形中位线长度三角形ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB中点，求中位线AD 的长度。
解法：连接AE，将三角形ABC分成两个三角形，分别为三角形ABE和三角形ACE。
根据中位线的性质可知，AD是三角形ABE的中位线，因此AD=BE/2。
同理，AD也是三角形ACE的中位线，因此AD=CE/2。
由此可得：AD=(BE+CE)/2=BC/2。
2. 求四边形中位线长度四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点，求对角线AC的中位线EF的长度。
解法：连接EH、FG，可将四边形ABCD分成两个三角形AEH和CFG。
根据中位线的性质可知，EF是三角形AEH和CFG的中位线，因此EF=1/2(EH+FG)。
根据四边形中位线定理可知，EH=1/2(AC+BD)、FG=1/2(AC-BD)，代入公式可得：EF=1/2(AC+BD-AC+BD)=BD。
3. 求平行四边形中位线长度平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点，求对角线AC的中位线EF的长度。
解法：由于平行四边形的对角线互相平分，因此AC的中位线EF也平分平行四边形的对角线BD，即EF=1/2BD。
4. 求梯形中位线长度梯形ABCD中，E、F分别是AB、CD中点，求中位线EF的长度。
解法：连接AC，将梯形ABCD分成两个三角形ABC和ADC。
根据中位线的性质可知，EF是三角形ABC和ADC的中位线，因此EF=1/2(BD)，其中BD为梯形的上底和下底之差。
5. 求三角形中位线交点的坐标三角形ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB中点，求中位线AD、BE、CF的交点的坐标。
解法：根据中位线的性质可知，三角形ABC的中位线AD、BE、CF交于一点G，且AG=2/3AF、BG=2/3BD、CG=2/3CE。
初中数学 如何使用中位线定理计算三角形的面积
初中数学如何使用中位线定理计算三角形的面积要使用中位线定理计算三角形的面积，我们可以根据定理的性质和已知条件进行推导和计算。
下面是一个详细的步骤说明：假设我们已知一个三角形ABC，其中D是边BC的中点，我们要计算三角形ABC的面积。
步骤1：连接顶点A和中点D，得到中位线AD。
步骤2：根据中位线定理，中位线AD平分对边BC，并且AD的长度等于BC的一半。
因此，我们可以得到以下等式：AD = 1/2 * BC步骤3：根据已知条件，我们需要找到BC的值。
如果BC的长度已知，我们可以直接代入。
如果BC的长度未知，但我们知道其他边长或角度的信息，我们可以使用几何定理或三角函数来计算。
步骤4：将BC的值代入到等式中，计算AD的长度。
这将给出中位线AD的长度。
步骤5：根据中位线的性质，我们可以得到以下等式：BD = 1/2 * AC这是因为中位线BD也可以用来平分边AC。
因此，BD的长度等于AC的一半。
步骤6：使用三角形的面积公式，计算三角形ABC的面积S。
三角形的面积公式为：S = 1/2 * 底边长度* 高在这里，底边长度为AC，高为三角形ABC的高。
步骤7：使用中位线的性质和三角形的面积公式，计算三角形ABC的面积S。
由于中位线AD 平分边BC，因此，我们可以将三角形ABC分成两个等面积的小三角形ABD和ACD。
因此，三角形ABC的面积等于小三角形ABD和ACD的面积之和，即：S = 1/2 * BD * AD + 1/2 * BD * AD将BD和AD代入上式中，得到：S = 1/2 * 1/2 * AC * 1/2 * AC + 1/2 * 1/2 * BC * 1/2 * BC化简后得到：S = 1/8 * (AC^2 + BC^2)步骤8：将已知条件和计算结果代入到等式中，计算三角形ABC的面积S。
这将给出三角形ABC的面积的值。
通过以上步骤，我们可以使用中位线定理计算三角形的面积。
重要的是要注意，我们需要已知边长或角度的信息来开始计算，并且需要使用几何定理或三角函数来计算未知值。
中位线的定理
中位线的定理
中位线定理又称为中位定理，是指一条直线将一个图形分成两边，其中左边的面积与右边面积相等。
它可应用到多边形，圆，椭圆等图形上，它是由荷兰数学家乔治·杰斐森（George-Jouffroy）于1860年提出，现在它在数学的图形学中运用较为广泛。
中位线定理可以用如下方法来证明：
