组合变形例题
组合变形(例题)
A
P 450
A
0.12
103
6.37MPa
T Wn
16700.1030
35
.7MPa
3
24 2
故，安全。
6.372435.72
71.7MPa
p.8
例题
习题6.
例题
图示皮带轮传动轴传递功率N=7kW，转速n=200r/min。皮带轮重量Q=1.8kN。左端齿轮
上的啮合力Pn与齿轮节圆切线的夹角（压力角）为20o。轴的材料为45钢， [] =80MPa。
例题
b
P
25 e
a
P
5
解：(1)将外力向轴线简化，如图所示；
b
其中：M=Pe，这属于拉弯组合变形；
P
a
P
(2)求出a、b点的应力；
a
P A
Pe W
,
b
P A
Pe W
(3)二点均属单向应力状态，求出二点的轴向应变；
a
a E
P 1 e EA W
b
b E
P E
1 A
e W
(4)解方程组得 P EAa b 18.4kN
力是水平方向，B轮上胶带的张力是垂直方向，大小如图示；圆轴的许用应力[σ]=80MPa；试按
第三强度理论求轴所需的直径。
5kN
(3)求可能危险截面C和B上的合成弯矩：
AC
B
D
2kN
MC
M
2 yC
M zC 2
1.52 2.12 2.58kNm
2kN
5kN
300
500
500
MB
M
2 yB
M zB2
xz平面的弯矩图为 代入第三强度理论的强度条件得
材料力学习题组合变形#(精选.)
组合变形基 本 概 念 题一、选择题1. 偏心压缩时，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，则外力作用点到 形心的距离e 和中性轴到形心距离d 之间的关系是（ ）。
A ．e = dB ．e ＞dC ．e 越小，d 越大D ．e 越大，d 越小2.三种受压杆件如图所示，设杆1、杆2和杆3中的最大压应力(绝对值)分别用1max σ、2max σ、3max σ表示，则（ ）。
A ．1max σ=2max σ=3max σB ．1max σ＞2max σ=3max σC ．2max σ＞1max σ=3max σD ．2max σ＜1max σ=3max σ 题2图3.在图示杆件中，最大压应力发生在截面上的（ ）。
A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点题3图 题4图4. 铸铁杆件受力如图4所示，危险点的位置是（ ）。
A ．①点B ．②点C ．⑧点D ．④点5. 图示正方形截面直柱，受纵向力P 的压缩作用。
则当P 力作用点由A 点移至B 点时柱内最大压应力的比值()max A σ﹕()max B σ为( )。
A ．1﹕2B ．2﹕5C ．4﹕7D ．5﹕26. 图示矩形截面偏心受压杆件发生的变形为（ ）。
A ．轴向压缩和平面弯曲组合B ．轴向压缩，平面弯曲和扭转组合C ．轴向压缩，斜弯曲和扭转组合D ．轴向压缩和斜弯曲组合-41-题5图 题6图 7. 图所示悬臂梁的横截面为等边角钢，外力P 垂直于梁轴，其作用线与形心轴y 垂直，那么该梁所发生的变形是（ ）。
A ．平面弯曲B ．扭转和斜弯曲C ．斜弯曲D ．两个相互垂直平面(xoy 平面和xoz 平面)内的平面弯曲题7图 8. 图示正方形截面杆受弯扭组合变形，在进行强度计算时，其任一截面的危险点位置有四种答案，正确的是( )。
A ．截面形心B ．竖边中点A 点C ．横边中点B 点D ．横截面的角点D 点题8图 题9图9. 图示正方形截面钢杆，受弯扭组合作用，若已知危险截面上弯矩为M ，扭矩为T ，截面上A 点具有最大弯曲正应力σ和最大剪应力τ，其抗弯截面模量为W 。
