辽宁省六校协作体2020-2021学年高二上学期期中联考数学试题 Word版含答案
2020——2021学年度（上）省六校协作体高二期中联考数学试题一．选择题（1-8题为单选题，每题5分）1. 已知椭圆方程为12422=+y x ，则椭圆的焦点坐标为（ ）A .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,22,0,2221F FB .⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21,0,2121F FC .⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,0,21,021F FD .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22,0,22,021F F 2. 已知平面α上三点()()()1,2,4,0,2,1,1,2,3---C B A ,则平面α的一个法向量为（ ）A ．()16,9,4--B ．()16,9,4-C ．()4,9,16--D ．()4,9,16-3. 若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( )A ．－1或3B ．1或3C ．－2或6D ．0或44. 当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心， 5为半径的圆的方程为( )A.(x －1)2＋(y ＋2)2＝5B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5 C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5D ．(x －1)2＋(y －2)2＝55. 已知四面体ABCD 的每条棱长都等于2，点E,F,G 分别是棱AB,AD,DC 的中点，则→→⋅GF GE 等于( )A ．1B ．1-C ．4D ．4-6. 已知双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线与直线3x ＋6y ＋3＝0垂直，以C 的右焦点F 为圆心的圆(x －c )2＋y 2＝2与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为( )A ．1B ．2C .5D ．2 57. 已知椭圆159:22=+y x C 的右焦点F ，P 是椭圆上任意一点，点()32,0A ,则APF ∆的周长最大值为（ ）A.219+B.5327++C.14D.315+8. 《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面是矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥。
如图，在堑堵111C B A ABC -中，2,1=⊥AA BC AC ,当阳马11A ACC B -体积的最大值为34时，堑堵111C B A ABC -的外接球的体积为（ ）A.π34B .π328C .π332D .π3264二.多选题（9-12题为多选题，全部选对得5分，选错得0分，部分选对得3分） 9. 已知双曲线12222=-y a x 的两条渐近线的夹角为π3，则双曲线的离心率为( )A .233B .263C .3 D ．210. 已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点21,F F 在y 轴上，短轴长等于2，离心率为63，过焦点1F 作y 轴的垂线交椭圆C 于P 、Q 两点，则下列说法正确的是( )A ．椭圆C 的方程为1322=+x y B ．椭圆C 的方程为1322=+y xC ．|PQ |＝233D ．Q PF 2∆的周长为4 311. 在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1D 1和C 1D 1的中点，则下列结论正确的是( )A . 11//A C 平面CEFB . 1B D ⊥平面CEFC . →→→→-+=DC DD DA CE 121D . 点D 与点B 1到平面CEF 的距离相等12. 古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名。
他发现：“平面内到两个定点A ,B 的距离之比为定值()1≠λλ的点的轨迹是圆”。
后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆。
在平面直角坐标系xoy 中，()()0,4,0,2B A -,点P 满足21=PBPA 。
设点P 的轨迹为C ，则下列结论正确的是（ ） A .曲线C 的方程为()9422=++y xB .在x 轴上存在异于A ,B 的两定点D ,E ,使得21=PEPD C ．当A ,B ,P 三点不共线时，射线PO 是APB ∠的平分线 D .在曲线C 上存在点M ，使得MA MO 2= 三．填空题（每小题5分）13. 已知直二面角βα--l 的棱l 上有A,B 两个点，l BD BD l AC AC ⊥⊂⊥⊂,,,βα,若5,3,4===BD AC AB ，则CD 的长是__________．14. 设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的方程为________．15. 已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)．则|2a+3b |＝________；在直线AB 上，存在一点E ，使得OE →⊥b ，则点E 的坐标为________．(第一空2分，第二空3分)16. 已知点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点P 在椭圆上，直线AP 的斜率为33，设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值为_____________． 四、解答题17. （10分）当k 为何值时，直线3x －(k ＋2)y ＋k ＋5＝0与直线kx ＋(2k －3)y ＋2＝0，(1) 平行；(2)垂直。
18. （12分）已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1,0)，一个顶点为H (2,0)． (1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P (t,0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围．19. （12分）如图，设四棱锥ABCD E -的底面是菱形，且o 60=∠ABC2,2====BE AE EC AB . (1) 证明：平面EAB ⊥平面ABCD ； (2) 求四棱锥E-ABCD 的体积.20. （12分）①圆心C 在直线0872:=+-y x l 上，且()5,1B 是圆上的点；②圆心C 在直线02=-y x 上,但不经过点()2,4,并且直线034=-y x 与圆C 相交所得的弦长为4③圆C 过直线042:=++y x l 和圆0164222=--++y x y x 的交点， 在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，问题：平面直角坐标系中，圆C 过点()0,6A ，且_________ (1)求圆C 的标准方程；(2)求过点A 的圆C 的切线方程。
21. （12分）如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，AB ＝1，AC ＝AA 1＝2，AD ＝CD ＝5，且点M 和N 分别为B 1C 和D 1D 的中点．(1)求证：MN ∥平面ABCD ；(2)求平面ACD 1与平面ACB 1的夹角的余弦值；(3)设E 为棱A 1B 1上的点，若直线NE 和平面ABCD 的夹角的正弦值为13，求线段A 1E 的长．22. （12分）已知椭圆()012222>>=+b a b y a x C ：的上顶点为E ，左焦点为F ，离心率为22，xOy直线EF 与圆2122=+y x 相切。
（1） 求椭圆C 的标准方程；（2） 设过点F 且斜率存在的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，试判断ABPF 是否为定值，若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由。
1. D2. B3. D [由弦长公式l ＝2r 2－d 2，可知圆心到直线的距离d ＝2，即|a －2|12＋－12＝2，解得a＝0或4.]4. C 【解析】 直线方程变为(x ＋1)a －x －y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，－x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，∴C (－1,2)，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.5. A6. D [由直线垂直的条件，可得b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－36＝－1，所以b a ＝63，由点F (c ,0)到渐近线y ＝63x 的距离d ＝63c⎝ ⎛⎭⎪⎫632＋(－1)2＝2，可得c ＝5，2c ＝2 5.]7. C 8. B 9. AD解析 如图所示，双曲线的渐近线方程为y ＝±2a x ，若∠AOB ＝π3，则θ＝π6，tan θ＝2a ＝33， ∴a ＝6> 2. 又∵c ＝6＋2＝22，∴e ＝c a ＝226＝233.10. ACD 11. AC 12. BC 13. 2514. 解：因为椭圆x 225＋y 29＝1的顶点为(－5，0)，(5，0)，(0，－3)，(0，3)，当顶点为(－5，0)，(5，0)时，焦点在x 轴上，且a ＝5.又c a ＝c 5＝2，所以c ＝10，从而b 2＝75，所以标准方程为x 225－y 275＝1.当顶点为(0，－3)，(0，3)时，焦点在y 轴上，且a ＝3.又e ＝c a ＝c3＝2，所以c ＝6，所以b 2＝c 2－a 2＝36－9＝27，所以标准方程为y 29－x 227＝1.综上可知，双曲线的标准方程为x 225－y 275＝1或y 29－x 227＝1.15.74；⎪⎭⎫ ⎝⎛--52,514,5616. 解 直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M 的坐标是(m ,0)， 则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2， 于是|m ＋6|2＝|m －6|，又－6≤m ≤6，解得m ＝2，所以点M (2,0)． 设椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离为d ，有 d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋15， 由于－6≤x ≤6.所以当x ＝92时，d 取最小值15.17. 解：（1）两直线平行时()()2323+-=-k k k 解得1=k 或9-=k 当k =1时两直线重合，所以两直线平行时，k =-9（2）两直线垂直时，()()03223=-+-k k k 解得2131,213121-=+=k k 18. 解 (1)由题意可得，c ＝1，a ＝2， ∴b ＝ 3.∴所求椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 0，y 0)，x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，则x 204＋y 203＝1.①MP →＝(t －x 0，－y 0)，MH →＝(2－x 0，－y 0)，由MP ⊥MH 可得MP →·MH →＝0， 即(t －x 0)(2－x 0)＋y 20＝0.②由①②消去y 0，整理得t (2－x 0)＝－14x 20＋2x 0－3. ∵x 0≠2，∴t ＝14x 0－32.∵－2<x 0<2， ∴－2<t <－1.∴实数t 的取值范围为(－2，－1)．19. （1）证明：取AB 中点O ，连接EO ,CO ,AC 因为底面ABCD 为菱形且AB =2，O 为AB 中点∴3=CO2,2===AB BE AE BE AE ⊥∴AB EO EO ⊥=∴,12222EC CO EO EC =+∴= 即CO EO ⊥AB CO ABCD EAB EAB EO ABCD EO 平面平面平面平面⊥∴⊂⊥∴(2) 由（1）可得EO 为四棱锥E -ABCD 的高，EO =1,34=ABCD S33431=⋅=∴-ABCD ABCD E S EO V 20. 解：选①条件（1）（方法一）设所求圆的方程为()()222r b y a x =-+-，由题意得()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+-=-+-08725106222222b a r b a r b a 解得a =3,b =2,132=r 所以所求圆的方程是()()132322=-+-y x（方法二）设线段AB 的垂直平分线为m ，则圆心C 在直线上且在直线l 上，即C 是m 与l 的交点直线AB 的斜率是-1,直线m 的斜率是1，AB 中点为⎪⎭⎫ ⎝⎛2527，，所以直线01:=--y x m⎩⎨⎧=+-=--087201y x y x 解得⎩⎨⎧==23y x 所以圆心C (3,2)且13=CA 所以所求圆的方程是()()132322=-+-y x （2）A 在圆C 上，32-=AC k ，过点A 的切线斜率为23 ∴过点A 的切线方程是()623-=x y 即01823=--y x 选②条件 （1）设所求圆的方程为()()222r b y a x =-+-，由题意得a =2b ， 设圆心C 到直线034=-y x 距离为d ，()2226b a r +-=由垂径定理可知2222+=d r 即()22264534b a b a +-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-将a =2b 代入得，4,221==b b 又因为圆C 不经过点()2,4,所以a =8,b =4,202=r所以所求圆的方程是()()204822=-+-y x (2)A 在圆C 上，2=AC k ，过点A 的切线斜率为21- ∴过点A 的切线方程是()621--=x y 即062=-+y x 选③条件 （方法一）设所求圆C 的方程为()042164222=+++--++y x y x y x λ 代入点A (6,0)得2-=λ所以所求圆的方程为0326222=---+y x y x 即()()423122=-+-y x （方法二）设直线042:=++y x l 与圆0164222=--++y x y x 交点()()2211,,,y x F y x E⎩⎨⎧=--++=++0164204222y x y x y x 即0162652=++x x 解得58913,5891321--=+-=x x 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-58926,58913,58926,58913F E 设所求圆C 的方程()()222r b y a x =-+-将A ,E ,F 代入 所以所求圆的方程为()()423122=-+-y x21. (1)证明 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A (0,0，0)，B (0,1,0)，C (2，0,0)，D (1，－2，0)，A 1(0,0,2)，B 1(0,1,2)，C 1(2,0,2)，D 1(1，－2，2)，又因为M ，N 分别为B 1C 和D 1D 的中点，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，N (1，－2,1)．