上海初三数学提高题
上海市2020届初三数学一模提升题汇编第18题(填空小压轴)
18. 如图，点A 在直线x y 43=上，如果把抛物线2x y =沿方向平移5个单位，那么平移后的抛物线的表达式为 ▲ ．参考答案： 3)4(2+-=x y .【2020崇明一模】18．如图，在Rt ABC △中，90C =︒∠，10AB =，8AC =，点D 是AC 的中点，点E在边AB 上，将ADE △沿DE 翻折，使得点A 落在点A '处，当A E AB '⊥时，那么A A '的长为 ▲ ．参考答案：【2020奉贤一模】18．如图4，已知矩形ABCD （AB>AD ），将矩形ABCD 绕点B 顺时针旋转90°，点A 、D 分别落在点E 、F 处，联结DF ，如果点G 是DF 的中点， 那么∠BEG 的正切值是 ▲ ．参考答案：1图4D C BA18．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，sin C =45，AB=9，AD =6，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，联结EF ，将△BEF 沿着EF 翻折，使BF 的对应线段B’F 经过顶点A ，B’F 交对角线BD 于点P ，当B’F ⊥AB 时，AP 的长为 ▲ ．参考答案：247【2020黄浦一模】18．如图8，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 在边BC 上，∠DAE =∠B =30°，且32AD AE=，那么DE BC的值是 ▲ ．118C图7A BD图818.在△ABC 中，︒=∠90ACB ，10=AB ，53cos =A （如图4），把△ABC 绕着点C 按照顺时针的方向旋转，将A 、B 的对应点分别记为点A '、B '.如果B A ''恰好经过点A ，那么点A 与点'A 的距离为 ▲ .参考答案：536.【2020静安一模】18. 如图3，有一菱形纸片ABCD ，∠A ＝60°，将该菱形纸片折叠，使点A 恰好与CD的中点E 重合，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，联结EF ，那么cos ∠EFB 的值为 ▲ ．参考答案：71图3ABCD18．如图，在等腰△ABC 中，AB = AC = 4，BC = 6，点D 在底边BC 上，且∠DAC =∠ACD ，将△ACD 沿着AD 所在直线翻折，使得点C 落到点E 处，联结BE ，那么BE 的长为 ▲ ． 参考答案：1【2020浦东一模】18．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =2，BC =4，点D 、E 分别是边BC 、AB 的中点，将△BDE 绕着点B 旋转，点D 、E 旋转后的对应点分别为点D ’、E ’，当直线D ’E ’ 经过点A 时，线段CD ’的长为 ▲ ．参考答案：【2020普陀一模】18．如图8，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，5AC =,，点P 为边BC 上一点，3PC =，将△ABC 绕点P 旋转得到△A B C '''（点A 、B 、C 分别与点A '、B '、C '对应），使B C ''//AB ，边A C ''与边AB 交于点G ，那么A G '的长等于▲ ．参考答案：2013ACDB 图8ABC18．已知，在矩形纸片ABCD 中，AB =5cm ，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，折叠矩形纸片ABCD ，折痕BM 交AD 边于点M ，在折叠的过程中，如果点A 恰好落在线段EF 上，那么边AD 的长至少是 ▲ cm ．【2020松江一模】18．如图，矩形ABCD 中，AD =1,AB =k .将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转90°得到矩形A ′BC ′D ′.联结A D ′,分别交边CD ,A ′B 于E 、F .如果'AE F =,那么k = ▲ .1【2020徐汇一模】18．如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，4=AD ，将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转后得到矩形D C B A '''，点A 的对应点A '在对角线AC 上，点C 、D 分别与点C '、D '对应，D A ''与边BC 交于点E ，那么BE 的长是__▲___．参考答案：825(第18题F ED C B AC′A′ D′【2020长宁金山一模】18. 如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ABC ，2=AB ，4=BC ，点P 在边BC 上，联结AP ，将ABP ∆绕着点A 旋转，使得点P 与边AC 的中点M 重合， 点B 的对应点是点B '，则B B '的长等于 ▲ ．第18题图ABC。
沪教版(上海)九年级数学上学期期中拓展提高卷
沪教版（上海）九年级上学期期中拓展提高卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 如图所示，中，∥，若，则下列结论中不正确的是（）A．B．C．D．2 . 如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A．B．C．D．3 . 如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，已知AB＝5，BC＝10，DE＝4，则EF的长为（）A．12B．9C．8D．44 . 如果＝，那么下列各式中错误的是（）A．2a＝3b B．3a＝2bC．＝D．b＝a5 . 如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，则下列结论成立的是（）A．△PAB∽△PCA B．△ABC∽△DBA C．△PAB∽△PDA D．△ABC∽△DCA6 . 如图，在正方形网格中，△ABC和△DEF相似，则关于位似中心与相似比叙述正确的是（）A．位似中心是点B，相似比是2：1B．位似中心是点D，相似比是2：1C．位似中心在点G，H之间，相似比为2：1D．位似中心在点G，H之间，相似比为1：2二、填空题7 . 在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，M是对角线BD上的动点，过点M作ME⊥BC于点E，连接AM，当△ADM是等腰三角形时，ME的长为_____.8 . 如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，将△ABC翻折，使得点A落到边BC上的点A′处，折痕分别交边AB、AC 于点E，点F，如果A′F∥AB，那么BE＝_____．9 . 已知点P、Q为线段AB的黄金分割点，且AB=2，则PQ=_____．（结果保留根号）10 . 观察下列图形，若第1个图形中阴影部分的面积为1，第2个图形中阴影部分的面积为，第3个图形中阴影部分的面积为，第4个图形中阴影部分的面积为，…则第n个图形中阴影部分的面积为_____.（用字母n表示）11 . 已知，则________.12 . 如图，已知等边的边长为4，，且.连结，并延长交于点，则线段的长度为__________.13 . 为了测量一条河的宽度，测量人员在对岸岸边P处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点A 和B使得B、A、P在一条直线上，且与河岸垂直，然后确定点C、D，使BC⊥BP，AD⊥BP，由观测可以确定CP与AD交于点D，如图所示，他们测得AB＝45米，BC＝90米，AD＝60米，请你帮他们来计算河的宽度PA是___米．14 . 如图，△ABC中，AD：DC＝1：4，AE＝EF，则BF：FC＝_____．15 . 如图，⊙O的半径OC⊥AB，垂足为E，若∠B＝48°，则∠A的度数为_____．16 . 如图，已知Rt△ABC的直角边AC=8，斜边AB=10，一个以点P为圆心，半径为1的圆在△ABC内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中⊙P一直保持与△ABC的边相切，当点P第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是______．17 . 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，AH∥CD分别交EF、BC于点G、H，若＝，＝，则用、表示＝_____．18 . 如果，相似比，若它们的面积比为________．三、解答题19 . 在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC的顶点A在轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P，点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B1是点B关于PQ的对称点．（1）若四边形OABC为矩形，如图1，①求点B的坐标；②若BQ：BP=1：2，且点B1落在OA上，求点B1的坐标；（2）若四边形OABC为平行四边形，如图2，且OC⊥AC，过点B1作B1F∥轴，与对角线AC、边OC分别交于点E、点A．若B1E： B1F=1：3，点B1的横坐标为，求点B1的纵坐标，并直接写出的取值范围．20 . 如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（k≠0，x＞0）的图象经过点A（3，4），直线AC与x轴交于点C（6，0），过点C作x轴的垂线BC交函数y＝（k≠0，x＞0）的图象于点A．（1）求k的值及点B的坐标（2）在平面内存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，直接写出符合条件的所有点D的坐标．21 . 已知矩形，为边上一点，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿着边向终点运动，连接，设点运动的时间为秒，则当的值为__________时，是以为腰的等腰三角形．22 . 如图，点C是等边△ABD的边AD上的一点，且∠ACB＝75°，⊙O是△ABC的外接圆，连结AO并延长交BD于E、交⊙O于A．（1）求证：∠BAF＝∠CBD；（2）过点C作CG∥AE交BD于点G，求证：CG是⊙O的切线；（3）在（2）的条件下，当AF＝2时，求的值．23 . 如图，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度．可以利用平面直角坐标系的知识回答以下问题：(1)请在所给的网格内画出以线段AB、BC为边的平行四边形ABCD；(2)填空：平行四边形ABCD的面积等于____．24 . 已知．（1）求的值；（2）若，求、、．25 . 如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F. （1）求证：DF=CF.（2）若∠AOB=60º，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论。
初三数学提高试题及答案
初三数学提高试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若a、b、c是三角形的三边，且a²+b²=c²，则三角形的形状是（）。
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不等边三角形答案：B2. 下列哪个选项是二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像与x轴有两个交点的充分不必要条件？（）A. b²-4ac＞0B. b²-4ac=0C. b²-4ac＜0D. b²-4ac≥0答案：A3. 已知方程x²-2x+1=0的根是（）。
A. 1B. -1C. 1或-1D. 无实数根答案：A4. 已知函数y=kx+b（k≠0），若点（2，1）在函数的图像上，则下列哪个选项一定正确？（）A. k+b=1B. 2k+b=1C. k-b=2D. 2k-b=1答案：B5. 已知a、b、c是三角形的三边，下列哪个选项是三角形的周长为6的充分不必要条件？（）A. a+b+c=6B. a+b＞cC. a+c＞bD. b+c＞a答案：A6. 已知函数y=-2x+3与y=6-x的图像相交于点（m，n），则m+n的值为（）。
A. 3B. 5C. 7D. 9答案：B7. 已知a、b、c是三角形的三边，下列哪个选项是三角形的周长为6的充分不必要条件？（）A. a+b+c=6B. a+b＞cC. a+c＞bD. b+c＞a答案：A8. 已知方程x²-2x+1=0的根是（）。
A. 1B. -1C. 1或-1D. 无实数根答案：A9. 已知函数y=kx+b（k≠0），若点（2，1）在函数的图像上，则下列哪个选项一定正确？（）A. k+b=1B. 2k+b=1C. k-b=2D. 2k-b=1答案：B10. 已知a、b、c是三角形的三边，下列哪个选项是三角形的周长为6的充分不必要条件？（）A. a+b+c=6B. a+b＞cC. a+c＞bD. b+c＞a答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知a、b、c是三角形的三边，且a²+b²=c²，则三角形的形状是直角三角形。
上海市2020届初三数学一模提升题汇编第25题(压轴题)
已知：点 在 内，且满足 （如图10）， .
