上海财经大学《 线性代数 》课程考试卷(B)及答案
(完整版)线性代数习题集(带答案)(最新整理)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ().(A) 24315 (B) 14325(C) 41523(D)243512．如果阶排列的逆序数是, 则排列的逆序数是( ).n n j j j 21k 12j j j n (A)(B)(C)(D)k k n -k n -2!k n n --2)1(3. 阶行列式的展开式中含的项共有()项.n 1211a a (A) 0(B)(C) (D) 2-n )!2(-n )!1(-n 4．( ).=0001001001001000(A) 0 (B) (C) (D) 21-15.( ).=01100000100100(A) 0 (B) (C) (D) 21-16．在函数中项的系数是( ).1000323211112)(x x x x x f ----=3x (A) 0(B) (C)(D) 21-17. 若，则 ( ).21333231232221131211==a a a a a a a a a D =---=3231333122212321121113111222222a a a a a a a a a a a a D (A) 4 (B)(C) 2 (D) 4-2-8．若，则 ( ).a a a a a =22211211=21112212ka a ka a(A) (B) (C) (D)ka ka -a k 2ak 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是, 第3行元的余子式依次为3,1,0,4-, 则().x ,1,5,2-=x (A) 0(B)(C)(D) 23-310. 若，则中第一行元的代数余子式的和为().5734111113263478----=D D (A)(B)(C)(D)1-2-3-011. 若，则中第四行元的余子式的和为( ).2235001011110403--=D D (A)(B)(C)(D)1-2-3-012. 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组有非零解.k ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x ( )(A) (B)(C)(D)1-2-3-0二、填空题1. 阶排列的逆序数是.n 2)12(13)2(24-n n 2．在六阶行列式中项所带的符号是.261365415432a a a a a a 3．四阶行列式中包含且带正号的项是.4322a a 4．若一个阶行列式中至少有个元素等于, 则这个行列式的值等于n 12+-n n 0.5. 行列式.=01001110101001116．行列式.=-0100002000010 nn 7．行列式.=--0001)1(2211)1(111 n n n n a a a a a a 8．如果，则.M a a a a a a a a a D ==333231232221131211=---=3232333122222321121213111333333a a a a a a a a a a a a D 9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式.=--+---+---1111111111111111x x x x 11．阶行列式.n =+++λλλ11111111112．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式，为D 中第四行元的代数余子式，5678123487654321=D j A 4)4,3,2,1(=j 则.=+++44434241234A A A A 14．已知， D 中第四列元的代数余子式的和为.db c a c c a b b a b c a c b a D =15．设行列式，为的代数余子式，则62211765144334321-==D jA 4)4,3,2,1(4=j a j ，.=+4241A A =+4443A A16．已知行列式，D 中第一行元的代数余子式的和为nn D10301002112531-=.17．齐次线性方程组仅有零解的充要条件是.⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 18．若齐次线性方程组有非零解，则=.⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x k 三、计算题1.; 2．；cb a d b a dc ad c b dc b a dc b a dc b a++++++++33332222yx yx x y x y y x y x +++3．解方程； 4．；0011011101110=x x xx 111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x5. ()； na a a a111111111111210n j a j ,,1,0,1 =≠6. bn bb ----)1(1111211111311117. ； 8．; n a b b b a a b b a a a b 321222111111111xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 3212121219.;10.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++210001200000210001210001211．.aa a a a a a a aD ---------=111100011000110001四、证明题1．设，证明：.1=abcd 011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a 2．.3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a x b a -=++++++3．.))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a dc b a +++------=4．.∏∑≤<≤=----=nj i i j n i i nnn nn nn n nna a a a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(1115．设两两不等，证明的充要条件是.c b a ,,0111333=c b a c ba 0=++cb a参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.n ”“-43312214a a a a 00!)1(1n n --; 8.; 9.; 10.; 11.; 12.;1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---M 3-160-4x 1)(-+n n λλ2-13.; 14.; 15.; 16.; 17.; 18.009,12-)11(!1∑=-nk k n 3,2-≠k 7=k 三．计算题1．； 2. ；))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-)(233y x +-3. ;4.1,0,2-=x ∏-=-11)(n k kax 5.;6. ;)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ))2(()1)(2(b n b b ---+- 7. ;8. ;∏=--nk k kna b1)()1(∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(9. ;10. ;∑=+nk k x 111+n 11. .)1)(1(42a a a ++-四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
