高考数学基础训练题三角函数函数图像与性质、函数y=Asin(wx+φ)的图像性质及应用
新高考数学考点12 y=Asin(wx+φ)的图像与性质考点分类讲义练习题附解析1
考点12 y=Asin(wx+φ)的图像与性质1、了解三角函数的周期性,画出 y =sin x , y =cos x , y =tan x 的图像,并能根据图像理解正弦函数、余弦函数在[ 0 ,2π ],正切函数的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与 x 轴的交点等)2. 了解三角函数 y = A sin ( ωx + φ )的实际意义及其参数 A , ω ,φ 对函数图像变化的影响;能画出 y = A sin (ωx +φ )的简图,能由正弦曲线 y =sin x 通过平移、伸缩变换得到 y = A sin ( ωx + φ )的图像 .3. 会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 .1. 三角函数的图像与性质是高考中的必考点,对这部分内容的考查,高考中大多以中、低档题为主,主要集中于对函数的周期、图像、单调性、值域(或最值)等几个方面的考查 . 要解决此类问题,要求学生熟练地掌握三角函数的图像,及正弦函数、余弦函数、正切函数的最基本的性质,并能运用这些性质去熟练地解题 .2. 利用三角函数的性质解决问题时,要重视化归思想的运用,即将复杂的三角函数转化为基本的正弦、余弦、正切函数来处理1、函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像的平移和伸缩变换以及根据图像确定 A , ω ,φ 问题是高考的热点,题型多样,难度中低档,主要考查识图、用图的能力,同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力 . 2、要牢牢记住函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像和性质。
1、【2020年江苏卷】.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.【答案】524x π=-【解析】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈当1k =-时524x π=-故答案为：524x π=-2、【2020年全国1卷】设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A. 10π9 B.7π6 C. 4π3D. 3π2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭， 将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω=== 故选：C3、【2020年全国3卷】16.关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：②③.4、【2020年天津卷】8.已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π；②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值； ③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是 A. ① B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B【解析】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确；51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确； 将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象， 故③正确. 故选：B.5、【2020年山东卷】.下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A. πsin(3x +）B. πsin(2)3x - C. πcos(26x +）D. 5πcos(2)6x - 【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭ 故选：BC.6、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 7、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③【答案】C 【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误． 当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--2sin x =-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C ．8、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=|cos2x |B ．f (x )=|sin2x |C ．f (x )=cos|x |D ．f (x )=sin|x |【答案】A【解析】作出因为sin ||y x =的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D ； 因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ；作出cos2y x =图象如图2，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递增，A 正确； 作出sin 2y x =的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递减，排除B ，故选A ．图1图2图39、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④【答案】D【解析】①若()f x 在[0,2π]上有5个零点，可画出大致图象， 由图1可知，()f x 在(0,2π)有且仅有3个极大值点.故①正确；②由图1、2可知，()f x 在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；④当()f x =sin （5x ωπ+）=0时，5x ωπ+=k π（k ∈Z ），所以ππ5k x ω-=， 因为()f x 在[0,2π]上有5个零点，所以当k =5时，π5π52πx ω-=≤，当k =6时，π6π52πx ω-=>，解得1229510ω≤<，10、【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2-B ． CD ．2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=； 又12π()sin,2π,122g x A x T ωω=∴==∴2ω=，又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f =故选C. 11、【2018年高考江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________． 【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ 【名师点睛】由对称轴得2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，再根据限制范围求结果.