数学(理工农医类)诊断性检测题
四川凉山州2014届高中毕业班第一次诊断性测试 理科数学答案
故 C1C 2 C 3 C n 取得最大值时， n 的值为 6； ………………………………12 分 21.解： （1）a=2 时 g（x）=
2 x
'
h(x)=lnx+
2 x
（x＞0） h (x)=
'
1 2 x2 = 2 …………………………1 分 x x2 x
'
当 0＜x＜2 时 h ( x) 0 ，当 x＞2, h ( x) 0
凉山州 2014 届高中毕业班第一次诊断性检测 数学（理工农医类）参考答案及评分标准
一、选择题
1.B 2.B 3.C 4.B 5.C 6.D 7. B 8. A 9.D 10.A
二、填空题.
11. —10 12.
1 2
13. 1
14.
6 7
15.①
三、解答题
16 解： f ( x) a b 2 cos x 3 sin 2 x 1 cos 2 x 3 sin 2 x
………………………………………9 分
当 a 0 时， g ( x 2 ) [11a, a ] ， 2 g ( x 2 ) [ 2 a,2 11a ]
2 a 5 2 11a 0 a a 0
当 a 0 时，显然不合题意； 综上所述， a 的取值范围是 [
2
4
1 16
3 8
9 16
∴随机变量 X 的数学期望 E ( X ) 0
1 3 9 ………………………6 分 2 4 3 ； 16 8 16
(2)事件 AB 为如下两个互斥事件的和事件： 事件 C：甲校总得分为 4 分且乙校总得分为 0 分； 事件 D：甲校总得分为 2 分且乙校总得分为 2 分；
精品解析：四川省德阳市2018届高三第二次诊断性考试数学(理工农医类)试题(解析版)
四川省德阳市高中2016级高三第二次诊断性考试数学(理工农医类)试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=R，，则A∪B=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在全集U下，先由集合A的补集求出集合A，再与集合B进行并集运算。
【详解】故选：C．【点睛】考查描述法的定义，以及并集、补集的运算．在解题过程中，正确求出补集和交集是关键。
2.复数z满足（1+i）=2i（i为虚数单位），则复数z=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对复数进行化简，在由共轭复数的性质即可求出。
【详解】复数可变形为则复数。
故选A.【点睛】在对复数的除法进行化简时，要采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”。
3.展开式中项的系数是（）A. 270B. 180C. 90D. 45【答案】A【解析】【分析】把按照二项式定理展开，可得展开式中项的系数．【详解】∵，∴展开式中项的系数为 270，故选：A．【点睛】本题可用二项式定理展开，即可得出所求系数。
4.运行如图程序框图，输出m的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】根据程序框图进行模拟运算即可．【详解】a=16，a≤0否，a=4，a≤0否，a=2，a≤0否，a=1，a≤0否，a=0，a≤0是，输出m=4，故选：D．【点睛】本题主要考查程序框图识别和判断，解决此类问题的关键是读懂程序框图，明确顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义。
5.已知α为锐角，且tan ，则cos （2）=（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】 用诱导公式对进行化简，按二倍角公式展开，对进行适当变形，结合即可得出答案。
【详解】【点睛】本题的关键是对的变形的处理，结合平方关系即可得出，利用化弦为切简化运算量。
6.已知双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为y=，则此双曲线方程为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】 由焦距为8可得,利用渐近线方程得出的关系，再结合即可得出双曲线方程。
四川省资阳市2013届高三第二次诊断性考试 理
资阳市2012—2013学年度高中三年级第二次高考模拟考试数 学（理工农医类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．全卷共150分，考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把选择题答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束时，监考人将第Ⅰ卷的机读答题卡和第Ⅱ卷的答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)k k n kn n P k C P P -=-一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．1．已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，2，3}，B ={3，5}，则()U A B = ð （A ）{3} （B ）{4，5} （C ）{3，4，5} （D ）{1，4，5}2．函数12()1f x x =-的图象大致是3．下列命题是真命题的是（A ）a b >是22ac bc >的充要条件 （B ）1a >，1b >是1ab >的充分条件 （C ）x ∀∈R ，22x x > （D ）0x ∃∈R ，0e 0x ≤ 4．已知直线l ，m 和平面α， 则下列命题正确的是 （A ）若l ∥m ，m ⊂α，则l ∥α （B ）若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m （C ）若l ⊥α，m ⊂α，则l ⊥m （D ）若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥α5．若双曲线2214xy -=的渐近线与圆222(5)x y r -+=（0r >）相切，则r =（A ）5 （B （C ）2 （D 6．下列不等式成立的是（A ）9tan()tan()86ππ> （B ）3sin()sin()105ππ->-（C ）sin sin 1810ππ> （D ）723cos()cos()45ππ->-7. 执行右图所示的程序框图（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则输出的S 值为 （A ）7 （B ）6 （C ）5 （D ）48．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料l 千克、B 原料2千克；生产乙产品l 桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是 （A ）2200元 （B ）2400元（C ）2600元（D ）2800元9．由数字0，1，2，3，4，5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是（D ）存在实数0x ，使得不等式00()6x f x >成立第Ⅱ卷(非选择题 共100分)注意事项： 1．第Ⅱ卷共2页，请用0.5mm 的黑色墨水签字笔在答题卡上作答，不能直接答在此试题卷上．2．答卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案直接填在题目中的横线上．11．已知i 是虚数单位，x ，y ∈R ，若3i(8)i x x y -=-，则x y +=___________．12．若二项式7()x a +的展开式中含5x 项的系数为7，则实数a =． 13．已知右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 .14．椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点为F ，直线y =与椭圆C 交于A 、B 两点，且AF BF ⊥，则椭圆C 的离心率为 ．15．如图，在平面斜坐标系xOy 中，xOy θ∠=，平面上任意一点P 关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若12OP xe ye =+uu u r u r u r （其中1e u r ，2e u r分别是x 轴，y 轴同方向的单位向量），则P 点的斜坐标为(x ，y )，向量OP uu u r的斜坐标为(x ，y )．给出以下结论：①若60θ=，P (2,－1)，则||OP =uu u r ；②若11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则1212(,)OP OQ x x y y +=++uu u r r；③若11(,)OP x y =uu u r ，22(,)OQ x y =uuu r ，则1212OP OQ x x y y ⋅=+uu u r uuu r ；④若60θ= ，以O 为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为2210x y xy ++-=． 其中所有正确的结论的序号是______________．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）在锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且2sin 0c A -=． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若2c =，求a ＋b 的最大值. 17．（本小题满分12分）某部门对当地城乡居民进行了主题为“你幸福吗?”