（1）求证： ∽ ；
（2）如果 ， ，求 的值；
（3）如果 ，且 是等腰三角形，
试求 的值.
（嘉定）25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）
证明：（1）∵ ， ，1分
25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=BD=10，CD=4，AD=6．点P是线段BD上的动点，点E、Q分别是线段DA、BD上的点，且DE=DQ=BP，联结EP、EQ．
（1）求证：EQ∥DC；
（2）当BP>BQ时，如果△EPQ是以EQ为腰的等腰三角形，求线段BP的长；
（1）求证：∠DAB=∠DCF；
（2）当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长.
（闵行）
25．（1）证明：∵点G是Rt△ABC的重心，
∴CF是Rt△ABC的中线．…………………………………………（1分）
又∵在Rt△ABC，AC=BC，∠ACB=90°，
（2）如图（2），联结OC，当m=2,且CD平分∠FCO时，求∠COF的正弦值；
（3）如图（3），当△AFD与△CDF相似时，求m的值.
25．解：（1）过点D作DP⊥CF于点P，交AE于点Q
则∠PDC=∠DAQ=∠MON……（1分）
∵在Rt△CDP中
DC=2,tan∠PDC=2
可得 ,……（1分）
在Rt△ADQ中
在 中， .（1分）
（2）过P作 ，垂足为点H.
上海市2019届初三数学一模提升题汇编第24题(二次函数综合)(含2019上海中考试题答案)
上海市2019届一模提升题汇编第24题（二次函数综合）含2019上海中考试题中考【2019届一模徐汇】24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，顶点为M 的抛物线C 1:2(0)y ax bx a =+<经过点A 和x 轴上的点B ，AO =OB =2，120AOB ∠=．（1）求该抛物线的表达式； （2）联结AM ，求AOMS；（3）将抛物线C 1向上平移得到抛物线C 2，抛物线C 2与x 轴分别交于点E 、F （点E 在点F 的左侧），如果△MBF 与△AOM 相似，求所有符合条件的抛物线C 2的表达式．【24．解：（1）过A 作AH ⊥x 轴，垂足为H ，∵OB=2，∴B （2,0）………………………………（1分） ∵120AOB ∠=︒∴60,30AOH HAO ∠=︒∠=︒．∵OA=2，∴112OH OA ==．∵222Rt AHO OH AH OA +=在中，，∴22213AH =-=．∴(1,3)A --……………………………………（1分）（第24题图）∵抛物线21:C y ax bx A B=+经过点、，∴可得：42033a a b a b b ⎧=-⎪+=⎧⎪⎪⎨⎨-=⎪⎩⎪=⎪⎩………………………………………………（1分）∴这条抛物线的表达式为233y x x =-+…………………………………………（1分）（2）过M 作MG ⊥x 轴，垂足为G，∵2y x x =+∴顶点M是⎛ ⎝⎭，得3MG = ……………………………………………………（1分）∵(1,A -，M⎛ ⎝⎭． ∴得：直线AM为33y x =- …………………………………………………（1分）∴直线AM 与x 轴的交点N 为1,02⎛⎫⎪⎝⎭……………………………………………………（1分）∴1122AOM S ON MG ON AH ∆=⋅+⋅111122322=⨯⨯+⨯=…………………………………………………………………………（1分）（3）∵）33，1（M 、)0,2(B ，∴3MG Rt BGM MBG BG ∆∠=在中，tan =，∴MBG ∠︒=30．∴MBF 150∠=︒．由抛物线的轴对称性得：MO=MB ，∴MBO MOB=150∠=∠︒． ∵OB=120A ∠︒，∴OM=150A ∠︒ ∴OM=MBF A ∠∠．∴BM BFOA OM 或BF BM OA OM 相似时，有：AOM 与MBF 当==∆∆ 即332BF 2332或BF 3322332==，∴32BF 或2BF ==． ∴）0，38）或（0，4（F ………………………………………………（2分）设向上平移后的抛物线k x x y ++-=33233:为C 22，当）0，4（F 时，338=k ，∴抛物线33833233:为C 22++-=x x y …（1分）当）0，38（F 时，27316=k ，抛物线22:3327C y x x =-++……．（1分）】【2019届一模浦东】24. （本题满分12分，其中每小题各4分）已知：如图9，在平面直角坐标系xOy 中，直线12y x b=-+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B. 抛物线（1）求抛物线的表达式; （2）求证: △BOD ∽△AOB;（3）如果点P 在线段AB 上，且∠BCP=∠DBO求点P 的坐标.【24、（1）211482y x x =-++；（2）证明略；（3）1612,55⎛⎫ ⎪⎝⎭】【2019届一模杨浦】24．（本题满分12分，每小题各4分） 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(0)yax bx c a与y 轴交于点C （0,2），它的顶点为D （1,m ），且1tan 3COD.（1）求m 的值及抛物线的表达式；（2）将此抛物线向上平移后与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且OA=OB.若点A 是由原抛物线上的点E 平移所得，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，点P 是抛物线对称轴上的一点（位于x 轴上方），且∠APB=45°.求P 点的坐标.Oxy1 2 3 4 1 23 4 5-1 -2 -3-1 -2 -3 （第24题图）【24．解：（1）作DH ⊥y 轴，垂足为H ，∵D （1,m ）（0m），∴DH= m ，HO=1.∵1tan 3COD，∴13OH DH ，∴m=3. ····················································· （1分）∴抛物线2y ax bx c 的顶点为D （1,3）. 又∵抛物线2yax bxc 与y 轴交于点C （0,2）， ∴3,1,22.ab c ba c （2分）∴1,2,2.a b c∴抛物线的表达式为222y x x.······ （1分）（2）∵将此抛物线向上平移， ∴设平移后的抛物线表达式为222(0)y x x k k，. ···························· （1分）则它与y 轴交点B （0,2+k ）.∵平移后的抛物线与x 轴正半轴交于点A ，且OA=OB ，∴A 点的坐标为（2+k,0）. .（1分） ∴20(2)2(2)2k k k .∴122,1k k .∵0k，∴1k.∴A （3,0），抛物线222y x x向上平移了1个单位. . ······························ （1分）∵点A 由点E 向上平移了1个单位所得，∴E （3,-1）. . ··································· （1分） （3）由（2）得A （3,0），B （0, 3），∴32AB.∵点P 是抛物线对称轴上的一点（位于x 轴上方），且∠APB=45°,原顶点D （1,3）, ∴设P （1,y ），设对称轴与AB 的交点为M ，与x 轴的交点为H ，则H （1,0）. ∵A （3,0），B （0, 3），∴∠OAB=45°, ∴∠AMH=45°. ∴M （1,2）. ∴2BM.∵∠BMP=∠AMH, ∴∠BMP=45°. ∵∠APB=45°, ∴∠BMP=∠APB.∵∠B=∠B ，∴△BMP ∽△BPA. ·································································· （2分）B APy OM H∴BP BABMBP .∴23226BPBA BM∴221(3)6BPy .∴123535y y ，（舍）.. ···························· （1分）∴(1,35)P . . ····················································································· （1分）】【2019届一模普陀】 24．（本题满分12分） 如图10，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-(0)a ≠与x 轴交于点A ()1,0-和点B ，且3OB OA =，与y 轴交于点C ，此抛物线顶点为点D ．（1）求抛物线的表达式及点D 的坐标；（2）如果点E 是y 轴上的一点（点E 与点C 不重合），当BE DE ⊥时，求点E 的坐标； （3）如果点F 是抛物线上的一点，且，求点F 的坐标．135FBD ∠=xOy图10【24．解：（1）∵抛物线与x 轴交于点A ()1,0-和点，且3OB OA =，∴点的坐标是()3,0． ··········································································· （1分）解法一：由抛物线23y ax bx =+-经过点()1,0-和()3,0． 得03,093 3.a b a b =--⎧⎨=+-⎩ 解得1,2.a b =⎧⎨=-⎩ ······························································ （1分）∴抛物线的表达式是223y x x =--． ······················································ （1分）点D 的坐标是()1,4-． ············································································· （1分）解法二：由抛物线23y ax bx =+-经过点()1,0-和()3,0． 可设抛物线的表达式为(1)(3)y a x x =+-， 由抛物线与y 轴的交点C 的坐标是()0,3-，得3(01)(03)a -=+-，解得1a =． ······························································ （1分）∴抛物线的表达式是223y x x =--． ························································ （1分）点D 的坐标是()1,4-． ············································································· （1分）（2）过点D 作DH OC ⊥，H 为垂足． ∴90DHO ∠=．∴90DEH EDH ∠+∠=． ∵BE DE ⊥，∴90DEH BEO ∠+∠=． ∴BEO EDH ∠=∠．又∵BOE EHD ∠=∠，∴△BOE ∽△EHD ． ········································· （1分）∴BO OEEH HD =．∵点D 的坐标是()1,4-，∴1DH =，4OH =．B B∵点的坐标是()3,0，∴3OB =．