第八章 渐进法及超静定力的影响线.
(整理)力法求解超静定结构的步骤：.
第八章力法本章主要内容1）超静定结构的超静定次数2）力法的解题思路和力法典型方程（显然力法方程中所有的系数和自由项都是指静定基本结构的位移，可以由上一章的求位移方法求出（图乘或积分））3）力法的解题步骤以及用于求解超静定梁刚架桁架组合结构（排架）4）力法的对称性利用问题，对称结构的有关概念四点结论5）超静定结构的位移计算和最后内力图的校核6）§8-1超静定结构概述一、静力解答特征：静定结构：由平衡条件求出支反力及内力；超静定结构的静力特征是具有多余力，仅由静力平衡条件无法求出它的全部（有时部分可求）反力及内力，须借助位移条件（补充方程，解答的唯一性定理）。
二、几何组成特征：（结合例题说明）静定结构：无多余联系的几何不变体超静定结构：去掉其某一个或某几个联系（内或外），仍然可以是一个几何不变体系，如桁架。
即：超静定结构的组成特征是其具有多余联系，多余联系可以是外部的，也可能是内部的，去掉后不改变几何不变性。
多余联系（约束）：并不是没有用的，在结构作用或调整结构的内力、位移时需要的，减小弯矩及位移，便于应力分布均匀。
多余求知力：多余联系中产生的力称为三、超静定结构的类型（五种）超静定梁、超静定刚刚架、超静定桁架、超静定拱、超静定组合结构四、超静定结构的解法综合考虑三个方面的条件：1、平衡条件：即结构的整体及任何一部分的受力状态都应满足平衡方程；2、几何条件：也称变形条件、位移条件、协调条件、相容条件等。
即结构的变形必须符合支承约束条件（边界条件）和各部分之间的变形连续条件。
3、物理条件：即变形或位移与内力之间的物理关系。
精确方法：力法（柔度法）：以多余未知力为基本未知量位移法（刚度法）：以位移为基本未知量。
力法与位移法的联合应用：力法与位移法的混合使用：混合法近似方法：力矩分配法、矩阵位移法、分层总和法、D值法、反弯点法等本章主要讲力法。
五、力法的解题思路（结合例子）把不会算的超静定结构通过会算的基本结构来计算。
《结构力学》第8章：影响线
确定连续梁的最不利荷载位置时，首先用机动法做出其影响线的 轮廓，然后，将任意分布的均布活荷载作用在影响线的正区域， 便得到该量值的最大值的最不利荷载位置；将任意分布的均布活 荷载作用在影响线的负区域，便得到该量值的最小值的最不利荷 载位置。荷载的最不利位置确定后，便可求出某量值的最大值和 最小值。
建筑力学
结构力学
1. 简支梁的内力包络图
首先沿梁的轴线将梁分为若 干等分，计算出吊车移动时 各截面的最大弯矩值，并按 同一比例画在梁的轴线上， 然后连成光滑曲线，得到的 图形即为吊车梁的弯矩包络 图，如图8.9 (b)所示。同 样，可计算出梁上各截面的 最大和最小剪力值，画出剪 力包络图，如图8.9(c)。
（1） 任意布置的均布荷载作用时
工程中的人群、堆货等荷载 ，是可以按任意方式分布的 均布荷载。其最不利荷载的 位置为：将其布满对应影响 线所有纵标为正号的区域。
建筑力学
图8.6 最不利荷载位置时的均布荷载布置
结构力学
（2）系列移动集中荷载作用时
汽车、火车及吊车的轮压等移动荷载，可以简化为一系列彼此间 距不变的系列移动集中荷载。当荷载系列移动到最不利荷载位置 时，所求的量值S应为最大，因此，系列荷载由该位置无论再向 左或向右移动，量值S都会减小。据此，可以从讨论量值的增量 入手来确定最不利荷载位置。 现根据量值的增量 S的增减来分析量值S取得极值时的荷载位置：
剪力包络图的绘制方法和步骤与弯矩包络图相同。
建筑力学
结构力学
8.7 小 结
本章主要研究静定单跨梁和连续梁的影响线绘制，以及利用影 响线确定最不利荷载位置，进而求出该量值的绝对最大值作为结构 设计的依据；还介绍了简支梁及连续梁的内力包络图的绘制。 1.竖向单位集中荷载P＝1沿结构移动时，表示某量值变化规律的图 形，称为该量值的影响线。要注意内力影响线与内力图的根本区别 。内力影响线上的竖标值是当单位集中荷载移动到该位置时，指定 截面的内力值；而内力图中的竖标值是荷载位置固定不变时，该截 面上的内力值。 2.绘制影响线的方法有两种：静力法和机动法。静力法是绘制结构影 响线的最基本方法，应熟练掌握。用静力法或机动法都可以做出单跨 静定梁的影响线，而用机动法只可以做出连续梁影响线的轮廓。单跨 静定梁的支座反力和内力影响线是由直线段组成；连续梁的支座反力 和内力影响线是由曲线组成。