的幸福指数问卷调査，并在已被问卷调查的居民中随机抽选部分居民参加“幸福职业”或“幸福愿景”的座谈会，被邀请的居民只能选择其中一场座谈会参加．已知A 小区有1人，B 小区有3人收到邀请并将参加一场座谈会，若A 小区已经收到邀请的人选择参加“幸福愿景”座谈会的概率是34， B小区已经收到邀请的人选择参加“幸福愿景”座谈会的概率是12．（Ⅰ）求A 、B 两个小区已收到邀请的人选择“幸福愿景”座谈会的人数相等的概率； （Ⅱ）在参加“幸福愿景”座谈会的人中，记A 、B 两个小区参会人数的和为ξ，试求ξ的分布列和数学期望．18．（本小题满分12分）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝CA ＝AA 1＝2，侧棱AA 1⊥面ABC ，D 、E 分别是棱A 1B 1、AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且14AF AB =． （Ⅰ）求证：EF ∥平面BDC 1；（Ⅱ）求二面角E －BC 1－D 的余弦值． 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a t =（1t ≠），12334n n a S n ++=+（其中*n ∈N ）． （Ⅰ）当t 为何值时，数列{1}n a -是等比数列？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设2n n b a n λλ=--，若在数列{}n b 中，有12b b >，34b b >，…，212n n b b ->，…成立，求实数λ的取值范围．20．（本小题满分13分）若抛物线C 的顶点在坐标原点O ，其图象关于x 轴对称，且经过点(1,2)M ．（Ⅰ）若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在该抛物线上，求该等边三角形的边长；（Ⅱ）过点M 作抛物线C 的两条弦,MA MB ，设,MA MB 所在直线的斜率分别为12k k ,, 当12k k ,变化且满足121k k +=-时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点坐标．21．（本小题满分14分）已知函数211()2f x x =，2()ln f x a x =（其中0a >）．（Ⅰ）求函数12()()()f x f x f x =⋅的极值；（Ⅱ）若函数12()()()(1)g x f x f x a x =-+-在区间1(,e)e内有两个零点，求正实数a 的取值范围；（Ⅲ）求证：当0x >时，231ln 04ex x x +->．（说明：e 是自然对数的底数，e=2.71828…）资阳市2012—2013学年度高中三年级第二次高考模拟考试数学（理工农医类）参考答案及评分意见一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．1－5. CABCB ；6－10.DADCC.二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．11．3； 12．； 13．16123π+；141-；15．①②④． 三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．解析 （Ⅰ2sin 0c A -=及正弦定理，得2sin sin 0A C A -=（sin 0A ≠），∴sin C =，∵△ABC 是锐角三角形， ∴3C π=． ···················································································································· 6分（Ⅱ）∵2c =，3C π=，由余弦定理，222cos43a b ab π+-=，即224a b ab +-=．······································································································································ 8分 ∴22()4343()2a b a b ab ++=+≤+⋅，即2()16a b +≤， ∴4a b +≤，当且仅当2a b ==取“=”，故a b +的最大值是4． ······························· 12分 17．解析 （Ⅰ）记“A 、B 两小区已经收到邀请的人选择“幸福愿景”座谈会的人数相等”为事件A ，则03133331315()(1)()()424216P A C C =-⨯+⨯=． ······················································ 4分 （Ⅱ）随机变量ξ的可能值为0，1，2，3，4．3311(0)(1)(1)4232P ξ==-⨯-=； 313331316(1)(1)(1)()424232P C ξ==⨯-+-⨯=； 132333313112(2)()(1)()424232P C C ξ==⨯+-⨯=； 2333313110(3)()(1)()424232P C ξ==⨯+-⨯=； 3313(4)()4232P ξ==⨯=．（每对一个给1分） ··························································· 9分 ξ的分布列如下：分∴ξ的数学期望161210390123432323232324E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ···························· 12分18．（Ⅰ）证明：取AB 的中点M ，14AF AB = ，F ∴为AM 的中点，又E 为1AA 的中点，∴1//EF A M ， 在三棱柱111ABC A B C -中，,D M 分别为11,A B AB 的中点， 1//A D BM ∴，且1A D BM =，则四边形A 1DBM 为平行四边形，1//A M BD ∴， //EF BD ∴，又BD ⊆ 平面1BC D ，EF ⊄平面1BC D ，//EF ∴平面1BC D ． ···································································································· 6分 （Ⅱ）连接DM ，分别以MB 、MC 、MD所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图空间直角坐标系，则(1,0,0)B ，(1,0,1)E -，(0,0,2)D，1C ， ∴(1,0,2)BD =- ，(2,0,1)BE =-，1(BC =-． 设面BC 1D 的一个法向量为111(,,)x y z =m ，面BC 1E 的一个法向量为222(,,)x y z =n ， 则由10,0,BD BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m得1111120,20,x z x z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩取(2,0,1)=m ， 又由10,0,BE BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得2222220,20,x z x z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩取(1,=n ，则cos ,||||⋅<>===m n m n m n ，故二面角E －BC 1－D． ··································································· 12分 19．解析 （Ⅰ）由12334n n a S n ++=+，得12331n n a S n -+=+（2n ≥）， 两式相减得11223()3n n n n a a S S +--+-=，即123n n a a ++=， ····································· 2分∴11322n n a a +=-+，则111(1)2n n a a +-=--（2n ≥）， ················································································ 4分由1a t =，又21237a S +=，则23722a t =-+，又∵数列{1}n a -是等比数列，∴只需要213711122112t a a t -+--==---，∴2t =． 此时，数列{1}n a -是以111a -=为首项，12-为公比的等比数列． ························· 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，111111(1)()()22n n n a a ---=-⋅-=-，∴11()12n n a -=-+，·············· 8分121211[()1]()22n n n b n n λλλ--=-+--=--，由题意得212n n b b ->，则有22221211()(21)()(2)22n n n n λλ----->--，即222211()[1()](21)(2)22n n n λ---->--，∴(41)46nn λ-⋅>-， ···································································································· 10分而(41)46n n -⋅-对于*n ∈N 时单调递减，则(41)46n n -⋅-的最大值为(41)426-⨯-=-，故2λ>-． ··················································································································· 12分 20．