可得n ＝(0,0,1)为平面ABCD 的法向量，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，0，由此可得MN →·n ＝0，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD .(2)解 AD 1→＝(1，－2,2)，AC →＝(2,0,0)，设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACD 1的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AD 1→＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋2z ＝0，2x ＝0.不妨设z ＝1，可得n 1＝(0,1,1)．设n 2＝(x ，y ，z )为平面ACB 1的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AB 1→＝0，n 2·AC →＝0， 又AB 1→＝(0,1,2)，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋2z ＝0，2x ＝0，不妨设z ＝1，可得n 2＝(0，－2,1)．因此有cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－1010，所以，平面ACD 1与平面ACB 1的夹角的余弦值为1010.(3)解 依题意，可设A 1E →＝λA 1B 1→，其中λ∈[0,1]，则E (0，λ，2)，从而NE →＝(－1，λ＋2,1)，又n ＝(0,0,1)为平面ABCD 的法向量，由已知，得cos 〈NE →，n 〉＝NE →·n |NE →||n |＝1(－1)2＋(λ＋2)2＋12＝13， 整理得λ2＋4λ－3＝0，又因为λ∈[0,1]，解得λ＝7－2，所以，线段A 1E 的长为7－2. 22. 解：（1）c b c b a c a e =∴+==∴=222222 0:=+-∴c y x l EF 又因为直线EF 与圆C 相切，所以2,1===a b c所以椭圆C 的标准方程为1222=+y x （2）AB PF 是定值。
辽宁省六校协作体2020-2021学年高二第一学期期中联考化学试题【含答案】
辽宁省六校协作体2020-2021学年高二第一学期期中联考化学试题可能用到的原子量（H-1 O-16 C-12 S-32 N-14 Li-7 Mn-55 K-39 Ag-108 Cr-52 Ca-40）一单选题：（1---10每小题3分，共30分）1.下列属于碱，又是弱电解质的是（）A.纯碱B.一水合氨C.氯水D.火碱2.一定温度下，用水稀释0.1mol/L的一元弱酸HA溶液，随着稀释的进行，下列数值一定增大的是( )A.K wB.c(H+)K a C.c(HA)c(A)D.c(OH−)3.一定温度下,在容积恒定的密闭容器中,进行可逆反应:A(s)+2B(g)C(g)+D(g),当下列几个物理量不再发生变化时,能说明该反应已达到平衡状态的有几个()①混合气体的密度②容器内气体的压强③混合气体的总物质的量④B的物质的量浓度A.1B. 2C. 3D. 44.下列事实：①NaHSO4溶液呈酸性；②长期施用化肥(NH4)2SO4会使土壤酸性增强，发生板结；③配制CuCl2溶液时，用稀盐酸溶解CuCl2固体；④NaHS溶液中c(H2S)>c(S2−)；⑤氯化铵溶液可去除金属制品表面的锈斑；⑥蒸干FeCl3溶液，往往得不到FeCl3固体。
其中与盐类的水解有关的有( )A.仅①②③⑤B.仅②③④⑤⑥C.仅①④⑤⑥D.仅①②③④⑤5.下列各组离子在指定条件下,一定能大量共存的是( )A.能使蓝色石蕊试纸变红色的溶液中:K+、Na+、CO32-、NO3-B.c(H+)=1×10-1mol/L的溶液中:Cu2+、Al3+、SO42-、NO3-C.能使碘化钾淀粉试纸变蓝的溶液中:Na+、NH4+、S2-、Br-D.水电离出的c(H+)=1×10-12 mol/L的溶液中:Na+、Mg2+、Cl-、SO42-6.某化学反应的ΔH=−125kJ⋅mol−1，ΔS=−8kJ⋅mol−1⋅K−1，则此反应在下列哪种情况下可自发进行( )A.在任何温度下都能自发进行B.在任何温度下都不能自发进行C.仅在高温下自发进行D.仅在低温下自发进行7.下列反应不属于水解反应或水解方程式不正确的是( )①②AlCl3+3H2O=Al(OH)3+3HCl③④碳酸氢钠溶液：⑤NH4Cl溶于D2O中：A.①②③④B.①②③C.②③⑤D.全部8.25 ℃时，在等体积的①pH=0的H2SO4溶液、②0.05mol/L的Ba(OH)2溶液、③pH=10的Na2S溶液、④pH=5的NH4NO3溶液中，由水电离出的c(H+)之比是( )A.1 ︰ 10 ︰ 1010 ︰ 109B.1 ︰ 5 ︰ (5×109) ︰ (5×108)C.1 ︰ 20 ︰ 1010 ︰ 109D.1 ︰ 10 ︰ 104 ︰ 1099.化合物Bilirubin在一定波长光照射下发生分解反应,反应物浓度随反应时间变化如图所示,计算反应4-8min平均反应速率和推测反应16min时反应物的浓度,结果应是( )A.2.5μmol/(L·min)和2.0μmolB.2.5μmol/(L·min)和2.5μmolC.3.0μmol/(L·min)和3.0μmolD.5.0μmol/(L·min)和3.0μmol10. 某温度下，将等物质的量A、B、C、D四种物质混合于一恒容密闭容器中，发生如下反应：aA（g）+bB（g） cC（g）+dD（g）ΔH＜0。
辽宁省六校协作体高二上学期期中考试数学(理)试题(含答案)
辽宁省六校协作体高二上学期期中考试数学（理）试题（含答案）、选择题目要求的.）1.已知集合A. {0}数学试题（理科）命题学校：北镇高中命题人：才忠勇校对人：杨柳（本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题A {01,2},B. {01}2.下列说法正确的是（A.命题B.命题C.命题3.如果aA. aC. a22B {x|x x 2, 0}，则AI B (C.“2…1 ”是假命题“ x? R , x210”“若2a 2b，则a b ”1 ”是b24.已知等差数列A. 16C. 22 {1,2}的否定是的否命题D. {01,2}xo ? R ,2a2b，则a,x 2”的必要不充分条件那么下列各式一定成立的是（B.D.a n的前B.19 D.25ac ben项和为S n,若a4S5 20 ,则a10 ( )5.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A.8B.16正视图俯视图C.32D.64侧视图第5题图6.已知|a| 1，|b| 2，a 与b 的夹角为—，那么|4a b|等于()3A. 2B.6C. 2,3D.129•中国古代数学著作 “算法统宗”中有这样一个问题：“三百七十八里关, 次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为()A.24 里B.12 里C.6里D.3里10.若不等式x 2c a 2xb对任意a ， b? (0,)恒成立，则实数 x 的取值范围是 a( )A.1022B.1024C.2044D.2048x 2y, 08.已知实数x ， y 满足约束条件x 2y 2 0，2xy 2, 0则目标函数z x y 的最大值为()12A.B.25C.4D.6第7题图初步健步不为难, .其大意为：“有C.( ，2)U(0,)D.(，4)U(2,)7.如图所示的程序框图运行的结果为( )第6题A. ( 2,0)B.(4，)11.等差数列a n中，鱼1,若其前n项和S n有最大值,耳0则使S n0成立的最大自然数n的值为（)A.19B.20C.9D.1012.若关于x的不等式2x mx2 0在区间［1,2］上有解，则实数m的取值范围为（）A.,B.C. ,D.第n卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分.）2x 113. 不等式 ---- ,1的解集为x 114. 若命题“ x°?R，2x） 2, a2 3a ”是假命题，贝U实数a的取值范围为__________________ .15. 若正数x , y满足3x y 5xy，则4x 3y的最小值为___________________ .16. 设数列a n是正项数列，若、.a2…a n n2 3n ,则q a2 … a n2 3 n 1 .三、解答题（本题共6小题，共70分.）17. （本小题满分10分）设命题p:实数x满足x24ax 3a20 ,命题q:实数x满足|x 3| 1.（I）若a 1，且p q为真，求实数x的取值范围；（n）若a 0，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围18. （本小题满分12分）已知锐角△ ABC，内角A , B , C所对的边分别为a , b , c ,且3a 2csin A .（I）求角C ；(n)若c . 7，且△ ABC的面积为色13，求a b的值.219. (本小题满分12分)已知方程x2(m 3)x m 0.(I)若此方程有两个正实根，求实数m的取值范围；(n)若此方程有两个实根均在(0,2)，求实数m的取值范围20. (本小题满分12分)1 1 已知正项等比数列a n, ai , a2与a4的等比中项为-.2 8(I)求数列a n的通项公式a n；(n)令b n na n,数列b n的前n项和为S n.证明：对任意的n ? N*，都有21. (本小题满分12分)已知关于X的不等式ax23x 2 0 ( a? R ).(I)若关于x的不等式ax23x 2 0 ( a? R )的解集为{x|x倣x b}的值；(n)解关于x的不等式ax23x 2 5 ax ( a? R ).2.，求a , b22. (本小题满分12 分)(n)求数列｛a n ｝的通项公式；(川)设存在正整数 k ，使(1 3)(1 S 2)…(1 S n )…k-..2n 1对一切n? N k 的最大值.已知数列｛a n ｝的首项为1,前n 项和为S n 与a n 之间满足a n2S2—(n 呬2,12S n(I)求证：数列是等差数列;都成立，求2017―― 2018学年度上学期省六校协作体高二期中考试数学试题（理科） 参考答案与评分标准13. {x| 2, x 1} 14.[1,2] 15. 5 16.2n 2 6n三、解答题17. （本小题满分10分）解：由题，若q 为真，则2 x 4. ......................................................................................................... 2 分（I ）当a 1时，若p 为真，贝y 1 x 3 , (4)分故x 的取值范围为（2,3）. .............................................................................................................. 5 分（n ）当a 0时，若p 为真，则a x 3a ,6分因为 p 是q 的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件， ................................................ 8分4 故实数a 的取值范围[4,] ................................................................................................................ 10 3分于是,a, 23a (4)18. （本小题满分12分）解：（I）由正弦定理，得-.3 si nA 2s in C si nA ,因为A?(0,)，所以si nA 0,于是，si nC , .......................................................................24分又因为锐角△ ABC，所以C?(0, —), .........................................................................25分解得C ........... .. (6)3分1(n)因为S A ABC absin C , ............................................................................27分所以仝ab 313，解得ab 6 , ......................................................................................4 29分由余弦定理，得c2a2b22abcosC , ............................................................................. 10分2即7 (a b) 2ab(1 cosC), (11)分解得a b 5. (12)分19. (本小题满分12分)2解：设f (x) x (m 3)x m .................. ........................................................................................1分心02(i)由题，(m 3)2 4m ...0, (4)f (0) m 064分m 3即m 剠1或m 9，解得0 m, 1故m 的取值范围为（0,1].9，解得其他解法请酌情给分.）20. （本小题满分12 分）（n ）由题可知,由题,mJ 2 2(m 3)2 f(0)f(2)3m 210故m 的取值范围为(31].12解：（I ）a n ，所以a n 0 ,设公比为q ，则q 0.又因为a 2与a 4的等比中项为a s即 a 1q 28，由a i于是，数列a n 的通项公式为 a n1 2n7分3(n)原不等式等价于 ax 2 (a 3)x 3 0,等价于(x 1)(ax 3) 0,30 时，x 11 , x 2a曰 是, S n2 23歹3 2n —尹n12n解得S n1歹… 2(1 二21 21 n尹.21.（本小题满分12分） 解：（I ）由题, 方程8a曰 是,b 1 a b 1 -a解得a1, b 2. n 2* 11011122 ______ax 3x(1)0时，原不等式的解集为{x|x1}；(2)①当1，即a 3或a 0时,7分36分(i)当a 0时，原不等式的解集为{x|x 1或x -}；a 3(ii)当a3时，原不等式的解集为 {x| 1 x } ； .............................. 