（1）绘制一个带有任意多个边的多边形，用线段l连接该多边形runing顶点，于此同时将其分为两部分，所构成的新多边形称为原多边形的子多边形。
（2）分别计算子多边形左边和右边的面积，然后将它们相加再各自除以2，余下的面积就是原多边形的1/2面积。
（3）将l line向右移动，然后重复上述步骤，得出的结论是不论移动的位置如何，左边的面积仍然等于右边的面积，从而得出中位线定理——原多边形的1/2面积等同于所有可能的两个子多边形的1/2面积之和。
中位线定理的最重要的应用之一就是计算多边形的面积，通过运用中位线定理可以把多边形的面积分成多个面积相等的子多边形，然后再求出每个小子多边形的面积，最后再把它们累加起来，就可以求出原多边形的面积了。
因此，大多数多边形的面积计算都是建立在中位线定理之上的。
此外，由于多边形可以把一个图形分割成两部分，因此中位线定理还可以用来求出扇形和圆周的面积。
我们可以把一个扇形或圆周等分成相等的子扇形或者子圆周，再用中位线定理求出每个小子扇形或子圆周的面积，最后累加起来，就可以得出扇形或圆周的面积了。
总之，中位线定理是数学中一个很好用的定理，其应用非常广泛，既可用于多边形面积计算，也可用于求出扇形或圆周的面积。
虽然这一定理已经存在了150多年，但是它仍然对现在的数学学习、研究和应用都有着重要的意义。
初中数学 什么是三角形的中位线定理
初中数学什么是三角形的中位线定理三角形的中位线定理是指在一个三角形中，连接一个顶点和对边中点的线段被称为中位线。
中位线将三角形分割为两个等面积的小三角形，并且中位线的长度等于对边的一半。
设三角形ABC的顶点为A，对边BC的中点为D，连接AD。
根据中位线定理，有以下结论：1. 中位线AD平分对边BC，并且AD = 1/2 * BC。
2. 中位线AD将三角形ABC分割为两个等面积的小三角形，即△ABD和△ACD的面积相等。
证明中位线定理的方法有多种，下面介绍一种简单的方法：首先，连接两个中位线BD和CE。
根据中位线的定义，BD和CE分别是AC和AB的中点。
由于BD平行于AC，根据平行线性质，△ABC和△BDC是相似的。
同样地，△ABC和△CEA也是相似的。
根据相似三角形的性质，相似三角形的边长成比例。
因此，我们可以得到以下比例关系：AB/BD = AC/CDAC/CE = AB/BE由于BD和CE都是对边的中点，所以BD = CE。
将这个等式代入上述比例关系中，得到：AB/BD = AC/CD --> AB/CE = AC/CD根据等式的传递性，我们可以得到：AB/CE = AC/CD这意味着△ABE和△ACD的边长成比例，根据边比例定理，它们是相似的。
接下来，我们证明△ABD和△ACD的面积相等。
由于BD和CE是对边的中点，所以它们的长度相等，即BD = CE。
这意味着△ABD和△ACD的底边相等。
同时，根据中位线定理，AD = 1/2 * BC，所以△ABD和△ACD的高度也相等。
因此，△ABD和△ACD的底边和高度都相等，根据三角形的面积公式S = 1/2 * 底边* 高度，它们的面积相等。
综上所述，中位线定理成立：连接一个顶点和对边中点的线段是对边的一半，并且将三角形分割为两个等面积的小三角形。
三角形面积与中位线的关系
三角形面积与中位线的关系三角形是几何学中的重要概念，它具有丰富的性质和特点。
其中，三角形的面积是一项基本性质，而中位线则是与面积密切相关的要素。
本文将探讨三角形面积与中位线之间的关系，并解释其数学原理。
一、三角形面积的定义与计算方法三角形是由三条边和三个顶点组成的多边形。
它的面积是描述三角形大小的一种度量方式。
根据几何学的定义，三角形的面积可以通过以下公式计算得出：面积 = 底边长度 ×高 / 2其中，底边长度是指三角形的任意一条边长，高是指与底边平行，并连接底边和不在底边上的顶点的线段的长度。
二、中位线的概念与性质1. 中位线的定义三角形的中位线是连接三角形的任意两个顶点和中点的线段。
即，对于三角形ABC，连接顶点A和BC的中点D所形成的线段AD就是该三角形的一条中位线。
2. 中位线的性质中位线具有以下重要性质：(1) 三角形的三条中位线交于一点，即重心G。
(2) 以中心顶点的中位线作为一条直径的圆，可以把三角形分成三个具有相等面积的小三角形。
(3) 中位线的中点是该中位线的另外两个顶点所对边的中点。
三、中位线与三角形面积的关系1. 中线的关系在三角形中，如果用中位线分别连接三个顶点与其对边的中点，会形成六条中线。
这六条中线先后相交于三个中心点，即重心G、内心I和外心O。
我们将重心G与面积的关系进行探讨。
2. 重心与面积的关系重心G被定义为三条中位线的交点。