解析 （Ⅰ）根据题意，设抛物线C 的方程为2(0)y ax a =≠，点(1,2)M 的坐标代入该方程，得4a =，故抛物线C 的方程为24y x =． 2分设这个等边三角形OEF 的顶点E ，F 在抛物线上，且坐标为(,)E E x y ，(,)F F x y ．则24E E y x =，24F F y x =，又||||OE OF =， ∴2222E E F F x y x y +=+，即22440E F E F x x x x -+-=， ∴()(4)0E F E F x x x x -++=，因0E x >，0F x >， ∴E F x x =，即线段EF 关于x 轴对称．则30EOx ∠=，所以tan 30E E y x == ，即E E x =，代入24E E y x =得E y =，故等边三角形的边长为． ····················································································· 6分 （Ⅱ）设11,)A x y （、22,)B x y （，则直线MA 方程1(1)2y k x =-+，MB 方程2(1)2y k x =-+，联立直线MA 方程与抛物线方程，得12(1)2,4,y k x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩消去x ，得2114840k y y k -+-=，∴1142y k =-， ①同理2242y k =-， ②而AB 直线方程为211121()y y y y x x x x --=--，消去x 1，x 2，得221112221()444y y y y y x y y --=--， 化简得即1212124y y y x y y y y =+++ ③ 由①、②，得y 1+y 2＝1212124444k k k k k k +-⋅-=-，12121212122()464[1]4(1)k k y y k k k k k k +=-+=+， 代入③，整理得12(1)60k k x y y ++++=． 由10,60,x y y ++=⎧⎨+=⎩得5,6.x y =⎧⎨=-⎩故直线AB 经过定点(5，－6). ········································ 13分21．解析 （Ⅰ）2121()()()ln 2f x f x f x ax x =⋅=⋅，∴11()ln (2ln 1)22f x ax x ax ax x '=+=+（0x >，0a >），由()0f x '>，得12ex ->，由()0f x '<，得120e x -<<，故函数()f x 在12(0,e )-上单调递减，在12(e ,)-+∞上单调递增， 所以函数()f x 的极小值为12(e )4eaf -=-，无极大值． ·············································· 4分 （Ⅱ）函数21()ln (1)2g x x a x a x =-+-， 则2(1)()(1)a x a x a g x x a x x +--'=-+-=()(1)x a x x+-=，令()0g x '=，∵0a >，解得1x =，或x a =-（舍去）， 当01x <<时，()0g x '<，()g x 在(0,1)上单调递减； 当1x >时，()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上单调递增．函数()g x 在区间1(,e)e内有两个零点，只需1()0,e (1)0,(e)0,g g g ⎧>⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩即22110,2e e 110,2e (1)e 0,2a a a a a -⎧++>⎪⎪⎪+-<⎨⎪⎪+-->⎪⎩∴222e 1,2e 2e 1,22e e ,2e 2a a a -⎧>⎪+⎪⎪<⎨⎪⎪->⎪-⎩故实数a 的取值范围是22e 11(,)2e 2e 2-+． ······································································· 9分 （Ⅲ）问题等价于223ln e 4x x x x >-．由（Ⅰ）知2()ln f x x x =的最小值为12e-．设23()e 4x x h x =-，(2)()e xx x h x -'=-得()h x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减．∴max 243()(2)e 4h x h ==-，∵2143()2e e 4---231442e e=--=2223e 2e 16(3e 8)(e 2)04e 4e ---+==>， ∴min max ()()f x h x >，∴223ln e 4x x x x >-，故当0x >时，231ln 04e x x x +->． ··········· 14分。
2020-2021学年高考数学理科诊断检测题及答案解析
最新高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，集合B={x|﹣2＜x＜5}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜4} B．{x|﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5}C．{x|x＜﹣1或x＞4} D．{x|﹣2＜x＜5}2．（1﹣2x）10的展开式中，各项系数的和是（）A．1 B．210C．﹣1 D．1或﹣13．要得到y=3cos（2x+）的图象，只需将y=3cos2x的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度4．下列说法错误的是（）A．“ac2＞bc2”是“a＞b”的充分不必要条件B．若p∨q是假命题，则p∧q是假命题C．命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是“对任意的x∈R，2x＞0”D．命题“对任意的x∈R”，2x＞x2”是真命题5．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣10 B．﹣3 C．4 D．56．六个人从左到右排成一列，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法总数有（）A．48种 B．384种C．432种D．288种7．（中数量积）已知向量，，x，y满足||=||=1，•=0，且，则等于（）A．B．C．2 D．58．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若M是线段A1C1上的动点，则下列结论不正确的是（）A．三棱锥M﹣ABD的主视图面积不变B．三棱锥M﹣ABD的侧视图面积不变C．异面直线CM，BD所成的角恒为D．异面直线CM，AB所成的角可为9．已知函数f（x）=x﹣4+，x∈（0，4），当x=a时，f（x）取得最小值b，则函数g（x）=a|x+b|的图象为（）A．B．C．D．10．已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e）（其中e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的最大值与最小值之和为（）A．0 B．+3 C．e2﹣1 D．e2+二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．复数的虚部是．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+）=﹣，当x∈[﹣，0]时，f（x）=x （x+），则f（2016）= ．13．函数y=（a≠1）在区间（0，1]是减函数，则a的取值范围是．14．如图所示，在海岛A上有一座海拔千米的山峰上，山顶上设有一座观察站P，一艘轮船沿一固定方向匀速航行，上午10：00时，测得此船在岛北偏东20°且俯角为30°的B处，到10：10时，又测得该船在岛北偏西40°且俯角为60°的C处，则该船的航行速度为千米/时．15．若函数f（x）具有性质：，则称f（x）是满足“倒负”变换的函数．下列四个函数：①f（x）=log a x（a＞0且a≠1）；②f（x）=a x（a＞0且a≠1）；③；④．其中，满足“倒负”变换的所有函数的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤. 16．已知向量=（sinA，cosA），=（，﹣1），•=1，且A为锐角．（1）求角A的大小；（2）求函数f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域．17．某著名大学向大一贫困新生提供A，B，C三个类型的助学金，要求每位申请人只能申请其中一个类型，且申请任何一个类型是等可能的，在该校的任意4位申请人中．（1）求恰有3人申请A类奖助学金的概率；（2）被申请的助学金类型的个数ξ的分布列与数学期望．18．如图1，在矩形ABCD中，AB=，BC=4，E是边AD上一点，且AE=3，把△ABE沿BE翻折，使得点A到A′，满足平面A′BE与平面BCDE垂直（如图2）．（1）若点P在棱A′C上，且CP=3PA′，求证：DP∥平面A′BE；（2）求二面角B﹣A′E﹣D的余弦值的大小．19．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足8S n=a+4a n+3（∈N*），且a1＜3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=，设{b n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）nλ＜T n+对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．