高中数学新教材必修一第二章《一元二次函数、方程和不等式》全套课件PPT
新教材高中数学人教版精品 第二章 一元二次函数、方程和不等式 专题3 一元二次不等式恒成立问题
第二章 一元二次函数、方程和不等式
专题3 一元二次不等式恒成立问题
一元二次不等式恒成立问题是数学中常见的问题，在高考中频频出现，是高考的一个难点问题。含参一元二次不等式恒成立问题设计二次函数的性质和图象，渗透着换元、划归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力。
【题型导图】
类型一 实数集R上的不等式恒成立问题
例1：若一元二次不等式23208kxkx对一切实数 x恒成立，则 k的取值范围是（ ）
A．3,0 B．3,0 C．(,3] D．(0,)
【变式1】“0a”是“一元二次不等式20axbxc恒成立”的
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2】设a为实数，若关于x的一元二次不等式20xxa恒成立，则a的取值范围是_____.
【变式3】若不等式270xmxm在实数集R上恒成立，求m的取值范围.
类型二 在给定区间上一元二次不等式恒成立问题
例2.1,3x，一元二次不等式2-(2)20xmxm恒成立．．．，则m的取值范围是（ ）
A．2,2 B．52，
C．22, D．2，
【变式1】（2021·全国高一课时练习）当13x，时，一元二次不等式2280xxa恒成立，求实数a的取值范围.
【变式2】（2021·吉林白城市·白城一中高一月考）已知二次函数222yxax.
若15x≤≤时，不等式3yax恒成立，求实数a的取值范围.
【变式3】若14x时，不等式2241xaxa恒成立，求实数a的取值范围.
类型三 已知参数范围的一元二次不等式恒成立问题
例3.（2021·全国高一课时练习）关于x的函数y=x2（a1）x2a对于任意a∈[1，1]的值都有y>0，求实数x的取值范围.
2019-2020学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.2.1基本不等
第1课时 基本不等式
1．理解基本不等式的推导过程，掌握基本不等式及成立条件．
2．会用基本不等式证明简单的不等式．两个不等式
叫做正数a
，b
的算术平均数，叫做正数a
，b
的几何平均数．a
＋b
2ab
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
温馨提示：“当且仅当a
＝b
时，等号成立”是指若a
≠
b
，则a
2＋b
2≠2ab
，≠ab
，即只能有a
2
＋b
2>2ab
，<.a＋b
2aba
＋b
2
1
．不等式a
2＋b
2
≥2ab
与≤成立的条件相同吗？如果不同各是什么？aba
＋b
2
[答案] 不同，a
2＋b
2≥2ab
成立的条件是a
，b
∈R；≤
成立的条件是a
，b
均aba
＋b2
为正实数
2．a
＋≥2(a
≠0)是否恒成立？1
a[答案] 只有a
>0时，a
＋≥2，当a
<0时，a
＋≤－21
a1
a
3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意a
，b
∈R，a
2＋b
2≥2ab
、a
＋b
≥2
均成立．( )ab
(2)若a
≠0，则a
＋≥2
＝4.( )4
aa
·4
a
(3)若a
，b
∈R，则ab
≤2.( )(a
＋b
2)
[答案] (1)× (2)× (3)√
题型一对基本不等式的理解
【典例1】 给出下面三个推导过程：
①因为a
，b
∈(0，＋∞)，所以＋≥2
＝2；b
aa
bb
a·ab
②因为a
∈
R，a
≠0，所以＋a
≥2 ＝4；4
a4a·a
③因为x
，y
∈R，xy
<0，所以＋
＝－x
yy
x[(
－x
y)
＋(
－yx)]
≤－2 ＝－2.(
－x
y)(
－y
x)
其中正确的推导过程为( )
A．①② B．②③ C．② D．①③[思路导引] 根据基本不等式中的条件进行判断．
[解析] 从基本不等式成立的条件考虑．
①因为a
，b
∈(0，＋∞)，所以，∈(0，＋∞)，符合基本不等式成立的条件，故①b
aa
b
的推导过程正确；②因为a
∈R，a
≠0不符合基本不等式成立的条件，
所以＋a
≥2 ＝4是错误的；4a4a·a
③由xy
<0得，均为负数，但在推导过程中将＋
看成一个整体提出负号后，，x
yyxx
2019-2020学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.2.2利用基本不等式求最
第2课时 利用基本不等式求最值
1．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
2．能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．
基本不等式与最值
已知x
，y
都是正数，
(1)如果积xy
等于定值P
，那么当x
＝y
时，和x
＋y
有最小值
2；P
(2)如果和x
＋y
等于定值S
，那么当x
＝y
时，积xy
有最大值S
2
.1
4
温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x
