苏科版八年级下册 第10章《分式》考点+易错整理
苏科版数学八年级下册《分式》考点复习
2111331,,,;,22x xy a x x y m π+++分式复习考点一 分式的有关概念1．当x 时，分式11+x 有意义；当x 时，分式11+x 有意义． 2. 若分式293x x -+的值为0，则x =___________ 。
3. 在代数式23153********a b ab c x xy a y +++、、、、、中，分式有（ ）. （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个4. 在式子中，分式的个数是（ ）。
A.5B.4C.３D.２考点二 分式的基本性质1. 下列各式与x y x y-+相等的是（ ）。
（A ）()5()5x y x y -+++ （B ）22x y x y -+ （C ）222()()x y x y x y -≠- （D ） 2222x y x y-+ 2. 如果把分式2x y x+中的x y 和都扩大10倍，那么分式的值（ ）. （A ）扩大10倍 （B ）缩小10倍 （C ）扩大2倍（D ）不变考点三 分式的约分 1. 化简222a b a ab-+的结果是（ ）. （A ）2a b a - （B ）a b a - （C ）a b a + （D ）a b a b-+ 考点四 分式的乘除法 1. )9(322-•-x xx x 222251033b a b a ab b a -⋅-；考点五 分式的通分1. 分式1a b +、222a a b -、b b a-的最简公分母为（ ）. （A ）22()()()a b a b a b -+- （B ）22()()a b a b -+（C ）22()()a b b a -- （D ）22a b -考点六 分式的加减法 【实质：通分 注意：分式的运算不能去分母】1. 化简24142a a +-+的结果是（ ）。
（A ）－12a + （B ）12a - （C ）12a - （D ）264a a +- 2. 计算：=--+---+4822222a a a a a a ________。
苏科版八年级下册 第10章 分式 常考题型、重点题型归纳 讲义(无答案)
分式常考题型典例精讲（一）分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x（2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x-84为正；（2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数. 举一反三1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1）3||61-x（2）1)1(32++-x x （3）x111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5+--x x（2）562522+--x x x（二）分式的基本性质及有关题型题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）yx yx --+- （2）ba a---（3）ba---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值.【例4】已知：21=-x x ，求221x x +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.举一反三1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）yx yx 5.008.02.003.0+-（2）b a ba 10141534.0-+2．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.3．已知：311=-b a ，求aab b b ab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值.5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---.（三）分式的运算 题型一：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--；（3）22,21,1222--+--x x x x xx x ； （4）aa -+21,2题型二：约分【例2】约分：（1）322016xy y x -； （2）n m m n --22； （3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+；（3）mn mn m n m n n m ---+-+22；（4）112---a a a ；（5）874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--；（6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ；（7）)12()21444(222+-⋅--+--x xx x x x x题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分式)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；（2）已知：432z y x ==，求22232zy x xzyz xy ++-+的值；（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a a a --的值.题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值.题型六：分式方程无解和增根例1．若分式方程xmx x -=--221无解，求m 的值。
苏科版八年级下册第十章 分式 章节整理复习
第十章 中心对称图形——平行四边形一、知识结构梳理二、重点专题解析专题1 分式有意义的条件与分式的值例1：当x 时，分式xx112-有意义。
例2：若分式)3)(2(2-+-x x x的值为0,则x 的值为 专题2 分式的基本性质与化简 例3：化简：222n m mnn m n n m m --+--例4：如图①、图②，设图②中阴影部分的面积图①中阴影部分的面积=k 0＞＞b a ，则有（ ）A.k ＞2B.1＜k ＜2C.121＜＜k D.210＜＜k专题3 分式方程与增根 例5：已知关于x 的分式方程112=++x a 的解是非正数。