函数()sin y A x B =++ωϕ（A >0，ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+； (2)最小正周期2πT =ω；(3)由()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴； (4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间;由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间.12、【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-+． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=， 所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈， 因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y fx f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 2136212sin 22222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎫⎝⎭⎝⎭=+=--⎪⎪⎝⎭π1223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[1+．题型一 三角函数的性质1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）设函数2sin cos ()(,0)x x xf x a R a ax +=∈≠，若(2019)2f -=，(2019)f =( )A ．2B ．-2C ．2019D ．-2019【答案】B 【解析】因为2sin cos ()x x xf x ax +=，所以22sin()cos()sin cos ()()x x x x x xf x f x ax ax---+-==-=-， 因此函数()f x 为奇函数，又(2019)2f -=，所以(2019)(2019)2f f =--=-. 故选B2、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B 【解析】因为函数()()cos f x x ωϕ=+的最小正周期为π，所以22πωπ==，又对任意的x ，都使得()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 在3x π=上取得最小值，则223k πϕππ+=+，k Z ∈， 即2,3k k Z πϕπ=+∈，所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ，则函数()y f x =在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是3π. 故选B3、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()sin cos f x x x =+，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为πB ．()y f x =图象的一条对称轴方程为4x π=C ．()f x 的最小值为2-D ．()f x 的0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数【答案】B 【解析】()sin cos )4f x x x x π=+=+，对A ，()f x ∴的最小正周期为2π，故A 错误；对B ，()42f ππ==()y f x ∴=图象的一条对称轴方程为4x π=，故B 正确；对C ，()f x 的最小值为，故C 错误； 对D ，由[0,]2x π∈，得3[,]444x πππ+∈，则()f x 在[0,]2π上先增后减，故D 错误． 故选：B ．4、（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数()sin 2f x a x x =的图象关于直线12x π=-对称，若()()124f x f x ⋅=-，则12a x x -的最小值为（ ）A ．4π B ．2π C ．πD ．2π【答案】B 【解析】()f x 的图象关于直线12x π=-对称，(0)()6f f π∴=-，即-1a =，则()sin 222sin 26f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，12()()4f x f x =-，1()2f x ∴=，2()2f x =-或1()2f x =-，2()2f x =，即1()f x ，2()f x 一个为最大值，一个为最小值， 则12||x x -的最小值为2T， T π=，12||x x ∴-的最小值为2π， 即12a x x -的最小值为2π.故选：B ．5、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．π-是()f x 的一个周期B ．()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移3π得到 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()y f x =的图像关于直线1712x π=对称 【答案】ACD 【解析】()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为π，故π-也是其周期，故A 正确；()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移6π得到，故B 错误；()77()()sin sin 066323f f ππππππ⎛⎫+==-== ⎪⎝⎭，故C 正确； sin sin 17175()1262sin 132f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ =⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD6、.（2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模）已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>，将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于__________.【答案】4【解析】由题得12=,4,()42n n n Z ππωω⨯⨯∴=∈, 因为0>ω，所以ω的最小值等于4.故答案为：47、（2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）已知函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω的最小值为_____. 【答案】43. 【解析】由题意可得,32k k Z ππωπ⨯+=∈，求得22,3k k Z ω=-∈， 又0>ω，则ω的最小值为43， 故答案为：43. 8、(2019南京学情调研）已知函数f(x)＝2sin (2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的图像关于直线x ＝π6对称，则f(0)的值为________．