概率练习册第七章答案
概率练习册第七章答案
概率练习册第七章答案在概率论的学习过程中，练习题是帮助学生巩固理论知识和提高解题技巧的重要工具。
以下是第七章概率练习册的一些答案，供参考：问题1：假设有两个骰子，每个骰子有6个面，分别掷一次。
求掷出的两个骰子点数之和为7的概率。
答案：掷出点数之和为7的情况有(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)共6种。
每个骰子有6种可能的结果，所以总共有6*6=36种可能的组合。
因此，点数之和为7的概率是6/36 = 1/6。
问题2：一个袋子里有5个红球和3个蓝球。
随机抽取2个球，求至少有一个红球的概率。
答案：至少有一个红球的情况包括：1红1蓝和2红。
1红1蓝的概率是(5/8)*(3/7)，2红的概率是(5/8)*(4/7)。
所以，至少有一个红球的概率是(5/8)*(3/7) + (5/8)*(4/7) = 15/56。
问题3：一个班级有30个学生，其中15个是男生，15个是女生。
随机选择5个学生，求至少有3个男生的概率。
答案：我们可以使用组合来解决这个问题。
至少有3个男生的情况有：3男2女，4男1女，5男0女。
计算每种情况的概率并相加即可得到最终答案。
问题4：一个工厂每天生产100个零件，其中大约有2%是次品。
求至少有3个次品的概率。
答案：这是一个二项分布问题，其中n=100，p=0.02。
至少有3个次品的概率可以通过1 - P(X=0) - P(X=1) - P(X=2)来计算，其中P(X=k)是恰好有k个次品的概率。
问题5：一个随机变量X服从正态分布，其均值为μ=50，标准差为σ=10。
求P(40 < X < 60)。
答案：首先，我们需要将区间(40, 60)标准化。
计算Z值：Z1 =(40-50)/10 = -1，Z2 = (60-50)/10 = 1。
然后，使用标准正态分布表查找Z值对应的累积概率，最后相减得到P(40 < X < 60)。
第7章概率同步练习答案
第3章 概率 同步练习参考答案7.1.1 随机现象1、B2、D3、③；⑤；①②④4、必然事件有（4）（6）；不可能事件有（5）；随机事件有（1）（2）（3）（7）（8）；5、 D6、C7、“点数之和大于2”为必然事件,则2m >;“点数之和大于30”为不可能事件,则630m ≤,∴5m ≤; “点数之和等于20”为随机事件, ∵20=6×3+2,∴420m ≤≤;综上知: 45m ≤≤且m ∈N ,故4m =或5m =. 7.1.2随机事件的概率1、B2、 193、可以说这批电视机的次品的概率是0.1；4、（1）表中依次填入的数据为：0.520，0.517，0.517，0.517. （2）由表中的已知数据及公式f n （A ）=nn A即可求出相应的频率，而各个频率均稳定在常数0.518上，所以这一地区男婴出生的概率约是0.518； 5、这种说法不正确6、根据公式可以计算出选修李老师的高等数学课的人数考试成绩在各个段上的频率依次为(总人数为43+182+260+90+62+8=645) 43182260906280.067,0.282,0.403,0.140,0.096,0.012645645645645645645≈≈≈≈≈≈. 用已有的信息可以估计出小王下学期选修李老师的高等数学课得分的概率如下: (1)得”90分以上”记为事件A,则P(A)=0.067; (2)得”60分～69分”记为事件B,则P(B)=0.140;(3)得”60分以上”记为事件C,则P(C)=0.067+0.282+0.403+0.140=0.892. 7、(1)表中依次填入的数据为:0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.(2)由于频率稳定在常数0.89, 所以这个射手射击一次,击中靶心的概率约是0.89.7.2.1 古典概率(1)1、C2、C3、B4、B5、B6、137、7248、21319、（1）1100000（2）110。
山东工商学院概率练习册答案第七章
第七章 参数估计习题一一、填空题：1.无偏；θθθθ=⋅====⎰dx x EX X E X E E 01222)2(ˆ2.)1(21-n ；3. (1) (3) (4), (1) (3), (1). 二、容易验证321,,d d d 都是)(X E 的无偏估计，DX Dd DX Dd DX Dd 21,95,85321===12d d 比有效，23d d 比有效，故3d 最有效.三 ∑∑∑=====-=n i n i i n i i DX n DX n X E n E 1112211)(1ˆμσ21σ==⋅=DX nDX n故2ˆσ为2σ的无偏估计 ,0>∀ε下证：1)ˆ(lim 22=<-∞→εσσP n 令n i X Y i i ,,2,1,)(2 =-=μ 则n Y Y Y ,,,21 独立同分布 由辛钦大数定律1)1(lim 21=<-∑=∞→εσni i n Y n P 即1)ˆ(lim 22=<-∞→εσσP n习题二 一、填空题： 1.XX -1；提示：1101+=⋅=⎰-θθθθdx x x EX2.21)(1X X n ni i -∑=，∑∑==-==ni ini iX XXX 12122)(ˆˆˆσσμ；3．21ˆ-=X θ二、（1）12ˆ-=X θ； （2）θθθθ是ˆ,ˆ=E 的无偏估计；（3）θθ是ˆ的一致估计. 解：（1）21+=θEX12-=EX θ12ˆ-=X θ； （2）θθ=-=-=-=1212)12(ˆEX X E X E E 所以θˆ为θ的无偏估计（3）,0>∀ε下证1)ˆ(lim =<-∞→εθθP n )12(111212ˆ11-=-⋅=-=∑∑==n i i n i i X n X n X θ令n i X Y i i ,,1,12 =-=n Y Y Y ,,,21 独立同分布θ=i EY ，n i ,,1 = 由辛钦大数定律,0>∀ε1))12(1(lim 1=<--∑=∞→εθni i n X n P即1)ˆ(lim =<-∞→εθθP n 故θˆ为θ的一致估计三、解 似然函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-==∏=其它,0,)(1),;(),(1a xb a b b a x f b a L i n ni i)(a b nLn LnL --=0),(ln >-=∂∂a b na b a L0),(ln <--=∂∂ab nb b a L),(b a L 关于a 递增，关于b 递减，于是取},,max{ˆ1n X X a = },,min{ˆ1nX X b = 四、（1）21)1(1++=⋅+=⎰θθθθxdx x EX 121--=EX EX θ xx --=112ˆθ； （2）似然函数 );();,,,(121θθ∏==ni in x f x x x Lθθ)()1(21n n x x x += ∑=++=ni iLnx nLn LnL 1)1(θθ0=θd dLnL ∑=--=ni ixn1ln 1ˆθ.