10分a3② 当1，即a3时，原不等式的解集为 x? ......... ............................ 11分a 33③ 当一1,即 3 a 0时，原不等式的解集为 {x|— x 1} ........................................... 12分a a22.(本小题满分12分)故 2S ： (S n S n1)(2S n 1), 所以 S n S n 1 2S n S n 1 0, ...................................................................................分1 1 由题，S n 0，两边同时除以S n S n 1，得2 0,Sn 1 Sn1 1 *故2 (n 呬2, n N ), ..................................................................................S n S n 13分解：(I)因为a n2S ；2S n 1S n Sn (n 呬2, n N *), .........................................................故数列 1{才}是公差为1 (n)由(I )知，- 丄 S 1 (nS n 5分1*所S n(n? N ),2n 11 1a n S nS n 12n 1 2n 3X* (2n 1)(2n 3)(n 呬 N)， ...........................分1) 2 2n 1 ,又a1 1，不满足上式,6分111, n 1所以f(n)在n? N *上单调递增，故f(n)min因为k 为正整数，所以k 的最大值为1.a n (2n 1)(2n 3)"呬呬2 门(川)原不等式等价于1 1(1 1)(1 —)…(1 )…k •一 2n 1 对一切 n?N 都成立,3 2n 1 即k, 1(1 1)(1 才)…(1 2n 1 2n 1)1 1(1 1)(1 -)-(1 )令 f(n) --------------- ^^_2n 」 J2n 1 曰 f (n 1) 是,-f(n)2n 21 岛―31,即 f(n 1) f (n),10fd)12分。
辽宁省六校2020-2021学年高三上学期期中联考数学试题
2020-2021学年度（上）省六校高三期中联考数学试题一、单项选择题1. 已知,a b ∈R ，则“20a b +=”是“2ab=-”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件B根据充分条件、必要条件的定义判断即可． 当20a b +=成立时，不妨设0a b ，此时不满足2ab=-， 所以，“20a b +=”不能推出“2ab=-”； 当2ab=-，则有2a b =-，即20a b +=， 所以，“2ab=-”能推出“20a b +=”．因此，“20a b +=”是“2ab=-”成立的必要不充分条件．故选：B ．2. 已知函数()x131f x x 2⎛⎫=- ⎪⎝⎭,那么在下列区间中含有函数()f x 零点的是（ ）A. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B由根的存在性定理求端点值的正负性，可知零点所在区间．因为函数()x131f x x 2⎛⎫=- ⎪⎝⎭,是连续单调函数，且()1133111f 010,f 0,323⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 112311111f 0,f f 022232⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴函数f(x)在区间11,32⎛⎫⎪⎝⎭必有零点，故选B ．3. 8122x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项是（ ） A. 235x B. 220x C. 470x D. 435xC根据二项式系数的性质，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值，再根据通项公式可求得结果.由二项式系数的性质，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值，所以二项式系数最大的项是()44445812702T C x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故选：C.4. 数列{}n a 满足11a =，对任意*n N ∈，都有11n n a a n +=++，则1299111a a a ++=（ ） A. 9998B. 2C.9950D.99100C首先根据题设条件可得11n n a a n +-=+，然后利用累加法可得(1)2n n n a +=，所以()122211n a n n n n ==-++，最后利用裂项相消法求和即可. 由11n n a a n +=++，得11n n a a n +-=+，则()()()()()1122111112n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-++-+=+-++=，所以1222(1)1n a n n n n ==-++， 12991111111119921212239910010055a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：C . 5. 设函数()()2log 1,04,0x x x f x x ⎧-<=⎨≥⎩，则()()23log 3f f -+=（ ）A. 9B. 11C. 13D. 15B首先根据自变量所属的范围，结合题中所给分段函数的解析式，代入求得结果.∵函数2log (1),0()4,0xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩， ∴()223l log 22og 9(3)log 3log 4224f f ++=-+==2+9=11．故选B ．6. 设函数1()ln1xf x x x+=-，则函数的图像可能为（ ） A. B.C.D.B根据函数为偶函数排除,A C ，再计算11()22ln 30f =>排除D 得到答案.1()ln 1xf x x x +=-定义域为：(1,1)-11()ln ln ()11x xf x x x f x x x-+-=-==+-，函数为偶函数，排除,A C11()22ln 30f => ，排除D 故选B 7. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，512BC AC -=.根据这些信息，可得sin 234︒=（ ）A. 14-B. 38+-C. 14-D. 48-C先求出1cos 4ACB ∠=，再根据二倍角余弦公式求出cos144，然后根据诱导公式求出sin 234.由题意可得：72ACB ︒∠=，且112cos 4BCACB AC ∠==，所以2211cos1442cos 7212144︒︒⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()sin 234sin 14490cos144︒︒︒︒=+==，故选：C 8. 若23121==>x y z ，则48++x yz xy的取值范围是（ ） A. []1,4 B. [)1,+∞C. ()+∞D. [)4,+∞D首先利用指对互化，得到211x y z +=，变形48++x yz xy后，利用基本不等式求最值.设23121x y x k ===>，所以2log 0x k =>，3log 0y k =>，12log 0z k =>，1log 2k x =，1log 3k y =，1log 12k z=，所以211x y z +=，所以12444z z y x z ⎛⎫++=+≥= ⎪⎝⎭，当且仅当2z =时，等号成立.故选：D二、多项选择题9. 已知复数()()()32=-+∈z a i i a R 的实部为1-，则下列说法正确的是（ ） A. 复数z 的虚部为5- B. 复数z 的共轭复数15=-z iC. z =D. z 在复平面内对应的点位于第三象限ACD首先化简复数z ，根据实部为-1，求a ，再根据复数的概念，判断选项.()()()()23232323223z a i i a ai i i a a i =-+=+--=++-， 因为复数的实部是-1，所以321a +=-，解得：1a =-， 所以15z i =--，A.复数z 的虚部是-5，正确；B.复数z 的共轭复数15z i =-+，不正确；C.()()221526z =-+-=，正确；D.z 在复平面内对应的点是()1,5--，位于第三象限，正确.故选：ACD10. 南宋杨辉在他1261年所著的《详解九章算术》一书中记录了一种三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即现在著名的“杨辉三角”．下图是一种变异的杨辉三角，它是将数列{}n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成的，其中{}n a 是集合{220s ts t +≤<，且s ，}t Z ∈中所有的数从小到大排列的数列，13a =，25a =，36a =，49a =，510a =…下列结论正确的是（ ）A. 第四行的数是17，18，20，24B. ()11232-+=⋅n n n aC.()11221-+=+n n a n D. 10016640a =ABD采用逐一验证的方法，利用(,)s t 来表示每一项，寻找规律，可得结果 对于A ：用(,)s t 来表示每一项，则 第一行：3(0,1)， 第二行：5(0,2),6(1,2)， 第三行：9(0,3),10(1,3),12(2,3)，第四行：17(0,4),18(1,4),20(2,4),24(3,4)，故A 正确； 对于B ：()12n n a +表示第n 项第n 列，则()11122232n n n n n a -+-=+=⋅，故B 正确； 对于C ：()112n n a -+表示第n 项第1项，则()10122212n n nn a -+=+=+，故C 错误；对于D ：100a 第14行第9项，所以1100842216640=+=a ，故D 正确，故选：ABD.11. 一组数据12321,21,21,,21n x x x x +++⋯+的平均值为7，方差为4，记12332,32,32,,32n x x x x +++⋯+的平均值为a ，方差为b ，则（ ）A. a =7B. a =11C. b =12D. b =9BD根据所给平均数与方差，可由随机变量均值与方差公式求得E (X )，D (X )，进而求得平均值a ，方差b .12321,21,21,,21n x x x x +++⋯+的平均值为7，方差为4，设()123,,,,n X x x x x =⋯，∴(21)2()17E X E X +=+=，得E (X )=3，D (2X +1)=4D (X )=4，则D (X )=1，12332,32,32,,32n x x x x +++⋯+的平均值为a ，方差为b ， ∴a =E (3X +2)=3E (X )+2=11，b =D (3X +2)=9D (X )=9.故选：BD .12. 在单位圆O ：x 2+y 2＝1上任取一点P （x ，y ），圆O 与x 轴正向的交点是A ，设将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角为θ，记x ，y 关于θ的表达式分别为x ＝f （θ），y ＝g （θ），则下列说法正确的是（ ）A. x ＝f （θ）是偶函数，y ＝g （θ）是奇函数B. x ＝f （θ）在22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，为增函数，y ＝g （θ）在22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，为减函数 C. f （θ）+g （θ）≥1对于02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立D. 函数t ＝2f （θ）+g （2θ）的最大值为2ACA ，由题可知，()cos x f θθ==，()sin y g θθ==，根据正弦函数和余弦函数的奇偶性，可判断选项A ；B ，根据正弦函数和余弦函数的单调性，可判断选项B ；C ，先利用辅助角公式可得()())4f g πθθθ+=+，再结合正弦函数的值域即可得解；D ，2cos sin2t θθ=+，[0θ∈，2]π，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 解：由题可知，()cos x f θθ==，()sin y g θθ==，即A 正确；()cos x f θθ==在[,0)2π-上为增函数，在[0,]2π上为减函数；()sin y g θθ==在[,]22ππ-上为增函数，即B 错误；()()cos sin )4f g πθθθθθ+=+=+，[0,]2πθ∈，∴3[,]444πππθ+∈)4πθ+∈，即C 正确；函数2()(2)2cos sin 2t f g θθθθ=+=+，[0,2]θπ∈则22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+，令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<，∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，cos θ=时，函数t 取得极大值，为1222t =⨯=又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数t 的最大值为2，即D 错误．故选：AC ． 三、填空题 13. 设随机变量()2,N ξμσ，且()()310.2P P ξξ<-=>=，则()11P ξ-<<=______.0.3.本题首先可根据()()31P P ξξ<-=>得出1μ=-，然后根据正态分布的对称性即可得出结果. 因为()2,N ξμσ，且()()310.2P P ξξ<-=>=，所以1μ=-，()110.50.20.3P ξ-<<=-=， 故答案为：0.3.14. 将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，清华大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有______种 150每所大学至少保送一人，可以分类来解，当5名学生分成2，2，1时，当5名学生分成3，1，1时，根据分类计数原理得到结果． 当5名学生分成2，2，1或3，1，1两种形式，当5名学生分成2，2，1时，共有2235331902C C A =种结果，当5名学生分成3，1，1时，共有3135231602C C A =种结果，∴根据分类计数原理知共有9060150+=种.故答案为：150．15. 已知0a >，1a ≠，若函数()()2log a f x ax x =-在[]3,4是增函数，则a 的取值范围是______．()1,+∞对参数a 分类讨论，结合对数函数单调性和二次函数单调性，即可列出不等式求得结果，注意函数定义域即可.