【答案】. 1【解析】由题意，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝±2，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，又因为－π2＜φ＜π2， －π6<π3＋φ<5π6，所以π3＋φ＝π2，即φ＝π6，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，f(0)＝1.9、(2019苏锡常镇调研）函数()cos()(0)3f x x πωω=->的图像关于直线2x π=对称，则ω的最小值为 ．【答案】.32【解析】解法1：根据余弦函数的图像及性质，令ππωk x =-3，Z k ∈得ωππk x +=3，令23πωππ=+k 得k 232+=ω，Z k ∈，又因为0>ω，所以当0=k 时ω取得最小值为.32 解法2：由条件可得1)2(±=πf ，即1)32cos(±=-πωπ，则ππωπk =-32，Z k ∈，解得k 232+=ω，Z k ∈，又因为0>ω，所以当0=k 时ω取得最小值为.32解后反思：利用整体思想，结合三角函数的图像及性质是解决这类问题的关键！10、(2019苏州期初调查） 已知函数f(x)＝sin (2x ＋φ)(0≤φ<π)的一条对称轴是x ＝－512π，则φ＝________．【答案】 π3【解析】因为函数f(x)的一条对称轴是x ＝－512π，所以2×⎝⎛⎭⎫－5π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋4π3，k ∈Z ，又因为0≤φ<π，所以φ＝π3.11、(2019南京、盐城二模）若函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________．【答案】.3【解析】由相邻两条对称轴间的距离为π2，知其最小正周期T ＝2×π2＝π，从而得ω＝2πT ＝2ππ＝2，又f(x)＝2sin (2x ＋φ)的图像经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，所以2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝2，解得φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，又因为0<φ<π，所以φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，即有f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin 2π3＝ 3.题型二 三角函数图像的变换1、（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y sin x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位【答案】A 【解析】不妨设函数2y sin x =的图象沿横轴所在直线平移ϕ个单位后得到函数23y sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象． 于是，函数2y sin x =平移ϕ个单位后得到函数，sin 2()y x ϕ=+，即sin(22)y x ϕ=+， 所以有223k πϕπ=+，6k πϕπ=+，取0k =，6π=ϕ．答案为A ． 2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）将曲线()cos 2y f x x =上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到曲线cos 2y x =，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．-1C D ．【答案】D 【解析】把cos 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得cos 2()cos(2)sin 242y x x x ππ=+=+=-的图象，再把所得图象各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得图象的函数式为sin(22)sin 4y x x =-⨯=-， sin 42sin 2cos 2()cos 2y x x x f x x =-=-=，∴()2sin 2f x x =-，∴()2sin63f ππ=-=．故选：D.3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0a a >个单位得到函数()πcos 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则a 的值可以为（ ）A ．5π12B ．7π12C ．19π24D ．41π24【答案】C【解析】由题意知，3()cos(2)sin(2)44g x x x ππ=+=+，其图像向左平移a 个单位得到函数3()sin(22)4f x x a π=++， 而函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以有32243a k πππ+=+5224a k ππ=-+，取1k =得1924a π=.答案选C.4、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）函数f(x)＝sin(wx ＋φ)(w ＞0，φ＜2π)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移6π个单位后得到的函数图象关于直线x ＝2π对称，则函数f(x)的解析式为（ ）A ．f(x)＝sin(2x ＋3π) B ．f(x)＝sin(2x －3π) C ．f(x)＝sin(2x ＋6π) D ．f(x)＝sin(2x －6π) 【答案】D【解析】因为函数()()f x sin ωx φ=+的最小正周期是π，所以2ππω=，解得ω2=，所以()()f x sin 2x φ=+， 将该函数的图像向右平移π6个单位后，得到图像所对应的函数解析式为ππy sin 2x φsin 2x φ63⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由此函数图像关于直线πx 2=对称，得： πππ2φk π232⨯+-=+，即πφk π,k Z 6=-∈，取k 0=，得πφ6=-，满足πφ2<，所以函数()f x 的解析式为()πf x sin 2x 6⎛⎫=-⎪⎝⎭，故选D. 5、（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数()22cos cos(2)12f x x x π=-+-的描述正确的是（ ）A ．其图象可由2y x =的图象向左平移8π个单位得到 B ．()f x 在(0,)2π单调递增C ．()f x 在[]0,π有2个零点D ．()f x 在[,0]2π-的最小值为【答案】ACD【解析】由题：()22cos cos(2)1cos 2sin 2)24f x x x x x x ππ=-+-=+=+，由2y x =的图象向左平移8π个单位，得到)))84y x x ππ=+=+，所以选项A 正确；令222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得其增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈ ()f x 在(0,)8π单调递增，在(,)82ππ单调递减，所以选项B 不正确；解()0,2,4f x x k k Z ππ=+=∈，得：,28k x k Z ππ=-∈，[0,]x π∈， 所以x 取37,88ππ，所以选项C 正确；3[,0],2[,],sin(2)[24444x x x πππππ∈-+∈-+∈-，()[f x ∈， 所以选项D 正确. 