习题三一、填空题：1.)588.5,412.4(；2.)14.3,54.1(-；3.)08.15,82.14(.二、由题意知：L nu ≤σα22，故22224Lu n σα⋅≥.三、（1）,0.6=x nu σα2≈392.02.096.1=⨯，故其置信区间为)392.6,608.5(.（2）33.02=s ，438.019.0306.2)1(≈⨯≈-ns n t α，故其置信区间为)438.6,562.5(. 四、（1）016.04029.01316.2)1(≈⨯≈-ns n t α， 所以，μ的置信度为95.0的一个置信区间为)721.2,689.2(.（2）000459.0488.27029.015)15()1(2025.022≈⨯=-χs n ，002015.0262.6029.015)15()1(2975.022≈⨯=-χs n ， 即2σ的置信度为95.0的一个置信区间为)002015.0,000459.0(. 复习题一、选择题：1.（C ）；2. (C)；3. (B)；4. (C).二、证明：容易计算θ的极大似然估计量为{}nX X X ,,,max ˆ21 =θ，其分布函数为： {}=≤=),,,(max )(21x X X X P x F n []⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<==≤≤⋅≤)(,1)0(,)0(,0)()()()(21θθθx x xx x F x X P x X P x X P n n nX n 其中⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=)(,1)0(,)0(,0)(θθθx x xx x F X ，从而得θˆ的概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤='=-其它）(,0)0(,)()(1θθϕx nx x F x n n ，由于θθθϕθθ≠+==⋅=⎰⎰-∞+∞-1)()ˆ(01n ndx nx xdx x x E nn 所以{}nX X X ,,,max ˆ21 =θ不是θ的无偏估计. 三、（1）2)(6)()(032θθθϕθ=-==⎰⎰∞+∞-dx x x dx x x X E ，X 2ˆ=θ. （2）)(4)1(4)2()ˆ(1X D nX n D X D D ni i ===∑=θ， 而20332103)(6)(θθθθ=-=⎰dx x x X E ，故20)(2θ=X D ，所以n n D 5204)ˆ(22θθθ=⋅=. 四、易计算λ=)(X E ，所以λ的矩法估计量∑===ni i X n X 11ˆλ.五、容易计算参数θ的矩法估计和极大似然估计都是X =θˆ，也容易验证 X =θˆ为参数θ的无偏估计和一致估计. 六、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--∑∑=-=)()(,)()(221221212n X n X ni ini i ααχμχμ. 七、16.34.610021.2)1(≈⨯≈-ns n t α，故μ的95.0的置信区间为)16.153,84.146(. )1()1(22--n Sn αχ≈21.8342.591040≈⨯，)1()1(212---n Sn αχ≈80.12433.241040≈⨯故σ的95.0的置信区间为)80.12,21.8(.。
概率统计课件第七章练习册答案
所以S＝
4
2、由对称性：r
2 sin （圆）及r 2 cos 2 （双纽线）的交点的
6
所求的面积 S 分为左右两部分；而右边部分的面积又分为两部分计算：S1 S2 ,
S1由
0，
6
和r
2
sin
围成，所以
S1
6 0
1 2
(
2 sin )2d 12
3 8
S2由
,
6
和r2
4
cos
2围成，所以 S2
3
令x2
2
sin t ,所以 S1
2
4 3
所以下方面积： S2
8
(2
4) 3
6
4 3
.
2、如图： y 1 与 y x的交点的横坐标 x 1
x
则阴影部分面积为
2
1
(
x
1 x
)d
2
3、解围成图形面积为
1(ex 0
ex
)dx
e
1 e
2
。
| 4、S lnb (ey 0)dy ey lnb b a。
第七章
习题答案
7.1 微元分析法
7.2 平面图形的面积 7.3 体积 7.4 平面曲线的弧长 7.5 经济应用
ppt课件
1
习题 7.1
一、1：如图示：抛物线 y 1 x2与园 x2 y2 8
2
的图形，设阴影部分面积为 S1
则
S1＝ 2
2
(
0
8 x2 1 x2 )dx 2 2
2
0
8 x2 dx 8 ,
4 6
1 2
cos 2d
1 4
概率论与数理统计第七章习题答案
解：(1)已知ξ ～N (µ, σ 2 ),取统计量U = ξ − µ ,则有U ~ N (0,1),于给定的置信概率1−α ,
n
σ/ n
可求出uα
+ (4 − 0.8)2 ×1] = 0.831.
14.设ξ1,ξ2,……,ξn是取自总体ξ的一个样本，n ≥ 2,ξ ~ B(1, p),其中p为未知，0 < p < 1, 求证：
（1）ξ12是p的无偏估计； （2）ξ12不是p2的无偏估计;
(3) ξ1ξ2是p2的无偏估计。
证明：（1）Eξ
2 1
tα /2 (4) = 2.78, S = 11.937, n = 5代入(*),求得µ的置信区间为（1244.185，1273.815）.
