机械能专题

一、功功是力的空间积累效应。

它和位移相对应（也和时间相对应）。

⑪ 按照定义求功。

即：cos W FS θ=，其中S 是指对地的位移(功的数值与参照系的选择有关)，F 是伴随位移全过程的恒力，θ是F 和S方向的夹角。

当090θ︒≤<︒时，cos 0θ>，0W >；表明外力促使物体运动，对物体做正功． 当90180θ︒<≤︒时，cos 0θ<，0W <；表明外力阻碍物体运动，对物体做负功． 当90θ=︒时，不做功．判断方法有：①用力和位移的夹角α判断;②用力和速度的夹角θ判断定;③用动能变化判断. 功是标量．功的正负不表示功的大小． (2)用示功图表示(3)用W Pt =来计算．问题1：弄清求变力做功的几种方法功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用cos W FS θ=，下面对变力做功问题进行归纳总结如下： 1、等值法等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。

而恒力做功又可以用W=FScosa 计算，从而使问题变得简单。

1. 如图1，定滑轮至滑块的高度为h ，已知细绳的拉力为F （恒定），滑块沿水平面由A 点前进S 至B 点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。

求滑块由A 点运动到B 点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。

分析与解：设绳对物体的拉力为T ，显然人对绳的拉力F 等于T 。

T 在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。

但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。

而拉力F 的大小和方向都不变，所以F 做的功可以用公式W=FScosa 直接计算。

由图1可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中,拉力F 的作用点的位移大小为：12sin sin h h S S S αβ∆=-=-11.()T F W W F S Fh αβ==∆=-2、微元法当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。

2. 如图2所示，某力F=10N 作用于半径R=1m 的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F 做的总功应为： A 、 0J B 、20πJ C 、10J D 、20J.分析与解：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故W F s ∆=∆，则转一周中各个小元段做功的代数和为2π102πJ=20πJ=62.8J W F R =⨯=⨯，故B 正确。

3、平均力法如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值（恒力）代替变力，利用功的定义式求功。

3. 一辆汽车质量为510kg ，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。

其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为3010F x f =+，0f 是车所受的阻力。

当车前进100m 时，牵引力做的功是多少？分析与解：由于车的牵引力和位移的关系为3010F x f =+，是线性关系，故前进100m 过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力F 所做的功。

由题意可知5400.051010510f N N =⨯⨯=⨯,所以前进100m 过程中的平均牵引力:4345510(10010510)1102F N N ⨯+⨯+⨯==⨯∴57110100J=110J W FS ==⨯⨯⨯。

4、用动能定理求变力做功4. 如图3所示，AB 为1/4圆弧轨道，半径为0.8m ，BC 是水平轨道，长L=3m ，BC 处的摩擦系数为1/15，今有质量m=1kg 的物体，自A 点从静止起下滑到C 点刚好停止。

求物体在轨道AB 段所受的阻力对物体做的功。

F 01SS恒力的功线性变力的功1图F2图3图RABC分析与解：物体在从A 滑到C 的过程中，有重力、AB 段的阻力、AC 段的摩擦力共三个力做功，重力做功G W mgR =，水平面上摩擦力做功1f W mgL μ=-，由于物体在AB 段受的阻力是变力，做的功不能直接求。

根据动能定理可知：0W =外， 所以-0AB mgR mgL W μ-= 即6(J)AB W mgR mgL μ=-=5、用机械能守恒定律求变力做功如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能守恒定律。

如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律来求解。

5. 如图4所示，质量m=2kg 的物体，从光滑斜面的顶端A 点以v 0=5m/s 的初速度滑下，在D 点与弹簧接触并将弹簧压缩到B 点时的速度为零，已知从A 到B 的竖直高度h=5m ，求弹簧的弹力对物体所做的功。

分析与解：由于斜面光滑故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等。

取B 所在水平面为零参考面，弹簧原长处D 点为弹性势能的零参考点，则状态A ：2012A E mgh m =+v对状态B ：W 0B E =-+弹簧由机械能守恒定律得：201W ()125J 2mgh m =-+=-弹簧v 。

6、用功能原理求变力做功6. 两个底面积都是S 的圆筒，放在同一水平面上，桶内装水，水面高度分别为h 1和h 2，如图5所示，已知水的密度为ρ。

现把连接两桶的阀门打开，最后两桶水面高度相等，则这过程中重力所做的功等于 . 分析与解：由于水是不可压缩的，把连接两桶的阀门打开到两桶水面高度相等的过程中，利用等效法把左管高122h h-以上部分的水等效地移至右管，如图6中的斜线所示。

最后用功能关系，重力所做的功等于重力势能的减少量，选用AB 所在的平面为零重力势能平面，则画斜线部分从左管移之右管所减少的重力势能为：21212121212121()()()()()24244p p h h h h h h h hE E gS gS gS h h ρρρ-----=+=- 所以重力做的功2121()4G W gS h h ρ=-问题2：弄清滑轮系统拉力做功的计算方法当牵引动滑轮两根细绳不平行时，但都是恒力，此时若将此二力合成为一个恒力再计算这个恒力的功，则计算过程较复杂。

