线性代数选择题

线性代数选择题一、行列式 (2)二、矩阵 (3)三、线性方程组 (6)四、矩阵的特征值 (12)五、 (13)一、 行列式若12312,,,,αααββ都是四维列向量,且4阶行列式1231,,,m αααβ=,1223,,,n ααβα=,则4阶行列式32112,,,()αααββ+等于（ ）(A)m n +. (B)()m n -+. (C)n m -. (D)m n -.四阶行列式112233440000000a b a b b a b a 的值等于（ ）(A)12341234a a a a b b b b -. (B)12341234a a a a b b b b +.(C)12123434()()a a b b a a b b --. (D)23231414()()a a b b a a b b --.记行列式212322212223333245354435743x x x x x x x x x x x x xx x x ---------------为()f x ,则方程()0f x =的根的个数为（ ）(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.二、 矩阵设,A B 为n 阶方阵,满足等式AB O =,则必有（ ）(A)A O =或B O =. (B)A B O +=. (C)A O =或B O =. (D)A B O +=.设n 阶方阵,,A B C 满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位阵,则必有（ ）(A)ACB E =. (B)CBA E =. (C)BAC E =. (D)BCA E =.设A 是任一(3)n n ≥阶方阵,*A 是其伴随矩阵,又k 为常数,且0,1k ≠±,则必有*()kA =（ ）(A)*kA . (B)1*n kA -. (C)*n k A . (D)1*k A -齐次线性方程组2123123123000x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩的系数矩阵记为A .若存在三阶矩阵0B ≠使得0AB =,则( ) (A)2λ=-且0B =. (B)2λ=-且0B ≠. (C)1λ=且0B =. (D)1λ=且0B ≠.)设,A B 为n 阶矩阵,**,A B 分别为,A B 对应的伴随矩阵,分块矩阵A O C O B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则C 的伴随矩阵*C =( )(A)**A A O O B B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (B)**B B O O A A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C)**A B O OB A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (D)**B A O OA B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦设n 阶矩阵A 与B 等价,则必有( )(A)当(0)A a a =≠时,B a =. (B)当(0)A a a =≠时,B a =-. (C)当0A ≠时,0B =. (D)当0A =时,0B =.设11,,,A B A B A B --++均为n 阶可逆矩阵,则111()A B ---+等于（ ）(A)11A B --+. (B)A B +. (C)1()A A B B -+. (D)1()A B -+.设A 和B 均为n n ⨯矩阵,则必有（ ）(A)A B A B+=+. (B)AB BA =.(C)AB BA =. (D)111()A B A B ---+=+.设A 是n 阶可逆矩阵,*A 是A 的伴随矩阵,则（ ）(A)1*n A A-=. (B)*A A=. (C)*nA A=. (D)*1A A -=.设A 是m n ⨯矩阵,C 是n 阶可逆矩阵,矩阵A 的秩为r ,矩阵B AC =的秩为1r ,则( )(A)1rr >. (B)1r r <. (C)1r r =. (D)r 与1r 的关系依C 而定.设n 维行向量11(,0,,0,)22α= ,矩阵,2T T A I B I αααα=-=+,其中I 为n 阶单位矩阵,则AB 等于( )(A)0. (B)I -. (C)I . (D)T Iαα+.设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则（ ）(A)当m n >时,必有行列式0AB ≠. (B)当m n >时,必有行列式0AB =.(C)当n m >时,必有行列式0AB ≠. (D)当n m >时,必有行列式0AB =.设11121314212223243132333441424344a a a a a a a a A a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,14131211242322213433323144434241a a a a a a a a B a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,10001010000101000P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,21000001001000001P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 其中A 可逆,则1B -=( )(A)112A PP -. (B)112P A P -. (C)112PP A -. (D)121P A P -.三、 线性方程组设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则线性方程组()0AB x =( )(A)当n m >时仅有零解. (B)当n m >时必有非零解. (C)当m n >时仅有零解. (D)当m n >时必有非零解.