3.15圆幂定理与托勒密定理
圆幂定理及其证明
圆幂的定义假设平面上有一圆O，其半径为R，有一点P在圆O外，则OP^2-R^2即为P点到圆O的幂；若P点在圆内，则圆幂为R^2-OP^2；综上所述，圆幂为|OP^2-R^2|。
圆幂恒大于或等于零。
圆幂的由来过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D。
则PA·PB=PC·PD。
若圆半径为r，则PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2| （要加绝对值，原因见下）为定值。
这个值称为点P到圆O的幂。
（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值）若点P在圆内，类似可得定值为r^2-PO^2=|PO^2-r^2|故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差，而过这一点引任意直线交圆于A、B，那么PA·PB等于圆幂的绝对值。
圆幂定理定理内容过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有。
[1]圆幂定理的所有情况考虑经过P点与圆心O的直线，设PO交⊙O与M、N，R为圆的半径，则有圆幂定理的证明图Ⅰ：相交弦定理。
如图，AB、CD为圆O的两条任意弦。
相交于点P，连接AB、BD，由于∠B与∠D同为弧AC所对的圆周角，因此由圆周角定理知：∠B=∠D，同理∠A=∠C，所以。
所以有：，即：图Ⅱ：割线定理。
如图，连接AD、BC。
可知∠B=∠D，又因为∠P为公共角，所以有，同上证得图Ⅲ：切割线定理。
如图，连接AC、AD。
∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角，因此有∠PAC=∠D，又因为∠P为公共角，所以有易证图Ⅳ：PA、PC均为切线，则∠PAO=∠PCO=直角，在直角三角形中：OC=OA=R，PO为公共边，因此所以PA=PC，所以综上可知，是普遍成立的。
证明完毕。
托勒密定理及应用
托勒密定理及应用托勒密定理，也被称为定理于托勒密或托勒密定律，是一个在三角形中严格的几何定理。
该定理与中学三角学和圆的几何性质密切相关，在数学教学中有广泛的应用。
托勒密定理是提出了一种关于四边形的特殊情况，并解释了四边形特殊情况的几何性质。
托勒密定理表述为：在任意一个四边形中，如果四个顶点连成的对角线相交于一点，那么这个四边形的两组对边的乘积之和等于另外一组对边的乘积之和。
具体表达式为：AB×CD + BC×AD = AC×BD。
托勒密定理的应用非常广泛，以下介绍了一些常见的应用：1. 判断四边形是否为一个圆的内接四边形：通过托勒密定理，如果一个四边形的对角线乘积之和等于一组对边的乘积之和，那么这个四边形可以被证明是一个圆的内接四边形。
2. 求解边长或角度的问题：在一些特定的几何问题中，根据给定的条件，可以利用托勒密定理来解决边长或角度的问题。
例如，已知一个四边形的边长和某个角度，可以通过托勒密定理推导出其他边长或角度的值。
3. 延长线或外接圆的构造：通过托勒密定理，可以利用已知的边长和角度来构造延长线或外接圆。
这在一些复杂的几何问题中非常有用。
4. 平面几何中的证明问题：托勒密定理可以用于平面几何中的证明问题。
通过应用托勒密定理，可以推导出一些几何命题的证明过程。
5. 解决三角函数问题：托勒密定理可以用于解决一些三角函数相关的问题。
通过托勒密定理，可以建立各种三角函数之间的关系式，从而解决一些复杂的三角函数问题。
总结来说，托勒密定理在数学教学和实际应用中都有广泛的应用。
通过应用托勒密定理，我们可以解决各种几何问题，推导证明命题，以及解决一些与三角函数相关的问题。
托勒密定理的重要性不仅体现在它本身的几何性质，还在于它在数学教学中的应用广泛，能够帮助学生掌握几何和三角学的基本概念和技巧，为他们建立数学思维提供了一个很好的平台。
圆的托勒密定理怎么证明
圆的托勒密定理怎么证明托勒密定理，这名字听上去是不是有点儿高深莫测，仿佛只要你一听就得戴上眼镜，严肃地看着黑板。
但它可没那么复杂，反倒有点儿像是那种老朋友，咱们慢慢聊聊，看看它的背后故事。
想象一下，一个圆，里面有四个点，像是朋友们围坐在一起，聊着天，特别热闹。