《线性代数》习题集(含答案)
《线性代数》习题集（含答案）第一章【1】填空题（1） 二阶行列式2a abbb=___________。
（2） 二阶行列式cos sin sin cos αααα-=___________。
（3） 二阶行列式2a bi b aa bi+-=___________。
（4） 三阶行列式xy zzx y yzx =___________。
（5） 三阶行列式a bc c a b c a bbc a+++=___________。
答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2a b -；4.3333x y z xyz ++-；5.4abc 。
【2】选择题（1）若行列式12513225x-=0，则x=（）。
A -3；B -2；C 2；D 3。
（2）若行列式1111011x x x=，则x=（）。
A -1，； B 0， C 1， D 2，（3）三阶行列式231503201298523-=（）。
A -70；B -63；C 70；D 82。
（4）行列式00000000a ba b b a ba=()。
A 44a b -；B ()222a b-；C 44b a -；D 44a b 。
（5）n 阶行列式0100002000100n n -=（）。
A 0；B n ！；C （-1）·n ！；D ()11!n n +-∙。
答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。
【3】证明33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b zx y bz ax bx ay by azyzx++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。
【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。
答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。
线性代数期末考试(B卷)及答案
北京师范大学XX 分校2007-2008学年第一学期期末考试（B 卷）开课单位： 应用数学系 课程名称： 线性代数 任课教师：__ __ 考试类型：_ 闭卷_ 考试时间：__120 __分钟 学院___________ 姓名___________ 学号______________ 班级____________试卷说明：（本试卷共4页，满分100分）------------------------------------------------------------------------------------------------------一、 填空（每空3分，共30分）1、行列式123345__0____567= 2、行列式sin cos cos sin _______+-=-1313113xxxx 3、设行列式 -5 11 1 31 0 2D =1，则______-+=21222350A A A4、设A ，B 均为三阶方阵且||,||A B ==45，则||______=20A B5、设A 为3阶方阵，且A =2，则A-=12 46、设矩阵A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12311102103，则A 的秩()R A = 37、已知3阶矩阵A 的伴随矩阵的行列式A *=9，则=A 38、向量组,,,αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1234111322023001线性相关还是无关 线性相关试卷装订线9、设向量()(),,,,,x αα==1232963线性相关，则___1____=x10、设5元方程组=0A x 的系数矩阵A 的秩为3，则其解向量的秩应为 2二、选择题（每小题3分，共15分）1、行列式13632196233418第2行第2列元素的代数余子式A =22（ D ）（A ）6； （B ）9； （C ）12； （D ）15。
2021年财经大学财务会计专业《线性代数》期末考试卷(B卷)及答案
2021年财经大学财务会计专业《线性代数》期末考试卷（B 卷）考试形式 闭卷 使用学生 考试时间 120分钟 出卷时间说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。
答题时字迹要清晰。
姓名 学号 班级一、选择题(每题3分，共18分)1．已知三阶行列式2333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则三阶行列式=+-+-+-=333231312322212113121111254254254a a a a a a a a a a a a D ( ). A 、12 B 、8 C 、16 D 、40 2．下列叙述成立的是( ). A ．若B A ,可逆，则B A +必可逆 B ．若B A ,可逆，则AB 必可逆 C ．若B A ,可逆，则B A -必可逆 D ．若B A +可逆，则A 与B 都可逆3．已知4阶行列式D 中第二行的元素自左向右依次为-1，3，-2，2，它们的余子式分别为3，1，-3，5，则4阶行列式D =( ).A 、10B 、-10C 、16D 、-16 4．设矩阵A ＝（1 2），⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321B ，C ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛654321，则下列矩阵运算中有意义的是( ). A ．ACB B ．BAC C ．ABCD ．CAB5．当λ=（ ）时，方程组1231231222x x x x x x λ++=⎧⎨++=⎩，有无穷多解。