组合变形习题及参考答案
组合变形一、判断题1.斜弯曲区别与平面弯曲的基本特征是斜弯曲问题中荷载是沿斜向作用的。
( )2.斜弯曲时，横截面的中性轴是通过截面形心的一条直线。
( )3.梁发生斜弯曲变形时，挠曲线不在外力作用面内。
( )4.正方形杆受力如图1所示，A点的正应力为拉应力。
( )图 15. 上图中，梁的最大拉应力发生在B点。
( )6. 图2所示简支斜梁，在C处承受铅垂力F的作用，该梁的AC段发生压弯组合变形，CB段发生弯曲变形。
( )图 27.拉（压）与弯曲组合变形中，若不计横截面上的剪力则各点的应力状态为单轴应力。
( )8.工字形截面梁在图3所示荷载作用下，截面m--m上的正应力如图3（C）所示。
( )图 39. 矩形截面的截面核心形状是矩形。
( )10.截面核心与截面的形状与尺寸及外力的大小有关。
( )11.杆件受偏心压缩时，外力作用点离横截面的形心越近，其中性轴离横截面的形心越远。
( )12.计算组合变形的基本原理是叠加原理。
（）二、选择题1.截面核心的形状与（）有关。
A、外力的大小B、构件的受力情况C、构件的截面形状D、截面的形心2.圆截面梁受力如图4所示，此梁发生弯曲是（）图 4A、斜弯曲B、纯弯曲C、弯扭组合D、平面弯曲三、计算题1.矩形截面悬臂梁受力F1=F，F2=2F，截面宽为b，高h=2b，试计算梁内的最大拉应力，并在图中指明它的位置。
图 52.图6所示简支梁AB上受力F=20KN，跨度L=2.5m，横截面为矩形，其高h=100mm,宽b=60mm，若已知α=30°，材料的许用应力[σ]=80Mpa,试校核梁的强度。
3.如图7所示挡土墙，承受土压力F=30KN，墙高H=3m，厚0.75m，许用压应力[σ]ˉ=1 Mpa，许用拉应力[σ]﹢=0.1 Mpa，墙的单位体积重量为，试校核挡土墙的强度。
图 6 图 74.一圆直杆受偏心压力作用，其偏心矩e=20mm,杆的直径d=70mm,许用应力[σ]=120Mpa,试求此杆容许承受的偏心压力F之值。
材料力学第10章 组合变形
因此，截面O为危险截面。
危险截面上，由轴力引起的正应力均匀分布，其值
为
，由弯矩引起的正应力线性分布，其值为
。利用叠加原理，将拉伸及弯曲正应力叠加
后，危险截面上正应力沿截面高度的变化情况如图10.5
（e）所示，仍为线性分布。而且可以看出，最大拉应
力和最大压应力分别发生在O截面上、下边缘各点，其
值为
（10.4）
图10.5
依据上述分析，弯拉（压）组合变形时危险点处于单向应力状态，所以可将 截面上的σmax与材料的许用应力相比较建立其强度条件。对于拉压强度相等 的材料，强度条件为
对于抗拉与抗压性能不同的材料，强度条件为
下面举例说明弯拉（压）组合变形的强度计算。 例10.2如图10.6（a）所示的钢支架，已知载荷F=45 kN，尺寸如图。 （1）如材料为钢材，许用应力［σ］=160 MPa，试选择AC杆的工字钢型号。 （2）如材料为铸铁，许用拉应力［σt］=30 MPa，许用压应力［σc］=160 MPa，且AC杆截面形式和尺寸如图10.6（e）所示，A=15×10－3 m2，z0=75mm ，Iy=5.31×10－5 m4。试校核AC杆的强度。
其力矩矢量分别与y轴和z轴的正向一致（见图10.2（b））。 为了确定横截面上最大正应力点的位置，先求截面中性轴位置。记中性轴上 任一点的坐标为(y0，z0)，由于中性轴上各点处的正应力均为零，所以由式 可得中性轴方程为