根据中位线性质(1)，重心G 是三条中位线的交点，因此它们将三角形分成六个小三角形。
根据性质(2)，每个小三角形的面积相等。
因此，重心G把整个三角形分成六个面积相等的小三角形。
接下来，我们分别以三角形的任意一条边为底边，利用面积的计算公式推导与重心G有关的公式。
假设三角形ABC的底边为BC，高对应的高为h。
根据重心G把三角形分成六个小三角形的性质，我们可以得出以下结论：(1) S(ABG) = S(ACG)(2) S(ABG) = S(ABC) / 6(3) S(ABC) = 6 × S(ABG)因此，我们可以得出结论：三角形的面积等于通过重心G所形成的任意小三角形的面积乘以6倍。
九年级数学中位线知识点分析
中位线情境切入学海导航完全解读知能点1、三角形的中位线（1）三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；（2）三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.友情提醒：三角形的中位线与三角形的中线是两个不同的概念，它们虽然都与三角形的边的中点有关，但中位线是两个中点的连线，而中线是顶点与对应边中点的连线；中线经过三角形的顶点，而中位线没有经过三角形的顶点；中位线只与三角形的两边相交，而中线却与三角形的三边都相交；中线平分三角形的面积，而中位线却不能.例1、如图所示，EF是△ABC的中位线，BD平分 ABC交EF于D，若ED=2，则EB=________________。
思维点击：在△ABC 中，∵EF 是△ABC 的中位线 ∴EF//BC ∵∠=∠EDB DBC∵∠=∠DBC ABD ∴∠=∠EDB ABD ∴EB ED ==2 答案：2.知能点2、三角形的重心（1）三角形的重心：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心。
（2）三角形重心的性质：三角形的重心到三角形顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.友情提醒：三角形的重心指的是三角形的物理中心，假如是一X 厚薄均匀的三角形纸片，那么在三角形三条中线的交点处用一根细线穿过提起，可以发现该纸片呈水平状态，这个现象说明该点就是三角形的重心.例2、如图，△ABC 的中线AD 、BE 相交于点G ，求证：四边形GDCE 的面积等于△ABG 的面积.思维点击：由已知可知G 是△ABC 的重心，所以AG=2GD ，根据三角形的面积公式，得△ABG 的面积等于△BDG 面积的2倍.连结CG ，则△CDG 的面积等于△BDG 的面积.又由BG=2GE ，得△BCG 的面积等于△CEG 的面积的2倍， 所以△CEG 的面积等于△BDG 的面积，所以四边形GDCE 的面积等于△BDG 面积的2倍， 所以四边形GDCE 的面积等于△ABG 的面积. 知识点三、梯形的中位线（1）梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.（2）梯形中位线的性质：梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半. 友情提醒：梯形中位线性质的作用：①位置关系：可以证明条直线平行；②可以证明一条线段是另一条线段的倍分关系。
初三-几何证明之中位线题型
学员编号：年级：初三课时数： 3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课类型T-同步讲解C-专题T-能力提升星级★★★★★★★★教学目标1.巩固复习三角形，梯形之中位线相关知识；2.学会添恰当的辅助线解决中位线题型；3.掌握中位线题型的综合应用。
授课时间教学内容——几何证明之中位线题型1.巩固复习三角形，梯形之中位线相关知识；2.学会添恰当的辅助线解决中位线题型；3.掌握中位线题型的综合应用。
知识结构1.三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
2.中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。
3.运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。
4.中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。