则a 的取值范围是专题4 运用整体思想化繁为简 例6:设m ＞n ＞0，m 2+n 2=4mn ，则mnn m 22-的值为例7：如图实数满足x2+2x-3=0,那么代数式11)2`1(2+÷++x x x 的值为专题5 数学建模类型例8：甲乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同． （1）甲、乙两队单独完成此项任务需要多少天？（2）若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天？三、中考能力达标1.下列运算正确的是( )A.x 10÷x 5=x 2B.x -4·x=x -3C.x 3·x 2=x 6D.(2x -2)-3=-8x 62. 一件工作,甲独做a 小时完成,乙独做b 小时完成,则甲、乙两人合作完成需要( )小时. A.11a b + B.1ab C.1a b + D.aba b+ 3.化简a b a b a b --+等于( )A.2222a b a b +- B.222()a b a b +- C.2222a b a b -+ D.222()a b a b +- 4.若分式2242x x x ---的值为零,则x 的值是( )A.2或-2 B.2 C.-2 D.45.不改变分式52223x yx y -+的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果是( )A.2154x y x y -+ B.4523x y x y -+ C.61542x y x y -+ D.121546x yx y-+6.分式:①223a a ++,②22a b a b --,③412()a a b -,④12x -中,最简分式有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7.计算4222xx x x x x⎛⎫-÷⎪-+-⎝⎭的结果是( )A. -12x + B. 12x + C.-1 D.1 8.若关于x 的方程x a cb x d-=- 有解,则必须满足条件( ) A. a ≠b ，c ≠d B. a ≠b ，c ≠-d C.a ≠-b , c ≠d C.a ≠-b , c ≠-d9.若关于x 的方程ax=3x-5有负数解,则a 的取值范围是( )A.a<3 B.a>3 C.a ≥3 D.a ≤3 10.解分式方程2236111x x x +=+--,分以下四步,其中,错误的一步是( ) A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1)B.方程两边都乘以(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6C.解这个整式方程,得x=1D.原方程的解为x=111.把下列有理式中是分式的代号填在横线上 ．(1)－3x ；(2)y x ；(3)22732xy y x -；(4)－x 81；(5) 35+y ； (6)112--x x ；(7)－π-12m ； (8)5.023+m .12.当a 时，分式321+-a a 有意义． 13.若x=2-1,则x+x -1=__________. 14.某农场原计划用m 天完成A 公顷的播种任务,如果要提前a 天结束,那么平均每天比原计划要多播种_________公顷.15.计算1201(1)5(2004)2π-⎛⎫-+-÷- ⎪⎝⎭的结果是_________.16.已知u=121s s t -- (u ≠0),则t=___________. 17.当m=______时,方程233x mx x =---会产生增根. 18.用科学记数法表示:12.5毫克=________吨. 19.当x 时，分式xx--23的值为负数． 20.计算(x+y)·2222x y x y y x+-- =____________.2123651x x x x x+----; 22.2424422x y x y x x y x y x y x y ⋅-÷-+-+.23、（1）x x x x --=-+222； （2）41)1(31122=+++++x x x x（3）1131222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x （4）3124122=---x x x x24、已知方程11122-+=---x x x m x x ，是否存在m 的值使得方程无解？若存在，求出满足条件的m 的值；若不存在，请说明理由。
2021苏教版八年级数学分式知识点总结
2021苏教版八年级数学分式知识点总结苏教版八年级数学分式知识点总结1分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
3.分式的通分和约分：关键先是分解因式4.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减混合运算:运算顺序和以前一样。
能用运算率简算的可用运算率简算。
5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即;当n为正整数时6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂.(m,n是整数)(1)同底数的幂的乘法：;(2)幂的乘方：;(3)积的乘方：;(4)同底数的幂的除法：( a≠0);(5)商的乘方：();(b≠0)7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式(最简公分母)，把分式方程转化为整式方程。
解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为0，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。
解分式方程的步骤：(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程;(3)解整式方程;(4)验根.增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。
分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解;否则，这个解不是原分式方程的解。
列方程应用题的步骤是什么? (1)审;(2)设;(3)列;(4)解;(5)答.应用题有几种类型;基本公式是什么?基本上有五种：(1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题.(2)数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法.(3)工程问题基本公式：工作量=工时×工效. (4)顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水. v逆水=v静水-v水.8.科学记数法：把一个数表示成的形式(其中，n是整数)的记数方法叫做科学记数法.用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)提高数学成绩诀窍联想与总结联想与总结贯穿与学习过程中的始终。
苏科版八年级下册 第10章《分式》考点+易错整理
当 x 1 时， (x 2)(x 1) 0 .故 x 1 是原分式方程的解.