20．已知圆C与圆D：x2+y2﹣4x﹣2y+3=0关于直线4x+2y﹣5=0．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若点P（2，0），M（0，2），设Q为圆C上一个动点．①求△QPM面积的最大值，并求出最大值时对应点Q的坐标；②在①的结论下，过点Q作两条相异直线分别与圆C相交于A，B两点，若直线QA，QB的倾斜角互补，问直线AB与直线PM是否垂直？请说明理由．21．已知函数f（x）=xlnx+ax﹣x2（a∈R）．（1）若函数f（x）在[e，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（2）若对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞﹣x2+（k+a﹣1）x﹣k恒成立，求正整数k的值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，集合B={x|﹣2＜x＜5}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜4} B．{x|﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5}C．{x|x＜﹣1或x＞4} D．{x|﹣2＜x＜5}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；转化思想；定义法；集合．【分析】先求出集合A，再由交集定义求解．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}={x|x＞4或x＜﹣1}，集合B={x|﹣2＜x＜5}，∴A∩B={x|﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（1﹣2x）10的展开式中，各项系数的和是（）A．1 B．210C．﹣1 D．1或﹣1【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；二项式定理．【分析】给二项式中的x赋值1，得到展开式中各项的系数的和．【解答】解：令二项式（1﹣2x）10中的x=1，得到展开式中各项的系数的和为1．∴展开式中各项的系数的和为1．故选：A．【点评】求二项展开式的各项系数和问题，一般通过观察给二项式中的x赋值求得．3．要得到y=3cos（2x+）的图象，只需将y=3cos2x的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将y=3cos2x的图象向左平移个单位长度，可得y=3cos2（x+）=3cos（2x+）的图象，故选：C．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．4．下列说法错误的是（）A．“ac2＞bc2”是“a＞b”的充分不必要条件B．若p∨q是假命题，则p∧q是假命题C．命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是“对任意的x∈R，2x＞0”D．命题“对任意的x∈R”，2x＞x2”是真命题【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】A．根据不等式的基本性质，“a＞b”不一定“ac2＞bc2”结论，因为必须有c2＞0这一条件；反过来若“ac2＞bc2”，说明c2＞0一定成立，一定可以得出“a＞b”，即可得出答案；B．利用复合命题的真假关系进行判断；C．根据特称命题的否定是全称命题．即可得到结论．D．x=2，4时，命题不正确．【解答】解：当c=0时，a＞b⇏ac2＞bc2；当ac2＞bc2时，说明c≠0，由c2＞0，得ac2＞bc2⇒a＞b，故“ac2＞bc2”是“a＞b”成立的充分不必要条件，正确．若命题p∨q是假命题，则p，q都是假命题，所以命题p∧q是假命题，正确；∵命题是特称命题，∴根据特称命题的否定是全称命题．得到命题的否定是：对任意的x∈R，2x＞0，x=2，4时，命题不正确．故选：D．【点评】本题考查不等式的性质和充要条件的判断，考查复合命题，考查命题的否定与真假判断，是一道好题，本题是基本概念题．5．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣10 B．﹣3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量S的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：按照程序框图依次执行为k=1，S=1；S=2×1﹣1=1，k=2；S=2×1﹣2=0，k=3；S=2×0﹣3=﹣3，k=4；S=2×（﹣3）﹣4=﹣10，k=4≥5，退出循环，输出S=﹣10．故选A．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，一般都可以反复的进行运算直到满足条件结束，本题中涉及到三个变量，注意每个变量的运行结果和执行情况．6．六个人从左到右排成一列，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法总数有（）A．48种 B．384种C．432种D．288种【考点】计数原理的应用．【专题】应用题；方程思想；综合法；排列组合．【分析】首先分析题目甲、乙两人至少有一人在两端的排法，此题适合从反面考虑，然后求出甲、乙两人没有一人在两端的排法，进而用总的排法减去它即可得到答案．【解答】解：此题可以从反面入手：甲、乙两人没有一人在两端，即甲、乙排在中间4个位置，故有A42种，剩下4人随便排即可，则有A44种排法，因为6个人排成一排一共有A66种排法，所以甲、乙两人至少有一人在两端的排法有A66﹣A42A44=432．故选：C．【点评】此题主要考查排列组合及简单的计数原理的问题，象这种见到至少、至多字眼时一般利用正难则反的思想．此类排队或者排数问题在高考中属于重点考查内容，希望同学们多多掌握．7．（中数量积）已知向量，，x，y满足||=||=1，•=0，且，则等于（）A．B．C．2 D．5【考点】平面向量的综合题．【专题】计算题．【分析】求向量的模，先求它们的平方，这里求平方，利用向量的完全平方公式即可．【解答】解：由所给的方程组解得，，，∴=．故选B．【点评】本题中的方程组是关于向量的方程，这与一般的关于实数的方程在解法上没有本质区别，方法与实数的方程组的解法相似．8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若M是线段A1C1上的动点，则下列结论不正确的是（）A．三棱锥M﹣ABD的主视图面积不变B．三棱锥M﹣ABD的侧视图面积不变C．异面直线CM，BD所成的角恒为D．异面直线CM，AB所成的角可为【考点】棱柱的结构特征．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】判断主视图和侧视图的底与高是否发生变化来判断A，B，建立空间坐标系求出数量积来判断C和D．【解答】解：对于A，三棱锥M﹣ABD的主视图为三角形，底边为AB的长，高为正方体的高，故棱锥的主视图面积不变，故A正确；对于B，侧视图为三角形的底边为AD的长，高为正方体的高，故棱锥侧视图的面积不变，故B正确；对于C，连结AC，BD，A1C，则BD⊥AC，∵AC∥A1C1，∴BD⊥A1C1，又∵BD⊥CC1，于是BD⊥平面A1C1C，∵CM⊂平面A1C1C，∴BD⊥CM，故C正确；对于D，分别以AB，AD，AA1为坐标轴，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，M（a，a，1），B（1，0，0），A（0，0，0），C（1，1，0）．∴=（a﹣1，a﹣1，1），=（1，0，0），∴cos＜＞=≠±，∴异面直线CM，AB所成的角不可能是．故D错误．故选：D．【点评】本题考查了棱锥的三视图，异面直线所成的角，使用向量法可快速计算空间角的问题．9．已知函数f（x）=x﹣4+，x∈（0，4），当x=a时，f（x）取得最小值b，则函数g（x）=a|x+b|的图象为（）A．B．C．D．【考点】指数函数的图象变换．【专题】函数的性质及应用．【分析】先根据基本不等式求出a，b的值，再结合指数函数的性质及函数的图象的平移可求【解答】解：∵x∈（0，4），∴x+1＞1∴f（x）=x﹣4+=x+1+﹣5≥2﹣5=1，当且仅当x=2时取等号，此时函数有最小值1∴a=2，b=1，此时g（x）=2|x+1|=，此函数可以看着函数y=的图象向左平移1个单位结合指数函数的图象及选项可知A正确故选A【点评】本题主要考察了基本不等式在求解函数的最值中的应用，指数函数的图象及函数的平移的应用是解答本题的关键10．已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e）（其中e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的最大值与最小值之和为（）A．0 B．+3 C．e2﹣1 D．e2+【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在≤x≤e上有解，构造函数f（x）=2lnx﹣x2，求出它的值域，得到﹣a的范围即可得到最值的和．【解答】解：由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在≤x≤e上有解．设f（x）=2lnx﹣x2，求导得：f′（x）=﹣2x=，∵≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，∵f（）=﹣2﹣，f（e）=2﹣e2，f（x）极大值=f（1）=﹣1，且知f（e）＜f（），故方程﹣a=2lnx﹣x2在[，e]上有解等价于2﹣e2≤﹣a≤﹣1．