塑性力学第2章-理想弹塑性材料的三杆桁架问题
应用弹塑性力学习题解答
应用弹塑性力学习题解答目录第二章习题答案设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。
解该平面的法线方向的方向余弦为而应力矢量的三个分量满足关系而法向分量满足关系最后结果为利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。
解求出后，可求出及，再利用关系可求得。
最终的结果为已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。
如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。
解求主方向的应力特征方程为式中：是三个应力不变量，并有公式代入已知量得为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系代入数据得，，已知应力分量中，求三个主应力。
解在时容易求得三个应力不变量为，，特征方程变为求出三个根，如记，则三个主应力为记已知应力分量，是材料的屈服极限，求及主应力。
解先求平均应力，再求应力偏张量，，，，，。
由此求得然后求得，，解出然后按大小次序排列得到，，已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。
解特征方程为记，则其解为，，。
对应于的方向余弦，，应满足下列关系（a）（b）（c）由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得，由此求得对，，代入得对，，代入得对，，代入得当时，证明成立。
解由，移项之得证得第三章习题答案取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。
解：由，可得，由，得物体内部的位移场由坐标的函数给出，为，，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。
解：首先求出点的位移梯度张量将它分解成对称张量和反对称张量之和转动矢量的分量为，，该点处微单元体的转动角度为电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。
如图所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，，，，求该点的主应变和主方向。
解：根据式先求出剪应变。
考察方向线元的线应变，将，，，，，代入其中，可得则主应变有解得主应变，，。
弹塑性理论习题讲解
2-7已知某点的应力状态为 过该点斜截面法线 的方向余弦为 ,试求斜截面上切应力 的表达式。
2-8物体中某点的应力状态为 求该点主应力的大小和主轴方向。
2-9已知物体中某点的应力状态为 ，斜截面法线的方向余弦为 ，试求斜截面上切应力的大小。
2-10半径为 的球，以常速度 在粘性流体中沿 轴方向运动。球面上点A（ ）受到的表面力为 ， ， ，式中 为流体的静水压力。试求球所受的总力量。
图8-9
8-2悬臂梁（0≤x≤1，－c≤y≤c），左端固定，沿下边界受均匀分布剪力，而上边界和右端不受载荷时，可用应力函数 得出解答。这个解答在哪些方面是不完善的？将应力表达式与由拉伸和弯曲的初等公式得到的表达式作一比较，见图8-10。
图8-10
8-3悬臂梁受均布荷重 的作用，梁长 ，高2c，求应力分布。见图8-11。
2-11已知物体中某点的应力状态为 ，斜截面法线的方向余弦为 ，试证明斜截面上的正应力 及剪应力 分别为 、 。
习题3
3-1若位移 是坐标的一次函数，则在整个物体中各点的应变都是一样的，这种变形叫均匀变形。设有以O为中心的曲面，在均匀变形后成为球面，
问原来的曲面 是怎样的一种曲面？
3-2证明 ， ， ， （其中 和 是微小的常数），不是一个可能的应变状态。
提示：边界条件中出现 项时，应设 。
图8-11图8-12
8-4有简支梁长 ，高 ，受均布荷重 的作用，求应力分布，见图8-12。
8-5简支梁长 ，高 ，试证由于自重 所产生的应力分布为
，
，
，
式中 。
提示： ， ， 是方程组的一组特解，然后把有体积力的问题变为无体积力的问题求解。
弹塑性力学课后答案
εij第二章 应力理论和应变理论2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa ）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及正负值应作何修正。
