上海工程技术大学概率论第一章答案
上海工程技术大学概率论与数理统计复习题(17-18(一))-答案
5．某人独立射击 10 次，每次射击的命中率均为 0.6，求： (1) 击中三次的概率； (2) 至少有一次未击中的概率． 解： （1） p P 10 (3) C10 (0.6) (0.4) 0.0425
10
10
0
2 1 0.97 0.98 0.9733 3 3
7．设 8 支枪中有 3 支未经试射校正，5 只已经试射校正．一射手用校正的枪射击时，中靶 的概率为 0.8，而用未校正过的枪射击时，中靶的概率为 0.3．现假定从 8 支枪中任取一支进 行射击，结果中靶，求所用的枪是己校正过的概率． 解：设事件 A ：射击中靶，事件 B ：所用的枪是已校正过的
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB )
1 1 1 1 4 6 12 3
3. 甲乙二人独立地去破译一份密码， 已知各人能译出的概率分别为 1/5 和 1/3， 求密码被译 出的概率. 解：设A:甲译出密码，B:乙译出密码，C:密码被译出. 则 C A B
a a a 解：由规范性得： k 3 1 1 2 3 k 1 1 3
a , 3k
k 1, 2, ，求常数 a ．
a2
k cos x, 9．设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) 0,
(2) P0 X ； 解： (1)
x
概率论与数理统计复习题
1 1 ， P( B) ，试分别在下列三种情况下求 P ( A B ) 的值： 3 2 1 (1) A, B 独立； (2) A, B 互斥； (3) A B ； (4) P( AB) ． 8
概率论与数理统计复习题--上海工程技术大学
y 2.38
准差
S 1 0 . 12
S 2 0 . 14
设两样本独立，其涉及的总体都服从正态分布，问 是否可以认为这两种牌子的雪茄烟其尼古丁含量 的波动是否有明显差异？（ ＝ 0 . 05 ）
P ( A)P (B ) ，
则A 与B
（
）
（A）相互独立 （B）互不相容 （C）不相互独立 （D）相容
3．对于任意两个随机事件 为 （A） （B） （C） （D） ．
与
，有
4．设 A ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ B 相互独立， P ( A ) 0.7 ，
P ( B ) 0.5
，则 P ( A B ) (B) 0.15； (D) 0.7
B）0.4; D）1.
９．设随机变量 X 的分布函数为
0, F ( x) x, 1, x 0; 0 x 1 x 1.
，
则 P{X
1 3
}
（
）.
10. 设随机变量 X 的概率密度函数为
1 2 x 3 f x= 0 1 x 2 其它
, 则 P X
（ 2） X , Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘概率密度
函数 f 3)
X
( x ), f Y ( y ) ；
P (Y 2 X )
24 ． 设 随 机 变 量 ( X , Y ) 具 有 概 率 密 度
e , f ( x, y) 0
y
0 x y 其他
,
求边缘概率密度 f x ( x ), f Y ( y ) .
k n k
）.
k 0 ,1 , 2 .... ;
2 3
1
第一章至第四章部分课后习题答案
第一章至第四章部分课后习题答案概率论与数理统计部分习题答案第一章概率论的基本概念1. 写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1）（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
（[一] 2）S={10，11，12，………，n ，………}（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。
（[一] (3)）S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 6. 在房间里有10人。
分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。
（1）求最小的号码为5的概率。
记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A∵ 10人中任选3人为一组：选法有??310种，且每种选法等可能。
又事件A 相当于：有一人号码为5，其余2人号码大于5。
这种组合的种数有??251 （2）求最大的号码为5的概率。
记“三人中最大的号码为5”为事件B ，同上10人中任选3人，选法有??310种，且每种选法等可能，又事件B 相当于：有一人号码为5，其余2人号码小于5，选法有??241种8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。
（1）求恰有90个次品的概率。
记“恰有90个次品”为事件A ∵ 在1500个产品中任取200个，取法有??2001500种，每种取法等可能。
200个产品恰有90个次品，取法有??110110090400种（2）至少有2个次品的概率。
记：A 表“至少有2个次品”B 0表“不含有次品”，B 1表“只含有一个次品”，同上，200个产品不含次品，取法有?2001100种，200个产品含一个次品，取法有199********种9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？记A 表“4只全中至少有两支配成一对” ∵ 从10只中任取4只，取法有??410种，每种取法等可能。
《概率论与数理统计答案》第一章
4/15，刮风（记作事件 B ）的概率为 7/15，刮风又下雨（记作事件 C ）的概率为
网 1/10。求 P( A | B) ， P(B | A) ， P( A ∪ B) 。
案 提示与答案： P(A | B) = 3 ， P(B | A) = 3 ， P(A ∪ B) = 19 。
6．已知事件 A 、 B 满足 P( AB) = P( A ∩ B ) 且 P( A) = 1/ 3 ，求 P(B) 。
解法一：由性质（5）知
m P(B) = P( A ∪ B) − P( A) + P( AB)
（性质 5）
co =1− P( A∪ B) − P( A) + P( AB)
（性质 3）
球，也可能是黑球），并且也只有这两种可能。因此若把这两种可能看成两个事
件，这两个事件的和事件便构成了一个必然事件。
若设 A 表示：“由甲袋取出的球是白球”； B 表示：“由甲袋取出的球是黑 球”； C 表示：“从乙袋取出的球是白球”。则 P(C) = 5 /12 。
18．设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中 1 是第一家工厂生产的， 2
16．一机床有 1/3 的时间加工零件 A ，其余时间加工零件 B ，加工零件 A 时， 停机的概率是 3/10，加工零件 B 时，停机的概率是 4/10，求这台机床停机的概 率。