（10.2） 可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线（见图10.2（c）），其与y轴的 夹角θ为
图10.3 例10.1如图10.4（a）所示，20a号工字钢悬臂梁承受均布载荷q和集中力
。已知钢的许用弯曲正应力［σ］=160 MPa，a=1 m。试求梁的许可 载荷集度［q］。 解由于梁所受到的横向力不在梁的两个纵向对称面内，此时可以将横向力向 两个纵向对称面分解（向y和z轴分解），从而将其看成是梁在其两个相互垂
材料力学组合变形习题
L1AL101ADB 〔3〕偏心压缩时，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，那么外力作用点 到形心之距离ｅ和中性轴到形心距离ｄ之间的关系有四种答案：〔A 〕 ｅ＝ｄ； 〔B 〕 ｅ＞ｄ；〔C 〕 ｅ越小，ｄ越大； 〔D 〕 ｅ越大，ｄ越小。
正确答案是＿＿＿＿＿＿。
答案〔C 〕1BL102ADB 〔3〕三种受压杆件如图。
设杆１、杆２和杆３中的最大压应力〔绝对值〕分别用 max1σ、max 2σ和max3σ表示，现有以下四种答案：〔A 〕max1σ＝max 2σ＝max3σ； 〔B 〕max1σ＞max 2σ＝max3σ；〔C 〕max 2σ＞max1σ＝max3σ； 〔D 〕max 2σ＜max1σ＝max3σ。
正确答案是＿＿＿＿＿＿。
答案〔C 〕1BL103ADD 〔1〕在图示杆件中，最大压应力发生在截面上的哪一点，现有四种答案：〔A 〕Ａ点； 〔B 〕Ｂ点； 〔C 〕Ｃ点； 〔D 〕Ｄ点。
正确答案是＿＿＿＿＿＿。
答案〔C 〕1AL104ADC 〔2〕一空心立柱，横截面外边界为正方形， 边界为等边三角形〔二图形形心重 合〕。
当立柱受沿图示ａ－ａ线的压力时，此立柱变形形态有四种答案： 〔A 〕斜弯曲与中心压缩组合； 〔B 〕平面弯曲与中心压缩组合；〔C 〕斜弯曲； 〔D 〕平面弯曲。
正确答案是＿＿＿＿＿＿。
答案〔B 〕1BL105ADC 〔2〕铸铁构件受力如下图，其危险点的位置有四种答案：〔A 〕①点； 〔B 〕②点； 〔C 〕③点； 〔D 〕④点。
正确答案是＿＿＿＿＿＿。
答案〔D 〕1BL106ADC 〔2〕图示矩形截面拉杆中间开一深度为ｈ／２的缺口，与不开口的拉杆相比，开口处 的最大应力的增大倍数有四种答案：〔A 〕２倍； 〔B 〕４倍； 〔C 〕８倍； 〔D 〕１６倍。
正确答案是＿＿＿＿＿＿。
答案〔C 〕1BL107ADB 〔3〕三种受压杆件如图，设杆１、杆２和杆３中的最大压应力〔绝对值〕分别用 max1σ、max 2σ和max3σ表示，它们之间的关系有四种答案：〔A 〕max1σ＜max 2σ＜max3σ； 〔B 〕max1σ＜max 2σ＝max3σ；〔C 〕max1σ＜max3σ＜max 2σ； 〔D 〕max1σ＝max3σ＜max 2σ。
6.组合变形
h1
ρ
εs =
h1
450 − h1
ρ
σ c = − Ec
ρ
σ s = Es
450 − h1
ρ
设混凝土和钢筋的应力之和分别为F 设混凝土和钢筋的应力之和分别为 c和Fs，即
−h1 300× h12 z Fc = ∫0 σc ×300× dz = −Ec h1 2ρ πd2 450 − h1 F = A σ = 4× × Es s s s 4 ρ
θ = 35.240
求危险点的正应力 作两条直线与中性轴n-n平行 平行， 3) 求危险点的正应力 作两条直线与中性轴 平行，分别 与截面C的a、b两点相切，即均为该截面上的危险点，a 、 截面 的 、 两点相切，即均为该截面上的危险点， 两点相切 b点处正应力绝对值相等，由图可知，a点的坐标为 点处正应力绝对值相等， 点处正应力绝对值相等 由图可知， 点的坐标为 y n y = 200mm , z = −10mm