、y
>0，(2)和
(积)为定值，(3)存在取等号的条件．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a
>0，b
>0，且a
＋b
＝16，则ab
≤64.( )
(2)若ab
＝2，则a
＋b
的最小值为
2.( )2
(3)当x
>1时，函数y
＝x
＋
≥2，所以函数y
的最小值是
2.( )1
x
－1x
x
－1xx
－1
(4)若x
∈R，则x
2＋2＋≥2.( )1
x
2＋2
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
题型一利用基本不等式求最值
【典例1】 (1)若x
>0，求y
＝4x
＋的最小值；9
x
(2)设0
<，求函数y
＝4x
(3－2x
)的最大值；3
2
(3)已知x
>2，求x
＋的最小值；4
x
－2(4)已知x
>0，y
>0，且＋＝1，求x
＋y
的最小值．1
x9
y
[思路导引] 利用基本不等式求最值，当积或和不是定值时，通过变形使其和或积为
定值，再利用基本不等式求解．
[解] (1)∵x
>0，
∴由基本不等式得
y
＝4x
＋≥2
＝
2＝12，9
x4x
·9
x
36
当且仅当
4x
＝
，即x
＝
时，y
＝4x
＋取最小值12.9
x3
29
x
(2)∵0
<，∴3－2x
>0，3
2
∴y
＝4x
(3－2x
)＝2[2x
(3－2x)]
≤22＝
.[
2x
＋
3－2x
2]
9
2
当且仅当2
x
＝3－2x
，即x
＝时取“＝”．3
4
∴y
的最大值为.9
2
(3)∵x
>2，∴x
－2>0，
∴x
＋＝
(x
－2)＋＋24
x
－24
x
－2
≥2
＋2＝6.x
－2·4
x
－2
当且仅当x
－2＝，4x
－2
即x
＝4时，x
＋取最小值6.4x
－2
(4)∵x
>0，y
>0，＋＝1，1
高一数学新教材必修第二章训练金卷一元二次函数、方程和不等式(A)附解析
高一数学新教材必修第二章训练金卷一元二次函数、方程和不等式（A）附解析
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，，则和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．如果，且，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．设，不等式的解集是，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．若关于的不等式的解集为，则（ ） 0ab11ab22ab33ab22acbc4tab24sabtststststs{|12}Axx2{|20}BxxxABI{|02}xx{|02}xx{|10}xx{|10}xx0xy0y22yxxy22xyxy22xxyy22xxyy0acaxbc{|21}xx::abc1:2:32:1:33:1:23:2:1x23ax5133xxaA． B．2 C．3 D．
7．若有负值，则的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
8．某商场中秋前30天月饼销售总量与时间的关系大致满足，则该商场前t天平均售出[如前天的平均售出为]的月饼最少为（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量（件）与单价（元）之间的关系为，生产件所需成本为（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量的取值范围是（ ）
2019-2020学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.1等式性质与不等式性
2．1 等式性质与不等式性质
1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．
2．掌握不等式的有关性质．
3．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式证明．
1．两个实数大小的比较
如果a
－b
是正数，那么a
>b
；如果a
－b
等于零，那么a
＝b
；如果a
－b是负数，那么
a
.反过来也对．这个基本事实可以表示为：
a
>b
⇔a
－b
>0，a
＝b
⇔a
－b
＝0，a
⇔a
－b<0.
从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大
小．
2．等式的基本性质
性质1 如果a
＝b
，那么b
＝a
；
性质2 如果a
＝b
，b
＝c
，那么a
＝c
；
性质3 如果a
＝b
，那么a
±c
＝b
±c
；
性质4 如果a
＝b
，那么ac
＝bc
；
性质5 如果a
＝b
，c
≠0，那么＝.a
cb
c
3．不等式的性质
(1)如果a
>b
，那么b
；如果b
，那么a
>b
.即a
>b
⇔b
(2)如果a
>b
，b
>c
，那么a
>c
.即a
>b
，b
>c
⇒a
>c.
(3)如果a
>b
，那么a
＋c
>b
＋c.