这个时候，托勒密定理就闪亮登场，告诉我们，只要这四个点在同一个圆上，它们之间的连线关系就特别有意思。
你瞧啊，托勒密定理说的是，两个对角线的乘积等于另外两个对角线的乘积。
哎，听起来好像在说数学魔法，实际上就像是说，如果你有了这些朋友，这些连线就像是你们的感情纽带，越紧密，越有趣。
想象一下，把四个点连起来，就形成了两个三角形。
这个时候，两个三角形就好比是你和朋友们在玩游戏，玩得不可开交。
四个点的坐标，像极了你们生活中的四个重要时刻，连接起来，便是回忆的画面。
来，咱们用一个小故事来帮大家理解。
假设你们四个好朋友，分别叫A、B、C、D。
一天，你们一起去公园散步，A跟C走在一边，B跟D走在另一边。
突然间，A和C决定要赛跑，B和D则在旁边加油。
这个时候，A和C的距离和B和D的距离，就像是托勒密定理里的对角线一样，你们的友情也在这场比赛中得到了验证。
四个人的相互关系，仿佛在圆的边缘上，划出了一道优美的弧线，大家心里都明白，这就是友情的力量。
再说到证明的过程，可能会有人说：“哎，数学就是个难题，听着就头疼。
”证明托勒密定理并不是一件可怕的事，反倒像是在解开一个谜团。
可以试着把四个点连成一张网，然后找出那些能组成三角形的角度。
你会发现，角度之间的关系和弦长之间的比例，就像你们在一起时的默契，越是密切，结果越是惊人。
说到这里，不妨聊聊生活中的例子。
想象你跟朋友一起聚餐，四个人围坐一桌，桌子就像是那个圆。
每个人的盘子、碗碟就像是四个点，边吃边聊，开心得不得了。
这时候，你们的对话就像是对角线，不同的意见交织在一起，形成了一种和谐的气氛。
虽然每个人都有自己的看法，但只要互相理解，最后就能达成共识，这不就和托勒密定理的精神不谋而合吗？好了，聊了这么多，大家有没有觉得托勒密定理其实挺有趣的？在生活中，处处都有这样的“定理”。
圆中常见数学模型
圆中常见数学模型中考数学圆常见模型：辅助圆（隐形圆）、圆幂定理、米勒定理、托勒密定理、瓜豆原理、阿波罗尼斯圆问题（一）.辅助圆（隐圆）1.当线段一端点固定，长度固定时：另一端点运动轨迹是圆Eg：如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF 沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是.2.三点共圆：Eg1：如图，若AB＝OA＝OB＝OC，则∠ACB的大小是（）A．40°B．30° C．20° D．35°Eg2：如图在四边形ABCD中,AB=BC=BD,∠ABC=80°,则∠ADC的度数为.3.四点共圆问题：Eg：如图，ΔABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在ΔABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为4.三角形中：一定边且其对角一定，则其对应顶点轨迹为圆3，0）、（0，5），点D在第一象限，Eg：在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为（3，0）、（3且∠ADB＝60°，则线段CD长的最小值为_________．D CBAQOPEDPC（二）.圆幂定理：1.相交弦定理：在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，则PA PB PC PD⋅=⋅推论：在⊙O中，直径AB CD⊥，则2CE AE BE=⋅Eg1：如图，已知点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆O于E，求证：（1）IE=EC；（2）2IE ED EA=．Eg2：如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则QAQC的值为（）（A）132-；（B）32；（C）23+；（D）23+2.切割线定理：在⊙O中，PA是切线，PB是割线，则2PA PC PB=⋅Eg1：如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，如果PB=2，PC=4，则PA的长为Eg2：如图，⊙O为△ABC的外接圆，过C作⊙O的切线，交AB的延长线于P,∠APC的平分线和AC,BC分别相交于D,EPODCBAO EDCBADEC BPAO(1) 证明：△CDE 是等腰三角形 (2) 证明：PD CE PE AD ⋅=⋅3. 