∴341OEOE =-． ·············································································· （1分）∴1OE =或3OE =． ················································································ （1分） ∵点E 与点C 不重合，∴1OE =． ∴点E 的坐标是()0,1-． ··········································································· （1分）（3）过点F 作FG x ⊥轴，G 为垂足．作45DBM ∠=，由第（2）题可得，点M 与点E 重合． ∵1OE =，1DH =，∴OE DH =． 可得△BOE ≌△EHD ． ∴BE ED =． ∵90BED ∠=，∴45DBE ∠=． ∵135FBD ∠=，∴90FBE ∠=． ················································································ （1分） ∴OBE GFB ∠=∠．∴在Rt △BOE 中，90BOE ∠=，∴cot 3OBE ∠=∴cot 3GFB ∠=． ·········· （1分） ∴3FG BG =．设点F 点的坐标为()2,23m mm --．∴223FG m m =--,3BG m =-．∴2233(3)m m m --=-． ··································································· （1分）解得3m =，4m =-． ∵3m =不合题意舍去，∴4m =-． 点F 的坐标是()4,21-． ·········································································· （1分）】【2019届一模奉贤】24．（本题满分12分，每小题满分6分）B如图10，在平面直角坐标系中，直线AB 与抛物线2yax bx 交于点A(6，0)和点B(1，－5)．（1）求这条抛物线的表达式和直线AB 的表达式；（2）如果点C 在直线AB 上，且∠BOC 的正切值是32，求点C 的坐标．【24．解：（1）由题意得，抛物线2yax bx 经过点A(6，0)和点B(1，－5)，代入得3660,5.a b a b 解得1,6.ab∴抛物线的表达式是26y x x =-. ······ （4分）由题意得，设直线AB 的表达式为ykxb ，它经过点A(6，0)和点B(1，－5)，代入得60,5.k bk b解得1,6.k b∴直线AB 的表达式是6y x =-. ········ （2分）（2）过点O 作OH AB ，垂足为点H ．设直线AB 与y 轴交点为点D ，则点D 坐标为()0,6-.∴45ODA OAD，cos45DH OH OD ==•︒= ∵2BD，∴22BH.在Rt △OBH 中，90OHB ，3tan 2OHOBHBH． ······························· （2分）∵∠BOC 的正切值是32，∴BOCCBO . ··············································· （1分） ①当点C 在点B 上方时，BOCCBO .∴COCB ． 设点C(,6)x x -，2222(6)(1)(65)x x xxOy图10ABxyo解得174x，1776644x .--------------------------------------------------------------------（2分）所以点D坐标为177,44⎛⎫-⎪⎝⎭. ②当点C 在点B 下方，BOC CBO 时，OC//AB. 点C 不在直线AB 上. ········ （1分）综上所述，如果∠BOC 的正切值是32，点C 的坐标是177,44⎛⎫-⎪⎝⎭．】【2019届一模松江】24.（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）如图，抛物线cbx x y ++-=221经过点A （﹣2，0），点B （0，4）.（1）求这条抛物线的表达式；（2）P 是抛物线对称轴上的点，联结AB 、PB ，如果∠PBO=∠BAO ，求点P 的坐标； （3）将抛物线沿y 轴向下平移m 个单位，所得新抛物线与y 轴交于点D ，过点D 作DE∥x 轴交新抛物线于点E ，射线EO 交新抛物线于点F ，如果EO=2OF ，求m 的值.【24．解：（1）∵抛物线经过点A （﹣2，0），点B （0，4）∴⎩⎨⎧==+--4022c c b …………（1分）， 解得14b c =⎧⎨=⎩………………………（1分） ∴抛物线解析式为2142y x x =-++ …………………………………………（1分）(第24题图)y xOBA（2）()2912142122+--=++-=xxxy…………………………………（1分）∴对称轴为直线x=1，过点P作PG ⊥y轴，垂足为G ∵∠PBO=∠BAO，∴tan∠PBO=tan∠BAO，∴PG BOBG AO=……………………………………………（1分）∴121BG=，∴12BG=…………………………………（1分）∴72OG=，∴P（1，27）………………………………（1分）（3）设新抛物线的表达式为2142y x x m=-++-…（1分）则()0,4D m-,()2,4E m-，DE=2……………………（1分）过点F作FH⊥y轴，垂足为H，∵DE∥FH，EO=2OF∴2=1DE EO DOFH OF OH==，∴FH=1……………………………………………（1分）点D在y轴的正半轴上，则51,2F m⎛⎫--⎪⎝⎭，∴52OH m=-∴42512DO mOH m-==-，∴m=3……………………………………………………（1分）点D在y轴的负半轴上，则91,2F m⎛⎫-⎪⎝⎭，∴92OH m=-∴42912DO mOH m-==-，∴m=5……………………………………………………（1分）∴综上所述m的值为3或5.】(第24题图)yx OBAEDF H【2019届一模嘉定】24．（本题满分12分，每小题4分）在平面直角坐标系xOy （如图7）中，抛物线22++=bx ax y 经过点)0,4(A 、)2,2(B ，与y 轴的交点为C ．（1）试求这个抛物线的表达式；（2）如果这个抛物线的顶点为M ，求△AMC 的面积； （3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 在线段AB 上，且︒=∠45DOE ，求点E 的坐标．【24. 解：（1）∵抛物线22++=bx ax y 点经过)0,4(A 、)2,2(B ∴⎩⎨⎧=++=++222402416b a b a ……………………1分 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2141b a …………2分 ∴抛物线的表达式是221412++-=x x y …………1分 （2）由（1）得：抛物线221412++-=x x y 的顶点M 的坐标为)49,1(……1分图7O 11-1 -1∴点C 的坐标为)0,2(， ……………………1分 过点M 作y MH ⊥轴，垂足为点H ∴AOCMHC AOHM AMC S S S S ∆∆∆--= …………1分∴42211412149)41(21⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯=∆AMC S∴23=∆AMC S …………1分（3）联结OB过点B 作x BG ⊥轴，垂足为点G∵点B 的坐标为)2,2(，点A 的坐标为)0,4(∴2=BG ，2=GA ∴△BGA 是等腰直角三角形∴︒=∠45BAO 同理：︒=∠45BOA∵点C 的坐标为)0,2(∴2=BC ，2=OC 由题意得，△OCB 是等腰直角三角形 ∴︒=∠45DBO ,22=BO ∴DBO BAO ∠=∠∵︒=∠45DOE ∴︒=∠+∠45BOE DOB ∵︒=∠+∠45EOA BOE ∴DOB EOA ∠=∠ ∴△AOE ∽△BOD∴BO AOBD AE =…………1分 ∵抛物线221412++-=x x y 的对称轴是直线1=x ，∴点D 的坐标为)2,1(∴1=BD …………1分∴2241=AE ∴2=AE …………1分过点E 作x EF ⊥轴，垂足为点F 易得，△AFE 是等腰直角三角形 ∴1==AF EF∴点E 的坐标为)1,3( …………1分】 【2019届一模青浦】24．（本题满分12分， 其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线2y x =-平移后经过点A （-1，0）、B （4，0），且平移后的抛物线与y 轴交于点C （如图）． （1）求平移后的抛物线的表达式；（2）如果点D 在线段CB 上，且CAD 的正弦值；（3）点E 在y 轴上且位于点C 的上方，点P 在直线BC 上，点Q 在平移后的抛物线上，如果四边形ECPQ 是菱形，求点Q 的坐标．【24．解：（1）设平移后的抛物线的解析式为2+=-+y x bx c ． ······················· （1分）将A （-1，0）、B （4，0），代入得（第24题图）（备用图）101640.，--+=⎧⎨-++=⎩b c b c ··············································································· （1分） 解得：34.，=⎧⎨=⎩b c所以，2+34=-+y x x ． ·········································································· （1分）（2）∵2+34=-+y x x ，∴点C 的坐标为（0，4） ····································· （1分）．设直线BC 的解析式为y= kx+4，将B （4，0），代入得kx+4=0，解得k=-1，∴y= -x+4． ········································································································ 设点D 的坐标为（m ，4- m ）．∵，∴22=2m ，解得=1m 或=1-m （舍去），∴点D 的坐标为（1，3）． ········································································· （1分） 过点D 作DM ⊥AC ，过点B 作BN ⊥AC ，垂足分别为点M 、N ．∵1122⋅=⋅AC BN AB OC54=⨯BN，∴17=BN ． ········ （1分） ∵DM ∥BN ，∴=DM CD BN CB，∴=DM BN，∴17=DM ． ···················· （1分）∴sin =17221∠==DM CAD AD ． ············································· （1分）（3）设点Q 的坐标为（n ，2+34-+n n ）．如果四边形ECPQ 是菱形，则0>n ，PQ ∥y 轴，PQ=PC ，点P 的坐标为（n ，4-+n ）．∵22+3444=-++-=-PQ n n n n n，=PC ， ····································· （2分）∴24-n n，解得=4n 或=0n （舍）． ·········································· （1分） ∴点Q的坐标为（4，2）． ···················································· （1分）】【2019届一模静安】24．