从而a的取值范围为[1，e2﹣2]．即有a的最大值和最小值的和为e2﹣2+1=e2﹣1．故选C．【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围，关键是将已知转化为方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在[，e]上有解．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．复数的虚部是．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．【解答】解：复数==，它的虚部为：，故答案为：．【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，考查计算能力，常考题型．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+）=﹣，当x∈[﹣，0]时，f（x）=x （x+），则f（2016）= ．【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】先求出f（x+5）=﹣=f（x），从而f（2016）=f（1）=﹣f（﹣1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+）=﹣，∴f（x+5）=﹣=f（x），即函数的周期是5，∵x∈[﹣，0]时，f（x）=x（x+），∴f（2016）=f（1）=﹣f（﹣1）=﹣[﹣1×（﹣1+）]=．故答案为：．【点评】本题考查函数值的求法，则基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．13．函数y=（a≠1）在区间（0，1]是减函数，则a的取值范围是（﹣∞，0）∪（1，3] ．【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】先求导数，根据题意便可得到，从而解出a＜0，或a ＞1①，还需满足3﹣ax≥0在x∈（0，1]上恒成立，这样便得到在x∈（0，1]上恒成立，从而得出a≤3②，这样由①②便可得出a的取值范围．【解答】解：；原函数在（0，1]上是减函数；∴y′＜0；∴；解得a＜0，或a＞1；且3﹣ax≥0在x∈（0，1]上恒成立；即在x∈（0，1]上恒成立；在（0，1]上的最小值为3；∴a≤3，又a＜0，或a＞1；∴a＜0，或1＜a≤3；∴a的取值范围为（﹣∞，0）∪（1，3]．故答案为：（﹣∞，0）∪（1，3]．【点评】考查函数单调性和函数导数符号的关系，分式不等式的解法，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值．14．如图所示，在海岛A上有一座海拔千米的山峰上，山顶上设有一座观察站P，一艘轮船沿一固定方向匀速航行，上午10：00时，测得此船在岛北偏东20°且俯角为30°的B处，到10：10时，又测得该船在岛北偏西40°且俯角为60°的C处，则该船的航行速度为千米/时．【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；方程思想；综合法；解三角形．【分析】在Rt△PAB、Rt△PAC中确定AB、AC的长，进而求得，∠CAB=20°+40°=60°，利用余弦定理求得BC，用里程除以时间即为船的速度．【解答】解：在Rt△PAB中，∠APB=30°，PA=，∴AB=1．在Rt△PAC中，∠APC=60°，∴AC=3．在△ACB中，∠CAB=20°+40°=60°，∴BC==．则船的航行速度÷=．故答案为：．【点评】本题主要考查考生运用数学知识解决实际问题的能力，考查学生的计算能力，比较基础．15．若函数f（x）具有性质：，则称f（x）是满足“倒负”变换的函数．下列四个函数：①f（x）=log a x（a＞0且a≠1）；②f（x）=a x（a＞0且a≠1）；③；④．其中，满足“倒负”变换的所有函数的序号是①③④．【考点】抽象函数及其应用；对数的运算性质．【专题】压轴题；新定义．【分析】利用题中的新定义，对各个函数进行判断是否具有，判断出是否满足“倒负”变换，即可得答案．【解答】解：对于f（x）=log a x，，所以①是“倒负”变换的函数．对于f（x）=a x，，所以②不是“倒负”变换的函数．对于函数，，所以③是“倒负”变换的函数．对于④，当0＜x＜1时，＞1，f（x）=x，f（）=﹣x=﹣f（x）；当x＞1时，0＜＜1，f（x）=，；当x=1时，=1，f（x）=0，，④是满足“倒负”变换的函数．综上：①③④是符合要求的函数．故答案为：①③④【点评】本题考查理解题中的新定义，并利用定义解题；新定义题是近几年常考的题型，解答此类问题的关键是灵活利用题目中的定义三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤. 16．已知向量=（sinA，cosA），=（，﹣1），•=1，且A为锐角．（1）求角A的大小；（2）求函数f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域．【考点】平面向量的坐标运算；函数的值域；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）利用向量数量积计算•，得到A 的三角函数式，即可求出A．（2）把A代入函数f（x）并化简，利用三角函数的有界性，求得值域．【解答】解：（1）由题意得•=sinA﹣cosA=1，2sin（A﹣）=1，sin（A﹣）=，由A为锐角得A﹣=，A=．（2）由（1）知cosA=，所以f（x）=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=﹣2（sinx﹣）2+，因为x∈R，所以sinx∈[﹣1，1]，因此，当sinx=时，f（x）有最大值．当sinx=﹣1时，f（x）有最小值﹣3，所以所求函数f（x）的值域是[﹣3，]．【点评】本题考查平面向量的数量积，两角和与两角差的三角函数，以及函数值域问题，是中档题．17．某著名大学向大一贫困新生提供A，B，C三个类型的助学金，要求每位申请人只能申请其中一个类型，且申请任何一个类型是等可能的，在该校的任意4位申请人中．（1）求恰有3人申请A类奖助学金的概率；（2）被申请的助学金类型的个数ξ的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）所有可能的申请方式有34种，再求出恰有3人申请A类助学金的申请方式有多少种，由此能求出恰有3人申请A类奖助学金的概率．（Ⅱ）ξ的所有可能取值为1、2、3，分别求出相应的概率，由此能示出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）所有可能的申请方式有34种，恰有3人申请A类助学金的申请方式有种，所以，所求概率为；…（Ⅱ）ξ的所有可能取值为1、2、3…，，，…综上知：ξ的分布列为：ξ 1 2 3P所以：…【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18．如图1，在矩形ABCD中，AB=，BC=4，E是边AD上一点，且AE=3，把△ABE沿BE翻折，使得点A到A′，满足平面A′BE与平面BCDE垂直（如图2）．（1）若点P在棱A′C上，且CP=3PA′，求证：DP∥平面A′BE；（2）求二面角B﹣A′E﹣D的余弦值的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】向量法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）若点P在棱A′C上，且CP=3PA′，根据线面平行的判定定理即可证明DP∥平面A′BE；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B﹣A′E﹣D的余弦值的大小．【解答】解：（1）在图2中，过P作PQ∥BC交A'B于Q．…∵CP=3PA'，∴，∵BC=4，∴PQ=1，…∵DE∥BC．DE=1，∴，得DE∥QP．∴DP∥EQ…∵DP⊄平面A'BE，EQ⊂平面A'BE∴DP∥平面A'BE．…（2）在图2中，过A'作A'F⊥BE于F．∵平面A'BE⊥平面BCDE，∴A'F⊥平面BCDE …∵∠BA′E=90°，A′B=，A′E=3，∴∠A'EB=30°，A′F=，EF=，过F作FG⊥DE交DE延长线于G，则FG=，EG=…如图，建立空间直角坐标系D﹣xyz，，=（，，0），=（1，0，0）…设平面A'BE的法向量，则，可取…设平面A'DE的法向量，则，可取…，∴…∵二面角B﹣A'E﹣D为钝角，∴二面角B﹣A'E﹣D的余弦的大小为．…【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定以及二面角的求解，利用线面平行的判定定理以及建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．19．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足8S n=a+4a n+3（∈N*），且a1＜3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=，设{b n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）nλ＜T n+对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用递推关系与等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式可得T n，对n分类讨论即可得出．【解答】解：（1）∵，∴8S n﹣1=+4a n﹣1+3 （n≥2），∴，∴，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=4（n≥2）．