割线定理：在⊙O 中，PB 、PE 是割线，则PC PB PD PE ⋅=⋅Eg1：如图，P 是圆O 外的一点，点B 、D 在圆上，PB 、PD 分别交圆O 于点A 、C ，如果AP =4，AB =2，PC =CD ，那么PD =________．Eg2：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E ，交BC 于点D ，连接BE 、AD 交于点P ．求证：（1）D 是BC 的中点； （2）△BEC ∽△ADC ； （3）AB •CE=2DP •AD ．（三）.米勒定理：如图，点C 在运动的过程中，∠ACB 的大小在不断发生变化。
各种圆定理总结包括托勒密定理塞瓦定理西姆松定理梅涅劳斯定理圆幂定理和四点共圆
托勒密定理定理图定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。
从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．定理的提出一般几何教科书中的“定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。
证明一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。
）在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ACD因为△ABE∽△ACD所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE所以△ABC∽△AED相似.BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）所以命题得证复数证明用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、C D、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。
首先注意到：(a? b)(c? d) + (a? d)(b? c) = (a? c)(b?d) ，两边取，运用得。
等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。
四点不限于同一。
平面上，托勒密不等式是三角不等式的形式。
二、设ABCD是。
在BC上，∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。
在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD；因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。
证明托勒密(ptolemy)定理
证明托勒密(ptolemy)定理【最新版】目录1.托勒密定理的定义与概述2.托勒密定理的证明方法概述3.纯几何法证明托勒密定理4.托勒密定理的应用5.总结正文托勒密定理是数学中的一个重要定理，该定理描述了圆内接四边形对角线的乘积与两对对边乘积之间的关系。
具体来说，定理指出：圆内接四边形两条对角线的乘积等于两对对边乘积之和。
本文将介绍托勒密定理的证明方法，并简要讨论其应用。
一、托勒密定理的定义与概述托勒密定理最早由古希腊数学家托勒密提出，他在《几何原本》一书中详细阐述了该定理。
托勒密定理在数学中有着广泛的应用，尤其是在几何学、代数学以及数论等领域。
二、托勒密定理的证明方法概述托勒密定理的证明方法有很多，如三角法、复数法、纯几何法等。
下面我们将详细介绍纯几何法的证明过程。
三、纯几何法证明托勒密定理纯几何法是利用几何图形的性质来证明托勒密定理。
具体证明过程如下：1.在圆内接四边形 ABCD 中，作 AE 垂直于 BC，交 BC 于点 E。
2.根据垂直平分线定理，得到 AE 是 BC 的垂直平分线，即 AE=EC。
3.同理，作 AF 垂直于 CD，交 CD 于点 F，得到 AF=FD。
4.由于 AE=EC，AF=FD，所以四边形 AEFC 是矩形。
5.根据矩形的性质，得到 AC=EF，BD=AE。
6.因此，AC×BD=EF×AE，即 AC×BD=AB×CD。
