分式与分式方程专题三【分式的加减法】
北师版八年级下册数学精品教学课件 第五章 分式与分式方程 第3课时 异分母分式的加减(2)
3
m
m3
3m
3
2m （m 3）
m 3m 3
m
m3
3m
3
从 1，-3，3 中任 选一个你喜欢的 m 值代入求值.
1. m3
当
m
=
1
时，原式
1 1
3
1 2
做一做
先化简，再求值： 1 x 1
x
2 2
，其中 1
x
2.
解：
1 x 1
2 x2 1
1 x 1
2 (x 1)(x 1)
(x 1)
2
(x 1)(x 1) (x 1)(x 1)
计算结果要化为最简分式或整式．
例解4：原计式算： （m1）2m22
2m
5 2m
m
5 ••232m3mm4mm;41
2
(m
或
2)(2 2m
m)
9 m2 • 2m 2
先算括号里的
2m 3m
加法，再算括
3 m3 m 22 m
•
号外的乘法
2m
3m
2m 3 2m 6.
注：当式子中出现整式时，把整式看成整体，并把
第五章 分 式
5.3 分式的加减法
第3课时 异分母分式的加减(2)
复习引入 1. 分式的乘除法则是什么？用字母表示出来：
b d bd a c ac
b d b c bc a c a d ad
2. 分式的加减法则是什么？用字母表示出来：
b d bc ad bc ad a c ac ac ac
异分母 通分 相加减 转化为
同分母 分母不变 相加减 转化为
分子 (整式) 相加减
2. 分式的混合运算法则 先算乘除，再算加减；如果有括号先算括号内的.
初二数学分式的加减运算
初二数学分式的加减运算分式是初中数学中重要的概念之一，也是数学中常见的计算方式。
在初二阶段，学生需要掌握分式的加减运算方法。
本文将介绍初二数学分式的加减运算，并通过实例进行讲解。
一、分式的基本概念回顾在进行分式的加减运算之前，我们需要回顾分式的基本概念。
一个分数由分子和分母组成，分子表示分数的实际数量，分母表示把整体分成的份数。
分式可以用下面的形式表示：a/b其中，a为分子，b为分母。
分式可以表示有理数，可以是整数，也可以是小数。
在分式的加减运算中，我们需要找到公共分母，然后进行运算。
二、分式的加法运算分式的加法运算是将两个分式相加，首先需要找到它们的公共分母，然后将其转化为相同的分数进行运算。
具体步骤如下：1. 找到两个分式的公共分母。
2. 将分式转化为相同的分母。
3. 将分子相加，分母保持不变。
4. 如果结果可以简化，进行简化。
5. 如果需要，将结果写成最简形式。
下面通过一个实例来说明分式的加法运算：例1：计算 1/3 + 1/4解：首先找到两个分式的公共分母，这里可以取12作为公共分母。
然后将分式转化为相同的分母，得到：4/12 + 3/12接下来，将分子相加，分母保持不变，得到：7/12最后，结果已经是最简形式，因此答案为 7/12。
三、分式的减法运算分式的减法运算与加法运算类似，也需要找到公共分母，然后将其转化为相同的分数进行运算。
具体步骤如下：1. 找到两个分式的公共分母。
2. 将分式转化为相同的分母。
3. 将分子相减，分母保持不变。
4. 如果结果可以简化，进行简化。
5. 如果需要，将结果写成最简形式。
下面通过一个实例来说明分式的减法运算：例2：计算 2/5 - 1/10解：首先找到两个分式的公共分母，这里可以取10作为公共分母。
然后将分式转化为相同的分母，得到：4/10 - 1/10接下来，将分子相减，分母保持不变，得到：3/10最后，结果已经是最简形式，因此答案为 3/10。
四、分式的加减混合运算在分式的加减运算中，也可能出现多个分式混合的情况，我们可以先进行分式的加法运算，然后再进行减法运算。
《分式的加减法》分式与分式方程PPT(第2课件)
货物．现在让大船完成运送100吨货物的任务，小船完成运送80吨货物的任务．
(1)分别写出大船、小船完成任务用的时间；
(2)试说明哪艘轮船完成任务用的时间少？
解：(1)大船完成任务的时间为
80
100 x 10
天；
小船完成任务的时间为 x 天．
(2)
100 x 10
80 = 2（0 x-40） x x（x 10）
远眺图使用说明
1、远眺距离为1米-2.5米(远眺图电脑版比纸质 版小，距离相应缩短)，每日眺望5次以上，每次 3—15分钟。
2、要思想集中，认真排除干扰，精神专注，高 度标准为使远眺图的中心成为使用者水平视线的 中心点。
3、远眺开始，双眼看整个图表，产生向前深进 的感觉，然后由外向内逐步辨认每一层的绿白线 条。
236 6 6
3 a
+
41a 应该怎样计算？
(2) 1 - 1 = 3 - 2 = 1 . 2 36 6 6
把异分母的分式化成同分母的分式，再按同分母的分式加减.