2
2
【规律·技法】分式方程的解法主要用到转化的数学思想，通过方程两边同乘最简公分母， 把分式方程化为整式方程后再进行求解，检验是解分式方程必不可少的步骤. 【反馈练习】
5.若关于 x 的分式方程 m 1 x 2 有增根，则实数 m 的值是
式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了 10 元. (1)这两次各购进这种衬衫多少件? (2)若第一批衬衫的售价是 200 元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于 1 950
元，则第二批衬衫每件至少要售多少元?
点拨:(1)本题中的等量关系是“第二次进货数量=第一次进货数重× 1 ”，抓住等量关系列分 2
.
x2
分析:当分母 x 2 0 ，即 x 2 时，分式 1 有意义. x2
答案: x 2
【规律·技法】若分式有意义，则分母不等于零. 【反馈练习】
1.分式 2 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是
.
x9
点拨:当分母不为 0 时，分式有意义.
2.在代数式 x2 1, 3xy , 3 , a 1 中，分式的个数有( ) 2 xy m
式方程解答即可.(2)抓住“总利润≥1 950”列不等式解决. 易错题辨析 易错点 1 忽视分式值为 0 时需满足的条件
例1
当
x
为何值时，
x(x x2
3) 9
的值等于
0?
错误解答:由题意，得 x(x 3) 0 ，解得 x 0 或 x 3 .
得 t = 2.5.经检验， t = 2.5 是所列方程的解.则 1.4 t = 3.5.故 A 车行驶的时间为 3.5 h ,B 车行驶 的时间为 2.5 h .
苏科版八年级数学下册第10章分式知识点总结和易错点巩固(无答案)
分式知识点总结与易错点巩固知识点1分式的概念：整式A 除以整式B ，可以表示成B A 的形式，如果除式B 中含有 ，那么称BA 为分式。
1. 下列各式中，3y x -，12-x a ，1π＋x ，b a 3-，y x ＋21，21x ＋y ，312-2＋＝x x 。
整式有 ，分式有 。
知识点2分式有意义、无意义、值为0，为正、为负2. 要使分式112＋x x -无意义，则x 的取值范围是 ，要使分式112＋x x -有意义，则x 的取值范围是 ，要使分式112＋x x -的值为0，则x 的值是 ，当x 时25-x x 值为负数。
3. 分式38＋m 表示一个正整数时，整数m 可取的值是 ，已知x 为整数，且分式4-632x x ＋的值为整数，则x 可取的值是 。
4. 当x 为任意有理数时，下列分式一定有意义的是（ ） A.11＋＋x x B.21x x ＋ C.9-12x x ＋ D.113＋＋x x 知识点3分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的 ，用式子表示为 。
5. 下列式子正确的是（ ）A. 022＝＋＋y x y xB.1---＝＋y a y aC.x z y x z x y -＋＝＋-D.0＝＋＝＋ad c d c a d c a d c ---- 6. 化简4422＋x x y xy --的结果是（ ）A.2-x y B.2-x x C.2＋x y D.2＋x x7. 约分①ba ab 2205＝ ； ②96922＋x x x --＝ ； ③22112m m m --＋＝ ；④若211＝y x -，则yxy x y xy x ---2232＋的值是 ； 8. 将ba ab a 2352-＋中的a ，b 都扩大为原来的4倍，则分式的值（ ） A. 不变 B.扩大原来的4倍 C.扩大原来的8倍 D.扩大原来的16倍9. 分式：①322＋＋a a ，②22b a b a --，③()b a a -124，④21-x 中，最简分式有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10. 填写出未知的分子或分母：（1）()223yx y x x -＝＋；（2）()11212＝＋＋＋y y y 11. 把y x y x 5225.05.051＋-分子和分母中各项系数化为整数 。
苏科版八年级下册期末复习第10章《分式》知识点及题型总结与巩固训练
八下第10章《分式》知识点与拓展训练一、分式的定义：一般地， 。
二、与分式有关的条件：①分式有意义： ；②分式无意义： ；③分式值为0： ；④分式值为正或大于0： ；⑤分式值为负或小于0： ；⑥分式值为1： ； ⑦分式值为-1： ；三、分式的基本性质：分式的 分式的值不变。
字母表示： 其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：BB A B B --=--=--=AA A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。
四、分式的约分：1．定义： 叫做分式的约分。
2．步骤：把分式分子分母 ，然后约去分子与分母的 。
3．注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
4．最简分式的定义： ，叫做最简分式。
◆约分时。
分子分母公因式的确定方法：1)系数取分子、分母系数的 公约数作为公因式的系数. 2)取各个公因式的 次幂作为公因式的因式.3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母 因式,然后判断公因式.五、分式的通分：1．定义： 叫做分式的通分。
（依据：分式的基本性质！）2．最简公分母：取各分母所有因式的 次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