四、托勒密定理的应用托勒密定理在数学中有广泛的应用，下面举一个简单的例子：已知一个圆内接四边形 ABCD，其中 AB=3，BC=4，CD=5，AD=6。
求 AC 的长度。
根据托勒密定理，有 AC×BD=AB×CD，代入已知数值，得到 AC×6=3×5，解得 AC=2.5。
五、总结托勒密定理是数学中的一个基本定理，它描述了圆内接四边形对角线的乘积与两对对边乘积之间的关系。
通过纯几何法的证明，我们可以更好地理解该定理的含义。
圆与相似综合题的有关定理
圆和相似综合题有关定理1、圆幂定理（在证明比例式、求线段长度时将发挥重要作用。
）2、托勒密定理：圆内接四边形两组对边乘积之和，等于两条对角线的乘积。
已知：四边形ABCD 内接于圆，如图，求证：AB·CD + BC·AD = AC·BD证明：在∠BAD 内作∠BAE=∠CAD ，交BD 于E 。
因∠ABE=∠ACD ，所以△ABE ∽△ACD ，从而AB BE ACCD =得 AB·CD = AC·BE ①； … 易证△ADE ∽△ACB ，从而BC AC DE AD = 得BC·AD = AC·DE ②； ①+② 得AB·CD + BC·AD = AC （BE+DE ）= AC·BD定理 图形已知 结论 证法 相交*弦定理⊙O 中，AB 、CD 为弦，交于点P 。
PA·PB ＝PC·PD 连结AC 、BD ， 证：△APC ∽△DPB 切 、割线定理 ⊙O 中，PT 切⊙O 于点T ，割线PB 交⊙O 于点A 。
PT 2＝PA·PB连结TA 、TB ， 证：△PTB ∽△PAT }割线定理PB 、PD 为⊙O 的两条割线，交⊙O 于A 、C 两点。
PA·PB ＝PC·PD ~ 过P 作PT 切⊙O 于T ，用两次切割线定理 C E3、弦切角定理：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角称为弦切角。
弦切角等于弦与切线所夹弧所对的圆周角。
}弦切角定理的证明：已知：AP切⊙O于P，PQ是弦，则∠APQ是弦切角，∠APQ夹的弧是弧PQ，弧PQ所对的圆周角记为∠PCQ证明：∠APQ=∠PCQ （弦切角的位置分以下三种情况）】1°圆心O在∠APQ外部过P作直径BP，联结BC则BP⊥AP，∠APB=90°，且∠BCP是直径BP所对的圆周角，∠BCP=90°#则有∠APB=∠BCP，即∠APQ+∠BPQ=∠BCQ+∠PCQ由于∠BPQ，∠BCQ都是弧BQ所对的圆周角，所以∠BPQ=∠BCQ所以∠APQ=∠PCQ2°圆心O在∠APQ的一边，PQ上此时PQ是直径，则PQ⊥AP，∠APQ=90°而且∠PCQ是直径PQ所对的圆周角，∠PCQ=90°所以∠APQ=∠PCQ3°圆心O在∠APQ内部过P作直径BP，联结BC则BP⊥AP，∠APB=90°，且∠BCP是直径BP所对的圆周角，∠BCP=90°则有∠APB=∠BCP由于∠BPQ，∠BCQ都是弧BQ所对的圆周角，所以∠BPQ=∠BCQ所以∠APB+∠BPQ=∠BCP+∠BCQ即∠APQ=∠PCQ。
【初中数学】圆幂定理
【初中数学】圆幂定理圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论的统一与归纳，所以目前书上已经把这个定理删除了，也作为补充知识点介绍。
根据两条与圆有相交关系的线的位置不同，有以下定理：（1）相交弦定理（2）切割线定理（3）割线定理从上述定理可以看出，两条线的位置从内到外，都有着相似的结论。
经过总结和归纳，便得出了圆幂定理。
圆幂定理是几何学中的一条定理，它描述了一个点与一个圆之间的关系。
具体来说，圆幂定理说明了如果有一条直线通过了一个P点，与一个圆相交于点A和点B，那么这个点P到点A、点B的长度的乘积等于点P到圆心O的距离的平方减去圆的平方的绝对值，即可以表示为：PA·PB=|PO²-r²|（r表示圆的半径）.如何证明这个定理呢？就需要分三种情况讨论，点P与圆的位置关系。
我们非常清楚，点与圆的位置关系只有三种：圆外、圆上、圆内。
