超静定结构影响线
《结构力学》第8章：影响线
确定连续梁的最不利荷载位置时，首先用机动法做出其影响线的 轮廓，然后，将任意分布的均布活荷载作用在影响线的正区域， 便得到该量值的最大值的最不利荷载位置；将任意分布的均布活 荷载作用在影响线的负区域，便得到该量值的最小值的最不利荷 载位置。荷载的最不利位置确定后，便可求出某量值的最大值和 最小值。
建筑力学
结构力学
1. 简支梁的内力包络图
首先沿梁的轴线将梁分为若 干等分，计算出吊车移动时 各截面的最大弯矩值，并按 同一比例画在梁的轴线上， 然后连成光滑曲线，得到的 图形即为吊车梁的弯矩包络 图，如图8.9 (b)所示。同 样，可计算出梁上各截面的 最大和最小剪力值，画出剪 力包络图，如图8.9(c)。
（1） 任意布置的均布荷载作用时
工程中的人群、堆货等荷载 ，是可以按任意方式分布的 均布荷载。其最不利荷载的 位置为：将其布满对应影响 线所有纵标为正号的区域。
建筑力学
图8.6 最不利荷载位置时的均布荷载布置
结构力学
（2）系列移动集中荷载作用时
汽车、火车及吊车的轮压等移动荷载，可以简化为一系列彼此间 距不变的系列移动集中荷载。当荷载系列移动到最不利荷载位置 时，所求的量值S应为最大，因此，系列荷载由该位置无论再向 左或向右移动，量值S都会减小。据此，可以从讨论量值的增量 入手来确定最不利荷载位置。 现根据量值的增量 S的增减来分析量值S取得极值时的荷载位置：
剪力包络图的绘制方法和步骤与弯矩包络图相同。
建筑力学
结构力学
8.7 小 结
本章主要研究静定单跨梁和连续梁的影响线绘制，以及利用影 响线确定最不利荷载位置，进而求出该量值的绝对最大值作为结构 设计的依据；还介绍了简支梁及连续梁的内力包络图的绘制。 1.竖向单位集中荷载P＝1沿结构移动时，表示某量值变化规律的图 形，称为该量值的影响线。要注意内力影响线与内力图的根本区别 。内力影响线上的竖标值是当单位集中荷载移动到该位置时，指定 截面的内力值；而内力图中的竖标值是荷载位置固定不变时，该截 面上的内力值。 2.绘制影响线的方法有两种：静力法和机动法。静力法是绘制结构影 响线的最基本方法，应熟练掌握。用静力法或机动法都可以做出单跨 静定梁的影响线，而用机动法只可以做出连续梁影响线的轮廓。单跨 静定梁的支座反力和内力影响线是由直线段组成；连续梁的支座反力 和内力影响线是由曲线组成。
8 影响线的概念汇总
刚体体系的虚功原理：
刚体体系在任意平衡力系作用下，体系上所 有主动力在任一与约束条件相符合的无限小 刚体位移上所作的虚功总和恒等于零。
注意：
平衡力系、 几何可能位 移是两种独 立的状态， 即位移状态 中的位移不 是力状态中 的力产生的。
§8.4.1 机动法作影响线的原理和步骤
移动荷载是移动荷载是一个一个集中荷载集中荷载移动荷载是移动荷载是一组一组间距不变的集中荷载间距不变的集中荷载荷载临界位置的特点及判定原则荷载临界位置的特点及判定原则crcr三角形影响线三角形影响线临界位置的必要临界位置的必要条件条件85超静定结构的影响线p472p472待待超静定结构解法超静定结构解法学习后继续学习后继续
1
l1 (+)
l
A
A
F
(－) C
QB左 IL
QB右 IL
B
l2
1
l
1
(+)
B
(+)
D
E
小结
静力法作影响线的关键是分段写出影响 线方程。由隔离体平衡条件求得该量值 关于x的函数式（直线或曲线方程）。
静定结构影响线均由直线段组成（关于x 的一次函数），而超静定结构则一般为 曲线。
可尽量利用现有的影响线作其它影响线。
证明：作M D 影响线
当P=1加在C点时，
MD =yC 当P=1加在E点时，
MD =yE 当P=1距C点为x时，
单位力
CE段为 x 的一次式。
反力
反力
叠加
● 直接荷载和结点荷载下影响线比较
● 桥梁结构体系影响线实例
RB IL MK IL QK IL
§8.3 静力法作桁架的影响线
结构力学教程——第12章 渐进法和超静定结构的影响线
性质，可得到柱子两端弯矩。
知识点 12.5-3
柱间有水平荷载作用时的计算
I=∞
A
C
q
i1 h1
B
i2 h2 D
I=∞
A
C
q
i1 h1
i2 h2
B
+
D
A
i1 h1 B
I=∞ C
i2 h2 D