◆通分时，最简公分母的确定方法：1．系数取各个分母系数的 公倍数作为最简公分母的系数. 2．取各个公因式的 次幂作为最简公分母的因式.3．如果分母是多项式,则应先把每个分母 因式,然后判断最简公分母.六、分式的四则运算与分式的乘方：① 分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的 ， 的积作为积的分母。
式子表示为：db ca d cb a ••=•分式除以分式：把除式的 、 颠倒位置后，与被除式相乘。
式子表示为：cc ••=•=÷b da db a dc b a ② 分式的乘方：把 、 分别乘方。
苏科版八年级下册 第10章 分式知识点和典型例习题 讲义(无参考解答)
分式知识点和典型例习题【知识网络】第一讲 分式的性质【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b ca a a a±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac •=,b c b d bda d a c ac÷=•=4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;am●a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= a mb n, (a m)n= amn7.负指数幂: a-p=1pa a 0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x（2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x -84为正； （2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1）3||61-x（2）1)1(32++-x x （3）x111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5+--x x（2）562522+--x x x3．解下列不等式 （1）012||≤+-x x （2）03252>+++x x x（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：MB MA MB M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）y x y x --+- （2）b a a--- （3）b a ---题型三：化简求值题【例3】已知：311=+yx ，求y xy x y xy x +++-2232的值.提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出yx 11+.【例4】已知：21=-x x ，求221x x +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）yx yx 5.008.02.003.0+-（2）b a ba 10141534.0-+ 2．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.3．已知：311=-b a ，求aab b b ab a ---+232的值. 4．若0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值.5．如果21<<x ，试化简xx --2|2|x x x x |||1|1+---. 第二讲 分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--； （3）22,21,1222--+--x x x x xx x ； （4）aa -+21,2 题型二：约分【例2】约分： （1）322016xy y x -；（3）n m m n --22；（3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+；（3）mn mn m n m n n m ---+-+22；（4）112---a a a ；（5）874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--； （6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ； （7）)12()21444(222+-⋅--+--x xx x x x x题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；（2）已知：432z y x ==，求22232zy x xzyz xy ++-+的值； （3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a a a --的值.题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值. 练习：1．计算（1）)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ；（2）ab abb b a a ----222；（3）ba c cb ac b c b a c b a c b a ---++-+---++-232；（4）ba b b a ++-22；（5）)4)(4(ba abb a b a ab b a +-+-+-； （6）2121111x x x ++++-；（7）)2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1--+-----x x x x x x .2．