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）在平面直角坐标系xOy 中（如图10），已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图像经过点(40)B ，、(53)D ，，设它与x 轴的另一个交点为A （点A 在点B 的左侧），且ABD ∆的面积是3．（1）求该抛物线的表达式； （2）求ADB ∠的正切值；（3）若抛物线与y 轴交于点C ，直线CD 交x 轴于点E ，点P 在射线AD 上，当APE ∆与 ABD ∆相似时，求点P 的坐标．【24．解：（1）过点D 作DH ⊥x 轴，交x 轴于点H ．∵132ABD S AB DH ∆=⋅=，又∵(5,3)D∴2AB =．····························································································· （1分） ∵(4,0)B ，点A 在点B 的左侧，∴(2,0)A ． ····························································································· （1分）把(2,0)A ，(4,0)B ，(5,3)D 分别代入2y ax bx c =++， 得04201643255a b ca b c a b c =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩解得168a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩． ···························································· （1分）∴抛物线解析式是268y x x =-+． ······························································ （1分）（2）过点B 作BG AD ⊥，交AD 于点G ． ··················································· （1分）BD O图10xy﹒ ﹒由(2,0)A ，(5,0)H ，(5,3)D ，得ADH ∆是等腰直角三角形，且45HAD ∠=∵3AH DH ==，∴AD = ································································ （1分） ∴在等腰直角AGB ∆中，由2AB =，得AG BG ==，∴DG AD AG =-=∴在Rt DGB ∆中，1tan 2BG ADB DG ∠==． ·················································· （1分）（3）∵抛物线268y x x =-+与y 轴交于点(0,8)C ，又(5,3)D ，∴直线CD 的解析式为8y x =-+，∴(8,0)E ． ···························································································· （1分） 当点P 在线段AD 上时，APE ∆∽ABD ∆，点,,A P E 分别与点,,A B D 对应，则AP AE AB AD =，即AB AE AP AD ⨯===．………………………………………（1分）··························································································································· 过点P 作PQ ⊥∴2AQ PQ ==，即(4,2)P ． ····································································· （1分） ②当点P 在线段AD 延长线上时，APE ADB ∠=∠， ·················································· ∴EP //DB过点P 作PR x ⊥轴于点R ， ··················································································13AH AD AB AR AP AE ===，∴9AR PR ==， ······················································································ （1分） 即(11,9)P ． ···························································································· （1分） ∴APE ∆与ABD ∆相似时，点P 的坐标为 (4,2)或 (11,9)．】 【2019届一模宝山】24．（本题满分12分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分） 如图9，已知：二次函数的图像交x 轴正半轴于点A ，顶点为P,一次函数2y x bx=+。
初三数学提升试题及答案
初三数学提升试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是方程x^2 - 4x + 4 = 0的解？A. x = 0B. x = 2C. x = -2D. x = 42. 已知a、b、c是等差数列，且a + c = 10，b = 4，那么a和c的值分别是？A. a = 2, c = 8B. a = 3, c = 7C. a = 4, c = 6D. a = 5, c = 53. 一个圆的半径是5厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米？A. 25πC. 75πD. 100π4. 函数y = 2x + 3的图象不经过哪个象限？A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 下列哪个选项是不等式2x - 3 < 5的解集？A. x < 4B. x > 4C. x < 2D. x > 26. 如果一个数的平方根是2，那么这个数是多少？A. 4C. 2D. -27. 一个等腰三角形的底边长为6厘米，高为4厘米，那么这个三角形的周长是多少？A. 16厘米B. 18厘米C. 20厘米D. 22厘米8. 一个二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标是(1, -2)，且经过点(0, 3)，那么a的值是多少？A. 1B. -1C. 2D. -29. 一个正方体的体积是8立方厘米，那么这个正方体的棱长是多少？A. 2厘米B. 4厘米C. 8厘米D. 16厘米10. 一个角的余角是30°，那么这个角的度数是多少？A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°二、填空题（每题4分，共20分）11. 计算：(3x^2 - 2x + 1) - (x^2 - 4x + 3) = ________。
12. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么这个三角形的斜边长是______。
13. 已知一个函数的解析式为y = 3x - 2，当x = 2时，y的值是______。
沪教版(上海)九年级数学上学期期末拓展提高卷
沪教版（上海）九年级上学期期末拓展提高卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角为，则梯子底端到墙角的距离为（）A．米B．米C．米D．米2 . 如图，已知△ABC中，两条中线AE、CF交于点G，设，，则向量关于、的分解式表示正确的为（）A．B．C．D．3 . 已知，在中，，则边的长度为（）A．B．C．D．4 . 如图，在平面直角坐标系中有一个3×3的正方形网格，其左下角格点A的坐标为（1，1），右上角格点B 的坐标为（4，4），若分布在直线两侧的格点数相同，则k的取值可以是（）A．B．2C．D．5 . 将抛物线向右平移一个单位，向上平移2个单位得到抛物线A．B．C．D．6 . 下列说法正确的是（）A．矩形都是相似图形B．各角对应相等的两个五边形相似C．等边三角形都是相似三角形D．各边对应成比例的两个六边形相似二、填空题7 . 如图，已知在平行四边形中，，，．（1）用、表示、；（直接写出答案）（2）求作分别在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）8 . 如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应中线之比是___________．9 . 计算：______.10 . 抛物线的顶点坐标为______.11 . 请将下图中的相似图形的序号写出来：_______________________________12 . 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有____________。
13 . 如图，O是等边△ABC外接圆的圆心，连结OA、OB、OC，以点A为圆心，以⊙O的直径为半径画弧分别交AB、AC的延长线于点D、E．若OA=2，则图中阴影部分图形的面积和为______(结果保留根号和π)．14 . 已知是任一向量，，，用表示，其结果是______．15 . 若两个三角形的相似比为3：4，则这两个三角形的面积比为________．16 . 甲、乙两施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由甲、乙两队合作，一共用10天就完成了全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数与甲队单独完成此项工程所需天数之比是4:5，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天．若设甲队单独完成此项工程需天，则根据题意可列方程为_________________．17 . 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：已知：如图1△ABC，尺规作图：求作∠APC＝∠ABC.甲、乙两位同学的主要作法如下：甲同学的主要作法，如图甲：①作∠CAD＝∠ACB，且点D与点B在AC的异侧；②在射线AD上截取AP＝CB，连结CP.所以∠APC＝∠ABC.乙同学的主要作法，如图乙：①作线段BC的垂直平分线a；②作线段AB的垂直平分线b，与直线a交于点O；③以点O为圆心，OA为半径作⊙O；④在上取一点P（点P不与点A，B，C重合），连结AP，CP.所以∠ACP＝∠ABC.老师说：“两位同学的作法都是正确的.”请你选择一位同学的作法，并说明这位同学作图的依据.我选择的是_________的作法，这样作图的依据是_________.18 . 已知二次函数y=3(x-a)2的图象上，当x>2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是___.