提示与答案：依题意，这是一全概率问题。若设 A 事件表示：“加工零件 A ”； B 事件表示：“加工零件 B ； C 事件表示：“机床停机”。 则 P(C) = 11/ 30 。
相同”； B 表示事件：“这 n 个人至少有两个人生日在同一天”。
概率论与数理统计答案第一章
概率论第一章习题解答习题1.11． 写出下列随机试验的样本空间Ω及指定的事件：（1）袋中有3个红球和2个白球，现从袋中任取一个球，观察其颜色；（2）掷一枚硬币，设H 表示“出现正面”，T 表示“出现反面”．现将一枚硬币连掷两次，观察出现正、反面的情况，并用样本点表示事件A =“恰有一次出现正面”；（3）对某一目标进行射击，直到击中目标为止，观察其射击次数，并用样本点表示事件A =“射击次数不超过5次”；（4）生产某产品直到5件正品为止，观察记录生产该产品的总件数；（5）从编号a 、b 、c 、d 的四人中，随机抽取正式和列席代表各一人去参加一个会议，观察选举结果，并用样本点表示事件A =“编号为a 的人当选”．解：（1）Ω = {红色, 白色}； （2）Ω = {(H , H ), (H , T ), (T , H ), (T , T )}，A = {(H , T ), (T , H )}；（3）Ω = {1, 2, 3, …, n , …}，A = {1, 2, 3, 4, 5}； （4）Ω = {5, 6, 7, …, n , …}；（5）Ω = {(a , b ), (a , c ), (a , d ), (b , a ), (b , c ), (b , d ), (c , a ), (c , b ), (c , d ), (d , a ), (d , b ), (d , c )}，A = {(a , b ), (a , c ), (a , d ), (b , a ), (c , a ), (d , a )}．2． 某射手射击目标4次，记事件A =“4次射击中至少有一次击中”，B =“4次射击中击中次数大于2”．试用文字描述事件A 与B ． 解：A 表示4次射击都没有击中，B 表示4次射击中击中次数不超过2．3． 设A , B , C 为三个事件，试用事件的运算关系表示下列事件：（1）A , B , C 都发生；（2）A , B , C 都不发生；（3）A , B , C 中至少有一个发生；（4）A , B , C 中最多有一个发生；（5）A , B , C 中至少有两个发生；（6）A , B , C 中最多有两个发生．解：（1）ABC ； （2）C B A ； （3）A ∪B ∪C ； （4）C B A C B A C B A C B A U U U ；（5）ABC BC A AB U U U ； （6）ABC ．4． 在一段时间内，某电话交换台接到呼唤的次数可能是0次，1次，2次，…．记事件A n =“接到的呼唤次数小于n ”（n = 1, 2, …），试用事件的运算关系表示下列事件：（1）呼唤次数大于2；（2）呼唤次数在5到10次范围内；（3）呼唤次数与8的偏差大于2．解：（1）3A ； （2）A 11 − A 5； （3）116A A U ．5． 证明：（1）Ω=−A B A AB U U )(； （2）AB B A B A B A =))()((U U U ．证：（1）Ω==Ω===−A A B A A AB B A AB U U U U U U U U )()(；（2）U U U U U U A B A B B A B A B A B A ())(())()((==∅AB AB A A B A A B A ===U U U )())(．习题1.21． 设P (A ) = P (B ) = P (C ) = 1/4，P (AB ) = P (BC ) = 0，P (AC ) = 1/8，求A 、B 、C 三个事件至少有一个发生的概率．解：因P (AB ) = P (BC ) = 0，且ABC ⊂ AB ，有P (ABC ) = 0， 则8581414141)()()()()()()()(=−++=+−−−++=ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P U U ． 2． 设P (A ) = 0.4，P (B ) = 0.5，P (A ∪B ) = 0.7，求P (A − B )及P (B − A )．解：因P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) = 0.4 + 0.5 − 0.7 = 0.2，则P (A − B ) = P (A ) − P (AB ) = 0.4 − 0.2 = 0.2，P (B − A ) = P (B ) − P (AB ) = 0.5 − 0.2 = 0.3．3． 某市有A , B , C 三种报纸发行．已知该市某一年龄段的市民中，有45%的人喜欢读A 报，34%的人喜欢读B 报，20%的人喜欢读C 报，10%的人同时喜欢读A 报和B 报，6%的人同时喜欢读A 报和C 报，4%的人同时喜欢读B 报和C 报，1%的人A , B , C 三种报纸都喜欢读．从该市这一年龄段的市民中任选一人，求下列事件的概率：（1）至少喜欢读一种报纸；（2）三种报纸都不喜欢；（3）只喜欢读A 报；（4）只喜欢读一种报纸．解：分别设A , B , C 表示此人喜欢读A , B , C 报，有P (A ) = 0.45，P (B ) = 0.34，P (C ) = 0.2，P (AB ) = 0.1，P (AC ) = 0.06，P (BC ) = 0.04，P (ABC ) = 0.01，（1）P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC ) = 0.8；（2）2.0)(1)((=−==C B A P C B A P P U U U U ；（3）3.0)()()()()()()(=+−−=−=ABC P AC P AB P A P B A P B A P C B A P ；（4）因21.0)()()()()()()(=+−−=−=ABC P BC P AB P B P P B P B P ，11.0)()()()()()()(=+−−=−=ABC P BC P AC P C P BC A P C A P C B A P ， 故62.0)()()()(=++=++C B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P ．4． 连续抛掷一枚硬币3次，求既有正面又有反面出现的概率．解：样本点总数n = 2 3 = 8，事件A 中样本点数62313=+=C C k A ，则75.043)(===n k A P A ． 5． 在分别写有2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13的8张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率．解：样本点总数2828==C n ，事件A 中样本点数18231315=+=C C C k A ，则6429.0149)(===n k A P A ． 6． 一部5卷文集任意地排列在书架上，问卷号自左向右或自右向左恰好为1, 2, 3, 4, 5顺序的概率等于多少？