托勒密定理的向量证明
托勒密定理
托勒密定理托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。
从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．证明一、（以下是推论的证明，托勒密定理是其中一种特殊情况）在任意凸四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ACD,连接DE.则△ABE∽△ACD所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD,所以△ABC∽△AED.BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）二．复数证明用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。
首先注意到复数恒等式：(a− b)(c− d) + (a− d)(b− c) = (a− c)(b− d) ，两边取模，运用三角不等式得。
等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。
四点不限于同一平面。
平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。
1.任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。
2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、托勒密不等式：凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。
证明托勒密(ptolemy)定理
证明托勒密(ptolemy)定理
【提纲】
1.介绍托勒密定理
托勒密定理，又称托勒密-费马定理，是一个关于三角形内角和与边长之间关系的数学定理。
该定理的表述为：在同一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
2.证明托勒密定理的步骤
证明托勒密定理的方法有多种，这里我们以几何证明法为例：
（1）假设三角形ABC的三边长分别为a、b、c，其中a+b>c、
a+c>b、b+c>a；
（2）作边BC的平行线，交边AC于点D，构造三角形ABD和DBC；
（3）根据平行线性质，可知∠ADB=∠C，∠BDA=∠BC；
（4）在三角形ABD和DBC中，根据三角形内角和为180°，可得
∠ABD+∠ADB+∠BDA=180°；
（5）将∠ADB和∠BDA替换为∠C和∠ABC，得到
∠ABC+∠ABD+∠C=180°；
（6）同理，可得∠ABC+∠ADB+∠BC=180°；
（7）将（4）和（6）两式相减，得到∠AB D-∠C=∠C-∠ABC；
（8）根据步骤1中的条件，可知a+b>c，故∠ABD>∠C，同理
∠C>∠ABC；
（9）结合（7）式，得到∠ABD>∠C>∠ABC，即证明了托勒密定理。
3.托勒密定理的应用
托勒密定理在几何学中具有广泛的应用，如在解决三角形的判定、性质、最值等问题时，都可以利用托勒密定理进行求解。
此外，托勒密定理还可以与其他定理相结合，如与勾股定理、相似三角形等定理相互验证。
4.结论
托勒密定理是一个重要的几何定理，通过几何证明法可以简洁明了地证明其正确性。
平面几何的几个重要定理--托勒密定理2