A ．1B ．2C ．3D ．4 6. 设A 是n 阶方阵，2A =，则*AA =( ). A 、2 B 、12- C 、12n - D 、2n二、填空题(每题3分，共24分)1. 排列64175382的逆序数为 .2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2110154214321A ，则=)(A R .3．设A =802020301⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，*A 为A 的伴随矩阵，则*A = .4．行列式D 4=5123121232122x x x x x 的展开式中4x 的系数= .5．设142513A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,100145B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则T A B += . 6．设5阶行列式4,3-==B A ，则2T A B = .7. 行列式123207236的12a 2=的代数余子式12A = . 8. 齐次线性方程组0AX （A 是m n ⨯矩阵）只有零解的充要条件是 .三、计算题(每小题8分，共40分)1．计算四阶行列式xx x xD ++++=11111111111111114.2. 计算n 阶行列式122222222222322222122222n D n n=-.3. 判别矩阵012114210A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是否可逆, 若可逆，则求出逆矩阵1-A .4．求向量组12(1,2,3,1),(3,2,1,1)T T αα=-=-，34(2,4,1,1),(2,2,2,1)T Tαα==-的秩与它的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示.5．求解非齐次线性方程组12341234123423135322423x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+-=⎨⎪++-=⎩.四、综合题(每小题9分，共18分)1．设向量组12,,,m ααα线性无关，而向量组12,,,,m βααα线性相关，则β可由向量组12,,,m ααα线性表示，且表示法唯一.2．某水果批发部向A 、B 、C 、D 四家水果店分别批发的苹果、橘子和香蕉的数量如下（单位：千克）：已知苹果、橘子和香蕉的批发价分别为每千克1.50元、1.80元和2.20元. 试通过矩阵运算计算A 、B 、 C 、D 四家水果店应支付的金额各为多少元？试卷答案（B 卷）一、选择题（每题3分，共18分）1、C2、B3、A4、C5、B6、D 二、填空题（每题3分，共24分）1、152、23、2040206016-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭4、105、254268⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭6、487、28、()R A n = 三、计算题（每题8分，共40分）1、34411141114111000(4)41110004111000xx x x x D x x x x x xxx++++===+++++. (8分)注：解法不唯一，酌情给分.2、1000010000222220222200100001002(2)!000300003000002002n D n n n n n --===------ (8分) .注：解法不唯一，酌情给分.3、因0121142210A ==-，故A 可逆. (4分) 且*14221842||2321A A A --⎛⎫⎪==-- ⎪ ⎪--⎝⎭. (4分) 4、设[]1234A αααα=，110013221322132222242040202011010231120854001000101111023100000000⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦A 所以[]12343R αααα=，故向量组的秩为3. (4分)1α，2α，3α为一个最大无关组，且4121122ααα=+. (4分)注：此题有很多种答案5、1231131532~21223B --⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭1231105401~05401--⎛⎫⎪--⎪ ⎪-⎝⎭123110540100002--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭(4分) ()2,()3R A R B ∴==. (2分) ∴ 方程组无解. (2分)四、综合题（每题9分，共18分）1、因为r αααβ,,,,21 线性相关，所以存在一组不全为零的数12,,,,r k c c c ，使得 11220r r k c c c βααα++++=. (2分)若0k =, 则11220r r c c c ααα+++=. 而r ααα,,,21 线性无关，可得120r c c c ====，与12,,,,r k c c c 不全为零矛盾. 故0k ≠.从而1212r r c c ck k kβααα=----. (3分)下证表示法唯一. 设1122r r c c c βααα=+++，1122r r k k k βααα=+++.两式相减得：111222()()()0r r r c k c k c k ααα-+-++-=.而r ααα,,,21 线性无关，可得0,1,2,,i i c k i r -==，即,1,2,,i i c k i r ==. (4分)2、 10040603541.56035502631.86030602702.2504530222⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (7分)故A 、B 、 C 、D 四家水果店应支付的金额各为354、263、270、222元. (2分)。
(完整版)线性代数习题集带答案
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a db a dc a dc bd c b a d c ba d cb a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x ；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a a a a aa a D ---------=110001100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b adc b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
(完整word版)线性代数考试题及答案解析
WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。
2、闭卷考试。
评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。