当1a >时，log a y x =是单调增函数，要满足题意， 则有：2t ax x =-在[]3,4是单调增函数，且其最小值大于零.故132a≤且930a ， 解得13a >，又1a >，故此时()1,a ∈+∞；当01a <<时，log a y x =是单调减函数，要满足题意， 则须：2t ax x =-在[]3,4是单调减函数，且其最小值大于零. 故142a≥，且1640a ->， 不等式无解.综上所述，()1,a ∈+∞. 故答案为：()1,+∞.16. 设m ，n R ∈，那么22()()n m m e n e -+-的最小值是__________． 2由题意，令ln n t =，原式可化为22()(ln )m m t e t -+-，其几何意义是动点(,)m m e 和(,ln )t t 的距离的平方，分别曲解曲线x y e =和曲线ln y x =上的切线方程，根据两平行线之间的距离公式，即可求解．由题意，令ln n t =，原式可化为22()(ln )m m t e t -+-，其几何意义是动点(,)m m e 和(,ln )t t 的距离的平方，又曲线x y e =与曲线ln y x =关于直线y x =对称，过曲线x y e =上的点且平行于直线y x =的切线为1y x =+，过曲线ln y x =上的点且平行于直线y x =的切线为1y x =-，则两切，故22()()n m m e n e -+-的最小值是2. 四、解答题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知函数21()cos sin ()2f x x x x x R =++∈．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()2c f C ==，向量(1,)m a =与向量(2,)n b =共线，求,a b 的值．（1）,,63k -k k Z ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦；（2）1,2a b ==.（1）应用二倍角公式、两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质可得增区间；（2）由()2f C =求得C ，再由向量共线得,a b 关系同，然后由余弦定理可得,a b 值．（1）∵函数21()cos sin ,2f x x x x x R =++∈，12cos 21sin(2)126f x x x x π∴-+=-+（） 令222,,26263k x k k -x k πππππππππ-≤-≤+≤≤+解得所以函数的单调递增区间为,,63k -k k Z ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ （开闭区间都可以） （2）C =sin(2)126f C π-+=（），sin(2)16C π-=，∵110,2,266662C C C ππππππ<<∴-<-=-=，解得3C π= ∵向量(1,),(2,)m a n b ==共线，∴2b a =①由余弦定理，得222222cos,33c a b ab a b ab π=+-∴+-=，②由①②得1,2a b ==．18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形OABC 是等腰梯形，(6,0),(1,3)A C ，点M满足12OM OA =，点P 在线段BC 上运动（包括端点）.（1）求OCM ∠的余弦值；（2）是否存在实数λ，使()OA OP CM λ-⊥，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由. （17；（2）12(,12][,)7λ∈-∞-+∞．（1）由题意求得(2,3),(1,3)CM CO =-=- ，再根据cos cos ,||||CO CMOCM CO CM CO CM ⋅∠=<>=，运算即求得结果；（2）设(3)P t ，其中15t ≤≤，由()OA OP CM λ-⊥ ，得=0()OA OP CM λ-⋅ ，可得(23)12t λ=﹣．再根据33[1,)(,5]22t ∈，求得实数λ的取值范围：．（1）由题意可得1(6,0),(1,3),(3,0)2OM OA OC OA ====，(2,3),(1,3)CM CO =-=-，故7cos cos ,=||||CO CM OCM CO CM CO CM ⋅∠=<>=； （2）设(3)P t ，其中15,(3)t OP t λλλ≤≤=，(6,3),(2,3)OA OP t CM λλλ-=--=，若()OA OP CM λ-⊥ ，则=0()OA OP CM λ-⋅ ，即12230t λλ-+=，可得(23)12t λ=﹣， 若32t =，则λ不存在，若32t ≠，则1233=,[1,)(,5]2322t t λ∈-， 故12(,12][,)7λ∈-∞-+∞.19. 我市今年参加高考的考生是首次取消文理科后的新高考考生，新高考实行“321++”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在[)15,45称为中青年，年龄在[)45,75称为中老年），并把调查结果制成下表：（1）请根据上表完成下面22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.（2）现采用分层抽样的方法从中老年人中抽取8人，再从这8人中随机抽取2人进行深入调查，求事件A ：“恰有一人年龄在[)45,55”发生的概率.（1）填表见解析；有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联；（2）47. （1）根据调查结果填写列联表即可（其中频数指各年龄段调查人数），利用卡方检验公式求卡方值，并与参考表的值比较即可确定是否有95%的把握认为对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关；（2）由分层抽样概念知8人中年龄在[)45,55中的有4人，年龄在[)55,65中的有2人，年龄在[)65,75中的有2人，结合古典概型的概率公式求概率即可； 解：（1）依题意，22⨯列联表如图所示，所以有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联.（2）由表格数据得到抽取的8人中：年龄在[)45,55中的有4人，年龄在[)55,65中的有2人，年龄在[)65,75中的有2人.从8人中抽取2人的方法有2828C =种，其中恰有一人年龄在[)45,55被抽中的方法有114416C C ⨯=种.所以()164287P A ==. 20. 已知数列{}n a 的各项均为正数，13a = ，且对任意*n N ∈ ，2n a 为213n a ++ 和1的等比中项，数列{}n b 满足()2*1n n b a n N =-∈.（1）求证：数列{}n b 为等比数列，并求{}n a 通项公式；（2）若2log n n c b =，{}n c 的前n 项和为n T ，求使n T 不小于360的n 的最小值.（1）证明见解析，n a =；（2）18.（1）根据等比中项的定义列方程并化简，从而判断{}n b 为等比数列，写出{}n b 的通项公式，由此求得数列{}n a 的通项公式；（2）写出数列{}n c 的通项公式与前n 项和公式n T ，计算n T 不小于360时n 的取值范围，从而求得n 的最小值．（1）证明：对任意*n N ∈，2n a 都为213n a ++和1的等比中项， 所以221(2)(3)1n n a a +=+⨯，即221(2)(3)1n n a a +=+⨯，也即22143+=-n n a a ；所以222211431444(1)n n n n a a a a +-=--=-=-，因为21=-n n b a ，所以14n n b b +=，所以数列{}n b 成等比数列，首项为21118=-=b a ，公比为4，所以122211·4822n n n n b b --+==⨯=； 所以22112+-=n n a ，又{}n a 为正项数列，所以n a =（2）解：由2122log log 221n n n c b n +===+， 所以12(211)(221)(21)n n T c c c n =++⋯+=⨯++⨯++⋯++2(123)n n =+++⋯++(1)22n n n +=⨯+ 22n n =+；由n T 不小于360，即22360n T n n =+，即223600n n +-， 也即(20)(18)0n n +-，解得18n 或20n -（不合题意，舍去）； 所以n T 不小于360的n 的最小值为1821. 为了解某地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：（1）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱（已知：0.751r≤≤，则认为y与x线性相关性很强；0.30.75x≤≤，则认为y与x线性相关性一般，0.25r≤，则认为y与x线性相关性较弱）（2）求y与x的线性回归方程，并预测该地区2019年足球特色学校的个数（精确到个位）参考公式：()()ni ix x y yr--=∑()()2211,10, 3.6056n ni ii ix x y y==-=-=≈∑∑；()()()121,ni iiniix x y yb a y bxx x==--==--∑∑（1）3.63.6056r=；y与x的线性相关性很强；（2）线性回归方程y=0.36x-724.76，预测A地区2019年特色学校208个（1）求出,x y，代入公式计算即可；（2）根据公式求出回归方程，根据回归方程计算预测结果.解：（1）2016521120.30.61 1.4 1.72016,155x y⨯--++++++====，()()3.60.753.6056ni ix x y yr--===>∑所以y与x线性相关很强；（2）5151()()(2)(0.7)(1)(0.4)10.420.70.3641014()iii i i x x y y b x x ==---⨯-+-⨯-+⨯+⨯===++++-∑∑，120160.36724.76a y bx =-=-⨯=-， y 关于x 的线性回归方程y =0.36x -724.76， 当x =2019时，y =2.08，即A 地区2019年特色学校208个. 22. 已知函数2()8ln ().f x x x a x a R =-+∈（1）当1x =时，()f x 取得极值，求a 的值并判断1x =是极大值点还是极小值点； （2）当函数()f x 有两个极值点1212,(),x x x x <且11x ≠时，总有21111ln (43)1a x t x x x >+--成立，求t 的取值范围．（Ⅰ）6a =，1x =为极大值点（Ⅱ）1t ≤-.（Ⅰ）求出函数的导数，求出a 的值，得到函数的单调区间，求出函数的极值点即可；（Ⅱ）求出函数极值点，问题转化为111x x -[2lnx 1211(1)t x x -+]＞0，根据0＜x 1＜1时，111x x -＞0.1＜x 1＜2时，111x x -＜0．即h （x ）＝2lnx 2(1)t x x-+（0＜x ＜2），通过讨论t 的范围求出函数的单调性，从而确定t 的范围即可．（Ⅰ）()228(0)x x af x x x-+=>'，()10f '=，则6a = 从而()()()213(0)x x f x x x--=>'，所以()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数；()1,3x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，所以1x =为极大值点. （Ⅱ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，有两个极值点1x ，212()x x x <，则()2280t x x x a =-+=在()0,+∞上有两个不等的正实根，所以08a <<，由12121242x x a x x x x +=⎧⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩可得()1110224x a x x <<⎧⎨=-⎩从而问题转化为在102x <<，且11x ≠时()21111ln 431a x t x x x >+--成立. 即证()()111211124ln 431x x x t x x x ->+--成立.即证()11112ln 11x x t x x >+- 即证()11112ln 101x xt x x -+>- 亦即证 ()21111112ln 01t x x x x x ⎡⎤-⎢⎥+>-⎢⎥⎣⎦. ①令()()212ln (02)t x h x x x x-=+<<则()222(02)txx th x x x++<<'= 1)当0t ≥时，()0h x '>，则()h x 在()0,2上为增函数且()10h =，①式在()1,2上不成立. 2)当0t <时，244t ∆=-若0∆≤，即1t ≤-时，()0h x '≤，所以()h x 在()0,2上为减函数且()10h =，111x x -、()211112ln t x x x -+在区间()0,1及()1,2上同号，故①式成立. 若0∆>，即10t -<<时，22y tx x t =++的对称轴11x t =->，令1min ,2a t ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，则1x a <<时，()0h x >，不合题意.综上可知：1t ≤-满足题意.。
辽宁省六校协作体2020-2021学年高二上学期期初联考数学(理)试题
【全国校级联考】辽宁省六校协作体2020-2021学年高二上学期期初联考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}/20S x x =-<，{}/T x x a =<，若S T S ⋂=,则 A ．2a ≥B ．2a ≥-C ．2a ≤D ．2a ≤-2．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A ．2x y x =+ B ．1y x x -=+C ．211y x =+ D ．22x x y -=-3．已知2cos()423πθ-=，则sin θ=（ ） A ．79 B ．19C ．19-D ．79-4．已知12,e e 是夹角为90的两个单位向量，且12123,2a e e b e e =-=+，则向量,a b 的夹角为 A ．120B ．60C ．45D ．305．圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A ．43-B ．34-C D ．26．从4件合格品和2件次品共6件产品中任意抽取2件检查，抽取的2件中至少有1件是次品的概率是 A ．25B ．815C ．35D ．237．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．BC D8．已知函数()cos(2))f x x x ϕϕ=--（||2ϕπ<）的图象向右平移12π个单位后关于y 轴对称，则()f x 在区间,02上的最小值为（ ）A ．1-BC ．D ．2-9．若底面边长是1 的正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是 A ．23πB ．43π C ．2πD ．83π 10．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题。
