《材料力学》第8章-组合变形及连接部分的计算-习题解
《材料力学》第八章课后习题参考答案
解题方法与技巧归纳
受力分析
在解题前首先要对物体进行受力分析， 明确各力的大小和方向，以便后续进 行应力和应变的计算。
图形结合
对于一些复杂的力学问题，可以画出 相应的示意图或变形图，帮助理解和 分析问题。
公式应用
熟练掌握材料力学的相关公式，能够 准确应用公式进行计算和分析。
检查结果
在解题完成后，要对结果进行检查和 验证，确保答案的正确性和合理性。
压杆稳定
探讨细长压杆在压缩载荷作用下的稳定性问题。
解题方法与技巧
准确理解题意
仔细审题，明确题目要求和考查的知识点。
选择合适的公式
根据题目类型和所给条件，选用相应的公式 进行计算。
注意单位换算
在计算过程中，要注意各物理量的单位换算， 确保计算结果的准确性。
检查答案合理性
得出答案后，要检查其是否符合实际情况和 物理规律，避免出现错误。
相关题型拓展与延伸
组合变形问题
超静定问题
涉及多种基本变形的组合，如弯曲与扭转 的组合、拉伸与压缩的组合等，需要综合 运用所学知识进行分析和计算。
超静定结构是指未知力数目多于静力平衡 方程数目的结构，需要通过变形协调条件 或力法、位移法等方法进行求解。
稳定性问题
疲劳强度问题
研究细长压杆在压力作用下的稳定性问题 ，需要考虑压杆的临界力和失稳形式等因 素。
研究材料在交变应力作用下的疲劳破坏行为 ，需要了解疲劳极限、疲劳寿命等概念和计 算方法。
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重点知识点回顾
材料的力学性质
包括弹性、塑性、强度、硬度等基本概念和 性质。
杆件的拉伸与压缩
涉及杆件在拉伸和压缩状态下的应力、应变及 变形分析。
材料力学(I)第八章 组合变形及连接部分的计算
同，故可将同一截面上的弯矩Mz和My按矢量相加。 例如，B截面上的弯矩
sb
12
M max Fl 。 W 4W
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第八章 组合变形及连接部分的计算
在FN 和Mmax共同作用下，危险 截面上正应力沿高度的变化随sb和st
ห้องสมุดไป่ตู้
的值的相对大小可能有图d ,e ,f 三种
情况。危险截面上的最大正应力是拉 应力：
s t ,max
Ft Fl A 4W
可见此杆产生弯一压组合变形。现按大刚度杆来计算应力。
15
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第八章 组合变形及连接部分的计算
2. AC杆危险截面m-m上的最大拉应力st,max和最大压应力
sc,max分别在下边缘f点处和上边缘g点处(图b)：
s t ,max
F M FN M max 或 s c ,max N max A W A W
强度条件为
26
s r 3 [s ] 或
s r 4 [s ]
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第八章 组合变形及连接部分的计算
究竟按哪个强度理论计算相当应力，在不同设计规范中并不
一致。注意到发生扭－弯变形的圆截面杆，其危险截面上危 险点处：
M W
s
T T Wp 2W
2 2
为便于工程应用，将上式代入式（a），（b）可得：
（a）
3. 根据钢管的横截面尺寸算得：
π 2 [ D ( D 2d ) 2 ] 4 40.8 10 4 m 2 π I [ D 4 ( D 2d ) 4 ] 64 868108 m 4 I W 124 10 6 m3 D/2 A
蔡中兵《材料力学》8组合变形及连接部分的计算
具有双对称截 面的梁，它在任何 一个纵向对称面内 弯曲时均为平面弯 曲。
故具有双对称截面的梁在两个纵向对称面内同时承受横向 外力作用时，在线弹性且小变形情况下，可以分别按平面弯曲 计算每一弯曲情况下横截面上的应力和位移，然后叠加。
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材料力学
mechanics of materials
x
P
y B
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四、处理组合变形的基本方法
1.外力分析
将外力简化并沿主惯性轴分解,将组合变形分解为基本变形, 使之每个力（或力偶）对应一种基本变形
2.内力分析 求每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定危险截面.分