(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+(C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a__________________系__________专业___________班级姓名_______________学号_______________………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R >(C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解的充分必要条件是(A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r >【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是(A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量(B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例(C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示(D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是(A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值(C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵二、填空题。
(本科)线性代数期末考试题及答案AB卷
线性代数试题测试卷及答案2套一、填空题1.四阶行列式中含有因子112432a a a 的项为_________.2.行列式222111ab c a b c 的值为_________. 3.设矩阵1000010000210022⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A ，则1-=A _________.4.设四元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为1，则其解空间的维数为_________.5.设矩阵1234(,,,)=A αααα，其中234,,ααα线性无关，12342=-+αααα，向量41i i ==∑βα，则方程=AX β的通解为_________.6.已知三阶矩阵A 的特征值为1,2,3，则32--=A A E _________.二、选择题1.若两个三阶行列式1D 与2D 有两列元素对应相同，且123,2D D ==-，则12D D +的值为( ).A.1B.6-C.5D.02.对任意的n 阶方阵,A B 总有 ( ). A.=AB BA B.=AB BA C.()111---=AB B A D.()222=AB A B3.若矩阵X 满足方程=AXB C ，则矩阵X 为（ ）.A.11--A B C B.11--A CB C.11--CA B D.条件不足，无法求解4.设矩阵A 为四阶方阵，且()3R =A ，则*()R =A （ ）. A.4 B.3 C.2 D.15.下列说法与非齐次线性方程组=AX β有解不等价的命题是（ ）.A.向量β可由A 的列向量组线性表示B.矩阵A 的列向量组与(,)A β的列向量组等价C.矩阵A 的行向量组与(,)A β的行向量组等价D.(,)A β的列向量组可由A 的列向量组线性表示6.设n 阶矩阵A 和B 相似，则下列说法错误的是（ ）. A.=A B B.()()R R =A BC.A 与B 等价D.A 与B 具有相同的特征向量7.设222123121323()224f x x x x ax x x x x x =+++-+为正定二次型，则a 满足（ ）.A.11a a ><-或B.12a <<C.11a -<<D.21a -<<- 三、计算题1.已知12111111111n na a D a ++=+，其中120n a a a ≠，求12n n nn A A A +++.2.设矩阵022110123⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，且2=+AX A X ，求X .3.求矩阵123451122102151(,,,,)2031311041⎛⎫ ⎪-⎪== ⎪- ⎪-⎝⎭A ααααα的列向量组的一个最大无关组，并把其余列向量用最大无关组线性表示.4.求非齐次线性方程组12341234123431,3344,5980x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩的通解.5.求一个正交变换=X PY ，将二次型123121323(,,)222f x x x x x x x x x =--化成标准形.四、证明题已知n 阶方阵A 和B 满足124-=-A B B E ，证明2不是A 的特征值。
2021年10月04184线性代数真题及答案
2021年10月《线性代数》真题说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A∗表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.第一部分选择题一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。
在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。
1.已知2阶行列式D的第1行元素及其余子式都为a，则D的值为（）A.0B.a2C.−a2D.2a2【答案】A2.若A,B,C均是n阶矩阵，且满足ABC=E，则B−1=（）A.ACB.CAC.A−1C−1D.C−1A−1【答案】B【解析】ABC=E，B=(AC)−1，B−1=CA.3.设向量组(1,1,1)T，(a,1,0)T，(1,b,0)T线性相关，则数a,b可取值为（）A.a=0,b=0B.a=0,b=1C.a=1,b=0D.a=1,b=1【答案】D4.设非齐次线性方程组Ax=b，其中A为m×n阶矩阵，r(A)=r，则（）A.当r=n时，Ax=b有惟一解B.当r<n时，Ax=b有无穷多解C.当r=m时，Ax=b有解D.当m=n时，Ax=b有惟一解【答案】C5.设矩阵A=(1111)，B=(2000)，则A与B的关系为（）A.相似且合同B.相似但不合同C.不相似但合同D.不相似且不合同【答案】A第二部分非选择题二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。
6.行列式|a11a12a21a22|中元素a ij的代数余子式为A ij(i,j=1,2)，则a11A21+ a12A22=_________。
【答案】07.设α1,α2,β1,β2是3维列向量，且3阶行列式|α1,α2,β3|=m，|α2,β2,α1|=n，则|α2,α1,β1+β2|=_________。
【答案】−m−n8.若a=(1,2,3,4)T，则a T a=_________。
【答案】309.设A为2阶矩阵，将A的第1行与第2行互换得到矩阵B，再将B的第2行加到第1行得到单位矩阵A，则A=_________。
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上海财经大学《 线性代数 》课程考试卷（B ）闭卷
课程代码 105208 课程序号
姓名 学号 班级
一、单选题(每小题2分，共计20分)
1. 当=t 3 时，311244s t a a a a 是四阶行列式中符号为负的项。
2. 设A 为三阶方阵，3A = ，则*2A -=__-72__。