解：样本点总数12055==A n ，事件A 中样本点数k A = 2，则0167.0601)(===n k A P A ． 7． 10把钥匙中有3把能打开某一门锁，今任取两把，求能打开某该门锁的概率．解：样本点总数45210==C n ，事件A 中样本点数24231317=+=C C C k A ，则5333.0158)(===n k A P A ． 8． 一副扑克牌有52张，进行不放回抽样，每次一张，连续抽取4张，计算下列事件的概率：（1）四张花色各异；（2）四张中只有两种花色． 解：样本点总数270725452==C n ，（1）事件A 1中样本点数285611131131131131==C C C C k A ，则1055.0208252197)(11===n k A P A ； （2）事件A 2表示两种花色各两张，或者一种1张一种3张，样本点数81120)2(113313213213242=+=C C C C C k A ，则2996.041651248)(22===n k A P A ． 9． 口袋内装有2个伍分、3个贰分、5个壹分的硬币共10枚，从中任取5枚，求总值超过壹角的概率． 解：样本点总数252510==C n ，事件A 分三种情形：①两枚5分，三枚其它，②一枚5分，三枚2分，一枚1分，③一枚5分，两枚2分，两枚1分，样本点数1262523121533123822=++=C C C C C C C C k A ，则5.021)(===n k A P A ． 方法二：10枚硬币总额2角1分，任取5枚若超过1角，那么剩下的5枚将不超过1角，可见事件A 中的样本点与A 中的样本点一一对应，即A k k =，则5.0)()(==A P A P ．10．在10个数字0, 1, 2, …, 9中任取4个（不重复），能排成一个4位偶数的概率是多少（最好是更正为：排在一起，恰好排成一个4位偶数的概率是多少）？解：样本点总数5040410==A n ，事件A 的限制条件是个位是偶数，首位不是0，样本点数2296281814281911=+=A A A A A A k A ，则4556.09041)(===n k A P A ． 11．一个教室中有100名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率（设一年以365天计算）． 解：样本点总数n = 365 100，A 的对立事件A 表示所有学生生日都不在元旦，100364=A k ， 则2399.036536411(1)(100=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=−=n k A P A P A ．12．在 [0, 1] 区间内任取两个数，求两数乘积小于1/4的概率．解：设所取得两个数为x , y ，Ω = {(x , y ) | 0 < x < 1, 0 < y < 1}，}1,10,10|),{(<<<<=y x y x A 有m (Ω) = 1，4034.042ln 23)41ln 4141(1)ln 41(411()(141141=−=−−=−=−=∫x x dx x A m 则5966.042ln 21)()(1(1)(=+=Ω−=−=m A m P A P ． 习题1.31． 一只盒子有3只坏晶体管和7只好晶体管，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，发现第一只是好的，问另一只也是好的概率是多少？解：设A 表示第一只是好的，B 表示第二只是好的，当第一只是好的时，第二次抽取前有3只是坏的，6只是好的，则6667.03296)|(===A B P ． 2． 某商场从生产同类产品的甲、乙两厂分别进货100件、150件，其中：甲厂的100件中有次品4件，乙厂的150件中有次品1件．现从这250件产品中任取一件，从产品标识上看它是甲厂生产的，求它是次品的概率．解：设A 表示甲厂产品，B 表示次品，故04.01004)|(==A B P ． 3． 根据抽样调查资料，2000年某地城市职工家庭和农村居民家庭收入按人均收入划分的户数如下：户数 6000元以下 6000 ~ 12000元 12000元以上 合计城市职工 25 125 50 200 农村居民 120 132 48 300 合计 145 257 98 500 现从被调查的家庭中任选一户，已知其人均收入在6000元以下，试问这是一个城市职工家庭的概率是多少？解：设A 表示人均收入在6000元以下，B 表示城市职工家庭，故1724.014525)|(==A B P ． 4． 某单位有92%的职工订阅报纸，93%的职工订阅杂志，在不订阅报纸的职工中仍有85%的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工，求下列事件的概率：（1）该职工至少订阅报纸或杂志中一种；（2）该职工不订阅杂志，但是订阅报纸． 解：设A 表示订阅报纸，B 表示订阅杂志，有P (A ) = 0.92，P (B ) = 0.93，85.0|(=A B P ， 则068.085.008.0)|()()(=×==A B P A P B A P ，862.0068.093.0)()()(=−=−=B A P B P AB P ，（1）P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) − P (AB ) = 0.92 + 0.93 − 0.068 = 0.988；（2）P (A − B ) = P (A ) − P (AB ) = 0.92 − 0.862 = 0.058．5． 某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，各个车间的产量分别占全厂产量的25%、35%、40%，各车间产品的次品率分别为5%、4%、2%．（1）求全厂产品的次品率；（2）如果从全厂产品中抽取一件产品，恰好是次品，问这件次品是甲、乙、丙车间生产的概率分别是多少？解：（1）任取一件产品，设A 1, A 2, A 3分别表示甲、乙、丙车间产品，B 表示次品，则P (B ) = P (A 1) P (B | A 1) + P (A 2) P (B | A 2) + P (A 3) P (B | A 3)= 0.25 × 0.05 + 0.35 × 0.04 + 0.4 × 0.02 = 0.0345；（2）3623.069250345.005.025.0)()|()()()()|(1111==×===B P A B P A P B P B A P B A P ， 4058.069280345.004.035.0)()|()()()()|(2222==×===B P A B P A P B P B A P B A P ， 2319.069160345.002.04.0)()|()()()()|(3333==×===B P A B P A P B P B A P B A P ． 6． 有三个形状相同的罐，在第一罐中有两个白球和一个黑球；在第二个罐中有三个白球和一个黑球；在第三个罐中有两个白球和两个黑球．某人随机地取一罐，再从该罐中任取一球，试问这球是白球的概率有多少？