别计算在每一种基本变形下构件的应力和变形
两相互垂直平面内弯曲时的应力计算
F2 a m
z F1 C(y,z)
O
z
my
y
x
m z
O Mz
My m y
在集中力F1 、 F2 作用下（双对称截面梁在水
平和垂直两纵向对称平面内同时受横向外力作用），
梁将分别在水平纵对称面(Oxz)和铅垂纵对称面
(Oxy)内发生对称弯曲。
在梁的任意横截面m-m上，F1 、 F2引起的弯矩为
M y F1 x,
M z F2 ( x a)
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F2 m
a
z F1 C(y,z)
O
z
my
y
x
m z
O Mz
My m y
在F2 单独作用下，梁在竖直平面内发生平面弯曲， z轴为中性轴。
工程力学 材料力学第八章 组合变形
。
2. 当偏心压力P的作用线与柱轴
线平行，但不通过横截面任一形
心主轴时，称为双向偏心拉伸（
压缩） 。
3. 偏心拉伸（压缩）将引起轴
向拉伸（压缩）和平面弯曲两种
基本变形。
P
P
双向偏心压缩
x
P
z
P
x
y
My
z
Mz
P
y
My
一、应力分析：
MZ
P
P
xP
A
xM
z
My
Mzy
9
W p 5300 10
4Q 4
0.5 P
Q
0.001P MPa
6
3 A 3 707 10
M
M
0.2 P
0.076 P MPa
9
W 2 650 10
M
M
2
2
0.076 P
2
0.076 P
1
2
3
0.034 P
OXY 平面）内发生平面弯曲，这类梁的弯曲变形称为斜弯
曲，它是两个互相垂直方向的平面弯曲的组合。
平面弯曲
斜弯曲
Pz
z
xz平面内的平面弯曲
Pz
z
y
P
z
Py
y
xy平面内的平面弯曲
Py
y
q
F
Me
纵
向
对称面
M y F1 x
B
A
y
M z F2 x a
x
FAy
F2
a
FBy
z
第八章-组合变形及连接部分的计算-习题选解.docx
[8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。
已知F2 l.OkN，试求危险截面上的最大正应力。
解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因[8-2]矩形截面木標条的跨度1 4m ,荷载及截面尺寸如图所示，木材为杉木, 弯曲许用正应力[]12MPa , E 9GPa ,许可挠度[w] 1/200 o试校核標条的强度和刚度。
1 0.8m , Fl 2.5kN ,钢材的拉压性能相同, 故只计算最大拉应力:maxMz MyWz Wy Wz Wy式中，Wz , Wy由14号工字钢, 查型钢表得到Wz 102cm^ , Wymax79.1 io'Pa MPa79 J2 102 10 6m3 16.1 10 6 n?■ . , ■ l ・6kN/m ________A 戈HHluq习题8解：（1）受力分析COS1.6 cos26° 34 1.431(/ kN mq z q sin 1.6 sin26°340.716( kN/m)(2)内力分析My .max4qz 1 81 2-q yl 2 8(3)应力分析Mz.max-4 0.716 8-1 1.432 84 2 1.432(kN m) 4? 2.864(kN m) 最大的拉应力出现在跨中截面的右上角点， 最大压应力出现在左下角点。
M y ・ maxz.maxmax式中,160 11026322667 mm?maxWz110 16O 26469333mm^1.432 1()6 N mm2.86425 心隔（4）强度分析 因为max（5）变形分析322667 mm?469333mm310.54MPa , [ ] 12MPa ,即max［所以杉木的强度足够。
最大挠度出现在跨中，查表得:■1-60-1-1^ 17746667 (mn?)12（6）刚度分析 12屮一37546667 mm^12Wcy5qyl4 5 1.431N/mm 4000^ mm^ 384EIz 384 9 1()3 N/mn? 37546667mm^14.12mmwcz5qzl^ 5 0.716N/mm 400()4 mn? 384EIy384 9103 N/mm217746667mm° 14.94.mm (Wc/ \i4.12 214.94220,56(mm)式中，ly12因为WmaxWc 20・56(mm) , [ w]400020(mm),即 Wmax [w],200 200 所以，从理论上讲，变形过大，不符合刚度要求。
第8章组合变形及连接部分的计算（答案）