1平面几何的几个重要定理－－托勒密定理托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)． 即：；内接于圆，则有：设四边形BD AC BC AD CD AB ABCD ⋅=⋅+⋅；内接于圆时，等式成立并且当且仅当四边形中，有：定理：在四边形ABCD BDAC BC AD CD AB ABCD ⋅≥⋅+⋅一、直接应用托勒密定理例1 如图2，P 是正△ABC 外接圆的劣弧上任一点(不与B 、C 重合)， 求证：PA=PB ＋PC ．二、完善图形 借助托勒密定理例2 证明“勾股定理”：在Rt △ABC 中，∠B=90°，求证：AC 2=AB 2＋BC 2四点共圆时成立；、、、上时成立，即当且仅当在且等号当且仅当相似和且又相似和则：，，使内取点证：在四边形D C B A BD E BDAC BC AD CD AB ED BE AC BC AD CD AB EDAC BC AD AD EDAC BC AED ABC EAD BAC AD AE AC AB BEAC CD AB CD BEAC AB ACD ABE ACDABE CAD BAE E ABCD ⋅≥⋅+⋅∴+⋅=⋅+⋅∴⋅=⋅⇒=∴∆∆∴∠=∠=⋅=⋅⇒=∴∆∆∠=∠∠=∠)(2 例3 如图，在△ABC 中，∠A 的平分 线交外接∠圆于D ，连结BD ，求证：AD ·BC=BD(AB ＋AC)．三、构造图形 借助托勒密定理例4 若a 、b 、x 、y 是实数，且a 2＋b 2=1，x 2＋y 2=1．求证：ax ＋by ≤1．四、巧变原式 妙构图形，借助托勒密定理例5 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2=b(b ＋c)，求证：∠A=2∠B ．五、巧变形 妙引线 借肋托勒密定理例6 在△ABC 中，已知∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶4，练习：1.已知△ABC 中，∠B=2∠C 。
托勒密定理及逆定理的证明
托勒密定理及逆定理的证明托勒密定理是著名的数论定理，它是基于17世纪被认为是阿基米德一世完成的一个古老定理，他提出了方阵与它的迹之间的关系。
它说，如果一个正整数n分解成质因子的乘积：n=p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak其中pi（i=1，2，…k）是独立的质数，而ai（i=1，2，…k）是相应幂，那么Tr(A^n)=(p1^a1+ p2^a2 + ... + pk^ak )其中Tr(A)是一个正整数的迹的定义。
托勒密定理的证明也叫做托勒密·迹证明。
这是一个形式化的正整数乘积的证明。
所述m乘以n是正整数的乘积。
正确证明：先证明m和n的可行前提首先，证明m和n都是正整数。
由于m和n都是正整数，因此它们的值有可行的解决方案。
假设A的m的n次幂的迹Tr (A^{mn})=p1^{a1} + p2^{a2} + ... + pk^{ak}首先，证明：Trace (A^{mn})=Trace (A^m) × Trace (A^n)根据定义，记A的m的n次幂的迹 = Trace (A^{mn})Trace (A^m)的n次幂的迹 = p1^{ma1} + p2^{ma2} + ... + pk^{mak}Trace (A^n)的m次幂的迹 = p1^{na1} + p2^{na2} + ... + pk^{nak}根据上面的推理，以及可行性前提，可得证明托勒密定理：Trace (A^n)=(p1^a1+p2^a2 + ... + pk^ak )给定正整数n和质数p，如果n=p^ai且n和p互素，则a1<a2<…<ak 。
首先证明前提：由于给定n和p是正整数，其他正确性由可行前提提供。
然后证明则a1<a2<…<ak。
根据定义假设n=p^ai则当i>=2时：对于1<i<=k记a1=ai-1,则有a2=a1+1,a3=a2+1,…ak=a(k-1)+1。
证明托勒密(ptolemy)定理
证明托勒密(ptolemy)定理
托勒密定理，也称为托勒密定律，是平面几何中的一个重要定理，描述了一个四边形内接于一个圆的性质。
托勒密定理的表述如下：
在一个凸四边形ABCD 中，如果ABCD 的对边（相对的边）的乘积等于对角线AC 和BD 的乘积之和，即AB⋅CD+BC⋅AD=AC⋅BD，那么这个四边形是内接于一个圆的。
以下是托勒密定理的简要证明：
假设四边形ABCD 内接于一个圆，圆心为O。
我们可以使用三角形相似和角平分线定理来证明。
1.证明三角形AOB 与COD 相似：