解：设321,,A A A 分别表示第一、二、三罐，B 表示白球， 则6389.03623423143313231)|()()|()()|()()(332211==×+×+×=++=A B P A P A B P A P A B P A P B P ． 7． 三部自动的机器生产同样的汽车零件，其中机器A 生产的占40%，机器B 生产的占25%，机器C 生产的占35%，平均说来，机器A 生产的零件有10%不合格，对于机器B 和C ，相应的百分数分别为5%和1%，如果从总产品中随机地抽取一个零件，发现为不合格，试问：（1）它是由机器A 生产出来的概率是多少？（2）它是由哪一部机器生产的可能性最大？解：设A 1, A 2, A 3分别表示机器A , B , C 生产的零件，D 表示不合格的零件，（1）)|()()|()()|()()|()()()()|(3322111111A D P A P A D P A P A D P A P A D P A P D P D A P D A P ++== 7143.075056.004.001.035.005.025.01.04.01.04.0===×+×+××=； （2）2232.011225056.00125.0056.005.025.0)()()|(22===×==D P D A P D A P ，0625.01127056.00035.0056.001.035.0)()()|(33===×==D P D A P D A P ， 则由机器A 生产的概率最大．8． 设P (A ) > 0，试证：)()(1)|(A P B P A B P −≥． 证：)()(1)()(11)(1)()()()()()()()()|(A P B P A P B P A P B P A P A P B A P B P A P A P AB P A B P −=−−=−+≥−+==U ． 习题1.41． 一个工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人看管的概率分别为0.9、0.8、0.7，求在一小时内3台机床中最多有一台需要工人看管的概率．解：设A 1, A 2, A 3分别表示一小时内第一、二、三台机床不需要工人照管，可以认为A 1, A 2, A 3相互独立， 则概率为)()()()()(321321321321321321321321A A A P A A A P A A A P A A A P A A A A A A A A A A A A P +++=U U U)()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P +++== 0.9 × 0.8 × 0.7 + 0.9 × 0.8 × 0.3 + 0.9 × 0.2 × 0.7 + 0.1 × 0.8 × 0.7 = 0.902．2． 电路由电池A 与两个并联的电池B 及C 串联而成，设电池A , B ,电路发生断电的概率． 解：设A , B , C 分别表示电池A , B , C 损坏，电路断电为事件A ∪BC ，则概率为P (A ∪BC ) = P (A ) + P (BC ) − P (ABC ) = P (A ) + P (B ) P (C ) − P (A ) P (B ) P (C ) = 0.3 + 0.2 × 0.2 − 0.3 × 0.2 × 0.2 = 0.328．方法二：设A , B , C 分别表示电池A , B , C 正常工作，系统正常工作为事件A (B ∪C ) = AB ∪AC ， 则概率为1 − P (AB ∪AC ) = 1 − P (AB ) − P (AC ) + P (ABC )= 1 − P (A ) P (B ) − P (A ) P (C ) + P (A ) P (B ) P (C )= 1 − 0.7 × 0.8 − 0.7 × 0.8 + 0.7 × 0.8 × 0.8 = 0.328．3． 加工某一零件共需经过四道工序．设第一、二、三、四道工序的次品率分别为2%, 3%, 5%, 3%，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率．解：设A 1, A 2, A 3, A 4分别表示第一、二、三、四道工序加工出合格品，有A 1, A 2, A 3, A 4相互独立，则概率为1 − P (A 1A 2A 3A 4) = 1 − P (A 1) P (A 2) P (A 3) P (A 4) = 1 − 0.98 × 0.97 × 0.95 × 0.97 = 0.1240．4． 抛掷一枚质地不均匀的硬币8次，设正面出现的概率为0.6，求下列事件的概率：（1）正好出现3次正面；（2）至多出现2次正面；（3）至少出现2次正面．解：将每次掷硬币看作一次试验，出现正面A ，反面A ；独立；P (A ) = 0.6．伯努利概型，n = 8，p = 0.6．（1）1239.04.06.0)3(53388=××=C P ； （2）0498.04.06.04.06.04.06.0)2()1()0(622871188008888=××+××+××=++C C C P P P ；（3）9915.04.06.04.06.01)1()0(17118800888=××−××−=−−C C P P ．5． 设每次射击时命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9？解：将每次射击看作一次试验，击中A ，没击中A ；独立；P (A ) = 0.2．伯努利概型，n 次试验，p = 0.2，则9.08.018.02.01)0(100≥−=××−=−n n n n C P ，即0.8 n ≤ 0.1，故32.108.0lg 1.0lg =≥n ，取n = 11．6． 一大批产品的优质品率为60%，从中任取10件，求下列事件的概率：（1）取到的10件产品中恰有5件优质品；（2）取到的10件产品中至少有5件优质品；（3）取到的10件产品中优质品的件数不少于4件且不多于8件．解：将取每件产品看作一次试验，优质品A ，非优质品A ；独立；P (A ) = 0.6．伯努利概型，n = 10，p = 0.6．（1）2007.04.06.0)5(5551010=××=C P ；（2）P 10 (5) + P 10 (6) + P 10 (7) + P 10 (8) + P 10 (9) + P 10 (10)288103771046610555104.06.04.06.04.06.04.06.0××+××+××+××=C C C C8338.04.06.04.06.0010101019910=××+××+C C ；（3）P 10 (4) + P 10 (5) + P 10 (6) + P 10 (7) + P 10 (8)28810377104661055510644104.06.04.06.04.06.04.06.04.06.0××+××+××+××+××=C C C C C= 0.8989；7． 证明：若)|()|(B A P B A P =，则事件A 与B 独立． 