活动探究
问题2：小明和小亮都认为只要把异分母的分式化成同分母的分式，再按同 分母的分式加减.但他两做法不同，你对两种做法有什么看法？
解：他们都是根据分式的根本性质将异分母化成同分母的分式加减；但他们 取得的公分母不同，一个是4a ²，另一个是是4a，后者比前者简单.
1
解：（1）小刚从家到学校需要的时间
v
2 3v
=
32 3v
=
5（h) 3v
活动探究
问题：小刚家和小丽家到学校的路程都是3 km ，其中小丽走的是平路，骑车 速度是2v km/h.小刚需要走1 km的上坡路,2 km的下坡路，在上坡路上的骑车速度 为v km/h，在下坡路上的骑车速度为3v km/h .那么
分式与分式方程
分式与分式方程分式是指形如 $\frac{a}{b}$ 的数，其中 a 和 b 都是实数，且 b 不等于零。
分式方程则是含有分式的方程。
在解分式方程之前，我们先来了解一下分式、分式的化简和分式方程的一些基本概念。
一、分式的基本概念分式由分子和分母组成，分子表示分式的被除数，而分母则表示分式的除数。
1. 真分数和假分数当分子小于分母时，分式称为真分数；当分子大于等于分母时，分式称为假分数。
如 $\frac{3}{4}$ 是真分数，$\frac{5}{3}$ 是假分数。
2. 约分和通分约分是指将分式的分子和分母同时除以一个公约数，使得分子和分母的最大公约数为1。
通分是指将分式的分子和分母同时乘以一个系数，使得分式的分母相等。
通分后可以进行分式的加减运算。
如$\frac{3}{8}$ 和 $\frac{6}{16}$ 可以通分为 $\frac{6}{16}$ 和$\frac{6}{16}$。
二、分式的运算法则1. 分式的加减法当分母相同时，可以直接相加或相减分子，而分母保持不变。
例如，$\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$。
当分母不同时，需要先通分，然后再进行加减运算。
通分后，将分子相加或相减，分母保持不变。
例如，$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} =\frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$。
2. 分式的乘法分式的乘法是将两个分式的分子相乘，分母相乘。
例如，$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$。
3. 分式的除法分式的除法是将第一个分式的分子与第二个分式的分母相乘，第一个分式的分母与第二个分式的分子相乘。
例如，$\frac{2}{3} \div\frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} =\frac{5}{6}$。
分式的加减法及分式方程
例2、写出下列分式的最简公分母：
x 5 , x 2 4 x2
（1）
b a c , , 3 2 2 2a c 3bc 5ab
（2）
练习：写出下列分式的最简公分母：
（1）
1 1 1 , 2 2, mn m n mn
（2）
1 1 , 2 2 x x x 2x 1
6
【异分母分式加减法的法则】异分母的 分式相加减，先通分，化为同分母的 分式，再按同分母分式的加减法法则 进行计算.
法 则 是 基 石
【同分母分式加减法的法则】同分母的 分式相加减，分母不变，分子相加减.