20.假定到某地旅游的一个游客的消费额ξ～N (µ,σ 2 ),且σ = 500元，今要对 该地每一个游客的平均消费额µ进行估计，为了能以不小于95%的置信概率 确信这估计的绝对误差小于50元，问至少需要随机调查多少个游客？
乐山师范学院化学学院
1.设总体ξ 有分布律
第七章 参数估计部分习题答案
ξ
−1
0
2
p
2θ
θ
1-3θ
其中 0 < θ < 1 为待估参数，求θ 的矩估计。 3
解：总体一阶矩为Eξ = (−1) × 2θ + 0×θ + 2× (1− 3θ ) = −8θ + 2.
用样本一阶矩代替总体一阶矩得ξ = -8θˆ + 2，则θˆ = 1 (2 − ξ ). 8
概率论第七章 习题解答
第七章 假设检验I 教学基本要求1、了解假设检验的相关概念及基本思想，掌握假设检验的基本步骤，知道犯两类错误的概率的含义；2、掌握单正态总体均值和方差的假设检验；3、掌握两个正态总体均值差与方差比的假设检验；4、了解分布的假设检验.II 习题解答A 组1、某企业生产铜丝，而折断力的大小是铜丝的主要质量指标.从过去的资料来看，可认为折断力2(570,8)X N ~(单位：千克力)，现更换了一批原材料，测得10个样品的折断力如下：578 572 570 568 572 570 570 572 596 584 从性能上看，折断力的方差不会有什么变化，试问折断力的大小与原先有无差异(0.05)α=？解：若折断力的大小与原先无差异，则总体均值μ应为570，因此，提出假设如下：0H ：570μ= vs 1H ：570μ≠由0.05α=，查附表得临界值0.975 1.96u =，根据样本观测值求得575.2x =于是，检验统计量U 的值2.055U ==由于0.975||U u ≥，所以，在显著性水平0.05α=下拒绝原假设0H ，即认为折断力与原先有差异.2、某工厂生产的电子元件平均使用寿命2(,)X N μσ~，现抽测15个元件，得到18000x =、5200s =(单位：小时)，试问该工厂生产的电子元件的平均使用寿命是否为20000(0.05)α=？解：若该工厂生产的电子元件的平均使用寿命为20000，则总体均值μ应为20000，因此，提出假设如下：0H ：20000μ= vs 1H ：20000μ≠由0.05α=，查附表得临界值0.975(14) 2.145t =，由已知数据求得检验统计量T 的值0.149T ==-由于0.975||(14)T t <，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为该工厂生产的电子元件的平均使用寿命是20000小时.3、用热敏电阻测温仪间接测量地热勘探井底温度，重复测量6次，测得温度(C )为：111.0112.4110.2111.0113.5111.9假定测量的温度服从正态分布，且井底温度的真实值为111.6C ，试问用热敏电阻测温仪间接测温是否准确(0.05)α=？解：若用热敏电阻测温仪间接测温是准确的，则总体均值μ应为111.6，因此，提出假设如下：0H ：111.6μ= vs 1H ：111.6μ≠由0.05α=，查附表得临界值0.975(5) 2.571t =，根据样本观测值求得111.67x =、2 1.399s =于是，检验统计量T 的值0.145T ==由于0.975||(5)T t <，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为用热敏电阻测温仪间接测温是准确的.4、设考生在某次考试中的成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，得到平均成绩为66.5分、标准差为15分，问是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分(0.05)α=？解：若这次考试全体考生的平均成绩为70分，则总体均值μ应为70，因此，提出假设如下：0H ：70μ= vs 1H ：70μ≠由0.05α=，查附表得临界值0.975(35) 2.0301t =，由已知数据求得检验统计量T 的值1.4T ==-由于0.975||(35)T t <，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.5、某化肥厂用自动包装机包装化肥，每包质量服从正态分布2(50,)N σ，某日开工后，随机抽取8包化肥，测得质量(单位：kg )如下：49.249.850.350.849.749.650.550.1问该天包装的化肥质量的方差是否为1.3(0.05)α=？解：若该天包装的化肥质量的方差是1.3，则21.3σ=，因此，提出假设如下：0H ：2 1.3σ= vs 1H ：2 1.3σ≠由0.05α=，查附表得临界值20.025(8) 2.1797χ=、20.975(8)17.5345χ=，根据样本观测值求得21()2.192nii x μ=-=∑于是，检验统计量2χ的值2 2.1921.6861.3χ== 由于220.025(8)χχ≤，所以，在显著性水平0.05α=下拒绝原假设0H ，即认为该天包装的化肥质量的方差不是1.3.6、设某化纤厂生产的维尼纶的纤度在正常情况下服从方差为20.05的正态分布，现随机抽取6根，测得其纤度为1.33 1.351.541.451.371.53问维尼纶纤度的方差是否正常(0.10)α=？解：若维尼纶纤度的方差正常，则220.05σ=，因此，提出假设如下：0H ：220.05σ= vs 1H ：220.05σ≠由0.10α=，查附表得临界值20.05(5) 1.146χ=、20.95(5)11.07χ=，根据样本观测值求得1.43x =、20.0085s =于是，检验统计量2χ的值22(61)0.00851.70.05χ-⨯==由于2220.050.95(5)(5)χχχ<<，所以，在显著性水平0.10α=下接受原假设0H ，即认为维尼纶纤度的方差是正常的.7、生产某种产品可用两种操作方法.用第一种操作方法生产的产品抗折强度21(,7)X N μ~；用第二种操作方法生产的产品抗折强度22(,9)Y N μ~(单位：千克)，现从第一种操作方法生产的产品中随机抽取13件，得到42x =，从第二种操作方法生产的产品中随机抽取17件，测得36y =，问这两种操作方法生产的产品的平均抗折强度是否有显著差异(0.05)α=？解：若这两种操作方法生产的产品的平均抗折强度无显著差异，则12μμ=，因此，提出假设如下：0H ：12μμ= vs 1H ：12μμ≠由0.05α=，查附表得临界值0.975 1.96u =，由已知数据求得检验统计量U 的值2.054U ==由于0.975||U u ≥，所以，在显著性水平0.05α=下拒绝原假设0H ，即认为这两种操作方法生产的产品的平均抗折强度有显著差异.8、某种物品在处理前与处理后分别抽样分析其含脂率，测得数据如下：假设处理前后的含脂率都服从正态分布，且方差不变，问该物品处理前后含脂率的均值是否有显著差异(0.01)α=？