3. 设矩阵01000
010********A ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
，4k ≥,k 是正整数，则=k P 0 。
4. 设A 是n 阶矩阵，I 是n 阶单位矩阵,若满足等式2
26A A I +=，则
()
1
4A I -+=
2
2A
I - 。
5. 向量组()()()1,2,6,1,,3,1,1,4a a a +---的秩为1，则 a 的取值为__1___。
6. 方程组12434
00x x x x
x ++=⎧⎨+=⎩ 的一个基础解系是 ⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1101,0011 。
……………………………………………………………
装
订
线…………………………………………………
7. 设矩阵12422421A k --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，500050004A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭，且A 与B 相似，则=k 4 。
8. 123,,ααα是R 3的一个基,则基312,,ααα到基12,αα,3α的过渡矩阵为 ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛001100010 。
9. 已知413
1
210,32111
a A B A A I -===-+-, 则B 的一个特征值是 2 。
10. 设二次型222
12312132526f x x x tx x x x =++++为正定, 则t 为 5
4||<
t 。
二．选择题（每题3分，共15分）
1. 设A 为n 阶正交方阵，则下列等式中 C 成立。
(A) *
A A =; (B)1
*
A A -= (C)()
1T
A
A -=; (D) *T A A =
2. 矩阵 B 合同于145-⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪⎝⎭
(A) 151-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ; （B ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--321;（C ）⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛112;（D ）121-⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
3. 齐次线性方程组AX O =有唯一零解是线性方程组B AX =有唯一解的（ C ）。
（A ）充分必要条件； （B ）充分条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。
4．设,A B 都是n 阶非零矩阵，且AB O =，则A 和B 的秩（ B ）。
（A ）必有一个等于零；（B ）都小于n ；（C ）必有一个等于n ；（D ）有一个小于n 。
5．123,,ααα是齐次线性方程组AX O =的基础解系，则__B___也可作为齐次线性方程组
AX O =的基础解系。
(A) 1231231222,24,2αααααααα-+-+--+ （B ）1231212322,2,263αααααααα-+-+-+ （C ）1231231224,6123,3αααααααα-+--+-+ （D ）1231212322,2,366αααααααα-+--+
三． 计算题（58分）
1．计算110000
2200
030
00001
1
1
1
1
D n n --=- （8分）
答案 ()!1+n
2．设3阶方阵A 、B 满足条件BA B A =+且120210002A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，求B .（12分）
答案 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--1000000
)
(2121
1
I A ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=200
01012
12
1B 3．求12311000445(1,-1,2,4),(,2,1,2),(3,3,4,8),(1,,2,0),(,,,)ααααα====-=的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用极大无关组表示。
（10分）
答案 3=r
极大线性无关组： 421,,ααα
4
15213,2αααααα-=+=
…………………………………………………装
订
线…………………………………………………
4．λ为何值时，下列方程组有唯一解；无解；有无穷多解，并求解。
1231231
2322122221
x x x x x x t x x x λλλ-++=⎧⎪
-+=⎨⎪++=⎩ （14分）
答案 )4()2(||2
λλ-+=A
（1） 当42≠-≠λλ且时，对任意t ,唯一解； （2） 当2-=λ时，对任意t , 无解；
（3） 当4=λ，0≠t 时,无解；
（4） 当4=λ，0=t 时, 无穷多解，
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11103/16/1k X
5．将二次型()2
2
2
123123121323,,222f x x x x x x x x x x x x =+++++用正交变换法化为标
准型，并求出相应的正交变换。
（14分）
答案 )3(||2
-=-λλλA I ，
3,032,1==λλ
（1）:
02,1=λ
⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101,01121ξξ
正交化：⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211,01121ββ
…………………………………………………装
订
线…………………………………………………
单位化：⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=626161221211,0γγ
（2）33=λ：
,1113⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=ξ ,3
13131
3⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=γ
令P ),,(321γγγ=，做PY X =则2
33y f =。
四． 证明题（7分）
设n 阶实对称方阵A 满足3
2
452A A A I O -+-=，证明A 为正定矩阵。
答案
设λ为A 的特征值, 则由 3
2
452A A A I O -+-=得
025423=-+-λλλ
即()0)1(22=--λλ, 因此A 的特征值取值范围是1,2, 这表明A 的特征值大于
零, 因此对称矩阵A 为正定矩阵。