8 影响线的概念汇总
刚体体系的虚功原理：
刚体体系在任意平衡力系作用下，体系上所 有主动力在任一与约束条件相符合的无限小 刚体位移上所作的虚功总和恒等于零。
注意：
平衡力系、 几何可能位 移是两种独 立的状态， 即位移状态 中的位移不 是力状态中 的力产生的。
§8.4.1 机动法作影响线的原理和步骤
移动荷载是移动荷载是一个一个集中荷载集中荷载移动荷载是移动荷载是一组一组间距不变的集中荷载间距不变的集中荷载荷载临界位置的特点及判定原则荷载临界位置的特点及判定原则crcr三角形影响线三角形影响线临界位置的必要临界位置的必要条件条件85超静定结构的影响线p472p472待待超静定结构解法超静定结构解法学习后继续学习后继续
1
l1 (+)
l
A
A
F
(－) C
QB左 IL
QB右 IL
B
l2
1
l
1
(+)
B
(+)
D
E
小结
静力法作影响线的关键是分段写出影响 线方程。由隔离体平衡条件求得该量值 关于x的函数式（直线或曲线方程）。
静定结构影响线均由直线段组成（关于x 的一次函数），而超静定结构则一般为 曲线。
可尽量利用现有的影响线作其它影响线。
证明：作M D 影响线
当P=1加在C点时，
MD =yC 当P=1加在E点时，
MD =yE 当P=1距C点为x时，
单位力
CE段为 x 的一次式。
反力
反力
叠加
● 直接荷载和结点荷载下影响线比较
● 桥梁结构体系影响线实例
RB IL MK IL QK IL
§8.3 静力法作桁架的影响线
根据位移法基本原理
-45+20 -3Pl/16
-0.07 -0.08 0.07 0.08 -0.01 -0.01 0.01 0.01
62.17 -62.17
-0.16 -0.17 0.04 -0.02 -0.02
杆端弯矩 22.97 45.94 -45.94
45.32 -45.32 40.0 -40
弯矩图：
杆端弯矩 22.97
• 图(a)所示连续梁的悬臂端可转化为图(b) （E端铰接）,进行计 算。
μDC=（4×4） /(4×4+3×6)=0.471
μDE=（3×6） /(4×4+3×6)=0.529
作用在C 的力偶荷 载进行处 理
分配系数 固端弯矩 0
24.0
0.600 0.400 0 -80.0
0.500 0.500 +40.0 -60.0
传递系数 CAB=1/2 CAB=-1 CAB=0
近端弯矩 远端（传递）弯矩 远端固定 MAB=SABθA MBA=2iAB θA 远端定向 MAB=SAB θA MBA= -iABθA 远端铰支 MAB=SAB θA MBA=0
• CAj = MjA /MAj 远端弯矩/近端弯矩
MμAj = μAj ·M
128超静定结构的特性特性静定结构超静定结构几何组成无多余约束的几何不变体系有多余约束的几何不变体系静力条件由静力平衡条件可唯一的确定结构的反力内力只满足静力平衡条件的内力解有无数多组防护能力荷载影响范围特性静定结构超静定结构刚度比较各杆刚度对结构内力分布的影响改变各杆刚度比值对结构内力分布无影响
第十二章
EI, l
• 转动刚度与远端支承情况有关
S=4i 远端固定(刚结)
SAB=MAB=3EI/l=3i
结力I-08-超静定结构分析-渐进法(1)
A
SAB
A 1
c) SAB=i，远端为滑动支 座。
A A
SAB
i
i
A 1 SAB A 1
B
B
d) SAB=0，远端为滚轴 支座（沿杆轴布置）或 自由端。
当A端产生单位转角时，A端无线位移。转动 刚度SAB只取决于远端支承法求解右图示 结构，未知量为θA 。 杆端弯矩表达式：
i
C
C
M CB 4iC
F2 M BC 30kN .m
约束力矩 M B 150 90 30 90kN .m 分配力矩 M B 90kN .m
BA BC A