《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边,,a b c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实。
【数学】辽宁省协作校2020-2021学年高二上学期第一次联考试题
辽宁省协作校2020-2021学年高二上学期第一次联考试题 考生注意：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：选择性必修一第一章。
第I 卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点A(－1，1，2)，B(3，2，1)，则|AB |＝C.4D.62.若空间向量a ，b 不共线，且－a ＋(3x －y)b ＝xa ＋3b ，则xy ＝A.1B.2C.4D.63.已知空间向量a ＝(3，0，3)，b ＝(－1，1，0)，则a 与b 的夹角为A.30°B.60°C.120°D.150°4.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设1AB a AD b AA c ===，，，且|a|＝2，则(a ＋b)·(a －c)＝A.4B.3C.2D.15.直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，且∠BAD ＝3π，则|1AC |＝B.4 6.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，若点P 在侧面BCC 1B 1(不含边界)内运动，AP ⊥BD 1，且点P 到底面ABCD 的距离为3，则异面直线BD 与AP 所成角的余弦值是7.已知P ，A ，B ，C 四点满足PA ＝(1，1，－3)，PB ＝(2，－1，1)，PC ＝(3，4，m)，且P ，A ，B ，C 四点共面，则m ＝A.343-B.13-C.113D.3438.如图，在四面体ABCD 中，AB ＝CD AC ＝BD AD ＝BC M 为棱AB 的中点，1DN DC 3=，连接MN ，则点A 到MN 所在直线的距离的平方为A.6977B.6577C.1011D.369154二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
辽宁省六校协作体2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题
辽宁省六校协作体2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线l 经过点()0,1-和()1,0，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．23π B ．34π C ．3π D ．4π 2．已知()()3,0,3,0,6M N PM PN --=，则动点P 的轨迹是（ ） A ．一条射线B ．双曲线右支C ．双曲线D ．双曲线左支3．焦点坐标为()()0,3,0,3-，长轴长为10，则此椭圆的标准方程为（ ）A ．22110091x y +=B ．2100y 2191x +=C ．2212516y x +=D ．2212516x y +=4．若直线1:310l ax y ++=与()2:2110l x a y +++=互相平行，则a 的值是（ ） A ．3-B ．2C ．3-或2D ．3或2-5．已知圆1C ：2221(2)x y r ++=与圆2C ：2222(4)x y r -+=外切则圆1C 与圆2C 的周长之和为( ) A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π6．已知圆2222240x y k x y k ++++=关于y x =对称，则k 的值为( ) A ．1-B ．1C ．1±D ．07．一条光线从点()2,3-射出，经x 轴反射后与圆2264120x y x y +--+=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．65或56B ．45或54C ．43或34D ．32或238．已知椭圆22142x y +=的两个焦点是1F 、2F ，点P 在该椭圆上，若122PF PF -=，则12PF F ∆的面积是（ ）AB ．2C ．D9．直线l 是圆224x y +=在(-处的切线，点P 是圆22430x x y -++=上的动点，则点P 到直线l 的距离的最小值等于（ ）A ．1B C D ．210．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，P 是双曲线上在第一象限内的点，直线PO 、2PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点M 、N ，122PF PF =，且260MF N ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）A B CD二、多选题11．若方程22131x y t t +=--所表示的曲线为C ,则下面四个命题中错误的是（ ）A ．若C 为椭圆,则13t <<B ．若C 为双曲线,则3t >或1t < C ．曲线C 可能是圆D ．若C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则12t <<12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为3，右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，则有（ ）A ．渐近线方程为y =B ．渐近线方程为3y x =± C ．60MAN ∠=︒D ．120MAN ∠=︒13．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ，椭圆1C 的上顶点为M ，且120MF MF ⋅=曲线2C 和椭圆1C 有相同焦点，且双曲线2C 的离心率为2e ，P 为曲线1C 与2C 的一个公共点，若123F PF π∠=，则（ ）A ．212e e = B ．12e e ⋅=C ．221252e e +=D ．22211e e -=三、双空题14．直线:10l mx y m +--=过定点_____；过此定点倾斜角为2π的直线方程为_____． 15．在平面直角坐标系xOy 中 ，(1,1),(1,1),A B P --是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-，动点P 的轨迹方程C 为___________；直线1x =与轨迹C 的公共点的个数为_____.16．已知双曲线C 的中心在原点，虚轴长为6，且以椭圆22165x y +=的焦点为顶点，则双曲线C 的方程为_____；双曲线的焦点到渐近线的距离为_____.17．在平面直角坐标系xOy 中 ，已知椭圆()22:144y x C m m m +=>-，点(2,2)A -是椭圆内一点，(0,2)B -，若椭圆上存在一点P ，使得8PA PB +=，则m 的范围是______；当m 取得最大值时，椭圆的离心率为_______.四、解答题18．已知直线l 经过直线3420x y +-=与直线220x y ++=的交点P （1）若直线l 平行于直线3290x y --=，求直线l 的方程； （2）若直线l 垂直于直线3280x y --=，求直线l 的方程.19．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知1a =，cos 3A =，2B A =.（Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求sin 6B π⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 20．已知圆C 的圆心在直线210x y --=上，且圆C 经过点(4,2),(0,2)A B . （1）求圆的标准方程；（2）直线l 过点(1,1)P 且与圆C 相交，所得弦长为4，求直线l 的方程.21．在等比数列{}n a 中，公比(0,1)q ∈，且满足32a =，132435225a a a a a a ++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，当1212n S S S n++⋯+取最大值时，求n 的值．22．设1F ,2F 分别是椭圆E ：2x +22y b =1（0﹤b ﹤1）的左、右焦点，过1F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列． （Ⅰ）求AB（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值．23．已知圆221:140F x y ++-=和定点)2F ，其中点1F 是该圆的圆心，P是圆1F 上任意一点，线段2PF 的垂直平分线交1PF 于点E ，设动点E 的轨迹为C ． （1）求动点E 的轨迹方程C ；（2）设曲线C 与x 轴交于,A B 两点，点M 是曲线C 上异于,A B 的任意一点，记直线MA ，MB 的斜率分别为MA k ，MB k ．证明：MA MB k k ⋅是定值；（3）设点N 是曲线C 上另一个异于,,M A B 的点，且直线NB 与MA 的斜率满足2NB MA k k =，试探究：直线MN 是否经过定点？如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由．参考答案1．D 【解析】 【分析】算出直线的斜率后可得其倾斜角. 【详解】设直线的斜率为k ，且倾斜角为α，则10101k --==-， 根据tan 1α=，而[)0,απ∈，故4πα=，故选D. 【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，属于基础题. 2．A 【分析】根据PM PN MN -=可得动点P 的轨迹. 【详解】因为6PM PN MN -==，故动点P 的轨迹是一条射线， 其方程为：0,3y x =≥，故选A . 【点睛】利用圆锥曲线的定义判断动点的轨迹时，要注意定义中规定的条件，如双曲线的定义中，要求动点到两个定点的距离的差的绝对值为常数且小于两个定点之间的距离并且两个定点及动点是在同一个平面中. 3．C 【分析】根据长轴长算出a 后可得b 的值，从而可得椭圆的标准方程. 【详解】因为长轴长为10，故长半轴长5a =，因为半焦距3c =，故4b =，又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为2212516y x+= ，故选C【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.注意焦点的位置与标准方程形式上的对应. 4．A 【分析】根据两条直线平行的条件列式，由此求解出a 的值. 【详解】由于两条直线的平行，故31211a a =≠+，解得3a =-，故选A. 【点睛】本小题主要考查两条直线平行的条件，属于基础题. 5．B 【解析】 【分析】由两圆外切1212r r C C +=，再计算两圆的周长之和． 【详解】圆1C ：2221(2)x y r ++=与圆2C ：2222(4)x y r -+=外切，则1212426r r C C +==+=，∴圆1C 与圆2C 的周长之和为()121222212r r r r ππππ+=+=．故选：B ． 【点睛】本题考查了两圆外切与周长的计算问题，是基础题． 6．A 【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标，代入y x =求得k ，验证4410k k -+>可得答案． 【详解】化圆2222240x y k x y k ++++=为2224()(1)41x k y k k +++=-+． 则圆心坐标为()2,1k --，圆2222240x y k x y k ++++=关于y x =对称，所以直线y x =经过圆心，21k ∴-=-，得1k =±．当1k =时，4410k k -+<，不合题意，1k ∴=-．故选A ． 【点睛】本题主要考查圆的一般方程与标准方程的互化以及圆的几何性质的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题． 7．C 【分析】求出点()2,3-关于x 轴的对称点Q ，再求出过Q 且与已知圆相切的直线的斜率即为反射光线所在直线的斜率. 【详解】点()2,3-关于x 轴的对称点Q 的坐标为()2,3--， 圆2264120x y x y +--+=的圆心为()3,2，半径为1R =.设过()2,3--且与已知圆相切的直线的斜率为k ， 则切线方程为()23y k x =+-即230kx y k -+-=， 所以圆心()3,2到切线的距离为1d R ===，解得43k =或34k =，故选C.【点睛】解析几何中光线的入射与反射，常转为点关于直线的对称点来考虑，此类问题属于基础题. 8．A 【分析】由椭圆的定义得出124PF PF +=，结合122PF PF -=，可求出1PF 和2PF ，利用勾股定理可得出2222121PF F F PF +=，可得出212PF F F ⊥，然后利用三角形的面积公式可计算出12PF F ∆的面积. 【详解】由椭圆的定义可得124PF PF +=，所以121242PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得1231PF PF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，12F F ==2212212PF F F PF ∴+=，212PF F F ∴⊥.因此，12PF F∆的面积为1212211122PF F S F F PF ∆=⋅=⨯=故选：A. 【点睛】本题考查椭圆焦点三角形面积的计算，涉及椭圆定义的应用，考查计算能力，属于中等题. 9．D 【分析】先求得切线方程，然后用点到直线距离减去半径可得所求的最小值． 【详解】圆224x y +=在点(-处的切线为:4l x -+=，即:40l x -+-=， 点P 是圆22(2)1xy -+=上的动点， 圆心(2,0)到直线:40l x -+=的距离3d ==，∴点P 到直线l 的距离的最小值等于1312d -=-=．故选D ． 【点睛】圆中的最值问题，往往转化为圆心到几何对象的距离的最值问题．此类问题是基础题. 10．B 【分析】利用定义求出14PF a =，22PF a =，根据双曲线的对称性可得12MF PF 为平行四边形，从而得出1260F PF ∠=，在12F PF ∆内使用余弦定理可得出a 与c 的等量关系，从而得出双曲线的离心率. 【详解】由题意，122PF PF =，122PF PF a -=，14PF a ∴=，22PF a =.连接1MF 、2MF ，根据双曲线的对称性可得12MF PF 为平行四边形，260MF N ∠=，1260F PF ∴∠=，由余弦定理可得2224164242cos60c a a a a =+-⋅⋅⋅，c ∴=，ce a∴== 故选B. 