P 单跨梁计算
P 力矩分配法
知识点
12.6 用机动法绘制连续梁的影响线
力法基本方程
11 Z1 1P 0
SBA 1 5
CBA 1
例2：作图示刚架的弯矩图
解 （1）固端弯矩
M
F AB
M
F BA
1 4 kN 3.3m 2
= 6.6kN m
M
F BC
M
F CB
1 (4 8.5)kN 3.6m 2
= 22.5kN m
（2）分配系数
SBA iBA 3.5 SBC iBC 5 SBE 3iBE 162
（http://structuremechanics/index1.htm）
1. 课程导入
连续梁桥
q
多跨连续梁
2. 结点力矩下单结点力矩分配
2.1 力矩分配法概念的提出 回顾位移法
例1：若梁线刚度 i 相同，求梁各杆端弯矩。
M
M
B
A
MBA MBC
M BA 4iB
B
θB
C
M AB 2iB
M BC 3iB
SCB 4 SCF 2 SCD 3
CB 0.445 CD 0.333 CF 0.222
解（1）转动刚度和分配系数
EI0=1
10(超)静定结构的影响线解析
§9-5 超静定力的影响线1、影响线的特征与求解方法1）影响线的特征静定结构——反力、内力影响线均为直线；位移影响线为曲线。
超静定结构——各量值的影响线均为曲线。
2）影响线的求作方法静力法——利用静力平衡条件求影响线方程，进而绘制影响线。
但对超静定力的影响线须解超静定问题，复杂、少用。
机动法——利用影响线与移动载荷作用点位移（挠度）图的比拟关系，快速绘制影响线轮廓。
简便、实用。
2、机动法求作超静定力影响线以图9-14连续梁（超静定梁）M K的影响线为例，说明用机动法求作超静定力影响线的方法。
1）取基本结构（超静定、几何不变体系）图b——去掉与XK 相应的约束，代之以(暴露出)约束反力XK ；A B C D EF P=1K（a）原结构A B C D EF P=1X K(M K)(下拉为正)(b)基本结构图9-14§9-5 超静定力的影响线2）建立力法典型方程k kk kp X δδ+=1()kp k pk kk kkX x δδδδ∴=-=-⋅()()pk kp x x δδ=ABCD EF P =1K ABCD E F P =1X K (M K )(下拉为正)(b)基本结构§9-5 超静定力的影响线K 截面相对转角为0式中δkk ——常数,不随X 而变化。
δpk ——载荷F P =1位置参数X 的函数，即δPK =δPK (x)，其位移图如图9-14c 所示。
互等定理图9-14ABCDEX K (M K )(下拉为正)θB(c)挠度图⏹写成更明确的形式：()()1pk kkk x x X δδ=-ABCD EK+图9-15X k (M k )的影响线结论:X k 与δpk 成正比;挠度图即为影响线轮廓线图9-14ABCDEX K (M K )(下拉为正)θB(c)作用挠度图1kM=§9-5 超静定力的影响线X k 向上为正δpk 以向下为正(与p=1同向)X k 与δpk 反向3、求做超静定力影响线的步骤⏹1）撤去与所求约束力（或量值）相应的约束，代之以反力X K ；●2）使体系沿X K 正方向发生位移，作出移动载荷作用点的挠度δPK =δPK (x)（位移）图即为影响线X K (x)的形状；●3）将δPK 图除以常数δKK 使可确定影响线的具体数值；●4）横坐标以上图形为正号，横坐标以下图形为负号。
《结构力学》试题及答案汇总
院（系） 学号 姓名 .密封线内不要答题 密封……………………………………………………………………………………………………………………………………………………结构力学试题答案汇总结构力学课程试题 ( B )卷考 试 成 绩题号 一二三四成绩得分一、选择题(每小题3分,共18分)1. 图 示 体 系 的 几 何 组 成 为 ： （ ） A. 几 何 不 变 ， 无 多 余 联 系 ； B. 几 何 不 变 ， 有 多 余 联 系 ； C. 瞬变 ； D. 常 变 。
2. 静 定 结 构 在 支 座 移 动 时 ， 会 产 生 ： （ ）A. 内 力 ；B. 应 力 ；C. 刚 体 位 移 ；D. 变 形 。