解：十字形截面对形心主轴的惯性矩为
1 1 Iy = Iz = ×0.2×0.63 +2× ×0.2×0.23 =38.7×10−4m4 12 12
y 1
作最边缘的零应力切线1-1， 作最边缘的零应力切线 ， 其在y、 轴上的截距为 其在 、z轴上的截距为
Байду номын сангаас
a1z = +0.3m
i
2 y
a1y = ∞
1 2
F e F 25
εb
解：这是一个压弯组合变形问题，根据截面 这是一个压弯组合变形问题， 为矩形，其中性轴在对称轴上， 为矩形，其中性轴在对称轴上，因此截面 的应力图由应变可知为： 的应力图由应变可知为：
组合变形习题
解：作内力图如图 查附录可得 Wz=309cm3，Wy=40.9 cm3 对A截面，由强度条件有
1.2F z l y y A l 1.2F B l x
Mz 0.5Fl Fl Mys maxM z M y Fl 0.4Fl [s ] Wz Wy Wz Wy
F 10.8kN
B截面，由强度条件有
0.4Fl
0.8Fl
s max
M z M y 0.5Fl 0.8Fl [s ] Wz Wy Wz Wy
取梁的许用荷载[F]=6KN
F 6.6kN
解： 未开槽前立柱为轴向压缩
FN F F F s1 2 A A ( 2a ) 4a 2
开槽后1-1是危险截面 危险截面为偏心压缩 将力 F 向1-1形心简化
正方形截面立柱的中间处开一个槽，使截面
面积为原来截面面积的一半。求开槽后立柱的的最大压 应力是原来不开槽的几倍。 F F
a
a
a
a
图示偏心受压杆。试求该杆中不 出现拉应力时的最大偏心距。
图所示简支梁由22a工字钢构成，许用应力[s ]=140MPa，长度l =1m。 1.5F 求该梁的许用荷载[F]。 1.5F
F F
1
Fa/2
1
FN M F Fa / 2 2F s2 2 A W 2a a 1 2a a 2 a 6 开槽后立柱的最大压应力 2F / a 2 2 8 未开槽前立柱的最大压应力 F / 4a
a
a
工程力学9-组合变形
为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？
9.4 平面应力状态应力分析
9.4.1应力状态的概念
F
A
dx dy dz 0
F
微元单元体
dz
A dy
dx
单元体边长无穷小； 应力沿边长无变化；
单元体各个面上的应力是均匀 分布的； 两个平行面上的应力大小相等。
原始单元体 用横截面和与之正交的纵向截面截取的单元体
解：（1）外力分析
F1
（2）内力分析
M z 11 1kN m
x
M y 2 0.5 1kN m
x
例9-3
y 0.5m
O A
z
Mz
B F2
1kN m
My
1kN m
解：（3）应力分析
F1
max
a
Mz Wz
My Wy
1106 N mm 1 40 802 mm3
1 FS图 （kN)
1
0.5
M图 (kN m)
解： （1）作内力图 （2）取原始单元体
A
A
A
B
B
tB B
C tC
例9-6
F
10
C B A
l/2
l/2
A
A
A
B
B
tB B
C tC
解：（3）求应力
A
M Wz
0.5 106 1 20 402
93.8MPa
6
B
M Iz
9.4 平面应力状态应力分析
9.4.1应力状态的概念 回顾横力弯曲时横截面上点的应力:
同一面上不同点的 应力各不相同。