【点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式，从而求出e 的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于e 的等式，最后解出e 的值. 11．AD 【分析】就t 的不同取值范围分类讨论可得曲线C 表示的可能的类型. 【详解】若3t >，则方程可变形为22113y x t t -=--，它表示焦点在y 轴上的双曲线；若1t <，则方程可变形为22131x y t t-=--，它表示焦点在x 轴上的双曲线；若23t <<，则031t t <-<-，故方程22131x y t t +=--表示焦点在y 轴上的椭圆；若12t <<，则013t t <-<-，故方程22131x y t t +=--表示焦点在x 轴上的椭圆；若2t =，方程22131x y t t +=--即为221x y +=，它表示圆，综上，选AD. 【点睛】一般地，方程221mx ny +=为双曲线方程等价于0mn <，若0,0m n ><，则焦点在x 轴上，若0,0m n <>，则焦点在y 轴上；方程221mx ny +=为椭圆方程等价于0,0m n >>且m n ≠，若m n >，焦点在y 轴上，若m n <，则焦点在x 轴上；若0m n =>，则方程为圆的方程. 12．BC 【分析】由离心率公式22222c a b a a+=化简可得渐近线方程，通过求圆心A 到渐近线的距离结合直角三角形可得到MAN ∠的值. 【详解】双曲线2222:1y ,x y b C x a b a -==±的渐近线方程为离心率为c a =222222222411,33c a b b b b a a a a a 则则，+==+===故渐近线方程为y x =±， 取MN 的中点P,连接AP,利用点到直线的距离公式可得d AP ab c==, 则cos ab AP a c PAN AN b c∠===， 所以221cos cos 2212a MAN PAN c ∠=∠=⨯-=则60MAN ∠=︒故选BC【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，考查双曲线的渐近线和离心率的应用，考查圆的有关性质，属于中档题. 13．BD 【分析】如图所示，设双曲线的标准方程为：2222111x y a b -=，()11,0a b >半焦距为c .根据椭圆1C 的上顶点为M ，且120MF MF ⋅=.可得12,2F MF b c π∠==，可得1e ，设1PF m =，2PF n =.利用定义可得：12,2m n a m n a +=-=.可得22()()4m n m n mn +--=.在12PF F ∆中，由余弦定理可得：222242cos ()33c m n mn m n mn π=+-=+-，代入化简利用离心率计算公式即可得出. 【详解】解：如图所示，设双曲线的标准方程为：()221122111,0x y a b a b -=>，半焦距为c .∵椭圆1C 的上顶点为M ，且120MF MF ⋅=. ∴122F MF π∠=，∴b c =，∴222a c =.∴1c e a ==. 不妨设点P 在第一象限，设1PF m =，2PF n =. ∴2m n a +=，12m n a -=.∴22221()()4m n m n mn a a +--==-.在12PF F ∆中，由余弦定理可得：()2222222142cos()3433c m n mn m n mn a a a π=+-=+-=--∴222143c a a =+.两边同除以2c ，得2212134e e =+，解得：2e =.∴12e e ⋅==,22211e e -=. 故选：BD. 【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于难题. 14．()1,1 1x = 【分析】把直线方程整理为()110m x y -+-=后可得所求定点及过此点且倾斜角为2π的直线方程. 【详解】直线l 方程可整理为()110m x y -+-=， 故直线l 过定点()1,1，过此点且倾斜角为2π的直线方程为1x =. 故分别填()1,1，1x =. 【点睛】一般地，如果直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=相交于点P ，那么动直线()()1112220A x B y C A x B y C R λλ+++++=∈必过定点P .15．2231(1)44x y x +=≠± 0【分析】设(),P x y ，求出直线AP 与BP 的斜率后可得动点P 的轨迹方程，注意1x ≠±，故可得直线1x =与轨迹C 的公共点的个数. 【详解】设(),P x y ，则11,11AP BP y y k k x x -+==+-， 故2211111113AP BPy y y k k x x x -+-=⨯==-+--，整理得到223144x y +=，其中1x ≠±， 故动点P 的轨迹方程为2231(1)44x y x +=≠±.又直线1x =与轨迹C 的公共点的个数为0.故分别填2231(1)44x y x +=≠±，0.【点睛】对于椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，如果,A B 为椭圆上的定点且关于原点对称，那么对于椭圆上的动点P ，当直线AP 与BP 的斜率都存在的时候，那么22AP BPb k k a=-总成立.16．2219y x -= 3【分析】求出椭圆的半焦距后结合虚轴长可得双曲线的方程以及焦点到渐近线的距离. 【详解】因为椭圆22165x y +=1=，故双曲线C 的实半轴长为1，而其虚半轴长为3，故双曲线的方程为2219y x -=.双曲线的渐近线方程为：30x y ±=，焦点坐标为()，所以焦点到渐近线的距离为3d ==，故分别填2219y x -=，3.【点睛】求圆锥曲线标准方程，一般有定义法和待定系数法，前者可根据定义求出基本量的大小，后者可根据条件得到关于基本量的方程组，解这个方程组可得基本量，本题已知一个基本量，只需求出另一个基本量即可，此类问题为基础题. 17．(625⎤+⎦25【分析】先根据(2,2)A -在椭圆内部得到m 的取值范围，再求出PA PB +的取值范围，根据8PA PB +=得到关于m 的不等式组，两者结合可求m 的取值范围，当m 取得最大值时，可根据公式计算其离心率. 【详解】因为点(2,2)A -是椭圆内一点，故4414m m +<-， 由44144m m m ⎧+<⎪-⎨⎪>⎩可得6m >+. (0,2)B -为椭圆的下焦点，设椭圆的上焦点为F，则PA PB PA PF +=-，而2PA PF AF -≤=，当且仅当,,P A F 三点共线时等号成立，故2PA PB ≤+≤，所以28≤≤， 所以425m ≤≤，故625m +≤.m 的最大值为25，此时椭圆方程为22:12521y x C +=，故其离心率为255=，故分别填：625m +<≤，25. 【点睛】点()P m n ,与椭圆的位置关系可通过2222m n a b +与1的大小关系来判断，若22221m n a b +<，则P在椭圆的内部；若22221m n a b +=，则P 在椭圆上；若22221m n a b+>，则P 在椭圆的外部．椭圆中与一个焦点有关的线段和、差的最值问题，可以利用定义转化到另一个焦点来考虑． 18．（1）32100x y -+=（2）2320x y +-= 【分析】两直线联立可求得交点坐标；（1）根据平行关系可设直线为320x y m -+=，代入交点坐标即可求得结果；（2）根据垂直关系可设直线为230x y n ++=，代入交点坐标可求得结果. 【详解】由3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩解得P 点坐标为：()2,2-（1）由于所求直线l 与直线3290x y --=平行 可设所求直线l 的方程为320x y m -+=将点P 的坐标代入得：()32220m ⨯--⨯+=，解得：10m =∴所求直线l 的方程为：32100x y -+=（2）由于所求直线l 与直线3280x y --=垂直 可设所求直线l 的方程为：230x y n ++=将点P 的坐标代入得：()22320n ⨯-+⨯+=，解得：2n =-∴所求直线l 的方程为：2320x y +-=【点睛】本题考查交点坐标求解、根据直线的位置关系求解直线方程的问题，关键是明确平行或垂直时的直线系方程的形式.19．；（Ⅱ）16【分析】（Ⅰ）由于2B A =，计算出sin B 再通过正弦定理即得答案； （Ⅱ）可先求出cos B ，然后利用和差公式即可求得答案. 【详解】（Ⅰ）解：cos 3A =，且()0,A π∈，∴sin 3A =， 又2B A =，∴sin sin22sin cos B A A A ===由正弦定理sin sin a b A B =,得sin sin 3a B b A ==，∴b 的值为3. （Ⅱ）由题意可知，21cos cos22cos 13B A A ==-=-， ∴sin sin cos cos sin 666B B B πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,=. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦定理的综合应用，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度不大.20．(1)22(2)(3)5x y -+-=；(2)1x =或3410x y -+=. 【分析】（1）先求AB 的中垂线方程，再求交点得圆心，最后求半径（2）根据垂径定理得圆心C 到直线l 距离，设直线l 点斜式，根据点到直线距离公式求斜率，最后验证斜率不存在的情况是否满足条件. 【详解】（1）设圆心为M ，则M 应在AB 的中垂线上，其方程为2x =，由222103x x x y y ==⎧⎧⇒⎨⎨--==⎩⎩，即圆心M 坐标为()2,3又半径r MA ==()()22235x y -+-=.（2）点()1,1P 在圆内，且弦长为4<.圆心到直线距离1d ==.①当直线的斜率不存在时，直线的方程为1x =， 此时圆心到直线距离为1，符合题意.②当直线的斜率存在时，设为k ，直线方程为()11y k x -=- 整理为10kx y k --+=，则圆心到直线距离为1d ==，解得34k =，直线方程为3410x y -+=，综上①②，所求直线方程为1x =或3410x y -+=.21．（1）42nn a -=；（2）6或7.【分析】 （1）由题意有12q =，18a =，再由等比数列通项公式可得解； （2）由题意可得{}n b ，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，由等差数列前n 项和公式运算即可得解.【详解】解：（1）132435225a a a a a a ++=，可得2222244242()25a a a a a a ++=+=， 由32a =，即212a q =，①，可得10a >，由01q <<，可得0n a >， 可得245a a +=，即3115a q a q +=，② 由①②解得1(22q =舍去），18a =，则1418()22n nn a --==；（2）2log n n b a ==42log 2n-=4n -，即{}n b 为以3为首项，-1为公差的等差数列，可得217(34)22n n n S n n -=+-=，72n S n n -=， 则125731222n S S S nn -++⋯+=++⋯+ 221713113169(3)()2244216n n n n n --=+==--+，可得6n =或7时，1212n S S S n ++⋯+取最大值212． 故n 的值为6或7． 【点睛】本题考查了等比数列的通项及等差数列前n 项和公式，属中档题. 22．（1）43（2）b =【详解】(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43. (2)l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组222{1y x c y x b+＝＋，＝ 消去y ，得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0，则x 1＋x 2＝221c b -+，x 1x 2＝22121b b-+. 因为直线AB 的斜率为1，所以|AB ||x 2－x 1|，即43|x 2－x 1|. 则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝()2224(1)1b b -+－()224(12)1b b -+＝()42281b b +，解得b＝2.23．（1）22142x y +=；（2）证明见解析；（3）是，2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）利用椭圆的定义可求曲线C 的轨迹方程.（2）设()00,M x y ，算出MA k ，MB k 后计算MA MB k k ⋅，利用M 在椭圆上化简可得定值. （3）根据（2）的结论可得1NB MB k k ⋅=-，因此NB MB ⊥，从而0BN BM ⋅=．直线MN 的斜率存在时，可设MN 的方程为()()1122,,,,y kx b M x y N x y =+，联立直线方程和椭圆方程，消去y 后利用韦达定理化简0BN BM ⋅=可得23b k =-，从而得到直线MN 经过定点，当直线MN 的斜率不存在时可验证直线MN 也过这个定点．（1）依题意可知圆1F的标准方程为(2216x y ++=，因为线段2PF 的垂直平分线交1PF 于点E ，所以2EP EF =，动点E始终满足12124EF EF r F F +==>=E 满足椭圆的定义,因此24,2a c ==2,a b c ===C 的方程为22142x y +=.（2）()()2,0,2,0A B -，设()00,M x y ，则22000220000*********MAMBx y y y k k x x x x -⋅=⋅===-+---； （3）2NB MA k k =，由（2）中的结论12MA MB k k ⋅=-可知1122NB MB k k ⋅=-， 所以 1NB MB k k ⋅=-，即NB MB ⊥，故0BN BM ⋅=.当直线MN 的斜率存在时，可设MN 的方程为()()1122,,,,y kx m M x y N x y =+，由2224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得()()222124220k x kmx m +++-=， 则212122242(2),1212km m x x x x k k--+=⋅=++（*），()()()()()()112212122,2,22BN BM x y x y x x kx m kx m ∴⋅=-⋅-=-⋅-++⋅+()()()2212121240k x x km x x m =++-⋅+++=，将（*）式代入可得223480m k km ++=，即()()2230k m k m ++=， 亦即20k m +=.或230k m +=.当2m k =-时，()22y kx k k x =-=-，此时直线MN 恒过定点()2,0（舍）；当23m k =-时，2233y kx k k x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，此时直线MN 恒过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭；当直线MN 的斜率不存在时，经检验，可知直线MN 也恒过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭； 综上所述，直线MN 恒过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭.求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.。
