西安电子科技大学数字信号处理大作业

数字信号处理大作业班级：021231学号：姓名：指导老师：吕雁一写出奈奎斯特采样率和和信号稀疏采样的学习报告和体会1、采样定理在进行A/D信号的转换过程中，当采样频率fs.max大于信号中最高频率fmax的2倍时(fs.max>2fmax)，采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，一般实际应用中保证采样频率为信号最高频率的5～10倍；采样定理又称奈奎斯特定理。

(1)在时域频带为F的连续信号 f(t)可用一系列离散的采样值f(t1),f(t1±Δt)，f(t1±2Δt)，...来表示,只要这些采样点的时间间隔Δt≤1/2F，便可根据各采样值完全恢复原始信号。

(2)在频域当时间信号函数f(t)的最高频率分量为fmax时,f(t)的值可由一系列采样间隔小于或等于1/2fo的采样值来确定,即采样点的重复频率fs ≥2fmax。

2、奈奎斯特采样频率(1)概述奈奎斯特采样定理：要使连续信号采样后能够不失真还原，采样频率必须大于信号最高频率的两倍（即奈奎斯特频率）。

奈奎斯特频率（Nyquist frequency）是离散信号系统采样频率的一半，因哈里·奈奎斯特（Harry Nyquist）或奈奎斯特－香农采样定理得名。

采样定理指出，只要离散系统的奈奎斯特频率高于被采样信号的最高频率或带宽，就可以真实的还原被测信号。

反之，会因为频谱混叠而不能真实还原被测信号。

采样定理指出，只要离散系统的奈奎斯特频率高于采样信号的最高频率或带宽，就可以避免混叠现象。

从理论上说，即使奈奎斯特频率恰好大于信号带宽，也足以通过信号的采样重建原信号。

但是，重建信号的过程需要以一个低通滤波器或者带通滤波器将在奈奎斯特频率之上的高频分量全部滤除，同时还要保证原信号中频率在奈奎斯特频率以下的分量不发生畸变，而这是不可能实现的。

在实际应用中，为了保证抗混叠滤波器的性能，接近奈奎斯特频率的分量在采样和信号重建的过程中可能会发生畸变。

因此信号带宽通常会略小于奈奎斯特频率，具体的情况要看所使用的滤波器的性能。

需要注意的是，奈奎斯特频率必须严格大于信号包含的最高频率。

如果信号中包含的最高频率恰好为奈奎斯特频率，那么在这个频率分量上的采样会因为相位模糊而有无穷多种该频率的正弦波对应于离散采样，因此不足以重建为原来的连续时间信号。

(2)奈奎斯特频率的应用除了奈奎斯特频率之外，还有一个指标非常重要，这个指标就是测量装置的带宽。

严格讲，带宽包含上限和下限两个数值，但是，由于许多宽频带的测量设备，比如说变频功率分析仪，其带宽的频率上限远远大于频率下限，或者频率下限为零，因此，一般以频率上限作为该仪器的带宽。

一般而言，带宽指-3db带宽。

-3db带宽并不表明高于带宽上限频率的信号不能通过测量仪器。

举例而言，某功率分析仪的带宽上限为100kHz，那么，100kHz的正弦波通过测量仪器的AD转换器之前的电路时，幅值衰减为原信号幅值的70.7%，功率衰减为原信号的50%。