解：在右图示单元体上建立xoy 坐标，则知σx = -10 σy = -4 τxy = -2 （以上应力符号均按材力的规定） 代入材力有关公式得：3030cos 2sin 22210410413cos 602sin 6073222226.768 6.77()104sin 2cos 2sin 602cos 60223132 3.598 3.60()22x yx yxy x y xy MPa MPa σσσσσατασστατα+-=+----+=++=--⨯+⨯=----+=⋅+=⋅-=-⨯-⨯=--代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy = -4 τxy = +23030()cos 2sin 22210410413cos 602sin 6073222226.768 6.77()104sin 2cos 2sin 602cos 60222132 3.598 3.60()22x yx yxyx y xy MPa MPa s ss ss a tas s t a t a +-=++---+=++=--??=----+=-?=-?=??由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。
2—6. 悬挂的等直杆在自重W 作用下（如图所示）。
材料比重为γ弹性模量为 E ，横截面面积为A 。
试求离固定端z 处一点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。
解：据题意选点如图所示坐标系xoz ，在距下端（原点）为z 处的c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得：c 截面的内力：N z =γ·A ·z ；c 截面上的应力：z z N A z z A Aγσγ⋅⋅===⋅； 所以离下端为z 处的任意一点c 的线应变εz 为：δy题图1-3τxyx 30°10n24xO10yTτ30°δ30°zz zEEσγε==；则距下端（原点）为z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为：()22zzzzz z z z y zz l d l d d zd EEEγγγε=⎰⋅∆=⎰⋅=⎰=⎰=；显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）：()2222ll A l lW ll d l EEAEAγγ⋅⋅⋅⋅⋅=⎰∆=== ；（W=γAl ）2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =50030080030003008003001100-⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦应力单位为kg ／cm 2 。
弹塑性力学2应变分析
第二章 应变分析
z
C
C
B
w
A
A
B
B
w
w x
dx
o
u
u u x dx
x
下面研究六面体的剪应变，即各直角的改变。
取变形前的直角BAC或 BAC ，变形时，棱边 AB 转动
一个角度 ，棱边 AC 转动一个角度 ，在xoz平面内，角 应变用 zx 表示，其值为 和 之和，即：
PB的正应变为：
P B PB PB
(r u )d rd rd
u r
径向线段PA的转角为： 0 环向线段PB的转角为：
BB PP PB (u u d ) u
Bpp来自＝tg 所以有：
1 u r
B
rd
r
1 u r v z
v r
1 w r w r
（2－9）
u z
14
第二章 应变分析
其中，u，v，w 分别表示一点位移在径向（r方向），环向
（ 方向）以及轴向（z方向）的分量。
对于平面问题，柱坐标变为极坐标，则平面极坐标表示
的几何方程为：
u r r 1 v u r r 1 u v v r r r r
dx
v y
dy
v z
dz ) (dz
w x
dx
上式两边同除以 (dr ) ，并利用（2－13）式得：
(1 N ) [l (1
2
2
u x
)m v z
u y
2
n
弹塑性力学第二章
一、P点的正应变
x
(u
u dx) x dx
u
u x
在这里由于小变形，由y
方向位移v所引起的PA的伸缩
是高一阶的微量，略去不计。
o
u P
v
y
P
B v v dy
y
u u dx x
A
A
x
v v dx x
B
u u dy y
图2－5
13
同理可求得：
等厚度薄板，板边承受平 行于板面并且不沿厚度变化的 面力，同时体力也平行于板面 并且不沿厚度变化。
σz = 0 τzx = 0 τzy = 0
图2－1
3
特点：
1) 长、宽尺寸远大于厚度
2) 沿板边受有平行板面的面力，且沿厚度均布，体力
平行于板面且不沿厚度变化，在平板的前后表面上
无外力作用。
y
x
注意：平面应力问题z =0，但 z 0 ，这与平面应变
它平行于上述斜面，并与经过P点而垂直于x轴和y轴的两个平
面划出一个微小的三角板或三棱柱PAB。当平面AB与P点无限
接近时，平面AB上的应力就成为上述斜面上的应力。
o
yx y
x
P
A
xy
x
y
B
N
YN
XN
N
S
N
设AB面在xy平面内的长度为dS， 厚度为一个单位长度，N 为该面的外
法线方向，其方向余弦为：
x
x
x
dx)
dy 1
x
dy1
(
yx
yx
y
dy)
弹塑性力学第1,2章
2.2 张量的计算
①张量的下标记号法： A点坐标x，y，z : F矢量力 Fx，Fy，Fz:
xi
i 1,2,3
fi
i 1,2,3
二阶张量应力可以表示为： ij ( i , j 1,2,3 ) x xy xz 11 12 13 yx y yz 22 23 21 31 32 33 zx zy z 二阶张量应变可以表示为：
ij ij i1 i1 i2 i2 i3 i3
11 11 21 21 31 31
12 12 22 22 32 32 13 13 23 23 33 33
ai， i
a1 a2 a3 ai x1 x2 x3 xi
张量的内积
A ai i i 张量A与张量B内积：
1 2 m
B bj1 j2 jn
A B
从张量A中和张量B中各取1个下标，约定求和一次成
为一个（m+N-2）阶的张量的运算称之为张量内积。 两个一阶张量的内积
A ai B bi
A B= A B cos A B
A B=ai bi a1b1 a2b2 a3b3
弹塑性力学的分析方法和体系
求解的基本方程： ①力的平衡方程式 ②几何方程或称之为变形协调方程 ③物理方程 弹塑性力学问题最后归结为在给定边界条件下求解这 三大基本方程的问题。 弹性力学与塑性力学的最大区别，本构关系不同。
弹塑性力学的主要内容
1.弹塑性本构关系 本构关系是材料本身固有的一种物理关系，指材 料内任一点的应力和应变之间的关系 弹性本构关系 塑性本构关系 广义虎克定律 增量理论和全量理论
塑性力学
§1-1引言
1.材料的塑性
弹性变形：
B A
非弹性变形（OC）：被保留下来 的变形。 =弹性后效+永久变形 o
D C
弹性后效（与粘性有关）；随时间缓慢消逝的变形DC 永久变形（OD）;不能消失的部分。 蠕变：随时间而缓慢增加的现象，它和弹性后效都是由 材料的粘性引起的。 流态变形：和时间有的永久变形，如蠕变。 塑性变形——只与应力有关的永久变形。
当塑性变形较大时，可认为材料是不可压缩的。
3．基本假设 1）均匀性、连续性、初始各向同性。 2）静水应力不影响屈服，只与体积应变有关（弹性）。 3）忽略温度、时间等的影响。
1.弹性阶段
1 E 1 2 E 2
当 得：
P 1 1 A (1 2 cos3 )
2 1 cos2
~l 1
~
~l 2 cos2
说明 残余应变不等于塑性应变（含有弹性应变），
~ 为弹性应变。 例如 2
§1-5线性强化材料三杆桁架
当
s
s Et ( s
E
时
)
Et
s
E
弹性阶段：无变化 弹塑性阶段： o
s
s Et (
说明：保持 当： 3 此时
y
不变，Q增加时，P必须减少。
2 s
即， 3 s
时，杆3进入塑性状态
1 2 s
3 sQ Q 源自 s AP Ps P s A
x x 2h 3 2h 3 / E 4 s h 1 3 s (由协调关系得）
A s P 3 2
2 s 3 3 2
塑性力学-绪论与第一章N
s ＞ s
§1.3
3 一般加载规律
一般单向拉伸或压缩曲线，不卸载时的应力应变关系可
写为：
( ) E1 ( )
(6)
其中
0,
(
)
E
(
)
E
,
s ＞ s
( ) E s E' s
这种现象非常重要，这表明如果将总应变分为两部分，即
e p
则扣除塑性应变后，应力与弹性应变的关系可用虎克定律来描述。
应变硬化的概念，应变的和分解的概念
§1.2
反向加载与Bauschinger效应
考虑以下的载荷路径：加 载屈服进入塑性状态M点 后，卸载至零点并接着反 向加载。在这种情况下， 对大多数多晶材料来说， 反 向 屈 服 应 力 M’ 点 不 仅 低 于强化后的正向屈服应力 M点，还低于一开始就反 向加载对应的初始屈服应 力A点。这种现象称为包兴 格 效 应 （ Bauschinger effect）。
绪论
• 固体力学是力学中形成较早、应用较广的 一个分支
• 主要研究可变形固体在外界因素作用下， 其内部各个质点所产生的位移、运动、应 力、应变以及破坏等的规律
• 固体力学研究的内容既有弹性问题，又有 塑性问题；既有线性问题，又有非线性问 题。
固体力学分支
弹性力学与塑性力学 疲劳与断裂力学 损伤、破坏机理和微结构演化 本构关系 复合材料力学 新型材料的力学问题 极端条件下的材料和结构 微机电系统中的固体力学问题
比例极限、弹性极限；线性弹性、弹性
§1.2
一种没有 明显的屈 服阶段， 例如一些 铝材的拉 伸试验曲 线。
一种有明显 的屈服阶段， 例如低碳钢 的拉伸试验 曲线。在这 种情形下， 在“屈服平 台”上应力 保持不变， 应变可以有 很大增长。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 2 1 ln 1 2 1 1 ln(1 ) 2 F A0 Y A E 0 P 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2
2 1
2 F * Y 随着F的增大,第二根杆先达到屈服状态: 2 2 2 A0 此时,对应的外载为:弹性极限载荷 Fe
1 Fe Y A0 (1 ) 2
e 2l0 2l0 / E Y l0 / E
(二) 约束塑性阶段 当 F Fe 时,第二杆已经进入塑性变形,但是1和3杆仍然 为弹性.