解：若该物品处理前后含脂率的均值无显著差异，则12μμ=，因此，提出假设如下：0H ：12μμ= vs 1H ：12μμ≠由0.01α=，查附表得临界值0.995(13) 3.012t =，根据样本观测值求得0.23x =、0.18y =、20.0094x s =、20.0045ys =、0.0822w s = 于是，检验统计量T 的值2.273T==由于0.995||(13)T t<，所以，在显著性水平0.01α=下接受原假设H，即认为该物品处理前后含脂率的均值无显著差异.9、有甲、乙两台机床加工同样的产品，现从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干产品，测得产品直径(单位：)为：问甲乙两台机床加工的精度是否有显著差异(0.05)α=？解：若甲乙两台机床加工的精度无显著差异，则它们的方差相同，因此，提出假设如下：0H：2212σσ=vs1H：2212σσ≠由0.05α=，查附表得临界值0.0250.97511(7,6)0.1953(6,7) 5.12FF===、0.975(7,6) 5.70F=，根据样本观测值求得19x=、19y=、20.1029xs=、20.3967ys=于是，检验统计量F的值0.10290.25940.3967F==由于0.0250.975(7,6)(7,6)F F F<<，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设H，即认为甲乙两台机床加工的精度无显著差异.10、某车床生产滚珠，现随机抽取了50个产品，测得它们的直径(单位：mm)为：15.0 15.8 15.2 15.1 15.9 14.7 14.8 15.5 15.6 15.315.1 15.3 15.0 15.6 15.7 14.8 14.5 14.2 14.9 14.915.2 15.0 15.3 15.6 15.1 14.9 14.2 14.6 15.8 15.215.9 15.2 15.0 14.9 14.8 14.5 15.1 15.5 15.5 15.115.1 15.0 15.3 14.7 14.5 15.5 15.0 14.7 14.6 14.2问滚珠直径是否服从正态分布(0.05)α=？解：若滚珠直径服从正态分布，则2(,)X Nμσ~，因此，提出假设如下：0H：2(,)X Nμσ~由于μ、2σ未知，因而用它们的最大似然估计值ˆ15.1xμ==、222ˆ0.4325sσ==代替得到分布2(15.1,0.4325)N，为了求统计量2χ的值，取14.05a=、16.15ka=，将0[,]k a a 等分为7个小区间，列表计算得：于是，检验统计量2χ的值221() 3.062ki i i i n np np χ=-==∑再由0.05α=，查附表得临界值20.95(4)9.488χ=，由于220.95(4)χχ<，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为滚珠直径服从正态分布.B 组1、随机地从一批直径服从正态分布的滚珠中抽取7个，测得其直径(单位：mm )为： 13.70 14.21 13.90 13.91 14.32 14.32 14.10假设滚珠直径总体分布的方差为0.05，问这批滚珠的平均直径是否小于等于14.25(0.05)α=？解：若这批滚珠的平均直径是小于等于14.25，则14.25μ≤，因此，提出假设如下：0H ：14.25μ≤ vs 1H ：14.25μ>由0.05α=，查附表得临界值0.95 1.65u =，根据样本观测值求得14.07x =于是，检验统计量U 的值2.118U ==-由于0.95U u <，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为这批滚珠的平均直径小于等于14.25.2、设1x 、2x 、…、n x 是取自正态总体2(,)N μσ的样本，记11ni i x x n ==∑、221()ni i Q x x ==-∑，试在此记号下求检验假设0H ：0μ=的检验统计量？解：该问题是单正态总体方差未知时关于期望μ的假设检验问题，检验统计量应选为x T =由于222111()11n ii s x x Q n n ==-=--∑，即s =，从而检验统计量为x T ==3、某种导线要求其电阻的标准差不超过0.004欧姆，现从生产的一批导线中随机抽取8根，得到220.006s =，若该导线的电阻服从正态分布，问能否认为这批导线的标准差偏小(0.05)α=？解：若这批导线的标准差偏小，则220.004σ≤，因此，提出假设如下：0H ：220.004σ≤ vs 1H ：220.004σ>由0.05α=，查附表得临界值20.95(7)14.067χ=，由已知数据求得检验统计量2χ的值222(81)0.00615.750.004χ-⨯== 由于220.95(7)χχ≥，所以，在显著性水平0.05α=下拒绝原假设0H ，即认为这批导线的标准差偏大.4、下面是某两种型号的电器充电后所能使用的时间(单位：小时)的观测值 型号A 5.5 5.6 6.3 4.6 5.3 5.0 6.2 5.8 5.1 5.2 5.9 型号B 3.8 4.3 4.2 4.0 4.9 4.5 5.2 4.8 4.5 3.9 3.7 4.6设两样本独立且抽样的两个正态总体方差相等，试问能否认为型号A 比型号B 平均使用的时间更短(0.01)α=？解：若型号A 比型号B 平均使用的时间更短，则12μμ≤，因此，提出假设如下：0H ：12μμ≤ vs 1H ：12μμ>由0.01α=，查附表得临界值0.99(21) 2.5176t =，根据样本观测值求得5.5x =、 4.3667y =、20.274x s =、20.2188ys =、0.4951w s =于是，检验统计量T的值5.4837T==由于0.99(21)T t≥，所以，在显著性水平0.01α=下拒绝原假设H，即认为型号A比型号B平均使用的时间更长.5、某药厂生产一种新的止痛片，厂方希望验证服用新药片后到开始起作用的时间间隔较原有止痛片至少缩短一半，因此厂方提出检验假设H：122μμ=vs1H：122μμ>其中1μ、2μ分别是服用原有止痛片和服用新止痛片后到开始起作用的时间间隔的总体均值，若这两个总体均服从正态分布，且方差21σ、22σ已知，现分别从两个总体中抽取两个独立样本1x、2x、…、mx和1y、2y、…、ny，试给出上述假设检验问题的检验统计量及拒绝域？