设向量组123,,ααα线性无关，向量1β可由123,,ααα线性表示，而向量2β不能由123,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有（ ） (A)12312,,,k αααββ+线性无关. (B)12312,,,k αααββ+线性相关. (C)12312,,,k αααββ+线性无关. (D)12312,,,k αααββ+线性相关.设n 元齐次线性方程组0Ax =的系数矩阵A 的秩为r ，则0Ax =有非零解的充分必要条件是（ ）(A)r n =. (B)r n <. (C)r n ≥. (D)r n >.设,A B 为满足AB O =的任意两个非零矩阵,则必有（）(A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.非齐次线性方程组Ax b =中未知量个数为n ,方程个数为m ,系数矩阵A 的秩为r ,则( )(A)r m =时,方程组Ax b =有解. (B)r n =时,方程组Ax b =有惟一解. (C)m n =时,方程组Ax b =有惟一解. (D)r n <时,方程组Ax b =有无穷多解.【考点】线性方程组解的理论.若向量组,,αβγ线性无关;,,αβδ线性相关,则( ) (A)α必可由,,βγδ线性表示. (B)β必不可由,,αγδ线性表示 (C)δ必可由,,αβγ线性表示. (D)δ必不可由,,αβγ线性表示. 设A 是m n ⨯矩阵,0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是（ ） (A)若0Ax =仅有零解,则Ax b =有唯一解. (B)若0Ax =有非零解,则Ax b =有无穷多个解. (C)若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =仅有零解. (D)若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =有非零解.要使12100,121ξξ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦都是线性方程组0Ax =的解,只要系数矩阵A 为（ ）(A)[]211-. (B)201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (C)102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦. (D)011422011-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦.设12,,,m ααα 均为n 维向量,那么,下列结论正确的是（ ） (A)若11220m m k k k ααα+++= ，则12,,,m ααα 线性相关.(B)若对任意一组不全为零的数12,,,mk k k ,都有11220m m k k k ααα+++≠ ,则12,,,m ααα 线性无关.(C)若12,,,m ααα 线性相关,则对任意一组不全为零的数12,,,m k k k ,都有11220m m k k k ααα+++= .(D)若120000m ααα⋅+⋅++⋅= ,则12,,,m ααα 线性无关.设有任意两个n 维向量组1,,m αα 和1,,m ββ ,若存在两组不全为的数1,,m λλ 和1,,m k k ,使111111()()()()0m m m m m m k k k k λαλαλβλβ+++++-++-= ,则( ) (A)1,,m αα 和1,,m ββ 都线性相关. (B)1,,m αα 和1,,m ββ 都线性无关. (C)1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++-- 线性无关. (D)1111,,,,,mm m m αβαβαβαβ++-- 线性相关.设向量β可由向量组12,,,m ααα 线性表示,但不能由向量组(Ⅰ):121,,,m ααα- 线性表示,记向量组(Ⅱ):121,,,,m αααβ- ,则( ) (A)m α不能由(Ⅰ)线性表示,也不能由(Ⅱ)线性表示. (B)m α不能由(Ⅰ)线性表示,但可由(Ⅱ)线性表示. (C)m α可由(Ⅰ)线性表示,也可由(Ⅱ)线性表示. (D)m α可由(Ⅰ)线性表示,但不可由(Ⅱ)线性表示.设A 为m n ⨯矩阵,齐次线性方程组0Ax =仅有零解的充分条件是（ ） (A)A 的列向量线性无关. (B)A 的列向量线性相关. (C)A 的行向量线性无关. (D)A 的行向量线性相关. 假设A 是n 阶方阵,其秩r n <,那么在A 的n 个行向量中（ ） (A) 必有r 个行向量线性无关. (B) 任意r 个行向量线性无关.(C) 任意r 个行向量都构成最大线性无关向量组.(D) 任何一个行向量都可以由其他r 个行向量线性表出.向量组12,,,s ααα 线性无关的充分条件是（ ） (A)12,,,s ααα 均不为零向量.(B)12,,,s ααα 任意两个向量的分量不成比例.(C)12,,,s ααα 中任意一个向量均不能由其余1s -个向量线性表示. (D)12,,,s ααα 中有一部分向量线性无关.n 维向量组12,,,(3)s s n ααα≤≤ 线性无关的充分必要条件是（ ）(A) 存在一组不全为零的数12,,,s k k k ,使11220s s k k k ααα++≠ .(B)12,,,s ααα 中任意两个向量都线性无关.(C)12,,,s ααα 中存在一个向量,它不能用其余向量线性表出.(D)12,,,s ααα 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.已知12,ββ是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解,12,αα是对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系,12,k k 为任意常数,则方程组Ax b =的通解（一般解）必是（ ）(A)1211212()2k k ββααα-+++. (B)1211212()2k k ββααα++-+.