由于四边形ABCD 是内接于一个圆的，所以角AOC 和BOD 是圆心角，即两者的角度相等。
同理，角AOB 和COD 也相等。
因此，三角形AOB 与COD 相似。
2.利用相似三角形证明托勒密定理：
根据相似三角形AOB 与COD，我们可以得到以下比例：
CDAB=OCOAADBC=ODOB
将这两个比例相加，并整理得到：
CDAB+ADBC=OCOA+ODOB
这样，我们就得到了托勒密定理的表达形式。
通过这个证明，我们可以理解为什么当四边形ABCD 满足托勒密定理时，它是内接于一个圆的。
这个定理在几何学和三角学中有着重要的应用。
证明托勒密(ptolemy)定理
证明托勒密(ptolemy)定理摘要：I.引言- 托勒密定理的背景和意义II.托勒密定理的定义- 圆内接四边形的定义- 托勒密定理的表述III.托勒密定理的证明- 证明思路和方法- 证明过程详述IV.结论- 托勒密定理的结论和应用- 总结与展望正文：I.引言托勒密定理是几何学中的一个重要定理，它涉及到圆内接四边形的性质。
该定理的发现者是古希腊数学家托勒密，它在数学、物理等领域有着广泛的应用。
本文将介绍托勒密定理的证明过程，并探讨其在几何学中的重要意义。
II.托勒密定理的定义首先，我们需要了解什么是圆内接四边形。
圆内接四边形是指一个四边形，它的四个顶点都在同一个圆上。
托勒密定理是关于这种四边形的一个性质，它的表述如下：在任意圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两对对边乘积之和。
即，若四边形ABCD 为圆内接四边形，则有AC * BD = AB * CD + AD * BC。
III.托勒密定理的证明托勒密定理的证明方法有很多种，这里我们介绍一种基于相似三角形的证明方法。
证明过程如下：1.在四边形ABCD 中，作AE || BD，CF || AD，E、F 分别为AC、BD 的交点。
2.由于AE || BD，CF || AD，所以四边形AECD 和四边形BFDC 是相似的。
3.同理，四边形ABCF 和四边形ADCB 是相似的。
4.根据相似三角形的性质，我们有AE/BD = CF/AD，即AE * AD = CF * BD。
5.将AE * AD = CF * BD 代入AB * CD + AD * BC = AC * BD，得AB * CD + CF * BD = AC * BD。
6.由于CF || AD，所以∠ACF = ∠DAB，∠BCF = ∠ADC。
7.根据相似三角形的性质，我们有AC/CF = AB/BD，即AC * BD = AB * CF。
8.将AC * BD = AB * CF 代入AB * CD + CF * BD = AC * BD，得AB * CD + AB * CF = AC * BD。
托勒密定理的向量证明
得 出一些 耐人 寻 味 、 发人深 思 的结 论．
我们 现在 研 究 的托勒 密 （ ｔｊｍｙ 定理 ， Ｐ ｏｅ ）
实际上 是托勒 密从 依 巴谷 （ ｐ ａｃ ｕ ） 书 Ｈｉｐ ｒｈ ｓ 的 中摘 出来 的． 托勒 密定 理 的主 要 内容 ： 内接 圆
四边形 中 ， 条对 角线 的乘 积 （ 对角 线所 包 两 两 矩 形 的面积 ） 于两组 对边 乘 积之 和 （ 组对 等 一 边所 包矩 形 的面积 与另 一组 对 边所 包 矩形 的 面积 之和 ） 转化 为 符号 语 言 ， 可 表示 为 ： ． 则 若 凸四边形 ＡＢ Ｄ 内接 于 ｏ０， ＡＢ ・Ｃ Ｃ 则 Ｄ十
作 Ｃ 交 ＢＤ 于 Ｐ， Ｐ 使 ｌ
一
们 深 深 地感 受 到数 学 的魅 力 ， 现 了数 学在 体
表现客 观 世 界 中 的 简 洁 美 以 及 ห้องสมุดไป่ตู้ 用 的 广 泛
／２ 叉 ３一 ／４ 则 ， ，
△ＡＣ Ｄ∽△ＢＣ 于是 Ｐ，
Ａ Ｄ ・Ｂ Ｃ
性， 大大 地促 进 了几 何 学 的发 展 和 加深 了人
ＢＣ ・ＡＤ —Ａ Ｃ ・ＢＤ．
已知 圆 内接 四 边 形 Ａ Ｄ， 证 ： ＢＣ 求
・
商 一赢 ．
＋ ． ． 商
证 法 １ （ 用 向量 的代 数分 解 ） 利