证：因)(1)()()(1)()()()|()()()|(B P AB P A P B P B A P P B A P B A P B P AB P B A P −−=−−====， 则P (AB )[1 − P (B )] = P (B )[P (A ) − P (AB )]，即P (AB ) − P (AB ) P (B ) = P (B ) P (A ) − P (B ) P (AB )， 故P (AB ) = P (A ) P (B )，A 与B 相互独立．复习题一1． 设P (A ) = 0.5，P (B ) = 0.6，问：（1）什么条件下P (AB )可以取最大值，其值是多少？（2）什么条件下P (AB )可以取得最小值，其值是多少？解：（1）当A ⊂ B 时P (AB ) 最大，P (AB ) = P (A ) = 0.5；（2）当A ∪B = Ω 时P (AB ) 最小，P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) = 0.5 + 0.6 − 1 = 0.1．2． 一电梯开始上升时载有5名乘客，且这5人等可能地在8层楼的任何一层出电梯，求：（1）每层至多一人离开的概率；（2）至少有两人在同一层离开的概率；（3）只有一层有两人离开的概率．解：样本点总数是8取5次的可重排列，即n = 8 5 = 32768，（1）事件A 1中样本点数6720581==A k A ，则2051.0512105)(11===nk A P A ； （2）事件A 2是A 1的对立事件，则7949.0512407)(1)(12==−=A P A P ； （3）事件A 3表示有两人在同一层离开，而另外三人分别在3个不同楼层或者都在同一层离开，样本点数17360)(33173725183=+=C A A C A k A ，则5298.020481085)(33===n k A P A ． 3． 从5副不同的手套中任取4只手套，求其中至少有两只手套配成一副的概率．解：样本点总数210410==C n ，A 的对立事件表示4只手套都不配套，801212121245==C C C C C k A ， 则6190.021131(1)(==−=−=n k A P A P A ． 4． 从1, 2, …, n 中任取两数，求所取两数之和为偶数的概率． 解：样本点总数为)1(212−=n n C n ，事件A 表示取得两个偶数或两个奇数，当n 为偶数时，共有2n 个偶数和2n 个奇数， 样本点数)2(41)12(22222−=−=+=n n n n C C k n n A ，则)1(22)(2−−==n n C k A P n A ； 当n 为偶数时，共有21−n 个偶数和21+n 个奇数， 样本点数2221221)1(41212121232121−=−⋅+⋅+−⋅−⋅=+=+−n n n n n C C k n n A ，则n n C k A P nA 21)(2−==． 5． 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以一只吃掉另一只的概率．解：样本点总数4005290==C n ，事件A 中样本点数7652911021019=+=C C C C k A ，则1910.08917)(===n k A P A ． 6． 某货运码头仅能容一船卸货，而甲、乙两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时．设甲、乙两船在24小时内随时可能到达，求它们中任何一船都不需等待码头空出的概率．解：Ω = {(x , y ) | 0 ≤ x < 24, 0 ≤ y < 24}，A = {(x , y ) | 0 ≤ x < 24, 0 ≤ y < 24, x − y > 2或y − x > 1}，有m (Ω) = 24 2 = 576，5.50622212321)(22=×+×=A m ， 则8793.05765.506)()()(==Ω=m A m A P ． 7． 从区间 [0, 1] 中任取三个数，求三数和不大于1的概率．解：Ω = {(x , y , z ) | 0 ≤ x , y , z ≤ 1}，A = {(x , y , z ) | 0 ≤ x , y , z ≤ 1, x + y + z ≤ 1}，有m (Ω) = 1，A 是一个三棱锥，6112131)(=××=A m ，则1667.061)()()(==Ω=m A m A P ． 8． 已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率是多少？（假设男人和女人各占人数的一半．）解：设A 1, A 2分别表示男人和女人，B 表示色盲，则9524.021200025.05.005.05.005.05.0)|()()|()()|()()()()|(22111111==×+××=+==A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P ． 9． 发报台分别以0.7和0.3的概率发出信号0和1（例如：分别用低电频和高电频表示）．由于随机干扰的影响，当发出信号0时，接收台不一定收到0，而是以概率0.8和0.2收到信号0和1；同样地，当发报台发出信号1时，接收台以概率0.9和0.1收到信号1和0．试求：（1）接收台收到信号0的概率；（2）当接收台收到信号0时，发报台确是发出信号0的概率．解：设A 0, A 1分别表示发出信号0, 1，B 0, B 1表示收到信号0, 1，（1）P (B 0) = P (A 0) P (B 0 | A 0) + P (A 1) P (B 0 | A 1) = 0.7 × 0.8 + 0.3 × 0.1 = 0.59；（2）9492.0595659.08.07.0)()|()()()()|(000000000==×===B P A B P A P B P B A P B A P ． 10．设A , B 独立，AB ⊂ D ，D B A ⊂，证明P (AD ) ≥ P (A ) P (D )．证：因AB ⊂ D ，有AB ⊂ AD ，则P (AD ) − P(AB ) = P (AD − AB )，B D ΩA因B A ⊂=U ，有D ⊂ A ∪B ，D − B ⊂ A ∪B − B ⊂ A ，则AD − AB = A (D − B ) = D − B ，故P (AD ) − P (AB ) = P (AD − AB ) = P (D − B ) ≥ P (A ) P (D − B ) ≥ P (A ) [P (D ) − P (B )]，由于A , B 独立，有P (AB ) = P (A ) P (B )，故P (AD ) ≥ P (A ) P (D )．11．甲、乙、丙三人同时向一架飞机射击，他们击中目标的概率分别为0.4, 0.5, 0.7．假设飞机只有一人击中时，坠毁的概率为0.2，若2人击中，飞机坠毁的概率为0.6，而飞机被3人击中时一定坠毁．现在如果发现飞机已被击中坠毁，计算它是由三人同时击中的概率．