但若等效为两个恒力功的代数和，将使计算过程变得非常简便。

7. 如图7所示，在倾角为30°的斜面上，一条轻绳的一端固定在斜面上，绳子跨过连在滑块上的定滑轮，绳子另一端受到一个方向总是竖直向上，大小恒为F=100N 的拉力，使物块沿斜面向上滑行1m(滑轮右边的绳子始终与斜面平行)的过程中，拉力F 做的功是( )A.100JB.150JC.200JD.条件不足，无法确定分析与解析：拉力F 做的功等效为图8中F1、F2两个恒力所做功的代数和。

即12cos60W F S F S =⋅+︒,而F 1=F 2=F=100N,所以(1cos60)150J W F S =⋅+︒=。

即B 选项正确。

问题3：弄清求某力的平均功率和瞬时功率的方法8. 质量为m=0.5kg 的物体从高处以水平的初速度0v =5m/s 抛出，在运动t=2s 内重力对物体做的功是多少？这2s 内重力对物体做功的平均功率是多少？2s 末，重力对物体做功的瞬时功率是多少？（g 取210/m s ）分析与解：t=2s 内，物体在竖直方向下落的高度22111022022h gt ==⨯⨯=m ，所以有0.51020100G W mgh J ==⨯⨯=，平均功率50W P t==W 。

在t=2s 末速度物体在竖直方向的分速度20/yt V gt m s ==,所以t=2s 末瞬时功率100yt P mgV ==W 。

9. 起重机的钢索将重物由地面吊到空中某个高度，其速度图象如图9所示，则钢索拉力的功率随时间变化的图象可能是图10中的哪一个？5图6图4图7图8图分析与解：在0～t 1时间内，重物加速上升，设加速度为a 1,则据牛顿第二定律可得钢索的拉力F 1=mg+ma 1,速度v t =a 1t,所以拉力的功率为：P 1=m(a 1+g)a 1t;在t 1～t 2时间内，重物匀速上升，拉力F 2=mg,速度为v 1=a 1t 1,所以拉力的功率为： P 2=mga 1t 1.在t 2～t 3时间内，重物减速上升，设加速度大小为a 2,则据牛顿第二定律可得钢索的拉力F 2=mg-ma 2,速度v 2=a 1t 1-a 2t,所以拉力的功率为：P 1=m(g-a 2)(a 1t 1-a 2t). 综上所述，只有B 选项正确。

问题4：.机车起动的问题发动机的功率：即牵引力的功率，P F =牵v（1）汽车的速度最大值m v 对应的牵引力与阻力相等，m P f =v（2）汽车的满功率起动 （3）汽车的匀加速起动10. 汽车质量5t ，发动机额定功率60kW ，动摩擦因数0.1，求：（1）起动后能达到的最大速度是多少；（2）汽车从静止开始，以0.5m/s 2匀加速起动，这一加速度能维持多长时间？（3）当汽车的加速度为0.2m/s 时，汽车的速度是多少？（4）若汽车以额定功率起动，达到最大速度所用时间为10s ，则此时间内的位移是多少？解析：（1）3510f mg N μ==⨯， 12/m P m s f ==v（2）11F f ma -=, 17500F N = 118/P m s F ==v11at =v , 116t s =.（3）22F f ma -=, 26000F N =2210/P m s F ==v（4）23102m Pt mgs m μ-=-v ,48s m =11. 汽车发动机额定功率为60 kW ，汽车质量为5.0×103 kg ，汽车在水平路面行驶时，受到的阻力大小是车重的0.1倍，试求：汽车保持额定功率从静止出发后能达到的最大速度是多少？分析与解：汽车以恒定功率起动时，它的牵引力F 将随速度v 的变化而变化，其加速度a也随之变化，具体变化过程可采用如下示意图表示：}P F F a F f ma=→↑→↓→↓-=v vF f =时，0a =，匀速最大速度时，F f =，min m m P F f ==v v 由此可得汽车速度达到最大时，a =0，}mm F f kmg P P F kmg==⇒==⋅v v =12 m/s小结：机车的速度达到最大时，一定是机车的加速度为零。

弄清了这一点，利用平衡条件就很容易求出机车的最大速度。

问题5：机车匀加速起动的最长时间问题12. 汽车发动机额定功率为60 kW ，汽车质量为5.0×103 kg ，汽车在水平路面行驶时，受到的阻力大小是车重的0.1倍，试求：若汽车从静止开始，以0.5 m/s 2的加速度匀加速运动，则这一加速度能维持多长时间？分析与解：要维持汽车加速度不变，就要维持其牵引力不变，汽车功率将随V 增大而增大，当P 达到额定功率P 额后，不能再增加，即汽车就不可能再保持匀加速运动了.具体变化过程可用如下示意图表示：111111P F f ma a at F P⎧↑→↑⎪-=⎨=→=⎪⎩不变v v v P F F a F f ma ⎫=→↑→↓⎪→↓⎬-=⎪⎭v vF f =时，0a =，匀速匀加速时间11t a=v ，当功率增大到P 时，不能保持牵引力1F ，此时11F f ma -= 所以，汽车达到最大速度之前已经历了两个过程：匀加速和变加速，匀加速过程能维持到汽车功率增加到P 额的时刻，设匀加速能达到最大速度为v 1，则此时A10图DCB1321321329图tv 1v v 211:16s at P F t F kmg ma=⎧⎪⎪==⎨⎪-=⎪⎩额代入数据可得v v 小结：机车匀加速度运动能维持多长时间，一定是机车功率达到额定功率的时间。