解：设X为服用原有止痛片后到开始起作用的时间间隔，Y为服用新止痛片后到开始起作用的时间间隔，则211(,)X Nμσ~、222(,)Y Nμσ~，于是22121242(2,)x y Nm nσσμμ-~-+()~(0,1)x yU N⇒=当H成立，有~(0,1)x yU N=所以，可选取检验统计量x yU=对于给定的显著性水平α，检验的拒绝域为1{|}W U U uα-=≥.6、有两箱来自不同厂家的功能相同的金属部件，从第一箱中抽取60个，从第二箱中抽取40个，得到部件重量()mg的样本方差分别为215.46xs=、29.66ys=.若两样本相互独立且服从正态分布，试问第一箱重量的总体方差是否比第二箱重量的总体方差小(0.05)α=？解：若第一箱重量的总体方差比第二箱重量的总体方差小，则2212σσ≤，因此，提出假设如下：0H ：2212σσ≤ vs 1H ：2212σσ> 由0.05α=，查附表得临界值0.95(59,39) 1.64F =，根据已知数据求得检验统计量F 的值15.461.609.66F == 由于0.95(59,39)F F <，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为第一箱重量的总体方差比第二箱重量的总体方差小.7A B 设两批电子器件的电阻分别服从211(,)N μσ、222(,)N μσ，试问能否认为两个总体服从相同的正态分布(0.05)α=？解：(1) 先检验两个总体方差相同.若两个总体方差相同，则2212σσ=，因此，提出假设如下： 0H ：2212σσ= vs 1H ：2212σσ≠ 由0.05α=，查附表得临界值0.0250.97511(5,5)0.140(5,5)7.15F F ===、0.975(5,5)7.15F =，根据样本观测值求得0.141x =、0.139y =、20.0000078x s =、20.0000071ys = 于是，检验统计量F 的值0.00000781.10.0000071F ==由于0.0250.975(5,5)(5,5)F F F <<，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为两个总体方差相同；(2) 在(1)的基础上检验两个总体均值相同.若两个总体均值相同，则12μμ=，因此，提出假设如下：0H ：12μμ= vs 1H ：12μμ≠由0.05α=，查附表得临界值0.975(10) 2.2281t =，根据样本观测值求得20.0000074w s =于是，检验统计量T 的值1.267T ==由于0.975||(10)T t <，因而在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为两个总体均值相同；所以，可认为两个总体服从相同的正态分布.8、在一批灯泡中抽取300只进行寿命测试，试验结果如下：试检验假设：0H ：灯泡寿命服从指数分布0.0050.0050()00te tf t t -⎧>=⎨≤⎩(0.05)α=？解：根据题意提出假设0H ：(0.005)X E ~为了求统计量2χ的值，将(0,)+∞分为4个小区间(0,100]、(100,200]、(200,300]、(300,)+∞，列表计算得：于是，检验统计量2χ的值221() 1.8393ki i i in np np χ=-==∑再由0.05α=，查附表得临界值20.95(3)7.8147χ=，由于220.95(3)χχ<，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为该批灯泡寿命服从参数为0.005的指数分布.。
概率论与数理统计第七章练习题与答案详解
概率论与数理统计 第七章 参数估计练习题与答案（答案在最后）1．设总体X 的二阶矩存在，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，则2EX 的矩估计是（ ）．(A) X (B) ()∑=-n i i X X n 121 (C) ∑=n i i X n 121 (D) 2S2．矩估计必然是（ ）．(A) 总体矩的函数 (B) 样本矩的函数 (C) 无偏估计 (D) 最大似然估计3．某钢珠直径X 服从()1,μN ，从刚生产出的一批钢珠中随机抽取9个，求得样本均值06.31=X ，样本标准差98.0=S ，则μ的最大似然估计是 ．4．设θˆ是未知参数θ的一个估计量，若θθ≠ˆE ，则θˆ是θ的（ ） (A) 最大似然估计 (B) 矩估计 (C) 有效估计 (D) 有偏估计5．设21,X X 是()1,μN 的一个样本，下面四个关于μ估计量中，只有（ ）才是μ的无偏估计．(A) 213432X X + (B) 214241X X + (C)215352X X + (D) 214143X X - 6．设总体X 服从参数为λ的Poisson 分布，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，则下列说法中错误的是（ ）．(A) X 是EX 的无偏估计量 (B) X 是DX 的无偏估计量 (C) X 是EX 的矩估计量 (D) 2X 是2λ的无偏估计量 7．设321,,X X X 是()1,μN 的一个样本，下面四个关于μ无偏估计量中，根据有效性这个标准来衡量，最好的是（ ）．(A) 321313131X X X ++ (B) 213132X X + (C)321412141X X X ++ (D) 216561X X + 8．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,σμN 的一个样本，其中μ未知，而σ已知，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-n U X n U X σσ025.0025.0，作为μ的置信区间，其置信水平是（ ）．(A) 0.9 (B) 0.95 (C) 0.975 (D) 0.05 9．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,σμN 的一个样本，其中μ未知，而σ已知，μ的置信水平为α-1的置信区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n U X n U X σσαα22 ，的长度是α的减函数，对吗？10．总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=-其它101x x x f θθ，其中θ是未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，求参数θ的矩估计量和最大似然估计量．