解：结果：设B 表示目标被击毁，原因：设A 0, A 1, A 2, A 3分别表示无人、1人、2人、3人击中目标， 则)|()()|()()|()()|()()|()()()()|(332211003333A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P +++==， 且有P (B | A 0) = 0，P (B | A 1) = 0.2，P (B | A 2) = 0.6，P (B | A 3) = 1，又设C 1, C 2, C 3分别表示甲、乙、丙击中目标， 则09.03.05.06.0)()()()()(3213210=××===C P C P C P C C C P A P ，)()(3213213211C C C C C C C C C P A P U U =)()()()()()()()()(321321321C P P P P C P P P P C P ++== 0.4 × 0.5 × 0.3 + 0.6 × 0.5 × 0.3 + 0.6 × 0.5 × 0.7 = 0.36，)()(3213213212C C C C C C C C C P A P U U =)()()()()()()()()(321321321C P C P P C P P C P P C P C P ++== 0.4 × 0.5 × 0.3 + 0.4 × 0.5 × 0.7 + 0.6 × 0.5 × 0.7 = 0.41，P (A 3) = P (C 1C 2C 3) = P (C 1) P (C 2) P (C 3) = 0.4 × 0.5 × 0.7 = 0.14， 故3057.0458.014.0114.06.041.02.036.0009.0114.0)|(3==×+×+×+××=B A P ． 12．已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有4人治好则认为这种药有效，反之则认为无效．试求：（1）虽然新药有效，且把痊愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率；（2）新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率． 解：将每人服药看作一次试验，痊愈A ，没有痊愈A ；独立；（1）新药有效，痊愈率为0.35，即P (A ) = 0.35，伯努利概型，n = 10，p = 0.35，故概率为P 10 (0) + P 10 (1) + P 10 (2) + P 10 (3) 5138.065.035.065.035.065.035.065.035.0733108221091110100010=××+××+××+××=C C C C ．（2）新药完全无效，痊愈率为0.25，即P (A ) = 0.25，伯努利概型，n = 10，p = 0.25，故所求概率为1 − P 10 (0) − P 10 (1) − P 10 (2) − P 10 (3)2241.075.025.075.025.075.025.075.025.01733108221091110100010=××−××−××−××−=C C C C ．。
上海工程技术大学概率论作业答案
习题一1 •设 A, B,C 是三个事件，且 P (A) = P(B) = P (C)=」,P (AB) = P(BC) = O ,4P(AC) =!，求A,B,C 中至少有一个发生的概率.8解：；P(AB)=OP(AB)C 0 /. P(A"") =P(A) +P(B) + P(C) -P(AB)-P(BC) -P(AC) + P(ABC)1 1 1 1 5 + + 一0—0— +0= 4 4 4 882•设事件A,B 及AuB 的概率分别为p,q 及r ，求：P(AB) , P(AB) , P(AB)及P (AB).解：P( AB) = P(A)+P (B)-P (AuB)A)B- A)B-P( A3•设P (A)^1, P (B)=l ，试分别在下列三种情况下求32A UB ；P(AB) J • 8⑶卩二 1-0.8472-0.1458 = 0.0070 或 p== 0.0071p+q-rP(AB))的值:(1) A, B 互不相容;解:(1) P (AB)= P®」 2 (2) P(AB) = P(B) -P(A)1(3) P (AB) = P(B)-P( AB)=—2 4•盒子中装有同型号的电子元件(1) 4个全是正品的概率；其中有4个是次品•从盒子中任取 4个，求: 恰有一个是次品的概率；至少有两个是次品的概率.解:C 4⑵ P =0.8472⑵ p =C 96C^ =0.1458C 100C 1006解:2 P 7⑴P N 。
0181P =^^=0.12 10&房间里有4人，求：这4人的生日不在同一个月的概率； 至少有2人的生日在同一个月的概率.12(1) P =1 -r =0.9994124 解:A 49.已知 P(A)=丄,P(B| A)4=1 , P(A| BH 1，求 P(A LJ B) •3 2 1解：P(AB) = P(A)P(B| A)=—12P (B )=3J 」 P(A| B) 6/. P(AuB) =P(A) + P(B) -P(AB)=丄 +1-丄=!4 6 12 310.掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率.解：设A:其中一颗为1点，B:点数之和为7,贝U6 1 2 1P(B )=666WP(AB)=6V1B -P(A|B"P (B )P(AB) 13 2 或 B ={(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)}，则5.从45件正品5件次品的产品中任取 3件产品，求其中有次品的概率.C 3解：P =1-二5 =0.2760C 53O6.从一副扑克牌(52张)中任取4张，求4张牌的花色各不相同的概率. 解：P =埠=0.1055C527 .某城市的电话号码由8个数字组成，第一位为5或6 .求随机抽取的一个电话号码为不重复的八位数的概率； 随机抽取的一个电话号码末位数是 8的概率.11.某个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，试问另一个也是女孩的概率是多少 解：其中一个是女孩的样本空间为：｛（男，女），（女，男），（女，女）｝3则所求概率为： P （A 3A 1A 2HP （A ）卩（民1人）卩（£ I = 10 9 9015.两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为 0.03，第二台出现废品的概率为0.02.加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍， 求任意取出的一件产品是合格品的概率.解：设事件A :取得的产品是合格品，事件B i :取得的产品由第i 台车床加工，i =1,2则所求概率为： P(A) = P(B 1)P(A| B,) + P(B 2)P(A|B 2)= 2 097 + 1 098 = 0.97333 3故所求概率为12. 一盒子中装有 只不放回，求：两次都取得正品的概率；第一次取得正品，第二次取得次品的概率; 一次取得正品，另一次取得次品的概率； 第二次取得正品的概率. ,4、 5 4 10 7 6 21 5 2 5（2） P = — 一=—— 7 6 21,3）5 2 2 5 767 6 /、5 4 2 5（4） P =——一+——一_ 7只晶体管，其中5只是正品，2只是次品，从中抽取两次，每次任取一 （1） ⑵ ⑶ 解:_10 "21513.