2
基 础 基础
例1、计算：
(1)
5a 2a mn mn
1 x x 1 1 x
(2)
a b ab ab
5a 6b 3b 4a a 3b 2 2 2 3a bc 3ba c 3cba
2
2
(3)
(4)
3
练习：计算：
1 （1） a 1 a a
x2 y2 （2） 2 2 x y y x
x 2 y y 2x （3） 2 2 2 2 x y y x
4
法 则 是 基 石
【通分】利用分式的基本性质 ,把异分母的 分式化为同分分母的过程 . 确定最简公分母的方法： 最小公倍数 ①系数取各系数的__________； ②分母为单项式时所有字母都取； 高 ③所有字母取最__次幂； 当分母是多项式时，应先将各分母分解因式， 再确定最简公分母.
7
例3、计算：
（1）
1 1 2 3a 2ab
（2）
2a 1 2 9a a3
（3）
a2 a 1 a 1
分式方程的基本运算法则
分式方程的基本运算法则分式方程是以分式形式表示的带有未知数的数学等式。
在解分式方程时，需要遵循一些基本的运算法则。
本文将介绍分式方程的基本运算法则，包括分式的加减乘除运算以及方程的解法。
一、分式的加减法对于分式的加减法，首先需要找到分母的公共倍数，然后将各个分子相加或相减，并保持分母不变即可。
例如，对于分式$\frac{a}{b}\pm \frac{c}{d}$，若b和d互质，则可以将其通分得到$\frac{ad \pm bc}{bd}$。
二、分式的乘法分式的乘法是指两个分式相乘的运算法则。
对于分式$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}$，只需将分子相乘得到ac，分母相乘得到bd，即可得到结果$\frac{ac}{bd}$。
三、分式的除法分式的除法是指一个分式除以另一个分式的运算法则。
对于分式$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}$，可以转化为乘法的形式，即$\frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$，然后按照乘法法则进行计算，得到结果$\frac{ad}{bc}$。
四、解分式方程解分式方程的基本方法是将方程两边的分式化简，使得方程转化为整式方程，然后按照解整式方程的方法进行计算。
在解法中需要注意保持等式两边的平衡，确保每一步的操作都是合法的。
结论分式方程的基本运算法则包括加减乘除四则运算以及解法。
掌握这些基本法则，能够帮助我们更好地理解和解决分式方程相关的问题。
在学习和应用过程中，需要不断练习，提高自己的计算能力和逻辑思维能力。
希望本文能够对读者有所帮助，谢谢阅读！。
分式的加减法及分式方程的解法
分式的加减三. 分式的加减法※1. 分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.（1）通分的方法：（2）确定最简公分母的方法：※2. 分式的加减法:分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;上述法则用式子表示是:CB AC B C A ±=± (2)异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;上述法则用式子表示是:BDBC AD BD BC BD AD D C B A ±=±=± 例1：（1）111123-+----a a a a a （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++22131111x x x例2：计算化简求值：1、先化简再求值：)2122(24--+÷--x x x x ，其中43-=x2、课堂上，李老师出了这样一道题： 已知352008-=x ，求代数式)131(11222+-+÷-+-x x x x x 的值。
小明觉得直接代入计算太繁了。
请你来帮他解决，并写出具体过程。
3.先化简，再求值：÷（m+2﹣）．其中m 是方程x 2+3x ﹣1=0的根．4．先化简，再求值：，其中x 所取的值是在﹣2＜x≤3内的一个整数．例5：已知：23)3)(2(98-++=+--x Bx A x x x ，求A 、B 的值；变式练习：已知：121)12)(1(45---=---x Bx A x x x ，试求A 、B 的值.例6：方法拓展1、已知20072=+x a ，20082=+x b ，20092=+x c ，且abc=24，试求代数式c b a ab c ac bbc a111---++的值。
2、已知a 、b 、c 为实数，且51,41,31=+=+=+c a ac c b bc b a ab ，试求：acbc ab abc ++的值。
分式与分式方程
（3）列出方程
（4）解方程并检验，一是检验所列方程是否有根，二是 看根是否符合实际情况。 （5）写出答案。
例题讲解
1、某人骑自行车比步行每小时多走8千米，如果他步行 12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等，求他
步行40千米用多少小时?