辽宁省六校协作体2020学年高二数学上学期期中试题 理
2020学年度上学期省六校协作体高二期中考试数学试题（理科）一、 选择题1.若等差数列}{n a 中，已知311=a ，452=+a a ，35=n a ,则=n ( ) A.50 B.51 C.52 D.532.等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若1S 、3S 、2S 成等差数列，则数列}{n a 的公比q 等于（ ）A.1B.21C. 21- D.2 3．在各项均不为零的等差数列}{n a 中，若112-+=-n n n a a a (n ≥2，n ∈N * )， 则2014S 的值为( )A ．2020 B.2020 C.4026 D.4028 4. 设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知324=S S ，则422a a -的值是( ) A. 0 B.1 C.2 D.35. 已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ） A.1>d a ，04>dS B. 01<d a ，04<dS C. 01>d a ，04<dS D.1<d a ，04>dS6.正项等比数列}{n a 中,8165=a a ，则 1032313log .........log log a a a +++的值是A.2B.5C.10D.207. 设0＜b ＜a ＜1,则下列不等式成立的是 （ ） A ．12<<b ab B ．0log log 2121<<a bC ．222<<abD ．12<<ab a8.已知不等式052>+-b x ax 的解集为}23|{<<-x x ,则不等式052>+-a x bx 的解集为( )A. 31|{-<x x 或}21>xB. }2131|{<<-x x C. }23|{<<-x x D. 3|{-<x x 或}2>x 9. 已知)1,0(=a ，),33(x b =,向量a 与b 的夹角为3π,则x 的值为 ( ) A ．3± B ．3± C ．9± D ．310. 下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）A ．x x y 4+=B ．2)3(222++=x x yC ．xxee y -+=4 D ．)0(sin 4sin π<<+=x xx y 11. x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为7，则ba 43+的最小值为（ ） A.14 B.7 C.18 D.1312. 有下列结论：（1）命题 R x p ∈∀:，02>x 为真命题 （2）设02:>+x xp ，02:2>-+x x q ，则 p 是 q 的充分不必要条件 （3）命题：若0=ab ，则0=a 或0=b ，其否命题是假命题。
2020-2021学年辽宁省六校协作体高二上学期期初考试数学试题(解析版)
2020-2021学年辽宁省六校协作体高二上学期期初考试数学试题一、单选题1．cos 4260=（ ）A ．12B C ．12-D ． 【答案】A【解析】先利用诱导公式化为cos 4260cos300=，在将300表示为36060-，利用诱导公式并结合特殊角的三角函数值可得出结果． 【详解】1cos 4260cos(36011300)cos300cos(36060)cos602=⨯+==-==，故选A ． 【点睛】本题考查利用诱导公式求值，利用诱导公式求值是，首先利用诱导公式将角化为0~360内的角，然后考查变化后所在的象限，利用诱导公式转化为锐角三角函数值求解，考查运算求解能力，属于基础题．2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（ ）． A ．12i + B ．2i -+C ．12i -D ．2i --【答案】B【解析】先根据复数几何意义得z ，再根据复数乘法法则得结果. 【详解】由题意得12z i =+，2iz i ∴=-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．设非零向量,a b 满足a b a b +=-，则（ ） A ．a b ⊥B ．a b =C ．//a bD ．a b >【答案】A【解析】化简条件a b a b +=-，两边平方可得选项. 【详解】解法一：∵a b a b +=-， ∴22a b a b +=-.∴222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+. ∴0a b ⋅=.∴a b ⊥. 故选:A.解法二：利用向量加法的平行四边形法则． 在▱ABCD 中，设,AB a AD b ==， 由a b a b +=-知AC DB =，从而可知四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a b ⊥. 故选：A. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算，利用向量的模长关系得出相应的结论，主要的求解策略是“见模长，就平方”，侧重考查数学运算的核心素养.4．从3名男生和1名女生中选出2人去参加社会实践活动，则这名女生被选中的概率是（ ） A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】B【解析】首先求出基本事件总数，再求出满足条件的事件数，最后根据古典概型的概率公式计算可得； 【详解】解：基本事件总数为246C =（种），这名女生被选中的有11133C C =（种）故概率3162P == 故选：B【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，属于基础题.5．函数()11()()142xxf x =-+在[]1,2-的最小值是（ ）A ．1B ．1316C ．34D ．3【答案】C【解析】设1()2xt =，得到11()[,2]24=∈xt ，进而得到()213()24f t t =-+，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，函数()21111()()1()()14222xxxx f x =-+=-+， 设1()2xt =，因为[]1,2x ∈-，则11()[,2]24=∈xt ，则函数()22131()24f t t t t =-+=-+， 当12t =时，取得最小值()min 34f t =.故选：C. 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数的图象与性质，以及结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.6．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知60C =︒，b =c =sin A =（ ）A ．B ．4C ．2D ．12【答案】A【解析】首先根据正弦定理求角B ，再根据()sin sin A B C =+求值. 【详解】根据正弦定理可知sin sin sin sin 2b c b C B B C c =⇒==，因为b c <，所以4B π=，()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+21232622224+=⨯+⨯=. 故选：A 【点睛】本题考查正弦定理，以及三角恒等变形，重点考查计算能力，属于基础题型.7．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为()A ．AC BD ⊥B ．//AC 截面PQMNC ．AC BD = D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45【答案】C【解析】首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，将AC 、BD 平移到正方形内，即可利用平面图形知识作出判断．【详解】因为截面PQMN 是正方形，所以PQ ∥MN 、QM ∥PN ， 则PQ ∥平面ACD 、QM ∥平面BDA ， 所以PQ ∥AC ，QM ∥BD ，由PQ ⊥QM 可得AC ⊥BD ，故A 正确； 由PQ ∥AC 可得AC ∥截面PQMN ，故B 正确；异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与QM 所成的角，故D 正确； 综上C 是错误的． 故选C ． 【点睛】本题主要考查线面平行的性质与判定，考查了异面直线所成角的定义及求法，属于基础题．8．设偶函数()f x 在()0,∞+上为增函数，且()10f =，则不等式()()f x f x x+->的解集为（ ） A ．()()1,01,-⋃+∞ B ．()(),10,1-∞-⋃ C ．()(),11,-∞-+∞ D ．()()1,00,1-【答案】A【解析】首先可根据函数()f x 在()0,∞+上为增函数，且()10f =，得出函数()f x 在()0,∞+上的函数值的正负情况，然后根据函数()f x 是偶函数，得出函数()f x 在(),0-∞上的函数值的正负值情况，最后将()()0f x f x x+->转化为()20f xx>，结合函数值的大小即可得出结果. 【详解】因为函数()f x 在()0,∞+上为增函数，()10f =， 所以当1x >时，()0f x >，当01x <<时，()0f x <， 因为函数()f x 是偶函数，所以当1x <-时，()0f x >，当10x -<<时，()0f x <，()()0f x f x x +->，即()20f x x >，x 与()f x 的符号相同，故不等式()()0f x f x x+->的解集为()()1,01,-⋃+∞，故选：A. 【点睛】本题考查抽象不等式的求解，利用函数的单调性和奇偶性是解题的关键，考查推理能力，是基础题.二、多选题9．已知向量()1,2a =-，()2,4b =-，则（ ）A ．//a bB ．()5a b a +⋅=-C ．()b a b ⊥-D ．2a b =【答案】ABD【解析】根据向量的坐标分别计算数量积和向量的模，以及根据平行和垂直的坐标表示，判断选项. 【详解】A.()()14220⨯--⨯-=，所以//a b ，故A 正确；B.()1,2a b +=-，()()11225a b a +⋅=-⨯+⨯-=-，故B 正确；C.()3,6a b -=-，()()2346300b a b ⋅-=-⨯+⨯-=-≠，所以C 不正确； D.5a =，()222425b =-+=，所以2a b =，故D 正确；故选：ABD 【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，重点考查计算能力，属于基础题型. 10．如图是函数()()sin f x A x =+ωϕ(0>ω，π02ϕ<<)的部分图象，将函数()f x 的图象向右平移π8个单位长度得到函数()y g x =的图象，则下列命题正确的是（ ）A ．()y g x =是奇函数B ．函数()g x 的图象的对称轴是直线ππ4x k =+()k Z ∈ C ．函数()g x 的图象的对称中心是π,04k ⎛⎫⎪⎝⎭()k Z ∈ D ．函数()g x 的单调递减区间为π3ππ,π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ 【答案】AD【解析】根据图像求解出函数()()sin f x A x =+ωϕ的解析式，然后向右平移π8个单位后得到()y g x =的解析式，根据其性质得到其奇偶性、对称性、单调区间. 【详解】 由图可知:2A =，()4884T πππ=--=,即2T ππω==,解得2ω=，又当8x π=时，2y =，解得4πϕ=，所以()2sin 24x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向右平移π8个单位长度得到函数2sin 2g x x ，则函数2sin 2g x x 是奇函数，对称轴是直线ππ24k x =+()k Z ∈，对称中心是π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭()k Z ∈，单调递减区间为π3ππ,π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈； 故选：AD 【点睛】本题考查了利用三角函数图像求解三角函数解析式和三角函数的性质，属于中档题目，解题中需要根据图像准确计算出周期的大小，进而计算出ω，再利用代入法求解出ϕ的大小，注意代入的点应该是最值点，零点代入要慎重.11．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，//,,222AB CD AB AD AB AD CD ⊥===，F 是AB 的中点，E 是PB 上的一点，则下列说法正确的是（ ）A ．若2PB PE =，则//EF 平面PACB ．若2PB PE =，则四棱锥P ABCD -的体积是三棱锥E ACB -体积的6倍C ．三棱锥P ADC -中有且只有三个面是直角三角形D ．平面BCP ⊥平面ACE 【答案】AD【解析】利用中位线的性质即可判断选项A ；先求得四棱锥P ABCD -的体积与四棱锥E ABCD -的体积的关系,再由四棱锥E ABCD -的体积与三棱锥E ABC -的关系进而判断选项B ；由线面垂直的性质及勾股定理判断选项C ；先证明AC ⊥平面BCP ,进而证明平面BCP ⊥平面ACE ,即可判断选项D. 【详解】对于选项A,因为2PB PE =,所以E 是PB 的中点, 因为F 是AB 的中点,所以//EF PA ,因为PA ⊂平面PAC ,EF ⊄平面PAC ,所以//EF 平面PAC ,故A 正确； 对于选项B,因为2PB PE =,所以2P ABCD E ABCD V V --=, 因为//,,222AB CD AB AD AB AD CD ⊥===, 所以梯形ABCD 的面积为()()113121222CD AB AD +⋅=⨯+⨯=,1121122ABCS AB AD =⋅=⨯⨯=,所以32E ABCD E ABC V V --=,所以3P ABCD E ABC V V --=,故B 错误；对于选项C,因为PC ⊥底面ABCD ,所以PC AC ⊥,PC CD ⊥,所以PAC ,PCD 为直角三角形,又//,AB CD AB AD ⊥,所以AD CD ⊥,则ACD △为直角三角形, 所以222222PA PC AC PC AD CD =+=++,222PD CD PC =+, 则222PA PD AD =+,所以PAD △是直角三角形, 故三棱锥P ADC -的四个面都是直角三角形,故C 错误； 对于选项D,因为PC ⊥底面ABCD ,所以PC AC ⊥,在Rt ACD △中,AC =,在直角梯形ABCD 中,BC ==,所以222AC BC AB +=,则AC BC ⊥, 因为BC PC C ⋂=,所以AC ⊥平面BCP , 所以平面BCP ⊥平面ACE ,故D 正确, 故选:AD 【点睛】本题考查线面平行的判定,考查面面垂直的判断,考查棱锥的体积,考查空间想象能力与推理论证能力.12．