0.571 0.429
C 60 0
C -60
D
-150 -25.70 -175.70
150
-90
30 -51.39 -38.61 98.61 -98.61
1 2 C结点： SCB 4iCB 4 1 SCD 3iCD 3 0.5 6 8 SCB 1 CB 0.667 SCB SCD 1 0.5
CD
SCD 0.5 0.333 SCB SCD 1 0.5
2）锁住B、C点，求各杆的固端弯矩
A
Aj S Aj
S
A
对某结点，各杆分配系数之代数和为1，即：
1 1 1 3 6 2 1
三、传递系数
当近端有转角时（无线位移），远端弯矩 与近端弯矩的比值称为传递系数，用C表示。
M AB 4i A
A
M AB 3i A
A
i i i
M BA 2i A
B
M BA 0
200kN A
3m
第八章 渐进法及超静定力的影响线
EI 8m 1
24kN/m
C
4m 2EI 4m ∑MCg =53
50kN
2
50kN
D
g =－128
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
－128 0.4 －128 76.8 51.2 －15.7 9.4 6.3 －0.7 0.4 0.3 86.6 －86.6 0.6
128 －75 0.4 0.6 128 －75 25.6 －31.4 －47.2 3.2 －1.3 －1.9 0.2 －0.1 －0.1 124.2 －124.2
+ +
M分
M分
MB传
M传 4、重复2、3步骤直至结果 M分 M分 收敛。 5、杆端最后弯矩：M=Mg ＋ ∑M分＋∑M传
13
+· · ·
§8-2 多结点的力矩分配
注意： ①多结点结构的力矩分配法取得的是渐近解。 ②首先从结点不平衡力矩较大的结点开始，以加速收敛。 ③不能同时放松相邻的结点（因为两相邻结点同时放松时，它们 之间的杆件的转动刚度和传递系数不易确定）；但是可以同时放松 所有不相邻的结点，这样可以加速收敛。 ④每次要将结点不平衡力矩反号分配。
=
∑MBg
2、放松结点B，此时结构只 有一个结点角位移，按单结 MABg 点的力矩分配法计算，结点 C最终取得新的结点不平衡 力矩∑MCg +MC传 3、放松结点C，按单结点 的力矩分配法计算，结点 B又取得新的不平衡力矩 MB传 M传 MBAg∑MCg源自MBCg MCBg －∑MBg
MCDg
∑MCg +MC传 M传 －(∑MCg +MC传)
M远 C M近
∴远端弯矩可表达为： M BA C AB M AB 等截面直杆的传递系数
超静定影响线
6m
6m
6m
2.依次作出每一跨分布活载作用时的弯矩图（每跨4等分）
96
66
36
6 18 24 第1跨布活载 12 6
63 111 132
2.依次作出每一跨分布活载作用时的弯矩图（每跨4等分）
96 66 36
6
第1跨布活载 63 111 132 36 18 第2跨布活载 63 108 36 6 第3跨布活载 6 12 18 24 66 54 72 18 24 12 6
1 0.3125 11/8
2a
2a
a
从上述作法可见，其过程与静定结构影响线的作法并没有不同， 只是计算麻烦，需用力法求解
例2 静力法作连续梁支座处弯矩影响线。
x P=1
1 L L
2 L
思路： 按影响线的定义，作出P=1在不同位置x处的M1表达式。 1）P=1在第一跨移动，取如下基本体系
力法基本体系
6m
6m
6m
弯矩影响线轮廓
B 1 2 C 3 1 跨截面
2 跨截面 3 跨截面
支座B 支座C
说明：
要使1跨某截面取最大值，只需把第1跨和第3跨布满活载； 要使1跨某截面取最小值，只需把第2跨布满活载；
1. 由1跨截面弯矩影响线可知：
2. 由支座B截面弯矩影响线可知：
要使截面B的弯矩最大，只需第3跨布满活载；
A
B K C D E
F
三、影响线的应用：连续梁的内力包络图
1．基本原理 连续梁的设计必须以该梁在恒载（自重等）及活载（人 群、货物等）作用下每一截面上可能出现的内力最大值及最
小值作为设计依据。