1、点P在圆外如图，点P在⊙O外部，过点P的直线与⊙O相交于A、B两点，连接OP交⊙O于点C，⊙O的半径为r.证明：如图，延长PO交⊙O与点D.由割线定理可得：PA·PB=PC·PD∵ PC=PO+OC，PD=PO+OD，OC=OD=r∴ PC=PO+r，PD=PO+r∴ PA·PB=（PO+r）（PO-r）∴ PA·PB=PO²-r²=|PO²-r²|2、点P在圆内如图，点P在⊙O内部，过点P的直线与⊙O相交于A、B两点，连接OP交⊙O于点C，⊙O的半径为r.证明：延长PO交⊙O于C、D两点根据相交弦定理，得：PA·PB=PC·PD∵ PC=OC-PO，PD=PO+OD，OD=OC=r∴ PC=r-PO，PD=PO+r∴ PA·PC=（r-OP）（PO+r）∴ PA·PC=r²-PO²=|PO²-r²|3、当点P在圆上通过以上两种情况的证明可得，PA·PB=|PO²-r²|，那么当P点在圆上时，P、A 两点重合，故PA=0，OP=r，所以PA·PB=0，PO²-r²=0，所以也成立。
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圆幂定理
【知识点学习】
圆幂定理：
（1）相交弦定理：圆的两条相交弦中，每条弦被交点所分的两条线段的乘积相等。
（2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的
两条线段的积相等。
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的
两条线段的比例中项。
三个定理统称为圆幂定理。
P
PD
PC
PB
PA⋅
=
⋅PD
PC
PB
PA⋅
=
⋅PC
PB
PA⋅
=
2
【例题与练习】
1.已知：如图，⊙O的弦AD、BC互相垂直，垂足为E，
5
3
sin=
∠BAD，
3
1
cos=
∠CAD，2
=
AC，求EC和AD。
A
D
O
C
B
E
2. 如图，已知⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点，PO 与⊙O 交于点C ，cm AB PA 6==，
cm PO 12=，求⊙O 的半径。
P
3. 如图，已知⊙O 与⊙'
O 相交于A 、B 两点，点P 在BA 的延长线上，⊙O 的割线PCD 交⊙O
于点D C 、，PE 与⊙'O 相切于点E ，4=PC ，8=CD ，求线段PE 的长。
B
A
C P D
O O'E
4. 如图，已知⊙1O 与⊙2O 相交于D C 、两点，AB 为外公切线，B A 、为切点，CD 的延长线与
AB 相交于点M ，12=AB ，9=CD ，求线段MD 的长。
5. 如图，P 为⊙O 外的一点，过点P 作⊙O 的两条割线，分别交⊙O 于A 、B 和C 、D ，且AB
是⊙O 的直径，已知4==OA PA ，CD AC =． （1）求CD 的长； （2）求B ∠cos 的值．
C
A
O B P
D
6. 已知：如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，BE 是角平分线，BE DE ⊥交AB 于D ，
⊙O 是BDE ∆的外接圆，若6=AD ，26=AE ，求DE 的长．
E
O
A
D B
C
7. 已知，△ABC 外接于⊙O ，且BC AB =，BC AO ⊥，垂足为点D ， （1） 求证：△ABC 为等边三角形；
（2） 点E 为BC 上的一动点（不于C B 、重合），连结AE 并延长交⊙O 于点P ，已知1=AB ，
x AE =，y PE =，求y 关于x 的解析式并求其定义域；
（3） 在（2）的条件下，设α=∠PAC ，β=∠EPC ，当y 取何值时，1sin sin 2
2
=+βα.
【练习】：
1、 如图，BC 是半圆⊙O 的直径，BC EF ⊥于点F ，5=FC
BF
．
已知点A 在CE 的延长线上，AB 与半圆交于D ，且8=AB ，2=AE ，求AD 的长。
D
E
O F B
C
A
2. 如图，⊙O 与正三角形三边交于6个点，2=AG ,13=GF ,1=FC ,7=HJ ,求DE . `
3. 如图，PA 、PB 与⊙O 切于A 、B 两点，PC 是任意一条割线，且交⊙O 于点E 、C ,交AB
于点D ，证明：BD AD
BC
AC =2
2.
4. 如图，AB 为⊙O 的弦，CD 切⊙O 于P ，CD AC ⊥于C ，CD BD ⊥于D ，AB PQ ⊥于
Q ，求证：BD AC PQ ⋅=2。
5. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，PA 是过A 点的直线，B PAC ∠=∠.