考虑：节点同时受水平力Q和竖直力F作用
2.4 加载路径对于桁架内应力和应变的影响
F
A
(1) B (2) Q
Q x
(1)
F y
（1）非比例加载
先施加F至极限载荷 FY ，同时保持Q=0；保持竖直位移不变的情况
下，Q逐步增大，至新的塑性状态。
（2）比例加载
Q和F同时加载，整个过程 F : Q 1: 2 ，直至（1）的塑性状态。
2 从A到B点(施加Q) 保持竖直位移不变,故: y 0 施加Q, 故: x x 0
1 ( y x ) 2l0 0 2 y l0 0 3 ( y x ) 2l0 0
说明:第1杆继续伸长，第2杆长度不变，第3杆卸载
卸载后重复加载扩大弹性范围
所挖掘出来的是结构的承载能 力，而不是材料的承载能力。
2.2 线性强化弹塑性材料的三杆桁架
2.2 线性强化弹塑性材料的三杆桁架 三根杆的两端都是铰连接。各杆初始的截面积均为A0，杆2的长 度为 l0 ，三杆连接处受竖直向下的力F作用，则: 假设材料是弹-线性强化的 强化模量是Ep
塑性力学
第二章 结构塑性性态的基本特征
武汉理工大学理学院工程结构与力学系
2.1 理想弹塑性材料的三杆桁架问题 2.2 线性强化弹塑性材料的三杆桁架
2.3 几何大变形对桁架承载能力的影响
2.4 加载路径对于桁架内应力和应变的影响 2.5 载荷平面内的屈服曲线和极限曲线
常用的理想化模型
（a）理想弹性
l1
1 2 3
l0
2
1 2 l0 2l0 1 2 2
/ l0
l0 l0 1 l2
杆的对数应变：
1 1 2 1 ln l1 / 2l0 ln(1 ) 2 2
2 ln l2 / l0 ln(1 )
（强化材料），几何大变形对于结构的弹塑性来说，一般不可忽 略，甚至是一个起决定性作用的因素。
2.4 加载路径对于桁架内应力和应变的影响 区别：
弹性状态下：应力应变满足线性关系，可以叠加， 因此不受加载路径的影响。
Q x
F y
弹塑性状态下：应力应变是非线性关系，而且有 加载卸载的区别，应力应变不是一一对应的关系， 不同的变形路径得到不同的结果。
2 F 2 * 2 2 A0
1 Fe Y A0 (1 ) 2
1 1 / E 2 2 / E
F 2 Y Fe
1 2 / 2
残余应力
* 若将 F *全部卸除: F F
F F* 2 Y Y Fe Fe
当 EP / Y 1 时，虽然有材料强化和 变小两个因素使桁架在
F 值随着 的增大而 较小时力 F 提高，但随着杆件截面积缩小，
减小，变成不稳定结构。当 EP / Y 8 时也有类似的变化趋势。
小结：几何大变形对结构承载能力可能产生重要的影响。一旦结
构进入塑性流动阶段（理想弹塑性材料）或者自由塑性变形阶段
1 2 / 2
2 Y
F 1 ( Y ) / 2 A0
10 20
F* ( 1) Y / Fe
2 0
F* (1 ) Y 0 Fe
残余应变 杆1中的残余应力为
10
F* ( 1) Y / Fe
2 0
* 因为 Fe F FY ,杆1仍然为弹性,其卸载也为弹性,则:
（2）当 F Fe 时，杆2进入塑性强化阶段。
Y 2 Y Ep 2 E 杆1仍然为弹性：
1 E1
21 2 F / A0 2 21
Ep F Y 1 A E 1 0 Ep 1 2 E 2
重复加载 若在卸载完毕后再重复加载,由于从 F * 卸载到零的过程是弹 性的,从零再加载到 F * 仍然是弹性过程. 初始状态:
0 2
0
杆2的弹性范围
0 2 Y
整个桁架结构的弹性范围也扩大了 因此,在结构内部产生某种有利的残余应力状态可以扩大结 构的弹性范围。如工程中的预应力法等。 此外，本节中的材料为理想弹塑性材料，没有强化效应， 卸载后能出现弹性范围扩大效应，是挖掘结构的承载能力。
1 2 ln(1 ) 1 ln 1 2 2 1 1 F A0 Y A E 0 P 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2
（b）理想刚塑性
（c）理想弹塑性 （d）刚-线性强化 （e）弹-线性强化
2.1 理想弹塑性材料的三杆桁架问题
2.1 理想弹塑性材料的三杆桁架问题 三根杆的两端都是铰连接。各杆初始的截面积均为A0，杆2的长 度为 l0 ，三杆连接处受竖直向下的力F作用，则:
N N cos 45 N2 F 1 3
由此可见,考虑材料强化所得到的F与理想弹塑性桁架的塑性极
限载荷差别不大.