第8章组合变形及连接部分的计算（答案）8.1梁的截⾯为2100100mm ?的正⽅形，若kN P30=。
试作轴⼒解：求得约束反⼒24Ax F KN =,9Ay F KN =，9B F KN =为压弯组合变形，弯矩图、轴⼒图如右图所⽰可知危险截⾯为C 截⾯最⼤拉应⼒maxmax 67.5ZM MPa W σ== 最⼤压应⼒max max69.9N Z M FMPa W Aσ=+=8.2若轴向受压正⽅形截⾯短柱的中间开⼀切槽，其⾯积为原来⾯积的⼀半，问最⼤压应⼒增⼤⼏倍？解：如图，挖槽后为压弯组合变形挖槽前最⼤压应⼒挖槽后最⼤压应⼒22222286/)2/(4/2/a P a a Pa a P W M A N c =+=+=σ8//82212==a P a P c c σσ211a P A N c ==σ8.3外悬式起重机，由矩形梁AB （2=bh尺⼨。
解：吊车位于梁中部的时候最危险，受⼒如图解得BC F P =,2Ax F P =，2Ay P F =梁为压弯组合变形，危险截⾯为梁中N F =压)，4PL M =(上压下拉)[]max4NZ F PL W A σσ=+≤,代⼊()226Z b b W =，A bh =，由2h b = 解得125b mm =， 250h mm =8.4图⽰为⼀⽪带轮轴（1T 、2T 与3T 相互垂直）。
已知1T 和2T 均为kN 5.1，1、2轮的直径均为mm 300，3轮的直径为mm 450，轴的直径为mm 60。
若M P a 80][=σ，试按第三强度理论校核该轴。
解：由已知条件解得32T KN = 内⼒图如右：最⼤弯矩所在截⾯可能为：1C M KN m ==?1.2D M KN m =?故危险截⾯为D 截⾯32T KN =由第三强度理论[]360r MPa σσ==故安全38.5铁道路标圆信号板装在外径mm D 60=的空⼼圆柱上，若信号板上所受的最⼤风载2/2m kN p =，MPa 60][=σ，试按第三强度理论选择空⼼柱的厚度。
材料力学笔记(第八章)
材料力学（土）笔记第八章 组合变形及连接部分的计算1．概 述工程实际中，构件在荷载作用下往往发生两种或两种以上的基本变形若几种变形所对应的应力（变形）属于同一数量级，则构件的变形成为组合变形对于组合变形下的构件，在线弹性、小变形条件下，可按构件的原始形状和尺寸进行计算 可先将荷载简化为符合基本变形外力作用条件的外力系分别计算构件在每一种基本变形下的内力、应力或变形利用叠加原理，综合考虑各基本变形的组合情况以确定构件的危险截面、危险点的位置及危险点的应力状态，并据此进行强度计算 若构件的组合变形超过了线弹性范围，或虽在线弹性范围内但变形较大则不能按其初始形状或尺寸进行计算，不能用叠加原理工程实际中，经常需要将构件相互连接铆钉、螺栓、键等起连接作用的部件，统称为连接件连接件（或构件连接处）的变形往往比较复杂，而其本身尺寸都比较小在工程设计中，通常按照连接的破坏可能性采用既能反映受力的基本特征，又能简化计算的假设，计算其名义应力然后根据直接试验的结果，确定其相应的许用应力，来进行强度计算这种简化计算的方法，称为工程实用计算法2．两相互垂直平面内的弯曲对于横截面具有对称轴的梁当横向外力或外力偶作用在梁的纵向对称面内时，梁发生对称弯曲 这是，梁变形后的轴线是一条位于外力所在平面内的平面曲线碰到双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内同时承受横向外力的作用情况这时梁分别在水平纵对称面（Oxz 平面）和铅垂纵对称面（Oxy 平面）内发生对称弯曲 在梁的任意横截面m-m 上，由1F 和2F 引起的弯矩值依次为1y M F x = 和 2()z M F x a =-梁的任一横截面m-m 上任一点(,)C y z 处与弯矩y M 和z M 相应的正应力分别为'yyM z I σ= 和 ''z z M y I σ=- 由叠加原理，在1F 和2F 同时作用下，截面m-m 上C 点处的正应力为 '''y z y z M M z y I I σσσ=+=-式中y I 和z I 分别为横截面对于两对称轴y 和z 的惯性矩y M 和z M 分别是截面上位于水平和铅垂对称平面内的弯矩且其力矩矢量分别与y 轴和z 轴的正向相一致在具体计算中，也可先不考虑弯矩和坐标的正负号，以其绝对值代入然后根据梁在荷载分别作用下的变形情况，判断由其引起该点处正应力的正负号为确定横截面上最大正应力点的位置，需求截面上中性轴的位置由于中性轴上各点处的正应力均为零，令0y 、0z 代表中性轴上任一点的坐标则由上式可得中性轴方程000yz yzM M z y I I -=由上式可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线其与y 轴的夹角为θ，且tan tan y y z I I z M y M I I θϕ==⨯= 对于圆形、正方形等y z ，有由于梁各横截面上的合成弯矩M 所在平面的方位一般不相同所以，虽然每一截面的挠度都发生在该截面的合成弯矩所在平面内梁的挠曲线一般仍是一条空间曲线梁的挠曲线方程仍应分别按两垂直平面内的弯曲来计算，不能直接用合成弯矩计算 确定中性轴位置后，作平行于中性轴的两条直线，分别与横截面周边相切于两点该两点即分别为横截面上拉应力和压应力为最大的点对于工程中常用的矩形、工字型等截面梁其横截面都有都有两个互相垂直的对称轴，且截面的周边具有棱角故横截面上的最大正应力必发生在截面的棱角处于是，可根据梁的变形情况，直接确定截面上最大拉、压应力点的位置，无需定出中性轴 在确定了梁的危险截面和危险点的位置，并算出危险点处的最大正应力之后由于危险点处于单轴应力状态，可按正应力强度条件计算横截面上的切应力，对于一般实体截面梁，其数值较小，可不必考虑3．拉伸（压缩）与弯曲3.1 横向力与轴向力共同作用等直杆受横向力和轴向力共同作用时，杆将发生弯曲与拉伸（压缩）组合变形对于弯曲刚度EI 较大的杆，由于横向力引起的挠度与横截面的尺寸相比很小因此，由轴向力在相应挠度上引起的弯矩可略去不计可分别计算由横向力和轴向力引起的杆横截面上的正应力按叠加原理求其代数和，即得在组合变形下，杆横截面上的正应力max ,max N t t b F M A Wσσσ=+=+ 当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时杆内的最大拉应力和最大压应力必须分别满足杆件的拉、压强度条件对于弯曲刚度EI 较小的杆件，在压缩和弯曲组合变形下轴向压力引起的附加弯矩较大，且其转向与横向力引起的弯矩相同因此不能按杆的原始形状来计算，叠加原理也不再适用3.2 偏心拉伸（压缩）作用在直杆上的外力，当其作用线与杆的轴线平行但不重合时，将引起偏心拉伸或偏心压缩 横截面具有两对称轴的等直杆承受矩截面形心为e （称为偏心距）的偏心拉力F 为例 先将作用在杆端截面上A 点处的拉力F 向截面形心1O 点简化得到轴向拉力F 和力偶矩Fe ，将力偶矩分解为ey M 和ez Msin ey F M Fe Fz α==cos ez F M Fe Fy α==式中，坐标轴y 、z 为截面的两个对称轴F y 、F z 为偏心拉力F 作用点（A 点）的坐标于是的得到一个包含轴向拉力和两个在纵对称面内的力偶的静力等效力系此力系将分别使杆发生轴向拉伸和在两相互垂直的纵对称面内的纯弯曲当杆的弯曲刚度较大时，同样可按叠加原理求解在上述力系作用下任一横截面n-n 上的任一点(,)C y z 处相应于轴力N F F =和两个弯矩的正应力，由叠加原理，的C 点处的正应力F F y zFz z Fy y F A I I σ⨯⨯=++ 利用惯性矩与惯性半径间的关系 2y yI A i =⨯，2z z I A i =⨯ 式子可改写为22(1)FF y zz z y y F A i i σ=++ 上式是一个平面方程，表明正应力在横截面上按线性规律变化应力平面与横截面相交的直线（沿该直线0σ=）就是中性轴令0y 、0z 代表中性轴上任一点的坐标，代入即得中性轴方程002210F F y z z y z y i i ++= 在偏心拉伸（压缩）情况下，中性轴是一条不通过截面形心的直线为定出中性轴的位置，可利用其在y 、z 两轴上的截距y a 和z a在上式中，令00z =，相应的0y 即为截距y a ，而令00y =，相应的0z 即为截距z a 由此求得2z y F i a y =-，2y z Fi a z =- A 在第一象限内，F y 、F z 都为正值，则y a 、z a 均为负值即中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧对于周边无棱角的截面，可作两条与中性轴平行的直线与横截面的周边相切两切点即为横街面上最大拉应力和最大压应力所在的危险点将危险点的坐标代入公式即可求得最大拉应力和最大压应力对于周边具有棱角的截面，其危险点必定在截面的棱角处，并可根据杆件的变形来确定 最大拉应力,max t σ和最大压应力,max c σ，其值为,max ,max t F F c yz Fz Fy F A W W σσ⎫⎪=±±⎬⎪⎭ 式子对箱型、工字形等具有棱角的截面都适用当外力的偏心距（F y 、F z ）较小时，中性轴可能不与横截面相交即横截面就可能不出现与轴力异号的应力由于危险点仍处于单轴应力状态，可按正应力的强度条件进行计算3.3 