故选：ACD6、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】ABD【解析】函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移2π个单位长度得到()ππsin 223g x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于7π7π2ππsin sin 112632g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故7π12x =是()g x 的对称轴，B 选项正确. 由于π2π2πsin sin 00333g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()g x 的对称中心，D 选项正确.由π2ππ2232x -≤-≤，解得π7π1212x ≤≤，即()g x 在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，故A 选项正确、C 选项错误. 故选：ABD.7、(2019无锡期末） 已知直线y ＝a(x ＋2)(a>0) 与函数 y ＝|cos x|的图像恰有四个公共点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4), 其中 x 1<x 2<x 3<x 4，则x 4＋1tan x 4＝________． 【答案】－2【解析】根据图形可得直线y ＝a(x ＋2)与函数y ＝－cos x 的图像相切于点(x 4，－cos x 4)，其中x 4∈⎝⎛⎭⎫π4，π.因为y ＝sin x ，由导数的几何意义可得a ＝sin x 4＝－cos x 4－0x 4＋2，化简得x 4＋1tan x 4＝－2.8、（2020届江苏省南通市高三下学期3月开学考试）将函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0>ω）的图象向左平移π3个单位长度后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为______. 【答案】12【解析】将函数f （x ）＝sin （ωx 6π-）（ω＞0）的图象向左平移3π个单位后，可得函数y ＝sin （ωx 36πωπ+-）的图象，再根据所得图象关于直线x ＝π对称，可得ωπ36πωπ+-=k π2π+，k ∈Z ， ∴当k ＝0时，ω取得最小值为12， 故答案为12．题型三 三角函数的解析式1、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，则( )A ．把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 2y x =的图象 B ．函数()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在区间[]0,2π内有五个零点D ．函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 【答案】D【解析】因为函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以2sin 23πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因此2,32k k Z ππϕπ+=+∈，所以2,6k k Z πϕπ=+∈，因此()2sin(2)2sin 222sin 266f x x x k x ππϕπ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；A 选项，把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故A 错； B 选项，由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是：2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故B 错； C 选项，由()2sin 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得2,6x k k Z ππ+=∈，即,122k x k Z ππ=-+∈， 因此[]0,2x π∈，所以5111723,,,12121212x ππππ=，共四个零点，故C 错； D 选项，因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因此1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以[]2sin 21,26x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小值为1，故D 正确；故选：D.2、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知()sin()f x A x ωφ=+（0,04,)2A πωφ><<<）过点1(0,)2，且当6x π=时，函数()f x 取得最大值1.（1）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()g x ，求函数()g x 的表达式； （2）在（1）的条件下，函数2()()()2cos 1h x f x g x x =++-，求()h x 在[0,]2π上的值域.【答案】(1)()sin(2)6g x x π=-；(2)[1,2]-.【解析】 (1)由函数()f x 取得最大值1，可得1A =,函数过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭得12sin φ=，,26ππφφ<= 12,6662f k k Z ππππωπ⎛⎫=⇒+=+∈ ⎪⎝⎭，∵04ω<<，∴2ω=()26f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()266g x f x sin x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2) ()22226h x x cos x sin x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， 710,,2,21266626x x sin x πππππ⎡⎤⎛⎫∈≤+≤-≤+≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，12226sin x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，值域为[]1,2-.。
1.8函数y=Asin(wx+φ)的图象基础练习题
3．A
【分析】
由三角函数图象平移的规律即可得解.
【详解】
若将函数 的图象向右平移 个单位，
所得函数图象对应的函数表达式是 .
故选：A.
4．A
【分析】
根据图象求出 即可得到函数解析式.