(C)1211212()2k k ββαββ-+++. (D)1211212()2k k ββαββ++-+.已知12324,369Q t P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为3阶非零矩阵,且满足PQ O =,则（ ） (A)6t=时P 的秩必为1. (B)6t =时P 的秩必为2.(C)6t ≠时P 的秩必为1. (D)6t ≠时P 的秩必为2.设A 是n 阶方阵,且A 的行列式0A =,则A 中（ ）(A)必有一列元素全为零. (B)必有两列元素对应成比例.(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合. (D)任一列向量是其余列向量的线性组合.已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组（ ） (A)12233441,,,αααααααα++++线性无关. (B)12233441,,,αααααααα----线性无关.(C)12233441,,,αααααααα+++-线性无关. (D)12233441,,,αααααααα++--线性无关.设有向量组123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),ααα=-==45(1,2,2,0),(2,1,5,10)αα=-=,则该向量组的最大线性无关组是( )(A)123,,ααα. (B)124,,ααα. (C)125,,ααα. (D)1245,,,αααα.设,A B 都是n 阶非零矩阵,且AB O =,则A 和B 的秩( )(A)必有一个等于零. (B)都小于n . (C)一个小于n ,一个等于n . (D)都等于n .设1112132122232122231112131313233311132123313010,,100,001a a a a a a A a a a B a a a P a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭2100010101P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则必有（ ）(A)12APP B =. (B)21AP P B =. (C)12PP A B =. (D)21P P A B =.n 维列向量组1,,()m m n αα< 线性无关,则n 维列向量组1,,m ββ 线性无关的充分必要条件为（ ） (A)向量组1,,m αα 可由向量组1,,m ββ 线性表示. (B)向量组1,,m ββ 可由向量组1,,m αα 线性表示. (C)向量组1,,m αα 与向量组1,,m ββ 等价. (D)矩阵1(,,)m A αα= 与矩阵1(,,)m B ββ= 等价.设123,,ααα是四元非齐次线性方程组Ax b=的三个解向量,且秩(A )=3,123(1,2,3,4),(0,1,2,3),T T C ααα=+=表示任意常数,则线性方程组Ax b =的通解x =( )(A)11213141C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. (B)10213243C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. (C)12233445C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. (D)13243546C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.设A 为n 阶实矩阵,T A 是A 的转置矩阵,则对于线性方程组(Ⅰ):0Ax =和(Ⅱ):0T A Ax =,必有( )(A)(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解, (Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解. (B)(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解,但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解. (C)(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解, (Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解.(D)(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解, 但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解.四、 矩阵的特征值设2λ=是非奇异矩阵A 的一个特征值,则矩阵211()3A -有一特征值等于（ ） (A)43. (B)34. (C)12. (D)14.n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（ ）(A)充分必要条件. (B)充分而非必要条件. (C)必要而非充分条件. (D)既非充分也非必要条件.设,A B 为n 阶矩阵,且A 与B 相似,E 为n 阶单位矩阵,则( )(A)E A E B λλ-=-.(B)A 与B 有相同的特征值和特征向量.(C)A 与B 都相似于一个对角矩阵. (D)对任意常数t ,tE A -与tE B -相似.设A 是n 阶实对称矩阵,P 是n 阶可逆矩阵.已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量,则矩阵1()T P AP -属于特征值λ的特征向量是( )(A)1P α-. (B)T P α. (C)P α. (D)1()T P α-.五、二次型。