其中恒载作用下的内力是确定的； 活载作用下的内力随分布的不同有不同的值。 下面以连续梁为例说明活载分布的最不利情形的特点
渐进法及其它算法简述
第八章渐进法和力矩分配法超静定结构的计算方法: 力法(六)、位移法（七）力法计算步骤1、选取基本体系2、列力法方程3、计算系数及自由项4、解方程5、作内力图位移法计算步骤1、设基本未知量2、列杆端弯矩方程3、列位移法方程4、解方程5、求杆端弯矩6、做内力图为避免解力法和位移法方程，引入一种近似的计算方法，这种方法是位移法的延伸，在计算过程中进行力矩的分配与传递。
渐近法有力矩分配法、无剪力分配法等，它们都是位移法的变体，其共同的特点是避免了组成和解算典型方程，也不需要计算结点位移，而是以逐次渐近的方法来计算杆端弯矩，计算结果的精度随计算轮次的增加而提高，最后收敛于精确解。
力矩分配法适用于连续梁和无结点线位移的刚架；无剪力分配法适用于刚架中除杆端无相对线位移的杆件外，其余杆件都是剪力静定杆件的情况，它是力矩分配法的一种特殊的形式。
对于一般有结点线位移的刚架，可用力矩分配法和位移法联合求解。
§8.1 力矩分配法的基本概念力矩分配法：理论基础：位移法；计算对象：杆端弯矩；计算方法：逐渐逼近的方法；适用范围：连续梁和无侧移刚架。
基本概念转动刚度S分配系数μ传递系数 C力矩分配法中符号规定力矩分配法的理论基础是位移法，故力矩分配法中对杆端转角、弯矩及固端弯矩的正负号规定与位移法相同，即都假设对杆端顺时针旋转为正号、对结点或附加刚臂逆时针旋转为正号。
一、转动刚度S：表示杆端对转动的抵抗能力。
在数值等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。
转动刚度SAB 与杆的线刚度i （材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，而与近端支承无关。
二、分配系数设A 点有力矩M ，求M AB 、M AC 和M AD如用位移法求解：A AB A AB AB S i M θθ==4A AC A AC AC S i M θθ==A AD A AD AD S i M θθ==30=∑AM A AD AC ABS S SM θ)(++=∑=++=AAD AC AB A SMS S S M θ所以有M SS M AABAB ∑=M S S M AAC AC ∑= M S S M AAD AD ∑=M M Aj Aj ⋅=μ ∑=AAjAj SS μ 1=∑μ三、传递系数=远端弯矩/近端弯矩M AB = 4 i ABθAM BA = 2 i ABθA在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。
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SBC=3×4i=12i μBA=μBC= 12i/24i=1/2
3）叠加1）、2）步结果得到杆端的最后弯矩。10 计算过程可列表进行。
例8.1 力矩分配法计算并画M图。
解：1）求μ
μAB= 4/9 μAC= 2/9
μAD= 3/9
2）求Mg MABg= 50
MBAg= － 50
MADg=－ 80
问题：如下杆件转动刚度SAB=4i 的是（
）
√① A
i
B
√② A
i
B
√③ A
A
④
⑤A
i
B
i
B
i
B
i 4i>SAB>3i
7
§8-1 力矩分配法的基本概念
二、力矩分配法的基本原理
1、单结点结构在结点力偶作用下的力矩分配法
M1A=4i1Aθ=S1Aθ
S1A M S
B
M
A
1
M1B=3i1Bθ=S1Bθ
M－A1－50165
∑MBg
B 151020
－－12900
C
相当于在结点上施加反号
的即结单点结不点平结衡构力在矩结，点并力将 165
MBAg
它偶按作分用配下系的数力分矩配分给配各法个
300
近端并传递到远端。
AA
SBAห้องสมุดไป่ตู้4×3i=12i
－15
MBCg 120 －∑MBg=－690 0
BB
CC
－30
M－图30（kN ·m)
矩要8反号分配.