例题讲解
3、A，B两地相距135千米，两辆汽车从A地开往B地， 大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30 分钟.已知小汽车与大汽车的速度之比是5：2，求两辆 汽车各自的速度.
第五章 分式与分式方程
三、分式的加减
1、同分母分式加减法法则：
同分母的分数相加减，分母不变，分子相加减。
b c bc 用式子表示为： a a a
例题讲解
m y c (1) x x x
y x (2) x y x y
2
x 4 2 ) . （( 3 ） x2 x2
例题讲解
4、小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家，她去时经过环湾
高速公路，全程约84km，返回时经过跨海大桥，全程
45km．小丽所乘汽车去时的平均速度是返回时的1.2倍， 所用时间却比返回时多20min．求小丽所乘汽车返回时的 平均速度．
例题讲解
5、文具商店从批发部门购进甲、乙两种型号的笔记本进
行销售．若每本甲种笔记本的进价比每本乙种笔记本的进
三、分式的加减
1、通分： 根据分式的基本性质,异分母的分式可以化为同分母的分式
2、最简公分母:
（1）各分母系数的最小公倍数
（2）各分母所有因式最高次幂的乘积
例题讲解
计算：
5 2 3 2 2 6a b 3ab 4abc
先找出最简公分母，再 正确通分，转化为同分 母的分式相加减。
分式的加减法
分式的加减法分式是数学中常见的一种表示形式，用于表示比例、比率以及一些运算过程中的数值关系。
分式的加减法是分式运算中的基本运算之一，它可以帮助我们计算各种分数的和或差。
本文将介绍分式的加减法，并演示一些实际应用的例子。
一、分式的基本概念在了解分式的加减法之前，我们先来回顾一下分式的基本概念。
分式由两个整数表示，其中一个整数位于分数线上方，称为分子；另一个整数位于分数线下方，称为分母。
分子和分母之间用横线表示，如a/b。
二、分式的加法在进行分式的加法运算时，我们首先要确保两个分式的分母相同，然后将它们的分子相加，最后将分子的和写在相同的分母下即可。
具体的步骤如下：1. 确定两个分式的分母是否相同。
如果两个分式的分母相同，直接将它们的分子相加即可；如果两个分式的分母不同，需要通过通分将它们的分母转化为相同的数值。
2. 将两个分子相加。
将两个分式的分子相加，得到它们的和。
3. 将分子的和写在相同的分母下。
将分子的和写在相同的分母下，得到最终的结果。
示例1：计算分式的加法计算1/3 + 2/5。
步骤1：确定两个分式的分母是否相同。
1/3与2/5的分母不同，需要通过通分将它们的分母转化为相同的数值。
步骤2：通分后，将两个分子相加。
分母相同的通分数为15，所以1/3可以拓展为5/15，2/5可以拓展为6/15。
5/15 + 6/15 = 11/15。
步骤3：将分子的和写在相同的分母下。
最终结果为11/15。
因此，1/3 + 2/5 = 11/15。
三、分式的减法分式的减法与分式的加法类似，也需要确保两个分式的分母相同，然后将它们的分子相减，最后将分子的差写在相同的分母下。
具体的步骤如下：1. 确定两个分式的分母是否相同。
如果两个分式的分母相同，直接将它们的分子相减即可；如果两个分式的分母不同，需要通过通分将它们的分母转化为相同的数值。
2. 将两个分子相减。
将两个分式的分子相减，得到它们的差。
3. 将分子的差写在相同的分母下。
《分式的加减法》分式与分式方程PPT(第3课件)
解：(1) y xy
x
1 xy x
=
y x（y
1）
1 x（y
1）
=
y（y-1） x（y 1）（y-1）
x（y
y+1 1）（y-1）
= y（y-1）+y+1 x（y 1）（y-1）
= y 2 +1 xy 2 -x
(3) a 1 a 1 a 3 a2 9 a 3
活动探究
探究点一
问题1：计算：
问题1：计算：
(1)
y xy
x
1 xy
x
(2) x2 x 1 x 1
(3) a
a
3
1 a2
9
a a
1 3
=
a(a a2
3） 9
a2
1
9
（a
1）(a a2 9
3)
= a(a 3）+1-(a-1)(a-3) a2 9
= 7a 2 a2 9
(3)
a
a
3
a
1 2
9
a a
1 3
〔1〕求乙工程队单独完成这项工程所需的天数为x，那么x满足怎样的方程？ 〔2〕求两队合做完成这项工程所需的天数为y，那么x满足怎样的方程.
