(word完整版)幂的运算-教师版

什么叫乘方，乘方的结果叫什么？求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数，读作a 的n 次幂。

注意： ()()221221n n n n a a a a ++-=-=-，，，同底数幂的乘除法则同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．即m n m n a a a +⋅=（m 、n 都是正整数） 逆运用()m nm n p q aa a a a m n p q +=⋅=⋅+=+幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变,指数相乘。

即()nm mn a a =（m 、n 都是正整数)逆运用()()()q n m p mn m n a a a a mn pq ⎛⎫==== ⎪⎝⎭积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即()nn n ab a b =（n 为正整数） 逆运用()nn n a b ab = ()2323mm m a b a b ⋅=同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．即m n m n a a a -÷=（m 、n 都是正整数） 逆运用()m nm n p q aa a a a m n p q -=÷=÷-=-()m a b -，当m 奇数时，()()mm a b b a -=--；当m 偶数时，()()mm a b b a -=-．()m a b +，不论m 为奇数还是偶数,都有()()mm a b b a +=+．幂的运算知识讲解知识回顾【例1】 下列计算是否正确？错误的指出错误的原因，并加以改正．(1)339a a a ⋅=； （2）4482a a a ⋅=; （3)336x x x +=； （4)22y y y ⋅=； （5）34x x x ⋅=； (6）236x x x ⋅=【答案】(1）不正确,指数应是相加而不是相乘，应改为336a a a ⋅=（2）不正确，错在将系数也相加了,应改为448a a a ⋅= (3)不正确,336x x x +=是整式的加法，应改为3332x x x += (4）不正确，y 的指数是1而不是0,应改为23y y y ⋅= (5)正确（6）不正确，指数相加而不是相乘，应改为235x x x ⋅=【例2】 100010010⨯⨯的结果是 ．【答案】610【变式练习】计算：（1）45371010101010⨯⨯+⨯ （2）32101010010⨯+⨯ 【答案】（1)10210⨯ （2）4210⨯【例3】 计算：（1）231122⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭; （2）102a a a ⋅⋅;（3）()()2322x y y x -⋅- （4）()()()854x y y x x y -⋅-⋅-【答案】(1）511232⎛⎫-=- ⎪⎝⎭; （2）13a ； (3）()52-y x ； （4）()17x y --【例4】 已知：240x y +-=,求：1233x y -的值．【答案】1221333x y x y -+-=∵240x y +-= ∴24x y += ∴2133327x y +-==同步练习【变式练习】已知：2350x y +-=,求：927x y ⋅的值． 【答案】2323927333x y x y x y +⋅=⋅=∵2350x y +-= ∴原式53243==【例5】 在()222m m y y y -+⋅⋅=中，括号中应填的代数式是 ．【答案】3m y +【变式练习】已知32131a a x x x x +⋅⋅=,求a 的值． 【答案】9a =【变式练习】若32125a a x x x x +⋅⋅=，则关于y 的方程=28ay a +的解是 ． 【答案】7a =，7728355y y =+==，【例6】 已知22380x x y -+-+=,则22y x x y y x ⋅-⋅= ．【答案】24x y ==，，原式422224421612192=⨯-⨯=⨯=【例7】 已知2m a =，3n a =,求下列各式的值．（1)1m a +； (2)3n a +； （3）2m n a ++【答案】（1）12m m a a a a +=⋅=（2）3333n n a a a a +=⋅=（3)2222236m n m n a a a a a a ++=⋅⋅=⨯⨯=【变式练习】已知,3n a =，3m b =，则33m n ++的结果是 ． 【答案】33333327m n m n ab ++=⋅⋅=【例8】 计算:（1)()10110033+- （2）()()2008200922-+-(3）200520042003252622000-⨯+⨯+【答案】（1）()()10110010010110010010010033=3333331323+--=-⨯=-=-⨯（2）()()()()()()()200820092008200820082008222222122-+-=-+-⋅-=-⋅-=-（3）200520042003220032003200325262200022522622000-⨯+⨯+=⨯-⨯⨯+⨯+()20034106220002000=-+⨯+=【例9】 计算：（1）()54x ； （2）()32a b ⎡⎤+⎣⎦；(3）()435a a ⋅; （4）()()23211n n a a -+⋅【答案】（1）()5420x x =; (2）()()326a b a b ⎡⎤+=+⎣⎦； （3）()43517a a a ⋅=; （4）()()23211423371n n n n n a a a a a -+-++⋅=⋅=【变式练习】计算(1）()()()32233x x x -⋅-⋅- (2）()()21321n n x x ++-【答案】（1）()()()3223315x x x x -⋅-⋅-=（2）()()21321423375n n n n n x x x x x +++++-=-⋅=-【例10】 已知25n x =，求6155n x -的值．