3. 在 径 向 均 布 荷 载 作 用 下 ， 三 铰 拱 的 合 理 轴 线 为： （ ）A ．圆 弧 线 ；B ．抛 物 线 ；C ．悬 链 线 ；D ．正 弦 曲 线 。
4. 图 示 桁 架 的 零 杆 数 目 为 ： （ ）A. 6；B. 7；C. 8；D. 9。
5. 图 a 结构的最后弯矩图为：（）A．图 b； B．图 c ； C．图 d ； D．都不对。
6. 力法方程是沿基本未知量方向的：（）A．力的平衡方程；B．位移为零方程；C．位移协调方程； D．力的平衡及位移为零方程。
二、填空题（每题3分,共9分）1.从几何组成上讲，静定和超静定结构都是_________体系，前者_________多余约束而后者_____________多余约束。
2. 图 b 是图 a 结构 ________ 截面的 _______ 影响线。
3. 图示结构 AB 杆 B 端的转动刚度为 ________, 分配系数为________, 传递系数为 _____。
三、简答题（每题5分，共10分）1.静定结构内力分析情况与杆件截面的几何性质、材料物理性质是否相关？为什么？2.影响线横坐标和纵坐标的物理意义是什么？四、计算分析题，写出主要解题步骤(4小题,共63分)1.作图示体系的几何组成分析（说明理由），并求指定杆1和2的轴力。
结构力学课件超静定结构影响线
Influence lines of statically
indeterminate structures
1. 超静定结构影响线的绘制
两种作法：
（1）用力法（位移法、力矩分配法等）直 接求出影响量的影响线方程 —— 静力法； （2）利用超静定结构影响线与挠度图之间 的比拟关系（挠度法） —— 机动法。
例:作图示梁YA、MA、YC、Mk、Qk、MC、QC左、QC右影响线形状。
P=1
A
B
CK D
E
Qk MC
Qk影响线 MC影响线
P=1
A
B
CK D
QC左 QC右
E
QC左影响线 QC右影响线Biblioteka 2. 连续梁的最不利荷载位置
FP=1
MA
虚位移图 MA影响线
最大MA的活荷载布置 最小MA的活荷载布置
谢 谢!
挠度法
超静定结构反力、内力的影响线一般是由 曲线构成的！
例:作图示梁YA、MA、YC、Mk、Qk、MC、QC左、QC右影响线形状。
P=1
A
B
CK D
E
YA MA
YA影响线 MA影响线
例:作图示梁YA、MA、YC、Mk、Qk、MC、QC左、QC右影响线形状。
P=1
A
B
CK D
E
YC Mk
YC影响线 Mk影响线
2006.8
《结构力学》复习题及答案
结构力学复习题及答案3：[判断题]1、(本小题2分)在竖向均布荷载作用下，三铰拱的合理轴线为圆弧线。
答案：错误4：[判断题]2、(本小题2分)几何可变体系在任何荷载作用下都不能平衡。
考参答案：错误5：[判断题]3、(本小题2分)在温度变化与支座移动因素作用下静定与超静定结构都有内力。
参考答案：错误6：[判断题]4、(本小题2分)静定结构受外界因素影响均产生内力，内力大小与杆件截面尺寸无关。
参考答案：错误7：[判断题]5、(本小题2分) 按虚荷载原理所建立的虚功方程等价于几何方程。
参考答案：正确8：[单选题]1、(本小题3分）力法的基本未知量是A：结点角位移和线位移B：多余约束力C：广义位移D：广义力参考答案：B9：[单选题]2、（本小题3分）静定结构有温度变化时A：无变形，无位移，无内力B：有变形，有位移．无内力C：有变形．有位移，有内力D：无变形．有位移，无内力参考答案：B10：[单选题]3、（本小题3分）变形体虚功原理A：只适用于静定结构B：只适用于线弹性体C：只适用于超静定结构D：适用于任何变形体系参考答案：D11：[单选题]4、（本小题3分）由于静定结构内力仅由平衡条件决定,故在温度改变作用下静定结构将A：产生内力B：不产生内力C：产生内力和位移D：不产生内力和位移参考答案：B12：[单选题]5、（本小题3分）常用的杆件结构类型包括A：梁、拱、排架等B：梁、拱、刚架等C：梁、拱、悬索结构等D：梁、刚架、悬索结构等参考答案：B1：[判断题]1、（本小题2分）有多余约束的体系一定是几何不变体系。
参考答案：错误2：[判断题]2、（本小题2分）静定结构的内力与荷载有关，而与材料的性质、截面的形状及大小无关。