11．总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它002222x ex x f x θθ， 其中θ是未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，求参数θ的矩估计量和最大似然估计量．12．设总体X 服从几何分布：()()11--==x p p x X P ，() ,2,1=x ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，求参数p 的最大似然估计． 13．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,0σN 的一个样本，求参数2σ的最大似然估计．14．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,7t a n σμ+N 的一个样本，其中22πμπ<<-，求参数2,σμ的最大似然估计．15．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,~σμN X 的一个样本，对给定t ，求()t X P ≤的最大似然估计．16．一个罐子里装有黑球和白球，有放回地抽取一个容量为n 的样本，发现其中有k 个白球，求罐中黑球数和白球数之比R 的最大似然估计． 17．总体X 的分布律是：()()()θθθ312,0,21-=====-=X P X P X P ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，求参数θ的矩估计和最大似然估计． 18．设总体X 服从二项分布()p N B ,，N 为正整数，10<<p ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的大样本，求参数p N ,的矩估计量．19．设μ=EX ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，证明：()∑=-=n i i X n T 121μ是总体方差的无偏估计．20．总体X 服从()θθ2,上均匀分布，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，证明X 32ˆ=θ是参数θ的无偏估计．21．设总体X 服从二项分布()p m B ,，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，证明∑==ni i X n m p 11ˆ是参数θ的无偏估计． 22．设n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，且X 服从参数为λ的Poisson 分布，对任意()1,0∈α，证明()21S X αα-+是λ的无偏估计，其中2,S X 分别是样本均值和样本方差．23．设02>=σDX ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，问2X 是否是()2EX 的无偏估计．24．设321,,X X X 是来自总体()2,σμN 的一个样本，试验证：32112110351ˆX X X ++=μ，32121254131ˆX X X ++=μ，都是参数μ的无偏估计，并指出哪个更有效．25．从总体()1,1μN 抽取一个容量为1n 的样本：1,,,21n X X X ，从总体()4,2μN 抽取一个容量为2n 的样本：2,,,21n Y Y Y ，求21μμα-=的最大似然估计αˆ．假定总的样本容量21n n n +=不变时，求21,n n 使αˆ的方差最小． 26．为了测量一台机床的椭圆度,从全部产品中随机抽取100件进行测量，求得样本均值为mm X 081.0=，样本标准差为mm S 025.0=，求平均椭圆度μ的置信水平为0.95的置信区间．27．自动机床加工的同类零件中，随机抽取9件，测得长度如下：21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3，21.6，已知零件长度X 服从()2,σμN ，置信水平为0.95，(1) 若15.0=σ，求μ置信区间； (2) 若σ未知，求μ置信区间； (3) 若4.21=μ，求σ置信区间； (4) 若μ未知，求σ置信区间． 28．设总体X 服从()23,μN ，如果希望μ的置信水平为0.9的置信区间长度不超过2，则需要抽取的样本容量至少是多少？29．某厂利用两条自动化流水线灌装面粉，分别从两条流水线上抽取12和17的两个独立样本，其样本均值和样本方差分别为：6.10=X ，4.221=S ，5.9=Y ，7.422=S ，假设两条生产线上灌装面粉的重量都服从正态分布，其均值分别为21,μμ，方差相等，求21μμ-的置信水平为0.9的置信区间． 30．设两位化验员独立对某种聚合物含氯量用相同方法各作10次测定，其测定值的样本方差分别为：5419.021=S ，6065.022=S ，设2221,σσ分别为两位化验员所测定值总体的方差，设两位化验员的测定值都服从正态分布，求方差比2221σσ的置信水平为0.9的置信区间．31．从一批产品中抽取100个产品，发现其中有9个次品，求这批产品的次品率p 的置信水平为0.9的置信区间．答案详解1．C 2．B 3．31.064．D 5．C 6．D 7．A 8．B 9．对10．(1) 矩估计因为()⎰∞+∞-=dx x xf EX 11+==⎰θθθθdx x ，所以21⎪⎭⎫⎝⎛-=EX EX θ，而X EX =∧，由此得参数θ的矩估计量为21ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X X θ (2) 最大似然估计似然函数为：()()∏==ni i x f L 1θ()()121-=θθnnx x x ，两边取对数， ()θL ln ()()nx x x n21ln 1ln 2-+=θθ，令()θθd L d ln ()0ln 21221=+=n x x x n θθ， 得参数θ的最大似然估计为：212ln ˆ⎪⎭⎫⎝⎛=∑=ni i x n θ11．(1) 矩估计因为()⎰∞+∞-=dx x xf EX ⎰∞+-=022222dx exx θθ⎰∞+∞--=dx e xx 2222221θθ⎰∞+∞--=dx exx 2222222θθπθπθπ22=， 所以EX πθ2=，而X EX =∧，由此得参数θ的矩估计量为X πθ2ˆ=。
大学概率论第七章答案
0 1
∫
1
∫
2
3 2
− θ , 所以 θ 矩 =
3 2
−X .