(4)如果a
>b
，c
>0，那么ac
>bc
；如果a
>b
，c
<0，那么ac
(5)如果a
>b
，c
>d
，那么a
＋c
>b
＋d.
(6)如果a
>b
>0，c
>d
>0，那么ac
>bd.
(7)如果a
>b
>0，那么an
>bn
(n
∈N，n≥2)．
温馨提示：(1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成
立的条件．
(2)要注意每条性质是否具有可逆性．
1．若a
>b
，且ab
>0，则与的大小关系如何？1
a1
b
[答案] 因为ab
>0，所以a
与b
同号．
而－＝，又a
>b
，所以b
－a
<0.1
a1
bb
－a
ab
所以－<0，即<1
a1
b1
a1
b
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)a
＝b
是＝成立的充要条件．( )a
cb
c
(2)若a
>b
，则ac
>bc
一定成立．( )
(3)若a
＋c
>b
＋d
，则a
>b
，c
>d
.( )
(4)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2019新人教版高中数学必修第一册第二章一元二次函数方程和不等式知识点和题型总结
第2章一元二次函数、方程和不等式
2.1等式和不等式性质
课程标准：1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能 运用不等式的性质比较大小2能运用不等式的性质证明不等式和解决简单的实 际问题.
教学重点：1.不等式的性质2用不等式的性质证明不等式.
教学难点：用作差法比较代数式的大小.
核心概念掌握
【知识导学】
知识点一 等式的性质
(1)如果 a=b,那么 a+c=b+c.
(2妆口果 a=b,那么 ac = be 或学=#(CH0).
(3妆口果 a=b, b=c,那么 a=c.
知识点二
作差比较法
(1)理论依据： 因 d_/2>OOa>b： ^a-b = 0<^a = b; ^g-b<0<^a
⑵方法步骤：①叵I作差；②西整理；③西判断符号；④因下结论.
知识点三 两个实数大小的比较
(1) “> 如凹"-b>0:
(2) "=bO"-b 図=0：
(3) 固 αvZ?Ua — b<0.
知识点四 不等式的性质
⑴如果a>b,那么b/?,即 国台Z?V".
(2妆口果a>b,且b>c,那么歴輕，即 a>b, b>c=叵I ">c.
(3) 如果a>b,那么d+o画R+c.
(4) 如果 a>b, c>0,那么 ac >bc ；如果 a>b, cb, OcL 那么 α+c 画 >/?+〃.
(6) 如果 a>b>O, c>d>O,那么 ac 回
如果 α>b>O, c<(l<0,那么 ac 回 G"∙
⑺如果 a>b>O,那么 0 凹R"(n∈N, π≥2).
(8)如果 回^/>∕x>0,那么,∖[cι>,yfb(n^N, 2).
【新知拓展】
1. 关于不等式性质的理解
两个同向不等式可以相加，但不可以相减，如">/?, c>d不能推出“一c>/?— d.
2. 常用的结论
(1 )a>b,
(2) bvO<"W>*;
(3) a>b>O, o√>0=>^>p
... r,Ia a+m a a~m b b+m b b~m
第二章 一元二次函数、方程和不等式单元测试卷 - 新人教A版高中数学必修第一册
第1页，共6页 新人教A版必修第一册单元测试卷
第二章 一元二次函数、方程和不等式
本试卷共6页，22小题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合(1)0Axxx≤，集合11Bxx＜＜，则AB
A. 11xx≤≤ B. 11xx≤＜ C. 10xx＜≤ D. 01xx＜＜
2. 若实数a，b，x，y满足ab＞，xy＞，则下列不等式正确的是
A. axby＞ B. axby＞ C. axby＞ D. xyab＞
3. 已知三角形的两条边长分别是2和9，第三条边的长是方程214480xx一个根，则这个三角形的周长为
A. 11 B. 17 C. 17或19 D. 19
4. 已知不等式20axbxc＞的解集为32xx＜＜，则不等式20cxbxa＞的解集为
A. 1132xx＜＜ B. 11,32xxx＜＞或
C. 32xx＜＜ D. 3,2xxx＜＞或
第2页，共6页 5. 若不等式2(1)0xaxa≤的解集是43xx≤≤的子集，则实数a的取值范围是
A. 41aa≤≤ B. 43aa≤≤ C. 13aa≤≤ D. 13aa≤≤