先化简后求值（1）1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a . （2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()(yxx y x y x xy y x ÷-⋅+÷-的值.3．已知：121)12)(1(45---=---x Bx A x x x ，试求A 、B 的值.4．当a 为何整数时，代数式2805399++a a 的值是整数，并求出这个整数值.第三讲 分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程 （1）x x 311=-； （2）0132=--x x ； （3）114112=---+x x x ； （4）x x x x -+=++4535提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根. 题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程 （1）4441=+++x x x x ； （2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示：（1）换元法，设y x x =+1；（2）裂项法，61167++=++x x x .题型三：求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值.【例5】若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围. 提示：032>-=ax 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a .题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于x 的方程)0(≠+=--d c dcx b a x 提示：（1）d c b a ,,,是已知数；（2）0≠+d c .题型五：列分式方程解应用题练习：1．解下列方程： （1）021211=-++-xxx x ； （2）3423-=--x x x ； （3）22322=--+x x x ；（4）171372222--+=--+x x x x xx （5）2123524245--+=--x x x x （6）41215111+++=+++x x x x2．解关于x 的方程： （1）b x a 211+=)2(a b ≠；（2）)(11b a xbb x a a ≠+=+.3．如果解关于x 的方程222-=+-x xx k 会产生增根，求k 的值.4．当k 为何值时，关于x 的方程1)2)(1(23++-=++x x kx x 的解为非负数.5．已知关于x 的分式方程a x a =++112无解，试求a 的值. （二）分式方程求待定字母值的方法例1．若分式方程xmx x -=--221无解，求m 的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第10章《分式》考点+易错整理知识梳理重难点分类解析考点1 分式的概念及性质【考点解读】分式的概念主要内容包括分式的定义、分式有意义的条件、分式的值等;分式的性质包括分式的基本性质、通分和约分.中考中对该知识点要求较低，多以基础题的形式出现.例1 (2018·盐城)要使分式12x -有意义，则x 的取值范围是 . 分析:当分母20x -≠，即2x ≠时，分式12x -有意义.答案: 2x ≠【规律·技法】若分式有意义，则分母不等于零. 【反馈练习】 1.分式29x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 . 点拨:当分母不为0时，分式有意义.2.在代数式21331,,,2x xy a x y mπ+++中，分式的个数有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个点拨:根据分式是分母中含有字母的式子进行判断即可. 考点2 分式的运算 【考点解读】分式的运算包括分式的加减和分式的乘除，分式的基本性质是解决分式运算问题的关键，在中考中分式的运算多以计算题出现，属于简单题.例2 (2018·泰州)化简: 22169(2)11x x x x x -++-÷+-. 分析:本题考查分式的化简，先算括号内的减法，把除式分子和分母中多项式因式分解，同时把除法变为乘法再约分化简. 解答:原式= 222(1)1(1)(1)3(1)(1)1[]11(3)1(3)3x x x x x x x x x x x x x x +-+-++---⋅=⋅=++++++【规律·技法】整式与分式进行运算时，常把整式化为分式形式后再进行通分. 【反馈练习】3.化简：11(2)()a a a a++÷-.点拨:先算括号内加减法，再利用除法法则把除法运算变为乘法运算，并且因式分解分式中复杂的因式最后约分化为最简分式. 4. (2018·淮安)先化简，再求值: 212(1)11a a a -÷+-，其中3a =-.点拨:先把括号中的式子通分，再把除法转化为乘法进行化简，最后把a 的值代入化简后的式子计算求值. 考点3 分式方程【考点解读】分式方程的解法主要利用转化的数学思想，即把分式方程转化为整式方程，再进行求解，转化过程中可能会出现增根，故在解分式方程时一定要检验.中考中常以简单的计算题出现，遗忘检验是失分的主要原因. 例3 (2018·镇江)解方程:2121x x x =++-. 分析:两边同时乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后解答，检验后确定方程的解.