袋中有红球和白球共次才取到红球的概率. 100个，其中白球有10个.每次从袋中任取一球不放回，求第三解：设A j 表示事件"第i 次取到白球”，i =1,2,314.某人忘记了电话号码的最后一个数字， 所需电话的概率•若已知最后一个数字是奇数,1丄9 1丄9或 P = + ” +10 10 9 10 3解：(1) P = 10 3(2) p=-因而他随意地拨号，求他拔号不超过三次而拨对 那么此概率是多少？8 1 = 3 9 8 10100 99 98 "O.0083’佥三鲁0.81638 812个乒乓球，其中有 9个是新的.第一次比赛时从中任取 第二次比赛时再从盒中任取 3个，求第二次取出的球都是新球的概率.第二次取出的球全是新球事件B :第一次取出的球当中有i 个新球，i =0,1,2,33则所求概率为：P(A)=2： P(B i )P(A|B i )i z0=C 9C 3+坐 c ； 空 + CC0 01458C 132 C 132 G ； C 132 C 132 C 132•19.设事件A 与B 相互独立，且P(A) = p,P(B) = q .求下列事件的概率: (1) P(A ・B) ；(2) P(A ・B) ;(3) P(A ・B).解: (1) P(AU B ) =P(A)+P(B)-P(AB) =P(A) + P(B)-P(A)P(B) = p + q-pq (2) P(A UB) =P(A) + P(B) -P(A)P(B) = p +(1-q) - p(1-q) =1 -q + pq (3) Pg B) =P(AB) =1 -P(AB) =1 -P(A)P(B) =1 - pq16.设有甲、乙两个口袋，甲袋中装有n 只白球，m 只红球，乙袋中装有 N 只白球，M 只红球.现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任意取一球，问： (1) 取到白球的概率是多少 ？(2) 若已知取到白球，则原先是从甲袋中取得白球放入乙袋的概率是多少？解：设事件 A :从乙袋取到白球，事件 (1)所求概率为：(2)所求概率为:B :从甲袋取到白球P(A) = P(B)P(A | B) + P(B)P(A| B)n N +1mN= --------- F --------------- + -------- T ---------------m+n M+N+1 m + n M+N+1P(B|A)=迴P(A) nnN + n + mN "(m + n)(M+N+1)-m + n N +1M+N+1nN + nnN + n + mN17.设8支枪中有3支未经试射校正， 的概率为0.8,而用未校正过的枪射击时， 行射击，结果中靶，求所用的枪是己校正过的概率. 解：设事件 A :射击中靶，事件 B :所用的枪是已校正过的5只已经试射校正.一射手用校正的枪射击时，中靶 中靶的概率为0.3 .现假定从8支枪中任取一支进 则 所 求 概 率 为P(卄亍^B)P( B) _ P( _A| P(—A| "B )B) P( B)18.盒子中放有赛后仍放回盒中,解：设事件A :3个来使用，比nN + n +20.甲、乙两人独立地向同一目标射击，甲击中目标的概率是0.9,乙击中目标的概率是0.8.甲、乙两人各射击一次，求此目标被击中的概率.解：设事件A:甲击中目标，事件B:乙击中目标则所求概率为：P(AUB) =P(A)+P(B) -P(A)P(B) =0.9 + 0.8-0.9 0.8 = 0.9821•设每一门高射炮(发射一发)击中飞机的概率为0.6，现若干门炮同时发射(每炮射一发),若欲以99%的把握击中来犯的一架飞机，问至少需配备几门高射炮？解：事件A :第i门炮击中飞机，1 <i < n，则n nP(U A)=1 -P( JA) =1 -P(p瓦)=1-[P(瓦)]n =1-0.4n >0.99 ”n Alog0.4 0.01 =5.026 所以至少配备6门高射炮。
《概率论与数理统计》第一章课后习题解答共16页word资料
吴赣昌编 《概率论与数理统计》（理工类）三版课后习题解答习题1－31、袋中5个白球，3个黑球，一次任取两个。
（1）求取到的两个求颜色不同的概率；（2）求取到的两个求中有黑球的概率。
解：略2、10把钥匙有3把能打开门，今取两把，求能打开门的概率。
解:设A=“能打开”，则210S n C =法一，取出的两把钥匙，可能只有一把能打开，可能两把都能打开，则112373A n C C C =+ 所以()A Sn P A n = 法二，A ={都打不开}，即取得两把钥匙是从另7把中取得的，则27A n C =，所以27210()1()1C P A P A C =-=- 3、两封信投入四个信筒，求（1）前两个信筒没有信的概率，（2）第一个信筒内只有一封信的概率。
解：24S n =（两封信投入四个信筒的总的方法，重复排列）（1）设A=“前两个信筒没有信”，即两封信在余下的两个信筒中重复排列，22A n =；（2）设B=“第一个信筒内只有一封信”，则应从两封信中选一封放在第一个信筒中，再把余下的一封信放入余下的三个信筒中的任一个，1123B n C =带入公式既得两个概率。
4、一副扑克牌52张，不放回抽样，每次取一张，连续抽4张，求花色各异的概率.解：略5、袋中有红、黄、黑色求各一个，有放回取3次，求下列事件的概率。
A=“三次都是红球”；B=“三次未抽到黑球”，C=“颜色全不相同”，Ｄ＝“颜色不全相同” 解：略6、从0,1,2,,9L 等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：1A =‘三个数字中不含0和5’，2A =‘三个数字中不含0或5’，3A =‘三个数字中含0但不含5’.解 3813107()15C P A C ==. 333998233310101014()15C C C P A C C C =+-=， 或 182231014()1()115C P A P A C =-=-=， 2833107()30C P A C ==. 7、从一副52张的扑克牌中任取3张，不重复，计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。
上海工程技术大学概率论第一章答案
习题一2．设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7，P (A -B )=0.3，求P （AB ）。
解： P （AB ）=1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )]=1-[0.7-0.3]=0.6。
3. 设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率。
解：因为 ABC AB ⊂,所以0()()P ABC P AB ≤≤，又 P （AB ）=0，则()0P ABC =， P （A ∪B ∪C ）=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC )=14+14+13-112=34。