(2) 见本章第三节三(9). 2. 设总体 X 的概率密度为
⎧1 ⎪ 2θ , ⎪ ⎪ 1 , f ( x, θ ) = ⎨ ⎪ 2(1 − θ ) ⎪0, ⎪ ⎩
− X )2 .
∑(X
i =1
n
i
解 选(D). (2) 设 X U [0, θ ] , 其中 θ>0 为未知参数, 又 X 1 , X 2 ,L , X n 为来自总体 X 的样本, 则 θ 的矩估计量是( (A) X . (B) 2 X . 解 选(B). 2. 设总体 X 的分布律为 X P -2 1 5 ). (C) max{ X i } .
E( X ) = ∫
+∞
−∞
xf ( x )dx = ∫ (θ + 1) xθ +1dx =
0
1
θ +1 . θ +2
令 E( X ) = X , 即
2X −1 θ +1 ˆ . = X , 得参数θ的矩估计量为 θ = 1− X θ +2 设x1, x2,…, x n是相应于样本X1, X 2,… , X n的一组观测值, 则似然函数为
∑X n −1
i =1
1
n
i
和
∑(X n −1
i =1
1
i
− μ ) 2 . (D)
1
∑X n
i =1
1 n
i
∑(X
i =1
n
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
概率练习册第七章答案7-2 单正态总体的假设检验1・已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.55,0.1082),现在测定了 9炉铁水,其平均含碳量 为4.484,如果估计方差没有变化,可否认为现 在生产的铁水平均含碳量为 4.55( 0.05)?解提出检验假设H 0 :4.55, H 1 :4.55以H 0成立为前提，确定检验H 0的统计量及其分布查标准正态分布表可得uu 0.0251.96，而 2说明小概率事件没有发生，因此接受 H 。
.即认为现在生产的铁水平均含碳量为4.55.对给定的显著性水平 =0.05，由上 P{UX 4.550.108/ .〜N(0,1)分位点可知 X 4.55 0.108/、9u~0.05X 4.550.108/J©4.484 4.55 0.108/ 91.83 1.962.机器包装食盐，每袋净重量x (单位：g)服从正态分布，规定每袋净重量为500 (g), 标准差不能超过10 (g)o某天开工后，为检验机器工作是否正常，从包装好的食盐中随机抽取 9袋，测得其净重量为：497 507 510 475 484488 524 491 515以显著性水平-0.05检验这天包装机工作是否正常？解.作假设//0：0-2>102,耳：/ < 102 选取统计量Z2=^S2=A5^Z2(W-DK 10~对给定的显著性水平a =0.05,査*分布表得：加』7-1)=加列⑻= 2.733,于是拒绝域为龙$ 52.733 由已知计算得52 =22&44而z2 =殳二2 = _A_52 =18.2752 > 2.7330*0 &因此接受弘，即可以认为这天包装机工作不正常。
3.根据长期的经验，某工厂生产的铜丝的折断力X: N（ , 2），已知 2 64斤2，今从该厂所生产的一大批铜丝中随机地抽取10个样本，测得折断力（单位：斤）为578, 572, 570, 568, 570, 572，570, 572, 596, 584。
现问：这一批铜丝的平均折断力可否认为是570斤？（0・05）解.由于已知的情形下检验H 0 : 572, H1 : 572故选取统计量U X 572 ~ N （0,1）/Jn 64/J10查标准正态分布表可得u U0.025 1.96，并计算得X 575.2而2x 57264/ 10拒绝H0，即不能认为这一批铜丝的平均折断力是570斤。
4.某工厂生产的某种电缆的抗断强度的标准差为240kg,这种电缆的制造方法改变以后,抽取8根电缆,测得样本抗断强度的标准差为300kg,假设电缆强度服从正态分布N（ , 2）,给定显著水平0.01,试问改变制造方法后电缆抗断强度的标准差是否有显著变化？解检验假设H 0: 22402,H1 :选取检验统计量7 2 224?S ~ (n 1);对给定的显著性水平=0.05,查2分布表得：2(n 1) 0.005 (7) 20.278，2于是拒绝域为20.989 或(n 1)0.995 ⑺0.989 575.2 57264/2.06 1.96240220.278由已知计算得s20.2282n 1Q 22 So22402却27 300210.94---- 因此接受H。
.即能认为电缆抗断强度的标准差没有显著变化。
习题7-3 双正态总体的假设检验1 •在漂白工艺中，温度会对针织品的断裂强力 有影响。
假定断裂强力服从正态分布，在两种不 同温度下，分别进行了 8次试验，测得断裂强力 的数据如下（单位：kg ）：70°C: 20.5 18.8 19.8 20.9 21.5 19.5 21.0 21.2 80°C: 17.7 20.3 20.0 18.8 19.0 20.1 20.2 19.1判断这两种温度下的断裂强力有无明显差异？ （取显著性水平0.05）解.冋题为方差未知对两总体均值差进行双边检验因此选用t 检验法.作假设 H0 : 1 2, H 1 : 1 2选取检验统计量故拒绝H 。
，即可以认定这两种温度下的断裂强力有明显 差异。
其中 S WTX 1 X 2S w . 1/ n 1 1/ “2(n 1 1)S 12(n 21)S ；拒绝域为|t|X 1 X 2t/2(“ SwV1/“11 / n算194( “1 g 26.2,( “21)s ；t 2.16 2.14481计 _X 1 20.4, X 2代入计算，得5.8 n 1 8, n 2 8m “2 2 n22) t0.025(14) 2・14480 ・ 1 2,2 •在20世纪70年代后期人们发现，酿造啤酒时，在麦芽干燥过程中形成一种致癌物质亚硝基 二甲胺（NDM ）到了 20世纪80年代初期开发 了一种新的麦芽干燥过程，下面是新、老两种过 程中形成的NDMA 含量的抽样（以10亿份中的份 数记）：E |645565564674 E 21 2 2 1 0 3 2 1 0 1 F设新、老两种过程中形成的分布，且方差相等。