截面核心如前所述，当偏心轴向力F 的偏心距较小时，杆横截面上就可能不出现异号应力 因此当偏心压力F 的偏心距较小时，杆的横截面上可能不出现拉应力外力作用点离形心越近，中性轴距形心就越远当外力作用点位于截面形心附近的一个区域内时，就可以保证中性轴不与横截面相交，这个区域就称为截面核心当外力作用在截面核心的边界上时相对应的中性轴正好与截面的周边相切，利用这一关系就可确定截面核心的边界为确定任意形状截面的截面核心边界，可将与截面周边相切的任一直线视作中性轴 在y 和z 形心主惯性轴上的截距分别为1y a 和1z a可确定与该中性轴对应的外力作用点1按上述方法求得与其对应的截面核心边界上的点2、3、…的坐标连接这些点所得到的一条封闭曲线，即为所求截面核心的边界该边界曲线所包围的带阴影线的区域，即为截面核心圆截面对于圆心O 时极对称的，因此，截面核心的边界对于圆心也是极对称的为一圆心为O 的圆作一条与圆截面周边相切于A 点的直线，将其视为中性轴取OA 为y 轴，于是，该中性轴在y 和z 形心主惯性轴上的截距为1/2y a d =， 1z a =∞圆截面的222/16y z i i d ==，将其代入公式即得与其对应的截面核心边界上点1的坐标2211/16/28z y y i d d a d ρ=-=-=-，2110y z z i a ρ=-= 从而可知，截面核心边界是一个以O 为圆心，/8d 为半径的圆对于边长为b h ⨯的矩形截面，两对称轴y 和z 为截面的形心主惯性轴将与AB 向切的直线①视作中性轴，其在y 和z 轴上的截距分别为，矩形截面2212yb i =，2212z h i = 将上式代入，即得中性轴①对应的截面核心边界点上点1的坐标为2211/12/26z y y i h h a h ρ=-=-=-, 2110y z z i a ρ=-= 同理，分别将与矩形边界相切的直线②、③、④视作中性轴可得对应的截面核心边界上点2、3、4的坐标从而得到了截面核心边界上的4个点当中性轴从截面的一个侧边绕截面的顶点旋转到其相邻边时 将得到一系列通过边界点B 但斜率不同的中性轴而B 点的坐标(,)B B y z 是一系列中性轴共有的 将其代入中性轴方程，经改写后得2222110F F B B B B F F y z y z z y z y z y z y i i i i ++=++= 上式中，B y 、B z 为常数 因此该式就可看作时表示外力作用点坐标(,)F F y z 间关系的直线方程即当中性轴绕B 点旋转时，相应的外力作用点移动的轨迹是一条连接点1、2的直线将1、2、3、4四点中相邻的两点连以直线，即得矩形截面的截面核心边界截面核心为位于截面中央的菱形对于具有棱角的截面，均可按照上述方法确定其截面核心对于周边有凹进部分的截面（例如槽型或T 字型截面等）在确定截面核心边界时，应该注意不能取与凹进部分的周边相切的直线作为中性轴，因为这种直线显然约横截面相交4．扭转与弯曲一般的传动轴通常发生扭转与弯曲组合变形讨论杆件发生扭转与弯曲组合变形时的强度计算直径为d 的等直圆杆AB ，A 端固定，B 端具有与AB 成直角的刚臂，并受铅垂力F 作用，将F 简化为一作用于杆端截面形心的横向力F 和一作用于杆端的力偶矩e M Fa = 杆AB 将发生弯曲与扭转组合变形分别作杆的弯矩图和扭矩图，可见杆的危险截面为固定端截面，内力分量分别为M Fl =， e T M Fa ==由弯曲和扭转的应力变化规律可知危险截面上的最大弯曲正应力σ发生在铅垂直径的上、下两端点对于许用拉应力，压应力相等的塑性材料来说，该两点的危险程度相同 研究任一点，围绕该点分别用横截面、径向纵截面和切向纵截面截取单元体 该点应力状态如图所示，可见该点处于平面应力状态，其三个主应力为132σσσ⎫=⎬⎭ 20σ= 对于塑性材料制成的杆件，选用第三或第四强度理论来建立强度条件用第三、第四强度理论，将上述各应力代入向相应的应力表达式求得相当应力后，即可根据材料的许用应力[]σ来建立强度条件，对杆进行强度计算 其中弯曲正应力/M W σ=，扭转切应力/p T W τ=，对于圆截面杆2p W W =截面周边各点处弯曲正应力的数值和正负号都将随着轴的转动而交替变化这种应力称为交变应力，交变应力下工作的构件另有相应的计算准则5．