参考答案：正确3：[判断题]3、（本小题2分）三个刚片由三个铰相联的体系一定是静定结构。
参考答案：错误4：[判断题]4、（本小题2分）位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。
参考答案：错误5：[判断题]5、（本小题2分）力矩分配法中的分配系数、传递系数与外来因素（荷载、温度变化等）有关。
超静定影响线
6m
6m
6m
2.依次作出每一跨分布活载作用时的弯矩图（每跨4等分）
96
66
36
6 18 24 第1跨布活载 12 6
63 111 132
2.依次作出每一跨分布活载作用时的弯矩图（每跨4等分）
96 66 36
6
第1跨布活载 63 111 132 36 18 第2跨布活载 63 108 36 6 第3跨布活载 6 12 18 24 66 54 72 18 24 12 6
1 0.3125 11/8
2a
2a
a
从上述作法可见，其过程与静定结构影响线的作法并没有不同， 只是计算麻烦，需用力法求解
例2 静力法作连续梁支座处弯矩影响线。
x P=1
1 L L
2 L
思路： 按影响线的定义，作出P=1在不同位置x处的M1表达式。 1）P=1在第一跨移动，取如下基本体系
力法基本体系
6m
6m
6m
弯矩影响线轮廓
B 1 2 C 3 1 跨截面
2 跨截面 3 跨截面
支座B 支座C
说明：
要使1跨某截面取最大值，只需把第1跨和第3跨布满活载； 要使1跨某截面取最小值，只需把第2跨布满活载；
1. 由1跨截面弯矩影响线可知：
2. 由支座B截面弯矩影响线可知：
要使截面B的弯矩最大，只需第3跨布满活载；
A
B K C D E
F
三、影响线的应用：连续梁的内力包络图
1．基本原理 连续梁的设计必须以该梁在恒载（自重等）及活载（人 群、货物等）作用下每一截面上可能出现的内力最大值及最
小值作为设计依据。
其中恒载作用下的内力是确定的； 活载作用下的内力随分布的不同有不同的值。 下面以连续梁为例说明活载分布的最不利情形的特点
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结构力学电子教案
第九章
力法应用
第6页
如图a所示等截面三跨连续梁，求支座1截面的弯矩M1 影响线。
1
连续梁的诸支座截面弯矩一经求得，则其他各处的弯 矩、剪力及支座反力等就极易由平衡条件求出。所以连续 梁的支座截面弯矩影响线是基本未知力影响线。
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第九章
力法应用
第7页
具体计算 ： 将荷载置于第一跨，设坐标为x1，求得M1影响线在第一 跨内的曲线方程式 M1(x1)。 将荷载置于第二跨，设坐标为x2 ，求得M1影响线在第二 跨内的曲线方程式 M1(x2 )。 将荷载置于第三跨，设坐标为x3，求得M1影响线在第三 跨内的曲线方程式M1(x3 )。 然后给出每一跨内若干等分处 值，从而绘出M1影响线。
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第九章
力法应用
第1页
§ 9-1
超静定结构影响线
绘制超静定结构的影响线需运用超静定问题的各种分析 方法——力法、位移法及渐近法等。 此外，绘制超静定结构中的位移影响线，需运用第七章 所述位移互等定理。 静力法作影响线： 通过静力计算求出基本未知量与荷载位置x 的函数关 系 ，并据此而绘出其图形即为影响线。
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第九章
力法应用
第11页
δ 11 = δ 22
2l = 3EI
δ 12 = δ 21
1 = 6 EI
代入力法方程，得
⎫ l2 2l 1 M 1 ( x2 ) + M 2 ( x2 ) + α (1 − α )(2 − α ) = 0⎪ 3EI 6 EI 6 EI ⎪ ⎬ ⎪ l l2 2l M 1 ( x2 ) + M 2 ( x2 ) + α (1 − α )(1 + α ) = 0 ⎪ 6 EI 3EI 6 EI ⎭
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第九章