(1) 求证：PA 是⊙O 的切线；
(2) 如果弦CD 交AB 于E ，CD 的延长线交PA 于F ,8=AC ，5:6:=ED CE ，
3:2:=EB AE ，求AB 的长和ECB ∠的正切值。
E F
B
A
O
C
D P
6. 如图，在ABC ∆中，︒=∠90BAC ．BM 平分ABC ∠交AC 于M ，以A 为圆心，AM 为半
径作⊙A 交BM 于N ，AN 的延长线交BC 于D ，直线AB 交⊙A 于P ，K 两点，作BC MT ⊥于T ．
（1）求证：MT AK =； （2）求证：BC AD ⊥；
（3）当BD AK =时，求证：
BM
AC
BP BN =
．
圆的内接四边形与托勒密定理
【知识点学习】
1、 圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，称多边形为该圆的内接多边形；圆为该
多边形的外接圆。
特别的，如果四边形内接于一个圆，称四边形为该圆的内接四边形。
2、 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的每组对角互补，并且任一个外角等于它的内对角。
如右图，
︒=∠+∠180C DAB ，C DAE ∠=∠.
3、 四点共圆的判定：
① 四个点到定点的距离等于定长； ② 四边形对角和等于︒180；
③ 四边形的一个外角等于内对角； ④ 同底同侧的张角相等。
（证明见习题3）
4、 托勒密定理：圆内接四边形两组对边乘积之和，等于两条对角线的乘积。
【证明】如图，已知：四边形ABCD 内接于圆，求证：BD AC AD BC CD AB ⋅=⋅+⋅。
P
O
A
D
C
B
1． 已知：如图，⊙1O 与⊙2O 相交于B A 、两点，过点A 的直线分别交⊙1O 、⊙2O 于点D C 、，过
点B 的直线分别交⊙1O 、⊙2O 于点E 、F ， 求证：DF CE //。
D
2． 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为点E ，G 是⌒
AC 上任意一点，DC AG 、的
延长线交于点
F ， 求证：AGD FGC ∠=∠。
F
3． 如图：已知A ，D 都在BC 边上方，且D A ∠=∠， 求证：A ，B ，C ，D 四点共圆。
A
C
B
D
4． CD AB 、为⊙O 中两条平行的弦，过B 点的切线交CD 的延长线于G ，弦PB PA 、分别交CD 于
F E 、.求证：
FG
FD
CF EF =。
E
F
G
A
O
B
D
C
P
5． 如图，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ，已知：10=BC ，
5
3
cos =∠BCD ，︒=∠30BCE ，则线段DE 的长是（ ）
、A 89 、
B 37 、
C 334+ 、
D 343+
C
B
6． 如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，
连结AO ，如果4=AB ，=AO 26，那么AC 的长等于（ ）
12、A 16、B 34、C 8、D
O
E
F
B
A
C
7． 直角三角形ABC 和直角三角形ADC 有公共斜边AC （D B 、位于AC 的两侧），N M 、分别是
BD AC 、中点，且N M 、不重合。
（1） 线段MN 与BD 是否垂直？证明你的结论；
（2） 若︒=∠30BAC ，︒=∠45CAD ，4=AC ，求MN 的长。
B
A
C
8． 如图，已知PA 切⊙O 于点A ，︒=∠30APO ，PO AH ⊥于点H ，任作割线PBC 交⊙O 于点
C B 、，计算
BC
HB
HC -的值．
O
C
A
B
P
【练习】
1. 如图，在ABC ∆中，︒=∠60C ，以AB 为直径的半圆O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，已知⊙O
的半径为32．
（1）求证：CDE ∆∽CBA ∆； （2）求DE 的长．
2. 如图，P 是正△ABC 外接圆的劣弧 ⌒
BC 上任一点（不与C B 、重合），
求证：PC BP PA +=。
D 3. 证明等腰梯形一条对角线的平方，等于一腰的平方加上两底之积。
4. 设A 、B 、C 是圆O 上三点，弦BC 的中垂线交AB 于D 点，自A 、C 作圆的两切线相交于E ，
证明：DE ∥BC
.
E
5. 如图，已知ABC ∆，以BC 为直径，O 为圆心的半圆交AC 于点F ，点E 为 ⌒
CF 的中点，连接BE
交AC 于点M ，AD 为△ABC 的角平分线，且BE AD ⊥，垂足为点H . （1）求证：AB 是半圆O 的切线； （2）若3=AB ，4=BC ，求BE 的长.
6. 如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AC BP ⊥，过点B 的切线分别与过点A 、点C 的切线交于
N M 、，联结NP MP 、，求证：BP 平分MPN ∠。
N
M。