连接件的实用计算法5.1 剪切的实用计算设两块钢板用螺栓连接后承受拉力F螺栓在两侧面上分别收到大小相等、反向相反、作用线相距很近的两组分布力系的作用 螺栓在这样的作用下，将沿两侧外力之间，并与外力作用线平行的截面m-m 发生相对错动称为剪切面应用截面法，可得剪切面上的内力，即剪力s F在剪切实用计算中，假设剪切面上各点处的切应力相等 于是剪切面上的名义切应力为S sF A τ=式中s A 为剪切面面积，s F 为剪切面上的剪力 通过试验得到剪切破坏时材料的极限切应力u τ，除以安全因数，得许用应力[]τ 剪切强度表示为[]S sF A ττ=≤ 名义切应力并不反映剪切面上切应力的精确理论值只是剪切平面上的平均切应力但对于低碳钢等塑性材料材料制成的连接件，变形较大而临近破坏时剪切面上的切应力将逐渐趋于均匀而且满足剪切强度条件式，不至于发生剪切破坏，从而满足工程需要对于大多数的连接件来说，剪切变形及剪切强度时主要的5.2 挤压的实用计算螺栓连接中，在螺栓与钢板相互接触的侧面上，将发生彼此间的局部承压现象，称为挤压 在接触面上的压力，称为挤压力，并记为bs F挤压力可根据被连接件所受的外力，由静力平衡条件求得当挤压力过大时，可能引起螺栓压扁或钢板在孔缘压皱，从而导致连接松动失效在挤压实用计算中，假设名义挤压应力的计算式为bs bs bsF A σ= 式中，bs F 为接触面上的挤压力；bs A 为计算挤压面面积当接触面为圆柱面时，计算挤压面面积bs A 取为实际接触面在直径平面上的投影面积 理论表明，这类圆柱状连接件与钢板孔壁间接触面上的理论挤压应力沿圆柱的变化情况如图 计算所得的名义挤压应力与接触面中点处的最大理论挤压应力值相近当连接件与被连接构件的接触面为平面时，计算挤压面面积即为实际接触面的面积 通过试验，按名义挤压应力公式得到的材料的极限挤压应力，除以安全因数确定许用挤压应力[]bs σ，则挤压强度条件可表达为[]bs bs bs bsF A σσ=≤ 注意，挤压应力是在连接件和被连接件之间相互作用的当两者材料不同时，应校核其中许用挤压应力较低的材料的挤压强度6．铆钉连接的计算铆钉连接在建筑结构中被广泛采用铆接的方式主要有搭接、单盖板对接和双盖板对接三种搭接和单盖板对接中的铆钉具有一个剪切面（称为单剪）双盖板对接中的铆钉具有两个剪切面（称为双剪）6.1 铆钉组承受横向荷载在搭接和单盖板对接中，由铆钉的受力可见铆钉（或钢板）显然将发生弯曲在铆钉组连接中，在弹性变形阶段两端铆钉的受力与中间铆钉的受力并不完全相同 为简化计算，并考虑到连接在破坏前将发生塑性变形，在铆钉计算中假设①不论铆接的方式如如何，均不考虑弯曲的影响②若外力的作用线通过铆钉组横截面的形心，且同一组内各铆钉的材料与直径均相同，则每个铆钉的受力相等 按照上述假设，即可得每个铆钉的受力1F 为1F F n= 式中，n 为铆钉组中的铆钉数求得每个铆钉的受力1F 后，即可分别校核其剪切强度和挤压强度被连接件由于铆钉孔的削弱，其拉伸强度应以最弱截面（轴力较大，截面积较小）为依据 不考虑集中应力的影响对于销钉或螺栓连接，其分析计算方法与铆钉连接相同6.2 铆钉组承受扭转荷载承受扭转荷载的铆钉组，由于被连接件（钢板）的转动趋势每一铆钉的受力将不再相同令铆钉组横截面形心为O 点 假设钢板的变形不计，可视为刚体于是，每一铆钉的平均切应变与该铆钉截面中心至O 点的距离成正比，其方向垂直于该点与O 点的连线由合力矩定理，每一铆钉上的力对O 点力矩的代数和等于钢板所受的扭转力偶矩e M ，即 e i i M Fe Fa ==∑式中，i F 为铆钉i 所受的力；i a 为该铆钉截面中心至铆钉组截面形心的距离对于承受偏心横向荷载的铆钉组可将偏心荷载F 向铆钉组截面形心O 简化得到一个通过O 点的荷载F 和一个绕O 点旋转的扭转力偶矩e M Fe =若同一铆钉组中每一铆钉的材料和直径均相同则可分别计算由力F 引起的力'i F 和由转矩e M 引起的力''i F铆钉i 的受力为'i F 和''i F 的矢量和求得铆钉i 的受力i F 后，可分别校核受力最大的铆钉的剪切强度和挤压强度。
材料力学第八章组合变形及连接部分的计算
Mz 0 FN Iy A
F
350
M
FN
425 10 3 F 0.075 F 5.3110 5 15 10 3 667 F Pa F Mz c. max 1 N Iy A
t .max
c.max
425 10 3 F 0.125 F 5 5.31 10 15 10 3 934 F Pa
50 150
425F 103 N.m
A 15000 mm2 z0 75mm z1 125mm I y 5.31107 mm4
y1
z0
y
z1
150 50 150
（2）立柱横截面的内力 FN F 50 M 425103 F N.m （3）立柱横截面的最大应力
az
中性轴
z0 0 y0 0
i z2 a y yo ey 2 iy a z zo ez
截面核心
y
中性轴
F (e y , e z )
z
求直径为D的圆截面的截面核心.