【详解】
显然 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
由 得 ，
所以 ，即 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 .
故选：A
【点睛】
【点睛】
本题考查三角函数的伸缩变换，属于基础题.
7．C
【分析】
根据左加右减的原则，可得平移后的解析式为 ，化简整理，即可得出结果.
【详解】
将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象的函数解析式为
，整理得 .
故选C
【点睛】
本题主要考查三角函数的图像变换问题，熟记平移原则即可，属于基础题型.
8．D
【分析】
【详解】
（1）由已知得 ，解得 .
将点 代入解析式， ，可知 ，
由 可知 ，于是 .
（2）令
解得 ，
于是函数 的单调递增区间为 .
【点睛】
本题考查正弦函数的图像和性质,基础题.
21．（1） ；（2）当 时， ；当 时， .
【分析】
（1）先由周期为 求出 ,再根据 , 进行求解即可；
（2）先求出 ,可得 ,进而求解即可
15．2
【分析】
根据所给的相邻的零点可求周期，从而得到 的值.
【详解】
因为 ， 是函数 两个相邻的零点，
故 ，所以 ，故 ，
故答案为：2.
【点睛】
本题考查三角函数的图象性质，一般地，相邻两个零点之间的距离为半周期，相邻两条对称轴之间的距离也是半周期.
高考数学函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质
§3.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质
知识清单
2
1.函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期都是① | ω | .
2.函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期是② | ω | .
3.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
4.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图 用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表 所示:
(1)求A、B,确定函数的最大值M和最小值m,则A=
M
2
m
,B=
M
2
m
.
(2)求ω,确定函数的周期T,则ω=2T .
(3)求φ,常用代入法.
例1
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)
A>0,ω>0,|φ|<
2
,x∈R
的部分图象如
图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若g(x)=
3
f
5.确定y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,|φ|<π)中的参数的方法:
在由图象求解析式时,若最大值为M,最小值为m,则A= M m ,k= M m ,ω
2
2
由周期T确定,即由ω=2 求出,φ由特殊点的坐标确定.
T
方法技巧
方法 1 根据图象确定函数解析式
求函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π)的解析式的步骤:
=2sin 2x.
∵tan α=3,
∴g(α)=2sin
三角函数y=Asin(wx+φ)的图像和性质
专题：三角函数)sin(ϕ+=wx A y 的图像和性质一、知识点总结1、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 2、函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 3、函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． ⑥函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-< 二、课前热身1.函数())4f x x π=-(x ∈R )的最小正周期为2. 满足21)4sin(=-πx 的x 的集合为_____3. 已知函数sin()y A x ωϕ=+（0,||A ϕπ><）的一段图象如下图所示，则函数的解析式 ． 4. 要得到)32sin(π-=x y 的图像，只要将y=sin2x 的图像向___移动___单位 5. 函数y=cos(2x-3π) 的单调递增区间是____________________ 6. 若函数()3sin 2f x x ω=+（0ω>）在区间3,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则ω的取值范围是 ___7. 函数y=3sin （2x-6π）-2（2π≤x ≤32π）的值域为___________8. 关于函数()4sin(2)3f x x π=+（x R ∈），有下列命题① 由12()()0f x f x ==得12x x -必是π的整数倍； ② ()y f x =的表达式可改为()4cos(2)6f x x π=-；③ ()y f x =的图象关于点(,0)6π-对称；④ ()y f x =的图象关于直线6x π=-对称．其中正确的命题的序号是 ．（把你认为正确的命题的序号都填上） 三、典例分析例1：函数sin(A y =ωx )ϕ++B （0,0,>><ωπϕA ）的最大值为22，最小值为-2，周期为32π，图象过点（0，42-），求此函数解析式例2：已知函数)2,0[],21,23[,1sin 2)(2πθθ∈-∈-+=x x x x f （1）当6πθ=时，求f(x)的最大值和最小值；（2）求θ的范围，使f(x)在区间]21,23[-上是单调递减函数。
高考数学函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数的应用
课堂考点探究
[思路点拨]根据≤x≤可得≤2x-≤,由此讨论函数g(x)的单调区间和取值范围.