三、解答题19 . 某海域有A，B两个岛屿，B岛屿在A岛屿北偏西30°方向上，距A岛120海里，有一艘船从A岛出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B岛屿南偏东75°方向的C处，求出该船与B岛之间的距离CB的长（结果保留根号）．20 . 如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线上的一个动点，且点A在第一象限内．AE⊥y轴于点E，点B坐标为（0，2），直线AB交轴于点C，点D与点C关于y轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD．设线段AE的长为m，△BED的面积为S．（1）当时，求S的值．（2）求S关于的函数解析式．（3）①若S＝时，求的值；②当m＞2时，设，猜想k与m的数量关系并证明．21 . 已知□ABCD，点E是 BC边的中点，请回答下列问题：（1）在图中求作与的和向量：= ；（2）在图中求作与的差向量： = ；（3）如果把图中线段都画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，所有与互为相反向量的向量是；(4) = .22 . 如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（1，0）、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x ＝2，交抛物线于点D，交x轴于点A．（1）请直接写出：抛物线的函数解析式及点B、点D的坐标；（2）抛物线对称轴上的一动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度向上运动，连接OP，BP，设运动时间为t秒（t＞0）．在点P的运动过程中，请求出：当t为何值时，∠OPB＝90°？（3）如图2，点Q在抛物线上运动（点Q不与点A、B重合），当△QBC的面积与△ABC的面积相等时，请求出点Q 的坐标．23 . 计算：（1）；（2）.24 . 如图，△ABC中，AD、AE 分别是边BC上的中线和高，AE＝4，S△ABD＝10，求BC，CD 的长.25 . 如图,已知二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于点P，顶点为C（1，-2）.（1)求此函数的关系式；（2)作点C关于轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D.若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由.参考答案一、单选题1、2、3、4、5、6、二、填空题1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、三、解答题1、2、3、4、5、6、7、。
上海市2020届初三数学一模提升题汇编第24题(二次函数综合)
【2020长宁金山一模】24.（本题满分12分，每小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线n mx x y ++=231经过点)1,6(B 、)0,5(C ，且与y 轴交于点A ．（1）求抛物线的表达式及点A 的坐标；（2）点P 是y 轴右侧抛物线上的一点， 过点P 作OA PQ ⊥，交线段OA 的延长线于点Q ，如果︒=∠45PAB ，求证：PQA Δ∽ACB Δ；（3）若点F 是线段AB （不包含端点）上的一点，且点F 关于AC 的对称点F '恰好在上述抛物线上，求F F '的长．（长宁金山）24．（本题满分12分，每小题4分） 解：（1）∵抛物线n mx x y ++=231过点)1,6(B 、 )0,5(C ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯=++⨯055311663122n m n m ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=538n m （2分） ∴538312+-=x x y （1分） 令0=x 得5=y ，∴点A 的坐标为)5,0( （1分） （2）∵)5,0(A ，)1,6(B ，)0,5(C ∴25=AC ，2=BC ，132=AB∴222BC AC AB += ∴︒=∠90ACB又∵OA PQ ⊥ ∴︒=∠90PQA ∴ACB PQA ∠=∠ （1分） ∵)5,0(A ，)0,5(C ∴OC OA =，∵︒=∠90AOC ∴︒=∠=∠45OCA OAC （1分） ∵︒=∠+∠+∠+∠180CAO BAC PAB QAP ， ︒=∠45PAB第24题图yxCABO∴︒=∠+∠90BAC QAP ∵︒=∠+∠90BAC ABC ∴ABC QAP ∠=∠ （1分） ∴PQA Δ∽ACB Δ （1分） （3）设点B '是点B 关于直线AC 的对称点，则2=='BC C B ，︒=∠='∠90ACB B AC过点B 作x B ⊥'G 轴，垂足为点G ∵︒=∠+'∠90OCA CO B ， ︒=∠45OC A ，∴︒='∠45CO B ∴1=='GC G B ∴），（1-4B ' （1分）∵点F '同时在线段B A '与抛物线上 ，∴设)53831,(F 2+-'x x x 分别过点F '，B '作轴y H F ⊥'，轴y H ⊥''B ，垂足分别为H 、H '，则H B H//F '''∴H A AH H B H F B A F A '='''='' 即6313842xx x -= ∴27=x （1分） 又∵AC F F ⊥'，AC B B ⊥' ∴B //B F F '' ∴B B F F B A F A ''='' ∴ 87427=='''=''H B H F B B F F （1分）∵222==BC BB ∴8722='F F ∴247='F F （1分）【2020杨浦一模】已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = mx 2 - 2mx + 4(m ≠ 0) 与 x 轴交于点 A 、B （点 A 在点 B 的左侧）， 且 AB =6.（1） 求这条抛物线的对称轴及表达式；（2） 在 y 轴上取点 E （0,2），点 F 为第一象限内抛物线上一点，联结 BF 、EF ，如果 S 四边形OEFB= 10 ，求点 F 的坐标；（3） 在第（2）小题的条件下，点 F 在抛物线对称轴右侧，点 P 在 x 轴上且在点 B 左侧，如果直线 PF 与 y 轴的夹角等于∠EBF ，求点 P 的坐标.（杨浦）24．解：（1）抛物线对称轴212mxm... ................................................ （1分）∵AB =6，∴抛物线与x 轴的交点A 为(20)，，B (40)，.. ............................................... （1分） ∴4440m m （或16840m m）.. .............................................................. （1分）∴12m.∴抛物线的表达式为2142y x x . ................................................... （1分）（2）设点F 21(4)2x x x，. ..................................................................................... （1分）∵点E 02-（，），点B 4（，0），∴OE = 2，OB = 4. ∵=+10OEF OBF OEFB S S S ∆∆=四边形， ∴211124(4)10222x x x ⨯⨯+⨯⨯-++=.. .................. （1分）∴12x =或，∴点F 912（，）、24（，）.. .............................................................................. （2分）（3）∵=+10OBE BEF OEFB S S S ∆∆=四边形，又1142422OBE S OB OE ∆=⋅=⨯⨯=，∴6BEF S ∆=.过F 作FH BE ⊥，垂足为点H .∵162BEF S BE FH ∆=⋅=，又222425BE =+=，∴655FH =. ............................. （1分）又22(24)(40)25BF =-+-=，∴855BH =. ∴在Rt BFH ∆中，tan ∠EBF=65358455FH BH ==.................................................................. （1分） 设直线PF 与y 轴的交点为M ，则∠PMO=∠EBF ，过F 作FG x ⊥轴，垂足为点G.∵FG//y 轴，∴∠PMO=∠PFG . ∴tan ∠PFG=tan ∠EBF . .................................................. （1分）∴tan ∠PFG=34PG FG =.又FG =4，∴PG =3.∴点P 的坐标10（-，）. ........................................................................................................ （1分）【2020徐汇一模】 24．（本题满分12分）如图，将抛物线4342+-=x y 平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点C ，新抛物线与x 轴正半轴交于点B ，联结BC ，4tan =B ，设新抛物线与x 轴的另一交点是A ，新抛物线的顶点是D ．（1）求点D 的坐标；（2）设点E 在新抛物线上，联结AC 、DC ，如果CE 平分DCA ∠，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线4342+-=x y 沿x 轴左右平移，点C 的对应点为F ，当DEF ∆和ABC ∆相似时，请直接写出平移后所得抛物线的表达式．（第24题图）AD CB O x y（徐汇）24．解：（1）由题意，设新抛物线的表达式为4342++-=bx x y ． ∵抛物线4342+-=x y 的顶点为C ，∴)4,0(C ，4=OC ； 在BOC Rt ∆中，︒=∠90BOC ， ∴4tan ==OBOCB ，得1=OB ；∴)0,1(B ； 由题意，得0434=++-b ，解得38-=b ； ∴新抛物线的表达式为438342+--=x x y ；∴)316,1(-D ． （2）由题意，可得)0,3(-A ；过点D 作OC DM ⊥，垂足为M ．∴)316,0(M ； ∴4,3,34,1====CO AO CM DM ；∴43==CO AO CM DM ； 又︒=∠=∠90AOC DMC ，∴DMC ∆∽AOC ∆， ∴ACO DCM ∠=∠；∵CE 平分DCA ∠，∴ACE DCE ∠=∠；∴︒=∠+∠180)(2DCE DCM ；∴AOC MCE ∠=︒=∠90； ∴AO CE //；∴点E 与点C 关于直线1-=x 对称；∴)4,2(-E ． （3）有两种情况满足要求，平移后所得抛物线的表达式为：4)32(342++-=x y 或4)121(342+--=x y【2020松江一模】24．