它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等；②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边；③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰。
5.有关线段中点的其他定理还有：①直角三角形斜边中线等于斜边的一半；②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合； ③对角线互相平分的四边形是平行四边形； ④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等。
►因此如何发挥中点作用必须全面考虑。
例1.已知：ABC ∆中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和CAN ，P 是BC 的中点。
求证：PM PN =。
MACBNPA B C MNPE F【证明】：作ME AB ⊥，NF AC ⊥，垂足E ，F∵ABM ∆、CAN ∆是等腰直角三角形 ∴AE EB ME ==，AF FC NF ==， 根据三角形中位线性质12PE AC NF ==，12PF AB ME == PE AC ∥，PF AB ∥∴PEB BAC PFC ∠=∠=∠ 即PEM PFN ∠=∠∴PEM PFN ∆∆≌∴PM PN =例题1例2.已知ABC ∆中，10AB =，7AC =，AD 是角平分线，CM AD ⊥于M ，且N 是BC 的中点。
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第24课 中位线与面积
〖知识要点〗
平行线等分线段、三角形、梯形的中位线、三角形、平行四边形、矩形、矩形、正方形、梯形的面积、等积变形、几何变换（平移、旋转、翻折） 〖考查要求〗
1． 掌握平行线等分线段定理，三角形、梯形中位线定理，三角形一边中点 且平行另一边的直线平分第三边，过
梯形一腰的中点且平行底的直线平分另一腰的定理；
2． 使学生了解面积的概念，掌握三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的面积公式，等底等高的三角
形面积相等的性质，会用面积公式解决一些几何中的简单问题； 3． 使学生掌握几何证题中的平移、旋转、翻折三种变换。
〖考查重点与常见题型〗
1． 考查中位线、等分线段的性质，常见的以选择题或填空题形式，也作为基础知识应用，如：
一个等腰梯形的周长是100cm ，已知它的中位线与腰长相等，则这个题型的中位线是 2． 考查几何图形面积的计算能力，多种题型出现，如：
三角形三条中位线的长分别为5厘米，12厘米，13厘米，则原三角形的面积是 厘米 2
3． 考查形式几何变换能力，多以 中档解答题形式出现 〖预习练习〗
1．顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是（ ） （A ） 矩形 （B ）等腰梯形 （C ）菱形 （D ）正方形
2．在四边形ABCD 中，AC ＝BD ，厘米顺次连结四边形ABCD 各边中点所得的四边形一定是（ ） （A ）平行四边形 （B ）矩形 （C ）正方形 （D ）菱形 3．正方形的对角线的长为6cm ，则正方形的面积是 cm 2
4．菱形的两条对角线之比是2：3，面积是15厘米2，则两条对角线的长分别是 厘米和 厘米
5．一个三角形和一个梯形的面积相等，它们的高也相等，已知三角形的底边为18，梯形的中位线的长等于 6．△ABC 中，若D 是BC 边的中点，则S △ACD ＝ ＝1
2 ；若BD ：DC ＝3：2，则S △ABD ：S △ACD ＝
[考点训练]：
1．等腰三角形腰长为2，面积为1，则顶角大小是（ ） (A) 90° (B) 30° (C) 60° (D) 45°
2．如图，G 是△ABC 的重心（三角形中线的交点）， 若S △ABC ＝6，则S △ABG 的面积是（ ） (A) 43 (B) 1 (C) 2 (D) 34
3．如图，AB ∥DC,ED ∥BC,AE ∥BD,则图中和△ABD 面积相等的三角形个数（不包括△ABD ）为（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
4. 矩形两邻边的长是4cm ，6cm ，顺次连结它的四边中点所得的四边形面积是______cm 2 . 5．若等边三角形的边长为a ，则它的面积为____________.