．
商 ：（ ＋ ） ＋ ） ＝ （ ＝
．
一
＋ ． 茄
已 知： 圆 内 接 四 边 形
（ ，２ ， 一 （ ｙ ） ２ｙ ） 百 ｚ 一ｚ ， 。 ，
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为 凸 四边 形 等等这 些 条件 ． 因此 ， 于托 勒 密 关
定理 我们 可 以有 以下认 识 ： １托 勒密 定理 的向量 形式 对 一 切 四边形 ）
证明托勒密(ptolemy)定理
证明托勒密(ptolemy)定理【最新版】目录1.托勒密定理的定义与概述2.托勒密定理的证明方法概述3.纯几何法证明托勒密定理4.托勒密定理的应用5.总结正文托勒密定理是数学中的一个重要定理，该定理描述了圆内接四边形对角线的乘积与两对对边乘积之间的关系。
具体来说，定理指出：圆内接四边形两条对角线的乘积等于两对对边乘积之和。
本文将介绍托勒密定理的证明方法，并简要讨论其应用。
一、托勒密定理的定义与概述托勒密定理最早由古希腊数学家托勒密提出，他在《几何原本》一书中详细阐述了该定理。
托勒密定理在数学中有着广泛的应用，尤其是在几何学、代数学以及数论等领域。
二、托勒密定理的证明方法概述托勒密定理的证明方法有很多，如三角法、复数法、纯几何法等。
下面我们将详细介绍纯几何法的证明过程。
三、纯几何法证明托勒密定理纯几何法是利用几何图形的性质来证明托勒密定理。
具体证明过程如下：1.在圆内接四边形 ABCD 中，作 AE 垂直于 BC，交 BC 于点 E。
2.根据垂直平分线定理，得到 AE 是 BC 的垂直平分线，即 AE=EC。
3.同理，作 AF 垂直于 CD，交 CD 于点 F，得到 AF=FD。
4.由于 AE=EC，AF=FD，所以四边形 AEFC 是矩形。
5.根据矩形的性质，得到 AC=EF，BD=AE。
6.因此，AC×BD=EF×AE，即 AC×BD=AB×CD。
四、托勒密定理的应用托勒密定理在数学中有广泛的应用，下面举一个简单的例子：已知一个圆内接四边形 ABCD，其中 AB=3，BC=4，CD=5，AD=6。
求 AC 的长度。
根据托勒密定理，有 AC×BD=AB×CD，代入已知数值，得到 AC×6=3×5，解得 AC=2.5。
五、总结托勒密定理是数学中的一个基本定理，它描述了圆内接四边形对角线的乘积与两对对边乘积之间的关系。
通过纯几何法的证明，我们可以更好地理解该定理的含义。
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托勒密定理的向量证明
托勒密定理是几何学中的经典定理，可以描述向量的等腰三角形对应的角的大小。
它定义
了一个特定的角，如果直角两边的向量长度满足特定的关系，则这个角是固定的且为等腰
三角形中必要的。
托勒密定理可以用向量的形式表示，其数学表达式如下：
|AB|*|AC| = |BC|*|BA|
其中|AB|表示向量AB的大小，|AC|表示向量AC的大小，|BC|表示向量BC的大小，|BA|
表示向量BA的大小。
因此，只要两个边的长度满足上述的关系，等腰三角形的第三个角必定是直角，即托勒密
定理就被证明了。
下面我们使用向量的证明来证明上述定理：
假设存在一个等腰三角形ABC，其中A，B，C是三角形的三个顶点。
设向量AB=a，BC=b，AC=c，则有
|AB|*|AC| = |BA|*|BC|，
即a*c = b*(-a) ，
其中a*c表示向量a与c的点积，b*(-a)表示向量b与-a的点积。
显然，a*c = b*(-a)只有当其中一边的向量为零，即a或b为零时才成立。
这就意味着，等腰三角形ABC的腰部的向量不能同时为零，因此腰部的向量必须有一个非零的模。
又由于a*c = b*(-a)，a和b的模相等，故a*c = b*(-a)，a与b互为反向量，即a与b的夹角为180度，由此可知ABC的第三个角为直角，即托勒密定理得以证明。
综上所述，我们可以用向量的形式来证明托勒密定理：只要腰部的向量都不为零，且相等，它们必然是反向量，则它们所组成的等腰三角形的第三个角就是一个直角。