（本题满分12分,第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A (3,0)，点B （0,3）.点M （m ，0）在线段OA 上（与点A ，O 不重合），过点M 作x 轴的垂线与线段AB 交于点P ，与抛物线交于点Q ，联结BQ ．（1）求抛物线表达式；（2）联结OP ，当∠BOP =∠PBQ 时，求PQ 的长度； （3）当△PBQ 为等腰三角形时，求m 的值.24.解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A (3,0)，点B （0,3）.∴3,930.c b c =⎧⎨-++=⎩………………………………（1分） ∴b =2，c =3………（1分）∴抛物线表达式为y ＝﹣x 2+2x +3………（1分） （2）∵PM ⊥x 轴 ∴PM ∥y 轴 ∴∠OBP =∠BPQ ∵∠BOP =∠PBQ∴△OBP ∽△BPQ ………………（1分）∴OB BPBP PQ =∴2BP OB PQ =⋅………（1分） ∴22(2)3(2+3+3)m m m m =-+- 即222-39m m m =+ 解得95m =(m =0舍去)………（1分） 5425PQ =………（1分） (3)当QP =QP 时（第24题备用图）yxOBA（第24题图）y xOBAPMQ（第24题图）y xOBAPMQ点Q (2,3)此时m =2………（1分） 当BQ =BP 时，点Q （1,4）此时m =1………（2分） 当PB =PQ 时2233m m m =-++-+3m =2分）【2020青浦一模】24．（本题满分12分， 其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x =2，点A 的坐标为（1，0）． （1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点P 为抛物线上一点（不与点A 重合），联结PC ．当∠PCB=∠ACB 时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y 轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D ，点P 的对应点为点Q ，当OD ⊥DQ 时，求抛物线平移的距离．24．解：（1）∵A 的坐标为（1，0），对称轴为直线x =2，∴点B 的坐标为（3，0）（1分）将A （1，0）、B （3，0）代入2+=+y x bx c ，得10930.，++=⎧⎨++=⎩b c b c 解得：43.，=-⎧⎨=⎩b c ··················································· （2分） 所以，243=-+y x x ．当x =2时，2242+3=1=-⨯-y∴顶点坐标为（2，-1）··········································································· （1分）．（2）过点P 作PN ⊥x 轴，垂足为点N ．过点C 作CM ⊥PN ，交NP 的延长线于点M ．∵∠CON =90°，∴四边形CONM 为矩形． ∴∠CMN =90°，CO = MN ．∵243=-+y x x ，∴点C 的坐标为（0，3） ·············································· （1分）． ∵B （3，0），∴OB =OC ．∵∠COB =90°，∴∠OCB =∠BCM = 45°， ·············· （1分）． 又∵∠ACB =∠PCB ，∴∠OCB -∠ACB =∠BCM -∠PCB ，即∠OCA =∠PCM ． （1分）． ∴tan ∠OCA= tan ∠PCM ．∴13=PMMC． 设PM =a ，则MC =3a ，PN =3-a ． ∴P （3a ，3-a ）．························································································· （1分）将P （3a ，3-a ）代入243=-+y x x ，得()231233-+=-a a a ．解得111=9a ，2=0a （舍）．∴P （113，169）． ·············································· （1分） （3）设抛物线平移的距离为m ．得()221=---y x m ，∴D 的坐标为（2，1--m ）． ··············································································· （1分） 过点D 作直线EF ∥x 轴，交y 轴于点E ，交PQ 的延长线于点F ． ∵∠OED =∠QFD =∠ODQ =90°，∴∠EOD+∠ODE = 90°，∠ODE+∠QDF = 90°， ∴∠EOD =∠QDF ，························································································· （1分）∴tan ∠EOD = tan ∠QDF ．∴=DE QF OE DF ．∴1612911123-++=+-m mm ．解得15=m ．所以，抛物线平移的距离为15． ··················································· （1分）【2020普陀一模】 24．（本题满分12分）在平面直角坐标系中（如图12），已知抛物线28()3y ax a x c =+++(0)a ≠经过点A ()3,2--，与y 轴交于点B ()0,2-，抛物线的顶点为点C ，对称轴与x 轴交于点D ．（1）求抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）点E 是x 轴正半轴上的一点，如果AED BCD ∠=∠，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，点P 是位于y 轴左侧抛物线上的一点，如果△PAE 是以AE 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标．xOy（普陀）24．解：（1）由抛物线28()3y ax a x c =+++经过点A ()3,2--和点B ()0,2-，得2,893() 2.3c a a c =-⎧⎪⎨-++=-⎪⎩ 解得4,32.a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ············································· （2分） ∴抛物线的表达式是24423y x x =+-． ············································ （1分） 点C 的坐标是3(,5)2--． ································································· （1分）（2）联结AB 交CD 于点F ，过点A 作AH OD ⊥，H 为垂足．∴A ()3,2--，B ()0,2-，∴3AB =． 由对称性可得 32BF =． ··································································· （1分） ∴5CD =，∴3CF =．在Rt △BCF 中，1tan 2BF BCF CF ∠==． ··············································· （1分） 在Rt △AEH 中，tan AHAEH EH∠=，∴AED BCD ∠=∠， ∴12AH EH =．∴4EH =． ··································································· （1分） ∴3OH =，∴1OE =．∴点E 的坐标是()1,0． ····································································· （1分） （3）∴△PAE 是以AE 为直角边的直角三角形， ∴90PAE ∠=︒或90PEA ∠=︒．图12O11设点P 点的坐标为24(,42)3m m m +-．①当90PAE ∠=︒时，点P 只能在AE 的下方． 过点P 作PG AH ⊥，G 为垂足．∴3PG m =+，2443AG m m =--．∴GAE AHE AEH ∠=∠+∠，GAE PAE PAG ∠=∠+∠，∴PAG AEH ∠=∠．∴tan tan PAG AEH ∠=∠．∴PG AHAG EH =．∴2314243m m m +=--． ·················································· （1分） 解得3m =-，32m =-．∴3m =-不合题意舍去，∴32m =-．∴点P 的坐标是3(,5)2--． ······························································ （1分）②当90PEA ∠=︒时． 同理可得点P 的坐标是912913129(,)42--+． ································· （2分）【2020浦东一模】24．（本题满分12分，其中每小题各4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴的两个交点分别为 A （−1,0）、B （3,0），与y 轴相交于点C ． （1）求抛物线的表达式；（2）联结AC 、BC ，求∠ACB 的正切值；（3）点P 在抛物线上且∠P AB =∠ACB ，求点P 的坐标．（浦东）24．解：（1）把A （−1,0）、B （3,0）分别代入2y x bx c =-++得{10,930b c b c --+=-++=．…………………………………………………………（2分）解得b =2，c =3． …………………………………………………………（1分） ∴抛物线的表达式是223y x x =-++． ………………………………（1分） （2）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ．∵抛物线223y x x =-++与y 轴相交于点C ,∴C （0, 3）．……………（1分） ∵B （3,0）、A （−1,0）、C （0, 3），∴OC =OB =3， AB =4． 在Rt △BOC 中，BC =32，∠ABC =45°．在Rt △HAB 中，∵sin AHABH AB ∠=，AB =4，∴22AH BH ==． ……………………（1分）∵32BC =，∴2CH = ． ……………………………………………（1分）∴tan 2AHACB CH ∠==． ……………………………………………（1分）（3）过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ．设P （x ，-x 2+2x +3），则PM =223x x -++，AM ＝x ＋１．∵∠PAB=∠ACB ，tan 2ACB ∠=，∴tan 2PAB ∠=． ……………（1分） （i ）P 在x 轴上方时，-x 2+2x +3=2(x +1) .解得：x 1=1，x 2= -1（舍）. …………………………………………（1分） （ii ）P 在x 轴下方时，-（-x 2+2x +3）=2(x +1) .