例3 已知函数f(x)=sin+4cos2x,将函数f(x)的图像先向右平移个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到函数g(x)的图像.(2)求函数g(x)在区间上的单调递减区间及取值范围.
课堂考点探究
课堂考点探究
变式题 (1)(多选题)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图像如图4-25-4所示,则下列结论正确的是( )A.函数f(x)的最小正周期为πB.函数f(x)图像的一条对称轴为直线x=C.函数f(x)的单调递减区间为,k∈ZD.当x∈时,函数f(x)的取值范围为
课前基础巩固
[解析]将(0,1)代入函数f(x)的解析式,可得2sin φ=1,即sin φ=.因为|φ|<,所以φ=.
例1 (1)(多选题)为得到函数y=cos的图像,只需将y=cos 2x的图像上所有的点( ) A.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位长度B.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位长度C.向右平移个单位长度,再将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)D.向右平移个单位长度,再将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
图4-25-4
课堂考点探究
(2)[2021·全国甲卷] 已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图像如图4-25-5所示,则满足条件>0的最小正整数x为 .
Asin(ωx+φ)的图像与性质练习(含解析)
专题4.5 函数y＝Asin(ωx＋φ）的图象与性质【考试要求】1.结合具体实例，了解y＝A sin(ωx＋φ）的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响;2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．【知识梳理】1。
用五点法画y＝A sin（ωx＋φ）一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.2.函数y＝A sin（ωx＋φ)的有关概念3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的两种途径4。
三角函数应用(1）用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象：简谐振动(单摆、弹簧等)，声波（音叉发出的纯音),交变电流。
(2）三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f(x）＝A sin（ωx＋φ）＋k中的待定系数。
(3)把实际问题翻译为函数f（x)的性质,得出函数性质后,再把函数性质翻译为实际问题的答案。
【微点提醒】1。
由y＝sin ωx到y＝sin（ωx＋φ）(ω>0，φ〉0)的变换：向左平移错误!个单位长度而非φ个单位长度。
2。
函数y＝A sin(ωx＋φ）的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋错误!（k∈Z）确定;对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z）确定其横坐标。
3.音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为y＝A sin ωx,其中x表示时间，y表示纯音振动时音叉的位移，错误!表示纯音振动的频率（对应音高)，A表示纯音振动的振幅(对应音强)。
4。
交变电流可以用三角函数表达为y＝A sin(ωx＋φ），其中x表示时间,y表示电流，A表示最大电流，错误!表示频率，φ表示初相位。
【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√"或“×”)（1)将函数y＝3sin 2x的图象左移错误!个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin错误!.（)（2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩"与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.（)(3)函数y＝A cos（ωx＋φ）的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为错误!.( )（4)由图象求解析式时,振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的。
高中 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质 知识点+例题 全面
辅导讲义――函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质教学内容1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图 五个特征点的取法：设X =ωx ＋φ，由X 取0，2π，π，23π，π2来求出相应的x 的值，及对应的y 值，再描点作图.如下表所示.x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：[例1] 函数)421sin(2π+=x y 的周期，振幅，初相分别是______________.[巩固1] 函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则ω=______；ϕ=______知识模块1 y ＝A sin(ωx ＋φ)精典例题透析[巩固] 若关于x 的方程01sin sin 2=+-+m x x 有解，则实数m 的取值范围为_____________.[例5] 要得到)21sin(x y -=的图象，只需将)621sin(π--=x y 的图象_______________.[巩固1] 为得到函数)3cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y sin =的图象_____________________.[巩固2] 为得到函数)62sin(π-=x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象_____________________.[例6] 已知函数x x f πsin )(=的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对的函数解析式为_____________.[巩固1] 函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式为____________.[巩固2] 已知函数),0,)(sin()(πϕπωϕω<<->∈+=R x x A x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式 是_______________.[例7] 设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号)[例]（1）已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝_____，φ＝_______.（2）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．[巩固] 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．（1）求其解析式；（2）若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．题型三：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质[例] (2014·重庆改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和φ的值；（2）当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．[巩固] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω，A >0,0<φ<π2)的最大值为2，最小正周期为π，直线x ＝π6是其图象的一条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间．1．(2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π42．(2013·浙江)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是__________.3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是______________.4．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是_____________.5．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_________________.6．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°， KL ＝1，则f (16)的值为________．，7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6) (x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值 为________℃.夯实基础训练。
函数y=Asin(wx+φ)的性质与图象(典型题型)高一数学(北师大版2019必修第二册)
∴在规定的8∶00至20∶00之间,有6个小时时间可供冲浪者运动，即9∶00至15∶00.