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F A C b
h
0.5L
L0
d
D L
材料力学
本章结束
A
5 kN
C
B
D
2 kN 5 kN
300 500
2 kN
500
(a)
1.5 kN A m
7 kN
C
1.5 kN m
B
D
5 kN
12 kN
(b)
T
1.5 kN m
如图c、d、e、f 所示
x (c )
1.5 kN A m
7 kN
C
1.5 kN m
B
D
M C (1.5) 2 (2.1) 2 2.58 kNm
M
2.58 kNm 2.48 kNm
因此，得：
x (e)
d 72 mm
(f) x
直径为20mm的圆截面水平直角折杆，受垂直力P=0.2kN，已知［σ］=170MPa 试用第三强度理论确定ａ的许可值。
解：内力图： 危险截面：A
Tmax Pa 0.2a M max 2Pa 0.4a
所以起重机架的最大起重量取决于杆AC的强度，为
Fmax 26.7 kN
图示横梁AC~立柱CD结构，均由Q235钢制成，C、D两处均为球 铰。在跨度中点受竖向载荷F作用。已知： (1) 横梁AC的L=4000mm，b=60mm，h=120mm，材料许用应力 [ ]=160MPa。 (2) 立柱CD直径d=20mm, L0=500mm；材料参数为 E=200GPa, 许 用应力 [ ] 160MPa , p 100, s 60 , cr (3041.12 ) MPa，稳 定安全系数 nst 4 。 试确定此横梁~立柱结构的许用载荷。
6
462 kN
压杆稳定问题/压杆的稳定计算
例10-2 已知：b=40 mm, h=60 mm, l=2300 mm,Q235钢, s 235MPa , p 200MPa E＝200 GPa, FP＝150 kN, nst=1.8， 校核:稳定性是否安全。
y
x
z
x
压杆稳定问题/压杆的稳定计算
1 1截面上危险截面，其上：N 3 kN，M 8 kN m
t FN M 81.1 3 103 8 103 MPa 2 3 c A W d d 81.9 4 32
FN A
M W
M W
例
如图所示一圆轴，装有皮带轮A 和B。两轮有相同的直径D=1m 和相同的重量P=5kN。两轮上 的拉力大小和方向如图。设许 用应力[σ]=80MPa，试按第三强 度理论来求所需圆轴直径。 解： （1）分析载荷 如图b所示 （2）作内力图
I min I y
bh3 40 303 9 104 mm 4 12 12
代入欧拉公式，有
9 10 8 m 4
Pcr
2 EI y 2 206 109 9 108
l
2
1.52
81.3 103 N 81.3kN
例：长方形截面细长压杆，b/h=1/2；如果将 b改为 h 后仍为细长杆， 临界力Pcr是原来的多少倍？ P
解 z x
考虑xy平面失稳(绕z轴转动)
Iz bh 3 / 12 h iz A 12 bh
z l 1 2.3 z 132.8 h / 12 iz
考虑xz平面失稳(绕y轴转动)
3 b hb / 12 iy A 12 bh
柔度:
l2 1 0.6 80 d2 / 4 i2
0 < p
可用直线公式.
因此
Fcr cr A2 (a b ) A2
6
151.47 kN
2 (304 1.12 80) 10 d 2 4
Fcr 151 .47 50.5 kN FN 2 F nst 3
y l 0.5 2.3 99.6 y i y b / 12 z y p
所以压杆可能在xy平面内首 先失稳(绕z轴转动).