解得：x 1=5，x 2= -1（舍）. …………………………………………（1分） ∴P 的坐标为（1，４）或（5，-12）. ………………………………（1分）【2020闵行一模】24．（本题共3题，每小题4分，满分12分）已知：在平面直角坐标系xOy 中，对称轴为直线x = -2的抛物线经过点C （0，2），与x 轴交于A （-3，0）、B 两点（点A 在点B 的左侧）． （1）求这条抛物线的表达式； （2）联结BC ，求∠BCO 的余切值；（3）如果过点C 的直线，交x 轴于点E ，交抛物线于点P ，且∠CEO =∠BCO ，求点P 的坐标．yx12 3 4 5–1 –2–3 –4 –51 2 3 4 5–1 –2 –3 –4 –5 O（闵行）24．解：（1）设抛物线的表达式为2(0)y ax bx c a =++≠．由题意得：229302ba abc c ⎧-=-⎪⎪-+=⎨⎪=⎪⎩………………………………………………（1分）解得：23a =，83b =．……………………………………………………（2分）∴这条抛物线的表达式为228233y x x =++．……………………………（1分）注：用对称性求解析式酌情给分．（2）令y = 0，那么2282033x x ++=，解得13x =-，21x =-．………………………………………………………（1分） ∵点A 的坐标是（-3，0）∴点B 的坐标是（-1，0）．…………………（1分） ∵C （0，2）∴1OB =，2OC =．…………………………………………（1分） 在Rt △ OBC 中，∠BOC =90º，∴cot 2OCBCO OB∠==．………………………………………………………（1分） （3）设点E 的坐标是（x ，0），得OE =x ．∵CEO BCO ∠=∠， ∴cot cot CEO BCO ∠=∠．在Rt△ EOC 中，∴cot 22xOE CEO OC ∠===．∴x =4，∴点E 坐标是（4，0）或 （-4，0）．………………………（1分） ∵点C 坐标是（0，2），∴11:2=222CE l y x y x =+-+或．……………………………………………（1分）∴212228233y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ ，或212228233y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩解得13438x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和02x y =⎧⎨=⎩（舍去），或194358x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和02x y =⎧⎨=⎩（舍去）；∴点P 坐标是（134-，38）或（194-，358）．………………………（2分）【2020静安一模】24．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中（如图8），已知二次函数c bx ax y ++=2（其中a 、b 、c 是常数，且a ≠0）的图像经过点A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0），联结AB 、AC ． （1）求这个二次函数的解析式；（2）点D 是线段AC 上的一点，联结BD ，如果2:3:=∆∆BCD ABD S S ，求tan△DBC 的值；（3）如果点E 在该二次函数图像的对称轴上，当AC 平分∠BAE 时，求点E 的坐标．（静安）24．解：（1）将A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0）代入）（02≠++=a c bx ax y 得， ⎪⎩⎪⎨⎧++=--+=-+=cb a b a 003,4390,30…………………………………………………………………………………（3分）解得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=.3,4,1c b a ∴此抛物线的表达式是342-+-=x x y ．…………………………………（1分）（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为h ，则23:)21(:)21(：：==⋅⋅=∆∆DC AD h DC h AD S S BCD ABD （1分）又∵DH //y 轴，∴52===OA DH AC DC OC CH ．∴56352=⨯==DH CH ．………………………（1分）∴54562=-=-=CH BC BH ．…………………………………………………………………（1分）∴tan△DBC=23=BH DH ．……………………………………………………………………………（1分）图8 Oyx（3）方法一：∵1)2(3422+--=-+-=x x x y ，所以对称轴为直线x =2，设直线x =2与x 轴交于点G ．（1分）过点A 作AF 垂直于直线x =2，垂足为F ．∵OA =OC =3，∠AOC =90°，∴△OAC=△OCA=45°．∵AF //x 轴，∴△FAC=△OCA=45°． ∵AC 平分∠BAE ，∴△BAC=△EAC∵△BAO=△OAC -△BAC ，△EAF=△FAC -△EAC ，∴△BAO=△EAF ………………………（1分） ∵∠AOB =∠AFE =90°，∴△OAB ∽△FEA ，∴31==AF EF OA OB ． ∵AF =2，∴32=EF ．…………………………………………………………………………………（1分） ∴EG =GF -EF =AO -EF =3-32=37． ∴E （2，37-）．……………………………………………（1分） 方法二：延长AE 至x 轴，与x 轴交于点F ， ∵OA =OC =3，∴△OAC=△OCA=45°，∵△OAB=△OAC -△BAC=45°-△BAC ，△OFA=△OCA -△FAC=45°-△FAC ，∵△BAC =△FAC ，∴△OAB=△OFA ．………………………………………………………………（1分）∴△OAB ∽△OFA ，∴31==OF OA OA OB ．∴OF =9，即F （9，0）…………………………………（1分）设直线AF 的解析式为y =kx +b （k ≠0），可得⎩⎨⎧=-+=,3,90b b k 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==,3,31b k ∴直线AF的解析式为331-=x y ……………………………（1分）将x =2代入直线AF 的解析式得37-=y ，∴E （2，37-）……………………………………（1分）【2020嘉定一模】 24．（本题满分12分，每小题4分）在平面直角坐标系xOy 中，将点)(1a b a P -，定义为点)(b a P ，的“关联点”. 已知：点)(y x A ，在函数2x y =的图像上（如图9所示），点A 的“关联点”是点1A . （1）请在图9的基础上画出函数22-=x y 的图像，简要说明画图方法；（2）如果点1A 在函数22-=x y 的图像上，求点1A 的坐标； （3）将点),(2na b a P -称为点)(b a P ，的“待定关联点”（其中，0≠n ）.如果点)(y x A ，的“待定关联点”2A 在函数n x y -=2的图像上，试用含n 的代数式表示点2A 的坐标.（嘉定）24．（本题满分12分，每小题4分）解：（1）图像基本正确（开口方向、对称轴、顶点、大致光滑） ·· 2分将图9中的抛物线2x y =向下平移2个单位长，可得抛物线22-=x y ················· 2分备注：如果使用“列表、描点、连线”的方式叙述，需要呈现列表使用的表格. （2）由题意，得点),(y x A 的“关联点”为),(1x y x A - ·············································· 1分 由点),(y x A 在抛物线2x y =上，可得),(2x x A ，),(21x x x A -··································· 1分 又∵),(1x y x A -在抛物线22-=x y 上，∴222-=-x x x ·········································· 1分 解得2=x .将2=x 代入),(21x x x A -，得)2,2(1A ·················································· 1分 （3）点),(y x A 的“待定关联点”为),(22nx x x A -， ····················································· 1分 ∵),(22nx x x A -在抛物线n x y -=2的图像上，∴n x nx x -=-22. ························ 1分 ∴0=-nx n ,0)1(=-x n .又∵0≠n ，∴1=x . ······················································· 1分当1=x 时，n nx x -=-12，故可得)11(2n A -，. ······················································ 1分【2020黄浦一模】 24．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y 轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”． （1）已知原抛物线表达式是225y x x =-+，求它的“影子抛物线”的表达式；（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是25y x =-+，求原抛图9物线的表达式；（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y 轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y 轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明（黄埔）24．（本题满分12分） （1）由题意，可知原抛物线顶点是(1,4)．………………………………………………（1分）设影子抛物线表达式是2y x n =+，………………………………………………（1分） 将(1,4)代入2y x n =+，解得3n =．………………………………………………（1分） 所以“影子抛物线”的表达式是23y x =+．………………………………………（1分）（2）设原抛物线表达式是2()y x m k =-++，则原抛物线顶点是(,)m k -．将(,)m k -代入25y x =-+，得2()5m k --+=① ………………………………（1分） 将（1，0）代入2()y x m k =-++，20(1)m k =-++②…………………………（1分）由①、②解得 1114m k =⎧⎨=⎩，2221m k =-⎧⎨=⎩． 所以，原抛物线表达式是2(1)4y x =-++或2(2)1y x =--+．…………………（2分）（3）结论成立．……………………………………………………………………（1分） 设影子抛物线表达式是2y ax n =+．