4．将3个不同的球随机地放入4个杯子中去，求所有杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率。
解：设i A ={杯中球的最大个数为i }，i =1，2，3。
将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故3413C 3!3()84P A == 而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()164P A ==，因此 213319()1()()181616P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()164P A ==.6．从1，2，3，4，5，6，7，8，9，0这10个数字中任取五个数按先后顺序组成多位数，求下列事件的概率：(1) 这五个数字组成一个五位偶数；(2) 2和3都被抽到且靠在一起. 解（1）5105987648764190P A ⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯==． （2）145102!876445C P A ⨯⨯⨯⨯==．7．对一个五人学习小组考虑生日问题：（1） 求五个人的生日都在星期日的概率；（2） 求五个人的生日都不在星期日的概率；（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.解：基本事件总数为57，（1）设A 1={五个人的生日都在星期日}，所求事件包含基本事件的个数为1个，故 P （A 1）=517=51()7;（2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，所求事件包含样本点的个数为65，故P （A 2）=5567=56()7; （3）设A 3={五个人的生日不都在星期日}，利用对立事件的性质，可得P （A 3）=1-P (A 1)=1-51()7.8．某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1，求：（1）在下雨条件下下雪的概率；（2）这天下雨或下雪的概率。
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习题一
2．设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7，P (A -B )=0.3，求P （
AB
解： P （AB ）
=1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )]
=1-[0.7-0.3]=0.6。
3. 设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率。
解：因为 A B C A B
⊂,所以0()()P ABC P AB ≤≤，又 P （AB ）=0，则()0P ABC =， P （A ∪B ∪C ）
=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC ) =14+14+13-112=34。
4．将3个不同的球随机地放入4个杯子中去，求所有杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率。
解：设i A ={杯中球的最大个数为i }，i =1，2，3。
将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故
34
13C 3!3()84
P A == 而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()164
P A ==，因此 213319()1()()181616
P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()164P A ==.
6．从1，2，3，4，5，6，7，8，9，0这10个数字中任取五个数按先后顺序组成多位数，求下列事件的概率：(1) 这五个数字组成一个五位偶数；(2) 2和3都被抽到且靠在一起. 解（1）5105987648764190
P A ⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯==． （2）145102!876445
C P A ⨯⨯⨯⨯==．
7．对一个五人学习小组考虑生日问题：
（1） 求五个人的生日都在星期日的概率；（2） 求五个人的生日都不在星期日的概率；
（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.
解：基本事件总数为57，
（1）设A 1={五个人的生日都在星期日}，所求事件包含基本事件的个数为1个，故 P （A 1）=517=51()7
;
（2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，所求事件包含样本点的个数为65，故
P （A 2）=5567=56()7
; （3）设A 3={五个人的生日不都在星期日}，利用对立事件的性质，可得
P （A 3）=1-P (A 1)=1-51()7
.
8．某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1，求：
（1）在下雨条件下下雪的概率；（2）这天下雨或下雪的概率。
解： 设A ={下雨}，B ={下雪}。
（1） ()0.1()0.2()0.5
P AB p B A P A ===， （2） ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=。
9．设A ，B 为随机事件，且P （B ）>0，P (A |B )=1，试比较P (A ∪B )与P (A )的大小。
解：由加法公式，()()()()P A B P A P B P AB =+-，再根据乘法定理，有
()()()()P AB P B P A B P B =⋅=
所以 ()()()()()P A
B P A P B P B P A =+-=。
10．袋中有红球和白球共30个，其中白球有10个。
每次从袋中任取一球不放回，求第三次才取到白球的概率。
解 2019100.16302928
P ⨯⨯=≈⨯⨯．
11．一盒子中装有10个零件，其中8只是正品，2只是次品，从中抽取两次，每次任取一只不放回，求：
(1) 两次都取得正品的概率； (2) 第一次取得次品，第二次取得正品的概率；
(3) 一次取得次品，另一次取得正品的概率； (4) 第二次取得正品的概率．
解 （1）2811210872828==1094545
C P P C =⨯=或． （2）2828=10945
P =⨯． （3）11823321082281616+==1091094545C C P P C =⨯⨯=或82280.36109
P ⨯+⨯=≈⨯． （4）38728+=0.8109109P =⨯⨯．。