Iy
压杆稳定问题/压杆的稳定计算
其临界压力为
工作安全因数为
E Fcr cr A 2 bh 269kN z
2
Fcr 269 n 1.793 nst 1.8 Fp 150
轴的抗弯截面系数：
W
A B
d 3
32
0.023
32
0.023
32
7.854 107 m3
M图 2Pa T图 Pa
C
圆轴弯扭组合变形强度条件: （按第三强度理论）
1 W
1103 7.854 107
Pa
M T
2 2
0.4a 2 0.2a 2 170 106
EI Pcr 2 ( l)
2
2E
d4
为原压杆的
2 2
64 ( l) 2
1 16
（2）
Pcr正 Pcr圆
2 E I正
( l) 2
2 E I圆
( l) 2
I正 I圆
d 4 4 a 124 124 d d 64 64
3
第九章 组合变形
例：一折杆由两根圆杆焊接而成，已知圆杆直径d=100mm， 试求圆杆的最大拉应力σt和最大压应力 σc
解： X 3 kN A
YA 4 kN
任意横截面x上的内力:
FN X A 3kN Fs YA 4kN M ( x ) YA x 4 x
解：
hb EI y E 12 2 Eh4 Pcr 1 2 2 2l 2l 384l 2 3 hh 2 2 EI E 12 2 Eh4 Pcr 2 2 2 2 48 l 2l 2l
2
2
3
cr
Pcr 2 Pcr 1
2 Eh4
杆中不出现拉应力时的最大偏心 距。 解： N P,
M Pe
N M P Pe t 2 0 A W bh hb 6 b e 6
第十章 压杆稳定问题
例：图示两端铰支矩形截面细长压杆，b=40mm，h=30mm，l =1.5m，材料为A3钢，E=206GPa，试按欧拉公式计算其临界压力。 解： 由于两端铰支压杆，各个方向约束相同，故 必在最小刚度平面内失稳。 由截面形状可知：
所以压杆的稳定性是不安全的.
例10-3 简易起重架由两圆钢杆组成，杆ABd ： ，杆 1 30mm
AC： d2 20mm ,两杆材料均为Q235钢, E 200GPa , s 240MPa
p 100, 0 60 ,规定的强度安全系数 ns 2，稳定安全系 数 nst 3 ，试确定起重机架的最大起重量 Fmax 。
C
2
45° B
F
1
0.6m
A
解: １、受力分析
FN 1 2F (拉)，FN 2 F (压)
2、由杆AC的强度条件确定 Fmax 。
FN 1 FN 2
A
F
FN 1 s 1 A1 ns
3、由杆AB的稳定条件确定 Fmax 。
s A1 F 26.7 KN 2ns
Fcr n nst FN 2
5 kN 1.5 kN m M B (2.25) 2 (1.05) 2 2.48 kNm T
按第三强度理论
12 kN
(b)
Mz
2.25 kNm
x (c )
(2580) 2 (1500) 2 80 106 W
得：
My
1.5 kN m 2.1kNm
x (d )
W
d 3
32
37.3 106 m3
压杆稳定问题/中、小柔度杆的临界应力
例10-1 有一千斤顶,材料为A3钢.螺纹内径d=5.2cm，最大 高度l=50cm,求临界载荷 Fcr 。(已知 s 235MPa , p 200MPa )
F
解:
惯性半径:
柔度:
I d i A 4
l 2 0 .5 77 i d /4
a 的许可值： a 29m
a 29.86m
例：图示悬臂梁的横截面为等边三角形，
C为形心，梁上作用有均布载荷ｑ，其作用方 向及位置如图所示，该梁变形有四种答案： （√ A）平面弯曲； （B）斜弯曲；
（C）纯弯曲；
（D）弯扭结合。
例：图示Z形截面杆，在自由端作用一集中
力P，该杆的变形设有四种答案： （A）平面弯曲变形； （ B）斜弯曲变形； √ （C）弯扭组合变形； （D）压弯组合变形。
p 100
A3钢:
可查得 a 304MPa , b 1.12MPa
压杆稳定问题/中、小柔度杆的临界应力
a s 0 61.6 b
0 < p
因此
可用直线公式.
Fcr cr A (a b ) A
2 (304 1.12 77) 10 d 4
例：具有切槽的正方形木杆，
受力如图。求：
（1）m-m截面上的最大拉应
力σt 和最大压应力σc；
（2）此σt是截面削弱前的σt
值的几倍？
解：(1)
Pa t N M P 4 2 a a A W c a 2 2 6 8P 2 a 4P 2 a
2
例：图示偏心受压杆。试求该
l 48 2 4 8 Eh 384l 2
2
b h y z h
例：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，若将 压杆的直径缩小一半，则其临界压力为原压杆的＿＿＿＿＿；若 1 / 16 将压杆的横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临界力为原 压杆的＿＿＿＿＿。 /3 解： （1）