解：（1）10 x
+
1 x
1 40
20=1
（2）
1 y
1
40
10
20 y
=1
随堂检测
x x＋6 1
1．化简x－3－x2－3x＋x正确的结果是( C
) ]
解：1实1x2际0 修1x建1+210这0 =条11盲2x0道（x+的x1+0工10）期比x1原1x2+方01x0案=缩x21短12的0100天x 数为
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题三：分式的加减法
知识点一：通分
例1：将下列分式化为同分母
挑战自我，勇攀高分
（1）3
21,2312,13222+--+-+--x x x x x x x x （2）
（3） 2223,2,)(1b a b a b a -+-+
（4） m
m 394,9122-- （5） 2,2
1--x x （6） 2
31,1122+--x x x （7） 221,,
b a b a b b a --- （8） 1
21,11,121222++-+-a a a a a
11,11,11,12--+x x x x
知识点二：分式的加减法
同分母的加减法
例1：计算：2
222223223n m n m n m n m n m n m --+-+--+
挑战自我，勇攀高分
1.计算：m n n
n m n
m n n m ---+-+22
异分母的加减法
例1：计算：1624
43
2---a a
挑战自我，勇攀高分
1.计算：
（1）mn n m 65
43322-+
（2）x x --+242
知识点三：分式的加减乘除混合运算
例1：计算：
（1）x x
x x x x x -
÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+----+44412222
（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+•+-a ab a a b a b a a 22221212。
1.计算：
（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++÷--a b ab a ab a b a 22222； （2）a
a a a a 2124222+•⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---。
知识点四：化简求值
例1： 先化简，再求值（1）x x x x x x x 39396922
322-+⋅++-，其中x ＝－31。
（2）2
2441y x y x y x +÷-+，其中x ＝8，y ＝11．
(3) )1121(1
222+---÷--x x x x x x ，其中31-=x
1.先化简，再求值：21223-12++-÷⎪⎭
⎫ ⎝⎛+x x x x ，其中21+=x 。
2.已知32+=x ，32-=y .计算代数式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-•⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+2211y x
y x y x y x y x 的值。
3.先化简，在求值：)1
121(122+---÷--a a a a a ，其中a 是方程62=-x x 的根。
4若a 满足33-≤≤a ，请你选取一个合适的数a ，使得代数⎪⎭
⎫ ⎝⎛-÷-a a a 1112的值为一个奇数。
5.下面是按一定规律排列的一列数：
第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
； 第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
； ……
第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L ． 那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）
A ．第10个数
B ．第11个数
C ．第12个数
D ．第13个数 知识点五：方法规律聚焦
类型一 代数式的值与其中字母的取值无关问题
例1：试说明代数式1111
12222+-+-÷-+-x x x x x x x 在有意义的条件下，无论x 取何值，它的值都不变。
类型二 分式的值为特殊数值时，字母的取值问题 例2：x 取何整数值时，能使
212
22112232342334-+--÷+++-•-+--+x x x x x x x x x x x x 的值为正整数？
类型三 巧解化简题型 例3：计算)1)(1)(1)(1)(116842+++++x x x x x （。