6．菱形的边长为5cm ，一条对角线长为8cm ，则它的面积是__________. 7．等腰梯形的中位线长为m ，且对角线互相垂直，则此梯形的面积为____.
8．四边形ABCD 为平行四边形，P,Q 分别是AD,AB 上的任意点，则S △PBC 与S △QCD 有什么关系？它们与原平行四边形的面积之间有什么关系？
9．在△ABC 中，AB ＝10，BC ＝5 5 ，AC ＝5，求∠A 的平分线的长。
10．如图,在△ABC 中，AD 为角平分线，CE ⊥AD ，F 为BC 中点， A
B
C
D G
A
B
C
D
E A
B
C D
E F
求证：EF ＝1
2
(AB – AC).
[解题指导]：
1．已知：如图，△ABC 中，AD 是BC 上的中线，E 是AD 中点，BE 的延长线交AC 于F 。
求证：EF ＝1
3 BE.
2．已知：如图，△ABC 中，BD,CE 分别平分∠B 和∠C ，P 是DE 中点，过点P 作BC,CA,AB 的垂线，垂足分别为L,M,N ，求证：PL ＝PM+PN.
3．证明以梯形一腰的中点及另一腰的两个端点为顶点的三角形面积等于原梯形面积的一半。
S △MNP ＝1
8
S △ABC .
4. 如图，在△ABC 中，D 是BC 中点，N 是AD 中点，M 是BN 中点，P 是MC 的中点。
求证：
[独立训练]：
1． 如图，△ABC 中，DE ∥BC,且S △ADE ∶S △ABC ＝1∶2， 则AD ∶DB 等于（ ）。
(A) 12 (B) 12
(C) 2 – 1 (D) 2 + 1
2．已知三角形的一边长为2，这边上的中线长为1，另外两边和为1＋ 3 ， 则此三角形面积为（ ）。
(A) 3 (B)
2 2 (C) 3
2
(D) 2 3．矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝12，O 为对角线AC,BD 的交点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝AC ，则S △OCE ＝____________. 4. 已知∠POQ 内有一点A ，求作△ABC ，使△ABC 的周长最小，且顶点B,C 分别在OP,OQ 上。
5.如图，AB ＝DE ，直线AE,BD 相交于点O ，∠B 与∠D 相等， 求证：AO ＝EO.
6．如图，ABCD 为正方形，E 为CD 的中点，过E 作EF ，使∠AEF ＝∠BAE ，EF 交BC 于，求证：CF ＝2BF. A B
C
D
F
E
A
B
D E
L
P M
N A
B C
D
P
M
N A
B
C
E
D O
A A
B C
D
E
F
7．如图，在平行四边形ABCD中,E是BC的中点，DE,AB的延长线交于点F，求证：S
△ABE ＝S
△EFC
.
A
B
C D
E F。