μ
A
3i
3m
B 4i 3m1/2 1/2 6m
C
M BA g
2结00点 6不平15衡0k力N矩 m
=8固端弯矩之和
Mg －150
150∑M－B9g0
M BC g
20 62 8
90k N m
－15
1/2200kN－30
20kN/m －30↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
∑MBg=150－90=60kN·m 2）放松结点，
12
§8-2 多结点的力矩分配
力矩分配法计算多结点结构，只要逐次放松每一个结点，应用单结 点力矩分配法的基本运算，就可逐步地渐近地求出杆端弯矩。
=
1、加入刚臂，锁住刚结点， 由结点力矩平衡条件求结点
不平衡力矩∑MBg、∑MCg。
2、放松结点B，此时结构只 有一个结点角位移，按单结 点的力矩分配法计算，结点 C最终取得新的结点不平衡 力矩∑MCg +MC传
8
§8-1 力矩分配法的基本概念
M1A=4i1Aθ=S1Aθ
S1A M S
B
M
A
1
M1B=3i1Bθ=S1Bθ
S1B M S
θ
M1C=i1Cθ=S1Cθ
S1C M
S
C
b)传递弯矩
MA1=2i1Aθ=(1/2)M1A =C1AM1A
MB1= 0= C1BM1B
MC1=－i1Cθ=(－ 1)M1C=C1CM1C
正负号规定—— 杆端转角规定顺时针为正； 杆端弯矩、固端弯矩规定对杆件顺时针转动为正；相应地对结
点逆时针转动为正。
2
§8-1 力矩分配法的基本概念
一、名词解释 1、转动刚度S：表示杆端对转动的抵抗能力。 使AB杆件的A杆端发生单位转角时在A端所需施加的力矩，记作SAB 习惯上将发生转动的杆端称为“近端”，而杆件的另一端称为“远端
B
i
5
§8-1 力矩分配法的基本概念
等截面直杆的转动刚度和传递系数如下表：
固定支座
4i
1/2
铰支座
3i
0
定向支座
i
－1
问题：下列那种情况的杆端弯矩MAB=SAB？
MAB
MAB
θ MAB
1
√ ① ②
1
MAB
1
③④
1
Δ
确定转动刚度时：近端看位移（是否为单位位移）、远端看6支承。
§8-1 力矩分配法的基本概念
当远端是不同支承时，等截面杆的转动刚度
A
i
B
1
A
i
B
1
A
i
B
1
A
BB
3
§8-1 力矩分配法的基本概念
如果把近端改成固定支座，转动刚度SAB的数值不变， 此时SAB表示当固定支座发生单位转角时在A端引起的杆端弯矩。
A
i
B
A
i
B
A
i
B
A
B
与近端支承形式无关
AB杆的线刚度 i 影响SAB的因素 （材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）
第八章 渐近法及超静定力的影响线
§8-1 力矩分配法的基本概念 §8-2 多结点的力矩分配 §8-3 超静定力的影响线 §8-4 连续梁的最不利荷载及内力包络图
1
§8-1 力矩分配法的基本概念
理论基础：位移法 计算对象：杆端弯矩 力矩分配法概述 计算方法：增量调整修正的方法 适用范围：连续梁和无侧移刚架
80 i=2
MM图图（（kkNN.·mm) )
22mm
22mm
44mm
A
C
D
杆端
BA
AB
AD
AC
CA
DA
μ
4/9
3/9
2/9
Mg
－ 50
50
－ 80
分配与传递
10
20
15
10
－10
M
－ 40
70
－ 65
10
－ 10
11
§8-1 力矩分配法的基本概念
例8.1 力矩分配法的计算过程也可在计算简图中列表进行。
M j1 C1 j M1 j——传递弯矩：远端获得的由近端分配弯矩传 递而来的弯矩(j=A，B，C) 。
9
§8-1 力矩分配法的基本概念
2、单结点结构在跨中荷载作用下的力矩分配法
1）锁住结点，求固端弯矩及
200kN
20kN/m
结点不平衡力矩
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
M AB g
结2点00不 6平衡力150k N m
∑MAg=MABg+MADg+MACg － M =50－80－15= －45 kN·m
结点
B
4 4mm
70 65
40 110000kkNN110000 BB i=1
AA1155kkNN·↓↓m·↓↓m4↓↓i↓0↓4=↓k0↓1↓k↓N↓N↓/↓↓m/↓m↓ DD
MABg
∑MA1g 0 M=15
A MADg MACg CC
100kN AB AC15AkDN·m 40kN/m
∑MAg = －45
B
4/9 2/9A 3/9 ↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ D
MABg
M=15
－ 50
50
－ 80
10 1/2 20 10 15
A MADg
－ 40
70 10 － 65
70 65
－1
－10
40 100
－ 10 C
B
A
D
10
80
M图（kN ·m) C
AB杆的远端支承形式
4
§8-1 力矩分配法的基本概念
2、传递系数C： 当杆件的近端发生转动时，其远端弯矩与近端弯矩的比值：
C M远 M近
∴远端弯矩可表达为： MBA CAB M AB
等截面直杆的传递系数
CAB=1/2 SBA=2i
A
i
B
CAB=0
SBA=0
A
i
B
CAB= －1 SBA=－i
A
i
S1B M S
M1B
M
θ
1 M1A
M1C=i1Cθ=S1Cθ
S1C M
S
C M1C
∑M1= M1A+M1B+M1C－M=0
M
S
a)分配系数与分配弯矩 (∑μ=1)
1 j
S1 j S
——分配系数，μ1j等于杆1j的转动刚度S1j与交于结
点1的各杆转动刚度之和的比值(j=A，B，C)。
M1 j 1 j M——近端获得的分配弯矩