分别以 的总体均值，取显著性水平 x y2； H i:2解：H 0:X y； H i:x y2选取检验统计量NDMA 含量服从正态x、y记老、新过程 0.05，检验 H 。
:3.设从两个不同的地区各取得某种植物的样品 12个，测得该种植物中铁元素含量(g/g)的数据如下：地区 A: 11.5 18.6 7.6 18.2 11.4 16.5 19.210.111.2 9.0 14.0 15.3地区 B: 16.2 15.2 12.3 9.7 10.2 19.5 17.012.018.0 9.0 19.0 10.0假定已经知道这种植物中铁元素含量分布为正 态，且分布的方差是不受地区影响的， 检验这两 个地区该种植物中铁元素含量的分布是否相同。
(0.05)解：作假设 H 。
： 12, H 1 : 12选取检验统计量_Sw A/1/ ni1/ n2n 2 2).其中 拒绝域为 将 代入计算，得 故拒绝H 0.n 1 n 22t t /2(n 1 n 2 2) t 0.005(22) 1.7171x 5.25, y 1.5, s ； 0.931, s ；1片 n 2 12，2S 2(ni 1)Si(匕 1)S2Sw-t 4.4393 1.7171X 1 X 2T ,- ~ tg r)2 2). Sw^1/n 11丘拒绝域为|t| —t /2（n i n 2 2） t °.025（22） 2.0739SwJ1/ n i 1/ n 2将x i 13.6,】2 14,S2 14.65,S ； 15.17 n i n ? 12代入计算，得t 0.1724 2.0739故接受H o ，即可以认定两个地区该种植物中铁元素含量 的分布相同。
4.在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法 的建议是否会增加钢的得率,试验是在同一只 平炉上进行的.每炼一炉钢时除操作方法外 , 其它条件都尽可能做到相同.先采用标准方法炼 一炉,然后用建议的新方法炼一炉,以后交替 进行,各炼10炉,其得率分别为（1）标准方法:78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; （2）新方法:79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 78.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1;设这两个样本相互独立,且分别来自正 态总体，问建议的新操作方法能否提高得率’（取 0.05）解检验假设H 0 ： 1 2 ,H 1 ： 1 2.选检验统计量F S'/S f ~ F （n 1 1,n 2 1）,拒绝域为F F 1 /2（n 11,n 2 1） F °.975（9,9） —0.2481其中S W(m 1)S 12g 1)S ；4.03或F F /2 （n1 1, n2 1）F0.025（9,9） 4.03 将S2 3.325, S2 2.225.代入计算得F S2/S；3325 1.49 4.03故接受H 0 : j I作假设H o： 1 2, H i : 1 2选取检验统计量TX1 X 2t( n1 n i 2). S w J1/ 5 1 / n i其中S W (n1 1)S12(n i 1)S fn2 2拒绝域为|t t (m n22) t o.o5(18) 1.7341将X1 76.23,X I79.43,s； 3.325, s f 2.225 n1n210代入计算，得t 4.2953 1.7341故拒绝H 0，即可以认定建议的新操作方法能提高得率。
概率论与数理统计模拟题（一）2.225一、填空题（本大题共6小题、7个空，每空3 分，共21分）1.一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为15,则该射手的命中率为2.设X 服从泊松分布，且 P{X=0}=P{X=1}，则 P{X=2}= ___________3.设连续型随机变量X 的密度函数为4.设随机 变 量X ~ N （10, 0.022）， （2.5） 0.9938,则 X 落在区间（9.95, 10.05）上 的概率为 __________ .（其中 （x ）为标准正态分布函数 ） 5.设X 是一随机变量，且E （ X ）=5，D （ X ）=9,问对Y=aX+b （a,b 为常数），当a= _____ b= ______ 时，E （Y ） =0，D （Y ） =1.f(x)Ax 0 x 1其他，6.已知D(X) =9 , D(Y) =4 , D(X Y) 16 ,则XY答案：1 .3. 3■12o 1 12・一e24. 0.9876 5 1.3， 1 （写对一种情形即可） 6 . 14二、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1.下列各项中表示A，B，C三事件中至少有一个发生的是（)(A) ABC （B）AB AC BC(C) ABC （D）ABC2.离散型随机变量X 服从参数P1的0 1分布，F x是其分布函数，则F1=()(A) 0 (B) i (C) i(D) 13. X ~B(ng)，若EX=2，则DX=( )(D) 84.若随机变量X、Y相互独立，方差分别为8和6,则D (X-2Y )=( )(A) 0 (B) 32 (C) -24(D) 485.设总体X~N(, 2)，其中,2是未知参数，X i,X2, ,X n 为取自于总体X的样本，则如下为统计量的是()A n A n —(A)十X i (B) n (X i )2(C)—n i i n i 1(D)-6 •设总体X ~ N( , 2)，其中,2是未知参数，X1,X2, ,X n为取自于总体X的样本，则-服从分布()(A) N ,1 (B) N 0,1 (C) N 0, 2(D) N , 2答案：1. D 2. D 3. C 4. B 5. A 6. B二、计算题(本大题共2小题, 每小题12分，共24分)1 •二维离散型随机变量(X ，丫)的联合分布列(3)求 PY 1|X 2(4)判定 X 与 Y是否不相关，给出理由(5)判定X 与丫是否独立，给出理由。