解答:两边同时乘(2)(1)x x +-，得(1)2(2)(2)(1)x x x x x -=+++-.去括号，得22242x x x x x -=+++-.移项、合开同类项，得42x =-.系数化为1,得12x =-.检验:当12x =-时，(2)(1)0x x +-≠.故12x =-是原分式方程的解.【规律·技法】分式方程的解法主要用到转化的数学思想，通过方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程后再进行求解，检验是解分式方程必不可少的步骤. 【反馈练习】5.若关于x 的分式方程1244m xx x-=---有增根，则实数m 的值是 . 点拨:先去分母转化为整式方程，利用方程有增根，使分式方程的分母为0的x 的值，代入整式方程即可解决问题. 6.解方程:14555x x x-+=--.点拨:先去分母化为整式方程，再解方程，最后检验方程的根是否是增根. 考点4 列分式方程解决问题 【考点解读】列分式方程解决问题的关键是要找出问题的等量关系，根据等量关系列出方程从而解决问题，在解方程时要注意进行检验.例4 (2018·徐州)徐州至北京的高铁里程约为700 km ，甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐“徐州号”高铁A 与“复兴号”高铁B 前往北京.已知A 车的平均速度比B 车的平均速度慢80 km/h, A 车的行驶时间比B 车的行驶时间多40%，两车的行驶时间分别为多少? 分析:解题关键是找出解决问题的等量关系列出方程.设B 车行驶的时间为t h ，则A 车行驶的时间为1.4t h ，根据速度=路程÷时间得出关于t 的分式方程，解此分式方程并检验即可得出结论.解答:设B 车行驶的时间为t h ，则A 车行驶的时间为1.4t h.由题意，得700700801.4t t-=，解得t = 2.5.经检验，t = 2.5是所列方程的解.则1.4t = 3.5.故A 车行驶的时间为3.5h ,B 车行驶的时间为2.5h .【规律·技法】行程问题的等量关系主要体现在速度、时间和路程的关系，如速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，掌握基本的等量关系是解题的关键. 【反馈练习】7.某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原 来每天多50%，结果提前10天完成任务，原来每天制作多少件?点拨:本题考查了分式方程的应用，解题的关键是根据题意列出符合等量关系的分式方程并正确求解检验。
本题中的等量关系是“原计划的天数－实际的天数=10”，然后用代数式分别表示原计划的天数和实际的天数.8.某服装店用4 500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2 1 00元购进第二批该款 式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元. (1)这两次各购进这种衬衫多少件?(2)若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1 950 元，则第二批衬衫每件至少要售多少元?点拨:(1)本题中的等量关系是“第二次进货数量=第一次进货数重×12”，抓住等量关系列分式方程解答即可.(2)抓住“总利润≥1 950”列不等式解决. 易错题辨析易错点1 忽视分式值为0时需满足的条件 例1 当x 为何值时，2(3)9x x x +-的值等于0? 错误解答:由题意，得(3)0x x +=，解得0x =或3x =-.错因分析:造成错误的原因是使分式的值为0，必须是分式的分子为0，而分母不能为0，但分式的分母不为0有时容易被忽略. 正确解答:由题意，得2(3)090x x x +=⎧⎨-≠⎩，解得0x =.易错辨析:分式的值为0必须同时满足以下两个条件:(1)分子为0;(2)分母不为0.即要使分式0AB=.则0A =且0B ≠,也就是说，必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值等于或不等于0的条件.易错点2 不能正确运用分式的基本性质例2 不改变分式的值，把分式11341123m nm n +-的分子、分母中的各项系数都化为整数. 错误解答: 1111()12433434111132()62323m n m n m n m n m n m n ++⨯+==---⨯. 错因分析:错解中，分子、分母所乘的不是同一个数，虽然把各项系数化成了整数，但分式的值改变了.正确解答: 1111()12433434111164()122323m n m n m n m n m n m n ++⨯+==---⨯. 易错辨析:将各项系数化为整数的前提条件是不能改变分式的值.由分式的基本性质可知，若分式的值不变，则分式的分子和分母所乘(或除以)的必须是同一个不等于0的数或整式. 易错点3 分式化简时的错误 ①通分时去分母 例3 化简:23211x x x ---+. 错误解答:原式=32(1)32(1)1(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x ---=---=--+-+-.错因分析:上述化简过程从第2步开始就出现了错误，错误的原因是通分时去分母了，为了防止此类错误的发生，要理解分式化简每一步的变形依据都是分式的基本性质，通分要保留分母，而不是去分母. 正确解答:原式=32(1)32(1)1(1)(1)(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x x x x x ------==-+-+-+--.