给出下列命题，其中正确命题的有：（ ）A ．若α，β是第一象限角且αβ<，则tan tan αβ<；B ．不存在实数α，使得3sin cos 2αα+=； C ．函数πsin 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在π5π,824⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减； D ．函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称图形.【答案】BCD【解析】A.举例说明不成立；B.利用辅助角公式求函数sin cos y αα=+的最大值，判断选项；C.求24x π-的范围，利用复合函数的单调性判断选项；D.代入3x π=，计算y值，再判断选项. 【详解】A.当4πα=，136βπ=时，tan 1α=，13tan tan 63πβ==，tan tan αβ>，故A 不正确；B.sin cos 4πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭32<，不不存在实数α，使得3sin cos 2αα+=成立，故B 正确； C.sin 2sin 244y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当5,824x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,,42622x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，根据复合函数单调性可知，函数πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π5π,824⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，故C 正确； D.当3x π=时，sin 2033y ππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，所以函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图形，故D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查三角函数的性质，重点考查三角函数的性质的综合应用，属于基础题型.三、填空题13．在平行四边形ABCD 中1AB e =，2AC e =，14NC AC =，12BM MC =，则MN = .（用12,e e 表示）【答案】1225312e e -+ 【解析】根据向量的线性运算性质及几何意义，由12BM MC =得23MC BC =，利用向量的三角形法则得BC ＝AC －AB ，又14NC AC =，MN ＝CN －CM ，最后将AC 和AB 两个向量都用1e 和2e 表示即可求得结果.【详解】 如图：MN ＝CN －CM＝CN ＋2BM ＝CN ＋23BC ＝－14AC ＋23(AC －AB )＝－214e ＋212()3e e - ＝1225312e e -+. 故本题答案为1225312e e -+. 【点睛】本题是一道关于向量运算的题目，考查平面向量的基本定理，解答本题的关键是熟练掌握向量的加法与减法的运算法则，属基础题.14．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，D 为11A C 的中点，则直线AD 与平面1B DC 所成角的正弦值为__________【答案】45. 【解析】先证出B 1D ⊥平面AC 1，过A 点作AG ⊥CD ，证AG ⊥平面B 1DC ，可知∠ADG 即为直线AD 与平面B 1DC 所成角，求其正弦即可． 【详解】如图，连接B 1D ，因为三角形111A B C 为正三角形，则111B DA C ， 又平面111ABC ⊥平面AC 1，交线为11A C ，B 1D ⊂平面111A B C ，则B 1D ⊥平面AC 1， 过A 点作AG ⊥CD ，则由B 1D ⊥平面AC 1，得AG ⊥B 1D ，由线面垂直的判定定理得AG ⊥平面B 1DC ， 于是∠ADG 即为直线AD 与平面B 1DC 所成角， 由已知，不妨令棱长为2，则可得AD 5==CD ，由等面积法算得AG 1455AC AA CD ⨯==所以直线AD 与面DCB 1的正弦值为=AG AD45；故答案为45． 【点睛】考查正棱柱的性质以及线面角的求法．考查空间想象能力以及点线面的位置关系，线面角的一般求解方法：法一作出角直接求解，法二；利用等积转化求解15．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程2px q =中，p 为“隅”，q 为“实”．即若ABC 的大斜、中斜、小斜分别为a ，b ，c ，则2222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.已知点D 是ABC 边AB 上一点，3AC =，2BC =，45︒∠=ACD ，tan BCD ∠=，则ABC 的面积为________．. 【解析】利用正切的和角公式求得tan ACB ∠,再求得cos ACB ∠,利用余弦定理求得AB ,代入“三斜求积术”公式即可求得答案. 【详解】tan tantan tan()1tan tan ACD BCDACB ACD BCD ACD BCD∠+∠∠=∠+∠==-∠∠1cos 4ACB ∠=-，由余弦定理可知2222cos 16AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠=，得4AB =.根据“三斜求积术”可得22222221423135424216S ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以S =. 【点睛】本题考查正切的和角公式,同角三角函数的基本关系式,余弦定理的应用,考查学生分析问题的能力和计算整理能力,难度较易.四、双空题16．已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．【答案】2 4【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，∴1cos ,sin 4DBC DBC ∠=-∠==∴1sin 22△BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos BDC ∠=或cos BDC ∠=（舍去）．综上可得，△BCD ，cos BDC ∠=【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．五、解答题 17．（1）已知51sin π123α⎛⎫+=⎪⎝⎭，求πsin 12α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． （2）已知角α的终边过点()43P ,-，β为第三象限角，且4tan 3β=，求()cos αβ-的值.【答案】(1) 3±(2)0 【解析】(1)抓住角的关系:5()12212πππα=--,利用诱导公式求出cos(12πα- ) ,再根据同角公式即可求得答案;(2)根据已知求出,αβ的正余弦值后,代入两角差的余弦公式即可得到答案. 【详解】 解：（1）由5πππ1sin πsin cos 12212123ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，得πsin 123α⎛⎫-===±⎪⎝⎭． （2）因为角α的终边过点()43P ,-，所以3sin 5α=，4cos 5α=-， 因为β为第三象限角，且4tan 3β=，所以4sin 5β=-，3cos 5β=-所以()4334cos cos cos sin sin 05555αβαβαβ⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了诱导公式,同角公式,三角函数的定义,两角差的余弦公式,抓住角的关系是解题关键,本题属于基础题. 18．已知()1,2a =，()3,2b =-.（1）当k 为何值时，ka b +与3a b -垂直？（2）当k 为何值时，ka b +与3a b -平行？平行时，它们是同向还是反向？ 【答案】（1）19k =；（2）当13k =-平行，反向.【解析】（1）当()()30ka b a b +⋅-=时，利用数量积的坐标表示求k ；（2）由条件可知，假设存在实数λ，使()3ka b a b λ+=-，列式求λ和k ，并根据λ的正负，判断两向量同向还是反向. 【详解】（1）()()()1,23,23,22ka b k k k +=+-=-+，()()()31,233,210,4a b -=--=-.当()()30ka b a b +⋅-=时，这两个向量垂直. 由()()3,2210,40k k -+⋅-=， 得()()()1032240k k -++⋅-=.解得19k =，即当19k =时，ka b +与3a b -垂直.（2）.当ka b +与3a b -平行时，存在实数λ，使()3ka b a b λ+=-， 由()()3,2210,4k k λ-+=-，得310,224,k k λλ-=⎧⎨+=-⎩解得1,31,3k λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即当13k =-时，ka b +与3a b -平行，∴当ka b +与3a b -平行时，13ka b a b +=-+，∵103λ=-<， ∴13a b -+与3a b -反向. 【点睛】本题考查根据向量垂直和平行求参数的取值范围，重点考查计算能力，属于基础题型. 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，2AB =，1BC =，2PC PD ==，E 为PB 中点．（1）求证：//PD 平面ACE ； （2）求三棱锥P AEC -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）16． 【解析】（1）根据题意，连接BD 交AC 于点F ，连接EF ，由中位线定理可得//EF PD ，故而//PD 平面ACE（2）根据题意，E 为PB 中点，所以三棱锥P AEC -的体积等于三棱锥E ABC -的体积，即为三棱锥P ABC -的一半，通过证明PD ⊥平面PBC ，PD 即为三棱锥P ABC -的高，则通过计算12E ABC P ABC V V --=得出结果。
辽宁省六校协作体2020-2021学年高二上学期初考试数学试卷
(x)
0的
解集为( )
A． 1,0 1,
B． ,1 0,1
C． ,1 1,
D． 1,0 0,1
（多选题）
9..已知向量 a (1, 2),b (2, 4) ,则(
A. a / /b
B. (a b) a 5
)
C. b (a b)
D. 2 a b
10.如图是函数
f
(x)
A sin( x
形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平
方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜
平方，送到上面 得到的那个数，相减后余数被 4 除，所得的数作为“实”，1
作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程 px2 q 中， p 为“隅”， q 为“实”．即若 △ABC 的大斜、中斜、小斜分别为 a,b,c ，则
C.函数
y
sin(
π 4
2x)
在
π 8
,
5π 24
单调递减
D.函数
y
sin(2x
π) 3
的图象关于点
π 3
，0
成中心对称图形
二，填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
13.在平行四边形 ABCD
中, AB
e1, AC
e2 , NC
1 4
AC , BM
1 MC ,则MN 2
∵ 1 0, 3
∴ 1 a b 与 a 3b 反向. 3
19.（1）连接 BD 交 AC 于点 F ，连结 EF . 因为底面 ABCD 是矩形,所以 F 为 BD 中点. 又因为 E 为 PB 中点, 所以 EF / /PD . 因为 PD 平面ACE，EF 平面ACE ,
辽宁省六校协作体2020-2021学年高二上学期期中联考数学试题 含答案
2020——2021学年度（上）省六校协作体高二期中联考数学试题命题学校：凤城一中 命题人： 校对人：一．选择题（1-8题为单选题，每题5分）1. 已知椭圆方程为12422=+y x ，则椭圆的焦点坐标为（ ）A .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,22,0,2221F FB .⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21,0,2121F FC .⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,0,21,021F FD .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22,0,22,021F F 2. 已知平面α上三点()()()1,2,4,0,2,1,1,2,3---C B A ,则平面α的一个法向量为（ ）A ．()16,9,4--B ．()16,9,4-C ．()4,9,16--D ．()4,9,16- 3. 若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( )A ．－1或 3B ．1或3C ．－2或6D ．0或44. 当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心， 5为半径的圆的方程为( )A. (x －1)2＋(y ＋2)2＝5 B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5 C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝55. 已知四面体ABCD 的每条棱长都等于2，点E,F,G 分别是棱AB,AD,DC 的中点，则→→⋅GF GE 等于( )A ．1B ．1-C ．4D ．4-6. 已知双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线与直线3x ＋6y ＋3＝0垂直，以C 的右焦点F 为圆心的圆(x －c )2＋y 2＝2与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为( )A ．1B ．2C .5D ．2 57. 已知椭圆159:22=+y x C 的右焦点F ，P 是椭圆上任意一点，点()32,0A ,则APF ∆的周长最大值为（ ）A.219+B.5327++C.14D.315+8. 《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面是矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥。