静不定结构
j1
说明： （1）系数 ij 组成n阶方阵
11 12 1n
21
22
2
n
主系数 ii （i=1,2,…,n） 恒为正
副系数ij ji (i j)（位移互等定理）
n1
n2
nn
可正可负可为零
h
21
11X1 12X2 1nXn 1F 1
21X1 22X2 2nXn 2F 2
h
6
（a）切开一个链杆（二力杆），只有FN，相当 于去掉1个多余约束。
P
FN
P FNห้องสมุดไป่ตู้
（b）切开一个单铰，有 2个内力分量：FN，FS
相当于去掉2个多余约束。
P
P FS FN
FN FS
h
7
（c）切开一处刚性联结，有3个内力分量FN，FS，M，
相当于去掉3个多余约束。
平面问题，多一个闭合框架，就多3次静不定。
F
F FS M FN
FN FS
（d）将刚性联结换为单铰或将单铰换为链杆，
相当于去掉1个多余约束（静不定次数减1)。
单铰----连接2杆, n次复铰----连接n+1杆
n次复铰=n个h 单铰
8
(e)桁架结构
杆数 S ,节点数 n , 若S=2n-3
A
B
若S>2n-3
静定桁架 静不定桁架
C
D S=6,n=4, 6-(2×4-3)=1次静不定
∴
X1
5 F
16 h
16
讨论：
1） X 1 即为原静不定结构B端的约束力 。
A端的3个约束力可由静力平衡方程求出。
2）X 1 求出后，原静不定系统就相当于在F及X 1
共同作用下的静定梁（相当系统）,进而可按静 定梁的方法求内力、作内力图、求应力和变形、 进行强度和刚度计算。
F
A
B 原静不定系统
工程力学（C）
（下册） ( 30)
北京理工大学理学院力学系 韩斌
h
1
§16 静不定结构
§16.1 概述
静不定结构的特点：
（1）强度高，刚度大。
例如：
P
P
A
l
2
l 2
B
静定
l
M max为相应静定结构的
3 8
wmax 为相应静定结构的 1
h
33
静不定
2
（2）安全系数高 （3）结构中任意一部分构件的刚度变化会造成结 构中的内力重新分布
h
19
若为二次静不定，2个多余约束，
2个多余未知力X1，X2
11X1 12X21F 1 21X222X22F 2
(16.2)
q
A
B
C
h
q
X1
X2
20
n次静不定：
11X1 12X2 1nXn 1F 1
21X1 22X2 2nXn 2F 2
(16.3)
n1X1 n2X2 nnXn nF n
n
ijXj iF i i=1,2,…,n
（相当系统2）
m
m
X1 X1
h
12
P
P
P
3次静不定
X2 X3
X1
（相当系统1）
X1
X3
X2
（相当系统2）
P X2 X3
X1
（相当系统3）
P X1
X2 X3
（相当系统4）
h
P X1
X2 X3
（相当系统5） 13
2.求解静不定结构方法（三条件法）
（1）力法：以多余未知力为基本未知量，将 位移表示为未知力的函数，然后按位移协调条 件建立方程，从而解出多余未知力。
w BX 1
X1
定系统相同）
wBwBFwB1X0
h
15
4 物理条件：位移表达为力的函数
F
wBF
5Fl3
wBF 48EI 可用图乘
w BX 1
X1
法计算
wBX1
X1l3 3EI
5 物理条件代入位移协调方程，求解多余未
知力 X 1
wBwBFwB1X0
5Fl3 X1l3 0 48EI 3EI
F
相当系统
X1 h
17
§16.3 力法正则方程
将上例中的位移协调方程改写一下：
wB1XwBFwB
B1 （B是 X 1 作用处）
力与位移成线性关系
wBX1 1X1 ============== wBF1F
wB 1
11X1
则 11 X11F1 ---- 力法正则方程
h
18
力法正则方程 11 X11F1 （16.1)
(16.3)
n1X1 n2X2 nnXn nF n
n
ijXj iF i i=1,2,…,n
j1
（2）自由项 iF 可正可负可为零
（3）右端项 i
（4）静不定结构会产生温度应力和装配应力
温度应力
h
3
装配应力
h
4
1.静不定结构和静不定次数
外静不定：仅由平衡方程无法求出全部的约束力。 内静不定：仅由平衡方程无法求出全部的内力。 “多余约束” ：并非维持结构的平衡所必需的约束。
AB梁中B端可动铰支座，桁架中的CB杆称为多余约
束，相应约束力或内力为“多余约束力”。
A
B
A
B
C
D
注意： 多余约束力对维持平衡是多余的，但对工程
实际并不多余，是为提高强度、刚度而加上去的。
h
5
静不定次数的判断： （1） 外静不定结构 外静不定次数=全部约束力个数-独立的平衡方程数
=多余约束力个数
（2）内静不定结构
切开截面内力分量的总数=该截面内部多余约束数 将结构切开一个或n个截面——去掉内部多余约束 使其变成静定的，则切开截面上内力分量的总数 就是内静不定次数。
多余约束后得到的静定结构，称为 原结构的基本静定系。
相当系统：在基本静定系上，用相应的多余约束力 代替被解除的多余约束，并加上原载荷， 则称为相当系统。
“相当”：相当系统的受力变形状态与原静不定结构 完全相同。
h
11
基本静定系和相当系统的选取：不唯一。
m
（基本静定系1）
（基本静定系2）
（相当系统1）
（2）位移法：以位移为基本未知量，将多余未 知力表示为位移的函数，然后按平衡条件建立方 程，从而通过求解未知位移来求解多余未知力。
本章重点：力法
h
14
3.力法求解简单静不定结构
F
A
B 1 静不定次数：1次
F
2 静定基和相当系统
X1
F
wBF 3 位移协调条件（保证相当系统
在多余约束处的位移与原静不
(3) 内外混合静不定
静不定次数=外静不定次数+内静不定次数
=多余约束数（内外多余约束数）
=多余未知力个数（约束力和内力）
=未知力个数-平衡方程数
h
9
例
1次静不定
4次静不定
1次静不定
0次静不定=静定
h
10
§16.2 力法求解静不定结构
1. 基本静定系和相当系统 基本静定系：去掉原载荷，只考虑结构本身解除
11 ——相当系统仅作用 X1 =1时，在 X1 作用点
处 沿 X1 方向的广义位移。 1F ——相当系统仅作用原载荷时，在 X1 作用
点处 沿 X1 方向的广义位移。 1 ——静不定系统在 1处 沿 X1 方向的原有广义
位移。（一般为 1 = 0 ）
双下标——第一下标表示位移发生地点，第二下标 表示引起位移的原因。
第14章 静不定问题
+
FS l 2
)
⋅(
l 2)dx2 ]
=
0
∫ ∫ Δ1/1' =
2 l/2 M [(
EI 0 2
+ Fs x1 )(x1) ⋅dx1 +
lM 0 (s 2
+
FS l 2
)
⋅(
l 2
)dx2
]
=
0
FS
=
− 15M 14l
求C截面转角
M/2
M/2
x2
xF1 S F
M (x1) =
M 2
+ Fs x1
=
q
1
2
3
A
B
αα
A
F
二、静不定结构分类
q
q
q
FAx A
FAy
B FBx
A
FBy
B
FAx A
FAy
FBx
B
FBy
外力静不定结构
内力静不定结构
混合型静不定结构
仅在结构外部存在多 仅在结构内部存在多 在结构外部和内部均
余约束
余约束
存在多余约束
¾ 外力静不定
F
q
F
q
外1度
外3度（平面）
外6度（空间）
约束力分量个数：
例1（教材例14-2）图示刚架，承受载荷F，
求刚架的最大弯矩。EI为常数。
B
C
解:沿CC’将刚架切开，由载
F
F
荷的对称性，截面C和C’上
A
A’
的剪力等于零，只有轴力FN 和弯矩M
利用平衡条件求出FN=F/2， 只有 M 为多余约束力
结构的静定与静不定
结构的静定与静不定结构分析是工程领域中极其重要的一部分，通过对结构的力学性能进行研究，可以确保工程的安全可靠。
在结构力学中，结构的静定与静不定是其中的重要概念之一。
本文将围绕着结构的静定与静不定展开探讨，介绍其基本概念、特点和应用方面的内容。
一、结构的静定静定是指结构在受力平衡的条件下，各个构件的位移可以由已知的力和几何条件唯一确定。
在静定结构中，构件的位移和应力可以通过静力平衡方程唯一求解。
简言之，一个结构如果满足所有构件的位移和应力能够通过静力平衡方程唯一确定，那么这个结构就是静定结构。
静定结构的特点有几个方面：1. 构件数量与方程数量相等：静定结构的构件数目等于描述结构平衡的方程数目。
2. 几何约束：静定结构的几何约束对于解的唯一性至关重要。
这些约束可以是连杆的铰接连接、构件的固定或约束等。
静定结构在工程实践中具有广泛的应用。
例如，在桥梁设计中常常需要保证桥梁结构在静力平衡的条件下，能够承受来自自身重力和车辆荷载的力。
此外，在建筑物的设计中也需要保证结构在静力平衡的条件下，能够承受地震等外部荷载的作用。
二、结构的静不定静不定是指结构在受力平衡的条件下，构件的位移和应力不能完全由已知的力和几何条件确定。
换言之，一个结构如果无法通过静力平衡方程唯一求解所有构件的位移和应力，那么这个结构就是静不定结构。
静不定结构的特点如下：1. 构件数量与方程数量不相等：静不定结构的构件数目多于描述结构平衡的方程数目。
2. 多余约束：静不定结构的多余约束使得构件的位移和应力无法由已知的力和几何条件唯一确定。
静不定结构的分析需要借助一些附加的条件，例如材料的变形规律、拉伸和剪切的本构关系等。
常用的方法包括力法、位移法和能量法等。
这些方法可以通过添加一些简化假设和辅助约束，将静不定结构的问题转化为静定结构的求解来解决。
静不定结构在实际工程中的应用也非常广泛。
例如，在梁柱设计中，为了提高结构的承载能力和刚度，常常采用悬臂梁、悬臂柱等静不定结构形式。
静不定结构
A
E
P
a a a
C
D
F B
例11.1 解
A
E
P
a
C
a
a
D F
X1 P
A
E
B
x
例11.2
计算各杆内力。设各杆EA相同。
a
4 5 3 2 6
P a
1
例11.2 解
a
4 5
P
4
X1 a
5
P
3
2
6
1
3
2
6
1
例11.3 作曲杆弯矩图源自P45°B
a
A
45°
例11.3 解
P f A B X1
静不定次数与力系性质的关系
(b)为平面力系，属三次静不定 (c)为空间力系，属六次静不定
静不定问题求解的要点
解除约束
构造静定基 确定相当系统 静不定问题的两种解法
a.位移法
• 矩阵位移法-大型结构
b.力法
• 力法正则方程-中小型结构
§11.2 用力法解静不定结构
D1P=？
D1X =？
P
45°
B
a
A
45°
例11.4 求解静不定刚架。EI相等。
§11.3 对称与反对称性质的利用
对称结构
正对称受载 反对称受载
对称变形 反对称变形
对称结构，对称受载时，对 称面内，反对称内力必为零。
P X3 X2 X3 P
X1
X1 X2
对称结构，受反对称载荷时， 对称面内，对称内力必为零。
为求AB之间的相对位移，施加 如图的单位载荷
1
A
超静定结构的概述
(a)
(b)
图 11-3
除上述主要特征外，超静定结构还具有整体性强、变形小、受力较为 均匀等特点，因而这种结构在实际工程中被广泛采用。例如，图11-4a 所 示的两跨连续梁较图11-4b 所示的两跨简支梁，在力 F 作用点处的弯矩和 挠度均为小。
（a） 静定结构
（b） 超静定结构
（c） 静定结构受力图
算上来说，静定结构的静力特征是用静力平衡条件就能求得全 部反力和内力；而超静定结构的静力特征是仅用静力平衡条件不能求得 全部反力和内力。例如，对图11-1a 所示的静定梁，其受力图如图11-1c 所示，梁的反力（FAx、FAy、FB）和内力（FN、FQ、M）分别由三个静 力平衡方程求得。 而对图 11-lb 所示的连续梁，其受力图如图 11-ld 所示， 梁的反力共有四个(FAx、FAy、Fx1、FB），其中Fx1称为多余约束所对应 的多余未知力，用三个静力平衡方程不可能将此四个反力全部求得，只 要有一个反力尚未确定，梁的内力就不能确定。因此，还须补充其他条 件，才能求解。
【例11-3】确定图11-13a 所示结构的超静定次数。
解：图11-13a 所示刚架，具有一个多余约束。若将横梁某处改为铰接， 即相当于去掉一个约束，得到如图11-13b 所示的静定结构，故原结构 n = l。
若去掉支座 B 处的水平支杆，则得图11-13c 所示的静定结构。 但是，若去掉支座 B 或支座 A 的竖向支杆，即成可变体系如图11-13d 所 示，显然这是不允许的，所以此刚架支座处的竖向支杆不能作为多余约束。
图 11-6
② 去掉一个单铰，相当于去掉两个约束 。 如图11-7a 所示的结构，去掉一个单铰而变成静定结构，如图11-7b 所示。 因 n = 2，故该结构为两次超静定 。
静不定结构 力学(固体力学)
静不定结构力学（固体力学）静不定结构是具有多余约束的结构，又称超静定结构。
定义
静不定结构是具有多余约束的结构，又称超静定结构。
多余约束是指在静定结构上附加的约束。
每个多余约束都带来一个多余未知广义力，使广义力的总数超过了所能列出的独立平衡方程的总数，超出的数目称为结构的静不定度或静不定次数。
理论力学是基础，材料力学是一个过渡。
三大力学：理论力学、材料力学、结构力学。
理论力学是研究物体机械运动的基本规律的学科。
力学的一个分支。
它是一般力学各分支学科的基础。
理论力学通常分为三个部分：静力学、运动学与动力学。
静力学研究作用于物体上的力系的简化理论及力系平衡条件。
材料力学是研究材料在各种外力作用下产生的应变、应力、强度、刚度、稳定和导致各种材料破坏的极限。
一般是机械工程和土木工程以及相关专业的大学生必须修读的课程，学习材料力学一般要求学生先修高等数学和理论力学。
结构力学是固体力学的一个分支，它主要研究工程结构受力和传力的规律，以及如何进行结构优化的学科，它是土木工程专业和机械类专业学生必修的学科。
静定结构和静不定结构判断方法
静定结构和静不定结构判断方法The methods for determining statically determinate and indeterminate structures are critical in the field of structural engineering. 静定结构和静不定结构的判断方法在结构工程领域中至关重要。
Statically determinate structures are those for which all the forces and reactions can be determined using only the equations of statics, while statically indeterminate structures require the use of additional equations such as compatibility equations and equations of equilibrium. 静定结构是指仅使用静力学方程就可以确定所有的力和反力的结构，而静不定结构则需要额外使用兼容方程和平衡方程等方程。
The distinction between the two types of structures has significant implications for the design and analysis of buildings, bridges, and other structures. 这两种结构类型的区别对建筑物、桥梁和其他结构的设计和分析有着重要的影响。
In practical terms, determining whether a structure is statically determinate or indeterminate involves analyzing the internal forces and reactions within the structure. 在实际情况中，确定结构是静定还是静不定涉及分析结构内部的力和反力。
第十三章 静不定问题分析
第31单元第十三章静不定问题分析§13-1 引言能量法是静不定问题分析的普遍有效的方法。
一、静不定结构分类：内力、外力、混合静不定。
静不定次数(静不定度)：多余约束(Redundant confinement)数 (1)外力静不定外一度外三度空间：外6度(一个固定端6个约束分量)(外力)平面静定结构：3个约束(外力)空间静定结构：6个约束平面固定铰：2个约束空间球形铰：3个约束平面活动铰：1个约束空间固定端：6个约束平面固定端：3个约束(2)内力静不定静不定度()32--=n mm : 杆数 n :节点数6-(2×4-3)=1封闭框架三内，加一铰减一，加一刚接杆加3，加一铰支杆加1三内 二内 6内 4内 (截开为静定结构，分析有几个多余力) (3)混合(一般)静不定1+1=2度 3+3=6度 内 外 内 外 例：静不定判断。
梁3 (外静不定) 环3 (内静不定)二者接触(A 点)1(内静不定) 共7(混合或一般静不定)无摩擦，圆环在水平方向有一自由度。
二、分析方法(1)力法(force method)或柔度法(Flexibility method)，以力、力的反力为未知数，利用变形协调条件列方程，通常简单，但格式不统一，不便于计算机求解。
(2)位移法(displacement method)或刚度法(stiffness method)（有限元法），以位移为未知数，利用平衡条件求解，不需判断静不定度，格式统一，便于计算机分析。
§13-2 用力法分析静不定问题基本系统：解除多余约束后的静定结构。
相当系统：作用有载荷和多余反力的基本系统。
求解：静力平衡方程+变形协调条件(通过能量法转换为未知力的方程)。
对比：以前由几何法画变形图，然后通过物理方程转换为未知力的方程，分析复杂结构存在困难。
一、外力静不定问题例：若P 、EI 均为已知，试画刚架弯矩图。
解：1.求约束反力 (1)静不定度1(2)静定基：解除B 点约束 (3)变形条件：0=B f(4)能量法求解(求位移与力的关系) BC 段：()()1111x x M x N x M B ==AC 段：()()a x M Px a N x M B =-=222()[]010*******=-+=∴⎰⎰aB a B B dx a Px a N dx x N EIfP N EI Paa N EI a N B B B 830213333=⇒=-+ 2.画弯矩图，由于各段无布力，图形为直线，只须找端值连结，(一般情况根据弯矩方程)例：计算A 点水平位移。
第14章静不定结构详解
（a）
外力超静定
（b）
内力超静定
（c）
外力超静定
（d）
内力超静定
（e）
混合超静定
(Statically Indeterminate Structure) 四、超静定次数的判定
（1）外力超静定次数的判定:根据约束性质确定支反力的个 数,根据结构所受力系的类型确定独立平衡方程的个数,二者的差 即为结构的超静定次数；
§14-2 用力法解静不定结构
一、力静定结构的多余约束，用多余约束力代替多余约束,得 到一个几何不变的静定系统,称为原静不定系统的“相当系统”;
2.在多余约束处满足“变形几何条件”,得到变形协调方程; 3.由补充方程求出多余约束力;（利用能量法求解） 4.在基本系统上求解原超静定结构的内力和变形. （解除多余约束后的静定结构）
(Statically Indeterminate Structure)
第十四章 静不定问题分析
§14-1 静不定结构概述 §14-2 用力法解静不定结构 §14-3 对称及反对称性质的应用
(Statically Indeterminate Structure)
§14-1 静不定结构概述
一、静不定结构
M
=
FB (asinϕ) −
F (a sin(φ
−
π
)) 4
当在B点作用一单位力时（图d）,
弯矩方程为
B
F
ϕ FB
A
π/4
(b)
B
M = asinϕ M = asinϕ
1
ϕ
A (d)
(Statically Indeterminate Structure)
应用莫尔积分,并设曲杆的EI为常量,
《静不定结构》课件
有限元法
有限元法是一种数值分析方法，用于求解复杂的结构问题。
它将结构离散化为有限个小的单元，对每个单元进行力学分析和数学建模，再通过 单元的组合和迭代求解整体结构的响应。
有限元法具有适应性强、计算精度高等优点，广泛应用于工程实践和科学研究。
实验法
实验法是通过实验测试来研究 静不定结构的行为和性能。
建筑结构
高层建筑、大跨度结构等 复杂建筑中，静不定结构 较为常见，需要特别关注 。
机械结构
机械设备中的轴、轴承、 联轴器和齿轮等部分可能 存在静不定结构，需要精 确设计和计算。
经典静不定结构案例
三角拱桥
三角拱桥是一种经典的静不定结构， 其拱圈和桥墩的相互作用使得结构稳 定。
斜拉桥
斜拉桥的拉索和主梁之间的相互作用 形成静不定结构，需要进行精确设计 和计算。
智能材料
如形状记忆合金、压电陶 瓷等，能够根据外界环境 变化自适应调整结构性能 。
生物相容性材料
如医用钛合金、生物陶瓷 等，用于制造与生物体直 接接触的结构，提高安全 性。
新技术的探索
数值模拟与优化设计
利用高性能计算机进行数值模拟，优化结构设计，减少试验成本 和时间。
增材制造技术
通过3D打印等技术实现复杂结构的快速制造，提高生产效率。
流程
静不定结构设计通常包括需求分析、概念设计、详细设计、 优化和施工图设计等阶段，每个阶段都有相应的设计任务和 要求。
优化方法与技巧
方法
静不定结构的优化方法包括尺寸优化、形状优化、拓扑优化和多目标优化等，这些方法可以帮助设计师在满足结 构性能要求的前提下，降低结构重量、减少材料用量和提高结构效率。
不确定性。
结构稳定性较差
材料力学 静不定系统
第十三章静不定问题分析§13-1 静不定结构概述1．定义用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构或结构系统，统称为静不定结构或系统，也称为超静定结构或系统。
2．静定、静不定结构（系统）无多余联系的几何不变的承载结构系统，其全部支承反力与内力都可由静力平衡条件求得，此系统称为静定结构或系统。
静定结构除了变形外，没有可运动的自由度（图12-1（a、b））如解除简支梁的右端铰支座，或解除悬臂梁固端对转动约束，使之成为铰支座，则此时的梁变成了图12.1（c）的可动机构，是几何可变系不能承受横向载荷。
在无多余联系的几何不变的静定系统上增加约束或联系，称为多余约束，并因而产生多余约束反力，则这样的有多余约束的系统，仅利用静力平衡条件无法求得其反力和内力，称为静不定（或超静定）系统，如图12-2。
外静不定：静不定结构的外部支座反力不能全由静力平衡方程求出的情况，常称为外静不定结构（图12-2b，d）内静不定：静不定结构内部约束(或联系)形成的内力不能单由静力平衡方程求出的情况称为内静不定结构（图12-2a，c）。
对于内、外静不定兼而有之的结构，有时称为混合静不定结构。
3．静不定次数的确定1）根据结构约束性质可确定内、外约束力总数，内、外约束力总数与独立静力平衡方程总数之差即为静不定结构的静不定次数。
2）外静不定的判断：根据结构与受力性质，确定其是空间或是平面承载结构，即可确定全部约束的个数。
根据作用力的类型，可确定独立平衡方程数，二者之差为静不定次数。
如图12-3（b），外载荷为平面力系，则为三次外静不定静，而图12-3（c）为空间力系，则为六次外静不定。
3）内静不定次数确定桁架：直杆用铰相连接，载荷只作用于结点，杆只受拉压力的杆系，其基本几何不变系由三杆组成（图12-4a）。
图12-4（b）仍由基本不变系扩展而成，仍是静定系，而（c）由于在基本系中增加了一约束杆，因而为一次超静定。
刚架：杆以刚结点相连接，各杆可以承受拉、压、弯曲和扭转，这样的杆系为刚架（图12-5）。