易错辨析:为了防止通分时去分母，就要注意使用分式的基本性质，只能约分，而不能去分母.②忽视分数线的括号作用例4 化简:26193x x ---. 错误解答:原式= 2263999x xx x -+-=--.错因分析:本题忽视了分数线的括号功能，在通分时，应将3x +用括号括起来. 正确解答:原式=226(3)3(3)199(3)(3)3x x x x x x x x -+---===---+-+.易错辨析:分数线有时起到括号的作用. ③运算顺序出错例5 化简：22221()()2a b a b a ab b a b-+÷⋅-++错误解答:原式= 22221()1()()()a b a b a b a b a b a b a b-+÷⋅=+⋅=++++. 错因分析:运算顺序不对，没有按照从左到右的运算顺序计算，而错误地用“结合律”导致出错.正确解答:原式=22222421()()()()()()()()a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b--+÷⋅=+⋅-⋅=+--++. 易错辨析:乘除运算是同级运算，运算顺序是从左向右依次计算.由于受“结合律”的影响而容易出现忽视运算顺序的错误.乘除运算的规律一般是先把除法转化为乘法，再按照乘法法则进行计算.若乘方与乘除混合，要先乘方，再乘除. 易错点4 解分式方程时忽视对根的检验 例6 解方程：22011x x x -=+-. 错误解答: 方程两边同乘(1)(1)x x -+，得2(1)0x x --=，解这个方程，得2x =.所以2x =是原方程的解.错因分析:此题错在没有检验，解分式方程必须要验根.正确解答:方程两边同乘(1)(1)x x -+，得2(1)0x x --=，解这个方程，得2x =. 检验:当2x =时，(1)(1)0x x -+≠，所以2x =是原方程的解.易错辨析:通过“去分母”把分式方程转化为整式方程，但这个整式方程的解可能使原分式方程的分母为零，因而一定要验根. 【反馈练习】1.当x = 时，分式242x x -+的值为零.点拨:必须在分式有意义的前提下讨论分式的值是否等于0，易错的地方是忽视分式有意义时分母不为0这个条件. 2.计算: 111a a ++-.点拨:本题易混淆分式的运算与通分，错误地得到2211(1)(1)1111a a a a a a ++=+-+=-+=-，分式的加减运算应先通分.3.计算: 221112111x x xx x x x-+-÷⋅-+-+.点拨:本题易错的是先把后面两个分式相乘使运算简便，忽视了运算顺序. 4.计算:11()222x x x x x x +-÷++-+.点拨:本题易出现错解: 原式=1122(2)22222121(2)(1)1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x+--+-÷+÷=⋅+⋅=++-+++++-++-， 错误的原因是把分式的乘法分配律用在除法上. 5.当k 为何值时，关于x 的方程123(2)(3)x x x kx x x x ++-=-+-+的解为负数?点拨:对于求含有字母的分式方程的解，考虑问题一定要全面，若未知数的取值使得原分式方程中的分母为零，则应舍去. 探究与应用探究1 整体代换求值例1 (1)若20(0)x y x -=≠，则2222323x xy y x xy y -++-= ;(2)若115x y+=，则2522x xy y x xy y -+++= ;(3)若210x x --=，则4521x x x ++= .点拨:观察题干条件，可用消元思想与整体代换法，计算分式的值.(1)由条件，得2(0)x y x =≠,所以原式=222222(2)3212(2)2377y y y y y y y y y y -⋅⋅+-==-+⋅-.(2)方法一:因为115x y +=,所以5x y xy +=.所以原式= 2555527xy xy xy xy ⋅-=+. 方法二:由分式性质，将分子、分母同时除以xy ，所以原式=2251055115272y x y x-+-==+++. (3)由210x x --=，得21x x =+.所以原式=222222222()21(1)214214253531()(1)(21)(121)323(1)2x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x++++++++++++======+++++++++ 答案:(1) 17-(2) 57(3) 1 【规律·提示】在解答分式题时，适当运用整体思想，会使问题巧妙解决，如分式化简求值中经常运用整 体代换法.分式的化简求值通常分为有条件和无条件两类，给出一定的条件并在此条件下求分式的值的问题称为有条件的分式化简求值.解这类问题，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要依据条件逼近目标，又要能根据目标变换条件.常常用到如下策略:①适当引入参数;②拆项变形或拆分变形;③整体代入;④取倒数或利用倒数关系等. 【举一反三】1. (1)已知2310a a -+=，则代数式361a a +的值为 .(2)已知112a b +=，则a b a ab b+-+= . (3)已知1xy =，则11x yx y+++= . 探究2 类比转化、归纳猜想等数学思想解决问题 例2 解方程:18272938x x x x x x x x +++++=+++++. 点拨:如果本题直接去分母，运算量较大，但联想到分数中，当分子大于分母时，如83， 可化为823222333⨯+==+，类比到分式中，当分子的次数不小于分母的次数时 可分离系数，即12111222x x x x x ++-==-+++，从而减少运算量. 解答:原方程可化为111111112938x x x x -+-=-+-++++.移项，得11113298x x x x -=-++++.整理，得2211561772x x x x --=++++.所以22561772x x x x++=++，解得112x=-.经检验，112x=-是原方程的解.【规律·提示】本章知识一般情况下都要通过类比才可以发现新旧知识的相同点，利用已有的知识来认识新知识.由分数的定义、基本性质、通分、约分、分数的加减乘除等运算法则类比引入学习分式的相关知识;从分数的一些运算技巧类比引入了分式的运算技巧.例3 设223()121a aA aa a a-=÷-+++.(1)化简A;(2)记()A f a=.当3a=时，记此时A的值为(3)f;当4a=时，记此时A的值为(4)f;...;解关于x的不等式:27(3)(4)(11)4x xf f fx---≤++⋅⋅⋅+，并将解集在数轴上表示出来.点拨:本题第(2)小题属于新定义型，对于本题中的()f a，可利用“一分为二”的裂项法进行化简,即21111()(1)1f aa a a a a a===-+++.解答:(1)2222(1)32111(1)1(1)(2)(1)a a a a a aAa a a a a a a a a-+--+=÷=⋅==+++-++(2)因为当3a=时，211(3)3312f==+;当4a=时，211(4)4420f==+，当5a=时，211(5)5530f==+;….因为27(3)(4)(11)24x xf f f---≤++⋅⋅⋅+，即271112434451112x x---≤++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯，所以271111112434451112x x---≤-+-+⋅⋅⋅+-，所以271124312x x---≤-，所以271244x x---≤，解得4x≤.所以原不等式的解集是4x≤，在数轴上表示如图所示:【规律·提示】在有关分式的运算中，当项数较多时，可利用归纳与猜想的思想寻找这些式子的一般规律，从而减少运算量.【举一反三】2.一列数123,,,a a a⋅⋅⋅，其中1111,(21nna a na-==+为不小于2的整数)，则4a等于( )A.58 B. 85 C. 138 D. 8133.若关于x 的方程213224k x x x +=-+-无解，求k 的值.探究3 特殊方法解决实际问题例4 某工程，甲队单独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a 倍，乙队单独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的b 倍，丙队单独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c 倍，则111111a b c +++++的值是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4点拨:本题属于工程类应用题，不妨设甲、乙、丙三队的工作效率分别为,,x y z .再根据条件列方程，将,,a b c 用,,x y z 表示，即可求值.设甲、乙、丙三队的工作效率分别为,,x y z ,则111,,a b cx y z y x z z x y ===+++.所以y z a x +=.所以1x y z a x+++=，即11x a x y z =+++.同理可得11,11y z b x y z c x y z==++++++.三式相加、整理，得1111111a b c ++=+++. 答案:A【规律·提示】在分式运算及解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过模型去解决实际问题.经历“实际问题—分式方程模型—求解—检验解的合理性”的“数学化”过程，体会分式方程模型的思想. 【举一反三】4.某商场在一楼和二楼之间安装了一个自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一个男孩和一个 女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯行驶，两人也走梯).如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍.已知男孩走了27级到达扶梯顶部， 而女孩走了18级到达顶部.(1)扶梯露在外面的部分有多少级?(2)现扶梯旁有一个从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两人 各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼(不考虑扶梯与楼梯间的距离)，如此反复.求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶?参考答案知识梳理A CBC ÷÷ b c a ± bd ac ad ± bd ac bcad未知数 整式 分式 方程 检验 重难点分类解析 【反馈练习】 1.9x ≠ 2. A 3.11a a +- 4. 212(1)11a a a -÷+-12a -=. 当3a =-时，原式2=-. 5. 36. 无解7. 原来每天制作16件.8. (1) 第一批衬衫购进30件，第二批购进15件. (2)第二批衬衫每件至少要售170元. 易错题辨析 【反馈练习】 1. 22. 21a a -3. 11x x --+ 4. 26x -5. 当3k <且12k ≠-时，方程的解为负数.探究与应用 【举一反三】 1. (1)118(2) 2 (3) 1 2. A3. 1k =-或34k =-时，方程无解 4. (1) 扶梯露在外面的部分有54级.(2) 男孩第一次追上女孩时走了198级台阶.。