原抛物线于y 轴交点坐标为(0,)c则两条原抛物线可表示为211y ax b x c =++与抛物线222y ax b x c =++（其中a 、1b 、2b 、c 是常数，且0a ≠，12b b ≠）由题意，可知两个抛物线的顶点分别是21114(,)24b ac b P a a --、22224(,)24b ac b P a a-- 将1P 、2P 分别代入2y ax n =+，得221122224()244()24b ac b a n a a b ac b a n a a ⎧--+=⎪⎪⎨-⎪-+=⎪⎩…………………………………………………………（1分） 消去n 得2212b b =．………………………………………………………………………（1分）xOy∵12b b ≠，∴12b b =-∴22214(,)24b ac b P a a -，22224(,)24b ac b P a a--， ………………………………………（1分）∴1P 、2P 关于y 轴对称．【2020虹口一模】 24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分）如图12，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A （-1，0）、B两点，与y 轴交于点C （0，3），点P 在抛物线的对称轴上，且纵坐标为23． （1）求抛物线的表达式以及点P 的坐标；（2） 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称α为此三角形的“特征角”．①点D 在射线AP 上，如果∠DAB 为△ABD 的特征角，求点D 的坐标；②点E 为第一象限内抛物线上一点，点F 在x 轴上，CE ⊥EF ，如果∠CEF 为△ECF 的特征角，求点E 的坐标．（虹口）24．解：（1） ∵过A (－1， 0)，C (0，3)∴0=1;3.b c c --+⎧⎨=⎩ 解得：=2;3.b c ⎧⎨=⎩……………………………………………（2分）∴………………………………………………………………（1分）对称轴为直线x =1∵点P 在对称轴上，且纵坐标为，∴点P 的坐标为（1，）……………………………………………………（1分）（2）设直线x=1交x 轴于点Q∵A (－1，0)，P （1，）∴AQ =2 PQ = ∴tan 3PAQ ∠=∴△PAQ =60° 即∠DAB=60°……………………………………………………（1分） ∵点D 在射线AP 上，且∠DAB 为△ABD 的特征角， ∴∠ABD =30°或∠ADB =30°，…………………………………………………（1分） ∴点D 的坐标为（0，）或（3，43 ）…………………………………（2分） （3）过点E 作EG ⊥x 轴于点G ，过点C 作CH ⊥GE 的延长线于点H .∵CE ⊥EF 且△CEF 为△ECF 的特征角，c bx x y ++-=2322++-=x x y 323232323O A y 图12x B C∴∠ECF =△CFE =45°……………………………………………………………（1分） ∴CE =EF在Rt △CHE 中，∠HCE+∠CEH =90° ∵∠CEH +∠FEG =90°∴∠HCE =∠FEG ∵∠H =∠EGF =90°∴△CHE ≌△EGF∴CH =EG …………………………………………………………………………（1分） ∵点E 为第一象限内抛物线上一点 ∴设E （a ，223a a -++）∴223a a a =-++ ……………………………………………………………（1分）解得a =（舍负）∴E …………………（1分）【2020奉贤一模】24．（本题满分12分，每小题满分4分）如图10，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c 经过点A (2，-3)和点B (5，0)，顶点为C ．（1）求这条抛物线的表达式和顶点C 的坐标； （2）点A 关于抛物线对称轴的对应点为点D ， 联结OD 、BD ，求∠ODB 的正切值； （3）将抛物线2yx bx c 向上平移t （t >0）个单位，使顶点C 落在点E 处，点B 落在点F 处，如果 BE=BF ，求t 的值．（奉贤）24．解：（1）由题意得，抛物线2y x bx c 经过点A (2，-3)和点B (5，0)，代入得423,2550.b cbc解得 6,5.b c··························································· （2分）∴抛物线的表达式是265y x x =-+. ····································································· （1分） 它的顶点C 的坐标是（3，-4）. ················································································· （1分）（2）∵点A （2，-3）关于抛物线对称轴的对应点为点D ， ∴点D 的坐标是(4，-3) . ····························································································· （1分） ∴OD =OB =5，∴ODB OBD ∠=∠ . ············································································ （1分） 过点D 作DH OB ，垂足为点H ，在Rt △DHB 中，90DHB ，DH =3，BH =1，∴tan 3DHOBD BH∠==． ······························································································· （1分） ∴tan 3ODB ∠=，即∠ODB 的正切值是3． ······························································· （1分）（3）由题意得，当 BE=BF 时，点E 在x 轴下方， 由平移可知，CE =BF =t ，∴BE t =. ············································································ （1分） 设对称轴与x 轴的交点为Q ，则CQ =4，BQ =2. ························································· （1分）在Rt △BEQ 中，90BEQ ，222EQ BQ BE ，∴222(4)2t t ，解得52t. ················································································ （2分） 即当BE=BF ， t 的值是52．【2020崇明一模】 24．（本题满分12分，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题4分）如图，抛物线与x 轴相交于点(3,0)A -、点(1,0)B ，与y 轴交于点(0,3)C ，点D 是抛物xOy。
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1、如图，在△ABC 中，A B ＝AC ，cos ∠B＝4
1，B C ＝2，把△ABC 绕点C 旋转，使点B 落在边AB 上的 点E 的位置，则AE ＝ ．
2、已知：如图，在正方形ABCD 中，AB ＝1，点E 是AD 边上的一点（不与点A 、D 重合），BE 的
垂直平分线GF 交BC 的延长线于点F ．（1）求证：
BG
AE ＝BF
BE ；
（2）若AE ＝a ，连结点E 、F ，交CD 于点P ，连结点G 、P ，当a 为何值时，GP ∥BF ？
3、如图，在正方形ABCD 中，点F 是边BC 上一点（点F 与点B 、点C 均不重合），AE ⊥AF ，AE 交CD
的延长线于点E ，连结EF 交AD 于点G ．（1）求证：BF ·FC ＝DG ·EC ；（2）设正方形ABCD 的边长为1，是否存在这样 的点F ，使得AF ＝FG ？若存在，求出这时BF 的长；若不存在，请说明理由．
4、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CM 是斜边AB 上的中线．（1）过点M 作CM 的垂线与AC 和CB 的延长线分别交于点D 和点E ，求证：△CDM ∽△ABC ；（2）过点M 直线与AC 和CB 的延长线交于点D
和点E ．如果
MC
DM ＝
ME
AM ．求证：CM ⊥DE ．
5、如图，某幢大楼顶部有一块3米高的广告牌CD ，小明在A 点测得点D 的仰角是45°
，走近9米在B 点测得点C 的仰角是60°，且A 、B 、E
三点在一条直线上.求这幢大楼DE
1.7 ，计算结果保留整数位）.
6、如图，直线y ＝－
2
1x ＋2交x 轴、y 轴于A 、B 两点，抛物线y ＝
2
1x 2＋bx ＋c 经过A 、B 两点，且与x 轴另有交点C ．
（1）试求△AOB 的面积；（2）试求抛物线的解析式；（3）试问：△AOB 与△BOC 是否相似？并说明理由．
7、如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC 的顶点O 是坐标原点，点B 在x 轴的正半轴上，且CB ⊥x 轴，点A 的坐标为（0，4），在OB 边上有一点P ，满足AP ＝2
5．
（1）求点P 的坐标；（2）如果△AOP ∽△APC ，求点C 的坐标．
（
图六）
G
A
D
C B F
E
（
图七）
B
A
C
D E F
P
G
A C
B D
E
A
D
E C B
B
C
A
D E
M
8、已知抛物线
m x x y +-=42的顶点A 在直线14--=x y 上. (1)求抛物线顶点A 的坐标；
(2)求抛物线与x 轴两交点B 、C 的坐标； (3) 求∠ABC 的余切值.
9、已知一次函数
3+-=x y 的图像与x 轴交于点A 、与y 轴交于点B ，BC ∥x 轴，且∠ACB （1）求点A 、B 、C 的坐标；
（2）若某二次函数图像经过A 、B 、C 三点，试求该图像的顶点坐标。
10.如图七，在直角坐标平面内有点A (6, 0)，B (0, 8)，C (-4, 0)，点M 、N 分别为线段O C 和
线段AB 上的动点，点M 以2个单位长度/秒的速度自C 向O 方向作匀速运动，点N 以5作匀速运动，MN 交OB 于点P ．(1)求证：MN ∶NP 为定值；(2)若△BNP 是等腰三角形，求
11、如图，抛物线与直线
)4(-=x k y 都经过坐标轴的正半轴上A ，B 两点，该抛物线的对称轴x= (1)直线AB 的解析式；(2)抛物线的解析式。
12、如图，已知一次函数3
64
y x =-+与坐标轴交于A 、B 点， AE 是BAO ∠的平分线，过点B 作BE AE ⊥，垂足为E ，过E 作x 轴的垂
线，垂足为M 。
(1)求证：M 为OB 的中点；(2)求以E 为顶点，且经过点A 的抛物线解析式。
13.已知二次函数2
12
y x bx c =++的图象经过点A （－3，6），并与x 轴交于点B （－1，0）和点C ，顶点为P.
（1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象； （2）设D 为线段OC 上的一点，满足∠DPC ＝∠BAC ，求点D 的坐标；
第12题图。