题型五： 用方程思想求三角函数图象的解析式
第一步：根据图象确定第一个平衡点、第二个平衡点或最高点、最低点．第二步：将“ωx＋φ ”作为一个整体，找到对应的值．第三步：列方程组求解．第四步：写出所求的函数解析式．
1.6函数y=Asin(x+)的性质与图象（典型题型）
横向伸缩
横向伸缩
温故知新
温故知新
0
温故知新
方法一
向左(>0)（右<0）平移|φ|个单位长度
各点的横坐标伸长(0<<1)(缩短>1）原来的
各点的纵坐标伸长(A>1)(缩短0<A<1)原来的A倍
倍
五.函数
在物理学中的几何意义
表示离开平衡位置的最大距离,
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b. (1)根据以上数据，求函数y＝Acosωt＋b(ω>0)的最小正周期T，振幅A及函数表达式． (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8∶00至20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
横坐标不变
纵坐标伸长到原来的 倍
向左平移
纵坐标不变
横坐标缩短到原来的 倍
变换二:
例2. 如何由 y=sinx 的图象得到 的图象?
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十四、三角函数函数图像与性质、函数sin()y A wx ϕ=+的图像性质及应用
1.求下列函数的定义域 (1)x
x y cos 2cos 1+=； (2)x y 2sin =. (3)y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4－x
2.求下列函数的最小正周期
(1))23πsin(x y -=； (2))4
π
2πtan(+=x y ； (3)y ＝｜sin x ｜
(4) y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 2－π4 (5))]1(2
πcos[)2πcos(-=x x y (6)f (x )＝(1＋3tan x )cos x
3.若函数cos()3y x πω=+(0)ω>的图象相邻两条对称轴间距离为2
π
，则ω等于 ．
4.已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数．求f ′(x )及函数y ＝f ′(x )的最小正周期；
5.函数)3π
21sin(2-=x y 的一条对称轴方程为( )
A ．3π4-=x
B ．6π5-=x
C ．3π-=x
D ．3
π
2=x
6.函数sin(2)3
y x π
=+图像的对称轴方程可能是（ ）
A ．6x π=-
B ．12x π=-
C ．6x π=
D ． 12x π
=
7.y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －π4的图象的一个对称中心是( )．
A ．(－π，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，0
8.求函数)3
π
2cos(-=x y 的对称轴方程和对称中心的坐标
9.已知函数()2sin()f x x ωϕ=+对任意x 都有()(),66f x f x ππ
+=-则()6f π等于（ ）
A . 2或0
B . 2-或2
C . 0
D . 2-或0
10.函数)3π
2sin(+=x y 的图象( )
A ．关于点(3π，0)对称
B ．关于直线4π
=x 对称
C ．关于点(4π，0)对称
D ．关于直线3
π
=x 对称
11.函数y ＝tan ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是 ．
12.求下列函数的单调区间
(1))3
π
21cos(-=x y
(2)]0,π[),6
π
2sin(2-∈+=x x y
(3)x x y 2sin 32cos -=
(4))23π
sin(2x y -=
(5)y sin(2)6x π
=++1
(6)]),0[)(26
sin(2ππ
∈-=x x y
(7)y ＝2|cos x | (8))4sin 2cos 4cos
2(sin log 2
1π
π
x x y -=
13.设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π
8. (1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间.