d a y1 2
i z2 ay ey
a z1
az
2 iy
2 4 d d 64 2 iy i z2 2 A d 4 16
F
1， 首先将斜弯曲分解 为两个平面弯曲的叠加
Fy F cos
L2
L2
Z y
My Wy
Fz F sin
2， 确定两个平面弯曲的最大弯矩
Z y
Wz 70.758cm 3
Mz
Fy L 4
Fz L My 4
查表： W y 692.2cm 3
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第八章 组合变形及连接部分的计算 习题解[习题8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。
已知m l 8.0=，kN F 5.21=，kN F 0.12=，试求危险截面上的最大正应力。
解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压性能相同，故只计算最大拉应力：式中，z W ，y W 由14号工字钢，查型钢表得到3102cm W z =，31.16cm W y =。
故MPa Pa mm N m m N 1.79101.79101.168.0100.11010228.0105.236363363max=⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=--σ [习题8-2] 受集度为 q 的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为 030=α，如图所示。
已知该梁材料的弹性模量 GPa E 10=；梁的尺寸为m l 4=，mm h 160=，mm b 120=；许用应力MPa 12][=σ；许用挠度150/][l w =。
试校核梁的强度和刚度。
解：（1）强度校核)/(732.1866.0230cos 0m kN q q y =⨯== （正y 方向↓）)/(15.0230sin 0m kN q q z =⨯== （负z 方向←）)(464.34732.1818122m kN l q M y zmaz ⋅=⨯⨯== 出现在跨中截面)(241818122m kN l q M z ymaz ⋅=⨯⨯== 出现在跨中截面)(5120001601206161322mm bh W z =⨯⨯==)(3840001201606161322mm hb W y =⨯⨯==最大拉应力出现在左下角点上：yy z z W M W M maxmax max +=σ MPa mmmm N mm mm N 974.1138400010251200010464.33636max=⋅⨯+⋅⨯=σ因为 MPa 974.11max =σ，MPa 12][=σ，即：][max σσ<所以 满足正应力强度条件，即不会拉断或压断，亦即强度上是安全的。
（2）刚度校核=m w m 0267.0150/4][0202.0==<=。
即符合刚度条件，亦即刚度安全。
[习题8-3] 悬臂梁受集中力F 作用如图所示。
已知横截面的直径mm D 120=，mm d 30=，材料的许用应力MPa 160][=σ。
试求中性轴的位置，并按照强度条件求梁的许可荷载[F]。
解：F F F y 866.030cos 0== （正y 方向↓）F q F z 5.030sin 0== （负z 方向←）)(732.12866.0m N F F l F M y zmaz ⋅=⨯== 出现在固定端截面，上侧受拉 )(25.0m N F F l F M z ymaz ⋅=⨯== 出现在固定端截面，外侧受拉)34(64]41641[2641442244d D d d d D I z -=⋅+⋅-=ππππ 4448822419)3034120(6414.3mm =⨯-= )2(6464126414444d D d D I y -=⨯-=πππ 44410094119)302120(6414.3mm =⨯-=9816577.1882241910094119732.1tan max max =⋅=⋅=F F I I M M z y y z θ'001363223.639816577.1arctan ===θ，即：中性轴是过大圆的圆心，与y 轴的正向成'1363的一条直线（分布在二、四象限）。
F F F M M M y z 23222max 2max max =+=+= （沿F 作用线方向）)(1470406088224192/3mm D I W z z ===MPa mm mm N F W M z 16014704010233max max ≤⋅⨯==σkN N F 763.1111763=≤kN F 763.11][=[习题8-4] 图示一楼梯木料梁的长度m l 4=，截面为m m 1.02.0⨯的矩形，受均布荷载作用，m kN q /2=。
试作梁的轴力图和弯矩图，并求横截面上的最大拉应力与最大压应力。
解：以A 为坐标原点，AB 方向为x 轴的正向。
过Ａ点，倾斜向下方向为y 轴的正向。
)/(121230sin 0m kN q q x =⨯== （负x 方向：↙） )/(323230cos 0m kN q q y =⨯== （正y 方向：↘） A 、B 支座的反力为：kN X A 4=，kN R Y B A 32== ＡＢ杆的轴力：4)4()(-=--=x x q x N xＡＢ杆的弯矩：2223322132)(x x x q x x M y -=-= x 0 1 2 3 4 N -4 -3-2 -1 0 M2.5983.4642.598AB 杆的轴力图与弯矩图如图所示。