∴数列{a n}是以4为公差的等差数列，又∵，∴而a1＜3，∴a1=1，∴a n=4n﹣3 （n∈N*）．（2），，=+…++n×，两式相减得，∴，∴．若n为偶数，则．若n为奇数，则，∴﹣λ＜2，∴λ＞﹣2．∴﹣2＜λ＜3．【点评】本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知圆C与圆D：x2+y2﹣4x﹣2y+3=0关于直线4x+2y﹣5=0．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若点P（2，0），M（0，2），设Q为圆C上一个动点．①求△QPM面积的最大值，并求出最大值时对应点Q的坐标；②在①的结论下，过点Q作两条相异直线分别与圆C相交于A，B两点，若直线QA，QB的倾斜角互补，问直线AB与直线PM是否垂直？请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）求出圆心坐标，即可求圆C的方程；（Ⅱ）①设点Q到PM的距离为h，圆心C到PM的距离为d，所以．△QPM 面积的最大值即需要h取的最大值，此时点Q与圆心C的连线与PM垂直；②证明k PM•k AB=﹣1，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）∵x2+y2﹣4x﹣2y+3=0，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=2．…设圆C的圆心为C（a，b），又因为圆C与圆D关于直线4x+2y﹣5=0对称，即圆心D（2，1）与（a，b）关于直线4x+2y﹣5=0对称．∴，…∴．∴圆C的方程为x2+y2=2．…（Ⅱ）①因为点P（2，0），M（0，2），所以，…设点Q到PM的距离为h，圆心C到PM的距离为d，所以．△QPM面积的最大值即需要h取的最大值，此时点Q与圆心C的连线与PM垂直，故有最大值，最大面积，…此时点Q坐标为点（﹣1，﹣1）．…②直线AB与直线PM垂直，理由如下：…因为过点Q（﹣1，﹣1）作两条相异直线分别与圆C相交于A、B两点，直线QA、QB的倾斜角互补，所以直线QA、QB斜率都存在．设直线QA的斜率为k，则直线QB斜率为﹣k，所以直线QA的方程：y+1=k（x+1）⇒（1+k2）x2+2k（k﹣1）x+k2﹣2k﹣1=0，…又因为点Q（﹣1，﹣1）在圆C上，故有，所以，同理，…，…又，所以有k PM•k AB=﹣1，故直线AB与直线PM垂直．…【点评】本题考查求一个圆关于直线的对称圆的方程的方法，直线和圆相交的性质，判断两直线垂直的方法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=xlnx+ax﹣x2（a∈R）．（1）若函数f（x）在[e，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（2）若对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞﹣x2+（k+a﹣1）x﹣k恒成立，求正整数k的值．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【专题】计算题；规律型；分类讨论；转化思想；构造法；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，利用函数f（x）在区间[e，+∞）上为减函数，f′（x）≤0，即lnx+1+a﹣2x≤0在区间[e，+∞）上恒成立，推出a≤2x﹣lnx﹣1在x∈[e，+∞）上恒成立．构造新函数求出新函数的最小值，推出结果．（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞﹣x2+（k+a﹣1）x﹣k恒成立，转化为k（x﹣1）＜xlnx+x 恒成立．法一：问题转化为对任意x∈（1，+∞）恒成立，构造新函数，求解新函数的最小值，然后求解k的值为1，2，3．…法二，令g（x）=f（x）﹣[（k+a﹣1）x﹣k]，求出函数的导数，通过当2﹣k≥0时，导数的符号，求解k．当2﹣k＜0时，即k＞2时，求解k．即可．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx+ax﹣x2（a∈R）可知x＞0，有：f′（x）=lnx+1+a﹣2x，∵函数f（x）在区间[e，+∞）上为减函数，∴当x∈[e，+∞）时，f′（x）≤0，即lnx+1+a﹣2x≤0在区间[e，+∞）上恒成立，…∴a≤2x﹣lnx﹣1在x∈[e，+∞）上恒成立．令g（x）=2x﹣lnx﹣1，，当时，g′（x）≥0，g（x）单增；时，g′（x）≤0，g（x）单减．∴x∈[e，+∞）时，g（x）min=g（e）=2e﹣2∴a≤2e﹣2．…（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞﹣x2+（k+a﹣1）x﹣k恒成立，即k（x﹣1）＜xlnx+x恒成立．法一：∵x∈（1，+∞），∴x﹣1＞0．则问题转化为对任意x∈（1，+∞）恒成立，…设函数，则，再设m（x）=x﹣lnx﹣2，则．∵x∈（1，+∞），∴m'（x）＞0，则m（x）=x﹣lnx﹣2在x∈（1，+∞）上为增函数，∵m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，∴∃x0∈（3，4），使m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0．∴当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，h（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h（x）＞0 …∴在x∈（1，x0）上递减，在x∈（x0，+∞）上递增．∴h（x）的最小值为．∵m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，∴ln（x0）+1=x0﹣1，代入函数，得h（x0）=x0，∵x0∈（3，4），且k＜h（x），对任意x∈（1，+∞）恒成立，∴k＜h（x）min=x0，∴k≤3，∴k的值为1，2，3．…法二（同比例给分）：令g（x）=f（x）﹣[（k+a﹣1）x﹣k]=xlnx﹣（k﹣1）x+k（x＞1），∴g′（x）=lnx+1﹣（k﹣1）=lnx+2﹣k，当2﹣k≥0时，即k≤2时，g′（x）＞0，g（x）在（1，2）上单调递增，∴g（x）＞g（1）=1＞0恒成立，而k∈N*∴k=1或k=2．当2﹣k＜0时，即k＞2时，g′（x）=0⇒x=e k﹣2，∴g（x）在（1，e k﹣2）上单调递减，在（e k﹣2，+∞）上单调递增，∴恒成立，∴k＞e k﹣2，而k∈N*，∴k=3．综上可得，k=1或k=2或k=3时成立．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，构造法以及转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．。
成都市2012届三诊数学(理)
成都市2012届高中毕业班第三次诊断性检测数学（理工农医类）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，有 且只有一项是符合题目要求的。
1.已知等差数列{}n a 中，362,4a a ==-，则该数列的公差d =（ ） A.3 B.2 C.3- D.2-2.复数11i i+-（i 是虚数单位)的虚部为（ ）A.0B.iC.1D.2i3.若抛物线24y x =上一点M 到其焦点的距离为3，则M 到直线2x =-的距离为（ ） A.5 B.4 C.3 D.24.设()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()f x x =-，则()y f x =的反函 数的大致图象是（ ）5.为了得到函数sin(2)16y x π=+-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象（ ）A.按向量(,1)12a π=-- 平移B.按向量(,1)12a π=- 平移 C.按向量(,1)6a π=- 平移 D.按向量(,1)6a π=- 平移6.已知,,l m n 是三条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，且,m n αβ⊂⊂，则下列命题 中正确的是（ ）A.//,//,////m n m n βααβ⇒B.,////l m n m l αβ=⇒C.,//l m l n m β⇒⊥⊥D.,,l m l n l m αβ=⇒ ⊥⊥⊥n7.已知随机变量ε服从标准正态分布(0,1)N ，以()x Φ表示标准正态总体在区间 (,)x -∞内取值的概率，即()()x P x εΦ=< ，则下列结论不正确的是（ ）A.1(0)2Φ=B.(1)(1)1Φ+Φ-=C.(12)(2)(1)1P ε-<<=Φ-Φ+D.(21)(2)(1)P ε-<<-=Φ-Φ8.某校开设A 类选修课4门，B 类选修课5门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，且A 类中的甲门课和B 类中的乙门课不能同时选，则不同的选法共有（ ） A.60种 B.63种 C.70种 D.76种9.某工厂用U 、T 两种型号的配件生产甲、乙两种产品.每生产一个甲产品使用4个U 型配件，耗时1小时，获利1万元；每生产一个乙产品使用4个T 型配件，耗时2小时，获利4万元.已知该厂每天工作不超过8小时，且一天最多可以从配件厂获得20个U 型配件和12个T 型配件，如果该厂想获利最大，则一天的生产安排应是（ ）A.生产甲产品2个，乙产品3个B.生产甲产品3个，乙产品2个C.生产甲产品3个，乙产品3个D.生产甲产品4个，乙产品3个10.已知ΔA B C 中，1,3A B A C ==,若O 是该三角形内的一点，满足()0O A O B AB +⋅=，||||O B O C = ,则AO BC ⋅，等于（ ）A.52B.3 C.4 D.511.小张和小王两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”:有3个柱子甲、 乙、丙，甲柱上有(3)n n ≥个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不 等，大的在下，小的在上(如图)。