14.求下列函数的值域 (1) y ＝cos2x ＋cos x
(2))3π
2,6π(,sin 2-∈=x x y
(3))3
π
,2π(),3π2cos(2-∈+=x x y
(4)x x y 2cos 32sin -= )
66(π
π≤≤-x
(5) y ＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π3 (－π6<x <π6)(6)y ＝sin 2x ＋sin x －1
15.函数x x y cos 3sin +=在区间]2
,0[π
上的最小值为 .
16.函数)2
π
sin(sin 3)(x x x f ++=的最大值是______．
17.已知函数()sin sin(),2
f x x x x R π
=++∈.
(I)求()f x 的最小正周期； (II)求()f x 的的最大值和最小值；
18.试述如何由sin y x =的图像得到1sin(2)33
y x π
=+的图像。
反之呢？
19.把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动3
π
个单位长度，再把所得图象上所有点的横 坐标缩短到原来的
2
1
倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是 . 20.将函数sin()()6y x x R π=+∈的图象上所有的点向左平行移动4π
个单位长度，再把图象上各点的横
坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为 . 21.将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动
10
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原
来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 . 22.为了得到函数)6
2sin(π
-=x y 的图象,可以将函数x y 2cos =的图象( )
A ．向右平移
6π个单位长度 B ．向右平移3π
个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3
π
个单位长度
23.为了得到函数y ＝sin (2x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin 2x 的图像上所有的点( ) A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动1
2个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 24.为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( ) A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π
4个单位 C ．向右平移π12个单位 D ．向左平移π
12个单位
25.函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3的图象重合，则
φ＝_ _.
26.将函数y ＝3sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )
A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减
B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π12，7π12上单调递增
C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减
D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π6
，π3上单调递增
27.函数y ＝－xc os x 的部分图象是（ ）
28.函数)2
π
2π(lncos <<-
=x x y 的图象( )
29.设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π2)的部分图象如图所示，直线x ＝π
6是它的一条对称轴，则函数f (x )的解析式为( )
A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3
B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6
C ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3
D ．f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π6
30.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A >0，ω>0,0<φ<π
2)的部分图象如图所示．求f (x )的解析式；
31.已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.
32.已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象如图所示，则φ＝________.
33.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ) 的图象如图所示，f (π2)＝－2
3，则f (0)＝________.
34.下列函数中，图像的一部分如右图所示的是( )
A ．
sin()6y x π=+ B ．cos(2)6
y x π
=- C ．cos(4)3y x π=- D ．sin(2)6
y x π
=-
35.已知函数)sin(φϖ+=x A y 在同一周期内，当3π
=x 时有最大值2，当x=0时有最小值-2，那么函
数的解析式为_______________.
36.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π
2)的部分图象如图所示． (1)求函数f (x )的解析式；
(2)如何由函数y ＝2sin x 的图象通过适当的变换得到函数f (x )的图象.
37.函数)3
2sin(3)(π
-
=x x f 的图象为C ,如下结论中正确的是________ (写出所有正确结论的编号).
① 图象C 关于直线π12
11=x 对称; ② 图象C 关于点)0,3
2(π
对称;
③ 函数125,
12()(π
π-
在区间x f )内是增函数;
④ 由x y 2sin 3=的图象向右平移3
π
个单位长度可以得到图象C.
38.设函数y ＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，φ∈(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π
12对称，则 在下面四个结论中：
① 图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称； ②图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3，0对称；
③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数； ④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π6，0上是增函数，
所有正确结论的编号为________．。