23222.01.0)4(2.01.061)866.0464.3()()()(m kNx m m kN x x A x N W x M x z t ⨯--⨯⨯⋅-=-=σ )4(50)866.0464.3(15002x x x ---= x x x 50200129951962+--= 200524612992-+-=x x （)kPa令052462598)(=+-=x dxx d t σ，得：当m x 019.2=时，拉应力取最大值： MPa kPa t 097.5)(5.5096200019.25246019.212992max ≈=-⨯+⨯-=σ23222.01.0)4(2.01.061)866.0464.3()()()(m kNx m m kN x x A x N W x M x z c ⨯--⨯⨯⋅--=--=σ )4(50)866.0464.3(15002x x x ----=x x x 50200129951962+-+-=200514612992--=x x 令051462598)(=-=xdxx d t σ，得：当m x 981.1=时，压应力取最大值： MPa kPa c 297.5)(5.5296200981.15146981.112992max -≈-=-⨯-⨯=σ[习题8-5] 图示一悬臂滑车架，杆AB 为18号工字钢，其长度为m 。
试求当荷载作用在AB 的中点D 处时，杆内的最大正应力。
设工字钢的自重可略去不计。
解：18号工字钢，，AB 杆系弯压组合变形。
AF W M BC c 0max30cos --=中σ0=∑A M ：0230sin 0=⋅-⋅lF l F BC ，kN F BC 25= )(25.1626.25.025230sin 0m kN l F M BC ⋅=⨯⨯=⋅=中 MPa Pa mNm m N c 9.9410)07.783.87(106.302310251085.11025.166243343max -=⨯+-=⨯⨯⨯-⨯⋅⨯-=-σ [习题8-6] 砖砌烟囱高m h 30=，底截面m m -的外径m d 31=，内径m d 22=，自重kN P 20001=，受m kN q /1=的风力作用。
试求：（1）烟囱底截面上的最大压应力；（2）若烟囱的基础埋深m h 40=，基础及填土自重按kN P 10001=计算，土壤的许用压应力MPa 3.0][=σ，圆形基础的直径D 应为多大？注：计算风力时，可略去烟囱直径的变化，把它看作是等截面的。
解：烟囱底截面上的最大压应力：==土壤上的最大压应力：即即解得：m[习题8-7] 螺旋夹紧器立臂的横截面为b a ⨯和矩形，如图所示。
已知该夹紧器工作时承受的夹紧力kN F 16=，材料的许用应力MPa 160][=σ，立臂厚mm a 20=，偏心距mm e 140=。
试求立臂宽度b 。
解：立柱是拉弯构件。
最大拉应力为： )61(6122max be b a F ab Fe ab F t +=+=σ )14061(20160002b b ⨯+=)8401(8002b b +=正应力强度条件：][max σσ≤t 160)8401(8002≤+bb0420052=--b b解得：mm b 356.67=[习题8-8] 试求图示杆内的最大正应力。
力F 与杆的轴线平行。
解：（1）求T 形截面的形心位置形心在y 轴上，0484282222=+⋅+⋅-=a a a a a a y C （2）把力F 先向y 轴平移，产生一个Fa a F M y 22-=⋅-=；然后，再把F 向z 轴平移，又产生一个Fa a F M z 22-=⋅-=。
故，T 形截面的杆件是拉伸与双向弯曲的组合变形构件。
（3）判断最大拉应力与最大压应力出现的位置由y M 、z M 的方向（正负号）可知，A 点处拉应力最大，B 点处压应力最大。
（4）计算最大拉应力 422322332]4)2()4(121[]8)2(4121[a a a a a a a a a I z =⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅=zAz y A y A t I y M I z M A F ++==σσmax 22442572.02641513222112212aFa F a a aF a a aF a F ≈=⋅+⋅+=（5）计算最大压应力zA z yB y B c I y M I z M A F --==σσmax22442258.0661********.0212aFa F a a aF a a aF a F -≈-=⋅-⋅-=故杆内的最大正应力是：2max 572.0aFA t ==σσ。
[习题8-9] 有一高为m 2.1、厚为m 3.0的混凝土墙，浇筑于牢固的基础上，用作挡水用的小坝。
试求：（1）当水位达到墙顶时，墙底处的最大拉应力和最大压应力（高混凝土的密度为33/1045.2m kg ⨯）；（2）如果要求混凝土中没有拉应力，试问最大许可水深h 为多大？解：（1）求墙底处的最大拉应力和最大压应力沿墙长方向取m 1作为计算单元，则墙的重力为：)(6436.88.945.2)2.113.0(kN G =⨯⨯⨯⨯= （↓）作用在墙底处的水压力为：)/(76.1112.18.91m kN h q =⨯⨯=⨯⋅=γ墙底处的弯矩：)(8224.22.131)2.176.1121(m kN M ⋅=⨯⨯⨯⨯=混凝土墙为压弯构件，墙底的应力为：MPa kPa m mkN mkN W M A G z c 217.0972.2163.01618224.213.06436.8322max -=-=⨯⨯⋅-⨯-=--=σ（右） MPa kPa m m kN m kN W M A G z t 159.0348.1593.01618224.213.06436.8322max ==⨯⨯⋅+⨯-=+-=σ（左）（2）求混凝土中没有拉应力时的水深h作用在墙底处的水压力为：)/(8.918.91m kN h h h q =⨯⨯=⨯⋅=γ墙底处的弯矩：)(39.431)8.921(3m kN h h h h M ⋅=⨯⨯⨯⨯=09.108812.283.016139.413.06436.833232max =+-=⨯⨯⋅+⨯-=+-=h m mkN h mkN W M A G z t σ 09.108812.283=+-h )(642.0m h =故当m h 642.0=时，混凝土中不出现拉应力。