此外，对于非正弦波形，其含有的谐波频率高于信号频率（基波频率）。

因此，不能简单的认为，100kHz带宽的仪器可以用于测量100kHz的正弦波，更不能认为100kHz带宽的仪器可以用于测量100kHz的方波或畸变波形。

要让采样过程符合奈奎斯特采样定理，测量仪器的带宽应该小于奈奎斯特频率。

若测量仪器的电路固有带宽高于奈奎斯特频率，应该在AD转换器之间加上截至频率小于奈奎斯特频率的防混叠滤波器。

对于后者，防混叠滤波器的截至频率就是仪器的带宽。

3、稀疏采样目前，Candes，Romberg，Tao和Donoho等人提出了一种全新的理论一压缩感知理论(Compressed Sensing)。

该理论是一种崭新的信号采样、信号编码和信号解码理论。

采样速率不再像Nyquist速率一样，与信号的带宽密切相关，而是与信息在信号中的结构和位置息息相关。

编码过程是围绕观测器即观测矩阵展开的，而解码过程是一个优化计算过程。

该理论已经被证明能够用较低采样速率准确的进行信号采样，并且能够以很高的概率重构原始信号。

目前国内已经有科研单位的学者对其展开研究。

如我们学校课题组基于该理论提出采用超低速率采样检测超宽带回波信号。

其CS理论如图：稀疏采样，也被称为压缩感知、压缩传感或压缩采样，是一种利用稀疏的或可压缩的信号进行信号重构的技术。

或者可以说是信号在采样的同时被压缩，从而在很大程度上降低了采样率。

稀疏采样跳过了采集N个样本这一步骤，直接获得压缩的信号的表示。

其理论利用到了许多自然信号在特定的基上具有紧凑的表示。

即这些信号是“稀疏”的或“可压缩”的。

由于这一特性，稀疏采样理论的信号编解码框架和传统的压缩过程大不一样，主要包括信号的稀疏表示、编码测量和重构算法等三个方面。

简单地说，压缩感知理论指出：只要信号是可压缩的或在某个变换域是稀疏的，那么就可以用一个与变换基不相关的观测矩阵将变换所得高维信号投影到一个低维空间上，然后通过求解一个优化问题就可以从这些少量的投影中以高概率重构出原信号，可以证明这样的投影包含了重构信号的足够信息。

在该理论框架下，采样速率不再取决于信号的带宽，而在很大程度上取决于两个基本准则：稀疏性和非相干性，或者稀疏性和等距约束性。

显然，在压缩感知理论中，图像/信号的采样和压缩同时以低速率进行，使传感器的采样和计算成本大大降低，而信号的恢复过程是一个优化计算的过程．因此，该理论指出了将模拟信号直接采样压缩为数字形式的有效途径。

从理论上讲任何信号都具有可压缩性，只要能找到其相应的稀疏表示空间，就可以有效地进行压缩采样。

当前，压缩感知理论主要涉及三个核心问题：(1) 具有稀疏表示能力的过完备字典设计；(2) 满足非相干性或等距约束性准则的测量矩阵设计；(3) 快速鲁棒的信号重建算法设计。

压缩感知理论必将给信号采样方法带来一次新的革命。

这一理论的引人之处还在于它对应用科学的许多领域具有重要的影响，如统计学、信息论、编码等。

目前，学者们已经在模拟-信息采样、合成孔径雷达成像、遥感成像、核磁共振成像、深空探测成像、无线传感器网络、信源编码、人脸识别、语音识别、探地雷达成像等诸多领域对压缩感知展开了广泛的应用研究。

Rice大学已经成功设计出了一种基于压缩感知的新型单像素相机，在实践中为取代传统相机迈出了实质性的一步。

(1)压缩感知理论框架传统的信号采集、编解码过程如图所示：编码端先对信号进行采样，再对所有采样值进行变换，并将其中重要系数的幅度和位置进行编码，最后将编码值进行存储或传输：信号的解码过程仅仅是编码的逆过程，接收的信号经解压缩、反变换后得到恢复信号。