四川省成都市2009届高三第二次诊断性考试(数学理)
成都市2009届高中毕业班第二次诊断性检测数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷至2页，第Ⅱ卷3至8页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
全卷满分为150分，完成时间为120钟。
第I 卷注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A B 、互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24S R π=如果事件A B 、相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式 如果事件A 在依次实验中发生的概率是p ， 34V 3R π=那么n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率 ()(1)(0,1,2,k knkn n P k C P Pk n -=-=…,) 其中R 表示球的半径一、选择题：（1）已知集合2{|210,}P x x x x R =-+=∈，则集合P 的子集个数是 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 （2）化简复数31+i i -1-i的结果是A ．-2iB ．2iC ．0D ．-1-i（3）已知函数()f x 的定义域为[0，1﴿，则函数(1)f x -的定义域为A ．[0,1)B ．(0,1]C ．[1,1]-D ．[1,0)(0,1]-（4）函数||1(0)()(0)x x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩的图象为（5）在ΔABC 中，a b c 、、分别是三内角A B C 、、所对边的长，若sin A sin ,b a C =则ΔA B C 的形状A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形（6）已直数列{}n a 的前n 项和为n S ，若)n a n N *=∈，则2009S 的值为A B 1 C D 1（7）已知过原点的动圆C 与直线:40l x y --=相切,切当动圆C 面积最小时,圆的方程是 A ．22(1)(1)4x y -++= B ．22(1)(1)2x y -++= C ．22(1)(1)4x y ++-= D ．22(1)(1)2x y ++-=（8）已知三棱锥P A B C -中，P A P B P C 、、两两垂直，22P A P B P C a ===，且三棱锥外接球的秒面积为9S π=，则实数a 的值为A ．1B ．2CD ．12（9）为支援地震灾区的灾后重建工作，四川某公司决定分四天每天各运送一批物资到A B C D E 、、、、五个受灾点，由于A 地距离该公司较近，安排在第一天或最后一天送达；B C 、两地相邻，安排在同一天上、下午分别送达（B 在上午、C 在下午与B 在下午、C 在上午为不同运送顺序），且运往这两地的物资算作一批；D E 、两地可随意安排在其余两天送达。
高三数学诊断性测试
解题思路：根据质量守恒定律，整个变化前后镁元素的质量是相等的，即氯化镁和硫酸镁中镁元素的总质量等于氧化镁中镁元素的质量，从而根据元素的质量相等去处理。
课堂反馈
阳光牌小包装“脱氧剂”成分为Fe粉、活性炭及少量NaCl、水。使用一段时间后，其中的Fe粉会转变成Fe2O3而变质。某化学兴趣小组欲探究使用过的阳光牌“脱氧剂”的变质程度(已变质的Fe粉占变质前Fe粉的质量分数)，设计并进行如下探究过程。 步骤（1）取食品包装袋中的阳光牌“脱氧剂”一袋，将里面的固体溶于水，过滤、洗涤、干燥滤渣。 步骤（2）取步骤（1）中的滤渣8.0 g，加入足量的稀H2SO4与滤渣充分反应，过滤、洗涤、干燥得固体1.2 g。 步骤（3）取步骤（2）中的滤液，加入足量的NaOH溶液，得到的固体经洗涤后转移到坩埚中，充分加热、冷却、称量，得到8.0 g Fe2O3（注：滤液中的Fe元素已全部转化为Fe2O3）。 求：（1）8.0 g滤渣中Fe和Fe2O3两种物质的总质量。 （2）该“脱氧剂”在未变质时，Fe粉和活性炭的质量之比。 （3）该“脱氧剂”的变质程度。
01
解题思路：本题涉及到锌和稀硫酸的反应、氯酸钾制取氧气的反应以及氢气与氧气的反应，氧气、氢气是纽带，解题时先求出氯酸钾分解生成的氧气质量，再求出与氧气反应的氢气的质量，进而根据氢气的质量求出所需锌的质量。
02
课堂反馈
例2：将20 g碳酸钙粉末投入一定量的盐酸中恰好完全反应，所得溶液中溶质的质量分数为20%。试求： 生成CO2的质量为多少克? 反应后所得溶液的质量为多少克? 原盐酸溶液中溶质的质量分数为多少?(计算结果精确到0.01%)
1
2
课堂反馈
有一种只含SiO２杂质(SiO２不溶于水，也不与盐酸反应)的石灰石样品。某学生想测定该样品中碳酸钙的质量分数，他取用2g样品，把16g稀盐酸平均分4次加入，充分反应后剩余固体的质量依次记录于下表： 计算：(1)样品中碳酸钙的质量分数。 2g样品与稀盐酸充分反应时，恰好用去稀盐酸的质量为多少克?此时，所得溶液溶质的质量分数为多少?(小数点后保留两位数字)
高中级高三数学理工农医类第一次诊断性考试卷课标试题
保密★启用前【考试时间是是：2021年11月1日下午3：00—5；00】本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
高中2021级高三数学理工农医类第一次诊断性考试卷第1卷〔选择题，一共60分〕考前须知：1．答第1卷前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号、考试科目用4B 或者5B 铅笔填写上在答题卡上。
2．每一小题在选出答案以后，用4B 或者5B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答萎，不能答在试卷上。
3.参考公式：假如事件A 、B 互斥，那么 P(A ＋B)＝P(A)＋P(B) ； 假如事件A 、B 互相HY ，那么 P(A ·B)＝P(A)· P(B) ；假如事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次HY 重复试验中恰好发生k 次的概率：Pn(k)＝C kn ·Pk ·(1－P)n －k球的体积公式 V ＝43πR3 其中R 表示球 的半径0 < a m ≠ 1 N > 0 对数换底公式:一、选择题:本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。
在每个小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上。
1、右图中阴影局部表示的集合是：2、用反证法证明命题：假设P 那么q ，其第一步是反设命题的结论不成立，这个正确的反设是： A 、假设P 那么非q B 、假设非P 那么q C 、非P D 、非q3、数列｛αn ｝的通项公式为 那么｛αn ｝的最大项是： A 、α1 B 、α2 C 、α3 D 、α44、右图是一个样本容量为50的样本频率分布直方图，据此估计数据落在[15.5，24.5]的概率约为： A 、36% B 、46% C 、56% D 、66%5、在点 x = a 处连续的是6、设α> 0 α≠ 1 假设y = αx的反函数的图象经过点 ， 那么α= ：A 、 16B 、2C 、D 、 4 7、假设函数f (x)的图象经过点 A，B 、〔1，0〕， C 、〔2，-1〕，那么不能作为函数f(x)的解析式的是：8、：计算：A、不存在B、8C、-8D、189、函数的图象大致是：10、对数函数的图象如下图，那么a 、b的取值范围是：A、a > b > 1B、b > a > 1C、1 > a > b > 0D、1 > b > a > 011、复数z ，条件P：“z2 = - i 〞是条件q：“〞的：A 充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件12、函数y = a x ( a > 1 ) 及其反函数的图象与函数y = ( 1/x) 的图象交于A、B两点，假设∣AB∣= 2√2，那么实数≈0.3827 lg 8.392 ≈0.9293 lg 8.41 ≈0.9247 〕A、3.8B、4.8C、8.4D、9.2第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分，把答案填在答题卡相应位置上。