线性强化材料进入塑性后应力 仍然随应变增长,F并不是承载 极限;而理想弹塑性材料进入 塑性流动后不能继续承载.
2.3 几何大变形对桁架承载能力的影响 前面章节采用了以下假定： （1）小变形的假定 （2）平衡方程建立在结构的初始几何上 （3）杆截面不发生变化 实际上：
2 ( 1 3 ) ( 1 3 )
应变关系
2 F A0
F y
Q x
2 Q A0
1 ( y x ) 2l0 2 y l0 3 ( y x ) 2l0
2 1 3
2 Y
Y
1 3
( 1 3 ) / 2 2 F / A0
1 2 3
F 1 ( Y ) / 2 A0
F
三根杆中有一根进入塑性后，三杆桁架变成静定的了。
(三) 塑性流动阶段 随着F的继续增大，最终使得第1和3杆也达到屈服。
1 3 Y
1 2 0 3 E 3 E x 2l0 0
当 j Y E j j Y E p j 当 j Y Y E
当 j Y E j j Y Y E p j E 当 j Y
（1）当 F Fe时，桁架处于弹性阶段，上一节中得到的结 果仍然适用。
N1 N3
1
2
3
1 3
21 2 F / A0
3
F
2l0 21l1 21l0
2 21
2
1
(一) 弹性阶段
1 ELeabharlann 1 2 E 2 2 21
2 21
21 2 F / A0
1 F 1 * 2 2 A0 2 F 2 * 2 2 A0
Y 2 e
塑性极限：
弹性极限：
FY Y A0 (1 2)
Y 2 Y l0 / E
FY / Fe 2
1 Fe Y A0 (1 ) 2 e Y l0 / E
Y 2 e
F Fe
Fe F FY F FY
弹性阶段 约束塑性阶段 塑性流动阶段
FY
Fe
（四） 卸载 卸载服从弹性规律。 若加载到 Fe F * FY 后卸载，应力的 变化应该按弹性状态的变化规律.
Y
1 F 1 * 2 2 A0 2 F 2 * 2 2 A0
2 F * 2 2 2 A0 Fe Y 1 A0 1 2
（1）非比例加载 从O到A点
F
FY
(1)
A (1) B
极限载荷: FY Y A0 (1 2)
杆内应力: 1 2 3 Y 节点位移: y Y 2 Y l0 / E
0
Q
x 0
Q x
F y
当保持竖直位移不变情况下,增加Q,此时F 将有相应的改 变.用 F 和 Q表示F和Q的改变量. 应力关系
2 Y 2 21 E
FY Y A0 (1 2)
外载比较分析： 线性强化弹塑性: 理想弹塑性:
Ep F Y A0 2 1 E
FY Y A0 (1 2)
当
Ep E 0.1
F 1 Ep 1 FY 2 1 E
F 1.041 FY
10
Y F* ( 1) / E Fe E
10
2 0
20 210 0
杆1的位移: 10 10l1 10
Y F* 2l0 ( 1) l0 0 Fe E
F* 2( 1) e 0 Fe
桁架的位移:
0
210
在低碳钢的拉伸试验中,经过屈服阶段卸载后的残余应变就是塑 性应变;而对本章中的静不定结构并非如此,杆1中的残余应变 为弹性应变.