采用这种传统的编解码方法，由于信号的采样速率不得低于信号带宽的2倍，使得硬件系统面临着很大的采样速率的压力。

此外在压缩编码过程中，大量变换计算得到的小系数被丢弃，造成了数据计算和内存资源的浪费。

传统编解码理论的框图压缩感知理论对信号的采样、压缩编码发生在同一个步骤，利用信号的稀疏性，以远低于Nyquist采样率的速率对信号进行非自适应的测量编码。

测量值并非信号本身，而是从高维到低维的投影值，从数学角度看，每个测量值是传统理论下的每个样本信号的组合函数，即一个测量值已经包含了所有样本信号的少量信息。

解码过程不是编码的简单逆过程，而是在盲源分离中的求逆思想下。

利用信号稀疏分解中已有的重构方法在概率意义上实现信号的精确重构或者一定误差下的近似重构。

解码所需测量值的数目远小于传统理论下的样本数。

压缩感知理论的编解码框图(2) 压缩感知的基本理论及核心问题 假设有一信号)(N R f f ∈，长度为N ，基向量为),...,2,1(N i i =ψ，对信号进行变换：αψψ==∑=f a f i Ni i 或1 显然f 是信号在时域的表示，α是信号在ψ域的表示。

信号是否具有稀疏性或者近似稀疏性是运用压缩感知理论的关键问题，若式中的α只有K 个是非零值)(K N >>者仅经排序后按指数级衰减并趋近于零，可认为信号是稀疏的。

信号的可稀疏表示是压缩感知的先验条件。

在已知信号是可压缩的前提下，压缩感知过程可分为两步：设计一个与变换基不相关的)(N M N M <<⨯维测量矩阵对信号进行观测，得到M 维的测量向量。

由M 维的测量向量重构信号。

(3) 信号的稀疏表示稀疏的数学定义：信号X 在正交基ψ下的变换系数向量为X T ψ=Θ，假如对于20<<p 和0>R ，这些系数满足：Rp p i i p ≤≡Θ∑/1)||(||||θ则说明系数向量Θ在某种意义下是稀疏的。

给出另一种定义：如果变换系数 >ψ=<i i X ,θ的支撑域}0;{≠i i θ的势小于等于K ，则可以说信号X 是K 项稀疏。

如何找到信号最佳的稀疏域?这是压缩感知理论应用的基础和前提，只有选择合适的基表示信号才能保证信号的稀疏度，从而保证信号的恢复精度。

在研究信号的稀疏表示时，可以通过变换系数衰减速度来衡量变换基的稀疏表示能力。

Candes 和Tao 研究表明，满足具有幂次(power-law)速度衰减的信号，可利用压缩感知理论得到恢复。

最近几年，对稀疏表示研究的另一个热点是信号在冗余字典下的稀疏分解．这是一种全新的信号表示理论：用超完备的冗余函数库取代基函数，称之为冗余字典，字典中的元素被称为原子．字典的选择应尽可能好地符合被逼近信号的结构，其构成可以没有任何限制．从从冗余字典中找到具有最佳线性组合的K 项原子来表示一个信号，称作信号的稀疏逼近或高度非线性逼近。

目前信号在冗余字典下的稀疏表示的研究集中在两个方面：(1)如何构造一个适合某一类信号的冗余字典；(2)如何设计快速有效的稀疏分解算法。

这两个问题也一直是该领域研究的热点，学者们对此已做了一些探索，其中以非相干字典为基础的一系列理论证明得到了进一步改进．西安电子科技大学的石光明教授也对稀疏表示问题进行了认真研究，并基于多组正交基级联而成的冗余字典提出一种新的稀疏分解方法。

二 关于布莱克曼窗函数的研究1. 布莱克曼窗布莱克曼窗的时域形式可表示为：它的频域特性为：其中)(ωR W 为矩形窗函数的幅度频率特性。

一个理想数字滤波器的频率响应为Hd(ej ω),对应的时域序列为滤波器的单位脉冲响应hd(n)，是无限长非因果的。

设计FIR-DF 就是要设计一个数字系统，去逼近理想数字滤波器的频率响应为Hd(ej ω)。

窗函数法就是对无限长的hd(n)加窗（用窗函数与之相乘，从而使之变成有限长的）下面主要介绍课程设计中用到的布莱克曼窗。

其频谱函数为：其幅度函数为这样其幅度函数由五部分组成。

它们都是移位不同，且幅度也不同的Wrg(w)函数，使旁瓣再进一步抵消。