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成都市高2010届毕业班第三次诊断性检测数学（理工农医类）解析：四川省成都市新都一中 肖宏第一卷一、选择题（每小题5分，12个小题共计60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是 题目要求的，将所选答案的编号涂在机读卡相应位置上）1、 不等式201x x -≤+的解集为（ ） (A ){x |－1≤x ≤2}(B ){x |－1＜x ≤2} (C ){x |－1≤x ＜2} (D ){x |－1＜x ＜2} 解析：原不等式等价于(1)(2)010x x x +-≤⎧⎨+≠⎩， 解得－1＜x ≤2答案：B2、 计算2312222lim[1()()()]3333n n -→∞+++++L 的结果是( ) (A )53 (B )3 (C ) 23(D )2 解析：因为23121()2222231()()()3[1()]23333313n n n --+++++==--L 所以2312222lim[1()()()]3333n n -→∞+++++L ＝3 答案：B3、 若复数z ＝(m 2－1)＋(m ＋1)i 为纯虚数，则实数m 的值等于( )(A )1 (B )0 (C )－1 (D )±1解析：由题意21010m m ⎧-=⎨+≠⎩ ⇒ m ＝1答案：A4、 已知向量a ＝(－3,2),b ＝(2,1),则|a ＋2 b |的值为( )(A(B )7 (C(Da ＋2b ＝(1,4) 故|a ＋2 b |＝=答案：C5、 设函数f (x )＝x 2＋2(－2≤x ＜0)，其反函数为f －1(x )，则f －1(3)＝() (A )－1 (B )1 (C )0或1(D )1或－1 解析：令f (t )＝3，则t ＝f －1(3) (－2≤t ＜0)有t 2＋2＝3 ⇒ t ＝±1但－2≤t ＜0，故t ＝－1答案：A6、 计算cot 15°－tan 15︒的结果是( )(A )32 (B ) 62 (C(D解法一：cot 15︒－tan 15︒＝cot (45︒－30︒)－tan (45︒－30︒)＝000000001tan 60tan 45tan 60tan 45tan 60tan 451tan 60tan 45+---+＝(2－(2)＝解法二：cot 15︒－tan 15︒＝0000cos15sin15sin15cos15-＝202000cos 15sin 15sin15cos15-＝0cos301sin 302=答案：D7、 设m 、n 为不重合的两条直线，α、β为不重合的两个平面，下列命题为真命题的是( )(A )如果m 、n 是异面直线，m ⊂α，n ⊄α，那么n ∥α；(B )如果m 、n 是异面直线，m ⊂α，n ⊄α，那么n 与α相交；(C )如果m 、n 共面，m ⊂α，n ∥α，那么m ∥n ；(D )如果m ⊂β，m ∥α，n ⊂α，n ∥β，那么m ∥n .解析：如图，可知(A )不正确对于(B )，当n 与α平行时，也可以满足m 与n 异面的条件，故(B )不正确对于(C )，因为m 、n 共面，可设这个平面为γ，又因为m ⊂α，故m 是平面α与γ的交线根据线面平行的性质定理，当n ∥α时，必定有m ∥n 。
(C )正确对于(D )，当α与β相交时命题正确，但当α∥β时，m 、n 可能是异面直线。
故(D )错误答案：C8、 某物流公司有6辆甲型卡车和4辆乙型卡车，此公司承接了每天至少运送280t 货物的业务，已知每辆甲型卡车每天的运输量为30t ，运输成本费用为0.9千元；每辆乙型卡车每天的运输量为40t ，运输成本为1千元，则当每天运输成本费用最低时，所需甲型卡车的数量是( )(A )6 (B )5 (C )4 (D )3解析：设需要甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆 由题意30402800604x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩且x 、y ∈Z运输成本目标函数z ＝0.9x ＋y画出可行域(如图)可知，当目标函数经过A (4,4)时，z 最小7.6千元及需要甲型卡车和乙型卡车各4辆。
答案：C9、 设数列{a n }是项数为20的等差数列，公差d ∈N *，且关于x 的方程x 2＋2dx －4＝0的两个实根x 1、x 2满足x 1＜1＜x 2，则数列{a n }的偶数项之和减去奇数项之和的结果为( )(A )15 (B )10 (C )5 (D )－20解析：记f (x )＝x 2＋2dx －4则函数f (x )的图象与x 轴的两个交点分别在1的两侧注意到f (x )开口向上，故f (1)＜0 ⇒ d ＜32又d ∈N *，故d ＝1又a 2n －a 2n －1＝d所以(a 20＋a 18＋a 16＋……＋a 2)－(a 19＋a 17＋a 15＋……＋a 1)＝(a 20－a 19)＋(a 18－a 17)－……－(a 2－a 1)＝10d ＝10答案：B10.设A 、B 为双曲线x2a2－y2b2 ＝λ(λ≠0)同一条渐近线上的两个不同的点，已知向量m ＝(1,0)，|AB |＝6，||AB m m u u u r g ＝3，则双曲线的离心率e 等于( )α m n(A )2 (B(C )2(D )2解析：注意到向量m ＝(1,0)是x 轴上的单位向量，||AB m m u u u r g ＝3表示向量AB u u u r 在x 轴上的射影长为3 而|AB |＝6，因此A 、B 点所在的渐近线与x 轴的夹角为60︒.(1)当λ＞0时，有b a＝tan 60︒ ⇒ b所以c 2＝a 2＋b 2＝4a 2 ⇒ e ＝c a＝2 (2)当λ＜0时，有a b ＝tan 60︒ ⇒ a所以c 2＝a 2＋b 2＝4b 2 ⇒ e3=答案：D11.如图为12个单位正方形组成的长方形图形，若沿格线从左下角顶点A 走到右上角顶点B ，每步只走一个单位长度，则所有最短路线的走法中，经过点C 的走法种数是( )(A )42(B )35 (C )20 (D )15解析：从A 到C 的最短路线只有2种从C 到B 横向有3段路，纵向有2段路，共5段路，其最短路线走法有C 52＝10种，故共有2×10＝20种答案：C 12.设f (x )是定义在R 上的偶函数，对x ∈R ，都有f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝(12)x －1，若在区间(－2，6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a ＞1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是( )(A )(1,2) (B )(2，＋∞) (C) (D,2)解析：由f (x －2)＝f (x ＋2)，知f (x )是周期为4的周期函数于是可得f (x )在(－2,6]上的草图如图中实线所示而函数g (x )＝log a (x ＋2)(a ＞1)的图象如图中虚线所示结合图象可知，要使得方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a ＞1)在区间(－2，6]内恰有3个不同的实数根，必需且只需(2)3(6)3g g <⎧⎨>⎩所以g 4383a a lo log <⎧⎨>⎩解得：＜a ＜2答案：D w二、填空题(本大题共计4个小题，每小题4分，共计16分，把答案填在题中横线上)13.如果直线l 1：3x －4y －3＝0与直线l 2关于直线x ＝1对称，则直线l 2的方程为______________.解法一：l 1与l 2关于直线x ＝1对称，由于x ＝1斜率不存在，故l 1与l 2斜率互为相反数，且它们与x ＝1交于同一点(1,1)可得直线l 2的方程为3x ＋4y －3＝0。
解法二：设P (x ,y )是l 2上任意一点，则点P 关于x ＝1的对称点Q (2－x ,y )在l 1上所以3(2－x )－4y －3＝0整理得：3x ＋4y －3＝0，此即l 2的方程。
答案：3x ＋4y －3＝014.已知sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α＝，则cos 2β的值为________________. 解析：因为sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin＝sin [(α＋β)－α]＝sin β＝3于是cos 2β＝1－2sin 22β＝1－2133= 答案：1315.如图，ABCD 为菱形，CEFB 为正方形，平面ABCD ⊥平面CEFB ，CE ＝1，∠AED ＝30︒，则异面直线BC 与AE 所成角的大小为__________________.解析：由题意，正方形和菱形变成均为1，又平面ABCD ⊥平面CEFB ，所以CE ⊥平面ABCD于是CE ⊥CD ，从而DE在△ADE 中，AD ＝1, DE,∠AED ＝30︒ 由正弦定理得：sin sin AD DE AED DAE=∠∠ 所以sin ∠DAE ＝sin DE AED AD ∠g＝ 故∠DAE ＝45︒又BC ∥AD ，故异面直线BC 与AE 所成角等于∠DAE答案：45︒16.如果函数f (x )同时满足下列条件：①在闭区间[a ,b ]内连续，②在开区间(a ,b )内可导且其导函数为f '(x )，那么在区间(a ,b )内至少存在一点ξ(a ＜ξ＜b )，使得f (b )－f (a )＝f '(ξ)(b －a )成立，我们把这一规律称为函数f (x )在区间(a ,b )内具有“Lg ”性质，并把其中的ξ称为中值。
有下列命题：①若函数f (x )在(a ,b )具有“Lg ”性质，ξ为中值，点A (a ,f (a )),B (b ,f (b ))，则直线AB 的斜率为f '(ξ)；②函数y ＝222x -在(0,2)内具有“Lg ”性质，且中值ξ＝2,f '(ξ)＝－22; ③函数f (x )＝x 3在(－1,2)内具有“Lg ”性质，但中值ξ不唯一；④若定义在[a ,b ]内的连续函数f (x )对任意的x 1、x 2∈[a ,b ],x 1＜x 2，有12[f (x 1)＋f (x 2)]＜f (122x x +)恒成立，则函数f (x )在(a ,b )内具有“Lg ”性质，且必有中值ξ＝122x x +. 其中你认为正确的所有命题序号是___________________.解析：对于①，根据导函数的几何意义立即可得正确；对于②，函数y 在(0,2)上连续且可导，代值计算可得两端点连线的斜率为－22又y '＝1221(2)()22x x ---，当x ＝2时，y '＝－22，故②正确。
对于③，两端点连线斜率为3而f '(x )＝3x 2，令3x 2＝3 ⇒ x ＝±1，在(－1,2)内只有一个中值ξ＝1，故③错误；对于④，12[f (x 1)＋f (x 2)]＜f (122x x +)只能保证f (x )是上凸函数，不能保证中值一定在中点处。