力法应用
第2页
如图所示超静定梁，EI = 常数。欲求右端支座反力RB影 响线。
以该支座为多余联系而将其去掉并代以多余未知力X1（设 向上为正），此X1即为RB 。 力法方程为
δ11 X 1 + Δ1P = 0
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第九章
力法应用
第3页
绘出 M 1、MP图
l
δ 11
MP图
M ds l3 =∫ = EI 3EI
2 1
δ 1P
αl
ds = ∫ M 1M P ( x) EI 3 l =− (3α − α 3 ) 6 EI
M1图
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第九章
力法应用
第4页
系数
P＝1引起的X1方向的位移，由于P＝1 是移动的，故 δ 1P 是 荷载位置x 的函数，于是可写出X1= RB影响线方程为
由此解方程可得到荷载FP =1作用于基本结构的第二跨时， M1、 M2影响线方程，为
结构力学电子教案
第九章
力法应用
第12页
l M 1 ( x 2 ) = − α (1 − α )(7 − 5α ) 15 l M 2 ( x 2 ) = − α (1 − α )(2 + 5α ) 15
同理，可求出荷载FP =1作用于基本结构的第一跨和第三跨 时，M1影响线方程，为
4l 2 M 1 ( x1 ) = − α (1 − α ) 15 l M 1 ( x3 ) = α (1 − α )(2 − α ) 15
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第九章
力法应用
第13页
若将每跨四等分点的α 值分别代入 M 1 ( x) 方程，即可绘 出M1影响线。
其中负号表示荷载作用于该区段时将使支座1截面产生 负弯矩（上缘受拉）。
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第九章
力法应用
第14页
同理可作支座2截面的弯矩M2影响线，由于结构的对称 性，它与M1影响线呈对称形式。
由上述可见，用静力法作n 次超静定结构的某一约束力 影响线时，须同时求解n 个未知约束力的影响线方程，这 对于高次超静定结构不P 是在基本结构中荷载
δ 1P 1 3 X 1 = RB = − = (3α − α ) δ 11 2
据此，给出沿跨度若干等分处的 α 值即可求得各纵标值.
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第九章
力法应用
第5页
图示为由四分点纵标而绘成的RB影响线，正号表示RB 向上。
RB影响线
求得了反力影响线后，梁上任意截面的内力影响线都可由 静力平衡方程求出。
绘出基本结构的MP图及单位弯矩图 M 1 、M 2 图
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第九章
力法应用
第10页
δ 1P
1 l (2 − α ) ds l2 = ∫ M 1M P = × α (1 − α )l × = α (1 − α )(2 − α ) 3 6 EI EI EI 2 l2
δ 2P
1 l (1 + α ) ds l2 = ∫ M 2M P = × α (1 − α )l × = α (1 − α )(1 + α ) 3 6 EI EI EI 2 l2
α
的值即可求得各纵标
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第九章
力法应用
第8页
设荷载FP =1作用于基本结构的第二跨，坐标为
x2 = αl 2 = αl
P=1
所取基本结构为分跨的简支梁，多余约束未知力为支座 1、2截面的弯矩 M 1 ( x) 和 M 2 ( x)
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第九章
力法应用
第9页
相应的力法方程为
δ 11M 1 + δ 12 M 2 + δ 1 p = 0 ⎫ ⎬ δ 21M 1 + δ 22 M 2 + δ 2 p = 0⎭