【答案】()362115555n n x x -=-，25n x =,∴原式3155205⨯-=【变式练习】已知3x a =，5x b =，你能用含有a 、b 的代数式表示14x 吗? 【答案】()31433535x x x x ⨯+==⋅；将3x a =,5x b =代入，原式3a b =【例11】 已知105a =，106b =，求2310a b +的值．【答案】()()2323231010101010a b a b a b +=⋅=⋅将105a =,106b =代入，原式23565400=⨯=【变式练习】若3m n 32m n +的值为多少？【答案】()()323232m n m n m n a a a a a +=⋅=⋅当3m a =，4n a =时， 原式3234432=⨯=【例12】 若35n x =,求代数式()()322324nn x x -+的值．【答案】原式=()()()22233322422550n n n x x x -+==⨯=【变式练习】已知3332m n a b ==，，求()()332242m n m n m n a b a b a b +-⋅⋅⋅的值． 【答案】原式()()2233332232327m n m n a b a b =+-⋅=+-⨯=-【例13】 比较5553，4444，3335的大小．【答案】()111555511133243==;()111444411144256==；()111333311155125==256243125>> 444555333435>>【变式练习】若504030345a b c ===，，,则a b c 、、的大小关系为（ ）．.A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a << D ．b c a <<【答案】B ．【例14】 你能比较68与94的大小吗？【答案】()663188=22=；()99218422==；所以6984=【变式练习】若31416181279a b c ===，，，则a b c 、、的大小关系为( ）．.A ．a b c >> B ．a c b >> C ．a b c << D ．b c a >>【答案】A ．【例15】 求满足2003005n<的最大整数值n ．【答案】∵2003005n< ()()100100235n <∴2125n <∴最大整数值n 为11．【变式练习】求满足()507513x -<的x 的最大整数值． 【答案】∵()507513x -< ()()()25252313x -<∴()2127x -< ∴x 的最大整数值6【例16】 已知232122192m m ++-=,求m 的值．【答案】∵232122192m m ++-=∴2322222262192m m m ⨯-⨯=⨯= ∴2232m = 25m = 52m =【变式练习】若x y 、都是正整数，且()22232x y ⋅=,求满足条件的x y 、．【答案】∵()225222322x y x y +⋅===∴25x y += ∴13x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩【例17】 计算：（1）()4xy - (2）()322ab -（3)()332a b a ⎡⎤--⋅⎢⎥⎣⎦（4）()()35232xy y ---【答案】（1)()()4444441xy x y x y -=-=；（2）()()33233236228ab a b a b -=-=-(3）()()339223219a b a a b a a b ⎡⎤--⋅=--⋅=⎢⎥⎣⎦（4）()()352332128xy y x y ---=-【变式练习】计算：（1）()42234122x yxy z ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭（2）()()()3222223325a a a a -+⋅+（3）()()4234242a a a a a ⋅⋅+-+- (4）()()()3322337235x x x x x ⋅-+⋅【答案】（1)()42234822411224x yxy z x y z ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭(2）()()()32222233250a a a a -+⋅+=（3）()()423424826a a a a a a ⋅⋅+-+-=（4）()()()33223372350x x x x x ⋅-+⋅=【例18】 下列各题中，计算正确的是（ ）．.A ．()()233266m n m n --= B ．()()323321818m n m n ⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦C ．()()2322298m n mn m n --=- D ．()()332299m n mn m n --=-【答案】B ．【例19】 计算:（1）()20042003188⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭（2）2001100021234⎛⎫⎛⎫-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（3）20012002200311311345⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-⋅- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】（1)()()()20032004200320032003111111888888888⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-=-⨯-⨯-=-⨯-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(2）原式20011000200120002923234323⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）原式2001200120012455339=3445520⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-⋅-⋅-= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【例20】 已知155a b ==-,n 为正整数，你能求出2222n n a b b +的值吗？【答案】()222222n n nab b ab ++=, 原式221515n +⎡⎤⎛⎫=⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【例21】 若5n a =，2n b =,则()32na b = ．【答案】()()()3232nn n a b a b =⋅,当5n a =，2n b =时，原式3252500=⨯=．【变式练习】已知25n x =，求()()24323n n x x -的值．【答案】()()()()24323222343n n n n x x x x -=-，当25n x =时,原式32453550075425⨯-⨯=-=【变式练习】已知n 是正整数，216nx =，求()2232111616n n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】原式()()322221101616n n x x =-=【例22】 若()2322350a b a b ++++，化简()()3322221aa ax y bxyx y z a ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭． 【答案】依题可知：3202350a b a b +=⎧⎨++=⎩，解得23a b =⎧⎨=-⎩原式63246661413618998x y x y x y z x y z =⋅⋅=【例23】 若87a =，78b =，则5656= ．【答案】()()()78565687567878=⨯=⨯，当87a =，78b =时,原式78a b =【变式练习】已知227373996y x z ⋅⋅=,求2004(2)x y z -+的值． 【答案】∵2339962337=⨯⨯ ∴211x y z ===，，20042004(2)=1=1x y z -+【例24】 若1122222n n n n x y +--=+=+，，其中n 为正整数,则x 与y 的数量关系为 ． 【答案】4x y =【变式练习】若21m x =+，34m y =+，用含x 代数式表示y ． 【答案】()()22234=3+23124m m y x x x =+=+-=-+【变式练习】已知23x =，26y =,212z =，试求x y z 、、的关系． 【答案】∵12623222y x x +==⨯=⨯= ∴1y x =+∵2221234222z x x +==⨯=⨯= ∴2z x =+ +1z y =【例25】 化简：（1)()()4322222n n ++-=（2）2231424m m m ++--=【答案】（1）78（2）32【例26】 已知311n m +能被10整除，求证42311n m +++也能被10整除．【答案】4242311=33111181312111n m n m n m +++⨯+⨯=⨯+⨯()()31180312011n m n m =++⨯+⨯ ()()31110831211n m n m =++⨯⨯+⨯∴42311n m +++也能被10整除．【例27】 是否存在整数a b c 、、满足9101628915abc⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若存在,求出a b c 、、的值;若不存在，请说明理由． 【答案】∵()()()()()()233232132322591016235289152353523acb abcb c a b a bc a b c ++⨯⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅⋅== ⎪⎪ ⎪⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⨯ ∴b c = 221a b =+ 331b c a +=+∴32a b c ===，【变式练习】若整数x y z 、、满足10981271615256xyz⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求()y x x y z -+-的值． 【答案】∵()()()()()()233243834322510982351127161523525623532yzxxyzx z y x xyzy x z z ++⨯⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅⋅=== ⎪⎪ ⎪⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⨯ ∴23348x z y x z x z y =⎧⎪=+⎨⎪+=-⎩ 解得242x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩()2416y xx y z -+-==【例28】 若3436x y ==，，求2927x y x y --+的值． 【答案】∵()()()()()()24233223927333333x yx yx y x y x y x y ----+=+=÷+÷3436x y ==，，∴原式20027=【习题1】下列计算正确的是( ）．A ．235a a a +=B ．236a a a ⋅=C ．()326a a = D ．236a a a ⨯=【答案】C【习题2】下列计算正确的是（ ）．A ．5510x x x +=B ．5510·x x x = C ．5510()x x = D ．20210x x x ÷= 【答案】B【习题3】直接写出结果（1）=-⋅-22)(m m （2)=-⋅-24)2()2(m n n m （3）=+43])[(b a (4）=⋅-6243)2(])2[( （5)=-2)2(x (6）=-232)4(b a【答案】（1）224()m m m -⋅-=-； (2）426(2)(2)(2)m n n m m n -⋅-=-（3）()1234[()]a b a b +=+； (4）342624[(2)](2)2-⋅= （5）22(2)4x x -=; （6）23246(4)16a b a b -=【习题4】计算()2323a a -÷的结果是（ )．A ．49a -B ． 46aC ．29aD ．49a【答案】D【习题5】若0a >且2x a =，3y a =,则x ya -的值为（ ）．A ．1-B ．1C ．2D ．3 课后练习【答案】C【习题6】计算：（1)1716)8()125.0(-⨯ （2）32236])2[()2()2(a a a -----(3）675)21(6)31(-⨯⨯- (4）232332)(3m m m m m ⋅⋅++-）（【答案】（1）1617(0.125)(8)8⨯-=-（2） 632236(2)(2)[(2)]4a a a a -----=-(3）57611()6()1832-⨯⨯-=-（4)23323263()25m m m m m m -++⋅⋅=-（）【习题7】 计算：（1）()()43x y x y +⋅+ （2)()()()43m n n m n m -⋅-⋅-（3）()()132()()n n y x x y x y y x +--+--【答案】（1）()()()437x y x y x y +⋅+=+(2）()()()()438m n n m n m n m -⋅-⋅-=-或()8m n -（3）()()()()13332()()0n n n n y x x y x y y x x y x y +++--+--=--+-=【习题8】 计算：（1）(.)0125820032004⨯ （2）1320036009n n +⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭ 【答案】（1)20032003200420031(0.125)8=8888⎛⎫-⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭ (2）1131120032003600920032003n n n n ++⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【习题9】若4)31()9(832=⋅x ，求3x 的值． 【答案】()()32223883111(9)()3()4339x x x ⎡⎤⋅=⋅==⎣⎦，()2336x ∴=，36x ∴=±【习题10】如果12m x =，3n x =，求23m n x +的值． 【答案】()()2323m n m n x x x +=⋅，12m x =,3n x =，∴原式274=【习题11】若2530x y +-=，求432x y ⋅的值． 【答案】()()2525432222x yx y x y +⋅=⋅= 当2530x y +-=时,原式328==【习题12】（1）若31381x +=，则=x (2)若319()x a a a ⋅=，则=x ．【答案】（1）∵4813= ∴3141x x +==（2)∵331()x x a a a +⋅= ∴31196x x +==【习题13】如果2111m n n x x x -+=且145m n y y y --=，求m ,n 的值．【答案】∵2111m n n x x x -+=，145m n y y y --=∴2111145m n n m n -++=⎧⎨-+-=⎩ 解之64m n =⎧⎨=⎩【习题14】若2211322323⋅=⋅-⋅++x x x x ，求x 的值．【答案】()()()11323233223232x x x x x x x ++⋅-⋅=⋅⨯-⋅⨯=⨯∵1122323223x x x x ++⋅-⋅=⋅∴2x =【习题15】 已知212448n n ++=，求n 的值．【答案】21222242222348n n n n n ++=⨯+=⨯= 242162n == 24n = 2n =【习题16】若21025x =，则110x +的值为_______．【答案】()2221010255x x === 105x = 110101050x x +=⨯=【习题17】 若()a n 29=，求()()1333222a a n n -的值．【答案】()()3232222211()3()=38138116239n n n n a a a a --=-⨯=-【习题18】比较大小 （1）1625与209 (2)1003与605(3）2100与375（4)101726与31724 【答案】(1）()252541001622== ∴1625>209（2）()()2020100533243==；()()202060355125== ∴ 1006035>(3）()251004252216==；()25753253327== ∴2100<375 （4）226421010171717=⨯;2224423317171717⨯=⨯ ∴101726<31724。